Ньютоны арга (шүргэх арга)

f(x)=0 тэгшитгэлийн язгуурыг 1 ба 2-р дериватив f’(x) ба сегмент дээр салгая. f""(x) xÎ-ийн хувьд тасралтгүй ба тогтмол тэмдэгтэй байна.

Үндэсийг боловсронгуй болгох зарим үе шатанд x n үндэстэй дараагийн ойролцооллыг олж авцгаая (сонгосон) . Дараа нь h n залруулга ашиглан дараагийн ойролцоолсон тооцоолол гарлаа гэж бодъё , язгуурын яг тодорхой утгад хүргэдэг

x = xn + hn. (1.2.3-6)

Тоолж байна h nжижиг утга учир бид f(х n + h n) -ийг Тейлорын цуврал хэлбэрээр илэрхийлж, шугаман нөхцөлөөр хязгаарлагдана.

f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n). (1.2.3-7)

f(x) = f(x n + h n) = 0 гэж үзвэл f(x n) + h n f ’(x n) » 0-г олж авна.

Эндээс h n » - f(x n)/ f’(x n). Утгыг орлуулъя h n(1.2.3-6) болон язгуурын яг утгын оронд xБид өөр нэг ойролцоо дүгнэлтийг олж авдаг

Формула (1.2.3-8) нь тодорхой нөхцөлд язгуурын яг утгад нийлдэг x 1, x 2, x 3 ... ойролцоолсон дарааллыг олж авах боломжийг олгодог. x,тэр нь

Ньютоны аргын геометрийн тайлбардараах байдалтай байна
(Зураг 1.2.3-6). b сегментийн баруун төгсгөлийг анхны ойролцоолсон х 0 гэж авч, y = f(x) функцийн графикийн харгалзах B 0 цэг дээр шүргэгч байгуулъя. Шүргэгчийн х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг шинэ, илүү нарийвчлалтай x 1 ойролцоолсон байдлаар авна. Энэ процедурыг олон удаа давтах нь x 0, x 1, x 2 ойролцоох дарааллыг олж авах боломжийг олгодог. , . . ., энэ нь язгуурын яг утгыг чиглүүлдэг x.

Ньютоны аргын тооцооны томъёог (1.2.3-8) геометрийн хийцээс авч болно. Тэгэхээр тэгш өнцөгт гурвалжинд x 0 B 0 x 1 хөл байна
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga. В 0 цэг нь функцийн график дээр байгааг харгалзан үзвэл f(x),ба гипотенуз нь В 0 цэгийн f(x) графиктай шүргэгчээр үүсгэгдэх бөгөөд бид олж авна.

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Энэ томъёо нь (1.2.3-8) n-р ойролцоо утгатай давхцаж байна.

Зураг 1.2.3-6-аас харахад а цэгийг анхны ойролцоолсноор сонгох нь дараагийн x 1 ойролцооллыг үндэс тусгаарлагдсан сегментийн гадна талд байх болно гэдгийг харуулж байна. x. Энэ тохиолдолд үйл явцын нэгдэл нь баталгаатай биш юм. Ерөнхий тохиолдолд анхны ойртолтын сонголтыг дараах дүрмийн дагуу хийнэ: анхны ойролцооллыг f(x 0)×f''(x 0)>0 байх x 0 О цэгээр авна. , өөрөөр хэлбэл функцийн тэмдэг ба түүний хоёр дахь дериватив таарч байна.

Ньютоны аргын нийлэх нөхцөлийг дараах теоремоор томъёолсон болно.

Хэрэв тэгшитгэлийн үндэс нь сегмент дээр тусгаарлагдвал, ба f’(x 0) ба f’’(x) тэгээс ялгаатай бөгөөд хэзээ тэмдэгээ хадгална xО, хэрэв бид ийм цэгийг анхны ойролцоолсон байдлаар сонговол x 0 О , Юу f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , дараа нь тэгшитгэлийн үндэс f(x)=0 ямар ч нарийвчлалтайгаар тооцоолж болно.

Ньютоны аргын алдааны тооцоог дараах илэрхийллээр тодорхойлно.

(1.2.3-11)

хамгийн бага утга хаана байна цагт

Хамгийн өндөр үнэ цэнэ цагт

Тооцооллын процесс зогсоно ,

заасан нарийвчлал хаана байна.

Нэмж дурдахад дараах илэрхийллүүд нь Ньютоны аргыг ашиглан үндсийг боловсронгуй болгоход өгөгдсөн нарийвчлалд хүрэх нөхцөл болж чадна.

Ньютоны аргын алгоритмын диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. 1.2.3-7.

Анхны тэгшитгэлийн зүүн тал f(x) ба түүний үүсмэл f’(x) алгоритм дахь тусдаа програм хангамжийн модулиуд хэлбэрээр хийгдсэн.

Цагаан будаа. 1.2.3-7. Ньютоны аргын алгоритмын диаграм

Жишээ 1.2.3-3 x-ln(x+2) = 0 тэгшитгэлийн үндэсийг x 1 О[-1.9;-1.1] хэрчмүүд дээр тусгаарласан тохиолдолд Ньютоны аргаар боловсронгуй болго. x 2 О [-0.9;2 ].

Эхний дериватив f’(x) = 1 – 1/(x+2) нь сегмент бүр дээр тэмдэгээ хадгална.

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 үед xО [-0.9; 2].

Хоёрдахь дериватив f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 аль ч х.

Тиймээс нэгдэх нөхцөл хангагдсан байна. Зөвшөөрөгдөх утгуудын бүх мужид f""(x)>0 байгаа тул анхны ойролцоолсон үндсийг тодруулахын тулд x 1 x 0 = -1.9-г сонгоно уу (f(-1.9)×f”(-1.9)>0 тул). Бид ойролцоогоор тооцооллын дарааллыг олж авна:

Тооцооллыг үргэлжлүүлснээр бид эхний дөрвөн ойролцоо тооцооллын дараах дарааллыг олж авна: -1.9; –1.8552, -1.8421; -1.8414 . x=-1.8414 цэг дээрх f(x) функцийн утга f(-1.8414)=-0.00003-тай тэнцүү байна. .

x 2 О[-0.9;2] язгуурыг тодруулахын тулд бид эхний ойролцоололтоор 0 =2 (f(2)×f”(2)>0)-ийг сонгоно. x 0 = 2 дээр үндэслэн бид ойролцоолсон дарааллыг олж авна: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461. x=1.1461 цэг дээрх f(x) функцийн утга f(1.1461)= -0.00006-тай тэнцүү байна.

Ньютоны арга нь нийлэх хурд өндөртэй боловч алхам бүрт зөвхөн функцийн утгыг төдийгүй түүний деривативыг тооцоолох шаардлагатай болдог.

Хөвчний арга

Хөвчний аргын геометрийн тайлбардараах байдалтай байна
(Зураг 1.2.3-8).

А ба В цэгүүдээр шугамын хэрчмийг зуръя.Дараагийн x 1 ойролцоололт нь хөвчний 0x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсцисса юм. Шулуун шугамын сегментийн тэгшитгэлийг байгуулъя:

y=0 гэж тохируулаад x=x 1 утгыг олцгооё (дараагийн ойролцоо тооцоолол):

Үндэс - x 2-ийн дараагийн ойролцоо утгыг олж авахын тулд тооцоолох үйл явцыг давтан хийцгээе :

Манай тохиолдолд (Зураг 1.2.11) мөн хөвчний аргын тооцооны томъёо нь иймэрхүү харагдах болно

Энэ томъёо нь b цэгийг тогтмол цэг болгон авах үед хүчинтэй бөгөөд а цэг нь анхны ойролцоо үүрэг гүйцэтгэдэг.

Өөр нэг тохиолдлыг авч үзье (Зураг 1.2.3-9), хэзээ .

Энэ тохиолдолд шулуун шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Дараагийн ойролцоолсон x 1 үед y = 0

Дараа нь энэ тохиолдолд хөвчний аргын давтагдах томъёо нь хэлбэртэй байна

Хөвчний аргын тогтмол цэг нь f (x)∙f¢¢ (x)>0 нөхцөл хангагдсан сегментийн төгсгөл байхаар сонгогддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Тиймээс хэрэв а цэгийг тогтмол цэг болгон авбал , тэгвэл x 0 = b нь анхны ойролцоололтын үүрэг гүйцэтгэдэг ба эсрэгээр.

Хөвчний томъёог ашиглан f(x) = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох хангалттай нөхцөл нь шүргэгч аргын (Ньютоны арга) адил байх бөгөөд зөвхөн анхны ойролцоо тооцооллын оронд тогтмол цэгийг сонгоно. Хөвчний арга нь Ньютоны аргын өөрчлөлт юм. Ялгаа нь Ньютоны аргын дараагийн ойролцоололт нь шүргэгчийн 0X тэнхлэгтэй огтлолцох цэг бөгөөд хөвчний аргад - хөвчний 0X тэнхлэгтэй огтлолцох цэг - ойролцоогоор өөр өөр талаас язгуурт нийлдэг. .

Хөвчний аргын алдааны тооцоог илэрхийллээр өгсөн болно

(1.2.3-15)

Хөвчний аргыг ашиглан давталтын процессыг дуусгах нөхцөл

(1.2.3-16)

М тохиолдолд 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£д.

Жишээ 1.2.3-4. 10 -4 нарийвчлалтайгаар сегмент дээр тусгаарлагдсан e x – 3x = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг тодруул.

Конвергенцийн нөхцөлийг шалгая:

Иймд f(0)=1>0 ба f(0)*f"(0)>0 тул тогтсон цэгээр a=0-ийг сонгох ёстой бөгөөд анхны ойролцоололтоор x 0 =1-ийг авна.

Шугаман бус тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдвэрлэх

Цахилгаан эрчим хүчний асуудлыг шийдэхийн тулд аргын хэд хэдэн өөрчлөлт байдаг. Эдгээр нь давтагдах үйл явцын нэгдэх хурдыг нэмэгдүүлэх, тооцоолох хугацааг багасгах боломжийг олгодог.

Үндсэн мэдээлэл нэр төрарга - энэ нь хурдан нийлдэг.

Аргын санааЭнэ нь анхны шугаман бус тэгшитгэлийн системийг зарим туслах шугаман тэгшитгэлийн системээр тооцоолох давталт бүрт дараалсан орлуулалтаас бүрддэг бөгөөд үүний шийдэл нь тодорхойгүй байдлын дараагийн ойролцооллыг олж авах боломжийг олгодог бөгөөд хүссэн шийдэлд ойртдог ( шугаманчлал).

Шугаман бус тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр авч үзье.

Тэгшитгэлийн шаардлагатай шийдэл нь муруй х тэнхлэгтэй огтлолцох цэг юм.

Бид үл мэдэгдэх анхны ойролцооллыг тогтоосон x(0). Энэ үед функцийн утгыг тодорхойлно w(x(0))мөн B цэг дээр муруй руу шүргэгч зурна. Энэ шүргэгчийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь үл мэдэгдэхийн дараагийн ойролцооллыг тодорхойлно. x (1)гэх мэт.

