Сегментийн перпендикуляр биссектрисын шинж чанарууд. Гурвалжны биссектрисын огтлолцлын цэг ба перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг

Гурвалжинд дөрвөн гайхалтай цэг гэж нэрлэгддэг: медиануудын огтлолцлын цэг. Бисектрисын огтлолцлын цэг, өндрийн огтлолцлын цэг ба перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг. Тэдгээрийг тус бүрээр нь харцгаая.

Гурвалжны медиануудын огтлолцлын цэг

Теорем 1

Гурвалжны медиануудын огтлолцол дээр: Гурвалжны медианууд нэг цэгт огтлолцдог ба оройноос эхлэн $2:1$ харьцаатай огтлолцлын цэгээр хуваагдана.

Баталгаа.

$ABC$ гурвалжинг авч үзье, үүнд $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ медианууд байна. Медианууд талуудыг хагасаар хуваадаг тул. $A_1B_1$ дунд шугамыг авч үзье (Зураг 1).

Зураг 1. Гурвалжны медианууд

Теорем 1-ээр $AB||A_1B_1$ ба $AB=2A_1B_1$, тиймээс $\өнцөг ABB_1=\өнцөг BB_1A_1,\ \өнцөг BAA_1=\ өнцөг AA_1B_1$ байна. Энэ нь гурвалжны ижил төстэй байдлын эхний шалгуурын дагуу $ABM$ ба $A_1B_1M$ гурвалжин ижил төстэй байна гэсэн үг. Дараа нь

Үүний нэгэн адил энэ нь батлагдсан

Теорем нь батлагдсан.

Гурвалжингийн биссектрисын огтлолцлын цэг

Теорем 2

Гурвалжны биссектрисын огтлолцол дээр: Гурвалжны биссектриса нь нэг цэгт огтлолцдог.

Баталгаа.

$AM,\BP,\CK$ нь түүний биссектрис болох $ABC$ гурвалжинг авч үзье. $O$ цэгийг $AM\ ба \BP$ биссектрисауудын огтлолцох цэг гэж үзье. Энэ цэгээс гурвалжны талууд руу перпендикуляр зуръя (Зураг 2).

Зураг 2. Гурвалжны биссектриса

Теорем 3

Хөгжөөгүй өнцгийн биссектрисын цэг бүр талуудаас ижил зайд байна.

Теорем 3-аар бид: $OX=OZ,\ OX=OY$ байна. Тиймээс $OY=OZ$. Энэ нь $O$ цэг нь $ACB$ өнцгийн талуудаас ижил зайд байгаа тул түүний $CK$ биссектрис дээр байрладаг гэсэн үг юм.

Теорем нь батлагдсан.

Гурвалжны перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг

Теорем 4

Гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектриса нь нэг цэгт огтлолцоно.

Баталгаа.

$ABC$ гурвалжны перпендикуляр биссектрисаг $n,\ m,\ p$ өгье. $O$ цэгийг $n\ ба\ m$ перпендикуляр биссектрисауудын огтлолцлын цэг гэж үзье (Зураг 3).

Зураг 3. Гурвалжны перпендикуляр биссектрис

Үүнийг батлахын тулд бидэнд дараах теорем хэрэгтэй.

Теорем 5

Хэсэгт перпендикуляр биссектрисын цэг бүр нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байна.

Теорем 3-аар бид: $OB=OC,\ OB=OA$ байна. Тиймээс $OA=OC$. Энэ нь $O$ цэг нь $AC$ сегментийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байгаа тул түүний перпендикуляр $p$ биссектрис дээр байрладаг гэсэн үг юм.

Теорем нь батлагдсан.

Гурвалжингийн өндрийн огтлолцлын цэг

Теорем 6

Гурвалжны өндөр эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүд нэг цэг дээр огтлолцдог.

Баталгаа.

$ABC$ гурвалжинг авч үзье, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ нь түүний өндөр. Гурвалжны орой тус бүрийг оройн эсрэг талд параллель шулуун шугамаар зурцгаая. Бид шинэ гурвалжин $A_2B_2C_2$ авна (Зураг 4).

