Элсэлтийн түвшин

Зэрэг, түүний шинж чанар. Цогц гарын авлага (2019)

Яагаад зэрэг хэрэгтэй вэ? Тэд хаана хэрэгтэй вэ? Та яагаад тэднийг судлах цаг гаргах ёстой гэж?

Эрдмийн зэрэг, юунд хэрэгтэй, мэдлэгээ өдөр тутмын амьдралдаа хэрхэн ашиглах талаар бүгдийг мэдэхийн тулд энэ нийтлэлийг уншина уу.

Мэдээжийн хэрэг, эрдмийн зэрэг олгох мэдлэг нь таныг Улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгч, мөрөөдлийн их сургуульд элсэн ороход ойртуулна.

Явцгаая... (Явцгаая!)

Чухал тэмдэглэл! Хэрэв та томьёоны оронд gobbledygook-г харвал кэшээ цэвэрлэ. Үүнийг хийхийн тулд CTRL+F5 (Windows дээр) эсвэл Cmd+R (Mac дээр) дарна уу.

ЭЛСЭЛТИЙН ТҮВШИН

Экспоненциал гэдэг нь нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваахтай адил математикийн үйлдэл юм.

Одоо би бүх зүйлийг хүний ​​хэлээр маш энгийн жишээн дээр тайлбарлах болно. Болгоомжтой байгаарай. Жишээ нь энгийн боловч чухал зүйлийг тайлбарладаг.

Нэмэлтээс эхэлье.

Энд тайлбарлах зүйл алга. Та бүх зүйлийг аль хэдийн мэдэж байгаа: бид найм байна. Хүн бүр хоёр шил колатай. Хэр их кола байдаг вэ? Энэ нь зөв - 16 шил.

Одоо үржүүлэх.

Колатай ижил жишээг өөрөөр бичиж болно: . Математикчид зальтай, залхуу хүмүүс. Тэд эхлээд зарим хэв маягийг анзаарч, дараа нь тэдгээрийг хурдан "тоолох" арга замыг олдог. Манайд бол найман хүн тус бүр ижил тооны кола савтай байдгийг анзаарч, үржүүлэх гэдэг арга бодож олжээ. Зөвшөөрч байна, энэ нь илүү хялбар бөгөөд хурдан гэж тооцогддог.

Тиймээс илүү хурдан, хялбар, алдаагүй тоолохын тулд та зүгээр л санах хэрэгтэй үржүүлэх хүснэгт. Мэдээжийн хэрэг та бүх зүйлийг илүү удаан, илүү хэцүү, алдаатай хийж чадна! Гэхдээ…

Энд үржүүлэх хүснэгт байна. Давт.

Өөр нэг, илүү үзэсгэлэнтэй:

Залхуу математикчид өөр ямар ухаалаг тооллогын заль мэхийг гаргаж ирсэн бэ? Баруун - тоог хүчирхэг болгох.

Тоог хүч болгон өсгөх

Хэрэв та нэг тоог өөрөө тав дахин үржүүлэх шаардлагатай бол математикчид энэ тоог тав дахь зэрэгт хүргэх хэрэгтэй гэж хэлдэг. Тухайлбал, . Математикчид хоёроос тав дахь зэрэглэлийг... Тэд ийм асуудлыг толгойдоо шийддэг - илүү хурдан, хялбар, алдаагүй.

Та хийх ёстой бүх зүйл тоонуудын чадлын хүснэгтэд юуг өнгөөр ​​тодруулсныг санаарай. Надад итгээрэй, энэ нь таны амьдралыг илүү хялбар болгоно.

Дашрамд хэлэхэд, яагаад үүнийг хоёрдугаар зэрэг гэж нэрлэдэг вэ? дөрвөлжинтоо, гурав дахь нь - шоо? Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Маш сайн асуулт. Одоо та квадрат, шоо хоёулаа байх болно.

Бодит амьдралын жишээ №1

Квадрат буюу тооны хоёр дахь зэрэглэлээр эхэлье.

Нэг метрээс нэг метр хэмжээтэй дөрвөлжин усан санг төсөөлөөд үз дээ. Усан сан таны зуслангийн байшинд байна. Халуун байна, би усанд сэлэхийг үнэхээр хүсч байна. Гэхдээ ... усан сан нь ёроолгүй! Та усан сангийн ёроолыг хавтангаар хучих хэрэгтэй. Танд хэдэн хавтан хэрэгтэй вэ? Үүнийг тодорхойлохын тулд та усан сангийн доод хэсгийг мэдэх хэрэгтэй.

Усан сангийн ёроол нь метр, метр шоо дөрвөлжин хэлбэртэй байгааг хуруугаараа хуруугаараа заах замаар л тооцоолж болно. Хэрэв та нэг метрээс нэг метр хавтантай бол хэсэг хэсгүүд хэрэгтэй болно. Энэ нь амархан ... Гэхдээ та ийм хавтанг хаанаас харсан бэ? Хавтанцар нь см см хэмжээтэй байх магадлалтай бөгөөд дараа нь та "хуруугаараа тоолох" замаар тамлах болно. Дараа нь та үржүүлэх хэрэгтэй. Тиймээс, усан сангийн ёроолын нэг талд бид хавтанцар (хэсэг), нөгөө талд нь плита тавих болно. Үржүүлснээр та плита () авна.

Усан сангийн ёроолын талбайг тодорхойлохын тулд бид ижил тоог өөрөө үржүүлснийг та анзаарсан уу? Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Нэгэнт ижил тоог үржүүлж байгаа тул бид "дэмжих" аргыг ашиглаж болно. (Мэдээжийн хэрэг, танд зөвхөн хоёр тоо байгаа бол тэдгээрийг үржүүлэх эсвэл нэг зэрэгтэй болгох шаардлагатай хэвээр байна. Гэхдээ хэрэв танд олон тоо байгаа бол тэдгээрийг нэг зэрэгтэй болгох нь хамаагүй хялбар бөгөөд тооцоололд алдаа бага гарах болно. Улсын нэгдсэн шалгалтын хувьд энэ нь маш чухал юм).
Тиймээс гучин хоёр дахь хүч нь () байх болно. Эсвэл гучин квадрат болно гэж хэлж болно. Өөрөөр хэлбэл, тооны хоёр дахь хүчийг үргэлж квадрат хэлбэрээр илэрхийлж болно. Мөн эсрэгээр, хэрэв та дөрвөлжин харвал энэ нь ҮРГЭЛЖ зарим тооны хоёр дахь зэрэг болно. Квадрат нь тооны хоёр дахь зэрэглэлийн дүрс юм.

Бодит амьдралын жишээ №2

Танд хийх даалгавар байна: тооны квадратыг ашиглан шатрын самбар дээр хэдэн квадрат байгааг тоолоорой ... Нүдний нэг талд, нөгөө талд нь бас. Тэдний тоог тооцоолохын тулд та наймыг наймаар үржүүлэх хэрэгтэй эсвэл ... хэрэв та шатрын самбар нь талтай дөрвөлжин болохыг анзаарсан бол наймыг квадрат болгож болно. Та эсүүдийг авах болно. () Тэгэхээр?

Бодит амьдралын жишээ №3

Одоо шоо буюу тооны гурав дахь зэрэглэл. Үүнтэй ижил усан сан. Харин одоо та энэ усан сан руу хэр их ус асгах шаардлагатайг олж мэдэх хэрэгтэй. Та эзлэхүүнийг тооцоолох хэрэгтэй. (Дашрамд хэлэхэд, эзэлхүүн ба шингэнийг куб метрээр хэмждэг. Гэнэтийн, тийм үү?) Усан сан зур: ёроол нь нэг метр хэмжээтэй, нэг метр гүнтэй, нэг метрээр хэдэн шоо метрээр хэмжигдэхийг тооцоолж үзээрэй. таны усан санд багтах.

Зүгээр л хуруугаа зааж, тоол! Нэг, хоёр, гурав, дөрөв...хорин хоёр, хорин гурав...Чи хэд авсан бэ? Алдаагүй юм уу? Хуруугаараа тоолоход хэцүү юу? Ингээд л болоо! Математикчдаас жишээ ав. Тэд залхуу тул усан сангийн эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд түүний урт, өргөн, өндрийг өөр хоорондоо үржүүлэх хэрэгтэйг анзаарсан. Манай тохиолдолд усан сангийн эзэлхүүн кубтай тэнцүү байх болно ... Илүү хялбар, тийм үү?

Математикчид үүнийг бас хялбаршуулсан бол ямар залхуу, зальтай болохыг төсөөлөөд үз дээ. Бид бүгдийг нэг үйлдэл болгон багасгасан. Тэд урт, өргөн, өндөр нь тэнцүү бөгөөд ижил тоо нь өөрөө үрждэг болохыг анзаарсан ... Энэ юу гэсэн үг вэ? Энэ нь та дипломын давуу талыг ашиглах боломжтой гэсэн үг юм. Тиймээс, нэг удаа хуруугаараа тоолж байсан зүйлээ тэд нэг үйлдлээр хийдэг: гурван шоо тэнцүү байна. Үүнийг ингэж бичсэн байна: .