(1) тэгшитгэлийг цэгийн ойролцоох Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлье x(0). Зөвхөн 1-р деривативыг агуулсан өргөтгөлийн нөхцлүүдийг авч үзье:

(2)

x – x (0) = Δx- үл мэдэгдэх нэмэлт өөрчлөлт. Хэрэв бид үүнийг тодорхойлвол дараагийн ойролцооллыг тодорхойлж болно.

(2) -аас бид нэмэлт өөрчлөлтийг тодорхойлно (3)

Дараа нь дараах ойролцоогоор: (5)

Үүнтэй адил бид авдаг руу-д ойролцоогоор:

Энэ Ньютоны аргын давтагдах томьёошугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. Энэ нь үл мэдэгдэх дараагийн ойролцоо утгыг тодорхойлох боломжийг танд олгоно.

Формула (6)-ийг зургаас өөр аргаар авч болно.

Давтагдах үйл явц нь буурч, ойртох юм бол нийлдэг 0 . Хэрэв үр дүнд хүрнэ.

Геометрийн тайлбарын талаархи тайлбар

Аргын давтагдах алхам нь муруйг шулуун шугамаар солиход багассан бөгөөд үүнийг тэгшитгэлийн зүүн талд дүрсэлсэн болно (2). Энэ нь цэг дээрх муруйтай шүргэгч юм. Энэ процессыг нэрлэдэг шугаманчлал. Тэнхлэгтэй муруйн шүргэгчийн огтлолцох цэг Xүл мэдэгдэх өөр нэг ойролцоо утгыг өгдөг. Тиймээс энэ аргыг нэрлэдэг шүргэгч арга.

Жишээ:

Жишээ:

Энэ аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн бүх язгуурыг тодорхойлохын тулд ямар ч аргаар тодорхойлох шаардлагатай. ойролцоогоорэдгээр язгууруудын байршлыг тогтоож, тэдгээрийн ойролцоох анхны ойролцооллыг тогтооно.

Үндэс байрладаг газрыг тодорхойлох энгийн арга юм хүснэгт.

Ньютоны давталтын процесс нийлдэггүй, хэрэв анхны ойролцоо тооцооллыг дараах байдлаар сонгосон бол:

Процесс нэг бол нийлдэггүй, эсвэл маш муу нийлдэг.

SNAU-г шийдэх Ньютон-Рафсон арга

Рафсон Ньютоны давталтын аргыг шийдвэрлэхэд санал болгосон болохыг харуулсан нэгшугаман бус тэгшитгэл, шийдвэрлэхэд ашиглаж болно системүүдшугаман бус тэгшитгэл.

Үүний зэрэгцээ шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд нэг үл мэдэгдэхийн оронд олонлогийг (вектор) авч үзэх шаардлагатай. үл мэдэгдэх:

нэг үлдэгдэл тэгшитгэлийн оронд бид авч үзнэ үлдэгдэл векторсистемийн тэгшитгэлүүд:

(6) дахь нэг деривативыг орлуулсан деривативын матриц. (6)-д хуваах үйлдлийг үржүүлэх замаар сольсон урвуудеривативын матриц. Энэ тохиолдолд Ньютон-Рафсоны арга нь Ньютоны аргаас нэг хэмжээст бодлого руу шилжихэд ялгаатай байдаг. олон хэмжээст.

Бодит шугаман бус алгебрийн тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

(7)

Үүнийг матриц хэлбэрээр бичиж болно:

Хаана X= x 2 – вектор – үл мэдэгдэх багана;

w 1 (x 1, x 2, ... x n)

В = w 2 (x 1, x 2, ... x n) – вектор функц.

w n (x 1, x 2, ... x n)

Болъё - үл мэдэгдэх анхны ойролцоо тоо. (7) системийн тэгшитгэл бүрийг цэгийн ойролцоох Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлье X (0), өөрөөр хэлбэл, бид анхны шугаман бус тэгшитгэлийг зөвхөн 1-р дериватив хадгалагдсан шугаман тэгшитгэлүүдээр ойролцоогоор солих болно (шугаманчлал). Үүний үр дүнд тэгшитгэлийн систем (7) дараах хэлбэртэй байна.

(9)

Үүний үр дүнд бид авсан шугаман тэгшитгэлийн систем(шугаманжсан систем), үүнд үл мэдэгдэх нь залруулга . Энэ систем дэх үл мэдэгдэх коэффициентүүд нь тэгшитгэлийн анхны деривативууд юм w jбүх үл мэдэгдэх шугаман бус системийн анхны Ши.. Тэд коэффициентийн матрицыг бүрдүүлдэг - Якоби матриц:

=

Матрицын мөр бүр нь шугаман бус системийн дараагийн тэгшитгэлийн бүх үл мэдэгдэх зүйлийн эхний деривативуудаас бүрдэнэ.

Шугаманчлагдсан системийг (9) матриц хэлбэрээр бичье.

(10)

Анхны системийн тэгшитгэлийн үлдэгдлийн вектор энд байна. Түүний элементүүдийг шугаман бус системийн тэгшитгэлд үл мэдэгдэх дараалсан ойролцоолсон утгыг орлуулах замаар олж авдаг;

- Якобын матриц. Түүний элементүүд нь бүх үл мэдэгдэх зүйлийн талаархи анхны системийн бүх тэгшитгэлийн эхний хэсэгчилсэн деривативууд юм;

- залруулах векторхүссэн үл мэдэгдэх зүйл рүү. Давталт бүрт дараахь зүйлийг бичиж болно.

Хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг харгалзан системийг (10) дараах байдлаар бичиж болно.

(12)

Энэ систем шугаманнэмэлт, өөрчлөлтийн талаар ΔХ (к).

Систем (13) нь давтагдах үйл явцын алхам бүрт анхны SNAU-г орлуулдаг шугаман тэгшитгэлийн систем юм.

Систем (13) нь мэдэгдэж байгаа ямар ч аргаар шийдэгддэг бөгөөд үүний үр дүнд бид залруулгын векторыг олдог. Дараа нь (11) -ээс бид олж болно дараагийн хандлагаүл мэдэгдэх:

Тэр. бүр давталттай алхамүйл явц нь шугаман системийг (13) шийдэж, (14)-ийн дараагийн ойролцооллыг тодорхойлохоос бүрдэнэ.

(11) ба (12) -аас бид ерөнхий утгыг авч болно давтагдах томъёо(матриц хэлбэрээр), Ньютон-Рафсоны аргад харгалзах:

(15)

Энэ нь (6) томъёонд тохирох бүтэцтэй.

Томъёо (15) нь практик тооцоололд ашиглагддаг ховор, учир нь энд тооцооны давталт бүрт Якобын матрицыг (том хэмжээст) эргүүлэх шаардлагатай. Бодит тооцоололд шугаман системийг (13) шийдсэний үр дүнд залруулга тогтоогддог.

Дуусгах хяналтБид үлдэгдэл векторыг ашиглан давтагдах процессыг гүйцэтгэдэг.

Үлдэгдэлд энэ нөхцөл хангагдсан байх ёстой хүн бүрсистемийн тэгшитгэлүүд.

Ньютон-Рафсоны аргыг ашиглан SNAU-г шийдэх алгоритм

1. Мэдэгдэхгүйн анхны ойролцоолсон векторыг зааж өгөх.

Тооцооллын нарийвчлалыг тохируулах є , бусад тооцооны параметрүүд

2. Ойролцоо цэгт шугаман бус тэгшитгэлийн үлдэгдлийг тодорхойлох;

2.3. Үл мэдэгдэх дараагийн ойролцоолсон цэг дээр Якобын матрицын элементүүдийг тодорхойлох;

2.4. Шугаманжсан системийг (13) ямар нэгэн мэдэгдэж буй аргаар шийдэх. Үл мэдэгдэх нэмэлт өөрчлөлтийг тодорхойлох.

2.5. (14)-д заасны дагуу үл мэдэгдэхийн дараагийн ойролцооллыг тодорхойлох.

2.6. (16)-д заасны дагуу давталтын процессын гүйцэтгэлд хяналт тавих. Хэрэв нөхцөл хангагдаагүй бол 2-р алхам руу буцна уу.

Жишээ:

Ньютон-Рафсоны аргыг ашиглан SLAE-ийг шийднэ үү:

(шийдэл X 1 = X 2 =2)

Тэгшитгэлийг үлдэгдэл хэлбэрээр бичье.

Бид Якобын матрицын элементүүдийг тодорхойлно.

Якобын матриц:

Ньютон-Рафсоны аргын алгоритмыг хэрэгжүүлье:

1) Эхний давталт:

Анхны ойролцоо тооцоолол

Үлдэгдэл

Якобын матриц:

Шугаман тэгшитгэлийн систем:

Үл мэдэгдэх 1-р ойролцоогоор:

2) Хоёрдахь давталт

3) Гурав дахь давталт:

… ……… …… …… …… ……..

Ньютон-Рафсоны аргыг ашиглан тогтвортой төлөвийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Тогтвортой төлөвийн шугаман бус тэгшитгэл нь 3-р зангилааны тэжээлийн балансын хэлбэртэй байна.

(17)

Энэ бол нийлмэл үл мэдэгдэх болон коэффициент бүхий тэгшитгэл юм. Ийм тэгшитгэлийн хувьд (17) шийдэх боломжтой байсанНьютон-Рафсоны аргыг ашиглан тэдгээрийг өөрчилдөг: бодит ба төсөөлөл хэсгүүдийг тусгаарладаг. Үүний үр дүнд (17) хэлбэрийн нийлмэл тэгшитгэл бүр нь зангилааны идэвхтэй ба реактив хүчний тэнцвэрт тохирсон хоёр бодит тэгшитгэлд хуваагдана.

Энд зангилаанд заасан эрх мэдэл байна;

Зангилаа дахь үл мэдэгдэх хүчдэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд. Тэд хэрэгтэй

тооцооны үр дүнд тодорхойлогдоно.

Тэгшитгэлийн баруун талд (18) -р зангилаанд ойртож буй салбаруудын урсгалын тооцоолсон нийт хүчийг харуулав.

Эдгээр тэгшитгэлийг (18) хэлбэрээр бичье үлдэгдэл:

(19) тэгшитгэлийн үлдэгдэл нь тооцоолсонтой тохирч байна тэнцвэргүй байдал-р зангилаа дахь идэвхтэй ба реактив хүч.

Үлдэгдэл нь зангилааны горимыг тодорхойлдог і зангилааны үл мэдэгдэх хүчдэлийн шугаман бус функцууд юм. -> 0 байх шаардлагатай.

