Одоо бид үүнийг олох болно эерэг ба сөрөг тоо. Эхлээд бид тодорхойлолт өгч, тэмдэглэгээг танилцуулж, дараа нь эерэг ба сөрөг тоонуудын жишээг өгнө. Мөн бид эерэг ба сөрөг тоонуудын утгын ачааллыг авч үзэх болно.
Хуудасны навигаци.
Эерэг ба сөрөг тоо - тодорхойлолт ба жишээ
Өгөх эерэг ба сөрөг тоог тодорхойлохбидэнд туслах болно. Тохиромжтой болгохын тулд бид хэвтээ байрлалтай, зүүнээс баруун тийш чиглэсэн гэж үзэх болно.
Тодорхойлолт.
Эхийн баруун талд байрлах координатын шугамын цэгүүдэд тохирох тоонуудыг дуудна эерэг.
Тодорхойлолт.
Эхийн зүүн талд байрлах координатын шугамын цэгүүдэд тохирох тоонуудыг дуудна сөрөг.
Гарал үүсэлтэй тохирч байгаа тэг тоо нь эерэг ч биш, сөрөг ч биш.
Сөрөг ба эерэг тоонуудын тодорхойлолтоос харахад бүх сөрөг тоонуудын олонлог нь бүх эерэг тоонуудын эсрэг талын тоонуудын багц юм (шаардлагатай бол тоонуудын эсрэг өгүүллийг үзнэ үү). Тиймээс сөрөг тоог үргэлж хасах тэмдгээр бичдэг.
Одоо эерэг ба сөрөг тоонуудын тодорхойлолтыг мэдсэнээр бид амархан өгч чадна эерэг ба сөрөг тоонуудын жишээ. Эерэг тоонуудын жишээ бол натурал тоо 5, 792, 101,330 бөгөөд үнэхээр ямар ч натурал тоо эерэг байдаг. Эерэг рационал тоонуудын жишээ нь , 4.67 ба 0,(12)=0.121212... , сөрөг тоонууд нь , −11 , −51.51 ба −3,(3) . Эерэг иррационал тооны жишээнд pi тоо, е тоо, төгсгөлгүй үе бус аравтын бутархай 809.030030003..., сөрөг иррационал тооны жишээнд pi, хасах e, тэнцүү тоо зэрэг орно. Сүүлийн жишээн дээр илэрхийллийн утга нь сөрөг тоо байх нь огтхон ч тодорхой биш гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг мэдэхийн тулд та энэ илэрхийллийн утгыг аравтын бутархай хэлбэрээр авах хэрэгтэй бөгөөд бид үүнийг нийтлэлд хэрхэн хийхийг танд хэлэх болно. бодит тоонуудын харьцуулалт.
Заримдаа сөрөг тоонуудын өмнө хасах тэмдэг байдаг шиг эерэг тоонуудын өмнө нэмэх тэмдэг тавьдаг. Эдгээр тохиолдолд та +5=5 гэдгийг мэдэх хэрэгтэй. 
гэх мэт. Энэ нь +5 ба 5 гэх мэт. - энэ бол ижил тоо, гэхдээ өөр өөрөөр томилогдсон. Нэмж дурдахад та нэмэх эсвэл хасах тэмдгээр эерэг ба сөрөг тоонуудын тодорхойлолтыг олж болно.
Тодорхойлолт.
Нэмэх тэмдэгтэй тоонуудыг дуудна эерэг, мөн хасах тэмдэгтэй - сөрөг.
Тоонуудыг харьцуулах үндсэн дээр эерэг ба сөрөг тоонуудын өөр нэг тодорхойлолт байдаг. Энэ тодорхойлолтыг өгөхийн тулд координатын шулуун дээрх том тоонд харгалзах цэг нь бага тоотой харгалзах цэгийн баруун талд байрладаг гэдгийг санахад л хангалттай.
Тодорхойлолт.
Эерэг тоонуудтэгээс их тоонууд ба сөрөг тоонуудтэгээс бага тоонууд.
Тиймээс 0 төрлийн эерэг тоог сөрөг тооноос тусгаарладаг.
Мэдээжийн хэрэг, бид эерэг ба сөрөг тоог унших дүрэмд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Хэрэв тоог + эсвэл - тэмдгээр бичсэн бол тэмдгийн нэрийг дуудаж, дараа нь тоог дуудна. Жишээлбэл, +8-ийг найм нэмэх, - хасах нэг цэгийн тавны хоёр гэж уншина. Тэмдгийн нэрс + ба - тохиолдол бүрээс татгалздаггүй. Зөв дуудлагын жишээ бол "а тэнцүү хасах гурав" (хасах гурв биш) хэллэг юм.
Эерэг ба сөрөг тоонуудын тайлбар
Бид эерэг ба сөрөг тоог нэлээд удаан тайлбарлаж байна. Гэсэн хэдий ч тэд ямар утгатай болохыг мэдэх нь сайхан байх болов уу? Энэ асуудлыг авч үзье.
Эерэг тоог ирэх, өсөлт, зарим үнэ цэнийн өсөлт гэх мэтээр тайлбарлаж болно. Сөрөг тоонууд нь эргээд яг эсрэг утгатай - зардал, дутагдал, өр, зарим үнэ цэнийн бууралт гэх мэт. Үүнийг жишээгээр ойлгоцгооё.
Бид 3 зүйлтэй гэж хэлж болно. Энд байгаа эерэг тоо 3 нь бидэнд байгаа зүйлийн тоог харуулж байна. −3 сөрөг тоог хэрхэн тайлбарлах вэ? Жишээлбэл, −3 гэсэн тоо нь бидэнд агуулахад ч байхгүй 3 зүйлийг хэн нэгэнд өгөх ёстой гэсэн үг юм. Үүнтэй адилаар бид кассын машинд 3.45 мянган рубль өгсөн гэж хэлж болно. Энэ нь 3.45 гэсэн тоо нь бидний ирсэнтэй холбоотой юм. Хариуд нь сөрөг тоо -3.45 нь энэ мөнгийг бидэнд олгосон кассын мөнгө буурсаныг илтгэнэ. Энэ нь −3.45 нь зардал юм. Өөр нэг жишээ: 17.3 градусын температурын өсөлтийг эерэг тоо +17.3, температурын бууралтыг 2.4 гэж сөрөг тоогоор тайлбарлаж болно, температурын өөрчлөлт -2.4 градус байна.
Төрөл бүрийн хэмжих хэрэгслийн тодорхой хэмжигдэхүүний утгыг тодорхойлоход эерэг ба сөрөг тоонуудыг ихэвчлэн ашигладаг. Хамгийн хүртээмжтэй жишээ бол температурыг хэмжих төхөөрөмж - термометр - эерэг ба сөрөг тоог хоёуланг нь бичсэн хуваарьтай. Ихэнхдээ сөрөг тоог цэнхэр өнгөөр дүрсэлсэн байдаг (энэ нь цас, мөс, цельсийн 0 хэмээс доош температурт ус хөлдөж эхэлдэг), эерэг тоог улаан өнгөөр (галын өнгө, нар; 0 хэмээс дээш температурт) дүрсэлсэн байдаг. , мөс хайлж эхэлдэг). Эерэг ба сөрөг тоог улаан, цэнхэр өнгөөр бичих нь тоонуудын тэмдгийг тодруулах шаардлагатай бусад тохиолдолд бас ашиглагддаг.
Лавлагаа.
- Виленкин Н.Я. болон бусад. 6-р анги: Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг.
Денис маш олон чихэртэй - бүхэл бүтэн том хайрцагтай гэж бодъё. Эхлээд Денис 3 чихэр идсэн. Дараа нь аав Денисэд 5 чихэр өгсөн. Дараа нь Денис Матвейд 9 ширхэг чихэр өглөө. Эцэст нь ээж Денист 6 чихэр өглөө. Асуулт: Денис эхэндээ байснаасаа их юмуу бага чихэртэй болсон уу? Илүү их бол хэд нь илүү вэ? Хэрэв бага бол хэдээр бага вэ?
Энэ даалгаварт андуурахгүйн тулд нэг заль мэхийг ашиглах нь тохиромжтой. Нөхцөлөөс бүх тоог дараалан бичье. Үүний зэрэгцээ бид Денисийн чихэр хэр их байгааг харуулсан тоонуудын өмнө "+" тэмдэг, Денис хэр их чихэр багассаныг харуулсан тоонуудын өмнө "-" тэмдэг тавина. Дараа нь бүх нөхцөлийг маш товчхон бичнэ.
− 3 + 5 − 9 + 6.