Үлдсэн бүх зүйл градусын хүснэгтийг санаарай. Мэдээжийн хэрэг та математикчид шиг залхуу, зальтай биш л бол. Хэрэв та шаргуу ажиллаж, алдаа гаргах дуртай бол хуруугаараа үргэлжлүүлэн тоолж болно.

За, эцэст нь эрдмийн зэрэг нь танд асуудал үүсгэхийн тулд бус, амьдралынхаа асуудлыг шийдэхийн тулд орхисон, зальтай хүмүүс зохион бүтээсэн гэдэгт итгүүлэхийн тулд амьдралаас өөр хэдэн жишээг энд оруулав.

Бодит амьдралын жишээ №4

Танд сая рубль байна. Жил бүрийн эхэнд таны хийсэн сая тутамд дахин нэг сая олдог. Энэ нь таны сая бүр жил бүрийн эхэнд хоёр дахин нэмэгддэг гэсэн үг. Та хэдэн жилийн дараа хэр их мөнгөтэй болох вэ? Хэрвээ чи одоо суугаад “хуруугаараа тоолж” байгаа бол та маш хөдөлмөрч,... тэнэг хүн. Гэхдээ та ухаалаг тул хэдхэн секундын дотор хариулт өгөх болно! Тэгэхээр эхний жилдээ - хоёрыг хоёроор үржүүлэв ... хоёр дахь жилдээ - юу болсон бэ, дахиад хоёр, гурав дахь жилдээ ... боль! Энэ тоог өөрөө хэд дахин үржүүлж байгааг та анзаарсан. Тэгэхээр хоёроос тав дахь зэрэглэл нь сая юм! Одоо та тэмцээн уралдаантай болж, хамгийн хурдан тоолж чадах хүн эдгээр саяыг авна гэж төсөөлөөд үз дээ... Тооны хүчийг санах нь зүйтэй байх, тийм үү?

Бодит амьдралын жишээ №5

Танд сая байна. Жил бүрийн эхэнд таны хийсэн сая тутамд хоёр илүү орлого олдог. Гайхалтай, тийм үү? Сая бүр гурав дахин нэмэгддэг. Жилд хэдэн төгрөгтэй болох вэ? Тоолж үзье. Эхний жил - үржүүлээрэй, дараа нь үр дүн нь өөр ... Энэ нь аль хэдийн уйтгартай, учир нь та бүх зүйлийг аль хэдийн ойлгосон: гурвыг өөрөө үржүүлнэ. Тэгэхээр дөрөвдүгээр зэрэглэлд нэг саятай тэнцэнэ. Гураваас дөрөв дэх хүч нь эсвэл гэдгийг санах хэрэгтэй.

Одоо та тоог өсгөснөөр амьдралаа илүү хялбар болгох болно гэдгийг мэдэж байна. Эрдмийн зэрэгтэй юу хийж болох, тэдгээрийн талаар юу мэдэх хэрэгтэйг цааш нь харцгаая.

Нэр томьёо, ойлголтууд... андуурахгүйн тулд

Тиймээс эхлээд ойлголтуудыг тодорхойлъё. Та бодож байна уу илтгэгч гэж юу вэ? Энэ нь маш энгийн - энэ нь тооны чадлын "дээд талд" байгаа тоо юм. Шинжлэх ухаанч биш ч ойлгомжтой бөгөөд санахад хялбар...

За, тэр үед, юу вэ ийм зэрэгтэй суурь? Илүү энгийн - энэ бол доор, суурь дээр байрлах тоо юм.

Сайн хэмжүүрээр зурах зургийг энд оруулав.

За ерөнхийдөө ерөнхийд нь дүгнэж, сайн санахын тулд... “ ” суурьтай, “ ” илтгэгчтэй зэрэглэлийг “зэрэг” гэж уншаад дараах байдлаар бичнэ.

Натурал илтгэгчтэй тооны чадвар

Экспонент нь натурал тоо учраас та аль хэдийн таамагласан байх. Тийм ээ, гэхдээ энэ юу вэ натурал тоо? Бага анги! Натурал тоо гэдэг нь объектыг жагсаахдаа тоолоход хэрэглэгддэг тоо юм: нэг, хоёр, гурав... Бид объектыг тоолохдоо: "хасах тав", "хасах зургаа", "хасах долоо" гэж хэлдэггүй. Бид бас "гуравны нэг", эсвэл "тэг цэг тав" гэж хэлдэггүй. Эдгээр нь натурал тоо биш юм. Эдгээрийг ямар тоо гэж бодож байна вэ?

"Хасах тав", "хасах зургаа", "хасах долоо" гэх мэт тоонууд хамаарна бүхэл тоо.Ерөнхийдөө бүхэл тоонд бүх натурал тоо, натурал тоонуудын эсрэг тоо (өөрөөр хэлбэл хасах тэмдгээр авсан) болон тоо орно. Тэгийг ойлгоход хялбар байдаг - энэ нь юу ч байхгүй үед юм. Сөрөг ("хасах") тоо нь юу гэсэн үг вэ? Гэхдээ эдгээрийг үндсэндээ өрийг харуулах зорилгоор зохион бүтээсэн: хэрэв таны утсан дээр рублийн үлдэгдэл байгаа бол энэ нь та операторын рублийн өртэй гэсэн үг юм.

Бүх бутархай нь оновчтой тоо юм. Тэд яаж үүссэн гэж та бодож байна вэ? Маш энгийн. Хэдэн мянган жилийн өмнө бидний өвөг дээдэс урт, жин, талбай гэх мэтийг хэмжихэд натурал тоо дутагдаж байгааг олж мэдсэн. Тэгээд тэд гарч ирэв рационал тоо... Сонирхолтой, тийм үү?

Мөн иррациональ тоонууд ч бий. Эдгээр тоо юу вэ? Товчхондоо энэ нь хязгааргүй аравтын бутархай юм. Жишээлбэл, хэрэв та тойргийн тойргийг диаметрээр нь хуваавал иррационал тоо гарна.

Үргэлжлэл:

Экспонент нь натурал тоо (жишээ нь, бүхэл ба эерэг) байх зэрэглэлийн тухай ойлголтыг тодорхойлъё.

1. Эхний зэрэглэлд хамаарах аливаа тоо нь өөртэй тэнцүү байна:
2. Тооны квадрат гэдэг нь өөрөө үржүүлнэ гэсэн үг:
3. Тоог шоо гэдэг нь өөрөө гурав дахин үржүүлнэ гэсэн үг.

Тодорхойлолт.Тоог натурал зэрэгт хүргэнэ гэдэг нь тухайн тоог өөрөө хэд дахин үржүүлнэ гэсэн үг юм.
.

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Эдгээр шинж чанарууд хаанаас ирсэн бэ? Би чамд одоо үзүүлье.

Харцгаая: энэ юу вэ Тэгээд ?

Тодорхойлолтоор:

Нийт хэдэн үржүүлэгч байдаг вэ?

Энэ нь маш энгийн: бид хүчин зүйлүүд дээр үржүүлэгчийг нэмсэн бөгөөд үр дүн нь үржүүлэгч юм.

Гэхдээ тодорхойлолтоор бол энэ нь илтгэгчтэй тооны зэрэг юм, өөрөөр хэлбэл: , энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Жишээ: Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл:

Жишээ:Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл:Манай дүрэмд үүнийг анхаарах нь чухал юм Заавалижил шалтгаанууд байх ёстой!
Тиймээс бид хүчийг суурьтай хослуулсан боловч энэ нь тусдаа хүчин зүйл хэвээр байна.

зөвхөн хүч чадлын бүтээгдэхүүнд зориулагдсан!

Ямар ч тохиолдолд та үүнийг бичиж чадахгүй.

2. ингээд л болоо тооны р зэрэг

Өмнөх өмчийн нэгэн адил зэрэглэлийн тодорхойлолт руу хандъя:

Энэ нь илэрхийлэл нь өөрөө дахин үржигддэг, өөрөөр хэлбэл тодорхойлолтын дагуу энэ нь тооны 3-р зэрэг юм.

Үндсэндээ үүнийг "заагчийг хаалтнаас гаргах" гэж нэрлэж болно. Гэхдээ та үүнийг бүхэлд нь хэзээ ч хийж чадахгүй:

Үржүүлэх товчилсон томъёог санацгаая: бид хэдэн удаа бичихийг хүссэн бэ?

Гэхдээ энэ нь эцсийн эцэст үнэн биш юм.

Сөрөг суурьтай хүч

Энэ хүртэл бид зөвхөн илтгэгч ямар байх ёстой талаар ярилцсан.

Гэхдээ үндэс нь юу байх ёстой вэ?