Бид системийг Ньютон-Рафсоны аргаар шийдэх болно 2н(19) хэлбэрийн тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл Ньютон-Рафсоны аргыг ашиглан цахилгаан сүлжээний тогтвортой байдлыг тооцоолох асуудлыг шийдэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

1) тогтолцоог бүрдүүлэх 2нтэнцвэржүүлэгчээс бусад цахилгаан сүлжээний бүх зангилааны хувьд (19) хэлбэрийн тэгшитгэл;

2) Ньютон-Рафсоны аргын давтагдах үйл явцыг зохион байгуулах

Энэ тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд. Шийдвэрийн үр дүнд

Бид зангилаанууд дээр шаардлагатай стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг олж авдаг.

Энэ тэгшитгэлийн системийг ерөнхий хэлбэрээр бичье.

(20)

Бид шугаман бус 2 системийг авсан үлдэгдэл тэгшитгэл 2 үл мэдэгдэх зүйлтэй. Түүний доторх үл мэдэгдэх бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь хүчдэлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд - модулиуд ба өнцөг юм.

Ньютон-Рафсоны аргыг ашиглан системийг (20) шийдэхийн тулд та бичих хэрэгтэй туслах(13) хэлбэрийн тэгшитгэлийн шугаман систем бөгөөд үүнийг давталт бүрт бид үл мэдэгдэх залруулга тодорхойлдог.

(21)

Хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээг харгалзан (21) системийг дараах байдлаар бичиж болно.

(22)

Якоби матриц хаана байна, түүний элементүүд нь бүх үл мэдэгдэх (20) системийн тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн деривативууд - стрессийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд

Системийн тэгшитгэлийн үлдэгдлийн вектор (20). Тэдгээрийн утгыг үл мэдэгдэхийн дараалсан ойролцоолсон утгыг тэгшитгэлд орлуулах замаар олж авна;

Үл мэдэгдэх залруулгын вектор:

; ΔӨ i = Ө i (k+1) - Ө i (k), ΔU i = U i (k+1) - U i (k) .

Якобын матрицын элементүүдийг тодорхойлохын тулд бид ашигладаг аналитик ялгаа, өөрөөр хэлбэл Бид системийн тэгшитгэл бүрийг (20) шаардлагатай хэмжигдэхүүнүүдийн дагуу ялгадаг - өнцөг ба стрессийн модулиуд. Якобын матрицыг бүрдүүлэхийн тулд та дараахь деривативуудын аналитик илэрхийллийг олж авах хэрэгтэй. төрөл зүйл:

1) Ижил зангилааны хүчдэлийн өнцөгт хамаарах 3-р зангилааны идэвхтэй чадлын үлдэгдэл тэгшитгэлийн дериватив: ;

2) Зэргэлдээх хэсгийн хүчдэлийн өнцөгт хамаарах 3-р зангилааны идэвхтэй чадлын үлдэгдэл тэгшитгэлийн дериватив j-р зангилаа: ;

3) 1-р зангилааны идэвхтэй чадлын үлдэгдлийн дериватив нь ижил зангилааны хүчдэлийн модуль: ;

4) Зэргэлдээх зангилааны хүчдэлийн модулийн идэвхтэй чадлын үлдэгдлийн дериватив: ;

Дөрвөн төрлийн деривативыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог - бүх үл мэдэгдэх зүйлийн хувьд 3-р зангилааны реактив чадлын үлдэгдэл тэгшитгэлийн деривативууд:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Эдгээр деривативуудыг харгалзан Жакоби матрицыг ерөнхий хэлбэрээр бичиж болно.

(23)

Тодорхойлъё аналитик илэрхийллүүддеривативын хувьд (20) системийн тэгшитгэлийг үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнээр ялгах. Тэд дараах байдлаар харагдаж байна.

(24)

Якобын матрицерөнхий тохиолдолд энэ нь дөрвөлжин матриц, тэгш хэмтэй, хэмжээстэй, түүний элементүүд нь бүх үл мэдэгдэх үлдэгдлийн талаархи тэгшитгэлийн үлдэгдлийн хэсэгчилсэн дериватив (чадлын тэнцвэргүй байдал) юм.

Хэрэв зангилаанууд хоорондоо холбогдоогүй бол диагональаас гадуур байрлах Якобын матрицын харгалзах деривативууд тэгтэй тэнцүү байх болно (дамжуулагчийн матрицтай төстэй) - учир нь харгалзах томъёонд (24) харилцан дамжуулах чадвар y ijболон-ийн хүчин зүйл юм. y ij =0.

Матрицын мөр бүр нь системийн (20) дараагийн тэгшитгэлийн дериватив юм.

Загварчилсан сүлжээний диаграммд тусгай зангилаа байгаа нь (дэмжих ба тэнцвэржүүлэх зангилаа, FM зангилаа) нөлөөлдөг. бүтэцТогтвортой төлөвийн тэгшитгэлийн систем ба Якобын матрицын бүтцэд:

1. бүхий зангилааны хувьд модулийг засахХүчдэл (FM), өгөгдсөн ба үл мэдэгдэх ба , Якобын матрицаас хасагдсандеривативын шугам (. оноос хойш ЦИтодорхойлогдоогүй бол реактив чадлын тэнцвэрийн тэгшитгэл (18), (19) болон деривативын баганыг (хүчдэлийн модулиас хойш) зурах боломжгүй. Uiмэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх жагсаалтаас хасагдсан).

2. Дэмжих ба тэнцвэржүүлэх зангилааны хувьд матрицын харгалзах мөр, багануудыг хассан;

3. Хэрэв зангилаанууд шууд холбогдоогүй бол матриц дахь харгалзах деривативууд тэгтэй тэнцүү байна.

Якобын матрицыг дөрөв хувааж болно блок:

1) - тэнцвэргүй байдлын тэгшитгэлийн деривативууд идэвхтэйхүч (20) by булангуудстресс;

2) - тэнцвэргүй байдлын тэгшитгэлийн деривативууд идэвхтэйхүчээр модулиудстресс;

3) - тэнцвэргүй байдлын тэгшитгэлийн деривативууд реактивхүч (20) by булангуудстресс;

4) - тэнцвэргүй байдлын тэгшитгэлийн деривативууд реактивхүчээр модулиудстресс.

Эдгээр нь үл мэдэгдэх өнцөг ба хүчдэлийн модулиудад идэвхтэй ба реактив чадлын тэнцвэргүй байдлын хэсэгчилсэн деривативуудын матриц эсүүд юм. Ерөнхийдөө эдгээр нь хэмжээсийн квадрат матрицууд юм n×n.

Үүнийг харгалзан Жакобын матрицыг дараах байдлаар илэрхийлж болно блокматрицууд:

Хаана үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүдийн дэд вектор.

Үүнийг харгалзан шугаман тэгшитгэлийн системийг (22) дараах хэлбэрээр бичиж болно.

. (25)

Энэ шугаман тэгшитгэлийн системийг (ямар ч мэдэгдэж байгаа аргаар) шийдвэрлэх

Аргын давталт бүрийн хувьд бид үл мэдэгдэх залруулга олж, дараа нь

тогтмол ойртож байнаүл мэдэгдэх:

(26)

Мэдэгдэхгүйн дараагийн ойролцооллыг мөн ашиглан олж авч болно давталтын томъёоНьютон-Рафсон арга, (15)-тай төстэй:

- · (27)

Энэ нь давталт бүрт Якобын матрицыг урвуу оруулахыг шаарддаг - тооцооллын төвөгтэй ажиллагаа юм.

Тогтвортой төлөвийн тэгшитгэлийн системийг Ньютон-Рафсоны аргаар шийдвэрлэх алгоритм

1. Үл мэдэгдэх хүчдэлийн анхны утгыг тохируулах. Анхны ойролцоо тооцооллын хувьд бид дараахыг хүлээн зөвшөөрдөг: , i.e. зангилааны нэрлэсэн хүчдэл;

2. Тооцооллын нөхцлийг тохируулах: нарийвчлал ε , давталтын тоог хязгаарлах, хурдасгах коэффициент гэх мэт.

3. Үл мэдэгдэх дараалсан ойролцоо тооцоолол бүхий (20) тэгшитгэлийн дагуу тэгшитгэлийн үлдэгдлийг тодорхойлох;

4. (24)-д заасны дагуу Жакоби матрицын элементүүдийг тодорхойгүйг дараалан ойртуулах замаар тодорхойлох;

5. Шугаманчлагдсан тэгшитгэлийн системийг (25) шийдвэрлэх, үл мэдэгдэх залруулга тодорхойлох;

6. (26)-д заасны дагуу үл мэдэгдэхийн дараагийн ойролцооллыг тодорхойлох;

7. Давталтын процесс дууссан эсэхийг шалгах:

Бүх зангилааны тэгшитгэлийн үлдэгдэл утга нь заасан нарийвчлалаас бага байх ёстой.

Хэрэв нөхцөл хангагдаагүй бол 3-р цэг рүү буцаж, үл мэдэгдэх шинэ ойролцоо тооцоогоор тооцооллыг давтана.

Тоо байна Ньютон-Рафсоны аргын өөрчлөлтүүд.Үүнд:

1. Ньютон-Рафсоны өөрчилсөн арга.

Якобын матрицыг үл мэдэгдэх анхны утгуудын хувьд нэг удаа тооцдог. Дараагийн давталтуудад үүнийг хүлээн зөвшөөрдөг тогтмол. Энэ нь давталт бүрт тооцооллын хэмжээг мэдэгдэхүйц бууруулдаг боловч давталтын тоог нэмэгдүүлдэг.

2. Ньютон-Рафсоны хуваах арга.

Маягтын дериватив нь маш бага бөгөөд тэдгээрийн утгыг үл тоомсорлож болно. Үүний үр дүнд Якобын матрицад хоёр блок үлддэг - 1 ба 4-р систем, тэгшитгэлээс бүрдэх систем (25). задалдагхэмжээсийн бие даасан хоёр систем болгон . Эдгээр систем бүрийг нөгөөгөөсөө тусад нь шийддэг. Энэ нь тооцооллын хэмжээ болон шаардлагатай компьютерийн санах ойг багасгахад хүргэдэг.

Жишээ нь:

Хайх даалгавраа тавьцгаая хүчинтэйЭнэ тэгшитгэлийн үндэс.

Мөн тэнд байгаа нь гарцаагүй! - тухай нийтлэлээс функцын графикуудТэгээд дээд математикийн тэгшитгэлямар хуваарь байгааг та маш сайн мэднэ олон гишүүнт функц сондгой зэрэгтэнхлэгийг дор хаяж нэг удаа огтолдог тул бидний тэгшитгэлтэй байна ядажнэг жинхэнэ үндэс. Нэг. Эсвэл хоёр. Эсвэл гурав.

