x 1 , x 2 ,….,ξ n санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тесттэй холбоно. Энэ бүлэгт оруулсан ойлголтуудыг энэ тохиолдолд хэрхэн шилжүүлж байгааг товч дурдъя.

1. x 1 , x 2 ,….,ξ n санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын функц нь функц юм.

x 1 , x 2 ,….,ξ n санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан магадлалын нягт нь функц юм.

Тэгш эрх бий

2. Бид тэмдэглэе a i, σ jсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба стандарт хазайлт ξ i, to ij – санамсаргүй хэмжигдэхүүний ковариац ξ i, ξ j:

дуудсан дисперсийн матрицсанамсаргүй хэмжигдэхүүн x 1, x 2,….,ξ n. D матрицын дараах шинж чанаруудыг тэмдэглэе.

1 0 . D матрицын үндсэн диагоналын элементүүд нь x 1, x 2,….,ξ n санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсүүд юм:

2 0 . D матриц тэгш хэмтэй: k ij =k ji .

3 0 . D матрицын хувийн утга нь сөрөг биш юм.

1 0, 2 0-ийн шинж чанарууд нь тодорхой байна. Уншигчийг n=2 онцгой тохиолдлын хувьд 3 0 шинж чанарыг шалгахыг урьж байна.

(28)

Энд r нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн коэффициент x 1, x 2.

3. Энэ бүлгийн §3-д x 1, x 2 санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан хэвийн тархалтын тухай ойлголтыг оруулсан - томьёог (25) үзнэ үү. Энэ ойлголтыг дараах байдлаар ерөнхийд нь авч үздэг. Хэрэв үе мөчний магадлалын нягтыг томъёогоор өгсөн бол x 1 , x 2 ,….,ξ n санамсаргүй хувьсагчдыг хамтарсан хэвийн тархалттай гэж үзнэ.

дисперсийн матриц D-ийн тодорхойлогч хаана байна,

ij -тэй C=D -1 матрицын элементүүд.

Онцгой тохиолдолд n=2 энэ тодорхойлолт нь тодорхойлолттой давхцаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг (25); Үүнийг хийхийн тулд D матрицад (28) томъёо, тэгээс өөр тодорхойлогчтой хоёр дахь эрэмбийн матрицын урвуу томъёог ашиглах шаардлагатай.

(Бид уншигчдыг бие даан шалгахыг зөвлөж байна).

Дараах мэдэгдлүүд үнэн: хэрэв x 1, x 2,….,ξ n нь хамтарсан хэвийн тархалттай бол тэдгээр нь тус тусад нь мөн хэвийн байна; хэрэв ξ i бүр хэвийн ба x 1 , x 2 ,….,ξ n нь бие даасан байвал тэдгээрийн хамтарсан тархалт мөн хэвийн байх ба томъёо нь биелнэ.

Энд f i (x) нь магадлалын нягт ξ i . Ерөнхий нөхцөлд хувь хүн бүрийн хэвийн байдал ξ i нь хамтарсан тархалтын хэвийн байдлыг илэрхийлдэггүй.

Хамтарсан хэвийн тархалтын тухай ойлголт нь магадлалын онолын хэрэглээнд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Бүлэг 5. Их тооны хууль. Хязгаарын теоремууд

Доод их тооны хуульдахь хэв маягийг ойлгох асар ихсанамсаргүй үзэгдэл, олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэл нь санамсаргүй бус үр дүнд хүргэдэг. Энэ төрлийн хэв маягийн жишээг оршил хэсэгт өгөв: бие даасан ижил төстэй туршилтуудын урт цуврал дахь санамсаргүй үйл явдлын хувь хэмжээ бараг санамсаргүй биш юм. Өөр нэг гайхалтай жишээ: Энэ нь хэд хэдэн тохиолдолд олон тооны санамсаргүй нэр томъёоны нийлбэрийг хуваарилах хууль нь нэр томъёоны тархалтын хуулиас хамаардаггүй бөгөөд үүнийг урьдчилан таамаглах боломжтой юм! Магадлалын онол дахь хязгаарын теоремуудын зорилго нь олон тооны хуулийн янз бүрийн хэлбэрийн хатуу томъёолол, үндэслэлийг хангах явдал юм. Энэ бүлэгт бид эдгээр төрлийн үр дүнг товчхон авч үзэх болно.

Санамсаргүй туршилтын  анхан шатны үр дүнгийн орон зайг үр дүн бүр  i j нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний -тэй тэнцүү байхаар байг. x i ба санамсаргүй хэмжигдэхүүний  утга нь тэнцүү байна y j.

1. Саваа хэлбэртэй эд ангиудын том цуглуулгыг төсөөлье. Туршилт нь санамсаргүй байдлаар нэг саваа сонгохоос бүрдэнэ. Энэ саваа нь урттай бөгөөд бид үүнийг , зузааныг - гэж тэмдэглэнэ (та бусад параметрүүдийг зааж өгч болно - эзэлхүүн, жин, өнгөлгөөг стандарт нэгжээр илэрхийлнэ).