-ийн эрх мэдэлд байгалийн үзүүлэлтсуурь байж болно ямар ч тоо. Үнэн хэрэгтээ бид эерэг, сөрөг эсвэл бүр аль ч тоог бие биенээ үржүүлж чадна.

Аль тэмдгүүд ("" эсвэл "") эерэг ба сөрөг тоонуудын зэрэгтэй байх талаар бодож үзье.

Жишээлбэл, энэ тоо эерэг эсвэл сөрөг байна уу? А? ? Эхнийх нь бүх зүйл тодорхой байна: бид хичнээн эерэг тоог бие биенээ үржүүлснээс үл хамааран үр дүн эерэг байх болно.

Гэхдээ сөрөг нь арай илүү сонирхолтой байдаг. Бид 6-р ангийн энгийн дүрмийг санаж байна: "хасах нь нэмэх". Энэ нь, эсвэл. Гэхдээ бид үржүүлбэл энэ нь бүтдэг.

Дараахь илэрхийллүүд ямар тэмдэгтэй болохыг өөрөө тодорхойл.

Та удирдаж чадсан уу?

Энд хариултууд байна: Эхний дөрвөн жишээнд бүх зүйл тодорхой байна гэж найдаж байна уу? Бид зүгээр л суурь ба илтгэгчийг хараад тохирох дүрмийг хэрэгжүүлнэ.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Жишээ 5) бүх зүйл тийм ч аймшигтай биш юм: эцэст нь суурь нь ямар байх нь хамаагүй - зэрэг нь тэгш, үр дүн нь үргэлж эерэг байх болно гэсэн үг юм.

За, суурь нь тэг байхаас бусад тохиолдолд. Суурь нь тэнцүү биш байна, тийм үү? Мэдээж тийм биш, учир нь (учир нь).

Жишээ 6) тийм ч энгийн байхаа больсон!

Дадлага хийх 6 жишээ

Шийдлийн шинжилгээ 6 жишээ

Хэрэв бид наймдугаар хүчийг үл тоомсорловол энд юу харж байна вэ? 7-р ангийн хөтөлбөрийг санацгаая. За, санаж байна уу? Энэ бол товчилсон үржүүлэх томъёо, тухайлбал квадратуудын зөрүү юм! Бид авах:

Хуваагчийг анхааралтай авч үзье. Энэ нь тоологч хүчин зүйлүүдийн нэг шиг харагдаж байна, гэхдээ юу нь буруу вэ? Нөхцөлүүдийн дараалал буруу байна. Хэрэв тэдгээрийг буцаасан бол дүрэм үйлчилж болно.

Гэхдээ үүнийг яаж хийх вэ? Энэ нь маш амархан болох нь харагдаж байна: хуваагчийн тэгш зэрэг нь энд бидэнд тусалдаг.

Ид шидээр нэр томьёо байраа өөрчилсөн. Энэ "үзэгдэл" нь ямар ч илэрхийлэлд жигд хэмжээгээр хамаатай: бид хаалтанд байгаа тэмдгүүдийг хялбархан өөрчилж болно.

Гэхдээ санаж байх нь чухал: бүх шинж тэмдгүүд нэгэн зэрэг өөрчлөгддөг!

Жишээ рүүгээ буцъя:

Мөн дахин томъёо:

Бүтэнбид натурал тоонууд, тэдгээрийн эсрэг тоо (өөрөөр хэлбэл " " тэмдгээр авсан) болон тоо гэж нэрлэдэг.

эерэг бүхэл тоо, мөн энэ нь байгалийнхаас ялгаатай биш, дараа нь бүх зүйл өмнөх хэсэгт яг адилхан харагдаж байна.

Одоо шинэ тохиолдлуудыг харцгаая. -тэй тэнцүү үзүүлэлтээр эхэлцгээе.

Ямар ч тоо тэгтэй тэнцүү байна:

Үргэлж л бид өөрөөсөө асууцгаая: яагаад ийм байна вэ?

Суурьтай ямар нэг хэмжээгээр авч үзье. Жишээлбэл, дараах байдлаар үржүүлээрэй.

Тиймээс бид тоог үржүүлснээр бид яг ижил зүйлийг олж авлаа - . Юу ч өөрчлөгдөхгүйн тулд ямар тоогоор үржүүлэх вэ? Энэ нь зөв, дээр. гэсэн үг.

Бид дурын тоогоор ижил зүйлийг хийж болно:

Дүрмийг давтан хэлье:

Ямар ч тоо тэгтэй тэнцүү байна.

Гэхдээ олон дүрэмд үл хамаарах зүйлүүд байдаг. Энд бас байгаа - энэ бол тоо (үндсэн суурь болгон).

Нэг талаас, энэ нь ямар ч зэрэгтэй тэнцүү байх ёстой - тэгийг өөрөө хэчнээн үржүүлснээс үл хамааран та тэгийг авах болно, энэ нь ойлгомжтой. Гэхдээ нөгөө талаас, тэг хүртэлх тоонуудын нэгэн адил энэ нь тэнцүү байх ёстой. Тэгвэл энэ хэр үнэн бэ? Математикчид оролцохгүй байхаар шийдэж, тэгийг тэг хүртэл өсгөхөөс татгалзав. Өөрөөр хэлбэл, одоо бид тэгээр хуваагаад зогсохгүй тэг түвшинд хүртэл өсгөж чадахгүй.

Үргэлжлүүлье. Бүхэл тоонд натурал тоо, тооноос гадна сөрөг тоонууд орно. Сөрөг хүч гэж юу болохыг ойлгохын тулд сүүлчийн удаа хийцгээе: зарим хэвийн тоог ижил тоогоор сөрөг хүчинтэй үржүүл.

Эндээс хайж буй зүйлээ илэрхийлэхэд хялбар болно:

Одоо үр дүнгийн дүрмийг дурын хэмжээнд өргөжүүлье:

Тиймээс, нэг дүрмийг томъёолъё:

Сөрөг хүчин чадалтай тоо нь эерэг хүчин чадалтай ижил тооны эсрэг тоо юм. Гэхдээ тэр үед Суурь нь хоосон байж болохгүй:(учир нь та хувааж чадахгүй).

Дүгнэж хэлье:

I. Тохиолдолд илэрхийлэл тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв тийм бол.

II. Ямар ч тоо тэг зэрэгтэй тэнцүү байна: .

III. Тэгтэй тэнцүү биш тооны сөрөг зэрэглэл нь ижил тооны эерэг зэрэгтэй урвуу тоо юм: .

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

Ердийнх шиг бие даасан шийдлүүдийн жишээ:

Бие даасан шийдвэрлэх асуудлын дүн шинжилгээ:

Би мэднэ, би мэднэ, тоонууд аймшигтай, гэхдээ улсын нэгдсэн шалгалтанд та бүх зүйлд бэлэн байх ёстой! Хэрэв та шийдэж чадаагүй бол эдгээр жишээнүүдийг шийдэж эсвэл тэдгээрийн шийдлүүдэд дүн шинжилгээ хий, тэгвэл та шалгалтанд амархан даван туулж сурах болно!

Үргэлжлүүлэн “тохиромжтой” тоонуудын хүрээг илтгэгч болгон өргөжүүлье.

Одоо авч үзье рационал тоо.Ямар тоонуудыг оновчтой гэж нэрлэдэг вэ?

Хариулт: бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох бүх зүйл, хаана ба бүхэл тоо, мөн.

Энэ нь юу болохыг ойлгохын тулд "бутархай зэрэг", бутархайг авч үзье:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хүч болгон өсгөцгөөе.

Одоо энэ тухай дүрмийг санацгаая "зэрэг, зэрэг":

Хүчин чадал авахын тулд ямар тоог өсгөх ёстой вэ?

Энэхүү томъёолол нь 3-р зэргийн язгуурын тодорхойлолт юм.

Танд сануулъя: тооны ()-ийн язгуур нь нэг зэрэгтэй байх үед тэнцүү тоо юм.

Өөрөөр хэлбэл, 3-р хүчний үндэс нь хүч хүртэл өсгөх урвуу үйлдэл юм: .

Энэ нь харагдаж байна. Мэдээжийн хэрэг, энэ онцгой тохиолдлыг өргөжүүлж болно: .

Одоо бид тоологчийг нэмнэ: энэ юу вэ? Хариултыг хүч чадлын дүрмийг ашиглан олж авахад хялбар байдаг:

Гэхдээ суурь нь ямар ч тоо байж болох уу? Эцсийн эцэст, үндсийг бүх тооноос гаргаж авах боломжгүй.

Аль нь ч биш!

Дүрмийг санацгаая: тэгш зэрэглэлд хүрсэн тоо нь эерэг тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, сөрөг тооноос бүр үндэс гаргаж авах боломжгүй юм!

Энэ нь ийм тоог тэгш хуваагчтай бутархай болгон өсгөх боломжгүй, өөрөөр хэлбэл илэрхийлэл нь утгагүй гэсэн үг юм.

Илэрхийллийн талаар юу хэлэх вэ?