Нэгдүгээрт, энэ нь бэлэн эсэхийг шалгахыг гуйж байна оновчтойүндэс дагуу харгалзах теорем, зөвхөн 1, –1, 3, –3 тоонууд энэ “гарчиг”-ыг нэхэмжлэх боломжтой бөгөөд шууд орлуулснаар тэдгээрийн аль нь ч “тохирохгүй” эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Тиймээс үндэслэлгүй үнэт зүйлс хэвээр байна. 3-р зэргийн олон гишүүнтийн иррациональ үндэсийг олж болно яг (радикалаар илэрхийлэх)гэж нэрлэгддэгийг ашиглан Кардано томъёо , гэхдээ энэ арга нь нэлээд төвөгтэй юм. Гэхдээ 5 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн олон гишүүнтүүдийн хувьд ерөнхий аналитик арга огт байдаггүй бөгөөд үүнээс гадна практикт өөр олон тэгшитгэлүүд байдаг. тодорхой утгууджинхэнэ үндсийг олж авах боломжгүй (хэдийгээр тэдгээр нь байдаг).

Гэсэн хэдий ч өргөдөлд (жишээ нь, инженер)Асуудлын хувьд тооцоолсон утгыг ашиглах нь хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй тодорхой нарийвчлалтайгаар.

Өөрийн жишээн дээр нарийвчлалыг тогтооцгооё. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бид язгуурын ИЙМ ойролцоо утгыг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм (үндэс)үүнд бид Бид 0.001-ээс хэтрэхгүй алдаатай байх баталгаатай (мянганы нэг) .

Шийдвэрийг "санамсаргүй байдлаар" эхлүүлэх боломжгүй нь тодорхой бөгөөд эхний алхамд үндэс суурь болно тусдаа. Үндэс ялгана гэдэг нь энэ үндэс хамаарах бөгөөд өөр үндэс байхгүй хангалттай жижиг (ихэвчлэн ганц) сегментийг олох гэсэн үг юм. Хамгийн энгийн бөгөөд хүртээмжтэй үндсийг салгах график арга. Барьцгаая цэгээрфункцийн график :

Зургаас харахад тэгшитгэл нь сегментэд хамаарах нэг бодит язгууртай байна. Энэ интервалын төгсгөлд функц байна өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг: , мөн баримтаас сегмент дээрх функцын тасралтгүй байдалҮндэсийг тодруулах энгийн арга нь нэн даруй харагдах болно: бид интервалыг хагас болгон хувааж, функц өөр өөр тэмдэг авах төгсгөлд сегментийг сонгоно. Энэ тохиолдолд энэ нь мэдээжийн хэрэг сегмент юм. Бид үүссэн интервалыг хагасаар хувааж, "өөр тэмдэг" сегментийг дахин сонгоно. гэх мэт. Ийм дараалсан үйлдлүүдийг гэж нэрлэдэг давталт. Энэ тохиолдолд тэдгээрийг сегментийн урт нь тооцооллын нарийвчлалаас хоёр дахин бага болтол гүйцэтгэх ёстой бөгөөд хамгийн сүүлийн "өөр тэмдэгт" сегментийн дунд хэсгийг үндэсийн ойролцоо утга болгон сонгох хэрэгтэй.

Энэ схем нь байгалийн нэрийг хүлээн авсан - хагас хуваах арга. Мөн энэ аргын сул тал бол хурд юм. Аажмаар. Маш удаан. Шаардлагатай нарийвчлалд хүрэхээс өмнө хэт олон давталт хийх болно. Компьютерийн технологи хөгжихийн хэрээр энэ нь мэдээжийн хэрэг асуудал биш боловч математик нь хамгийн оновчтой шийдлүүдийг хайж олоход зориулагдсан зүйл юм.

Үндэсний ойролцоо утгыг олох хамгийн үр дүнтэй аргуудын нэг бол яг нарийн юм шүргэгч арга. Аргын товч геометрийн мөн чанар нь дараах байдалтай байна: нэгдүгээрт, тусгай шалгуурыг ашиглана (энэ талаар бага зэрэг дараа)сегментийн төгсгөлүүдийн нэгийг сонгосон. Энэ төгсгөл гэж нэрлэдэг анхныязгуурын ойролцоо, бидний жишээнд: . Одоо бид функцийн график руу шүргэгч зурж байна абсцисса дээр (цэнхэр цэг ба ягаан шүргэгч):

Энэ шүргэгч нь шар цэг дээр x тэнхлэгийг гаталсан бөгөөд эхний алхамд бид бараг "үндэсийг цохисон" гэдгийг анхаарна уу! Энэ нь байх болно эхлээдүндэс хандлага. Дараа нь бид функцийн графикт перпендикуляр шарыг буулгаж, улбар шар цэг рүү "авна". Бид улбар шар цэгээр дахин шүргэгч зурдаг бөгөөд энэ нь тэнхлэгийг үндэс рүү нь илүү ойртуулна! гэх мэт. Шүргэх аргыг ашигласнаар бид зорилгодоо үсрэнгүй ойртож байгааг ойлгоход хэцүү биш бөгөөд нарийвчлалд хүрэхийн тулд хэд хэдэн давталт шаардлагатай болно.

Шүргэгч нь дамжуулан тодорхойлогддог тул функцийн дериватив, дараа нь энэ хичээл нь түүний хэрэглээний нэг болох "Үсмэл бүтээгдэхүүн" хэсэгт дууссан. Мөн дэлгэрэнгүй ярихгүйгээр аргын онолын үндэслэл, Би асуудлын техникийн талыг авч үзэх болно. Практикт дээр дурдсан асуудал ойролцоогоор дараах томъёололд тохиолддог.

Жишээ 1

График аргыг ашиглан тэгшитгэлийн жинхэнэ язгуур байрлах интервалыг ол. Ньютоны аргыг ашиглан язгуурын ойролцоо утгыг 0.001 нарийвчлалтайгаар гарга.

Энд нэг хүчинтэй үндэс байгаа эсэхийг нэн даруй зааж өгсөн даалгаврын "хямдхан хувилбар" байна.

Шийдэл: эхний алхам дээрүндэс нь графикаар тусгаарлагдсан байх ёстой. Үүнийг хуйвалдаан хийх замаар хийж болно (дээрх зургуудыг үзнэ үү), гэхдээ энэ арга нь хэд хэдэн сул талуудтай. Нэгдүгээрт, график нь энгийн байх нь үнэн биш юм (бид урьдчилж мэдэхгүй), мөн програм хангамж нь үргэлж гарт байдаггүй. Мөн хоёрдугаарт (1-ээс гарсан үр дүн), үр дүн нь бүдүүвч зураг биш, бүдүүлэг зураг байх магадлал өндөр байгаа нь мэдээжийн хэрэг сайн биш юм.

За, яагаад бидэнд шаардлагагүй бэрхшээл хэрэгтэй байна вэ? Төсөөлөөд үзье тэгшитгэлхэлбэрээр графикуудыг АНХААРАЛТАЙ байгуулж, зурган дээрх үндсийг тэмдэглэнэ (“Графикуудын огтлолцох цэгийн X” координат):

Илэрхий давуу тал энэ аргаЭдгээр функцүүдийн графикийг гараар илүү нарийвчлалтай, хурдан хийдэг. Дашрамд хэлэхэд үүнийг анхаарна уу шулуунгаталсан куб параболнэг цэг дээр, энэ нь санал болгож буй тэгшитгэл нь үнэндээ зөвхөн нэг бодит үндэстэй гэсэн үг юм. Итгэ, гэхдээ баталгаажуул ;-)

Тэгэхээр манай "үйлчлүүлэгч" нь сегментэд хамаарах бөгөөд "нүдээр" нь ойролцоогоор 0.65-0.7-тэй тэнцүү байна.

Хоёр дахь алхам дээрсонгох хэрэгтэй анхны ойролцоололтүндэс Ихэвчлэн энэ нь сегментийн төгсгөлүүдийн нэг юм. Анхны ойролцоо тооцоолол нь дараах нөхцлийг хангасан байх ёстой.

Олъё эхлээдТэгээд хоёрдугаартүүсмэл функцууд :

мөн сегментийн зүүн төгсгөлийг шалгана уу:

Тиймээс тэг нь "тохирсонгүй".

Сегментийн баруун төгсгөлийг шалгаж байна:

- Бүх зүйл сайхан байна! Бид анхны ойролцоолсон байдлаар сонгодог.

Гурав дахь алхам дээрҮндэс рүү хүрэх зам биднийг хүлээж байна. Дараах үндэс бүрийг өмнөх өгөгдлөөс дараах байдлаар тооцоолно давтагдахтомъёо:

Урьдчилан тогтоосон тооцооллын нарийвчлал нь нөхцөл хангагдсан үед процесс дуусна. Үүний үр дүнд “n-р” ойролцоо утгыг язгуурын ойролцоо утга болгон авна: .

Дараах нь ердийн тооцоолол юм:

(Бөөрөнхийлөлтийг ихэвчлэн 5-6 аравтын орон хүртэл хийдэг)

Хүлээн авсан утга нь -ээс их байгаа тул бид язгуурын 1-р ойролцооллыг үргэлжлүүлнэ.

Бид тооцоолно:

, тиймээс 2-р ойролцоололт руу шилжих шаардлагатай байна:

Дараагийн шатанд шилжье:

, ингэснээр давталтууд дууссан бөгөөд 2-р ойролцоолсон утгыг өгөгдсөн нарийвчлалын дагуу мянганы нэг болгон дугуйрсан язгуурын ойролцоо утга гэж авна.

Практикт оруулгыг бага зэрэг богиносгохын тулд тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд оруулах нь тохиромжтой байдаг.

Боломжтой бол тооцооллыг Excel дээр өөрөө хийх нь дээр - энэ нь илүү тохиромжтой бөгөөд хурдан юм.

Хариулах: 0.001 хүртэл нарийвчлалтай

Энэ хэллэг нь бид үнэлгээ хийхдээ алдаа гаргасныг илтгэж байгааг сануулъя жинхэнэ утгаүндэс нь 0.001-ээс ихгүй байна. Эргэлзээтэй хүмүүс тооцоолуур авч, тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа 0.674-ийн ойролцоо утгыг дахин орлуулж болно.

Одоо хүснэгтийн баруун баганыг дээрээс доош нь "сканнердаж" утгууд нь үнэмлэхүй утгаараа тогтмол буурч байгааг анзаарцгаая. Энэ эффект гэж нэрлэгддэг нэгдэлязгуурыг дур мэдэн өндөр нарийвчлалтайгаар тооцоолох боломжийг олгодог арга. Гэхдээ нэгдэл нь үргэлж тохиолддоггүй - энэ нь баталгаатай байдаг хэд хэдэн нөхцөл, энэ талаар би чимээгүй байсан. Ялангуяа үндэс нь тусгаарлагдсан сегмент байх ёстой хангалттай жижиг- эс тэгвээс утгууд санамсаргүй байдлаар өөрчлөгдөх бөгөөд бид алгоритмыг дуусгах боломжгүй болно.

Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Заасан нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгана уу (дээрх холбоосыг үзнэ үү), шаардлагатай бол сегментийг багасгах. Тиймээс, харьцангуйгаар, хэрэв дүн шинжилгээ хийсэн жишээн дээр интервал нь бидэнд тохирохгүй байсан бол жишээлбэл сегментийг авч үзэх хэрэгтэй. Практик дээр би ийм тохиолдолтой тулгарсан, мөн энэ техник үнэхээр тусалдаг! Хэрэв "өргөн" сегментийн хоёр төгсгөл нь нөхцөлийг хангахгүй байвал ижил зүйлийг хийх ёстой (өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн аль нь ч анхан шатны тооцоололд тохирохгүй).

Гэхдээ ихэвчлэн бүх зүйл цаг шиг ажилладаг боловч алдаа дутагдалгүй байдаг:

Жишээ 2

Тэгшитгэлийн бодит язгуурын тоог графикаар тодорхойлж, эдгээр язгуурыг салгаж, Ньютоны аргыг ашиглан язгуурын ойролцоо утгыг нарийвчлалтайгаар ол.

Асуудлын нөхцөл байдал мэдэгдэхүйц хатуу болсон: нэгдүгээрт, тэгшитгэл нь нэг үндэсгүй гэсэн хүчтэй санааг агуулдаг, хоёрдугаарт, нарийвчлалын шаардлага нэмэгдсэн, гуравдугаарт, функцийн графиктай даван туулахад хамаагүй хэцүү.

Тиймээс шийдэлХадгаламжийн трикээр эхэлцгээе: тэгшитгэлийг маягтаар төсөөлж, график зур.


Зургаас харахад бидний тэгшитгэл хоёр жинхэнэ үндэстэй байна.

Таны ойлгож байгаагаар алгоритмыг хоёр удаа "хэрэглэх" хэрэгтэй. Гэхдээ энэ нь хамгийн хүнд тохиолдолд ч гэсэн заримдаа 3-4 үндэсийг шалгах шаардлагатай болдог.

1) Шалгуур ашиглах Эхний язгуурын анхны ойролцоолсноор сегментийн аль төгсгөлийг сонгохыг олж мэдье. Функцийн деривативыг олох :

Сегментийн зүүн төгсгөлийг турших:

- гарч ирэв!

Тиймээс анхны ойролцоо тооцоолол юм.

Бид давтагдах томъёог ашиглан Ньютоны аргыг ашиглан үндсийг боловсронгуй болгоно.
- бутархай хүртэл модульшаардлагатай нарийвчлалаас багагүй байна:

Энд "модуль" гэдэг үг нь утгагүй ач холбогдолтой, учир нь утга нь сөрөг байна.


Үүнтэй ижил шалтгааны улмаас та дараагийн ойролцоололт бүрт шилжихдээ илүү их анхаарал хандуулах хэрэгтэй.

Нарийвчлалын талаар нэлээд өндөр шаардлага тавьсан хэдий ч процесс дахин 2-р ойролцоолсноор дууссан: , тиймээс:

0.0001 хүртэл нарийвчлалтай

2) Үндэсний ойролцоо утгыг олъё.

Бид сегментийн зүүн төгсгөлд бөөс байгаа эсэхийг шалгана.

, тиймээс энэ нь анхны ойролцоолсон байдлаар тохиромжгүй.

2. Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдэх Ньютоны арга.

Энэ арга нь энгийн давталтын аргаас хамаагүй хурдан нийлдэг. Ньютоны тэгшитгэлийн системийн арга (1.1) нь функцийг өргөтгөхөд суурилдаг

, Хаана
(2.1)

Хоёр ба түүнээс дээш эрэмбийн деривативуудыг агуулсан нэр томьёо хасагдсан Тейлорын цувралд. Энэ арга нь нэг шугаман бус системийн (1.1) шийдлийг хэд хэдэн шугаман системийн шийдлээр солих боломжийг олгодог.

Тиймээс бид (1.1) системийг Ньютоны аргаар шийдэх болно. D бүсэд дурын цэгийг сонгоно уу
мөн үүнийг анхны системийн яг шийдлийн тэг ойролцоо гэж нэрлэнэ. Одоо (2.1) функцийг цэгийн ойролцоох Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлье. Бидэнд байх болно

Учир нь (2.2)-ын зүүн талууд (1.1)-ийн дагуу алга болох ёстой бөгөөд дараа нь (2.2)-ын баруун талууд мөн алга болно. Тиймээс (2.2) -аас бид байна

(2.3)-д заасан бүх хэсэгчилсэн деривативуудыг цэг дээр тооцоолох ёстой.

(2.3) нь үл мэдэгдэх шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем бөгөөд хэрэв үндсэн тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай бол хэмжигдэхүүнүүдийг олох боломжтой бол энэ системийг Крамерын аргаар шийдэж болно.

Одоо бид координатаар эхний ойролцооллыг бий болгосноор тэг ойролцоо утгыг боловсронгуй болгож чадна.

тэдгээр.
. (2.6)

Ойролцоогоор (2.6) хангалттай нарийвчлалтайгаар олж авсан эсэхийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд нөхцөл байдлыг шалгая

,
(2.7)

Хаана урьдчилан тодорхойлсон жижиг эерэг тоо (системийг (1.1) шийдвэрлэх нарийвчлал). Хэрэв нөхцөл (2.7) хангагдсан бол (1.1) системийн ойролцоо шийдэл болгон (2.6)-г сонгож тооцооллыг гүйцээнэ. Хэрэв нөхцөл (2.7) хангагдаагүй бол бид дараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Системд (2.3) оронд
шинэчлэгдсэн утгуудыг авч үзье

, (2.8)

тэдгээр. дараах зүйлийг хийцгээе

. (2.9)

Үүний дараа (2.3) систем нь хэмжигдэхүүнүүдийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем байх болно. Эдгээр хэмжигдэхүүнийг тодорхойлсны дараа дараагийн хоёр дахь ойролцооллыг хийнэ.
(1.1) системийн шийдлийг бид томъёог ашиглан олно

Одоо нөхцөлийг шалгацгаая (2.7)

Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол бид (1.1) системийн ойролцоо шийдэл болгон хоёр дахь ойролцооллыг авч тооцооллыг дуусгана.
. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол бид (2.3)-ыг авч дараагийн ойролцоо тооцоог үргэлжлүүлнэ.
Нөхцөл хангагдахгүй болтол ойртсон тооцоолол хийх шаардлагатай.

Системийг шийдвэрлэх Ньютоны аргын ажлын томьёо (1.1) хэлбэрээр бичиж болно.

Тооцооллын дараалал

Энд
системийн шийдэл юм

(2.11)-(2.13) томъёог ашиглан тооцооллын алгоритмыг томъёолъё.

1. D мужид хамаарах 0 ойролцооллыг сонгоё.

2. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системд (2.13) бид тогтоосон
, А.

3. (2.13) системийг шийдэж хэмжигдэхүүнүүдийг олцгооё
.

4. Томъёонд (2.12) бид тавьдаг
дараагийн ойролцоо тооцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тооцоолно.

5. Нөхцөл (2.7)-ыг шалгая: (Хэд хэдэн хэмжигдэхүүний дээд хэмжээг тооцоолох алгоритмыг үзнэ үү.)

6. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол (1.1) системийн ойролцоолсон шийдлээр ойролцоогоор тооцооллыг сонгон тооцооллыг дуусгана. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол 7-р алхам руу шилжинэ.

7. Тавьцгаая
хүн бүрт.

8. 3-р алхам буюу тавихыг гүйцэтгье
.

Геометрийн хувьд энэ алгоритмыг дараах байдлаар бичиж болно.

Алгоритм. Хамгийн ихдээ хэд хэдэн хэмжигдэхүүнийг тооцоолох.

Жишээ. Хоёр тэгшитгэлийн системийг Ньютоны аргыг ашиглан шийдэхийг авч үзье.

Ньютоны аргыг ашиглан дараах шугаман бус тэгшитгэлийн системийг нарийвчлалтай шийд

, (2.14)

Энд
. Тэгтэй ойролцоо утгыг сонгоцгооё
, домэйнд хамаарах D. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг байгуулъя (2.3). Тэр харагдах болно

(2.15)

гэж тэмдэглэе

(2.15) системийг үл мэдэгдэх зүйлийн талаар бодъё
жишээлбэл, Крамерын арга. Бид Крамерын томъёог хэлбэрээр бичнэ

(2.17)

системийн гол тодорхойлогч хаана байна (2.15)

(2.18)

(2.15) системийн туслах тодорхойлогч нь хэлбэртэй байна

.

Бид олсон утгыг (2.16) -д орлуулж, эхний ойролцоолсон бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг олно.
системийн шийдэлд (2.15).

Нөхцөл байдлыг шалгацгаая

, (2.19)

хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол бид эхний ойролцооллыг системийн (2.15) ойролцоо шийдэл болгон авч тооцооллыг дуусгана, өөрөөр хэлбэл.
. Хэрэв нөхцөл (2.19) хангагдаагүй бол бид тохируулна
,
шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн шинэ системийг байгуулна (2.15). Үүнийг шийдсэний дараа бид хоёр дахь ойролцоо утгыг олно
. Үүнийг шалгаж үзье. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол бид системийн ойролцоо шийдлийг сонгоно (2.15)
. Хэрэв дээрх нөхцөл хангагдаагүй бол бид тохируулна
,
Дараах системийг (2.15) байгуулж олно
гэх мэт.

Даалгаврууд

Бүх даалгаврууд нь дараахь зүйлийг шаарддаг.

Санал болгож буй алгоритмын дагуу аргын тоон хэрэгжилтийн хөтөлбөрийг гарга.

Тооцооллын үр дүнг авах.

Үр дүнгээ шалгана уу.

Хоёр шугаман бус тэгшитгэлийн системийг өгөв.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Бүлэг 3. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAEs) шийдвэрлэх тоон аргууд.

Ажлын зорилго. SLAE-ийг шийдвэрлэх зарим ойролцоо аргуудын танилцуулга, тэдгээрийг компьютер дээр тоон хэлбэрээр хэрэгжүүлэх.

Урьдчилсан тайлбар. SLAE-ийг шийдвэрлэх бүх аргыг ихэвчлэн хоёр том бүлэгт хуваадаг. Эхний бүлэгт үнэн зөв гэж нэрлэгддэг аргууд орно. Эдгээр аргууд нь аль ч системд тодорхой тооны арифметик үйлдлүүдийн дараа тодорхойгүй утгыг олох боломжтой болгодог.

Хоёр дахь бүлэгт үнэн зөв биш бүх аргууд орно. Тэдгээрийг давтагдах буюу тоон буюу ойролцоо гэж нэрлэдэг. Ийм аргыг ашиглахдаа нарийн шийдлийг эцэс төгсгөлгүй ойртуулах үйл явцын үр дүнд олж авдаг. Ийм аргуудын сэтгэл татам шинж чанар нь тэдгээрийг өөрөө засах, компьютер дээр хэрэгжүүлэхэд хялбар байдал юм.

