СЭДЭВ:

Тэгш өнцөгт гурвалжны элементүүдийн шинж чанарууд. Гурвалжны өнцгийн биссектрисын шинж чанар.

хотын боловсролын байгууллагад математикийн багш

13-р дунд сургууль

КОСТРОМА 2009 он

ТАЙЛБАРЫН ТАЙЛБАР

Эдгээр дидактик материалыг бүрдүүлэхдээ дараахь зорилтуудыг тавьсан.

"Гурвалжны өнцгийн биссектрисын өмч", "Тэгш өнцгийн оройноос гипотенуз хүртэлх өндрийн шинж чанар" сэдвүүдийг судлахдаа боловсролын үйл явцыг зохион байгуулахад багшид туслах.

Эдгээр сэдвүүдийн геометрийн сурах бичгийг оюутнуудын бие даасан ажилд зориулсан даалгавруудаар нөхөх;

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх даалгавруудыг тодорхойлох.

Эдгээр дидактик материалууд нь тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлаас үүссэн шинж чанарыг ашиглах даалгавруудыг шийдвэрлэх чадварыг нэгтгэхэд тусалдаг. Даалгаврын сонголтыг одоогийн болон эцсийн хяналт, бие даасан ажил, бие даасан гэрийн даалгавар, 9-р анги, 10-11-р ангийн аль алинд нь материалыг давтах, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд ашиглаж болно. Материалууд нь 22 асуудлыг тусгасан бөгөөд тэдгээрийн тал хувь нь шийдлүүд дагалддаг. Шийдэл нь ярилцсантай төстэй асуудлуудыг ангид бие даан шийдвэрлэх эсвэл гэрийн даалгавар болгон санал болгодог. Даалгавруудыг хүндрэлийг нэмэгдүүлэх дарааллаар байрлуулна.

Яагаад надад багшийн хувьд энэ сэдвээр даалгавруудыг сонгох шаардлагатай болсон бэ? Энд хэд хэдэн хариулт байна. Нэгдүгээрт, миний ажиллаж байгаа сурах бичигт энэ сэдвээр бараг ямар ч асуудал байхгүй (зөвхөн хоёр асуудал: № 40 х. 106 ба дидактик материалын хэд хэдэн асуудал), гэхдээ тэдгээр нь ижил төрлийн бөгөөд ерөнхийдөө байдаг. , үл хөдлөх хөрөнгийн ашиглалтын янз бүрийн нөхцөл байдлыг тусгахгүй. Гурвалжны өнцгийн биссектрисын шинж чанарыг ашиглахад ямар ч асуудал гардаггүй.

Хоёрдугаарт, энэ сэдвийг Улсын нэгдсэн шалгалтын материалд нэгээс олон удаа тусгасан тул оюутнуудад энэ сэдвийг илүү нарийвчлан тайлбарлах шаардлагатай гэж би бодож байна. Математикийн шалгалтын геометрийн бодлого нэмэгдсэн

Уран зохиол:

"Шалгалтын асуулт хариулт 5"

“Их дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага”

Зеленский I. I. "Бодлого дахь геометр." Математикийн цуврал: "Дахин ачаалах"

"Геометрийн асуудлын цуглуулга"

Ziv A. G. "Геометрийн асуудлууд"

Гусев A. I. "Геометрийн дидактик материалууд"

Гарчиг

Өмч No1

Тэгш өнцгийн оройноос зурсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь гипотенуз дээрх хөлийн проекцуудын дундаж пропорциональ юм.

Өмч No2

Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл нь гипотенуз ба түүний гипотенуз дээрх проекцын хоорондох дундаж пропорциональ юм.

Өмч No3

Гурвалжны биссектриса нь эсрэг талыг нөгөө хоёр талтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваадаг.

А түвшин

A1 Гурвалжны периметр нь 25 см бөгөөд түүний биссектриса нь эсрэг талыг 7.5 см ба 2.5 см-тэй тэнцүү хэсгүүдэд хуваана.

A2 Гурвалжны периметр нь 35 см. Гурвалжны биссектриса нь эсрэг талыг хуваах хэрчмүүдийг ол.

A3 Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөл нь 10 дм, гипотенуз дээрх проекц нь 8 дм байна. Хоёр дахь хөл ба гипотенузыг ол.

А4 Тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийг гипотенуз руу хийх проекц нь 36 см 64 см бол ол.

А5 Тэгш өнцгийн оройгоос зурсан тэгш өнцөгт гурвалжны суурь нь гипотенузыг 4 см ба 9 см хэрчмүүдэд хуваавал өндрийг ол.

А6 Тэгш өнцөгтийн оройгоос гипотенуз хүртэл татсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр 4. Нэг хөл нь 8 бол гипотенузыг ол.

Б түвшин

B1 Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз руу татсан өндөр нь 36 см бөгөөд үүнийг 9:16 харьцаагаар хэрчмүүдэд хуваана. RAVS хай

https://pandia.ru/text/78/060/images/image003_197.gif" width="71" height="23">; SK2= AK ∙ HF;

362 = 9x∙16x; 1296 = 144x2; x2 = 9; x = 3

АК=27см; VK=48см; AB=75см.