2. Хэрэв бид хоёр өөр корпорацийн хувьцааг авч үзвэл тухайн биржийн арилжааны өдөр тус бүр нь тодорхой ашиг орлоготой байдаг. Санамсаргүй хувьсагч  ба  нь эдгээр корпорацийн хувьцааны өгөөж юм.

Эдгээр тохиолдлуудад бид  ба  санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамтарсан тархалтын тухай эсвэл “хоёр хэмжээст” санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ярьж болно.

Хэрэв  ба  нь салангид бөгөөд хязгаарлагдмал тооны утгыг авбал ( - nутгууд ба  – кутгууд), дараа нь хос тоо бүр байвал санамсаргүй хэмжигдэхүүний  ба  хамтарсан тархалтын хуулийг тодорхойлж болно. x би , y j (Хаана x би утгын багцад хамаарагдана, ба y j-утгын багц ) магадлалыг холбох х би j, бүх үр дүнг нэгтгэсэн үйл явдлын магадлалтай тэнцүү  би j(зөвхөн эдгээр үр дүнгээс бүрдэх) нь  = утгуудад хүргэдэг xi;  = y j.

Энэхүү хуваарилалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр тодорхойлж болно.

Мэдээжийн хэрэг

Хэрэв бид бүгдийг нэгтгэн дүгнэвэл r би jВ би--р мөрөнд  санамсаргүй хэмжигдэхүүн x i утгыг авах магадлалыг авна. r би jВ jҮүний нэгэн адил, хэрэв бид бүгдийг нэгтгэн дүгнэвэл

--р баганыг бид авна y  утгыг авах магадлал .

j x би  П би (би Захидал n= 1.2,, y j  П j (j Захидал к) санамсаргүй хэмжигдэхүүний  тархалтын хуулийг тодорхойлно.

Мэдээжийн хэрэг,.

Өмнө нь бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд  ба  хэрэв бол бие даасан байна гэж хэлсэн

pij=PiP j (i= 1,2, ,н;j= 1,2,, k).

Хэрэв энэ нь үнэн биш бол  ба  нь хамааралтай болно.

 ба  санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамаарал юу вэ, үүнийг хүснэгтээс хэрхэн тодорхойлох вэ?

Баганыг анхаарч үзээрэй y 1. x биТоо бүр

х би / 1 = (1)

тоог тааруулъя Үүнийг бид нөхцөлт магадлал = гэж нэрлэх болно би x y=-тэй П би 1. Үүнийг бид нөхцөлт магадлал = гэж нэрлэх болно биЭнэ нь магадлал биш гэдгийг анхаарна уу.

үйл явдал =

x, мөн (1) томъёог аль хэдийн мэдэгдэж байсан нөхцөлт магадлалын томьёотой харьцуул.r, мөн (1) томъёог аль хэдийн мэдэгдэж байсан нөхцөлт магадлалын томьёотой харьцуул./ 1 , (биЗахидал n)

би y=1,2,,

санамсаргүй хэмжигдэхүүний  нөхцөлт тархалтыг = гэж нэрлэнэ y 2 ; y 1. y nМэдээжийн хэрэг. x би санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын ижил төстэй нөхцөлт хуулиудыг -тэй тэнцүү бусад бүх утгуудад байгуулж болно. х би / j =().

3 ,, y j

, тоотой таарч байна y j

нөхцөлт магадлал x би = үед санамсаргүй хэмжигдэхүүний  тархалтын нөхцөлт хуулийг хүснэгтэд үзүүлэв

(jЗахидал к)

 = үед нөхцөлт математик хүлээлт  гэсэн ойлголтыг танилцуулж болно x би :

 ба  нь тэнцүү гэдгийг анхаарна уу. Та нөхцөлт тархалтыг  =-ээр оруулж болно дагаж мөрдөх(/ = y jМөн =-ийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүний  нөхцөлт математик хүлээлтийн тухай ойлголтыг танилцуулж болно. j Захидал кТодорхойлолтоос харахад хэрэв  ба  нь бие даасан байвал бүх нөхцөлт тархалтын хуулиуд ижил бөгөөд тархалтын хууль -тай давхцаж байна (хүснэгт (*)-д  тархалтын хуулийг эхний ба сүүлчийн байдлаар тодорхойлсон гэдгийг бид танд сануулж байна. багана). Энэ тохиолдолд бүх нөхцөлт математикийн хүлээлтүүд давхцаж байгаа нь ойлгомжтой

М

) цагт

, эдгээр нь M-тай тэнцүү байна.

Жишээ I.  ба  хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын хуулийг дараах хүснэгтээр өгье. Энд дээр дурдсанчлан эхний ба сүүлчийн багана нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг , эхний ба сүүлчийн мөр нь  санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлно.

Нөхцөлт тархалтын олон өнцөгтийг гурван хэмжээст график дээр дүрсэлж болно (Зураг 1).