Гэхдээ энд нэг асуудал гарч ирнэ.

Энэ тоог бусад бууруулж болох бутархай хэлбэрээр, жишээлбэл, эсвэл хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Энэ нь байдаг, гэхдээ байхгүй, гэхдээ эдгээр нь ижил тооны хоёр өөр бүртгэл юм.

Эсвэл өөр жишээ: нэг удаа, дараа нь та үүнийг бичиж болно. Гэхдээ хэрэв бид индикаторыг өөрөөр бичвэл бид дахин асуудалд орох болно: (өөрөөр хэлбэл бид огт өөр үр дүнд хүрсэн!).

Ийм парадоксоос зайлсхийхийн тулд бид авч үзье бутархай илтгэгчтэй зөвхөн эерэг суурь илтгэгч.

Тэгэхээр хэрэв:

• - натурал тоо;
• - бүхэл тоо;

Жишээ нь:

Рационал илтгэгч нь үндэстэй илэрхийллийг хувиргахад маш их хэрэгтэй байдаг, жишээ нь:

Дадлага хийх 5 жишээ

Сургалтын 5 жишээнд дүн шинжилгээ хийх

За, одоо хамгийн хэцүү хэсэг нь ирлээ. Одоо бид үүнийг олох болно иррационал илтгэгчтэй зэрэг.

Эндээс бусад зэрэглэлийн бүх дүрэм, шинж чанарууд нь рационал илтгэгчтэй зэрэгтэй яг ижил байна.

Эцсийн эцэст, тодорхойлолтоор иррационал тоонууд нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй тоо бөгөөд энд ба бүхэл тоо (өөрөөр хэлбэл иррационал тоонууд нь рационал тооноос бусад бүх бодит тоонууд юм).

Натурал, бүхэл тоо, рационал илтгэгчтэй зэрэг судлахдаа бид тодорхой "дүрс", "аналоги" эсвэл илүү танил нэр томъёоны тайлбарыг бий болгодог.

Жишээлбэл, байгалийн илтгэгчтэй зэрэг нь өөрөө хэд хэдэн удаа үржүүлсэн тоо юм;

...тоог тэг хүртэлх тоо- энэ нь өөрөө нэг удаа үржүүлсэн тоо юм, өөрөөр хэлбэл тэд үүнийг үржүүлж эхлээгүй байгаа бөгөөд энэ нь тоо өөрөө хараахан гарч ирээгүй гэсэн үг юм - тиймээс үр дүн нь зөвхөн тодорхой "хоосон тоо" юм. , тухайлбал тоо;

...сөрөг бүхэл тоо- ямар нэгэн "урвуу үйл явц" болсон юм шиг, өөрөөр хэлбэл тоог өөрөө үржүүлээгүй, харин хуваасан.

Дашрамд хэлэхэд шинжлэх ухаанд нийлмэл илтгэгчтэй зэрэг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл илтгэгч нь бодит тоо ч биш юм.

Гэхдээ сургууль дээр бид ийм бэрхшээлийн талаар боддоггүй;

ТА ХААШАА ЯВНА гэдэгт итгэлтэй байна! (ийм жишээг шийдэж сурвал :))

Жишээ нь:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Шийдлийн шинжилгээ:

1. Эрх мэдлийг хүчирхэг болгох ердийн дүрмээр эхэлцгээе:

Одоо индикаторыг харна уу. Тэр чамд юу ч сануулахгүй байна уу? Квадратуудын зөрүүг товчилсон үржүүлэх томъёог эргэн санацгаая.

Энэ тохиолдолд

Энэ нь:

Хариулт: .

2. Бид индекс дэх бутархайг ижил хэлбэртэй болгож бууруулна: аравтын бутархай эсвэл энгийн аль аль нь. Бид жишээ нь:

Хариулт: 16

3. Онцгой зүйл байхгүй, бид градусын ердийн шинж чанарыг ашигладаг:

АХИСАН ТҮВШИН

Зэрэг тодорхойлох

Зэрэг нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: , энд:

• — зэрэглэлийн суурь;
• - илтгэгч.

Байгалийн үзүүлэлттэй зэрэг (n = 1, 2, 3,...)

Тоог натурал n болгон өсгөнө гэдэг нь тухайн тоог өөрөө хэд дахин үржүүлнэ гэсэн үг.

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг (0, ±1, ±2,...)

Хэрэв экспонент нь байвал эерэг бүхэл тоодугаар:

Барилга тэг градус хүртэл:

Илэрхийлэл нь тодорхойгүй, учир нь нэг талаас, ямар ч хэмжээгээр энэ, нөгөө талаас, th зэрэгтэй ямар ч тоо энэ байна.

Хэрэв экспонент нь байвал сөрөг бүхэл тоодугаар:

(учир нь та хувааж чадахгүй).

Тэгийн тухай дахин нэг удаа: тохиолдолд илэрхийлэл тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв тийм бол.

Жишээ нь:

Рационал үзүүлэлттэй хүч

• - натурал тоо;
• - бүхэл тоо;

Жишээ нь:

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд эдгээр шинж чанарууд хаанаас ирсэн бэ гэдгийг ойлгохыг хичээцгээе. Тэднийг баталцгаая.

Харцгаая: юу вэ?

Тодорхойлолтоор:

Тиймээс, энэ илэрхийллийн баруун талд бид дараах бүтээгдэхүүнийг авна.

Гэхдээ тодорхойлолтоор энэ нь илтгэгчтэй тооны зэрэг юм, өөрөөр хэлбэл:

Q.E.D.

Жишээ : Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл : .

Жишээ : Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл : Манай дүрэмд үүнийг анхаарах нь чухал юм Заавалижил шалтгаанууд байх ёстой. Тиймээс бид хүчийг суурьтай хослуулсан боловч энэ нь тусдаа хүчин зүйл хэвээр байна.

Өөр нэг чухал тэмдэглэл: энэ дүрэм - зөвхөн эрх мэдлийн бүтээгдэхүүнд зориулагдсан!

Ямар ч тохиолдолд та үүнийг бичиж чадахгүй.

Өмнөх өмчийн нэгэн адил зэрэглэлийн тодорхойлолт руу хандъя:

Энэ ажлыг дараах байдлаар дахин бүлэглэе.

Энэ нь илэрхийлэл нь өөрөө дахин үржигддэг, өөрөөр хэлбэл тодорхойлолтын дагуу энэ нь тооны 3-р зэрэг юм.

Үндсэндээ үүнийг "заагчийг хаалтнаас гаргах" гэж нэрлэж болно. Гэхдээ та үүнийг бүхэлд нь хэзээ ч хийж чадахгүй: !

Үржүүлэх товчилсон томъёог санацгаая: бид хэдэн удаа бичихийг хүссэн бэ? Гэхдээ энэ нь эцсийн эцэст үнэн биш юм.

Сөрөг суурьтай хүч.

Энэ хүртэл бид ямар байх ёстойг л ярилцсан үзүүлэлтградус. Гэхдээ үндэс нь юу байх ёстой вэ? -ийн эрх мэдэлд байгалийн үзүүлэлт суурь байж болно ямар ч тоо .

Үнэн хэрэгтээ бид эерэг, сөрөг эсвэл бүр аль ч тоог бие биенээ үржүүлж чадна. Аль тэмдгүүд ("" эсвэл "") эерэг ба сөрөг тоонуудын зэрэгтэй байх талаар бодож үзье.

Жишээлбэл, энэ тоо эерэг эсвэл сөрөг байна уу? А? ?

Эхнийх нь бүх зүйл тодорхой байна: бид хичнээн эерэг тоог бие биенээ үржүүлснээс үл хамааран үр дүн эерэг байх болно.

Гэхдээ сөрөг нь арай илүү сонирхолтой байдаг. Бид 6-р ангийн энгийн дүрмийг санаж байна: "хасах нь нэмэх". Энэ нь, эсвэл. Гэхдээ () -ээр үржүүлбэл - болно.

Мөн төгсгөлгүй үргэлжлэх болно: дараагийн үржүүлэх бүрт тэмдэг өөрчлөгдөнө. Дараах энгийн дүрмийг томъёолж болно.

1. бүрзэрэг, - тоо эерэг.
2. Сөрөг тоог хүртэл нэмэгдүүлсэн хачинзэрэг, - тоо сөрөг.
3. Ямар ч хэмжээгээр эерэг тоо нь эерэг тоо юм.
4. Аливаа чадлын тэг нь тэгтэй тэнцүү байна.

Дараахь илэрхийллүүд ямар тэмдэгтэй болохыг өөрөө тодорхойл.

Та удирдаж чадсан уу? Энд хариултууд байна:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Эхний дөрвөн жишээнд бүх зүйл тодорхой байгаа гэж найдаж байна? Бид зүгээр л суурь ба илтгэгчийг хараад тохирох дүрмийг хэрэгжүүлнэ.