2) Пифагорын теоремын дагуу ∆ AKS-аас: AC= https://pandia.ru/text/78/060/images/image006_144.gif" width="49" height="24 src=">=45 (см) )

∆ ABC цэгээс Пифагорын теоремын дагуу: BC===60 (см)

3) P ABC = AC+AB+BC; RABC = 180 см.

Хариулт нь 180 см

B2 Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз руу татсан өндрийг 16:9 харьцаагаар хэрчмүүдэд хуваана. Гурвалжны хамгийн урт хөл нь 60 см. энэ өндрийн уртыг ол. (энэ асуудал нь өмнөхтэй төстэй тул түүний шийдлийг авч үзэхгүй )

Хариулт: 36 см

B3 Тойрог дээрх цэгээс диаметр хүртэл перпендикуляр зурсан бөгөөд энэ нь диаметрийг урт нь 9:4 харьцаатай сегментүүдэд хуваана. Перпендикуляр урт нь 24 см бол тойргийг ол.

https://pandia.ru/text/78/060/images/image010_107.gif" өргөн "12" өндөр "19">AO = 26 см

3) Тойрог олохын тулд дараах томъёог ашиглана уу: L = 2https://pandia.ru/text/78/060/images/image011_97.gif" width="15" height="15 src="> см"

Хариулт: 52https://pandia.ru/text/78/060/images/image012_89.gif" width="208" height="172 src=">Шийдэл

1) Зурсан өндрийн шинж чанарыг ашиглацгаая

∆ABC өнцгийн оройноос АС гипотенуз хүртэл: VK= https://pandia.ru/text/78/060/images/image014_72.gif" width="83" height="27">см, АК =4см, KS =16см.

2) Пифагорын теоремын дагуу ∆AKV-ээс:

3) Пифагорын теоремын дагуу ∆VKS-аас:

4) SAVSD =AB ∙ ; S ABCD = 160 см2

Хариулт: 160 см2

B6 Тэгш өнцөгтийн эсрэг талын булангийн оройнуудаас диагональ руу перпендикуляр зурсан ба суурийн хоорондох зай нь 16 см байна. Эдгээр перпендикуляруудын урт нь 6 см бол тэгш өнцөгтийн талбайг ол. (Асуудал нь өмнөхтэй төстэй тул түүний шийдлийг танилцуулаагүй болно)

Хариулт: 120 см2

B7, B8, B9 бодлогуудыг оюутнуудад гэрийн даалгавар болгон эсвэл ангид бие даан шийдвэрлэхэд санал болгож болно

Q7 Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай 150, нэг хөл нь 15. Тэгш өнцгийн оройноос унасан өндрийн уртыг ол.

Асуулт 8 Тэгш өнцөгтийн оройгоос гипотенуз хүртэл татсан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь аль нэг хөл нь 8 байвал гипотенузыг олоорой.

Асуулт 9 Гипотенуз руу буулгасан тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь b-тэй тэнцүү ба нэг хурц өнцөг нь 60○ байна. Гипотенузыг ол.

В10 Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн биссектриса нь 12 см ба 15 см хэмжээтэй хөлийг хуваана. Сегментүүдийг ашиглан гурвалжны талбайг ол.

https://pandia.ru/text/78/060/images/image022_49.gif" өргөн "148" өндөр "41">

Тэгвэл х-г пропорциональ коэффициент гэж үзье

5х – AB тал, 4х – АС тал

2) ∆ACV-ийн хувьд бид Пифагорын теоремыг хэрэглэнэ

AB2 = AC2 + BC2;

25х2 = 16х2 +729;

3) Гурвалжны талбайн томъёог ашиглана уу: S∆ = AC∙BC; АС = 36(см); Нар = 27(см)

S∆ASV =486 см2

Хариулт: 486 см2

Q11, Q12 нь өмнөх асуудалтай төстэй.

В11 Гурвалжны зөв өнцгийн биссектриса нь түүний гипотенузыг 15 см ба 20 см хэрчмүүдэд хуваана. Гурвалжны талбайг ол.

Хариулт: 294 см2

Асуулт 12 Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн биссектриса нь эсрэг талын хөлийг 8 см ба 10 см урттай хэрчмүүдэд хуваана. Энэ гурвалжны периметрийг ол.

Хариулт: 72 см

В13 Тэгш өнцөгт гурвалжны биссектриса нь гипотенузыг 20 см ба 15 см-ийн хэрчмүүдэд хуваана. Бичсэн тойргийн радиусыг ол.

https://pandia.ru/text/78/060/images/image025_41.gif" өргөн "148" өндөр "41">

2) Пропорциональ коэффициентийг x, дараа нь AC -4x, CB-3x гэж үзье

∆ASV-ийн хувьд бид Пифагорын теоремыг хэрэглэнэ.