Эндээс нөхцөлт тархалтын хуулийн   утгаас хамаарах нь тодорхой харагдаж байна.

Жишээ II.

Р(=2; =0)= Р(=0; =2)=Р(=0)Р(=2)=1/12.

Мөн Р(=3; =0)=0 байх нь ойлгомжтой.

Жишээ III.

Хүснэгтээр өгөгдсөн  ба -ийн хамтарсан тархалтын хуулийг авч үзье

Энэ тохиолдолд нөхцөл P(= x би ; =y j)=P(= x би)P(= y j), би, j =1,2,3

Нөхцөлт хуваарилалтын хуулиудыг бүтээцгээе

Нөхцөлт тархалтын  хуулиуд нь =1,2,3 үед бие биенээсээ ялгаатай биш бөгөөд санамсаргүй хэмжигдэхүүний  тархалтын хуультай давхцдаг.

Энэ тохиолдолд  ба  нь бие даасан байна.

 ба  санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарал нь тэдгээрийн тархалтын төвөөс  ба  хазайлтын үржвэрийн математик хүлээлтээр тодорхойлогддог (санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг заримдаа ингэж нэрлэдэг) ковариацын коэффициент буюу энгийнээр ковариац гэж нэрлэдэг. cov(; ) =((– cov(; ) =)(– cov(; ) =))

М x 1 , x 2 , x 1. x n ,  =  y 1 , y 2 , y =  гэж үзье y к 3 ,,

.

Дараа нь

cov(; )=(2) x би – cov(; ) =)( y j – cov(; ) =Энэ томъёог дараах байдлаар тайлбарлаж болно.

Хэрэв -ийн том утгуудын хувьд -ийн том утга, -ийн жижиг утгуудын хувьд -ийн бага утгатай байх магадлал өндөр байвал (2) томъёоны баруун талд эерэг нөхцөл давамгайлна. , мөн ковариац эерэг утгыг авна.

Хэрэв бүтээгдэхүүн ( : ), янз бүрийн шинж тэмдгийн хүчин зүйлээс бүрдэх, өөрөөр хэлбэл -ийн их утгыг авчрах санамсаргүй туршилтын үр дүн нь ерөнхийдөө -ийн жижиг утгуудад хүргэдэг ба эсрэгээр, дараа нь ковариац нь их сөрөг утгыг авдаг.

Эхний тохиолдолд шууд холболтын тухай ярих нь заншилтай байдаг: -ийн өсөлтөөр санамсаргүй хэмжигдэхүүн  өсөх хандлагатай байдаг. x би – cov(; ) =)( y j – cov(; ) =)х би jХоёр дахь тохиолдолд бид санал хүсэлтийн талаар ярьдаг

 нэмэгдэх тусам санамсаргүй хэмжигдэхүүн  буурах эсвэл буурах хандлагатай байна. П(( = x би)∩( = y j)) = П( = x би)П( = y j) (би Захидал n; j Захидал кХэрэв эерэг ба сөрөг бүтээгдэхүүнүүд нийлбэрт ойролцоогоор ижил хувь нэмэр оруулсан бол (

, тэгвэл нийтдээ тэд бие биенээ "цуцлах" бөгөөд ковариац нь тэгтэй ойролцоо байх болно гэж хэлж болно. Энэ тохиолдолд нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс нөгөөд хамаарах хамаарал харагдахгүй байна.

Үүнийг харуулахад амархан ), дараа нь cov(; )= 0 байна..

Баталгаа (хязгаарлагдмал тооны утга бүхий салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд).

Ковариацийг хэлбэрээр илэрхийлэхэд тохиромжтой

cov(; )= cov(; ) =(– cov(; ) =–cov(; ) =+ cov(; ) = cov(; ) =)=cov(; ) =()– cov(; ) =( cov(; ) =)–cov(; ) =(cov(; ) =)+ cov(; ) =(cov(; ) = cov(; ) =)=

=cov(; ) =()– cov(; ) =cov(; ) =– cov(; ) = cov(; ) =+cov(; ) = cov(; ) ==cov(; ) =()– cov(; ) = cov(; ) =

Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний ковариац нь тэдгээрийн үржвэрийн математик хүлээлтээс математикийн хүлээлтийн үржвэрийг хассантай тэнцүү байна.

Математикийн хүлээлтийн дараах шинж чанар амархан нотлогддог: хэрэв  ба  нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол дагаж мөрдөх()= дагаж мөрдөх дагаж мөрдөх. cov(; ) =() = )

(Томъёог ашиглан өөрөө батал Ийнхүү бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд  ба  cov(;)=0 байна.Даалгаврууд

.

1. Зоосыг 5 удаа шиддэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн  – унагасан сүлдний тоо, санамсаргүй хэмжигдэхүүн  – сүүлийн хоёр шидэлтэнд унагасан сүлдний тоо. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын хуулийг байгуулж, -ийн өөр утгуудын хувьд нөхцөлт тархалтын хуулийг  байгуул.

 ба -ийн нөхцөлт хүлээлт ба ковариацыг ол.