Жишээ 5) бүх зүйл тийм ч аймшигтай биш юм: эцэст нь суурь нь ямар байх нь хамаагүй - зэрэг нь тэгш, үр дүн нь үргэлж эерэг байх болно гэсэн үг юм. За, суурь нь тэг байхаас бусад тохиолдолд. Суурь нь тэнцүү биш байна, тийм үү? Мэдээж тийм биш, учир нь (учир нь).

Жишээ 6) тийм ч энгийн байхаа больсон. Эндээс та аль нь бага болохыг олж мэдэх хэрэгтэй: эсвэл? Хэрэв бид үүнийг санаж байвал энэ нь тодорхой болно, энэ нь суурь нь тэгээс бага гэсэн үг юм. Энэ нь бид 2-р дүрмийг хэрэгжүүлдэг: үр дүн нь сөрөг байх болно.

Дахин бид зэрэглэлийн тодорхойлолтыг ашигладаг:

Бүх зүйл ердийнх шиг байна - бид градусын тодорхойлолтыг бичиж, бие биенээсээ хувааж, хос болгон хувааж, дараахь зүйлийг авна.

Сүүлийн дүрмийг харахын өмнө хэд хэдэн жишээг шийдье.

Илэрхийллийг тооцоолох:

Шийдэл :

Хэрэв бид наймдугаар хүчийг үл тоомсорловол энд юу харж байна вэ? 7-р ангийн хөтөлбөрийг санацгаая. За, санаж байна уу? Энэ бол товчилсон үржүүлэх томъёо, тухайлбал квадратуудын зөрүү юм!

Бид авах:

Хуваагчийг анхааралтай авч үзье. Энэ нь тоологч хүчин зүйлүүдийн нэг шиг харагдаж байна, гэхдээ юу нь буруу вэ? Нөхцөлүүдийн дараалал буруу байна. Хэрэв тэдгээр нь буцаагдсан бол 3-р дүрэм хэрэгжих боломжтой байсан ч яаж? Энэ нь маш амархан болох нь харагдаж байна: хуваагчийн тэгш зэрэг нь энд бидэнд тусалдаг.

Хэрэв та үүнийг үржүүлбэл юу ч өөрчлөгдөхгүй, тийм үү? Харин одоо иймэрхүү харагдаж байна:

Ид шидээр нэр томьёо байраа өөрчилсөн. Энэ "үзэгдэл" нь ямар ч илэрхийлэлд жигд хэмжээгээр хамаатай: бид хаалтанд байгаа тэмдгүүдийг хялбархан өөрчилж болно. Гэхдээ санаж байх нь чухал: Бүх шинж тэмдгүүд нэгэн зэрэг өөрчлөгддөг!Та бидний дургүй нэг л сул талыг өөрчилснөөр үүнийг сольж болохгүй!

Жишээ рүүгээ буцъя:

Мөн дахин томъёо:

Тиймээс одоо сүүлчийн дүрэм:

Бид үүнийг хэрхэн батлах вэ? Мэдээжийн хэрэг, ердийнхөөрөө: зэрэглэлийн тухай ойлголтыг өргөжүүлж, хялбаршуулъя:

За, одоо хаалтаа нээцгээе. Нийт хэдэн үсэг байна вэ? үржүүлэгчээр дахин - энэ нь танд юуг сануулж байна вэ? Энэ бол үйл ажиллагааны тодорхойлолтоос өөр зүйл биш юм үржүүлэх: Тэнд зөвхөн үржүүлэгчид байсан. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь тодорхойлолтоор бол илтгэгчтэй тооны хүч юм.

Жишээ:

Иррационал илтгэгчтэй зэрэг

Дундаж түвшний талаархи мэдээллээс гадна бид градусыг иррациональ экспонентээр шинжлэх болно. Энд байгаа бүх дүрэм, зэрэглэлийн шинж чанарууд нь рационал илтгэгчтэй зэрэгтэй яг ижил байна - эцсийн эцэст, тодорхойлолтоор иррационал тоонууд нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэх боломжгүй тоо, энд ба бүхэл тоо (өөрөөр хэлбэл) юм. , иррационал тоонууд нь рационал тооноос бусад бүх бодит тоонууд юм).

Натурал, бүхэл тоо, рационал илтгэгчтэй зэрэг судлахдаа бид тодорхой "дүрс", "аналоги" эсвэл илүү танил нэр томъёоны тайлбарыг бий болгодог. Жишээлбэл, байгалийн илтгэгчтэй зэрэг нь өөрөө хэд хэдэн удаа үржүүлсэн тоо юм; тэг зэрэглэлийн тоо нь өөрөө нэг удаа үржүүлсэн тоо юм, өөрөөр хэлбэл тэд үүнийг үржүүлж эхлээгүй байгаа бөгөөд энэ нь тоо өөрөө хараахан гарч ирээгүй гэсэн үг юм - тиймээс үр дүн нь зөвхөн тодорхой байна. "хоосон тоо", тухайлбал тоо; бүхэл сөрөг экспонент бүхий зэрэг - энэ нь ямар нэгэн "урвуу үйл явц" болсон юм шиг, өөрөөр хэлбэл тоог өөрөө үржүүлээгүй, харин хуваасан.

Иррациональ илтгэгчтэй зэрэглэлийг төсөөлөхөд туйлын хэцүү (4 хэмжээст орон зайг төсөөлөхөд хэцүү байдаг шиг). Энэ нь математикчид градусын тухай ойлголтыг бүх тооны орон зайд хүргэхийн тулд бүтээсэн цэвэр математикийн объект юм.

Дашрамд хэлэхэд шинжлэх ухаанд нийлмэл илтгэгчтэй зэрэг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл илтгэгч нь бодит тоо ч биш юм. Гэхдээ сургууль дээр бид ийм бэрхшээлийн талаар боддоггүй;

Хэрэв бид иррациональ илтгэгчийг харвал яах вэ? Бид үүнийг арилгахын тулд чадах бүхнээ хийж байна! :)

Жишээ нь:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Хариултууд:

1. Квадратуудын томьёоны зөрүүг санацгаая. Хариулт: .
2. Бид бутархайг ижил хэлбэрт оруулдаг: аравтын бутархай эсвэл энгийн аль аль нь. Бид жишээ нь: .
3. Онцгой зүйл байхгүй, бид градусын ердийн шинж чанарыг ашигладаг:

БҮЛГИЙН ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формула

Зэрэгхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг: , энд:

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг

илтгэгч нь натурал тоо (жишээ нь, бүхэл ба эерэг) байх зэрэг.

Рационал үзүүлэлттэй хүч

зэрэг, илтгэгч нь сөрөг ба бутархай тоо юм.

Иррационал илтгэгчтэй зэрэг

илтгэгч нь хязгааргүй аравтын бутархай буюу үндэс болох зэрэг.

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Зэрэглэлийн онцлог.

• Сөрөг тоог хүртэл нэмэгдүүлсэн бүрзэрэг, - тоо эерэг.
• Сөрөг тоог хүртэл нэмэгдүүлсэн хачинзэрэг, - тоо сөрөг.
• Ямар ч хэмжээгээр эерэг тоо нь эерэг тоо юм.
• Тэг нь ямар ч чадалтай тэнцүү.
• Ямар ч тоо тэгтэй тэнцүү байна.

ОДОО ТАНД ҮГ БАЙНА...

Нийтлэл танд хэр таалагдаж байна вэ? Таалагдсан эсэхээ доор коммент хэсэгт бичээрэй.

Зэрэглэлийн шинж чанарыг ашигласан туршлагаасаа бидэнд хэлээрэй.

Магадгүй танд асуулт байгаа байх. Эсвэл санал.

Сэтгэгдэл дээр бичээрэй.

Мөн шалгалтанд нь амжилт хүсье!

Тооны хүч чадлын тухай яриаг үргэлжлүүлэхийн тулд хүч чадлын утгыг хэрхэн олохыг олох нь логик юм. Энэ процессыг нэрлэдэг экспонентаци. Энэ нийтлэлд бид экспоненциацийг хэрхэн гүйцэтгэдэгийг судлахын зэрэгцээ байгалийн, бүхэл тоо, оновчтой, иррациональ гэсэн бүх боломжит илтгэгчийг хөндөх болно. Уламжлал ёсоор бид тоог янз бүрийн эрх мэдэлд өсгөх жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

"Exponentiation" гэж юу гэсэн үг вэ?

Экспоненциал гэж юу болохыг тайлбарлаж эхэлье. Холбогдох тодорхойлолт энд байна.

Тодорхойлолт.

Экспоненциал- энэ нь тооны чадлын утгыг олох явдал юм.

Тиймээс r илтгэгчтэй а тооны чадлын утгыг олох, а тоог r зэрэгт хүргэх нь ижил зүйл юм. Жишээлбэл, хэрэв даалгавар нь "(0.5) 5-ын хүчийг тооцоолох" бол "0.5 тоог 5 хүртэл өсгө" гэж дараах байдлаар өөрчилж болно.