Жишээлбэл, энэ оруулгыг дараах байдлаар уншиж болно: "Эхлээд Денис хасах гурван чихэр авсан. Дараа нь таван чихэр нэмнэ. Дараа нь хасах есөн чихэр. Тэгээд эцэст нь зургаан чихэр нэмсэн." “Хасах” гэдэг үг хэллэгийн утгыг яг эсрэгээр нь өөрчилдөг. Би: "Денис хасах гурван чихэр авсан" гэж хэлэхэд энэ нь үнэндээ Денис гурван чихэр алдсан гэсэн үг юм. "Нэмэх" гэдэг үг нь эсрэгээрээ хэллэгийн утгыг баталж байна. "Денис таван чихэр хүлээн авлаа" гэдэг нь "Денис таван чихэр авсан" гэдэгтэй ижил утгатай.
Тиймээс эхлээд Денис хасах гурван чихэр авсан. Энэ нь Денис одоо эхэндээ байснаасаа хасах гурван чихэртэй болсон гэсэн үг. Товчхондоо бид: Денис хасах гурван чихэртэй гэж хэлж болно.
Дараа нь Денис таван чихэр авчээ. Денис одоо өөр хоёр чихэртэй болохыг ойлгоход амархан. гэсэн үг,
− 3 + 5 = + 2.
Дараа нь Денис хасах есөн чихэр авсан. Түүнд хэдэн чихэр байсан нь энэ:
− 3 + 5 − 9 = + 2 − 9 = − 7.
Эцэст нь Денис +6 чихэр авсан. Мөн чихрийн нийт тоо:
− 3 + 5 − 9 + 6 = + 2 − 9 + 6 = − 7 + 6 = − 1.
Энгийн хэлээр бол энэ нь эцэст нь Денис эхнээсээ нэг чихэр багатай болсон гэсэн үг юм. Асуудал шийдэгдсэн.
"+" эсвэл "-" тэмдэг бүхий заль мэх маш өргөн хэрэглэгддэг. "+" тэмдэгтэй тоонуудыг дууддаг эерэг. "-" тэмдэгтэй тоонуудыг дууддаг сөрөг. 0 (тэг) тоо нь эерэг ч биш, сөрөг ч биш, учир нь +0 нь −0-ээс ялгаатай биш юм. Тиймээс бид цувралын тоонуудтай харьцаж байна
..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...
Ийм тоонуудыг дууддаг бүхэл тоо. Огт тэмдэггүй, өнөөг хүртэл бидэнтэй харьцсан тоонуудыг дууддаг натурал тоонууд(натурал тоонд зөвхөн тэг хамаарахгүй).
Бүхэл тоонуудыг шат дээрх шат гэж ойлгож болно. Тэг тоо нь гудамжтай ижилхэн буух газар юм. Эндээс та шат шатандаа өгсөж, илүү өндөр давхарт гарч болно, эсвэл та хонгил руу бууж болно. Бид подвалд орох шаардлагагүй л бол натурал тоо, тэг байхад л хангалттай. Натурал тоо нь эерэг бүхэл тоотой үндсэндээ адилхан.
Хатуухан хэлэхэд бүхэл тоо нь шатаар өгсөх тушаал биш харин шатаар өгсөх тушаал юм. Жишээлбэл, +3 тоо нь гурван шатаар өгсөх ёстой, −5 тоо нь таван шат уруудах ёстой гэсэн үг юм. Энгийнээр хэлэхэд командыг алхамын тоо болгон авдаг бөгөөд хэрэв бид тэг түвшнээс хөдөлж эхэлбэл өгөгдсөн алхам руу шилжих болно.
Бүхэл тоогоор тооцооллыг зүгээр л оюун ухаанаараа дээш доош үсрэх замаар хийхэд хялбар байдаг - мэдээжийн хэрэг та маш том үсрэлт хийх шаардлагагүй бол. Гэхдээ зуу ба түүнээс дээш алхам үсрэх шаардлагатай бол яах вэ? Эцсийн эцэст бид ийм урт шат зурахгүй!
Гэхдээ яагаад болохгүй гэж? Бид урт шатыг маш хол зайнаас зурж чаддаг тул бие даасан алхмууд нь ялгагдахааргүй болсон. Дараа нь бидний шат зүгээр л нэг шулуун шугам болж хувирна. Хуудас дээр байрлуулахад илүү тохиромжтой болгохын тулд үүнийг хазайлгүйгээр зурж, 0-р алхамын байрлалыг тусад нь тэмдэглэе.
Эхлээд утгыг нь тооцоолж чадсан хэллэгүүдийн жишээг ашиглан ийм шулуун шугамын дагуу хэрхэн үсрэхийг сурцгаая. Үүнийг олохыг шаарддаг
Хатуухан хэлэхэд бид бүхэл тоонуудтай харьцаж байгаа тул бичих хэрэгтэй
Гэхдээ мөрийн эхэнд байгаа эерэг тоо нь ихэвчлэн "+" тэмдэггүй байдаг. Шатаар үсрэх нь иймэрхүү харагдаж байна.
Шугамын дээгүүр зурсан хоёр том үсрэлтийн оронд (+42 ба +53) шугамаас доош нэг үсрэлт хийж болно, энэ үсрэлтийн урт нь мэдээжийн хэрэг тэнцүү байна.
Математикийн хэлээр ийм төрлийн зургийг ихэвчлэн диаграмм гэж нэрлэдэг. Бидний ердийн хасах жишээний диаграмм иймэрхүү харагдаж байна:
Эхлээд бид баруун тийш том үсрэлт хийсэн, дараа нь зүүн тийшээ жижиг үсрэлт хийсэн. Үүний үр дүнд бид тэгийн баруун талд үлдсэн. Гэхдээ өөр нөхцөл байдал бас боломжтой, жишээлбэл, илэрхийлэлийн хувьд
Энэ удаад баруун тийш үсрэх нь зүүн тийш үсрэхээс богино байв: бид тэгээс дээш нисч, сөрөг тоотой алхамууд байрладаг "подвалд" оров. Зүүн тийшээ үсрэлтээ сайтар харцгаая. Нийтдээ бид 95 шат авирсан. Бид 53 шат өгсөөд 0-д хүрсэн. Үүний дараа бид хэдэн шат өгссөн бэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. За, мэдээжийн хэрэг
Тиймээс бид 0-р алхам дээр очоод дахиад 42 шат уруудсан нь эцэст нь −42-р алхамд хүрсэн гэсэн үг. Тэгэхээр,
53 − 95 = −(95 − 53) = −42.
Үүний нэгэн адил диаграмм зурах замаар үүнийг тогтооход хялбар байдаг
−42 − 53 = −(42 + 53) = −95;
−95 + 53 = −(95 − 53) = −42;
тэгээд эцэст нь
−53 + 95 = 95 − 53 = 42.
Ингэж бид бүхэл тоон шатаар чөлөөтэй явж сурсан.
Одоо энэ асуудлыг авч үзье. Денис, Матвей хоёр чихрийн цаас солилцдог. Эхлээд Денис Матвейд 3 ширхэг чихрийн боодол өгч, дараа нь түүнээс 5 ширхэг чихрийн цаас авчээ. Матвей эцэст нь хэдэн чихрийн цаас авсан бэ?
Гэхдээ Денис 2 чихрийн цаас хүлээн авснаас хойш Матвей -2 чихрийн цаас авсан. Бид Денисийн ашиг дээр хасахыг нэмж, Матвейгийн ашгийг авсан. Бидний шийдлийг нэг илэрхийлэл хэлбэрээр бичиж болно
−(−3 + 5) = −2.
Энд бүх зүйл энгийн. Гэхдээ асуудлын мэдэгдлийг бага зэрэг өөрчилье. Денис эхлээд Матвейд 5 ширхэг чихрийн боодол өгөөд, дараа нь түүнээс 3 ширхэг чихрийн цаас ав. Дахиад асуулт бол Матвей эцэст нь хэдэн чихрийн цаас авсан бэ?
Дахин хэлэхэд эхлээд Денисийн "ашиг"-ыг тооцоолъё:
−5 + 3 = −2.
Энэ нь Матвей 2 чихрийн цаас авсан гэсэн үг. Харин одоо бид шийдвэрээ нэг илэрхийлэл болгон яаж бичих вэ? Эерэг тоо 2 гарахын тулд сөрөг тоо −2 дээр юу нэмэх вэ? Энэ удаад бид хасах тэмдэг оноох хэрэгтэй болж байна. Математикчид нэгдмэл байдалд их дуртай. Тэд ижил төстэй асуудлын шийдлийг ижил төстэй илэрхийлэл хэлбэрээр бичихийг хичээдэг. Энэ тохиолдолд шийдэл нь дараах байдалтай байна.
−(−5 + 3) = −(−2) = +2.
Математикчид ингэж санал нэгджээ: хэрэв та эерэг тоон дээр хасахыг нэмбэл энэ нь сөрөг болж, сөрөг тоонд хасах нь эерэг тоо болж хувирдаг. Энэ бол маш логик юм. Эцсийн эцэст, хоёр шатыг хасвал дээшээ хоёр шат нэмсэнтэй адил юм. Тэгэхээр,
−(+2) = −2;
−(−2) = +2.
Зургийг дуусгахын тулд бид бас тэмдэглэж байна
+(+2) = +2;
+(−2) = −2.