2. 32 хуудастай тавцангаас санамсаргүй байдлаар хоёр картыг зурсан.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн  нь түүвэр дэх хөзрийн тоо, санамсаргүй хэмжигдэхүүн  нь түүвэр дэх хаадын тоо юм.  ба -ийн хамтарсан хуваарилалтын хуулийг байгуулж, -ийн өөр утгуудын хувьд -ийн нөхцөлт тархалтын хуулийг байгуул.

 ба -ийн нөхцөлт хүлээлт ба ковариацыг ол.

Түгээлтийн полигон CBX - үхэл шидэх үед авсан онооны тоо.

3 Түгээлтийн эгнээ, түгээлтийн полигон

SW тархалтын хуулийг танилцуулах арга, хэлбэр нь өөр байж болно. DSV X-ийн тархалтын хуулийг тодорхойлох хамгийн энгийн хэлбэр бол түгээлтийн цуврал юм. DSV X магадлалын тархалтын цуврал нь SV-ийн бүх боломжит утгууд болон CB эдгээр утгыг авах магадлалыг жагсаасан хүснэгт юм. Үйл явдлууд нь хоорондоо таарахгүй, учир нь тэд туршлагын үр дүнд зөвхөн нэг утгыг авч, үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлж чаддаг.Тиймээс хүснэгтийн зөв эсэхийг шалгахын тулд бүх магадлалыг нэгтгэн дүгнэх шаардлагатай.

Тодорхой болгохын тулд түгээлтийн цувралыг графикаар үзүүлэв. Үүнийг хийхийн тулд SV-ийн бүх боломжит утгыг тэнхлэгийн дагуу зурна

0x , мөн тэнхлэгийн дагуу

0у

Түгээлтийн олон өнцөгт нь янз бүрийн хэлбэртэй байж болно.

Жишээ- Курсант А, В мэргэжлээр хичээлийн улирлын шалгалтанд тэнцэх магадлал 0.7 ба 0.8 байна. Кадетийн авдаг улирлын шалгалтын тоог хуваарилах олон өнцөгтийг хуваарилах цувралыг эмхэтгэ.

ШийдэлБоломжит утгууд C B X - тэнцсэн шалгалтын тоо - 0, I, 2.

Кадет дамжсан үйл явдал байг бишалгалт ( би=1, 2).

Бид хараат бус гэж үзвэл ийм магадлал бий

курсант шалгалтанд тэнцэхгүй

Энэ нь нэг шалгалтыг давах болно

тэр хоёр шалгалт өгөх болно

Түгээлтийн цуваа ба түгээлтийн полигон нь иймэрхүү харагдах болно

TCO хуваарилалтын хуулийг янз бүрийн хэлбэрээр тодорхойлж болно. Даалгаврын нэг хэлбэр нь SRES түгээлтийн хүснэгт юм.

X ба Y нь DSV байх ба боломжит утгууд нь , хаана, байна. Дараа нь ийм SV-ийн системийн тархалтыг SV X нь утгыг авах, үүнтэй зэрэгцэн SV Y нь утгыг авах магадлалыг зааж өгч болно. Магадлалыг маягтын хүснэгтэд нэгтгэн харуулав

Ийм хүснэгтийг хязгаарлагдмал тооны боломжит утгуудтай SRES түгээлтийн хүснэгт (матриц) гэж нэрлэдэг. Бүх боломжит үйл явдлууд нь үл нийцэх үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг

Түгээлтийн хүснэгтийн үр дүнгийн багана эсвэл мөр нь нэг хувьсах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тархалтыг тус тус илэрхийлнэ.

Үнэн хэрэгтээ үйл явдлын магадлалыг үл нийцэх үйл явдлын магадлалын нийлбэрээр тооцоолох замаар нэг хэмжээст SCV-ийн тархалтыг олж авч болно.

Үүний нэгэн адил

Тиймээс Түгээлтийн хүснэгтээс нэг хэмжээст SV тодорхой утгыг авсан байх магадлалыг олохын тулд та энэ хүснэгтийн мөрөнд (баганаас) энэ утгад тохирох магадлалыг нэгтгэх хэрэгтэй.

Хэрэв бид нэг аргументын утгыг засах юм бол, жишээ нь set , дараа нь SVX-ийн үр дүнгийн тархалтыг нөхцөлийн дагуу X-ийн нөхцөлт тархалт гэж нэрлэдэг.

Энэ хуваарилалтын магадлал нь тухайн үйл явдал тохиолдсоныг харгалзан олсон үйл явдлын нөхцөлт магадлал байх болно.

Нөхцөлт магадлалын тодорхойлолтоос

Үүний нэгэн адил нөхцөлийн дагуу VCA-ийн илүү нөхцөлт хуваарилалт нь тэнцүү байна

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт тархалт.