Зураг 4. Гурвалжингийн өндөр

$AC_2BC$ ба $B_2ABC$ нь нийтлэг талтай параллелограммууд тул $AC_2=AB_2$, өөрөөр хэлбэл $A$ цэг нь $C_2B_2$ талын дунд цэг болно. Үүний нэгэн адил бид $B$ цэг нь $C_2A_2$ талын дунд цэг, $C$ цэг нь $A_2B_2$ талын дунд цэг болохыг олж мэднэ. Бүтэцээс бидэнд $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$ байна. Иймд $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ нь $A_2B_2C_2$ гурвалжны перпендикуляр биссектрис юм. Дараа нь 4-р теоремийн дагуу $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ өндөр нь нэг цэгт огтлолцоно.

Шинэ ангиллын асуудлын талаар ойлголт өгөх - масштабын хуваагдалгүйгээр луужин, захирагч ашиглан геометрийн дүрсийг бүтээх.

GMT-ийн тухай ойлголтыг танилцуулах.

Перпендикуляр биссектрисын тодорхойлолтыг өгч, хэрхэн байгуулахыг зааж, перпендикуляр, мөн түүний урвуугийн тухай теоремыг нотлох.

"Compass-3D" компьютерийн зургийн системийг ашиглан геометрийн хичээл дээр луужин, захирагч ашиглан хийхийг зөвлөж буй геометрийн байгууламжуудыг гүйцэтгэнэ.

Тараах материал (Хавсралт No1)

Луужин, хуваагдалгүй захирагчтай барилгын ажилтай холбоотой асуудлуудыг ихэвчлэн тодорхой схемийн дагуу шийддэг.

I. Шинжилгээ: Хүссэн дүрсээ схемийн дагуу зурж, даалгаврын өгөгдөл болон шаардлагатай элементүүдийн хооронд холболт тогтооно.

II. Барилга: Төлөвлөсөн төлөвлөгөөний дагуу луужин, захирагчаар барилга угсралтын ажил хийгдэж байна.

III. Баталгаа: Барьсан дүрс нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгааг батал.

IV. Сурах: Тухайн асуудалд ямар нэгэн өгөгдлийн шийдэл байгаа эсэх, хэрэв тийм бол хичнээн шийдэл байгаа (бүх асуудалд хийгээгүй) судлах судалгааг явуулна.

Бидний авч үзэх үндсэн барилгын ажлын зарим жишээ энд байна.

1. Өгөгдсөнтэй тэнцэх сегментийг (өмнөх судалсан) хойш тавь.

2. Хэсэгт перпендикуляр биссектрис байгуулах:

өгөгдсөн сегментийн дунд хэсгийг байгуулах;
Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрч, өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр шугам барих (цэг нь өгөгдсөн шулуун дээр хэвтэж байж болно).

3. Өнцгийн биссектриса байгуулах.

4. Өгөгдсөнтэй тэнцүү өнцөг байгуулах.

Шугамын сегментийн перпендикуляр биссектрис.

Тодорхойлолт: Хэсэгт перпендикуляр биссектриса нь сегментийн дундыг дайран өнгөрөх ба түүнд перпендикуляр шулууныг хэлнэ.

Даалгавар: "Хэсэгт перпендикуляр биссектрис байгуул." Илтгэл

O - дунд AB

Барилгын тодорхойлолт ( слайдын дугаар 4):

Цацраг a; A - цацрагийн эхлэл

Тойрог (A; r =m)

a = B тойрог; AB = м

1-р тойрог (A; r 1 > м/2)

2-р тойрог (B; r 1)

1-р тойрог 2-р тойрог =

MN; MN AB =0, (MN = L)

Энд MN AB, O – AB-ийн дунд хэсэг

III. Баталгаа(слайд №5, 6)

1. AMN болон BNM-ийг авч үзье:

AM = MB=BN=AN=r 2, тиймээс AM = BN, AN = BM MN – нийтлэг тал

(Зураг 3)

Тиймээс AMN = BNM (3 талдаа),

Тиймээс

1= 2 (тэнцүү гэсэн тодорхойлолтоор)

3= 4 (тэнцүү гэсэн тодорхойлолтоор)

2. MAN ба NBM нь хоёр талт (тодорхойлолтоор) ->

1 = 4 ба 3 = 2 (нэг өнцөгтийн шинж чанараар)

3. 1 ба 2-р цэгээс -> 1 = 3 тул MO нь ижил өнцөгт AMB-ийн биссектриса юм.