Энэ нь бидэнд эртнээс танил болсон зүйлсийг шинээр харах боломжийг олгодог. Илэрхийлэлийг өгье
Энэ оруулгын утгыг янз бүрээр төсөөлж болно. Та хуучин хэв маягаар эерэг тоо +5-аас эерэг тоо +3 хасагдсан гэж үзэж болно.
Энэ тохиолдолд +5 гэж нэрлэдэг бууруулах боломжтой, +3 - хасагдах боломжтой, мөн илэрхийлэл нь бүхэлдээ байна ялгаа. Сургуульд яг ийм зүйл заадаг. Харин “багасгах”, “хасах” гэдэг үгийг сургуулиас өөр хаана ч хэрэглэдэггүй бөгөөд эцсийн шалгалтын дараа мартагддаг. Үүнтэй ижил тэмдэглэгээний талаар бид +5 эерэг тоонд −3 сөрөг тоог нэмсэн гэж хэлж болно.
+5 ба −3 тоонуудыг дуудна нөхцөл, мөн илэрхийлэл нь бүхэлдээ байна хэмжээ. Энэ нийлбэрт ердөө хоёр гишүүн байгаа боловч ерөнхийдөө нийлбэр нь таны хүссэнээр олон гишүүнээс бүрдэж болно. Үүний нэгэн адил илэрхийлэл
тэнцүү эрхтэй хоёр эерэг тооны нийлбэр гэж үзэж болно:
эерэг ба сөрөг тоонуудын ялгаа:
(+5) − (−3).
Бид бүхэл тоотой танилцсаны дараа хаалт нээх дүрмийг тодорхой болгох нь гарцаагүй. Хэрэв хаалтны өмнө "+" тэмдэг байгаа бол ийм хаалтуудыг зүгээр л арилгаж болох бөгөөд тэдгээрийн доторх бүх тоонууд тэмдгүүдээ хадгална, жишээлбэл:
+(+2) = +2;
+(−2) = −2;
+(−3 + 5) = −3 + 5;
+(−3 − 5) = −3 − 5;
+(5 − 3) = 5 − 3
гэх мэт.
Хэрэв хаалтны өмнө "-" тэмдэг байгаа бол хаалтыг арилгахдаа бид бүх тоонуудын тэмдгийг өөрчлөх ёстой.
−(+2) = −2;
−(−2) = +2;
−(−3 + 5) = +3 − 5 = 3 − 5;
−(−3 − 5) = +3 + 5 = 3 + 5;
−(5 − 3) = −(+5 − 3) = −5 + 3;
гэх мэт.
Үүний зэрэгцээ Денис, Матвей хоёрын хооронд чихрийн цаас солилцох асуудлыг санах нь зүйтэй. Жишээлбэл, сүүлийн мөрийг ингэж авч болно. Денис эхлээд Матвейгээс 5 ширхэг чихрийн цаас, дараа нь -3 ширхэг цаас авсан гэж бид үзэж байна. Денис нийтдээ 5 − 3 ширхэг чихрийн цаас, Матвей ижил тооны чихэр, харин эсрэг тэмдэгтэй, өөрөөр хэлбэл − (5 − 3) чихрийн цаас авчээ. Гэхдээ Денисийг хүлээн авах болгонд Матвей өгдөг гэдгийг санаарай, энэ асуудлыг өөр аргаар шийдэж болно. Энэ нь Матвей эхлээд −5 чихрийн цаас, дараа нь өөр +3 авсан гэсэн үг бөгөөд эцэст нь −5 + 3 өгдөг.
Натурал тоонуудын нэгэн адил бүхэл тоог бие биетэйгээ харьцуулж болно. Жишээлбэл, аль тоо нь илүү вэ: −3 эсвэл −1 гэсэн асуултыг асууя. Бүхэл тоо бүхий шатыг харцгаая, −1 нь −3-аас их, тиймээс −3 нь −1-ээс бага гэдэг нь шууд тодорхой болно.
−1 > −3;
−3 < −1.
Одоо тодруулъя: −1 нь −3-аас хэр их вэ? Өөрөөр хэлбэл −3 шатнаас −1 шат руу шилжихийн тулд хэдэн шатаар авирах шаардлагатай вэ? Энэ асуултын хариултыг −1 ба −3 тоонуудын зөрүүгээр бичиж болно.
− 1 − (−3) = −1 + 3 = 3 − 1 = 2.
Алхам дээш үсэрч, энэ нь тийм эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Энд бас нэг сонирхолтой асуулт байна: 3-ын тоо 5-аас хэд дахин их вэ? Эсвэл аль нь адилхан вэ: 5-р шатнаас 3-р шат руу шилжихийн тулд хэдэн шат өгсөх шаардлагатай вэ? Саяхныг хүртэл энэ асуулт биднийг гайхшруулж байсан. Гэхдээ одоо бид хариултыг хялбархан бичиж болно:
3 − 5 = − 2.
Үнэхээр, хэрэв бид 5-р алхам дээр байгаа бөгөөд өөр −2 шат өгсөх юм бол бид яг 3-р алхам дээр дуусна.
Даалгаврууд
2.3.1. Дараах хэллэгүүд ямар утгатай вэ?
Денис аавдаа хасах гурван чихэр өгсөн.
Матвей Денисээс хасах хоёр насаар ах.
Манай байр руу орохын тулд хоёр давхраас доош буух хэрэгтэй.
2.3.2. Ийм хэллэгүүд утга учиртай юу?
Денис хасах гурван чихэртэй.
Хасах хоёр үхэр нугад бэлчиж байна.
Сэтгэгдэл.Энэ асуудалд өвөрмөц шийдэл байдаггүй. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр мэдэгдлийг утгагүй гэж хэлэхэд алдаа болохгүй. Үүний зэрэгцээ тэдэнд маш тодорхой утгыг өгч болно. Денис амттанаар дүүрэн том хайрцагтай байсан гэж бодъё, гэхдээ энэ хайрцагны агуулгыг тооцохгүй. Эсвэл сүргийн хоёр үнээ нугад бэлчээрлэхээр гараагүй, яагаад ч юм саравчинд үлдсэн гэж бодъё. Хамгийн танил хэллэг ч гэсэн хоёрдмол утгатай байж болно гэдгийг санах нь зүйтэй.
Денис гурван чихэртэй.
Энэ мэдэгдэл Денис өөр газар нуусан асар том хайрцаг чихэртэй байхыг үгүйсгэхгүй, гэхдээ тэдгээр чихэр зүгээр л чимээгүй байна. Үүнтэй адилаар би "Надад таван рубль байна" гэж хэлэхэд энэ бол миний бүх хөрөнгө гэж хэлэхгүй.
2.3.3. Царцаа Денисийн байр байрладаг шалнаас эхлэн шатаар үсэрдэг. Эхлээд тэр 2 алхам доошоо үсэрч, дараа нь 5 алхам дээш, эцэст нь 7 алхам доошоо харайв. Царцаа хэдэн алхам, ямар чиглэлд хөдөлсөн бэ?
2.3.4. Илэрхийллийн утгыг ол:
− 6 + 10;
− 28 + 76;
гэх мэт.
− 6 + 10 = 10 − 6 = 4.
2.3.5. Илэрхийллийн утгыг ол:
8 − 20;
34 − 98;
гэх мэт.
8 − 20 = − (20 − 8) = − 12.
2.3.6. Илэрхийллийн утгыг ол:
− 4 − 13;
− 48 − 53;
гэх мэт.
− 4 − 13 = − (4 + 13) = − 17.
2.3.7. Дараах илэрхийллүүдийн хувьд хаалтанд заасан дарааллаар тооцоолол хийж утгыг олоорой. Дараа нь хашилтыг нээж, илэрхийллийн утга ижил хэвээр байгаа эсэхийг шалгаарай. Ингэж шийдэж болох чихрийн талаар асуудал зохио.
25 − (−10 + 4);
25 + (− 4 + 10);
гэх мэт.
25 − (− 10 + 4) = 25 − (−(10 − 4)) = 25 − (−6) = 25 + 6 = 31.
25 − (− 10 + 4) = 25 + 10 − 4 = 35 − 4 = 31.
"Денис 25 чихэртэй байсан. Тэр аавдаа арван чихэр, Матвей дөрвөн чихэр өгсөн. Түүнд хэдэн чихэр байсан бэ?
Эерэг ба сөрөг тоо
Координатын шугам
Шууд явцгаая. Үүн дээр 0 (тэг) цэгийг тэмдэглээд энэ цэгийг эхлэлийн цэг болгон авцгаая.
Бид координатын гарал үүслээс баруун тийш шулуун шугамаар хөдөлгөөний чиглэлийг сумаар зааж өгдөг. Энэ чиглэлд 0 цэгээс бид эерэг тоонуудыг зурах болно.
Өөрөөр хэлбэл, тэгээс бусад бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан тоонуудыг эерэг гэж нэрлэдэг.