Нэг төрлийн тархалт ба түүний онцлог.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба санамсаргүй векторын тархалтын хууль

Мөн SV нь эдгээр утгыг ямар магадлалаар авдаг, ерөнхийдөө SV нь тэнхлэгийн цэгүүдийн тодорхой интервалд хүрэх магадлал хэд болохыг мэдэх шаардлагатай. DSV X-ийн тархалтын хуулийг тодорхойлох хамгийн энгийн хэлбэр бол түгээлтийн цуврал юм..

Интервалыг ихэвчлэн авч үздэг

Хэрэв SV-ийн бүх боломжит утгууд мэдэгдэж байгаа бол SV-тэй холбоотой янз бүрийн үйл явдлын магадлалыг олох боломжтой бол, жишээлбэл. тодорхой интервалд унах магадлалыг ол, тэгвэл магадлалын үүднээс энэ SV-ийн талаар бүх зүйл мэдэгдэж байна.

SV-ийн тархалтын хууль нь SV-ийн боломжит утгууд болон харгалзах магадлалуудын хоорондын холбоог тогтоодог аливаа харилцаа юм.

СВ-ийн тухайд энэ хуваарилалтын хуульд хамрагдана гэж байна. Үүнийг аналитик, хүснэгт, график хэлбэрээр тодорхойлж болно.

Санамсаргүй векторын шинж чанар нь түүний тархалтын хууль юм.

TCO түгээлтийн хууль нь боломжит TCO утгын талбарууд болон эдгээр хэсэгт гарч ирэх системийн магадлалын хоорондын холбоог тогтоодог харилцаа юм.

Нэг SV-ийн нэгэн адил SV-ийн тархалтын хуулийг янз бүрийн хэлбэрээр зааж өгч болно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын функц нь n бодит хувьсагчаас хамаарах функц бөгөөд Санал 4.1 (Баталгаа байхгүй) . Хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцүүдийн зарим шинж чанарыг жагсаацгаая: Хувьсагч бүрийн монотон чанар, жишээлбэл,

``хасах хязгааргүй'' хязгаар: хэрэв бид хамтарсан хуваарилалтын функцэд нэгээс бусад бүх хувьсагчийг засаж, үлдсэн хувьсагчийг чиглүүлбэл хязгаар тэгтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, "нэмэх хязгааргүй" гэсэн тогтмол хязгааруудын хувьд. Жишээлбэл, Регрессийн шугам, хамааралХэрэв X ба Y хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хоорондоо хамааралтай шугаман регрессийн функцтэй бол X ба Y утгуудыг хамааралтай гэж үзнэ.

шугаман корреляцийн хамаарал. Теорем. Хэрэв хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүн (X, Y) хэвийн тархалттай бол X ба Y нь шугаман хамаарлаар холбогдоно.

c2 нийлбэрийн эхний гурван момент (хүлээлтийн дисперс ба гурав дахь төв момент) нь f, 2f, 8f-тэй тэнцүү байна. f^1 ба f^2 чөлөөт зэрэгтэй c1^2 ба c2^2 бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр нь “H.-k”-д захирагдана. r. f^1 + f^2 эрх чөлөөний зэрэгтэй. "H.-k."-ийн жишээнүүд. r. Рэйлигийн тархалт ба Максвеллийн тархалтад захирагдах санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратуудын тархалт болж болно. "H.-K"-ийн хувьд. r. тэгш тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй бол Пуассоны тархалтыг илэрхийлнэ: Хэрэв c2 нийлбэрийн f гишүүний тоо хязгааргүй өсвөл төв хязгаарын теоремын дагуу нормчлогдсон харьцааны тархалт стандарт хэвийн тархалтад нийлнэ. : хаана

Энэ баримтын үр дагавар нь f-ийн их утгын хувьд Ff (x)-ийг тооцоолоход тохиромжтой өөр нэг хязгаарын хамаарал юм.

Оюутны хуваарилалт

Энэхүү тархалт нь Английн эрдэмтэн Госсет статистикийн талаархи бүтээлүүддээ гарын үсэг зурсан Оюутны хоч нэрээс нэрээ авчээ. Бие даасан стандарт хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзье. Эрх чөлөөний зэрэгтэй Оюутны тархалт нь дараах санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт юм: (46) Хэрэв бид (44) томъёогоор оруулсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг эргэн санавал хамаарал нь Оюутны тархалттай гэж хэлж болно. Энэ тархалтын нягт нь томьёогоор өгөгдсөн тэгш хэмтэй функц юм. Функцийн графикийн хэлбэр нь стандарт хэвийн хуулийн нягтын графиктай төстэй боловч "сүүл" нь илүү удаан буурдаг. Функцуудын дараалал нь хуваарилалтын нягтрал болох функцэд нийлэх үед. Энэ баримт яагаад болж байгааг ойлгохын тулд их тооны хуулийн дагуу илэрхийллийн хуваагч (46) нь дараах хандлагатай байгааг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Санамсаргүй туршилтын W анхан шатны үр дүнгийн орон зайг w i j үр дүн бүр нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгатай тэнцүү байхаар байг. x i ба санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийн утга тэнцүү байна y j.