4. Ингээд бид MN нь AB хэрчимтэй перпендикуляр биссектриса гэдгийг баталсан

IV. Сурах

Энэ асуудал нь өвөрмөц шийдэлтэй, учир нь Аливаа хэрчим нь зөвхөн нэг дунд цэгтэй бөгөөд тухайн цэгээр дамжуулан өгөгдсөн цэгт перпендикуляр нэг шулуун шугам зурж болно.

Тодорхойлолт: Геометрийн олонлог цэгүүд (GMT) нь зарим шинж чанартай цэгүүдийн багц юм. (Хавсралт No2)

Таны мэддэг GMT:

Сегментийн перпендикуляр биссектриса нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд орших цэгүүдийн багц юм.
Өнцгийн биссектриса - өнцгийн талуудаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн багц

Ингээд теоремыг баталъя:

Теорем: "Хэгж рүү чиглэсэн перпендикуляр биссектрисын цэг бүр нь энэ сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байна."

(Зураг 4)

Өгөгдсөн: AB; MO – перпендикуляр биссектрис

Баталгаажуулах: AM = VM

Нотолгоо:

1. MO – перпендикуляр биссектрис (нөхцөлөөр) -> O – AB сегментийн дунд цэг, MOAB

2. AMO болон VMO - тэгш өнцөгтийг авч үзье

MO - ерөнхий хөл

AO = VO (O – AB-ийн дунд) -> AMO = VMO (2 хөл дээр) -> AM = VM (тэнцүү гурвалжны тодорхойлолтоор, харгалзах талууд)

Q.E.D

Гэрийн даалгавар: "Урвуу теоремыг батлах"

Теорем: "Хэгжийн төгсгөлөөс ижил зайд орших цэг бүр энэ хэрчимтэй перпендикуляр биссектрист байрладаг."

(Зураг 5)

Өгөгдсөн: AB; MA=MV

Нотлох: М цэг нь перпендикуляр биссектрист байрладаг

Нотолгоо:

Тэр. MO нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа бүх цэгүүдийг агуулсан перпендикуляр биссектрис юм.

Гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектрисын өмч

Тэд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ цэг нь бидний наймдугаар ангид судлах гурвалжны тойргийн төв юм.

Семинар

Материал техникийн тоног төхөөрөмж:

Түгээх: 29,574 KB

Үйлдлийн систем: Windows 9x/2000/XP

Вэбсайт: http://www.ascon.ru

Одоо уг бүтцийг компьютерийн график орчинд шилжүүлцгээе (слайд №7)

Өмнө нь олж авсан мэдлэг, ур чадвараа тодорхой даалгаварт ашиглах ёстой. Барилга угсрахаас илүү их цаг хугацаа шаардагдахгүй гэдгийг та тэмдэглэлийн дэвтэр дээр харах болно. Үүнээс гадна компьютерийн орчин нь онгоцны дүрсийг бүтээх хүний тушаалыг хэрхэн гүйцэтгэдэг нь сонирхолтой юм. Таны барилгын үе шатуудыг нарийвчлан тодорхойлсон Хавсралт No3 энд байна. Програмаа ачаалаад шинэ зураг нээнэ үү ( слайдын дугаар 8, 9).

Бодлогын тайлбарт заасан геометрийн объектуудыг зур: туяа Анэг цэгээс эхэлдэг Аба сегмент нь тэнцүү байна м- дурын урт ( слайдын дугаар 10).

Табыг ашиглан зураг дээрх туяа, сегмент, туяаны эхлэлийн тэмдэглэгээг оруулна уу "Хэрэгслүүд"текст.