SLAE-ийг шийдвэрлэх зарим ойролцоо аргуудыг авч үзэх, тэдгээрийг тоон хэлбэрээр хэрэгжүүлэх алгоритмыг бий болгох. Бид SLAE-ийн нарийвчлалтай ойролцоо шийдлийг олж авах болно, энд маш бага эерэг тоо байна.

1. Давталт хийх арга.

SLAE-г маягтаар өгье

(1.1)

Энэ системийг матриц хэлбэрээр бичиж болно

, (1.2)

Хаана
- систем дэх үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн матриц (1.1),
- чөлөөт гишүүдийн багана,
- системийн үл мэдэгдэх багана (1.1).

. (1.3)

(1.1) системийг давталтын аргыг ашиглан шийдье. Үүнийг хийхийн тулд бид дараах алхмуудыг хийх болно.

Нэгдүгээрт. Тэгтэй ойролцоо утгыг сонгоцгооё

(1.4)

(1.1) системийн яг шийдэлд (1.3). Тэг ойролцоох бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь дурын тоо байж болно. Гэхдээ тэгийн ойролцоох бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн аль нэг тэгийг авах нь илүү тохиромжтой
, эсвэл системийн үнэгүй нөхцөл (1.1)

Хоёрдугаарт. Бид тэг ойролцоох бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг системийн баруун талд (1.1) орлуулж, тооцоолно.

(1.5)

(1.5)-ын зүүн талд байгаа хэмжигдэхүүнүүд нь эхний ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсэг юм
Эхний ойролцоолсон үйлдлийг давталт гэж нэрлэдэг.

Гуравдугаарт. Тэг болон эхний ойролцоо утгыг шалгая

(1.6)

Хэрэв бүх нөхцөл (1.6) хангагдсан бол (1.1) системийн ойролцоо шийдэлд бид аль нэгийг нь сонгоно, эсвэл хамаагүй, учир нь Тэд бие биенээсээ илүүгүй ялгаатай тул тооцоогоо дуусгацгаая. Хэрэв нөхцөлүүдийн дор хаяж нэг нь (1.6) хангагдаагүй бол бид дараагийн үйлдэл рүү шилжинэ.

Дөрөвдүгээрт. Дараагийн давталтыг хийцгээе, i.e. Системийн баруун талд (1.1) бид эхний ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг орлуулж, хоёр дахь ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тооцоолно.
, Хаана

Тавдугаарт. Шалгацгаая
мөн дээр , i.e. Эдгээр ойролцоо утгыг (1.6) нөхцөлийг шалгацгаая. Хэрэв бүх нөхцөл (1.6) хангагдсан бол (1.1) системийн ойролцоо шийдлийн аль нэгийг сонгох болно, эсвэл хамаагүй, учир нь -ээс ихгүй хэмжээгээр бие биенээсээ ялгаатай. Үгүй бол бид хоёр дахь ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг системийн баруун талд (1.1) орлуулах замаар дараагийн давталтыг байгуулна.

Хоёр зэргэлдээ ойртох хүртэл давталтуудыг барих шаардлагатай
-ээс ихгүй хэмжээгээр бие биенээсээ ялгаатай байх болно.

(1.1) системийг шийдвэрлэх давталтын аргын ажлын томьёог дараах байдлаар бичиж болно

Томъёоны (1.7) тоон хэрэгжилтийн алгоритм нь дараах байдалтай байж болно.

Системийн (1.1) давталтын аргыг нэгтгэх хангалттай нөхцөл нь хэлбэртэй байна

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Энгийн давталтын арга.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAE) хэлбэрээр өгье

(2.1)

Энгийн давталтын аргыг ашиглан системийг (2.1) шийдэхийн тулд эхлээд хэлбэрт оруулах шаардлагатай

(2.2)

Системд (2.2) --р тэгшитгэл нь (2.1) системийн --р тэгшитгэл бөгөөд -р үл мэдэгдэх (
).

Системийг (2.2) систем болгон бууруулж, дараа нь (2.2) системийг давталтын аргыг ашиглан шийдвэрлэх аргыг (2.1) системийг (2.1) энгийн давталтын арга гэж нэрлэдэг.

Тиймээс (2.1) системийг шийдвэрлэх энгийн давталтын аргын ажлын томьёо нь хэлбэртэй байна

(2.3)

Томъёо (2.3) хэлбэрээр бичиж болно

(2.4) томъёоны дагуу системийн (2.1) энгийн давталтын аргыг тоон хэлбэрээр хэрэгжүүлэх алгоритм нь дараах байдалтай байж болно.

Энэ алгоритмыг геометрийн хэлбэрээр бичиж болно.

Системийн (2.1) давталтын энгийн аргыг нэгтгэх хангалттай нөхцөл нь хэлбэртэй байна.

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Суурин Зайделийн арга.

SLAE-ийг шийдвэрлэх Зайделийн арга нь давталтын аргаас ялгаатай нь --р бүрэлдэхүүн хэсгийн ойролцоо утгыг олсны дараа бид дараагийнхыг олохын тулд тэр даруй ашигладаг.
,
, …, --р бүрэлдэхүүн хэсэг. Энэ арга нь Зайделийн аргын давталтын аргатай харьцуулахад илүү өндөр нийлэх боломжийг олгодог.

SLAE-г маягтаар өгье

(3.1)

Болъё
- яг шийдэлд тэг ойртсон
системүүд (3.1). Тэгээд олдох болтугай Ойролцоо
. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлъё
томьёо ашиглан ойртуулах

(3.2)

Томъёо (3.2)-ыг авсаархан хэлбэрээр бичиж болно

,
,
(3.3)

Томъёо (3.3) ашиглан системийг (3.1) шийдвэрлэх Зайделийн аргыг тоон аргаар хэрэгжүүлэх алгоритм нь дараах байдалтай байж болно.

1. Жишээ нь:
,

2. тавьцгаая.

3. Бүгдээрээ тооцоолъё.

4. Бид хүн бүрийн нөхцөлийг шалгана
.

5. Хэрэв 4-р зүйлд заасан бүх нөхцөл хангагдсан бол (3.1) системийн аль нэгийг нь эсвэл ойролцоо шийдэл болгон сонгож, тооцооллыг гүйцээнэ. Хэрэв 4-р алхамын дор хаяж нэг нөхцөл хангагдаагүй бол 6-р алхам руу шилжинэ.

6. Үүнийг тавиад 3-р алхам руу шилжье.

Энэ алгоритмыг геометрийн хэлбэрээр бичиж болно.

Систем (3.1)-д Зайделийн аргыг нэгтгэх хангалттай нөхцөл нь хэлбэртэй байна
, .

4. Суурин бус Зайделийн арга.

SLAE (3.1)-ийг шийдвэрлэх энэхүү арга нь Зайделийн аргын нэгдэх хурдыг бүр ч өндөр болгодог.

(3.1) системийн 3-р ойролцоо ба 3-р ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг ямар нэгэн байдлаар олъё.

Залруулгын векторыг тооцоолъё

Утгыг тооцож үзье

, (4.2)

Тоо хэмжээг цэгцэлье
, буурах дарааллаар.

Үүнтэй ижил дарааллаар бид (3.1) систем дэх тэгшитгэлүүд болон энэ систем дэх үл мэдэгдэх зүйлсийг дахин бичнэ. ШугаманалгебрТэгээд шугаман бус ... МенежментУчир ньлаборатори ажилладагBy ... арга зүйнзааварчилгаа Учир ньпрактикажилладагBy Учир ньоюутнууд ...

УЛСЫН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА

"Нэрмийн дагуу Днестрийн Улсын Их Сургууль. Т.Г. Шевченко"

Рыбница салбар

Физик, математик, мэдээлэл зүйн тэнхим

Курсын ажил

"Компьютер дээрх асуудлыг шийдвэрлэх семинар" гэсэн чиглэлээр.

"Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдэх Ньютоны арга"

Дууссан:

3-р курсын оюутан;

330-р бүлэг

Мэргэжлийн чиглэл: "Мэдээлэл зүй"

нэмэлтээр англи хэлээр мэргэшсэн

Nistor A.G.

Шалгасан:

багш Панченко Т.А.

Хүний үйл ажиллагааны бүх салбарт компьютерийг нэвтрүүлэх нь янз бүрийн мэргэжлийн мэргэжилтнүүдээс компьютерийн технологийг ашиглах ур чадварыг эзэмшихийг шаарддаг. Эхний жилээс эхлэн компьютерийн хэрэглээ, хамгийн энгийн тоон аргыг эзэмшсэн их, дээд сургуулийн оюутнуудын сургалтын түвшин нэмэгдэж байгаа нь бүү хэл курс, дипломын төсөл хэрэгжүүлэх, компьютерийн технологи ашиглах нь хэвийн үзэгдэл болж байна. дийлэнх их дээд сургуулиудад.

Компьютерийн технологийг одоо зөвхөн инженерийн тооцоолол, эдийн засгийн шинжлэх ухаанд төдийгүй анагаах ухаан, хэл шинжлэл, сэтгэл судлал гэх мэт уламжлалт математикийн бус мэргэжлээр ашиглаж байна. Үүнтэй холбоотойгоор компьютерийн хэрэглээ өргөн тархсан гэж хэлж болно. Мэргэжилтнүүдийн томоохон ангилал бий болсон - өөрсдийн салбартаа компьютер ашиглах талаар мэдлэг шаардлагатай компьютер хэрэглэгчид - одоо байгаа програм хангамжтай ажиллах чадвар, мөн тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд тохирсон өөрийн програм хангамжийг бий болгох чадвар. Энд өндөр түвшний програмчлалын хэл, тоон аргуудын тайлбар нь хэрэглэгчдэд туслах болно.

Тоон аргуудыг ихэвчлэн өндөр мэргэшсэн математикчид боловсруулж, судалдаг. Ихэнх хэрэглэгчдийн хувьд гол ажил бол үндсэн санаа, арга, онцлог, програмуудыг ойлгох явдал юм. Гэсэн хэдий ч хэрэглэгчид компьютертэй зөвхөн өндөр ухаалаг тооны машин төдийгүй өдөр тутмын ажилд туслах туслах, хурдан бөгөөд эмх цэгцтэй нэвтрэх мэдээллийн сан, график мэдээллийн эх сурвалж, процессороор ажиллахыг хүсдэг. Би энэ курсын ажилд орчин үеийн компьютерийн эдгээр бүх функцийг харуулахыг зорьж байна.

Зорилго, зорилтууд.

Энэхүү курсын ажлын зорилго нь Ньютоны аргыг ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийн шийдлийг програм хангамжийн бүтээгдэхүүнд хэрэгжүүлэхэд оршино. Энэхүү ажил нь дүгнэлт, хавсралт гэсэн гурван хэсэгтэй. Эхний хэсэг нь онолынх бөгөөд Ньютоны аргын талаархи ерөнхий мэдээллийг агуулдаг. Хоёр дахь нь практик хэсэг юм. Энд бид тодорхой жишээн дээр дүн шинжилгээ хийсэн Ньютоны аргыг тайлбарлав. Гурав дахь нь програмыг турших, үр дүнд нь дүн шинжилгээ хийхэд зориулагдсан. Эцэст нь хийсэн ажлын талаархи дүгнэлтийг танилцуулав.