1. 2 ерөнхий хэмжээсээр тодорхойлогддог хэсгүүдийн багцыг төсөөлье. Санамсаргүй туршилт нь нэг хэсгийг санамсаргүй байдлаар сонгохоос бүрдэнэ. Энэ хэсэг нь урттай бөгөөд бид үүнийг X, зузаан нь Y-ээр тэмдэглэнэ

2. Туршилтын үр дүнд нэмэгдүүлсэн тэтгэлэгт нэр дэвших оюутны сонгон шалгаруулалт гарсан бол. Дараа нь X ба Y нь сүүлийн хоёр хичээлийн дундаж оноо юм

Энэ тохиолдолд бид X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын тухай эсвэл "хоёр хэмжээст" санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ярьж болно.

Хэрэв X ба Y нь салангид бөгөөд хязгаарлагдмал тооны утгыг авдаг бол (X - nутгууд ба Y - мутгууд), дараа нь X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын хуулийг хос тоо тус бүрээр зааж өгч болно x i, y j(Хаана x i X утгын багцад хамаарах ба y j- магадлалд нийцэх Y) утгуудын багц p ij, бүх үр дүнг нэгтгэсэн үйл явдлын магадлалтай тэнцүү w ij(зөвхөн эдгээр үр дүнгээс бүрдэх) нь X = утгуудад хүргэдэг x i; Y= y j.

Энэхүү хуваарилалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр тодорхойлж болно.

эхний болон сүүлийн мөрүүд нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийн тархалтын цувааг өгнө. Хүснэгт нь хоёр хэмжээст дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль бөгөөд хэрэв сүүлийн мөр эсвэл сүүлчийн баганад магадлалын нийлбэр байвал (мөн үүний дагуу, Хүснэгт дэх магадлалын нийлбэр) = 1.

Энэ хүснэгтийг ашиглан нэг хэмжээст тохиолдлын адилаар хамтарсан хуваарилалтын функцийг тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд p ij-ийг бүх i, j дээр нийлбэрлэх шаардлагатай x i< x, y j < y

Ингээд авч үзье жишээ("Бауманы нэрэмжит ТВ" МУИС)

Бернулли схемийн дагуу p амжилтын магадлал ба q = 1-p бүтэлгүйтлийн магадлалаар 2 туршилтыг явуулна.

Хоёр хэмжээст векторын (X 1, X 2) тархалтыг авч үзье, тус бүр нь 2 утгыг авч болно: 0 эсвэл 1 (харгалзах туршилтын амжилтын тоо). Хоёр туршилтын амжилтын тоо 2 алдаа гарсан тохиолдолд 0 байдаг бөгөөд энэ нь бие даасан байдлаас шалтгаалан qq-тэй тэнцүү байна. Тийм ч учраас

"0" баганын огтлолцол дээр бид q 2 гэж бичнэ.

Хамтарсан хуваарилалтын функц F (x 1, x 2) гурван хэмжээст орон зай дахь гадаргууг тодорхойлно.

Тодорхойлолт. Нөхцөлт хуваарилалтын хууль(X |Y=y j)(j X-ийн бүх утгын хувьд ижил утгыг хадгална) нь p(x 1 |y j), p(x 2 |y j),... p(x n |y j) нөхцөлт магадлалын багц юм. , ба нөхцөлт магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно.

р(X=x i |Y=y j) = р(X=x i ,Y=y j) / р(Y=y j)

Жишээ. Дискрет хоёр хэмжээст хэмжигдэхүүнийг тодорхойлсон

р(X=x 1 |Y=y 1) = р(X=x 1,Y=y 1) / р(Y=y 1)= 0.15/0.8 = 3/16

р(X=x 2 |Y=y 1) = р(X=x 2,Y=y 1) / р(Y=y 1)=0.3/0.8 = 3/8

р(X=x 3 |Y=y 1) = р(X=x 3,Y=y 1) / р(Y=y 1) = 0.35/0.8 = 7/16

Шалгах: магадлалын нийлбэр нь 1 байна.

Сэтгэгдэл. Ийм байдлаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан байдлыг шалгах боломжтой. Үйл явдлын хараат бус байдлын нэгэн адил санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн бие даасан байдлыг нөхцөлт магадлалаар тодорхойлж болно. Үлдсэн зүйл бол нөхцөлт ба болзолгүй хуваарилалтын хуулиудыг харьцуулах явдал юм.

Жишээ.

1-р тоотой хоёр карт, 2-той гурван карт агуулсан хайрцгийг авч үзье. Хоёр картыг ар араас нь гаргаж авдаг. X нь эхний карт дээрх тоо юм. Y - хоёрдугаарт. Хамтарсан хуваарилалтын хуулийг ол (X,Y)

P((X,Y)=(1,1)) = P(X=1)P(Y=1|X=1)=2/5× ¼ = 1/10 магадлалын үржвэрийн томъёог бид ашигладаг.

Магадлалын нийлбэр = 1.