AB2 = AC2+CB2

x=7 AC=28см, CB=21см

3) Бичсэн тойргийн радиусыг олохын тулд дараах томъёог ашиглана уу. r═;r=см

Хариулт: 7 см

В14 Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн биссектриса нь хөлийг 10 см ба 26 см хэрчмүүдэд хуваана. Энэ гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг ол.

AB - 13x, AC - 5x

3) ∆ ASV-д Пифагорын теоремыг хэрэглэцгээе.

AB2= AC2 + BC2

169x2= 1396+25x2https://pandia.ru/text/78/060/images/image030_35.gif">4) Тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь гипотенузын дунд цэг учраасR= R=19.5 см

Хариулт: 19.5 см

Q15, Q16, Q17-г гэртээ даалгаж, дараа нь ангид шалгалт өгч болно.

Бодлого No15 Тэгш өнцөгт гурвалжны биссектриса нь гипотенузыг 4:3 харьцаатай хэрчмүүдэд хуваана. Хэрэв бичээстэй тойргийн радиус 7 бол эдгээр хэрчмүүдийг ол.

Хариулт: 32см ба 24см

B1 6 Тэгш өнцөгтийн оройгоос зурсан биссектриса нь түүний диагональыг 65 см ба 156 см-ийн хэсгүүдэд хуваадаг. Тэгш өнцөгтийн талбайг ол.

Хариулт нь 17340 см2

Асуулт17Тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн урт нь 39https://pandia.ru/text/78/060/images/image023_47.gif" width="16" height="41">DВ∙DК; ВD - ? DК -?

2) S∆ABC-ийг Хероны томъёогоор олъё: p = 21, S∆ABC = 84.

3) Нөгөө талаас S ∆ABC = AC∙DB AC∙DB = 2S; DВ = ; DB = 12;

4) AK = x, дараа нь SC = 14 – x гэж авъя; Гурвалжны өнцгийн биссектрисын шинж чанарыг хэрэглэцгээе: =https://pandia.ru/text/78/060/images/image036_29.gif" width="21" height="41 src=">.gif" width "20" өндөр = "16 src="> x = 6.5: AK = 6.5

5) DK = AK – AD..gif" width="16" height="41 src=">∙12∙1.5 = 9.

Дунд түвшний

Гурвалжны биссектриса. Жишээ бүхий нарийвчилсан онол (2019)

Гурвалжны биссектриса ба түүний шинж чанарууд

Сегментийн дунд цэг юу болохыг та мэдэх үү? Та мэдээжийн хэрэг. Тойргийн төвийг яах вэ? Үүнтэй адил. Өнцгийн дунд цэг гэж юу вэ? Ийм зүйл болохгүй гэж та хэлж болно. Яагаад сегментийг хагас болгон хувааж болох ч өнцөг нь яагаад хуваагдаж болохгүй вэ? Энэ нь бүрэн боломжтой - зүгээр л нэг цэг биш, гэхдээ .... шугам.

Та нар хошигнолыг санаж байна уу: биссектриса нь булан тойрон гүйж, буланг нь хагасаар хуваадаг харх юм. Тиймээс биссектрисын жинхэнэ тодорхойлолт нь энэ хошигнолтой маш төстэй юм.

Гурвалжны биссектриса- энэ нь энэ өнцгийн оройг эсрэг талын цэгтэй холбосон гурвалжны өнцгийн биссектрисын сегмент юм.

Нэгэн цагт эртний одон орон судлаачид, математикчид биссектрисын олон сонирхолтой шинж чанарыг олж илрүүлжээ. Энэхүү мэдлэг нь хүмүүсийн амьдралыг ихээхэн хялбаршуулсан. Барилга барих, зайг тоолох, их бууны буудлыг тохируулахад хүртэл хялбар болсон ... Эдгээр шинж чанаруудын талаархи мэдлэг нь ТЕГ болон Улсын нэгдсэн шалгалтын зарим ажлыг шийдвэрлэхэд тусална!

Үүнд туслах анхны мэдлэг бол тэгш өнцөгт гурвалжны биссектриса.

Дашрамд хэлэхэд, та эдгээр бүх нэр томъёог санаж байна уу? Тэд бие биенээсээ юугаараа ялгаатай болохыг та санаж байна уу? Үгүй юу? Аймшиггүй. Одоо үүнийг олж мэдье.

Тэгэхээр, тэгш өнцөгт гурвалжны суурь- энэ бол бусадтай тэнцүү биш тал юм. Зургийг хараарай, та үүнийг аль тал нь гэж бодож байна вэ? Энэ нь зөв - энэ бол тал юм.

Медиан гэдэг нь гурвалжны оройгоос зурж, эсрэг талыг (дахин ийм) хагасаар хуваадаг шугам юм.

Бид "Аль тэгш өнцөгт гурвалжны медиан" гэж хэлээгүйг анхаарна уу. Яагаад гэдгийг мэдэх үү? Учир нь гурвалжны оройгоос зурсан медиан нь АЯмар гурвалжны эсрэг талыг хоёр хуваадаг.

За, өндөр нь дээрээс нь зурсан шугам, суурьтай перпендикуляр юм. Та анзаарсан уу? Бид дахин ижил өнцөгт гурвалжны тухай биш, харин ямар ч гурвалжны тухай ярьж байна. Аливаа гурвалжны өндөр нь сууринд үргэлж перпендикуляр байдаг.