Энэхүү курсын ажлын зорилго нь шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Ньютоны аргыг программ хангамжаар хэрэгжүүлэх явдал юм.

Үүнийг хийхийн тулд та дараах ажлуудыг гүйцэтгэх ёстой.

1. Шаардлагатай ном зохиолыг судлах.

2. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх одоо байгаа аргуудыг эргэн харах.

3. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Ньютоны аргыг судлах.

4. Шугаман бус тэгшитгэлийн шийдлийг Ньютоны аргаар тодорхой жишээн дээр авч үзье.

5. Шугаман бус тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдвэрлэх программ зохио.

6. Үр дүнд дүн шинжилгээ хийх.

Шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг олох асуудлыг авч үзье

(1) тэгшитгэлийн язгуурууд нь орлуулсны дараа түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргах x-ийн утгууд юм. Зөвхөн хамгийн энгийн тэгшитгэлийн хувьд томъёоны хэлбэрээр шийдлийг олох боломжтой, өөрөөр хэлбэл. аналитик хэлбэр. Ойролцоо аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг бөгөөд эдгээрээс хамгийн өргөн тархсан нь компьютер бий болсноор тоон аргууд юм.

Ойролцоо аргыг ашиглан үндсийг олох алгоритмыг хоёр үе шатанд хувааж болно. Эхний шатанд үндэсийн байршлыг судалж, тэдгээрийг салгах ажлыг гүйцэтгэдэг. Тэгшитгэлийн язгуур буюу x 0 язгуурын анхны ойролцоолсон мужийг олно. Энэ асуудлыг шийдэх хамгийн энгийн арга бол f(x) функцийн графикийг судлах явдал юм. Ерөнхий тохиолдолд үүнийг шийдэхийн тулд математик шинжилгээний бүх хэрэгслийг ашиглах шаардлагатай.

Олдсон сегмент дээр дор хаяж нэг тэгшитгэлийн язгуур (1) байгаа нь Болзаногийн нөхцлөөс хамаарна.

f(a)*f(b)<0 (2)

Энэ нь f(x) функц нь энэ интервал дээр тасралтгүй байна гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч энэ нөхцөл нь өгөгдсөн сегмент дээрх тэгшитгэлийн язгуурын тооны талаархи асуултанд хариулж чадахгүй. Хэрэв функцийн тасралтгүй байдлын шаардлага нь түүний монотон байдлын шаардлагаар нэмэгддэг бөгөөд энэ нь эхний деривативын тэмдгийн тогтмол байдлаас үүдэлтэй бол өгөгдсөн сегмент дээр нэг язгуур байгаа гэдгийг баталж чадна.

Үндэсийг нутагшуулахдаа энэ төрлийн тэгшитгэлийн үндсэн шинж чанарыг мэдэх нь чухал юм. Жишээлбэл, алгебрийн тэгшитгэлийн зарим шинж чанарыг эргэн санацгаая.

бодит коэффициентүүд хаана байна.

a) n зэрэгтэй тэгшитгэл нь n үндэстэй бөгөөд тэдгээрийн дунд бодит ба нийлмэл аль аль нь байж болно. Нарийн төвөгтэй үндэс нь нарийн төвөгтэй хосолсон хосуудыг үүсгэдэг тул тэгшитгэл нь тэгш тооны ийм үндэстэй байдаг. Хэрэв n нь сондгой бол ядаж нэг жинхэнэ язгуур байна.

b) Эерэг бодит язгуурын тоо нь коэффициентүүдийн дарааллын хувьсах тэмдгийн тооноос бага буюу тэнцүү байна. (3) тэгшитгэлийн х-г –х-ээр сольсноор сөрөг язгуурын тоог ижил аргаар тооцоолох боломжтой.

(1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр дахь шатанд олж авсан анхны ойролцооллыг ашиглан язгуурын утгыг урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар боловсронгуй болгох боломжийг олгодог давталтын процессыг байгуулна. Давтагдах үйл явц нь анхны ойртсон утгыг дараалан боловсронгуй болгохоос бүрдэнэ. Ийм алхам бүрийг давталт гэж нэрлэдэг. Давталтын үйл явцын үр дүнд тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгуудын дараалал олддог. Хэрэв энэ дараалал нь n өсөхөд x язгуурын жинхэнэ утгад ойртвол давтагдах процесс нийлнэ. Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд давтагдах процессыг дор хаяж m дараалалд нийлдэг гэж нэрлэдэг.

, (4)

Энд C>0 тогтмол байна. Хэрэв m=1 бол бид нэгдүгээр эрэмбийн нэгдлийн тухай ярина; m=2 - квадратын тухай, m=3 - куб нийлбэрийн тухай.

Өгөгдсөн зөвшөөрөгдөх алдааны хувьд үнэмлэхүй буюу харьцангуй хазайлтын шалгуурыг хангасан тохиолдолд давталтын мөчлөг дуусна.

эсвэл жижиг зөрүү:

Энэхүү ажил нь Ньютоны аргыг ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг судлахад зориулагдсан болно.

1.1 Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх одоо байгаа аргуудын тойм

Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх олон янзын аргууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн заримыг доор үзүүлэв.

1)Давталтын арга. Шугаман бус тэгшитгэлийг давталтын аргаар шийдвэрлэхдээ x=f(x) хэлбэрээр бичигдсэн тэгшитгэлийг ашиглана. Аргументийн анхны утга x 0 ба нарийвчлал ε-ийг зааж өгсөн болно. x 1 уусмалын эхний ойролцоолсон утгыг x 1 =f(x 0), хоёр дахь нь - x 2 =f(x 1) гэх мэт илэрхийллээс олно. Ерөнхий тохиолдолд xi+1 =f(xi) томъёог ашиглан i+1 ойролцоо утгыг олно. Бид энэ процедурыг |f(xi)|>ε хүртэл давтана. Давталтын аргын нийлэх нөхцөл |f"(x)|<1.

2)Ньютоны арга. Шугаман бус тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдвэрлэхдээ аргументийн анхны утга x 0 ба нарийвчлал ε-ийг зааж өгнө. Дараа нь (x 0 ,F(x 0)) цэг дээр F(x) график руу шүргэгч зурж, шүргэгчийн х 1 тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг тодорхойлно. (x 1 ,F(x 1)) цэг дээр бид дахин шүргэгчийг байгуулж, хүссэн шийдлийн дараагийн ойролцоолсон утгыг олно x 2 гэх мэт. Бид энэ процедурыг |F(xi)| хүртэл давтана > ε. Шүргэгчийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг (i+1) тодорхойлохдоо x i+1 =x i -F(x i)\ F’(x i) томъёог ашиглана. Шүргэх аргын нийлэх нөхцөл F(x 0)∙F""(x)>0 гэх мэт.

3). Дихотомийн арга.Шийдвэрлэх арга нь C k = a k + b k /2 томъёоны дагуу эхний тодорхойгүй байдлын интервалыг аажмаар хагасаар хуваахад хүргэдэг.

Үүссэн хоёр сегментээс шаардлагатай нэгийг нь сонгохын тулд үүссэн сегментүүдийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг олж, функц тэмдэгээ өөрчилдөг нэгийг, өөрөөр хэлбэл f ( нөхцөлийг) авч үзэх шаардлагатай. a k) * f (k-д) хангагдсан байх ёстой<0.

Сегментийг хуваах үйл явц нь одоогийн тодорхойгүй байдлын интервалын урт нь заасан нарийвчлалаас бага болтол явагдана.

in to - a to< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). Хөвчний арга. Аргын санаа нь y=f(x) функцийн графын нумын төгсгөлүүд ба хөвчний х-тэй огтлолцох c цэгийг агуулж буй сегмент дээр хөвчийг байгуулах явдал юм. тэнхлэгийг язгуурын ойролцоо утга гэж үзнэ

c = a - (f(a)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c = b - (f(b)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)).

Дараагийн ойролцооллыг интервал дээр эсвэл a, b, c цэгүүд дэх функцийн утгын тэмдгүүдээс хамааран хайж байна.

x* O, хэрэв f(c)H f(a) > 0;

x* O хэрэв f(c)Х f(b)< 0 .

Хэрэв f"(x) тэмдэг нь өөрчлөгдөөгүй бол c=x 1 гэж тэмдэглээд a эсвэл b-г анхны ойролцоолсон гэж үзвэл бид баруун эсвэл зүүн цэгтэй хөвчний аргын давтагдах томьёог олж авна.

x 0 =a, x i+1 = x i - f(x i)(b-x i) / (f(b)-f(x i), f "(x)Х f "(x) > 0-тэй;

x 0 =b, x i+1 = x i - f(x i)(x i -a) / (f(x i)-f(a), f "(x)Х f "(x)-тай< 0 .

Хөвчний аргын нэгдэл нь шугаман байна.

1.2 Ньютоны аргын алгоритм

Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох үр дүнтэй алгоритмыг бүтээцгээе. Анхны ойролцоо утгыг өгье. Энэ үед функцийн утга ба түүний деривативыг тооцоолъё. Аргын график дүрслэлийг харцгаая:

.

(8)

Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлснээр бид алдартай Ньютоны томъёог олж авна.

(9)

Энд хамгийн энгийн рекурсив дэд программ функц байна:

функц X_Newt(x,eps:real):бодит;

y:=x-f(x)/f1(x);

хэрэв abs(f(x)) > eps

дараа нь X_Newt:=X_Newt(y,eps)

Ньютоны арга (шүргэгч) нь квадрат ойртох хурдаар тодорхойлогддог, i.e. Давталт бүрт зөв тэмдгийн тоо хоёр дахин нэмэгддэг. Гэсэн хэдий ч энэ арга нь үргэлж хүссэн үр дүнд хүргэдэггүй. Энэ асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзье.

(1) тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн эквивалент тэгшитгэл болгон хувиргацгаая.

Шүргэх аргын хувьд . Хэрэв x=x 0 язгуурын анхны ойролцоололт нь мэдэгдэж байгаа бол бид x 1 =g(x 0) тэгшитгэлээс дараагийн ойролцоолсон утгыг олно, тэгвэл x 2 =g(x 1),... Энэ процессыг үргэлжлүүлбэл, энгийн давталтын аргын давтагдах томьёог олж авна

x k+1 =g(x k) (11)

Давтагдах үйл явц (5-7) нөхцөл хангагдтал үргэлжилнэ.

Тайлбарласан тооцооллын процесс нь үргэлж хүссэн шийдэлд хүргэдэг үү? Ямар нөхцөлд нэгдэх вэ? Эдгээр асуултад хариулахын тулд аргын геометрийн дүрслэл рүү дахин орцгооё.