Хэсэгтэй тэнцүү радиустай тойрог байгуул мөгөгдсөн цэгийн орой дээр төвлөрсөн А (слайдын дугаар 11).

мөгөгдсөн орой дээр төвтэй А цэг ( слайд № 12, 13).

1/2-ээс их сегменттэй тэнцүү радиустай тойрог байгуул мҮүнийг хийхийн тулд RMB контекст цэснээс "" гэсэн зүйлийг сонгоно уу 2 онооны хооронд" (слайд No 14, 15, 16).

Тойрогуудын огтлолцох цэгүүдээр М ба Ншулуун шугам зурах ( слайд № 17,18).

Ашигласан номууд:

Угринович Н.Д. “Мэдээлэл зүй. Суурь хичээл” 7-р анги. - М.: БИНОМ – 2008 – 175 х.
Угринович Н.Д. "Компьютерийн шинжлэх ухаан, мэдээллийн технологийн семинар". Заавар. – М.: БИНОМ, 2004-2006. -
Угринович Н.Д."Бага, ахлах сургуулийн 8-11-р ангийн "Мэдээлэл зүй ба МХХТ" хичээлийг заах нь М.: BINOM Мэдлэгийн лаборатори, 2008. - 180 х.
Угринович Н.Д. CD-ROM дээрх компьютерийн семинар. – М.: БИНОМ, 2004-2006.
Богуславский А.А., Третьяк Т.М. Фарафонов А.А. "Луужин - 3D v 5.11-8.0 Эхлэгчдэд зориулсан семинар" - М.: СОЛОН - ХЭВЛЭЛ, 2006 - 272 х.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., “Геометр 7-9. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурах бичиг” – М: Боловсрол 2006 – 384 х.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., "Геометрийн 7-9-р анги судлах. Сурах бичгийн арга зүйн зөвлөмж” - М: Боловсрол 1997 - 255 х.
Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. Атанасян Л.С.-ын 8-р ангийн сурах бичигт үндэслэсэн хичээлийн төлөвлөгөө. - Волгоград "Багш" 2010, 166 х.

Хавсралт No1

Барилгатай холбоотой асуудлыг луужин, захирагчаар шийдэх төлөвлөгөө.

Шинжилгээ.
Барилга.
Баталгаа.
Сурах.

Тайлбар

Шинжилгээ хийхдээ хүссэн зургийг схемийн дагуу зурж, даалгаврын өгөгдөл болон шаардлагатай элементүүдийн хооронд холболтыг тогтооно.
Төлөвлөсөн төлөвлөгөөний дагуу барилгын ажлыг луужин, захирагч ашиглан хийж байна.
Баригдсан дүрс нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгааг тэд нотолж байна.
Тэд судалгаа хийдэг: тухайн асуудал нь өгөгдсөн өгөгдөлд зориулсан шийдэлтэй юу, хэрэв тийм бол хэдэн шийдэл байна вэ?

Барилгын үндсэн асуудлуудын жишээ

Өгөгдсөнтэй тэнцүү сегментийг хойш тавь.
Хэсэгт перпендикуляр биссектрисийг байгуул.
Сегментийн дунд цэгийг байгуул.
Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрч буй шугамыг өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байгуул (Цэг нь өгөгдсөн шулуун дээр хэвтэж байж болно).
Өнцгийн биссектрисийг байгуул.
Өгөгдсөнтэй тэнцүү өнцөг байгуул.

Хавсралт No2

Геометрийн цэгүүдийн байршил (GLP) нь тодорхой шинж чанартай цэгүүдийн багц юм.

GMT-ийн жишээнүүд:

Сегментийн перпендикуляр биссектриса нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд орших цэгүүдийн багц юм.
Тойрог нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд байрлах цэгүүдийн багц юм - тойргийн төв.
Өнцгийн биссектриса нь өнцгийн талуудаас ижил зайд орших цэгүүдийн багц юм.

Хэсгийн перпендикуляр биссектрисын цэг бүр нь тухайн сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байна.