За, та үүнийг олж мэдсэн үү? За бараг л. Бисектрис, медиан, өндөр гэж юу болохыг илүү сайн, үүрд санахын тулд та тэдгээрийг бие биетэйгээ харьцуулж, тэдгээр нь хэрхэн ижил төстэй, бие биенээсээ ялгаатай болохыг ойлгох хэрэгтэй. Үүний зэрэгцээ илүү сайн санахын тулд бүх зүйлийг "хүний ​​хэлээр" дүрслэх нь дээр. Дараа нь та математикийн хэлээр амархан ажиллах болно, гэхдээ та эхлээд энэ хэлийг ойлгодоггүй тул бүх зүйлийг өөрийн хэлээр ойлгох хэрэгтэй.

Тэгэхээр, тэд ямар төстэй вэ? Биссектрис, медиан ба өндөр - бүгд гурвалжны оройноос "гарч", эсрэг талд нь наалдаж, гарах өнцөг эсвэл эсрэг талдаа "ямар нэгэн зүйл хийдэг". Би үүнийг энгийн гэж бодож байна, тийм үү?

Тэд юугаараа ялгаатай вэ?

• Биссектрис нь гарч ирэх өнцгийг хагасаар хуваана.
• Медиан нь эсрэг талыг хагасаар хуваана.
• Өндөр нь үргэлж эсрэг талдаа перпендикуляр байдаг.

Одоо тэгээд л болоо. Ойлгоход амархан. Тэгээд нэгэнт ойлгочихвол санаж чадна.

Одоо дараагийн асуулт. Яагаад ижил өнцөгт гурвалжны хувьд биссектриса нь медиан ба өндрийн аль аль нь байдаг вэ?

Та зүгээр л зургийг хараад медиан нь туйлын тэнцүү хоёр гурвалжинд хуваагдаж байгаа эсэхийг шалгаарай. Ингээд л болоо! Гэвч математикчид нүдэндээ итгэх дургүй байдаг. Тэд бүх зүйлийг батлах хэрэгтэй. Аймшигтай үг үү? Ийм зүйл байхгүй - энэ бол энгийн! Хараач: хоёулаа тэнцүү талуудтай бөгөөд ерөнхийдөө нийтлэг талтай байдаг. (- биссектриса!) Тэгэхээр хоёр гурвалжин хоёр тэнцүү талтай, тэдгээрийн хоорондох өнцөгтэй байна. Гурвалжны тэгш байдлын анхны шинж тэмдгийг бид санаж байна (хэрэв та санахгүй байгаа бол сэдвийг хараарай) гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн тул = ба.

Энэ нь аль хэдийн сайн байна - энэ нь дундаж болж хувирсан гэсэн үг юм.

Гэхдээ энэ юу вэ?

Зургийг харцгаая - . Тэгээд бид авсан. Тэгэхээр бас! Эцэст нь, яараарай! Тэгээд.

Энэ нотлох баримт танд жаахан хүнд санагдсан уу? Зургийг хараарай - хоёр ижил гурвалжин нь өөрөө ярьдаг.

Ямар ч тохиолдолд хатуу санаарай:

Одоо илүү хэцүү байна: бид тоолох болно дурын гурвалжин дахь биссектрисын хоорондох өнцөг!Бүү ай, энэ нь тийм ч төвөгтэй биш юм. Зургийг харна уу:

Тоолж үзье. Та үүнийг санаж байна уу гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь тэнцүү байна?

Энэ гайхалтай баримтыг хэрэгжүүлцгээе.

Нэг талаас:

Тэр нь.

Одоо харцгаая:

Гэхдээ биссектриса, биссектриса!

Дараахыг санацгаая:

Одоо үсгүүдээр дамжуулан

\өнцөг AOC=90()^\circ +\frac(\өнцөг B)(2)

Гайхалтай биш гэж үү? Энэ нь тодорхой болсон хоёр өнцгийн биссектрисийн хоорондох өнцөг нь зөвхөн гурав дахь өнцгөөс хамаарна!

За, бид хоёр биссектрисийг харлаа. Гурав байвал яах вэ???!!! Тэд бүгд нэг цэг дээр огтлолцох уу?

Эсвэл ийм байх болов уу?

Та яаж бодож байна? Тиймээс математикчид бодож, бодож, нотолсон:

Энэ гайхалтай биш гэж үү?

Яагаад ийм зүйл болдгийг мэдмээр байна уу?

Тэгэхээр... хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин: ба. Тэдэнд:

• Ерөнхий гипотенуз.
• (Учир нь энэ нь биссектрис юм!)

Энэ нь өнцөг ба гипотенузаар гэсэн үг юм. Тиймээс эдгээр гурвалжны харгалзах хөл нь тэнцүү байна! Тэр нь.

Энэ цэг нь өнцгийн талуудаас ижил (эсвэл тэнцүү) зайд байгааг бид нотолсон. 1-р цэгийг авч үзнэ. Одоо 2-р цэг рүү шилжье.