Тэгшитгэлийн язгуурыг y=x ба y=g(x) функцүүдийн огтлолцлын цэгээр илэрхийлнэ. Зураг дээрээс харж болно. 3(а), хэрэв нөхцөл хангагдсан бол процесс нийлнэ, эс бөгөөс сална (Зураг 3(б)).

Тиймээс давтагдах үйл явц нэгдэж, хүссэн үр дүнд хүргэхийн тулд дараах нөхцөлийг хангасан байх ёстой.

f(x)=0 тэгшитгэлээс x=g(x) тэгшитгэл рүү шилжих шилжилтийг янз бүрийн аргаар хийж болно. Энэ тохиолдолд сонгосон g(x) функц (12) нөхцөлийг хангах нь чухал. Жишээлбэл, f(x) функцийг дурын тогтмол q-д үржүүлж, (1) тэгшитгэлийн хоёр талд x хувьсагчийг нэмбэл g(x)=q*f(x)+x болно. Алгоритмын нэгдэх хурд хамгийн их байхаар q тогтмолыг сонгоцгооё. Хэрэв 1

Ньютоны арга нь нийлэх хувь өндөртэй ч тэр бүр нийлдэггүй. g(x) = x – f(x)/ f’(x) нийлэх нөхцөл нь шаардлагад буурна.

Практик тооцоололд анхны утгыг хүссэн утгад аль болох ойртуулах, програмд ​​"гогцооны хамгаалалт" суурилуулах нь чухал юм.

Аргын сул тал нь алхам бүрт зөвхөн функцийг төдийгүй түүний деривативыг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Энэ нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Ньютоны аргын нэг өөрчлөлт бол деривативыг зөвхөн эхний давталтаар тооцоолох явдал юм.

(13)

Өөр нэг өөрчлөлтийн арга бол деривативыг хязгаарлагдмал зөрүүгээр солих явдал юм

(14)

Дараа нь (15)

Ньютоны алгоритмын энэхүү өөрчлөлтийн геометрийн утга нь шүргэгчээс бид секант руу ирдэг. Секантын арга нь нийлэх хурдаараа Ньютоны аргаас доогуур боловч деривативын тооцоог шаарддаггүй. Секантын аргын анхны ойролцоолсон утгууд нь үндэсийн өөр өөр талд эсвэл нэг талд байрлаж болно гэдгийг анхаарна уу.

Ньютоны аргын алгоритмыг ерөнхий хэлбэрээр бичье.

1. Нөхцөл хангагдахын тулд анхны ойролцоолсон x (0)-ийг тогтооно

f(x (0))*f’’(x (0))>0. (16)

Тооцооллын нарийвчлалын хувьд жижиг эерэг тоог ε тогтооно. k = 0 гэж тохируулна.

2. Томъёо (9) ашиглан x (k+1)-ийг тооцоол.

.

3. Хэрэв | x (k+1) - x (k) |< ε, то процесс вычисления прекратить и положить х* = x (k+1) . Үгүй бол k-г 1-ээр (k = k + 1) нэмэгдүүлж, 2-р алхам руу орно.

Ньютоны аргыг ашиглан хэд хэдэн шугаман бус тэгшитгэлийг гараар шийдэж, дараа нь програм хангамжийн бүтээгдэхүүнийг хэрэгжүүлэх явцад олж авсан үр дүнг харьцуулж үзье.

Жишээ 1

sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

F’(x)=2x cosx 2 - 2x sinx 2 - 10.

F’’(x)=2cosx 2 - 4x 2 sinx 2 - 2sinx 2 - 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2) - sinx 2 (2+4x 2).

Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

x (0) = 0. 565, тэгвэл f(0. 565)*f’’(0. 565) = -4. 387 * (-0.342) = 1.5 > 0,

Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 0.565-ыг авна.

Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 0.101 байна.

Жишээ 2

Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0

Тооцооллыг ε = 0.001 нарийвчлалтайгаар хийх ёстой.

Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё.

F’(x) = 1 – sin x + x*e -x2/2 .

Одоо функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолъё.

F’’(x) = e -x2/2 *(1-x 2) – cos x.

Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя.

Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

x (0) = 2, тэгвэл f(2)*f’’(2) = 0,449 * 0,010 = 0,05 > 0,

Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 2-ыг авна.

Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэх утгын хүснэгтийг үүсгэцгээе.

Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 1.089 байна.

Жишээ 3

Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Тооцооллыг ε = 0.001 нарийвчлалтайгаар хийх ёстой.

Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё.

F’(x) = 2*x + e -x .

Одоо функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолъё.

F’’(x) = 2 - e -x .

Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя.

Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

x (0) = 1, тэгвэл f(2)*f’’(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэх утгын хүснэгтийг үүсгэцгээе.

Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 0.703 байна.

Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

cos x –e -x/2 +x-1=0.

Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё.

F’(x) = -sin x + e -x/2 /2+1.

Одоо функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолъё.

F’’(x) = -cos x - e -x/2/4.

Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя.

Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

x (0) = 1, тэгвэл f(2)*f’’(2) = -0. 066 * (-0.692) = 0.046 > 0,

Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 1-ийг авна.

Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэх утгын хүснэгтийг үүсгэцгээе.

Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 1.162 байна.

Жишээ 5

Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

2+e x - e -x =0.

Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё.

F’(x) = e x +e -x .

Одоо функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолъё.

F''(x) = e x -e -x .

Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя.

Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0.

x (0) = 1, тэгвэл f(2)*f’’(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,

Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 1-ийг авна.

Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэх утгын хүснэгтийг үүсгэцгээе.

Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 0.881 байна.

3.1 Хөтөлбөрийн тайлбар

Энэ програм нь текст болон график горимд ажиллахад зориулагдсан. Энэ нь График модуль, Crt, гурван функц, гурван процедураас бүрдэнэ.

1. Crt модуль нь дэлгэцийн текстийн горим, өргөтгөсөн гарын код, өнгө, цонх, дуу чимээ зэргийг хянахад зориулагдсан;

2. График модуль нь график объектуудыг удирдахад зориулагдсан;

3. процедур GrafInit - график горимыг эхлүүлнэ;

4. функц VF – функцийн утгыг тооцоолно;

5. f1 функц – функцийн эхний деривативын утгыг тооцоолно;

6. X_Newt функц – Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг хэрэгжүүлдэг.

7. процедур FGraf – өгөгдсөн f(x) функцийн график байгуулах ажлыг хэрэгжүүлнэ;

Ots=35 - мониторын хил хязгаараас догол хийх цэгүүдийн тоог тодорхойлдог тогтмол;

fmin, fmax - функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгууд;

SetColor(4) – график объектын одоогийн өнгийг палитр ашиглан тохируулах процедур ба энэ тохиолдолд улаан өнгөтэй байна;

SetBkColor(9) нь палитр ашиглан одоогийн дэвсгэр өнгийг тохируулах процедур бөгөөд энэ тохиолдолд цайвар цэнхэр өнгөтэй байна.

8. MaxMinF процедур нь f(x) функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг тооцоолох болно.

Шугаман – координат (x1, y1) цэгээс координаттай (x2, y2) цэг хүртэл шугам татах процедур;

MoveTo – заагчийг (CP) координаттай (x, y) цэг рүү шилжүүлэх процедур;

TextColor(5) – тэмдэгтүүдийн одоогийн өнгийг тохируулах процедур бөгөөд энэ тохиолдолд ягаан өнгөтэй байна;

Outtexty(x, y, 'string') – (x, y) байрлалаас эхлэн мөр гаргадаг процедур.

CloseGraph нь график системийг хаадаг процедур юм.

3.2 Програмыг турших

Програмыг туршихын тулд бид үр дүнг харьцуулах, програмын зөв ажиллагааг шалгахын тулд ажлын практик хэсэгт шийдсэн жишээнүүдийг авна.

1) нүгэл x 2 + cosx 2 - 10x. = 0.

= -1 оруулна уу

b=1 гэж оруулна уу

= [-1, 1]

(функцийн график гаралт)

Бид дараахыг авна: x=0.0000002

2) cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0.

Энэхүү программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, тухайн сегмент дээрх функцийн ойролцоо графикийг зурдаг.

= -3 оруулна уу

b=3 гэж оруулна уу

= [-3, 3]

(функцийн график гаралт)

Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс:

Үр дүнгийн хариултыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгацгаая.

Бид авна: x=-0.0000000

3) x 2 - e -x = 0.

Энэхүү программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, тухайн сегмент дээрх функцийн ойролцоо графикийг зурдаг.

= -1 оруулна уу

b=1 гэж оруулна уу

= [-1, 1]

Тооцооллын нарийвчлалыг eps=0 гэж оруулна. 01

(функцийн график гаралт)

Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс:

Үр дүнгийн хариултыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгацгаая.

Бид авна: x=0.0000000

4) cos x –e -x/2 +x-1=0.

Энэхүү программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, тухайн сегмент дээрх функцийн ойролцоо графикийг зурдаг.

a = -1.5 оруулна уу

b=1.5 оруулна уу

= [-1,5, 1,5 ]

Тооцооллын нарийвчлалыг eps=0 гэж оруулна. 001

(функцийн график гаралт)

Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс:

Үр дүнгийн хариултыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгацгаая.

Бид дараахийг авна: x=0.0008180

5) -2+e x - e -x =0.

Энэхүү программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, тухайн сегмент дээрх функцийн ойролцоо графикийг зурдаг.

a = -0.9 оруулна уу

b=0.9 оруулна уу

= [-0,9, 0,9]

Тооцооллын нарийвчлалыг eps=0 гэж оруулна. 001

(функцийн график гаралт)

Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс:

Үр дүнгийн хариултыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгацгаая.

Ажлын зорилго нь Ньютоны аргыг ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох программ бүтээх явдал байв. Үүний үндсэн дээр бид зорилгодоо хүрсэн гэж дүгнэж болно, учир нь үүнийг хэрэгжүүлэхийн тулд дараахь ажлуудыг шийдсэн.

1. Шаардлагатай ном зохиолыг судалсан.

2. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх одоо байгаа аргуудыг авч үзсэн.

3. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдэх Ньютоны аргыг судалсан.

4. Шугаман бус тэгшитгэлийн Ньютоны аргаар шийдлийг жишээгээр авч үзнэ.

5. Хөтөлбөрийг туршиж, дибаг хийсэн.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

1. B.P. Демидович, И.А. Тооцооллын математикийн үндэс. - Москва, ред. "Шинжлэх ухаан"; 1970.

2. В.М. Вержбицкий. Тоон аргууд (шугаман алгебр ба шугаман бус тэгшитгэл). - Москва, "Ахлах сургууль"; 2000.

3. Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков. Бодлого, дасгалын тоон аргууд. - Москва, "Ахлах сургууль"; 2000.

4. Matthews, John, G., Fink, Curtis, D. Numerical methods MATLAB, 3rd edition - Moscow, "Villas"; 2001 он.