Өмнөх хичээлээр бид гурвалжинд хүрээлэгдсэн ба чөлөөт өнцгийн биссектрисын шинж чанаруудыг авч үзсэн. Гурвалжинд гурван өнцөг багтдаг бөгөөд тэдгээрийн хувьд биссектрисын авч үзсэн шинж чанарууд хадгалагдана.

Теорем:

Гурвалжны AA 1, BB 1, СС 1 биссектриса нь нэг О цэг дээр огтлолцоно (Зураг 1).

Цагаан будаа. 1. Теоремын зураглал

Нотолгоо:

Эхлээд BB 1 ба CC 1 гэсэн хоёр биссектрисаг авч үзье. Тэд огтлолцдог, огтлолцлын цэг О байдаг. Үүнийг батлахын тулд эсрэгээр нь авч үзье: өгөгдсөн биссектриссууд огтлолцохгүй, энэ тохиолдолд параллель байна. Дараа нь BC шулуун нь секант бөгөөд өнцгийн нийлбэр нь байна , энэ нь бүхэл гурвалжинд өнцгүүдийн нийлбэр байна гэсэнтэй зөрчилдөж байна.

Тэгэхээр хоёр биссектрисын огтлолцлын О цэг байна. Түүний шинж чанарыг авч үзье:

O цэг нь өнцгийн биссектрис дээр байрладаг бөгөөд энэ нь BA ба ВС талуудаас ижил зайд байна. Хэрэв ОК нь ВС-д перпендикуляр, OL нь BA-д перпендикуляр байвал эдгээр перпендикуляруудын урт нь тэнцүү байна - . Мөн О цэг нь өнцгийн биссектриса дээр байрладаг ба түүний CB ба CA талуудаас ижил зайд байх ба OM ба OK перпендикулярууд тэнцүү байна.

Бид дараах тэгш байдлыг олж авсан.

, өөрөөр хэлбэл гурвалжны тал руу О цэгээс унасан гурван перпендикуляр бүгд хоорондоо тэнцүү байна.

Бид OL ба OM перпендикуляруудын тэгш байдлыг сонирхож байна. Энэ тэгшитгэл нь О цэг нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байгаа бөгөөд энэ нь түүний биссектриса AA 1 дээр байрладаг болохыг харуулж байна.

Ийнхүү гурвалжны гурван биссектриса нь нэг цэгт огтлолцдогийг бид нотолсон.

Үүнээс гадна гурвалжин нь гурван сегментээс бүрддэг бөгөөд энэ нь бид тусдаа сегментийн шинж чанарыг анхаарч үзэх хэрэгтэй гэсэн үг юм.

AB сегментийг өгөв. Аливаа сегмент дунд цэгтэй бөгөөд түүгээр перпендикуляр зурж болно - үүнийг p гэж тэмдэглэе. Тиймээс p нь перпендикуляр биссектриса юм.

Цагаан будаа. 2. Теоремын зураглал

Перпендикуляр биссектрис дээр байрлах аливаа цэг нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байна.

Үүнийг батлах (Зураг 2).

Нотолгоо:

Гурвалжин болон . Тэдгээр нь тэгш өнцөгт бөгөөд тэнцүү, учир нь тэдгээр нь нийтлэг OM хөлтэй ба AO ба OB хөлүүд нь нөхцөлөөр тэнцүү тул бид хоёр хөлтэй тэнцүү хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинтай болно. Үүнээс үзэхэд гурвалжны гипотенузууд нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл нотлох шаардлагатай байсан.

Эсрэг теорем үнэн.

Сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд орших цэг бүр нь энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист байрладаг.

AB хэрчим, түүний перпендикуляр биссектрис p ба сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд орших M цэг өгөгдсөн. М цэг сегментийн перпендикуляр биссектриса дээр байгааг батал (Зураг 3).