Заримдаа эерэг тоог "+" тэмдгээр бичдэг. Жишээлбэл, "+8".
Товчхондоо эерэг тооны өмнөх "+" тэмдгийг орхигдуулдаг бөгөөд "+8"-ийн оронд зүгээр л 8 гэж бичдэг.
Тиймээс "+3" ба "3" нь ижил тоо бөгөөд зөвхөн өөр өөрөөр тэмдэглэгдсэн байдаг.
Уртыг нь нэг болгон авч, 0 цэгээс баруун тийш хэд хэдэн удаа хөдөлгөж байгаа хэрчмийг сонгоцгооё. Эхний сегментийн төгсгөлд 1-ийн тоо, хоёр дахь хэсгийн төгсгөлд 2-ын тоо гэх мэтийг бичнэ. 
Нэгж сегментийг гарал үүслээс зүүн тийш нь тавьснаар бид сөрөг тоонуудыг авна: -1; -2; гэх мэт.
Сөрөг тоонуудтемператур (тэгээс доош), урсгал - сөрөг орлого, гүн - сөрөг өндөр гэх мэт янз бүрийн хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэхэд ашигладаг.
Зургаас харахад сөрөг тоонууд нь бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байгаа тоонууд бөгөөд зөвхөн хасах тэмдэгтэй: -8; -5.25 гэх мэт.
- 0 тоо эерэг ч биш сөрөг ч биш.
Тоон тэнхлэг нь ихэвчлэн хэвтээ эсвэл босоо байрлалтай байдаг.
Хэрэв координатын шугам нь босоо байрлалтай бол эхээс дээш чиглэсэн чиглэлийг ихэвчлэн эерэг, эхээс доош чиглэсэн чиглэлийг сөрөг гэж үздэг.
Сум нь эерэг чиглэлийг заана.
Шулуун шугамыг тэмдэглэв:
. гарал үүсэл (0 цэг);
. нэгж сегмент;
. сум нь эерэг чиглэлийг заана;
дуудсан координатын шугам
эсвэл тооны тэнхлэг.
Координатын шулуун дээрх эсрэг тоо
Баруун болон зүүн талын 0 цэгээс ижил зайд байрлах координатын шулуун дээр А ба В хоёр цэгийг тэмдэглэе.
Энэ тохиолдолд OA ба OB сегментүүдийн урт ижил байна.
Энэ нь А ба В цэгүүдийн координатууд зөвхөн тэмдгээр ялгаатай гэсэн үг юм. 
Мөн А ба В цэгүүд нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй гэж үздэг.
А цэгийн координат эерэг “+2”, В цэгийн координат “-2” хасах тэмдэгтэй байна.
A (+2), B (-2).
- Зөвхөн тэмдгээр ялгаатай тоонуудыг эсрэг тоо гэж нэрлэдэг. Тоон (координат) тэнхлэгийн харгалзах цэгүүд нь гарал үүсэлтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.
Тоо бүр зөвхөн нэг эсрэг тоо байна. Зөвхөн 0 тоо нь эсрэг талтай байдаггүй, гэхдээ энэ нь өөрөө эсрэг утгатай гэж хэлж болно.
"-a" гэсэн тэмдэглэгээ нь "a"-ын эсрэг тоог илэрхийлнэ. Үсэг нь эерэг тоо эсвэл сөрөг тоог нууж болно гэдгийг санаарай.
Жишээ:
-3 нь 3-ын эсрэг тоо юм.
Бид үүнийг илэрхийлэл болгон бичдэг:
-3 = -(+3)
Жишээ:
-(-6) нь сөрөг тоо -6-ын эсрэг тоо юм. Тэгэхээр -(-6) эерэг тоо 6 байна.
Бид үүнийг илэрхийлэл болгон бичдэг:
-(-6) = 6
Сөрөг тоонуудыг нэмэх
Эерэг ба сөрөг тоог нэмэхэд тоон шугамыг ашиглан дүн шинжилгээ хийж болно.
Тооны тэнхлэгийн дагуу тоог тэмдэглэсэн цэг хэрхэн хөдөлж байгааг оюун ухаанаараа төсөөлж, координатын шулуун дээр жижиг модулийн тоог нэмэх нь тохиромжтой.
Зарим тоог авч үзье, жишээ нь 3. Тооны тэнхлэг дээр А цэгээр тэмдэглэе.
Энэ тоон дээр 2-ын эерэг тоог нэмье. Энэ нь А цэгийг эерэг чиглэлд, өөрөөр хэлбэл баруун тийш хоёр нэгжээр шилжүүлэх ёстой гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бид координат 5-тай В цэгийг авна.
3 + (+ 2) = 5
Эерэг тоонд сөрөг тоог (- 5) нэмэхийн тулд, жишээлбэл, 3, А цэгийг сөрөг чиглэлд 5 нэгж урт, өөрөөр хэлбэл зүүн тийш шилжүүлэх шаардлагатай.
Энэ тохиолдолд В цэгийн координат нь - 2 байна.
Тиймээс тооны шугамыг ашиглан рационал тоог нэмэх дараалал дараах байдалтай байна.
. координатын шугам дээрх А цэгийг эхний гишүүнтэй тэнцүү координатаар тэмдэглэх;
. хоёр дахь тооны урд талын тэмдэгт тохирох чиглэлд хоёр дахь гишүүний модультай тэнцүү зайд шилжүүлнэ (нэмэх - баруун тийш, хасах - зүүн тийш);
. тэнхлэг дээр олж авсан В цэг нь эдгээр тоонуудын нийлбэртэй тэнцүү координаттай болно.
Жишээ.
- 2 + (- 6) =
2 цэгээс зүүн тийш (6-ын урд хасах тэмдэг байгаа тул) бид 8-ыг авна.
- 2 + (- 6) = - 8
Ижил тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэх
Хэрэв та модулийн ойлголтыг ашиглавал оновчтой тоог нэмэх нь илүү хялбар болно.
Бид ижил тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэх хэрэгтэй.
Үүнийг хийхийн тулд бид тоонуудын тэмдгүүдийг хаяж, эдгээр тоонуудын модулийг авдаг. Модулиудыг нэмж, эдгээр тоонуудад нийтлэг байсан нийлбэрийн өмнө тэмдэг тавьцгаая.
Жишээ. 
Сөрөг тоог нэмэх жишээ.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5
- Ижил тэмдгийн тоог нэмэхийн тулд тэдгээрийн модулиудыг нэмж, нийлбэрийн өмнө нэр томъёоны өмнө байсан тэмдгийг тавих хэрэгтэй.
Өөр өөр тэмдэгтэй тоонуудыг нэмэх
Хэрэв тоонууд өөр өөр тэмдэгтэй бол бид ижил тэмдэгтэй тоог нэмэхээс арай өөрөөр ажилладаг.
. Бид тоонуудын урд байгаа тэмдгүүдийг хаядаг, өөрөөр хэлбэл модулиудыг нь авдаг.
. Том модулиас бид жижиг модулийг хасна.
. Ялгаанаас өмнө бид илүү том модультай тоонд байсан тэмдгийг тавьдаг.
Сөрөг ба эерэг тоог нэмэх жишээ.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5
Холимог тоог нэмэх жишээ.
Өөр өөр тэмдгүүдийн тоог нэмэхийн тулд танд хэрэгтэй:
. том модулиас жижиг модулийг хасах;
. Үүссэн зөрүүний өмнө том модультай тооны тэмдгийг тавина.
Сөрөг тоог хасах
Та бүхний мэдэж байгаагаар хасах үйлдэл нь нэмэхийн эсрэг үйлдэл юм.
Хэрэв a ба b нь эерэг тоо бол а тооноос b тоог хасвал b тоонд нэмэхэд а тоо гарах c тоог олно гэсэн үг.
a - b = c эсвэл c + b = a
Хасах үйлдлийн тодорхойлолт нь бүх рационал тоонуудын хувьд үнэн юм. Тэр нь эерэг ба сөрөг тоог хасахнэмэлтээр сольж болно.
- Нэг тооноос өөр тоог хасахын тулд хасагдаж байгаа тоон дээр эсрэг тоог нэмэх хэрэгтэй.
Эсвэл өөрөөр хэлбэл, b тоог хасах нь нэмэхтэй адил боловч b-ийн эсрэг тоо гэж хэлж болно.
a - b = a + (- b)
Жишээ.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Жишээ.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
- Доорх илэрхийллүүдийг санах нь зүйтэй.
- 0 - a = - a
- a - 0 = a
- a - a = 0
Сөрөг тоог хасах дүрэм
Дээрх жишээнүүдээс харахад b тоог хасах нь b-ийн эсрэг тоотой нэмэх юм.
Энэ дүрэм нь зөвхөн том тооноос бага тоог хасах үед үнэн зөв байхаас гадна жижиг тооноос их тоог хасах боломжийг олгодог, өөрөөр хэлбэл та хоёр тооны зөрүүг үргэлж олох боломжтой.