Яагаад 2 үнэн вэ?

Тэгээд цэгүүдийг холбоно.

Энэ нь биссектрис дээр байрладаг гэсэн үг юм!

Ингээд л болоо!

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ бүхнийг хэрхэн хэрэгжүүлэх вэ? Жишээлбэл, асуудалд "Тойрог нь өнцгийн талуудад хүрдэг ..." гэсэн өгүүлбэр ихэвчлэн байдаг. За, та ямар нэг зүйл олох хэрэгтэй.

Дараа нь та үүнийг хурдан ойлгох болно

Мөн та тэгш байдлыг ашиглаж болно.

3. Гурвалжингийн гурван биссектрис нэг цэгт огтлолцоно

Биссектрисын шинж чанар нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал байх тул дараах мэдэгдлийг гаргана.

Энэ нь яг яаж гарч ирдэг вэ? Гэхдээ хараарай: хоёр биссектриса огтлолцох нь гарцаагүй, тийм үү?

Гурав дахь биссектрис дараах байдлаар явж болно.

Гэвч бодит байдал дээр бүх зүйл илүү дээр юм!

Хоёр биссектрисын огтлолцох цэгийг харцгаая. Үүнийг нэрлэе.

Бид энд хоёр удаа юу ашигласан бэ? Тиймээ цэг 1, мэдээжийн хэрэг! Хэрэв цэг нь биссектрис дээр байрладаг бол өнцгийн талуудаас ижил зайтай байна.

Тэгээд ийм зүйл болсон.

Гэхдээ энэ хоёр тэгш байдлыг анхааралтай ажигла! Эцсийн эцэст тэднээс ийм зүйл гарч ирдэг бөгөөд иймээс .

Тэгээд одоо энэ нь тоглох болно цэг 2: өнцгийн талууд хүртэлх зай тэнцүү бол цэг нь биссектриса дээр байрладаг... ямар өнцөг вэ? Зургийг дахин хараарай:

ба өнцгийн талууд хүртэлх зай бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү бөгөөд энэ нь цэг нь өнцгийн биссектрис дээр байрладаг гэсэн үг юм. Гурав дахь биссектрис ижил цэгээр дамжсан! Гурван биссектрис бүгд нэг цэгт огтлолцдог! Мөн нэмэлт бэлэг болгон -

Цацраг бичээстэйтойрог.

(Баталгаажуулахын тулд өөр сэдвийг харна уу).

За, одоо та хэзээ ч мартахгүй:

Гурвалжны биссектрисын огтлолцлын цэг нь түүнд бичигдсэн тойргийн төв юм.

Дараагийн өмч рүүгээ орцгооё... Хөөх, биссектрис олон шинж чанартай байдаг тийм үү? Мөн энэ нь маш сайн, учир нь илүү олон шинж чанар, биссектрисын асуудлыг шийдэх олон хэрэгсэл байдаг.

4. Биссектриса ба параллелизм, зэргэлдээ өнцгүүдийн биссектриса

Бисектрис нь өнцгийг хагасаар хуваадаг нь зарим тохиолдолд огт санаанд оромгүй үр дүнд хүргэдэг. Энд жишээ нь,

Тохиолдол 1

Гайхалтай, тийм үү? Яагаад ийм байдгийг ойлгоцгооё.

Нэг талаас бид биссектрис зурдаг!

Гэхдээ нөгөө талаас хөндлөн хэвтсэн өнцөгүүд байдаг (сэдвийг санаарай).

Тэгээд одоо энэ нь болж байна; дундыг нь хая:! - хоёр өнцөгт!

Тохиолдол 2

Гурвалжинг төсөөлөөд үз (эсвэл зургийг хар)

Цэгээс цааш талыг нь үргэлжлүүлье. Одоо бидэнд хоёр өнцөг байна:

• - дотоод булан
• - гадна булан нь гадаа байна, тийм үү?

Тиймээс, одоо хэн нэгэн нь нэг биш, харин хоёр биссектрис зурахыг хүссэн: хоёулаа хоёулаа. Юу болох вэ?

Энэ бүтэх болов уу? тэгш өнцөгт!

Гайхалтай нь яг ийм байна.

Үүнийг олж мэдье.

Хэмжээ нь хэд гэж та бодож байна вэ?

Мэдээжийн хэрэг, тэд бүгд хамтдаа ийм өнцөг үүсгэдэг бөгөөд энэ нь шулуун шугам болж хувирдаг.

Одоо үүнийг санаж, биссектрис бөгөөд энэ өнцөг дотор яг байгааг хараарай хагасбүх дөрвөн өнцгийн нийлбэрээс: ба - - өөрөөр хэлбэл яг. Та үүнийг тэгшитгэл болгон бичиж болно:

Тиймээс, гайхалтай боловч үнэн:

Гурвалжны дотоод ба гадаад өнцгүүдийн биссектрисын хоорондох өнцөг тэнцүү байна.