Цагаан будаа. 3. Теоремын зураглал

Нотолгоо:

Гурвалжинг авч үзье. Нөхцөл байдлын дагуу энэ нь тэгш өнцөгт юм. Гурвалжны медианыг авч үзье: О цэг нь AB суурийн дунд, OM нь медиан юм. Тэгш өнцөгт гурвалжны өмчийн дагуу түүний суурь руу татсан медиан нь өндөр ба биссектриса юм. Үүнийг дагадаг. Гэхдээ p шулуун мөн AB-д перпендикуляр байна. O цэг дээр AB хэрчимд ганц перпендикуляр зурах боломжтой гэдгийг бид мэднэ, энэ нь OM ба p шулуунууд давхцаж байгаа тул M цэг нь p шулуун шугамд хамаарах бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байна.

Шууд ба эсрэгээр теоремуудыг нэгтгэн дүгнэж болно.

Цэг нь хэрчмийн перпендикуляр биссектриса дээр оршдог бөгөөд хэрвээ энэ сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд оршдог.

Тиймээс гурвалжинд гурван сегмент байдаг бөгөөд тэдгээрт перпендикуляр биссектрисын шинж чанар хамаарна гэдгийг давтан хэлье.

Теорем:

Гурвалжны перпендикуляр биссектрис нь нэг цэг дээр огтлолцдог.

Гурвалжин өгөгдсөн. Түүний талуудын перпендикулярууд: P 1 нь BC тал руу, P 2 нь AC тал руу, P 3 нь AB тал руу.

P 1, P 2 ба P 3 перпендикулярууд О цэг дээр огтлолцохыг батална (Зураг 4).

Цагаан будаа. 4. Теоремын зураглал

Нотолгоо:

Хоёр перпендикуляр биссектрис P 2 ба P 3-ийг авч үзье, тэдгээр нь огтлолцдог, огтлолцлын цэг O байна. Энэ баримтыг зөрчилдөөнөөр баталъя - P 2 ба P 3 перпендикуляр параллель байцгаая. Дараа нь өнцгийг урвуу болгож байгаа нь гурвалжны гурван өнцгийн нийлбэр нь . Тэгэхээр гурван перпендикуляр биссектрисын хоёрын огтлолцлын О цэг байна. О цэгийн шинж чанарууд: энэ нь AB тал руу перпендикуляр биссектриса дээр байрладаг бөгөөд энэ нь AB сегментийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байна гэсэн үг: . Энэ нь мөн хувьсах гүйдлийн хажуугийн перпендикуляр биссектрист дээр байрладаг бөгөөд энэ нь . Бид дараах тэгшитгэлийг олж авлаа.

Перпендикуляр биссектрис (медиан перпендикулярэсвэл медиатрикс) - өгөгдсөн сегментэд перпендикуляр шулуун шугам, түүний дундуур дамжин өнгөрдөг.

Үл хөдлөх хөрөнгө

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

Энд доод тэмдэгт нь перпендикуляр зурсан талыг илэрхийлдэг;

С

нь гурвалжны талбай бөгөөд талууд нь тэгш бус байдлаар хамааралтай гэж үздэг.

a\geqslant b\geqslant c.

p_a\geq p_b

Тэгээд

p_c\geq p_b.

Өөрөөр хэлбэл гурвалжны хамгийн жижиг перпендикуляр биссектрис нь дунд сегментэд хамаарна.

"Перпендикуляр биссектрис" өгүүллийн талаар тойм бичнэ үү.