Ялгаа нь эерэг тоо, сөрөг тоо эсвэл тэг тоо байж болно.
Сөрөг ба эерэг тоог хасах жишээ.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Хаалтны тоог багасгах боломжийг олгодог тэмдгийн дүрмийг санах нь тохиромжтой.
Нэмэх тэмдэг нь тооны тэмдгийг өөрчилдөггүй тул хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байвал хаалтанд байгаа тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Хаалтны өмнөх хасах тэмдэг нь хаалтанд байгаа тооны тэмдгийг эргүүлнэ.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Тэнцүү байдлаас харахад хаалтны өмнө болон дотор ижил тэмдэг байвал бид "+" авах бөгөөд тэмдэг нь өөр байвал "-" авна.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Тэмдгийн дүрэм нь хаалтанд нэг тоо биш, харин тоонуудын алгебрийн нийлбэрийг агуулсан байсан ч гэсэн хадгалагдана.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Хэрэв хаалтанд хэд хэдэн тоо байгаа бөгөөд хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа бол эдгээр хаалтанд байгаа бүх тооны урд талын тэмдэг өөрчлөгдөх ёстойг анхаарна уу.
Тэмдгийн дүрмийг санахын тулд та тооны тэмдгийг тодорхойлох хүснэгт үүсгэж болно.
Тоонуудын гарын үсэг зурах дүрэм
Эсвэл энгийн дүрмийг сур.
- Хоёр сөрөг нь эерэг болгодог,
- Нэмэх үрийг хасах нь хасах тэнцүү.
Сөрөг тоог үржүүлэх
Тооны модулийн тухай ойлголтыг ашиглан бид эерэг ба сөрөг тоог үржүүлэх дүрмийг томъёолдог.
Ижил тэмдэгтэй тоонуудыг үржүүлэх
Таны тулгарч болох хамгийн эхний тохиолдол бол ижил тэмдэгтэй тоог үржүүлэх явдал юм.
Ижил тэмдэгтэй хоёр тоог үржүүлэхийн тулд:
. тооны модулиудыг үржүүлэх;
. гарсан бүтээгдэхүүний өмнө "+" тэмдэг тавина (хариултыг бичихдээ зүүн талын эхний тооны өмнөх "нэмэх" тэмдгийг орхиж болно).
Сөрөг ба эерэг тоог үржүүлэх жишээ.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6
Өөр өөр тэмдэг бүхий тоог үржүүлэх
Хоёрдахь боломжит тохиолдол бол өөр өөр тэмдэг бүхий тоог үржүүлэх явдал юм.
Өөр өөр тэмдэгтэй хоёр тоог үржүүлэхийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.
. тооны модулиудыг үржүүлэх;
. Үүссэн ажлын өмнө "-" тэмдэг тавина.
Сөрөг ба эерэг тоог үржүүлэх жишээ.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4
Үржүүлэх тэмдгийн дүрэм
Үржүүлэх тэмдгийн дүрмийг санах нь маш энгийн. Энэ дүрэм нь хаалт нээх дүрэмтэй давхцаж байна.
- Хоёр сөрөг нь эерэг болгодог,
- Нэмэх үрийг хасах нь хасах тэнцүү.
Зөвхөн үржүүлэх үйлдэлтэй "урт" жишээнүүдэд бүтээгдэхүүний тэмдгийг сөрөг хүчин зүйлийн тоогоор тодорхойлж болно.
At бүрсөрөг хүчин зүйлсийн тоо, үр дүн нь эерэг байх болно, мөн хамт хачинтоо хэмжээ - сөрөг.
Жишээ.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =
Жишээнд таван сөрөг хүчин зүйл байна. Энэ нь үр дүнгийн тэмдэг нь "хасах" болно гэсэн үг юм.
Одоо тэмдгүүдэд анхаарал хандуулахгүйгээр модулийн үржвэрийг тооцоолъё.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728
Анхны тоог үржүүлсний эцсийн үр дүн нь:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728
Тэг ба нэгээр үржүүлэх
Хэрэв хүчин зүйлсийн дунд тэг эсвэл эерэг тоо байгаа бол үржүүлгийг мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу гүйцэтгэнэ.
. 0 . a = 0
. а. 0 = 0
. а. 1 = a
Жишээ нь:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Сөрөг (- 1) нь оновчтой тоог үржүүлэхэд онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг.
- (- 1) -ээр үржүүлбэл тоо нь эсрэгээрээ байна.
Шууд утгаараа энэ шинж чанарыг дараах байдлаар бичиж болно.
а. (- 1) = (- 1) . a = - a
Рационал тоог хамтад нь нэмэх, хасах, үржүүлэхдээ эерэг тоо ба тэг дээр тогтоосон үйлдлийн дарааллыг хадгална.
Сөрөг ба эерэг тоог үржүүлэх жишээ.
Сөрөг тоог хуваах
Хуваах нь үржүүлэхийн урвуу гэдгийг санах нь сөрөг тоог хэрхэн хуваахыг ойлгоход хялбар байдаг.
Хэрэв a ба b нь эерэг тоо бол a тоог b тоонд хуваах нь b-ээр үржүүлэхэд а тоог гаргах c тоог олно гэсэн үг юм.
Хуваагчдын энэ тодорхойлолт нь хуваагч нь 0 биш байвал ямар ч рационал тоонд хамаарна.
Тиймээс жишээлбэл, (- 15) тоог 5-д хуваах нь 5-ын тоогоор үржүүлснээр (- 15) тоог гаргах тоог олно гэсэн үг юм. Энэ тоо (- 3) байх болно
(- 3) . 5 = - 15
гэсэн үг
(- 15) : 5 = - 3
Рационал тоог хуваах жишээ.
1. 10: 5 = 2, 2-оос хойш. 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, 2-оос хойш. (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, учир нь (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, учир нь (- 3) . (- 4) = 12
Жишээнүүдээс харахад ижил тэмдэгтэй хоёр тооны хуваалт нь эерэг тоо (жишээ 1, 2), өөр өөр тэмдэгтэй хоёр тооны харьцаа нь сөрөг тоо (жишээ 3,4) байх нь тодорхой байна.
Сөрөг тоог хуваах дүрэм
Хуваагчийн модулийг олохын тулд та ногдол ашгийн модулийг хуваагчийн модульд хуваах хэрэгтэй.
Тиймээс ижил тэмдэгтэй хоёр тоог хуваахын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.
. Үр дүнгийн өмнө "+" тэмдэг тавина.
Ижил тэмдэгтэй тоог хуваах жишээ:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2
Өөр өөр тэмдэг бүхий хоёр тоог хуваахын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.
. ногдол ашгийн модулийг хуваагчийн модульд хуваах;
. Үр дүнгийн өмнө "-" тэмдэг тавина.
Өөр өөр тэмдэгтэй тоог хуваах жишээ:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Мөн та дараах хүснэгтийг ашиглан хуваах тэмдгийг тодорхойлж болно.
Хуваах тэмдгийн дүрэм
Зөвхөн үржүүлэх, хуваах үйлдэл гардаг "урт" хэллэгийг тооцоолохдоо тэмдгийн дүрмийг ашиглах нь маш тохиромжтой. Жишээлбэл, бутархайг тооцоолох
Тоолуур нь 2 хасах тэмдэгтэй бөгөөд үржүүлснээр нэмэх тэмдэг өгнө гэдгийг анхаарна уу. Мөн хуваарьт гурван хасах тэмдэг байгаа бөгөөд үржүүлснээр хасах тэмдэг гарна. Тиймээс эцэст нь үр дүн нь хасах тэмдэгтэй болно.
Бутархайг багасгах (тоонуудын модулиудтай цаашдын үйлдлүүд) нь өмнөхтэй ижил аргаар хийгддэг.
- Тэгээс өөр тоонд хуваасан тэгийн коэффициент нь тэг болно.
- 0: a = 0, a ≠ 0
- Та тэгээр хувааж ЧАДАХГҮЙ!
Нэгд хуваах урьд нь мэдэгдэж байсан бүх дүрэм нь рационал тоонуудын багцад мөн хамаарна.
. a: 1 = a
. a: (- 1) = - a
. a: a = 1
, энд a нь дурын рационал тоо.
Эерэг тоогоор алдартай үржүүлэх, хуваах үр дүнгийн хоорондын хамаарал нь бүх оновчтой тоонуудын хувьд ижил хэвээр байна (тэгээс бусад):
. хэрэв а. b = c; a = c: b; b = c: a;
. хэрэв a: b = c; a = c. б; b = a: c
Эдгээр хамаарал нь үл мэдэгдэх хүчин зүйл, ногдол ашиг, хуваагчийг (тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед), үржүүлэх, хуваах үр дүнг шалгахад ашигладаг.
Үл мэдэгдэх зүйлийг олох жишээ.
x. (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2
Бутархайн дотор хасах тэмдэг
(- 5) тоог 6-д, 5-ыг (- 6) хуваана.