Тохиолдол 3

Энд бүх зүйл дотоод болон гадаад булантай адилхан байгааг та харж байна уу?

Эсвэл яагаад ийм зүйл болж байгааг дахин бодъё?

Дахин хэлэхэд, зэргэлдээ булангийн хувьд,

(зэрэгцээ суурьтай харгалзах байдлаар).

Дахин хэлэхэд тэд эвлэрдэг яг хагасдүнгээс

Дүгнэлт:Хэрэв асуудал нь биссектрис агуулсан бол зэргэлдээөнцөг буюу биссектриса хамааралтайпараллелограмм эсвэл трапецын өнцөг, дараа нь энэ асуудалд мэдээжтэгш өнцөгт гурвалжин, эсвэл бүр бүхэл бүтэн тэгш өнцөгт оролцдог.

5. Бисектриса ба эсрэг тал

Гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг ямар нэгэн байдлаар бус харин онцгой бөгөөд маш сонирхолтой байдлаар хуваадаг болох нь харагдаж байна.

Энэ нь:

Гайхалтай баримт, тийм үү?

Одоо бид энэ баримтыг батлах болно, гэхдээ бэлэн байгаарай: энэ нь өмнөхөөсөө арай илүү хэцүү байх болно.

Дахин хэлэхэд - "сансар" руу гарах - нэмэлт формац!

Шууд явцгаая.

Юуны төлөө? Одоо харах болно.

Бисектрисийг шулуунтай огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлье.

Энэ танил зураг мөн үү? Тийм, тийм, тийм, 4-р зүйлтэй яг адилхан, тохиолдол 1 - энэ нь (- биссектрис)

Хөндлөн хэвтэж байна

Тэгэхээр, тэр ч бас.

Одоо гурвалжнуудыг харцгаая.

Та тэдний талаар юу хэлж чадах вэ?

Тэд ... төстэй. За, тийм ээ, тэдний өнцөг нь босоо өнцөгтэй тэнцүү байна. Тэгэхээр хоёр буланд.

Одоо бид холбогдох талуудын харилцааг бичих эрхтэй.

Одоо товч тайлбараар:

Өө! Надад ямар нэг зүйлийг сануулж байна, тийм үү? Энэ бол бидний батлахыг хүссэн зүйл биш гэж үү? Тийм, тийм, яг тэр!

"Сансрын алхалт" ямар агуу болохыг та харж байна - нэмэлт шулуун шугам барих - түүнгүйгээр юу ч болохгүй байсан! Тиймээс бид үүнийг нотолсон

Одоо та үүнийг аюулгүй ашиглаж болно! Гурвалжны өнцгийн биссектрисийн өөр нэг шинж чанарыг харцгаая - бүү сандар, одоо хамгийн хэцүү хэсэг нь дууслаа - энэ нь илүү хялбар байх болно.

Бид үүнийг ойлгодог

Теорем 1:

Теорем 2:

Теорем 3:

Теорем 4:

Теорем 5:

Теорем 6:

Сайн байна уу, эрхэм уншигчид! Өнөөдөр бид асуудлыг шийдэж эхэлнэгурвалжны биссектриса ба медианы шинж чанарууд. Эхлээд биссектриса ба медиан гэж юу болохыг санацгаая.
биссектрис - Энэ нь гурвалжны өнцгийн оройноос үргэлжилсэн CD сегмент юм. өнцгийг хоёр хуваасан ба эсрэг талд төгсдөг.
Медиан нь CM-ийн сегмент бөгөөд энэ ньхолбодог гурвалжны орой-тай эсрэг талын дунд.
Гурвалжин гурван орой, гурван талтай тул мөн гурван медиан биссектристэй болно.

Даалгавар 1. ABC тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдсөн. AD медиан ба биссектриса AM нь А оройноос BC тал руу татагдана. Медиан ба биссектрисын хоорондох өнцөг нь 17 ° байна. Гурвалжны хурц өнцгийг ол.
Шийдэл: AM нь биссектриса тул BAM өнцөг нь MAC өнцөгтэй тэнцүү бөгөөд тэдгээр нь 45°-тай тэнцүү байна. Харин DAM өнцөг нь 17° байна. Эндээс VAD өнцөг нь VAM ба LAM өнцгүүдийн зөрүүтэй тэнцүү буюу 45-17 = 28° байна.
Бид үүнийг мэднэ Тэгш өнцөгт гурвалжны оройгоос зурсан медиан нь энэ гурвалжинг 2 тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваана. АВД ба АДС гурвалжингууд.
Одоо, ABC гурвалжин нь ижил өнцөгт тул түүний суурь дахь өнцөг нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. VAD өнцөг нь AAD өнцөгтэй тэнцүү бөгөөд хоёулаа 28°-тай тэнцүү байна.
Энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжинд B өнцөг нь 28 ° байна гэсэн үг юм.
Гэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүдийн нийлбэр 90° байна. Тиймээс C өнцөг нь 90 - 28 = 62 ° -тай тэнцүү байх болно.
Хариулт:Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь 28° ба 62° байна.