Одоо та экспонентацийг гүйцэтгэх дүрмүүд рүү шууд очиж болно.

Тоог байгалийн хүчинд хүргэх

Практикт дээр суурилсан тэгш байдлыг ихэвчлэн хэлбэрээр ашигладаг. Өөрөөр хэлбэл, a тоог m/n бутархай зэрэгт хүргэх үед эхлээд a тооны n-р язгуурыг авч, дараа нь гарсан үр дүнг бүхэл m зэрэгт өсгөнө.

Бутархай зэрэглэл рүү өсгөх жишээнүүдийн шийдлүүдийг харцгаая.

Жишээ.

Зэрэглэлийн утгыг тооцоол.

Шийдэл.

Бид хоёр шийдлийг харуулах болно.

Эхний арга. Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтоор. Бид язгуур тэмдгийн дор градусын утгыг тооцоолж, дараа нь шоо үндсийг гаргаж авдаг. .

Хоёр дахь арга зам. Бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолт ба язгуурын шинж чанарт үндэслэн дараахь тэгшитгэлүүд үнэн болно. . Одоо бид үндсийг нь гаргаж авдаг , эцэст нь бид үүнийг бүхэл тоо болгон өсгөнө .

Бутархай хүчийг нэмэгдүүлэхэд олж авсан үр дүн нь мэдээжийн хэрэг давхцаж байна.

Хариулт:

Бутархай илтгэгчийг аравтын бутархай эсвэл холимог тоогоор бичиж болно гэдгийг анхаарна уу, эдгээр тохиолдолд түүнийг харгалзах энгийн бутархайгаар сольж, дараа нь зэрэглэл рүү өсгөх хэрэгтэй.

Жишээ.

(44.89) 2.5-ыг тооцоол.

Шийдэл.

Экспонентийг энгийн бутархай хэлбэрээр бичье (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү): . Одоо бид бутархай зэрэглэл рүү өсгөх ажлыг хийж байна:

Хариулт:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Тоонуудыг оновчтой хэмжээнд хүргэх нь нэлээд их хөдөлмөр шаардсан үйл явц (ялангуяа бутархай илтгэгчийн хуваагч ба хуваагч нь хангалттай их тоог агуулж байгаа тохиолдолд) ихэвчлэн компьютерийн технологийг ашиглан хийгддэг гэдгийг хэлэх хэрэгтэй.

Энэ цэгийг дүгнэхийн тулд тэг тоог бутархайн зэрэглэл болгон өсгөх талаар ярилцъя. Бид хэлбэрийн тэгийн бутархайт дараах утгыг өгсөн: бид байгаа үед , мөн тэгээс m/n чадал нь тодорхойлогдоогүй байна. Тиймээс бутархайн эерэг зэрэглэлийн тэг нь тэг болно, жишээлбэл, . Бутархай сөрөг хүчинд тэг байх нь утгагүй, жишээлбэл, 0 -4.3 гэсэн илэрхийлэл нь утгагүй юм.

Ухаангүй хүчийг өсгөх

Заримдаа иррациональ илтгэгчтэй тооны чадлын утгыг олох шаардлагатай болдог. Энэ тохиолдолд практик зорилгоор ихэвчлэн тодорхой тэмдэгтийн нарийвчлалтай зэрэглэлийн утгыг авахад хангалттай байдаг. Практикт энэ утгыг электрон компьютер ашиглан тооцоолдог гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе, учир нь үүнийг гар аргаар оновчтой бус хүчин чадалд хүргэх нь олон тооны төвөгтэй тооцоолол шаарддаг. Гэхдээ бид үйлдлүүдийн мөн чанарыг ерөнхийд нь тайлбарлах болно.

Иррационал илтгэгчтэй a тооны чадлын ойролцоо утгыг олж авахын тулд илтгэгчийн аравтын бутархайн ойролцооллыг авч, чадлын утгыг тооцоолно. Энэ утга нь иррационал илтгэгчтэй a тооны чадлын ойролцоо утга юм. Тооны аравтын бутархайн ойролцоо утгыг эхэндээ илүү нарийвчлалтай авах тусам эцэст нь градусын утгыг илүү нарийвчлалтай авах болно.

Жишээ болгон 2 1.174367...-ийн чадлын ойролцоо утгыг тооцоод үзье. Иррационал илтгэгчийн дараах аравтын ойролцооллыг авч үзье: . Одоо бид 2-ыг 1.17 оновчтой хүч болгон өсгөж (бид энэ үйл явцын мөн чанарыг өмнөх догол мөрөнд тайлбарласан), бид 2 1.17 ≈2.250116 авна. Тиймээс, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Хэрэв бид жишээлбэл, иррациональ илтгэгчийн аравтын бутархайн тоог илүү нарийвчлалтай авбал анхны илтгэгчийн илүү нарийвчлалтай утгыг олж авна. 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Лавлагаа.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. 5-р ангийн математикийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебр: 7-р ангийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебр: 8-р ангийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебр: 9-р ангийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Ерөнхий боловсролын байгууллагын 10-11-р ангийн сурах бичиг.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).

Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгдээрээ Зеногийн апориа гэж нэг талаараа үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөдрийг хүртэл хэлэлцүүлэг үргэлжилж байна, шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... асуудлыг судлахад математикийн шинжилгээ, олонлогын онол, шинэ физик, философийн хандлагыг оролцуулсан; ; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс . Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн аппарат хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэхүйн инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай үнэ цэнэд ашигладаг. Физик талаас нь харвал энэ нь Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид бүрэн зогстол цаг удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.

Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Цагийн тогтмол нэгжид үлдэж, харилцан адилгүй нэгж рүү бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ нь асуудлыг бүрэн шийдэж чадахгүй. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх шаардлагатай хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор бус хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцгой анхаарал хандуулахыг хүсч байгаа зүйл бол цаг хугацааны хоёр цэг, орон зайн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.

2018 оны 7-р сарын 4, Лхагва гараг

Багц ба олон багцын ялгааг Википедиа дээр маш сайн дүрсэлсэн байдаг. Харцгаая.

Таны харж байгаагаар "ижил олонлогт хоёр ижил элемент байх боломжгүй" боловч хэрэв олонлогт ижил элементүүд байгаа бол ийм олонлогийг "олон олонлог" гэж нэрлэдэг. Ухаантай хүмүүс ийм утгагүй логикийг хэзээ ч ойлгохгүй. Энэ бол "бүрэн" гэдэг үгнээс оюун ухаангүй ярьдаг тоть, сургасан сармагчингийн түвшин юм. Математикчид энгийн сургагч багшийн үүрэг гүйцэтгэж, утгагүй санаагаа бидэнд номлодог.

Эрт урьд цагт гүүрийг барьсан инженерүүд гүүрний туршилт хийж байхдаа гүүрэн доор завинд сууж байжээ. Хэрэв гүүр нурсан бол дунд зэргийн инженер өөрийн бүтээлийн нуранги дор нас баржээ. Гүүр ачааллыг даах чадвартай бол авъяаслаг инженер өөр гүүрүүдийг барьсан.

Математикчид “намайг бод, би гэртээ байна” гэх, эс тэгвээс “математик хийсвэр ойлголтуудыг судалдаг” гэсэн хэллэгийн ард яаж нуугдаж байсан ч тэдгээрийг бодит байдалтай салшгүй холбодог хүйн ​​зангилаа байдаг. Энэ хүйн ​​бол мөнгө. Математик олонлогын онолыг математикчдад өөрсдөө хэрэгжүүлцгээе.

Бид математикийн хичээлийг маш сайн сурсан, одоо цалингаа өгөөд кассанд сууж байна. Тэгэхээр нэг математикч мөнгөө авахаар манайд ирдэг. Бид түүнд бүх дүнг тоолж, өөр өөр овоолго хэлбэрээр ширээн дээр тавьж, ижил мөнгөн дэвсгэртийг оруулав. Дараа нь бид овоо бүрээс нэг дэвсгэрт авч, математикчдаа түүний "математикийн цалин" -ыг өгнө. Ижил элементгүй олонлог нь ижил элементтэй олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг нотлох үед л үлдсэн үнэт цаасыг хүлээн авах болно гэдгийг математикчд тайлбарлая. Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг.

Юуны өмнө, депутатуудын логик ажиллах болно: "Үүнийг бусдад хэрэглэж болно, гэхдээ надад биш!" Дараа нь тэд ижил мөнгөн дэвсгэртүүд өөр өөр үнэт цаасны дугаартай байдаг тул тэдгээрийг ижил элемент гэж үзэх боломжгүй гэж биднийг тайвшруулж эхэлнэ. За, цалингаа зоосоор тоолъё - зоосон дээр ямар ч тоо байхгүй. Энд математикч физикийн тухай дурсан санаж эхэлнэ: янз бүрийн зоосон мөнгө өөр өөр хэмжээтэй, атомын талст бүтэц, зохион байгуулалт нь зоос бүрийн хувьд өвөрмөц байдаг ...