Энгийн бутархайн тэмдэглэгээн дэх мөр нь ижил хуваах тэмдэгтэй гэдгийг бид танд сануулж, эдгээр үйлдэл бүрийн хуваалтыг сөрөг бутархай хэлбэрээр бичдэг.
Тиймээс бутархай дахь хасах тэмдэг нь дараахь байж болно.
. бутархайн өмнө;
. тоологч дотор;
. хуваарьт. 
- Сөрөг бутархай бичихдээ хасах тэмдгийг бутархайн урд байрлуулж, хуваагчаас хуваагч руу эсвэл хуваагчаас хуваагч руу шилжүүлж болно.
Энэ нь ихэвчлэн бутархайтай ажиллахад хэрэглэгддэг тул тооцооллыг хөнгөвчлөх болно.
Жишээ. Хаалтны өмнө хасах тэмдгийг тавьсны дараа бид өөр өөр тэмдэгтэй тоог нэмэх дүрмийн дагуу том модулиас жижиг хэсгийг хасдаг болохыг анхаарна уу. 
Бутархайд тэмдэг шилжүүлэх тайлбарласан шинж чанарыг ашигласнаар та өгөгдсөн бутархайн аль нь илүү модультай болохыг олж мэдэхгүйгээр ажиллаж болно.
Өмнөх Ассемблер хэлний хичээлүүдээс бид процессор нь хоёртын тоогоор ажилладаг бөгөөд эдгээр тоо нь эерэг эсвэл сөрөг байж болохыг мэдэж байсан. Өнөөдөр би эерэг (гарын үсэггүй) ба сөрөг (гарын үсэгтэй) тоо гэж юу болохыг дэлгэрэнгүй хэлэх болно.
Эерэг тоонууд
Хэрэв энэ тоо эерэг байвал аравтын тоог хоёртын тоо руу хөрвүүлсний үр дүнг л илэрхийлнэ. Эерэг тоог илэрхийлэхийн тулд тусгай кодчилол ашигладаг. Энэ тохиолдолд хамгийн чухал бит нь тооны тэмдгийг илтгэнэ. Хэрэв тэмдгийн бит нь тэг байвал тоо эерэг, үгүй бол сөрөг байна.
Intel-ийн процессоруудын гэр бүлийн бүх төрлийн өгөгдөл хадгалах үндсэн нэгж нь байт юм. Нэг байт нь найман битээс бүрдэнэ. Доорх хүснэгтэд процессор ажиллах боломжтой эерэг бүхэл тоонуудын боломжит утгуудын мужийг харуулав.
Тоонуудтай ажиллахдаа 255-аас ихгүй утгатай тоог байт, 65535-аас ихгүй утгатай тоог үгэнд бичиж болно гэдгийг мартаж болохгүй. Жишээлбэл, хэрэв та байттай ажиллахдаа 255 + 1 нэмэх үйлдлийг хийвэл үр дүн нь 256 тоо байх ёстой. Гэхдээ хэрэв та үр дүнг байт болгон бичвэл үр дүн нь 256 биш, харин 0 болно. Энэ байдал нь "халих" тохиолдолд тохиолддог.
Үйлдлийн үр дүн тухайн үр дүнд зориулагдсан бүртгэлд тохирохгүй байхыг халих гэнэ. Түүнчлэн хэрэв халилт байвал үр дүн нь тэг биш, харин өөр тоо байж болно.
Сөрөг тоонууд
Компьютерт сөрөг тоог илэрхийлэх нь тодорхой бэрхшээлтэй тулгардаг. Сөрөг тоо нь тоон утгагүй, харин ирээдүйн үйлдлийг илэрхийлдэг - ирээдүйд бид дахин гарч ирэх объектуудаас хэд хэдэн зүйлийг хасах ёстой.
Сөрөг тоонууд нь хасах тэмдэгтэй тоонууд юм.
Сөрөг тоонуудын боломжит утгуудын хүрээ:
Тооны тэмдгийг харуулахын тулд нэг цифр (бит) хангалттай. Ихэвчлэн тэмдгийн бит нь тооны хамгийн чухал битийг эзэлдэг. Хэрэв тооны хамгийн чухал бит нь 0 байвал тухайн тоог эерэг гэж үзнэ. Хэрэв тооны хамгийн чухал орон нь 1 бол энэ тоог сөрөг гэж үзнэ.
Ассемблер хэлээр программчлахдаа нэг чухал зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй: "Тоонуудыг дүрслэх хүрээг хязгаарлах".
Жишээлбэл, эерэг хувьсагчийн хэмжээ 1 байт бол нийт 256 өөр утгыг авч болно. Энэ нь бид үүнийг 255 (111111112)-аас их тоог илэрхийлэхэд ашиглах боломжгүй гэсэн үг юм. Ижил сөрөг хувьсагчийн хувьд хамгийн их утга нь 127 (011111112), хамгийн бага нь -128 (100000002) байна. 2 ба 4 байт хувьсагчийн хувьд мужийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог.
Сөрөг тоонуудын түүх
Объектуудыг тоолох үед натурал тоо үүссэн нь мэдэгдэж байна. Хэмжигдэхүүнийг хэмжих хүний хэрэгцээ, хэмжилтийн үр дүн үргэлж бүхэл тоогоор илэрхийлэгддэггүй нь натурал тооны багцыг өргөжүүлэхэд хүргэсэн. Тэг болон бутархай тоог нэвтрүүлсэн.
Тоо гэдэг ойлголтын түүхэн хөгжлийн үйл явц үүгээр дууссангүй. Гэсэн хэдий ч тооны тухай ойлголтыг өргөжүүлэх анхны түлхэц нь зөвхөн хүмүүсийн практик хэрэгцээ байсангүй. Математикийн асуудлууд өөрөө тооны тухай ойлголтыг өргөжүүлэх шаардлагатай болсон. Сөрөг тоо гарч ирснээр яг ийм зүйл болсон. Олон тооны бодлого, ялангуяа тэгшитгэлтэй холбоотой асуудлыг шийдэхийн тулд бага тооноос их тоог хасах шаардлагатай байв. Энэ нь шинэ дугаар оруулах шаардлагатай болсон.
Сөрөг тоо нь 2100 жилийн өмнө эртний Хятадад анх гарч ирсэн. Тэд мөн эерэг ба сөрөг тоог хэрхэн нэмэх, хасахыг мэддэг байсан, үржүүлэх, хуваах дүрмийг ашигладаггүй;
II зуунд. МЭӨ д. Хятадын эрдэмтэн Жан Кан “Арифметик есөн бүлэгт” ном бичсэн. Номын агуулгаас харахад энэ нь бүрэн бие даасан бүтээл биш, харин Жан Каны өмнө бичигдсэн бусад номуудыг дахин боловсруулж байгаа нь тодорхой байна. Энэ номонд сөрөг хэмжигдэхүүнүүд шинжлэх ухаанд анх удаа учирсан болно. Тэдгээрийг бидний ойлгож, хэрэгжүүлэх аргаас өөрөөр ойлгодог. Тэрээр сөрөг хэмжигдэхүүнүүдийн мөн чанар, тэдгээртэй ажиллах дүрмийн талаар бүрэн, тодорхой ойлголтгүй байдаг. Сөрөг тоо болгоныг өр, эерэг тоо болгоныг өмч гэж ойлгосон. Тэр сөрөг тоотой үйлдлүүдийг бидэнтэй адил биш, харин өрийн талаарх үндэслэлийг ашиглан хийсэн. Жишээлбэл, хэрэв та нэг өр дээр өөр өр нэмбэл, үр дүн нь өмч биш, өр юм (өөрөөр хэлбэл, бидний хэлснээр (- x) + (- x) = - 2x. Тэр үед хасах тэмдэг нь мэдэгдэхгүй байсан тул Өрийг илэрхийлэх тоонуудыг ялгахын тулд Жан Кан тэдгээрийг өмч (эерэг) илэрхийлсэн тооноос өөр бэхээр бичжээ.
Хятадын математикт эерэг хэмжигдэхүүнийг “чен” гэж нэрлэж, улаанаар дүрсэлсэн бол сөрөг хэмжигдэхүүнийг “фу” гэж нэрлэж, хараар дүрсэлсэн байдаг. Энэ дүрслэлийн аргыг Хятадад 12-р зууны дунд үе хүртэл, Ли Е сөрөг тоонуудын хувьд илүү тохиромжтой тэмдэглэгээг санал болгох хүртэл хэрэглэж байсан - сөрөг тоог харуулсан тоонуудыг баруунаас зүүн тийш диагональ шугамаар таслав. Хятадын эрдэмтэд сөрөг хэмжигдэхүүнийг өр, эерэг хэмжигдэхүүнийг өмч гэж тайлбарласан ч эдгээр тоо нь ойлгомжгүй мэт санагдаж, тэдэнтэй хийх арга хэмжээ нь тодорхойгүй байсан тул өргөн ашиглахаас зайлсхийсээр байв. Хэрэв асуудал нь сөрөг шийдэлд хүргэсэн бол тэд нөхцөл байдлыг (Грекчүүд шиг) орлуулахыг оролдсон бөгөөд ингэснээр эцэст нь эерэг шийдэл гарах болно.