Даалгавар 2. Зэргэлдээх өнцгүүдийн биссектриса перпендикуляр гэдгийг батал.
Шийдэл:Бид өнцгийг хэмжих шинж чанарыг мэддэг бөгөөд үүнийг илэрхийлдэг Хэрэв та өнцгийн дотор туяа зурвал тэдгээрийг хэд хэдэн өнцөгт хуваах бөгөөд эдгээр өнцгийн градусын хэмжүүрүүдийн нийлбэр нь анхны өнцгийн градусын хэмжүүртэй тэнцүү байх болно..
Тиймээс бидэнд: α+α+β+β = 180° байна.
Эсвэл 2α+2β = 180°.
Бид тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг 2-оор багасгаж, бид дараахийг авна: α + β = 90 °.
Тэдгээр. зэргэлдээх өнцгүүдийн VD ба VK биссектрисауудын хоорондох DVK өнцөгҮРГЭЛЖ 90°-тай тэнцүү зэргэлдээх өнцгийн хэмжээнээс үл хамааран.

Даалгавар 3. ABCD трапец өгөгдсөн. А ба В өнцгийн биссектриса М цэг дээр огтлолцоно.
AM = 24, BM = 18 бол AB-г ол.
Шийдэл: Өмнөх асуудлаас бид үүнийг олж мэдсэн зэргэлдээх өнцгүүдийн биссектриса нь үргэлж 90 ° өнцгийг үүсгэдэг.
Хажуугийн зэргэлдээ трапецын булангаас татсан биссектриса нь мөн 90 ° өнцгийг үүсгэдэг.
Үнэн хэрэгтээ: трапецын А ба В өнцгүүд нь AD ба ВС параллель шугамтай, AB зүсэлттэй нэг талт өнцгүүдийн адил 180 ° хүртэл нийлдэг.
Энэ нь эдгээр өнцгүүдийн хагас нь 90 ° хүртэл нэмэгдэнэ гэсэн үг юм.
Гурвалжинд 2 өнцөг нийлбэр 90° бол гурав дахь өнцөг нь 90°-тай тэнцүү байх болно. гурвалжны дотоод өнцгийн нийлбэр 180°.
Тэгэхээр энэ бол тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Энэ нь 2 хөлтэй гэдгийг бид Пифагорын теоремыг ашиглан гипотенузыг олж чадна.
AB² = AM² + BM² = 24² + 18² = 900. Эндээс AB = 30 байна.
Хариулт: AB = 30.

Геометрийн нэг үндэс бол өнцгийг хуваах туяа буюу биссектрисийг олох явдал юм. Гурвалжны биссектриса нь аливаа өнцгийн биссектрисын хэсэг юм. Энэ бол өнцгийн оройноос гурвалжны эсрэг талын огтлолцол хүртэлх хэсэг юм.

Хэрэв та бүх өнцгөөс биссектрисаг зурвал тэдгээр нь нэг цэг дээр огтлолцох бөгөөд үүнийг бичээстэй гурвалжны төв гэж нэрлэдэг.

Хэрэв та гурвалжны өнцгийн хэмжээг эсвэл хоёр хуваагдаж буй талын уртыг мэдэж байвал биссектрисийг тооцоолж болно.

Хоёр талт гурвалжны биссектриса

Нэгэн адил тэгш өнцөгт гурвалжинд хоёр тал нь хоорондоо тэнцүү тул зэргэлдээх өнцгүүдийн биссектриса нь тэнцүү байх болно. Учир нь Гурвалжны өнцөг нь мөн тэнцүү байна.

Булангийн аль нэгээс биссектрис зурахдаа өгөгдсөн гурвалжны өндөр ба түүний медианыг авч үзнэ.

Гурвалжны биссектрисийг хэрхэн олох асуудлыг томьёо ашиглан шийддэг.

Эдгээр томъёог шийдэхийн тулд нөхцөл нь талуудын уртын утгууд эсвэл гурвалжны өнцгийн утгыг зааж өгөх ёстой. Тэдгээрийг мэдсэнээр та косинус эсвэл периметр ашиглан биссектрисийг тооцоолж болно.

Жишээ нь: ABC тэгш өнцөгт гурвалжинг авч, AE биссектрисийг ВС суурь руу зур. Үүссэн гурвалжин AEB нь тэгш өнцөгт байна. Биссектриса нь түүний өндөр, AB тал нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз, BE ба AE нь хөл юм.

Пифагорын теоремыг хэрэглэсэн - гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Үүн дээр үндэслэн BE = v (AB - AE). AE нь ABC гурвалжны медиан тул BE тал нь BE = BC/2. Ийнхүү BE = v(AB - (BC/4)) болно.

Хэрэв ABC суурийн өнцгийг өгвөл гурвалжны биссектриса нь AEB, AE = AB/sin(ABC) болно. Суурийн өнцөг AEB, BAE = BAC/2. Иймд биссектриса AE = AB/cos (BAC/2).

Өөр гурвалжинд бичээстэй гурвалжны биссектрисийг хэрхэн олох вэ?