 1,  2,….,ξ n санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тесттэй холбоно. Энэ бүлэгт оруулсан ойлголтуудыг энэ тохиолдолд хэрхэн шилжүүлж байгааг товч дурдъя.

1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын функц  1,  2,….,ξ n функц байна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан магадлалын нягтрал  1,  2,….,ξ n нь функц юм.

Тэгш эрх бий

2. Бид тэмдэглэе А би , σ jсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба стандарт хазайлт ξ i, to ij – санамсаргүй хэмжигдэхүүний ковариац ξ i, ξ j:

дуудсан дисперсийн матрицсанамсаргүй хэмжигдэхүүн  1,  2,….,ξ n. D матрицын дараах шинж чанаруудыг тэмдэглэе.

1 0 . D матрицын үндсэн диагоналын элементүүд нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний  1,  2,….,ξ n дисперсүүд юм:

2 0 . D матриц тэгш хэмтэй: k ij =k ji .

3 0 . D матрицын хувийн утга нь сөрөг биш юм.

1 0, 2 0-ийн шинж чанарууд нь ойлгомжтой. Уншигчийг n=2 онцгой тохиолдлын хувьд 3 0 шинж чанарыг шалгахыг урьж байна.

(28)

Энэ тохиолдолд D матриц нь хэлбэртэй байна

Энд r нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний корреляцийн коэффициент  1,  2.

3. Энэ бүлгийн §3-д санамсаргүй хэмжигдэхүүний  1,  2-ын хамтарсан хэвийн тархалтын тухай ойлголтыг оруулсан - (25) томъёог үзнэ үү. Энэ ойлголтыг дараах байдлаар ерөнхийд нь тайлбарлав. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд  1,  2,….,ξ n нь үений магадлалын нягтыг томъёогоор өгсөн тохиолдолд хамтарсан хэвийн тархалттай гэнэ. Хаана

- дисперсийн матрицын тодорхойлогч D,

ij -тэй C=D -1 матрицын элементүүд.

Онцгой тохиолдолд n=2 энэ тодорхойлолт нь тодорхойлолттой давхцаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг (25); Үүнийг хийхийн тулд D матрицад (28) томъёо, тэгээс өөр тодорхойлогчтой хоёр дахь эрэмбийн матрицын урвуу томъёог ашиглах шаардлагатай.

(Бид уншигчдыг бие даан шалгахыг зөвлөж байна).

Дараах мэдэгдлүүд үнэн: хэрэв  1,  2,….,ξ n нь хамтарсан хэвийн тархалттай бол тэдгээр нь тус тусад нь мөн хэвийн байна; хэрэв ξ i бүр хэвийн бөгөөд нэгэн зэрэг  1,  2,....,ξ n нь бие даасан байвал тэдгээрийн хамтарсан тархалт нь мөн хэвийн байх ба томъёо нь биелнэ.

Энд f i (x) нь магадлалын нягт ξ i . Ерөнхий нөхцөлд хувь хүн бүрийн хэвийн байдал ξ i нь хамтарсан тархалтын хэвийн байдлыг илэрхийлдэггүй.

Бүлэг 5. Их тооны хууль. Хязгаарын теоремууд

Хамтарсан хэвийн тархалтын тухай ойлголт нь магадлалын онолын хэрэглээнд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. их тооны хуульДоод асар ихсанамсаргүй үзэгдэл, олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэл нь санамсаргүй бус үр дүнд хүргэдэг. Энэ төрлийн хэв маягийн жишээг оршил хэсэгт өгөв: бие даасан ижил төстэй туршилтуудын урт цуврал дахь санамсаргүй үйл явдлын хувь хэмжээ бараг санамсаргүй биш юм. Өөр нэг гайхалтай жишээ: Энэ нь хэд хэдэн тохиолдолд олон тооны санамсаргүй нэр томъёоны нийлбэрийг хуваарилах хууль нь нэр томъёоны тархалтын хуулиас хамаардаггүй бөгөөд үүнийг урьдчилан таамаглах боломжтой юм! Магадлалын онол дахь хязгаарын теоремуудын зорилго нь олон тооны хуулийн янз бүрийн хэлбэрийн хатуу томъёолол, үндэслэлийг хангах явдал юм. Энэ бүлэгт бид эдгээр төрлийн үр дүнг товчхон авч үзэх болно.

§1. Чебышев хэлбэрийн олон тооны хууль

Практикт дараах хэв маягийг сайн мэддэг бөгөөд үүнийг дараах байдлаар томъёолж болно: олон тооны арифметик дундаж бие даасанижил төрлийнсанамсаргүй хүчин зүйлүүд бараг тохиолдлын зүйл биш юм. Жишээлбэл, ижил хэмжигдэхүүний олон тооны хэмжилтийн арифметик дундаж нь энэ хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгаас бараг ялгаатай биш юм; олон тооны эмх замбараагүй хөдөлж буй молекулуудын дундаж кинетик энерги нь бараг санамсаргүй биш бөгөөд биеийн температурыг тодорхойлдог.