5-6-р зууны үед сөрөг тоо гарч ирэн Энэтхэгийн математикт маш өргөн тархсан. Тооцооллын хувьд тухайн үеийн математикчид тоолох самбарыг ашигладаг байсан бөгөөд дээр нь тоолох саваа ашиглан тоог дүрсэлсэн байв. Тухайн үед +, – гэсэн тэмдэг байхгүй байсан тул эерэг тоог улаан саваагаар, сөрөг тоог хар саваагаар дүрсэлж “өр”, “дутагдал” гэж нэрлэдэг байжээ. Эерэг тоог "өмч" гэж тайлбарлав. Хятадаас ялгаатай нь Энэтхэгт үржүүлэх, хуваах дүрмийг аль хэдийн мэддэг байсан. Энэтхэгт сөрөг тоог одоогийнхтой адил системтэйгээр ашигладаг байсан. Энэтхэгийн нэрт математикч, одон орон судлаач Брахмагуптагийн (598 - 660 орчим) бүтээлээс бид "өмч ба эд хөрөнгө бол өмч, хоёр өрийн нийлбэр нь өр юм; өмчийн нийлбэр ба тэг нь өмч; хоёр тэгийн нийлбэр тэг... Тэгээс хассан өр өмч болж, өмч нь өр болон хувирна. Өмчөө өрнөөс, өрийг өмчөөс авах шаардлагатай бол мөнгөө авдаг” гэсэн юм.
Энэтхэгийн математикчид тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ сөрөг тоог ашигладаг байсан бөгөөд хасах үйлдлийг ижил тооны эсрэг тоогоор нэмэх замаар сольсон.
Сөрөг тоонуудтай зэрэгцэн Энэтхэгийн математикчид тэг гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн нь аравтын бутархай тооллын системийг бий болгох боломжийг олгосон. Гэхдээ удаан хугацааны туршид тэг нь латинаар "цэг" гэдэг нь тоо байхгүй гэсэн үг юм. Зөвхөн 10 зууны дараа буюу 17-р зуунд координатын системийг нэвтрүүлснээр тэг нь тоо болжээ.
Грекчүүд ч гэсэн эхэндээ тэмдэг ашигладаггүй байв. Эртний Грекийн эрдэмтэн Диофант сөрөг тоог огт таньдаггүй байсан бөгөөд хэрэв тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ сөрөг язгуур гарвал түүнийг "хүртээмжгүй" гэж хаяжээ. Диофант сөрөг язгуураас зайлсхийхийн тулд бодлого боловсруулж, тэгшитгэл зохиохыг оролдсон боловч удалгүй Александрын Диофант хасах тэмдгийг тэмдэглэж эхлэв.
Сөрөг тоонууд удаан хугацаанд ашиглагдаж байсан хэдий ч бүрэн бодитой биш гэж үзэн тэдэнд үл итгэх байдлаар хандаж байсан тул эд хөрөнгийн өр гэж тайлбарласнаар үл хөдлөх хөрөнгө, өрийг хэрхэн "нэмэх", "хасах" вэ?
Европт хүлээн зөвшөөрөх нь мянган жилийн дараа ирсэн. Сөрөг хэмжигдэхүүний тухай санаа нь 13-р зууны эхээр Пизагийн Леонардо (Фибоначчи) нэлээд ойртсон бөгөөд тэрээр өртэй холбоотой санхүүгийн асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд үүнийг нэвтрүүлж, сөрөг хэмжигдэхүүнийг эсрэгээр нь авах ёстой гэсэн санааг гаргажээ. эерэг хүмүүст мэдрэмж. Тэр жилүүдэд математикийн дуэль гэж нэрлэгддэг байсан. Фредерик II-ийн шүүхийн математикчидтай хийсэн асуудал шийдвэрлэх уралдааны үеэр Пизагийн Леонардо (Фибоначчи) асуудлыг шийдэхийг хүссэн: хэд хэдэн хувь хүмүүсийн нийслэлийг олох шаардлагатай байв. Фибоначчи сөрөг утгыг хүлээн авсан. "Хөрөнгө биш, харин өртэй байсан гэж үзэхгүй бол энэ тохиолдол" гэж Фибоначчи хэлэв.
1202 онд тэрээр алдагдлаа тооцоолохдоо сөрөг тоонуудыг анх ашигласан. Гэсэн хэдий ч сөрөг тоог 15-р зууны төгсгөлд Францын математикч Чукет анх удаа тодорхой ашигласан.
Гэсэн хэдий ч 17-р зууныг хүртэл сөрөг тоонууд "нугалж" байсан бөгөөд удаан хугацааны туршид "худал", "төсөөлөл" эсвэл "абсурд" гэж нэрлэгддэг байв. 17-р зуунд ч гэсэн алдарт математикч Блез Паскаль 0-4 = 0 гэж нотлохдоо юунаас ч бага байж болохгүй тоо гэж байдаггүй бөгөөд 19-р зууныг хүртэл математикчид сөрөг тоонуудыг утгагүй гэж үзэн тооцоололдоо байнга хаядаг байжээ. .
Бомбелли, Жирард нар эсрэгээрээ сөрөг тоог нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц, хэрэгцээтэй гэж үздэг, ялангуяа ямар нэг зүйл дутагдаж байгааг илтгэдэг. Тэр үеийн цуурай нь орчин үеийн арифметикт хасах үйлдэл ба сөрөг тооны тэмдгийг ижил тэмдгээр (хасах) тэмдэглэдэг боловч алгебрийн хувьд эдгээр нь огт өөр ойлголт юм.
Италид мөнгө зээлдүүлэгчид мөнгө зээлэхдээ өрийн хэмжээ болон өрийн нэрийн өмнө манай хасах гэх мэт зураас тавьдаг, хариуцагч мөнгөө буцааж өгөхдөө зураасаар зурдаг байсан тул энэ нь бидний нэмэх юм шиг харагдсан. Та нэмэхийг хассан хасах гэж үзэж болно!
Тэмдгээр эерэг ба сөрөг тоонуудын орчин үеийн тэмдэглэгээ
"+" ба "-" тэмдгийг Германы математикч Видманн ашигласан.
Германы математикч Майкл Штифел "Бүрэн арифметик" (1544) номондоо сөрөг тоонуудын тухай ойлголтыг анх тэгээс бага (юунаас бага) тоо гэж танилцуулсан. Энэ нь сөрөг тоог зөвтгөхөд маш том алхам болсон. Тэрээр сөрөг тоог өр гэж биш, огт өөр, шинэ байдлаар харах боломжтой болгосон. Гэвч Стифел сөрөг тоог утгагүй гэж нэрлэсэн; тэдэнтэй хийх үйлдлүүд нь түүний хэлснээр "бас утгагүй, толгой эргэх".
Стифелийн дараа эрдэмтэд сөрөг тоотой үйлдлүүдийг илүү итгэлтэйгээр хийж эхлэв.
Асуудлын сөрөг шийдлүүд улам бүр хадгалагдаж, тайлбарлагдаж байв.
17-р зуунд Францын агуу математикч Рене Декарт тэгийн зүүн талд байгаа тооны шулуун дээр сөрөг тоог тавихыг санал болгосон. Одоо энэ бүхэн бидэнд маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой мэт санагдаж байгаа ч энэ санааг хэрэгжүүлэхийн тулд Хятадын эрдэмтэн Жан Канаас Декарт хүртэл арван найман зуун жилийн шинжлэх ухааны сэтгэлгээний хөдөлмөр зарцуулсан.
Декартын бүтээлүүдэд сөрөг тоонууд нь тэдний хэлснээр жинхэнэ тайлбарыг хүлээн авсан. Декарт болон түүний дагалдагчид тэднийг эерэг хүмүүстэй адил тэгш байдлаар хүлээн зөвшөөрсөн. Гэхдээ сөрөг тоонуудтай ажиллахад бүх зүйл тодорхой байгаагүй (жишээлбэл, тэдгээрийг үржүүлэх) тиймээс олон эрдэмтэд сөрөг тоог бодит тоо гэж хүлээн зөвшөөрөхийг хүсээгүй. Сөрөг тооны мөн чанар, сөрөг тоог бодит тоо гэж хүлээн зөвшөөрөх эсэх талаар эрдэмтдийн дунд томоохон бөгөөд урт маргаан дэгджээ. Декартаас хойшхи энэхүү маргаан 200 орчим жил үргэлжилсэн. Энэ хугацаанд математик нь шинжлэх ухаан болохын хувьд маш их хөгжиж, сөрөг тоо алхам тутамд тулгардаг байв. Математик сөрөг тоогүйгээр төсөөлшгүй, боломжгүй болсон. Сөрөг тоо нь бодит тоо, эерэг тоотой адил бодит тоо гэдэг нь улам бүр нэмэгдэж буй эрдэмтдэд тодорхой болсон.