ABC тэгш өнцөгт гурвалжинд BC талыг AC тал руу зур. Энэ сегмент нь гурвалжны биссектриса ч биш, түүний медиан ч биш. Стюартын томъёо энд хамаарна.

Энэ нь гурвалжны периметрийг тооцоолоход хэрэглэгддэг - түүний бүх талуудын уртын нийлбэр. ABC-ийн хувьд бид хагас периметрийг тооцоолно. Энэ нь гурвалжны периметрийг хагасаар хуваасан юм.

P = (AB+ BC+ AC)/2. Энэ томьёог ашиглан бид хажуу тийш татсан биссектрисийг тооцоолно. VK = v(4*VS*AS*P (R-AV)/ (VS+AS).

Стюартын теоремоор гурвалжны нөгөө тал руу татсан биссектриса нь VC-тэй тэнцүү байх болно гэдгийг харж болно. гурвалжны эдгээр хоёр тал нь хоорондоо тэнцүү байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны биссектриса

Тэгш өнцөгт гурвалжны биссектрисийг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд та мөн томъёо ашиглах хэрэгтэй. Тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг өнцөг нь зөв байх ёстой гэдгийг бүү мартаарай, жишээлбэл. 90 градустай тэнцүү. Тиймээс, хэрэв биссектриса нь зөв өнцгөөс эхэлбэл, нөхцөл нь өнцгийн синус эсвэл косинусыг заагаагүй байсан ч та тэдгээрийг өнцгийн хэмжээгээр таньж болно.

• Стюартын томъёог ашиглан биссектрисийг олно. Хэрэв ABC гурвалжин байгаа бол түүний хагас периметрийг P = (AB+ BC+ AK)/2 гэж тооцно. Үүний үндсэн дээр бид AE = v(4*VK*AK*P (P-AB)/ (VK+AK) биссектрисын тооцоолно.
• Биссектрисын уртыг ийм байдлаар тодорхойлно. AE = v (BK*AK) – (EB*EK), энд EB ба EK нь AE биссектрис BK талыг хуваах сегментүүд юм.
• Эсвэл хэрэв тэдгээр нь мэдэгдэж байгаа бол та тэгш өнцөгт гурвалжны өнцгийн косинусуудыг ашиглаж болно. Биссектрис нь (2*аb*(cos c/2))/(a+b)-тай тэнцүү байх болно.
• Эсвэл ийм биссектрисийг олоорой. (cos a) – (cos b)/2 томьёог ашиглан ирээдүйд хэрэгтэй хуваагчийг олоорой. Дараа нь c тал руу зурсан өндрийг үр дүнгийн утгад хуваана. Косинусыг олж авахын тулд та өнцгийн хэмжээг мэдэх хэрэгтэй. Эсвэл тэдгээрийг зөвхөн мэдэгдэж буй өнцгийн хэмжээгээр тооцоолоорой - зөв өнцөг, 90 градус.

Тэгш талт гурвалжин

Ийм гурвалжинд бүх талууд нь бие биетэйгээ тэнцүү байх ба өнцгүүд нь адилхан. Тиймээс бүх биссектриса ба медианууд нь тэнцүү байх болно. Хэрэв зарим талын утгууд тодорхойгүй бол нэг талын үнэ цэнэ шаардлагатай болно. Учир нь талууд тэнцүү байна. Мөн өнцгийн хэмжээ. Тиймээс косинусын томъёог ашиглан биссектрисийг олохын тулд зөвхөн нэг өнцгийн утгыг мэдэх эсвэл тооцоолох хэрэгтэй.

Гурвалжны медиан ба биссектрисын урт нь - L-тэй тэнцүү байна.

Гурвалжны талууд тэнцүү - a.

ABC гурвалжинд биссектрис AE = (ABCv3)/2.

Адил талт гурвалжны өндөр ба медианыг тооцоолоход ижил томъёог ашигладаг.

Скален гурвалжин

Ийм гурвалжинд бүх талууд өөр өөр утгатай байдаг тул биссектрис нь хоорондоо тэнцүү биш юм.

Дурын талын утгууд бүхий гурвалжинг ав. Хэрэв талуудын зарим утгууд тодорхойгүй бол гурвалжны периметрийн томъёог ашиглан тооцоолно.

Өнцгийн биссектрисаг зурсны дараа тэдгээрийн тэмдэглэгээнд доод тэмдэг1 нэмэх нь зүйтэй. Бисектрис нь эсрэг талыг хуваах хэсгүүдийг мөн 1-р доод тэмдэгтээр тэмдэглэнэ.

Эдгээр сегментүүдийн уртыг синусын теоремыг ашиглан тооцоолно.

Биссектрисын уртыг L = v ab – a1b1 гэж тооцдог ба энд ab нь хэрчмүүдийн зэргэлдээх талууд, a1b1 нь хэрчмүүдийн үржвэр юм. Томъёо нь масштабтай гурвалжны бүх талд хамаарна. Хамгийн гол нь хажуугийн уртыг мэдэх, эсвэл зэргэлдээх өнцгийн утгыг мэдэж тэдгээрийг тооцоолох явдал юм.