Магадлалын онолын аргууд нь энэ хуулийн хатуу математик томъёолол өгөх боломжийг олгодог.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хязгааргүй дараалал байг

 1 , 2 , … , n , … (29)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг товчхон нэрлэе (29) ижил төрөлхэрэв тэд ижил математикийн хүлээлттэй бол Амөн ижил зөрүү Д.

Теорем.Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд (29) ижил төрлийн, бие даасан байг, тэгвэл хамаарал нь биелнэ

цагт n, (30)

Хаана А=дагаж мөрдөх[ к ],к= 1, 2, …, – дурын жижиг эерэг тоо.

Энэ нь: хангалттай том хэмжээтэй гэсэн үг юм nпрактик баталгаатай (магадлалтай100%) тэгш байдал

.

Энэ теоремыг анх Оросын математикч П.Л. Чебышев. Теоремын баталгаа нь гурван лемм дээр суурилдаг.

Лемма 1.Санамсаргүй хэмжигдэхүүн≥ 0. Тэгвэл тэгш бус байдал үнэн болно

Р(≥) ≤, (31)

Энд  нь дурын эерэг тоо.

БаталгааТасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр үүнийг хийцгээе. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягт е(X) = 0 үед X< 0, так как≥ 0.

Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоор бид:

≥
≥

(≥),

эндээс (31) тэгш бус байдал гарч байна.

Лемма 2. тоон шинж чанартай санамсаргүй хэмжигдэхүүн ( А,Д), тэгвэл дараах тэгш бус байдал үнэн болно.

Р(|– а| < ) ≥ 1 – .

Баталгаа.Бидэнд байна

Р(|– а| ≥ ) =П ((– а) 2 ≥ 2) ≤
.

Энд бид  = ( –) бүхий тэгш бус байдлыг (31) ашиглана. а) 2 ,  =  2 .

Үүний үр дүнд үүссэн тэгш бус байдлаас энэ нь гарч ирнэ

Р(|– а| < ) = 1 –Р(|– а| ≥ ) ≥ 1 – .

Лемма 3. 1 , 2 , …, байя n- тоон шинж чанартай ижил төрлийн бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ( А, D). Дараа нь дурын>0 тэгш бус байдал нь үнэн юм

≥ 1 – . (32)

Хаана  - дурын эерэг тоо; а = cov(; ) =[ би ],Д = Д[ би ],би= 1, 2, …,n..

Тэгш бус байдлыг (32) гэж нэрлэдэг Чебышевын тэгш бус байдал.

Баталгаа.гэж тэмдэглэе

.

Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсийн шинж чанаруудаас дараах байдалтай байна.

Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүн тоон шинж чанартай байдаг
; Лемма 2-ыг хэрэглэснээр бид шаардлагатай тэгш бус байдлыг олж авна (32).

Чебышевын теоремын баталгаа.

Чебышевын тэгш бус байдлын ачаар (32) бид ямар ч гэсэн байна nдавхар тэгш бус байдал

1 ≥
≥ 1 – .

Хэмжээ рүүгээ явж байна nболон хязгаарын онолын харьцуулах теоремыг харгалзан үзээд шаардлагатай хамаарлыг (30) авна.

Сэтгэгдэл.Тохиромжтой нэр томъёог танилцуулъя. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал байг

 1 , 2 , …, n , … . (33)

Тэд дараалал (33) гэж хэлдэг. магадлалаар нийлдэгсанамсаргүй бус утга руу Амөн бичих

цагт n,

хэрэв аль нэг нь > 0 бол хамаарал хангагдана

Р(| n –а| < )1 цагт n.

Чебышевын теоремыг дараах байдлаар томъёолж болох нь ойлгомжтой: ижил төрлийн бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундаж нь гишүүнчлэлийн тоог хязгааргүй ихэсгэх нь тэдний нийтлэг математик хүлээлтэд нийлдэг.

Жишээ. Эдгээр хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь тухайн хэмжигдэхүүний бодит утгаас 1-ээс ихгүй зөрүүтэй байхын тулд 0.95-аас доошгүй магадлалыг баталгаажуулахын тулд тухайн хэмжигдэхүүнийг хэдэн бие даасан тэнцүү нарийвчлалтай хэмжилт хийх ёстой вэ? үнэмлэхүй утга), хэрэв хэмжилт бүрийн стандарт хазайлт 5-аас хэтрэхгүй бол?

Шийдэл.Больё би- үр дүн бир хэмжээс ( би= 1,2,…,n),а– хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утга, өөрөөр хэлбэл cov(; ) =[ би ] =ааль ч үед би; хэмжилтийн тэнцүү нарийвчлалыг харгалзан үзэх би ижил тархалттай D≤ 25. Хэмжилтийн бие даасан байдлаас шалтгаалан би бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.

олох хэрэгтэй n, аль үед

≥ 0,95.

Чебышевын тэгш бус байдлын дагуу (32), хэрэв энэ тэгш бус байдал хангагдана

1 – ≥ 1– ≥ 0.95, олоход хялбар

n≥500 хэмжилт.