Одоо надад хамгийн сонирхолтой асуулт байна: олон багцын элементүүд олонлогийн элементүүд болон эсрэгээр хувирах шугам хаана байна вэ? Ийм шугам байхгүй - бүх зүйлийг бөө нар шийддэг, шинжлэх ухаан энд хэвтэхэд ойрхон ч биш юм.

Энд хар. Бид ижил талбайтай хөлбөмбөгийн цэнгэлдэхүүдийг сонгодог. Талбайн талбайнууд ижил байна - энэ нь бид олон багцтай гэсэн үг юм. Гэхдээ эдгээр ижил цэнгэлдэх хүрээлэнгүүдийн нэрийг харвал нэр нь өөр учраас олон гарч ирнэ. Таны харж байгаагаар ижил элементүүдийн багц нь олонлог ба олон багц юм. Аль нь зөв бэ? Тэгээд энд математикч-бөө-хурц хүн ханцуйнаасаа бүрээ гаргаж ирээд багц эсвэл олон багцын тухай ярьж эхлэв. Ямар ч байсан тэр бидний зөв гэдэгт итгүүлэх болно.

Орчин үеийн бөө нар олонлогийн онолыг бодит байдалтай уялдуулан хэрхэн ажилладагийг ойлгохын тулд нэг олонлогийн элементүүд нөгөө олонлогийн элементүүдээс юугаараа ялгаатай вэ гэсэн нэг асуултад хариулахад хангалттай. Би та нарт "нэг бүхэл бүтэн биш гэж төсөөлж болохуйц" эсвэл "ганц бүхэлдээ төсөөлшгүй" зүйлгүйгээр харуулах болно.

2018 оны 3-р сарын 18, Ням гараг

Тооны цифрүүдийн нийлбэр гэдэг нь математикт огт хамааралгүй бөөгийн хэнгэрэгтэй бүжиг юм. Тийм ээ, математикийн хичээл дээр бид тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олж, түүнийгээ ашиглахыг заадаг, гэхдээ тэд бөө учраас үр хойчдоо ур чадвар, мэргэн ухааныг зааж сургах, эс бөгөөс бөө нар зүгээр л үхэх болно.

Танд нотлох баримт хэрэгтэй байна уу? Википедиа нээгээд "Тооны цифрүүдийн нийлбэр" гэсэн хуудсыг хайж олоод үзээрэй. Тэр байхгүй. Аливаа тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олох томьёо математикт байдаггүй. Эцсийн эцэст тоо бол бидний тоо бичдэг график тэмдэг бөгөөд математикийн хэлээр даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: "Аливаа тоог илэрхийлэх график тэмдгийн нийлбэрийг ол." Математикчид энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй ч бөө нар амархан шийдэж чадна.

Өгөгдсөн тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийж, яаж хийхийг олж мэдье. Ингээд 12345 тоотой болцгооё. Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүх алхамуудыг дарааллаар нь авч үзье.

1. Цаасан дээр тоог бич. Бид юу хийсэн бэ? Бид энэ тоог график тооны тэмдэг болгон хөрвүүлсэн. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

2. Үүссэн нэг зургийг хэд хэдэн зураг болгон хайчилж, бие даасан тоонуудыг агуулна. Зургийг тайрах нь математикийн үйлдэл биш юм.

3. График тэмдэгтүүдийг тоо болгон хувиргах. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

4. Үүссэн тоонуудыг нэмнэ. Одоо энэ бол математик.

12345 тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 15. Математикчдын хэрэглэдэг бөө нараас авсан “зүсэх, оёх дамжаа” юм. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм.

Математикийн үүднээс авч үзвэл ямар тооны системд тоо бичих нь хамаагүй. Тиймээс өөр өөр тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байх болно. Математикийн хувьд тооны системийг тухайн тооны баруун талд байрлах доод тэмдэгтээр заадаг. 12345 гэсэн том тоогоор би толгойгоо хуурахыг хүсэхгүй байна, нийтлэлээс 26 дугаарыг авч үзье. Энэ тоог хоёртын, наймтын, аравтын, арван зургаатын тооллын системд бичье. Бид алхам бүрийг микроскопоор харахгүй. Үр дүнг харцгаая.

Таны харж байгаагаар янз бүрийн тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байдаг. Энэ үр дүн нь математиктай ямар ч холбоогүй юм. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн талбайг метр, сантиметрээр тодорхойлсон бол огт өөр үр дүн гарахтай адил юм.

Тэг нь бүх тооны системд адилхан харагддаг бөгөөд цифрүүдийн нийлбэр байдаггүй. Энэ бол үүнийг батлах өөр нэг үндэслэл юм. Математикчдад зориулсан асуулт: математикт тоо биш зүйлийг яаж тодорхойлдог вэ? Математикчдын хувьд тооноос өөр юу ч байхгүй гэж үү? Би үүнийг бөө нарт зөвшөөрч болох ч эрдэмтдэд зөвшөөрөөгүй. Бодит байдал зөвхөн тоон дээр тогтдоггүй.

Хүлээн авсан үр дүнг тооллын систем нь тоонуудын хэмжүүрийн нэгж гэдгийг нотлох баримт гэж үзэх ёстой. Эцсийн эцэст бид өөр өөр хэмжүүр бүхий тоонуудыг харьцуулж болохгүй. Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг хэмжих өөр өөр нэгжтэй ижил үйлдэл нь тэдгээрийг харьцуулсны дараа өөр өөр үр дүнд хүргэдэг бол энэ нь математиктай ямар ч холбоогүй болно.

Жинхэнэ математик гэж юу вэ? Энэ нь математикийн үйлдлийн үр дүн нь тоон хэмжээ, ашигласан хэмжүүрийн нэгж, энэ үйлдлийг хэн гүйцэтгэж байгаагаас хамаарахгүй байх үед юм.

Өө! Энэ эмэгтэйчүүдийн бие засах газар биш гэж үү?
- Залуу эмэгтэй! Энэ бол сүнснүүдийг тэнгэрт өргөгдсөнийхөө ариун байдлыг судлах лаборатори юм! Дээрээс нь гал болон дээш сум. Өөр ямар бие засах газар вэ?

Эмэгтэй... Дээд талын гэрэлт цагираг, доош сум нь эрэгтэй.

Хэрэв дизайны урлагийн ийм бүтээл таны нүдний өмнө өдөрт хэд хэдэн удаа анивчдаг бол

Дараа нь та машиндаа гэнэт хачин дүрсийг олж хараад гайхах зүйл алга.

Би хувьдаа баас хийж буй хүнд хасах дөрвөн градусыг харахыг хичээдэг (нэг зураг) (хэд хэдэн зургийн найрлага: хасах тэмдэг, дөрөв, градусын тэмдэглэгээ). Би энэ охиныг физик мэдэхгүй тэнэг гэж бодохгүй байна. Тэр зүгээр л график дүрсийг мэдрэх хүчтэй хэвшмэл ойлголттой. Үүнийг математикчид бидэнд байнга заадаг. Энд нэг жишээ байна.

1А нь "хасах дөрвөн градус" эсвэл "нэг а" биш юм. Энэ нь "баасан хүн" буюу арван зургаатын тооллын "хорин зургаа" гэсэн тоо юм. Энэ тооны системд байнга ажилладаг хүмүүс тоо, үсгийг нэг график тэмдэг болгон автоматаар хүлээн авдаг.

Хэзээтоо нь өөрөө үрждэг өөртөө, ажилдуудсан зэрэг.

Тэгэхээр 2.2 = 4, квадрат буюу 2-ын хоёр дахь зэрэг болно
2.2.2 = 8, шоо буюу гурав дахь хүч.
2.2.2.2 = 16, дөрөвдүгээр зэрэг.

Мөн 10.10 = 100, 10-ын хоёр дахь зэрэг.
10.10.10 = 1000, гуравдугаар зэрэг.
10.10.10.10 = 10000 дөрөв дэх хүч.

Мөн a.a = aa, a-ийн хоёр дахь зэрэг
a.a.a = aaa, a-ийн гурав дахь зэрэг
a.a.a.a = aaaa, a-ийн дөрөв дэх зэрэг

Жинхэнэ дугаарыг дуудаж байна үндэсЭнэ тооны хүчнүүд, учир нь энэ нь эрх мэдлийг бий болгосон тоо юм.

Гэсэн хэдий ч, ялангуяа өндөр эрх мэдлийн хувьд эрх мэдлийг бүрдүүлдэг бүх хүчин зүйлийг бичих нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Тиймээс богино тэмдэглэгээний аргыг ашигладаг. Зэрэглэлийн язгуурыг зөвхөн нэг удаа бичих ба баруун талд нь, хажууд нь арай өндөр, харин арай жижиг үсгээр хэдэн удаа бичдэг. үндэс нь хүчин зүйл болдог. Энэ тоо эсвэл үсгийг дууддаг илтгэгчэсвэл зэрэгтоо. Тэгэхээр 2 нь a.a эсвэл aa-тай тэнцүү, учир нь a язгуурыг өөрөө хоёр дахин үржүүлж, aa-г авна. Мөн 3 гэдэг нь ааа гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл энд а давтагдана гурван удааүржүүлэгч байдлаар.