Тэмдэглэл

Перпендикуляр биссектрисийг тодорхойлсон ишлэл

Кутузов зажлахаа зогсоож, түүнд юу хэлснийг ойлгохгүй байгаа мэт гайхан Волзоген руу ширтэв. Вольцоген дес алтен Хернийн сэтгэл хөдөлж байгааг анзааран [өвгөн ноён (Герман)] инээмсэглэн хэлэв.
– Би өөрийн харсан зүйлээ таны ноёнтоноос нуух эрхгүй гэж үзээгүй... Цэргүүд бүрэн эмх замбараагүй байна...
- Чи харсан уу? Чи харсан уу? .. - гэж Кутузов хашгирч, хөмсгөө зангидан, хурдан босоод Волзоген руу урагшлав. "Чи яаж... яасан юм бэ!.." гэж хашгирч, гар барьж, амьсгал боогдох зэргээр заналхийлсэн дохио зангааг хийв. - Эрхэм ноёнтон минь, та яаж надад ингэж хэлж зүрхлэх вэ? Чи юу ч мэдэхгүй. Генерал Барклэйд түүний мэдээлэл буруу, тулалдааны бодит явцыг ерөнхий командлагч надад түүнээс илүү сайн мэдэж байгаа гэдгийг надаас хэлээрэй.
Волзоген эсэргүүцэхийг хүссэн боловч Кутузов түүний яриаг таслав.
- Дайсан зүүн талдаа няцаагдаж, баруун жигүүрт ялагдана. Хэрэв та сайн хараагүй бол эрхэм ноёнтон, мэдэхгүй зүйлээ битгий хэлээрэй. Маргааш нь генерал Барклайд очиж, дайсан руу довтлох миний туйлын санааг түүнд хэлээрэй" гэж Кутузов хатуу хэлэв. Бүгд чимээгүй байсан бөгөөд амьсгал нь тасарсан өвгөн генералын хүнд амьсгал л сонсогдов. "Тэд хаа сайгүй няцаагдсан бөгөөд үүний төлөө би Бурханд болон манай зоригт армид талархаж байна." Дайсан ялагдлаа, маргааш бид түүнийг Оросын ариун газар нутгаас хөөн гаргах болно" гэж Кутузов хэлэв. гэж хэлээд гэнэт нулимс асгаруулан уйллаа. Волзоген мөрөө хавчиж, уруулаа жимийтэл чимээгүйхэн хажуу тийш одов. [өвгөн ноёны энэ дарангуйлалд. (Герман)]
"Тийм ээ, тэр энд байна, миний баатар" гэж Кутузов тэр үед овоо руу орж байсан махлаг, царайлаг, хар үстэй генералд хэлэв. Энэ бол Бородино талбайн гол цэг дээр бүтэн өдрийг өнгөрөөсөн Раевский байв.
Раевский цэргүүд байрандаа баттай байрлаж, францчууд дахин довтлохыг зүрхлэхгүй байна гэж мэдэгдэв. Түүнийг сонсоод Кутузов францаар хэлэв.
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Тэгвэл та бусдын адил биднийг ухрах ёсгүй гэж бодож байна уу?] Гурвалжны тойргийн шинж чанарын талаархи теоремуудын баталгаа

Шугамын сегментийн перпендикуляр биссектрис

Тодорхойлолт 1. Сегментийн перпендикуляр биссектрисЭнэ сегментэд перпендикуляр шулуун шугам гэж нэрлэгддэг ба түүний дундуур дамждаг (Зураг 1).

Теорем 1. Хэсэгт перпендикуляр биссектрисын цэг бүр байрлана төгсгөлүүдээс ижил зайд энэ сегмент.

Баталгаа. АВ хэрчмийн перпендикуляр биссектриса дээр байрлах дурын D цэгийг авч үзье (Зураг 2), ADC ба BDC гурвалжин тэнцүү болохыг баталъя.

Үнэн хэрэгтээ эдгээр гурвалжнууд нь AC ба BC хөлүүд нь тэнцүү, DC хөл нь нийтлэг байдаг тэгш өнцөгт гурвалжин юм. ADC ба BDC гурвалжнуудын тэгш байдал нь AD ба DB сегментүүдийн тэгш байдлыг илэрхийлдэг. Теорем 1 батлагдсан.

Теорем 2 (Теорем 1-тэй эсрэгээр). Хэрэв цэг нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа бол энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист байрладаг.

Баталгаа. Теорем 2-ыг эсрэгээр баталцгаая. Энэ зорилгын үүднээс зарим Е цэг нь сегментийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байгаа боловч энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист дээр байрладаггүй гэж үзье. Энэ таамаглалыг зөрчилд оруулъя. Эхлээд Е ба А цэгүүд перпендикуляр биссектрисын эсрэг талд байрлах тохиолдлыг авч үзье (Зураг 3). Энэ тохиолдолд EA сегмент нь перпендикуляр биссектрисийг ямар нэгэн цэгээр огтолж байгаа бөгөөд бид үүнийг D үсгээр тэмдэглэнэ.