Сөрөг тоонууд математикт байр сууриа бараг эзэлсэнгүй. Эрдэмтэд тэднээс зайлсхийх гэж хичнээн хичээсэн ч хамаагүй. Гэсэн хэдий ч тэд үргэлж амжилтанд хүрч чадаагүй. Амьдрал шинжлэх ухаанд шинэ, шинэ зорилтуудыг дэвшүүлсэн бөгөөд эдгээр ажлууд нь Хятад, Энэтхэг, Европт сөрөг шийдэлд хүргэдэг. Зөвхөн 19-р зууны эхэн үед. сөрөг тоонуудын онол хөгжиж дуусч, "утгагүй тоо" нь бүх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн.
Физикч бүр тоонуудтай байнга харьцдаг: тэр үргэлж ямар нэг зүйлийг хэмжиж, тооцоолж, тооцоолдог. Түүний цаасан дээр хаа сайгүй тоо, тоо, тоо байдаг. Хэрэв та физикчийн тэмдэглэлийг анхааралтай ажиглавал тэр тоо бичихдээ "+" ба "-" тэмдгийг ихэвчлэн ашигладаг болохыг олж мэдэх болно.
Физикт эерэг, ялангуяа сөрөг тоо хэрхэн үүсдэг вэ?
Физикч нь бидний эргэн тойрон дахь объект, үзэгдлийн янз бүрийн шинж чанарыг тодорхойлдог янз бүрийн физик хэмжигдэхүүнүүдийг авч үздэг. Барилгын өндөр, сургуулиас гэр хүртэлх зай, хүний биеийн жин ба температур, машины хурд, лаазны эзэлхүүн, цахилгаан гүйдлийн хүч, усны хугарлын илтгэгч, хүч цөмийн дэлбэрэлт, электродуудын хоорондох хүчдэл, хичээлийн үргэлжлэх хугацаа, металл бөмбөгний цахилгаан цэнэг - эдгээр нь бүгд физик хэмжигдэхүүн юм. Физик хэмжигдэхүүнийг хэмжиж болно.
Аливаа объект, байгалийн үзэгдлийн шинж чанарыг хэмжих боломжтой тул физик хэмжигдэхүүн гэж бодож болохгүй. Энэ нь огт үнэн биш юм. Жишээлбэл, бид: "Эргэн тойрон ямар сайхан уулс вэ! Доор нь ямар үзэсгэлэнтэй нуур вэ! Тэр хадан дээр ямар үзэсгэлэнтэй гацуур мод вэ! Гэхдээ бид уулс, нуур, энэ ганцаардсан гацуурын сайхныг хэмжиж чадахгүй!" Энэ нь гоо сайхан гэх мэт шинж чанар нь физик хэмжигдэхүүн биш гэсэн үг юм.
Физик хэмжигдэхүүнүүдийн хэмжилтийг хэмжигч, цаг, жин гэх мэт хэмжих хэрэгслийг ашиглан гүйцэтгэдэг.
Тиймээс физикийн тоонууд нь физик хэмжигдэхүүнийг хэмжих үр дүнд үүсдэг бөгөөд хэмжилтийн үр дүнд олж авсан физик хэмжигдэхүүний тоон утга нь: энэ физик хэмжигдэхүүнийг хэрхэн тодорхойлохоос хамаарна; ашигласан хэмжилтийн нэгжээс.
Ердийн гудамжны термометрийн масштабыг харцгаая.
Энэ нь 1-р масштаб дээр харуулсан хэлбэртэй байна. Зөвхөн эерэг тоонууд дээр хэвлэгддэг тул температурын тоон утгыг зааж өгөхдөө Цельсийн 20 градусыг (тэгээс дээш) нэмж тайлбарлах шаардлагатай. Энэ нь физикчдэд тохиромжгүй байдаг - эцэст нь та үгсийг томъёонд оруулах боломжгүй юм! Тиймээс физикт сөрөг тоо бүхий масштабыг ашигладаг.
Дэлхийн физик газрын зургийг харцгаая. Түүн дээр байгаа газар нутгийг ногоон, хүрэн өнгийн янз бүрийн сүүдэрт будаж, тэнгис, далайг хөх, цэнхэр өнгөөр будсан байдаг. Өнгө бүр өөрийн гэсэн өндөр (газар) эсвэл гүнтэй (далайн болон далайд). Газрын зураг дээр гүн ба өндрийн масштабыг зурсан бөгөөд энэ нь тодорхой өнгө нь ямар өндөр (гүн) гэсэн утгатай болохыг харуулж байна.
Ийм хуваарийг ашиглан тоог ямар ч нэмэлт үггүйгээр зааж өгөхөд хангалттай: эерэг тоо нь далайн гадаргаас дээш байрлах газрын янз бүрийн газруудтай тохирч байна; сөрөг тоо нь далайн гадаргын доорх цэгүүдтэй тохирч байна.
Бидний авч үзсэн өндрийн хуваарьт Дэлхийн далай дахь усны гадаргуугийн өндрийг тэг гэж авсан. Энэ масштабыг геодези, зураг зүйд ашигладаг.
Үүний эсрэгээр, бид өдөр тутмын амьдралдаа дэлхийн гадаргуугийн өндрийг (бидний байгаа газар) ихэвчлэн тэг өндөр гэж авдаг.
3.1 Эрт дээр үед жилийг хэрхэн тооцдог байсан бэ?
Энэ нь өөр өөр улс оронд өөр өөр байдаг. Жишээлбэл, Эртний Египтэд шинэ хаан захирч эхлэх тоолонд он жилийг шинээр тоолж эхэлдэг. Хааны хаанчлалын эхний жилийг эхний жил, хоёр дахь жилийг хоёр дахь жил гэх мэтээр тооцдог байв. Энэ хаан нас барж, шинэ хүн засгийн эрхэнд гарахад эхний жил дахин, дараа нь хоёр дахь, гурав дахь жил эхэлсэн. Дэлхийн хамгийн эртний хотуудын нэг Ромын оршин суугчдын хэрэглэж байсан жилүүдийн тоо өөр байсан. Ромчууд хот байгуулагдсан жилийг эхний жил, дараа жилийг хоёр дахь жил гэх мэтээр тооцдог байв.
Бидний ашигладаг жилүүдийг тоолох нь эрт дээр үеэс үүссэн бөгөөд Христийн шашныг үндэслэгч Есүс Христийг хүндэтгэхтэй холбоотой юм. Есүс Христийн мэндэлснээс хойшхи жилүүдийг тоолох нь янз бүрийн улс орнуудад аажмаар батлагдсан. Манай улсад үүнийг гурван зуун жилийн өмнө Их Петр хаан нэвтрүүлсэн. Бид Христийн мэндэлсэн өдрөөс тооцсон цагийг БИДНИЙ эрин үе гэж нэрлэдэг (мөн бид үүнийг товчилсон хэлбэрээр N.E. бичдэг). Манай эрин хоёр мянган жил үргэлжилж байна.
Дүгнэлт
Ихэнх хүмүүс сөрөг тоог мэддэг ч сөрөг тоонуудын төлөөлөл буруу байдаг.
Сөрөг тоо нь нарийн шинжлэх ухаан, математик, физикийн салбарт хамгийн түгээмэл байдаг.
Физикийн хувьд сөрөг тоо нь физик хэмжигдэхүүнүүдийн хэмжилт, тооцооны үр дүнд үүсдэг. Сөрөг тоо - цахилгаан цэнэгийн хэмжээг харуулна. Газарзүй, түүх гэх мэт бусад шинжлэх ухаанд сөрөг тоог үгээр сольж болно, жишээлбэл, далайн түвшнээс доогуур, түүхэнд - МЭӨ 157 он. д.
Уран зохиол
1. Шинжлэх ухааны агуу нэвтэрхий толь, 2005 он.
2. Вигасин А.А., “Эртний ертөнцийн түүх”, 5-р ангийн сурах бичиг, 2001 он.
3. Выговская В.В. “Математикийн хичээлд суурилсан хөгжил: 6-р анги” - М.: VAKO, 2008
4. “Эерэг сөрөг тоо”, 6-р ангийн математикийн сурах бичиг, 2001 он.
5. Хүүхдийн нэвтэрхий толь “Би ертөнцийг мэднэ”, Москва, “Гэгээрэл”, 1995 он.
6.. “Математик судлах нь”, боловсролын хэвлэл, 1994 он.
7. “Ерөнхий боловсролын сургуульд математикийн хичээл заахдаа түүх судлалын элементүүд”, Москва, “Просвещение”, 1982 он.
8. Нурк Э.Р., А.Э.Тэлгмаа “Математик 6-р анги”, Москва, “Гэгээрэл”, 1989 он.
9. “Сургуулийн математикийн түүх”, Москва, “Просвещение”, 1981 он.