Нэгдүгээр зэргийн илтгэгч нь 1 боловч ихэвчлэн бичдэггүй. Тэгэхээр 1-ийг a гэж бичнэ.

Та зэрэгтэй андуурч болохгүй коэффициентүүд. Коэффициент нь утгыг хэр олон удаа авч байгааг харуулдаг Хэсэгбүхэлд нь. Хүч нь тухайн хэмжигдэхүүнийг хэр олон удаа авч байгааг харуулдаг хүчин зүйлажилд.
Тэгэхээр 4a = a + a + a + a. Гэхдээ 4 = a.a.a.a

Эрчим хүчний тэмдэглэгээний схем нь бидэнд илэрхийлэх боломжийг олгодог өвөрмөц давуу талтай үл мэдэгдэхзэрэг. Үүний тулд тооны оронд илтгэгчийг бичнэ захидал. Асуудлыг шийдвэрлэх явцад бид мэддэг хэмжигдэхүүнийг олж авах боломжтой зарим ньөөр хэмжээний зэрэг. Гэхдээ энэ нь дөрвөлжин, шоо эсвэл өөр, илүү өндөр зэрэгтэй эсэхийг бид одоогоор мэдэхгүй байна. Тэгэхээр a x илэрхийлэлд илтгэгч нь энэ илэрхийлэл байгаа гэсэн үг юм зарим ньзэрэг нь тодорхойгүй ч гэсэн ямар зэрэгтэй. Тиймээс b m ба d n нь m ба n-ийн зэрэглэлд нэмэгдэв. Экспонент олдох үед, тооүсгийн оронд орлуулсан байна. Тэгэхээр m=3 бол b m = b 3; гэхдээ m = 5 бол b m = b 5 болно.

Хүчийг ашиглан утгыг бичих арга нь ашиглах үед бас том давуу тал юм илэрхийллүүд. Тиймээс (a + b + d) 3 нь (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), өөрөөр хэлбэл гурвалсан шоо (a + b + d) байна. . Гэхдээ бид энэ илэрхийллийг шоо болгон өсгөсний дараа бичвэл иймэрхүү харагдах болно
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Хэрэв илтгэгч нь 1-ээр нэмэгдэж эсвэл буурч байгаа хэд хэдэн хүчийг авбал үржвэр нь 1-ээр нэмэгдэхийг олж мэднэ. нийтлэг үржүүлэгчэсвэл буурдаг нийтлэг хуваагч, мөн энэ хүчин зүйл буюу хуваагч нь хүчин чадал руу өссөн анхны тоо юм.

Ингээд цувралд ааааа, аааа, ааа, аа, а;
эсвэл 5, 4, 3, 2, 1;
үзүүлэлтүүдийг баруунаас зүүн тийш тоолж үзвэл 1, 2, 3, 4, 5; ба тэдгээрийн утгын ялгаа нь 1. Хэрэв бид эхлэх юм бол зөв үржүүлэх a гэхэд бид олон утгыг амжилттай авах болно.

Тэгэхээр a.a = a 2, хоёр дахь гишүүн. Мөн 3.a = a 4
a 2 .a = a 3 , гурав дахь гишүүн. a 4 .a = a 5 .

Хэрэв бид эхэлбэл зүүн хуваахнь,
бид 5:a = a 4 ба 3:a = a 2-ыг авна.
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Гэхдээ энэ хуваах үйл явцыг цаашид үргэлжлүүлэх боломжтой бөгөөд бид шинэ үнэт зүйлсийг олж авдаг.

Тэгэхээр a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Бүрэн мөр нь: аааа, аааа, ааа, аа, а, 1, 1/а, 1/аа, 1/ааа байх болно.

Эсвэл 5, 4, 3, 2, а, 1, 1/а, 1/а 2, 1/а 3.

Энд үнэт зүйлс байна зөвнэгээс нь байдаг урвуунэгний зүүн талд байгаа утгууд. Тиймээс эдгээр зэрэглэлийг нэрлэж болно урвуу хүча. Зүүн талын эрх мэдэл нь баруун талын хүчнүүдийн урвуу тал гэж бид бас хэлж болно.

Тэгэхээр 1:(1/а) = 1.(а/1) = a. Мөн 1:(1/a 3) = a 3.

Үүнтэй ижил бичлэг хийх төлөвлөгөөг ашиглаж болно олон гишүүнт. Тиймээс, a + b-ийн хувьд бид багцыг авна.
(а + б) 3 , (а + б) 2 , (а + б), 1, 1/(а + б), 1/(а + б) 2 , 1/(а + б) 3 .

Тохиромжтой болгохын тулд харилцан эрх мэдлийг бичих өөр хэлбэрийг ашигладаг.

Энэ хэлбэрийн дагуу 1/a эсвэл 1/a 1 = a -1 . Мөн 1/aaa эсвэл 1/a 3 = a -3 .
1/aa эсвэл 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa эсвэл 1/a 4 = a -4 .

Мөн илтгэгчийн нийт зөрүү болох 1-тэй бүрэн цуваа гаргахын тулд a/a эсвэл 1-ийг зэрэггүй зүйл гэж үзэж, 0 гэж бичдэг.

Дараа нь шууд ба урвуу хүчийг харгалзан үзнэ
aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa-ын оронд
та 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4 гэж бичиж болно.
Эсвэл +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.

Зөвхөн бие даасан зэрэгтэй цувралууд дараах байдлаар харагдах болно.
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Зэрэглэлийн үндсийг нэгээс олон үсгээр илэрхийлж болно.

Ийнхүү аа.аа буюу (аа) 2 нь аагийн хоёр дахь зэрэг болно.
Мөн аа.аа.аа буюу (аа) 3 нь аагийн 3-р зэрэглэл юм.

1-ийн тооны бүх хүч ижил байна: 1.1 эсвэл 1.1.1. 1-тэй тэнцүү байх болно.

Экспоненциал гэдэг нь дурын тооны утгыг өөрөө үржүүлэх замаар олох явдал юм. Үржүүлэх дүрэм:

Хэмжигдэхүүнийг тоон хүчинд заасан хэмжээгээр өөрөө үржүүлнэ.

Энэ дүрэм нь экспоненциацийн явцад гарч болох бүх жишээнүүдэд нийтлэг байдаг. Гэхдээ энэ нь тодорхой тохиолдлуудад хэрхэн хамаарах талаар тайлбар өгөх нь зөв юм.

Хэрэв зөвхөн нэг гишүүнийг хүчин чадал болгон өсгөсөн бол түүнийг илтгэгчийн заасан хэмжээгээр өөрөө үржүүлнэ.

a-ийн дөрөв дэх хүч нь 4 эсвэл аааа. (195-р зүйл.)
y-ийн зургаа дахь зэрэг нь y 6 эсвэл yyyyyy.
x-ийн N-р зэрэглэл нь x n эсвэл xxx..... n удаа давтагдана.

Хэд хэдэн нэр томьёоны илэрхийлэлийг эрх мэдэлд хүргэх шаардлагатай бол зарчим хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэрийн хүч нь эдгээр хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Тэгэхээр (ay) 2 =a 2 y 2; (а) 2 = сар.
Харин ай.ай = аяй = aayy = a 2 y 2.
Тэгэхээр (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 м 3 x 3.

Тиймээс, бүтээгдэхүүний хүчийг олохдоо бид бүхэл бүтэн бүтээгдэхүүнтэй нэг дор ажиллах эсвэл хүчин зүйл бүрийг тусад нь ажиллуулж, дараа нь тэдгээрийн утгыг хүчээр үржүүлж болно.

Жишээ 1. Dhy-ийн дөрөв дэх хүч нь (dhy) 4 буюу d 4 h 4 y 4.

Жишээ 2. Гурав дахь зэрэг нь 4b, тэнд (4b) 3, эсвэл 4 3 b 3, эсвэл 64b 3 байна.

Жишээ 3. 6ad-ийн N-р зэрэглэл нь (6ad) n эсвэл 6 n a n d n байна.

Жишээ 4. 3м.2y-ийн гуравдахь чадал нь (3м.2у) 3 буюу 27м 3 .8у 3.

+ ба --ээр холбосон нэр томъёоноос бүрдэх хоёр гишүүний зэрэг нь түүний гишүүний үржвэрээр тодорхойлогдоно. Тийм ээ,

(a + b) 1 = a + b, нэгдүгээр зэрэг.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, хоёр дахь хүч (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, гуравдахь зэрэглэл.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, дөрөвдүгээр зэрэглэл.

a - b-ийн квадрат нь a 2 - 2ab + b 2 байна.