AE сегмент нь EB сегментээс урт гэдгийг баталцгаая. Үнэхээр,

Тиймээс Е ба А цэгүүд перпендикуляр биссектрисын эсрэг талд байрлах тохиолдолд бид зөрчилтэй байна.

Одоо Е ба А цэгүүд перпендикуляр биссектрисын нэг талд байрлах тохиолдлыг авч үзье (Зураг 4). EB сегмент нь AE сегментээс урт гэдгийг баталцгаая. Үнэхээр,

Үүссэн зөрчилдөөн нь теорем 2-ын баталгааг бүрэн хангана

Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог

Тодорхойлолт 2. Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог, гурвалжны бүх гурван оройг дайран өнгөрөх тойрог гэж нэрлэдэг (Зураг 5). Энэ тохиолдолд гурвалжинг дуудна тойрог дотор бичээстэй гурвалжинэсвэл бичээстэй гурвалжин.

Гурвалжингийн тойргийн шинж чанарууд. Синусын теорем

Зураг	Зурах	Өмч
Перпендикуляр биссектриса гурвалжны талууд руу		нэг цэг дээр огтлолцоно .

Төв хурц гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог		Төвийн талаар тайлбарлав хурц өнцөгт дотор гурвалжин.
Төв тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог		Төвийн талаар тайлбарлав тэгш өнцөгт гипотенузын дунд .
Төв мохоо гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог		Төвийн талаар тайлбарлав мохоо өнцөгт гурвалжин тойрог хэвтэж байна гадна гурвалжин.
		,
Дөрвөлжин гурвалжин		S= 2Р 2 гэм Анүгэл Бнүгэл C ,
Эргэн тойрны радиус		Аливаа гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм:

Гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектрис

Бүх перпендикуляр биссектрис , дурын гурвалжны талууд руу зурсан, нэг цэг дээр огтлолцоно .

Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог

Аливаа гурвалжинг тойргоор хүрээлж болно . Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь гурвалжны хажуу тал руу татсан бүх перпендикуляр биссектрис огтлолцох цэг юм.

Хурц гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төв

Төвийн талаар тайлбарлав хурц өнцөгт гурвалжин тойрог хэвтэж байна дотор гурвалжин.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төв

Төвийн талаар тайлбарлав тэгш өнцөгт гурвалжин тойрог байна гипотенузын дунд .

Мохоо гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төв

Төвийн талаар тайлбарлав мохоо өнцөгт гурвалжин тойрог хэвтэж байна гадна гурвалжин.

Аливаа гурвалжны хувьд дараах тэгшитгэлүүд үнэн (синусын теорем):

Үүнд: a, b, c нь гурвалжны талууд, A, B, C нь гурвалжны өнцөг, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.

Гурвалжны талбай

Аливаа гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм:

S= 2Р 2 гэм Анүгэл Бнүгэл C ,

Энд A, B, C нь гурвалжны өнцөг, S нь гурвалжны талбай, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.

Эргэн тойрны радиус

Аливаа гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм:

a, b, c нь гурвалжны талууд, S нь гурвалжны талбай, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.

Гурвалжны тойргийн шинж чанарын талаархи теоремуудын баталгаа

Теорем 3. Дурын гурвалжны хажуу тал руу татсан бүх перпендикуляр биссектристер нэг цэгт огтлолцоно.

Баталгаа. АВС гурвалжны АС ба АВ талууд руу татсан хоёр перпендикуляр биссектрисийг авч үзээд тэдгээрийн огтлолцох цэгийг О үсгээр тэмдэглэе (Зураг 6).

О цэг нь АС сегментийн перпендикуляр биссектриса дээр байрладаг тул теорем 1-ийн дагуу тэгш байдал үнэн болно.