Үйл явдлын харьцангуй давтамжийн статистик тогтвортой байдлын шинж чанар. Харьцангуй давтамж

дуудсан харьцангуй давтамж (эсвэл давтамж)үйл явдал Аавч үзэж буй туршилтуудын цувралд.

Үйл явдлын харьцангуй давтамж нь дараах байдалтай байна шинж чанарууд:

1. Аливаа үйл явдлын давтамж нь тэгээс нэгийн хооронд байдаг, i.e.

2. Боломжгүй үйл явдлын давтамж нь тэг, өөрөөр хэлбэл.

3. Найдвартай үйл явдлын давтамж нь 1, i.e.

4. Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн давтамж нь давтамжийн нийлбэртэй тэнцүү байна
эдгээр үйл явдлууд, жишээлбэл. хэрэв , тэгвэл

Давтамж нь өөр нэг үндсэн шинж чанартай байдаг статистикийн тогтвортой байдлын шинж чанар: туршилтын тоо нэмэгдэх тусам (жишээ нь. n) энэ нь зарим тогтмол тоотой ойролцоо утгыг авдаг (тэд хэлэхдээ: давтамж тогтворжиж, тодорхой тоо руу ойртож, давтамж нь тодорхой тооны орчимд хэлбэлздэг, эсвэл түүний утгууд нь тодорхой тооны эргэн тойронд бүлэглэгддэг).

Жишээлбэл, туршилтанд (К. Пирсон) зоос шидэх - 12,000 ба 24,000 шидэлт бүхий төрийн сүлд харагдах харьцангуй давтамж нь 0.5015 ба 0.5005-тай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. давтамж нь тоонд ойртдог. Ажиглалтаас харахад хүүтэй болох давтамж 0.515 орчим хэлбэлздэг.

Магадлалын онол нь зөвхөн харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдлыг тооцсон тодорхой бус үр дүн бүхий масс санамсаргүй үзэгдлүүдийг судалдаг гэдгийг анхаарна уу.

Магадлалын статистик тодорхойлолт

Санамсаргүй үйл явдлыг математикийн аргаар судлахын тулд тухайн үйл явдлын зарим тоон үнэлгээг нэвтрүүлэх шаардлагатай. Зарим үйл явдал бусдаас илүү тохиолдох магадлал (“илүү магадлалтай”) нь тодорхой байна. Энэ үнэлгээ нь үйл явдлын магадлал, тэдгээр. авч үзэж буй туршилтанд тохиолдох боломжийн түвшинг илэрхийлсэн тоо. Магадлалын хэд хэдэн математик тодорхойлолтууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бүгд бие биенээ нөхөж, нэгтгэдэг.

Хэд хэдэн удаа давтаж болох туршилтыг авч үзье (тэд: "давтан туршилт явуулсан" гэж хэлдэг), ямар нэгэн үйл явдал ажиглагдаж байна. А.

Статистикийн магадлалүйл явдал Ань хангалттай олон тооны туршилт (туршилт) хийхэд А үйл явдлын харьцангуй давтамж хэлбэлзэх тоо юм.

Үйл явдлын магадлал Атэмдгээр илэрхийлнэ Р(А). Энэ тодорхойлолтын дагуу:

Харьцангуй давтамж ба магадлалын ойролцоо байдлын математик үндэслэл Р(А) зарим үйл явдлын тухай АЖ.Бернуллигийн теорем болдог.

Магадлал Р(А) 1-4 харьцангуй давтамжийн шинж чанаруудыг дараахь байдлаар тодорхойлно.

1. Аливаа үйл явдлын статистик магадлал нь тэгээс нэгийн хооронд, өөрөөр хэлбэл.

2. Боломжгүй үйл явдлын статистик магадлал нь тэг, өөрөөр хэлбэл.

3. Найдвартай үйл явдлын статистик магадлал нь 1-тэй тэнцүү, i.e.

4. Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн статистик магадлал нь эдгээр үйл явдлын давтамжийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. хэрэв , тэгвэл

Бодит туршлага дээр үндэслэн магадлалыг тодорхойлох статистик арга нь энэ ойлголтын агуулгыг бүрэн харуулж байна. Статистикийн тодорхойлолтын сул тал нь статистикийн магадлалын тодорхой бус байдал юм; Тиймээс зоос шидэх жишээн дээр та магадлалыг зөвхөн 0.5 биш, харин 0.49 эсвэл 0.51 гэх мэтээр авч болно. Магадлалыг найдвартай тодорхойлохын тулд та олон тооны туршилт хийх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь үргэлж хялбар, хямдхан байдаггүй.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт

Туршилтын хязгаарлагдмал тооны үр дүнгийн аль нэгнийх нь тэгш байдалд үндэслэн үйл явдлын магадлалыг тодорхойлох энгийн арга бий. -ээр туршилт явуулъя nгэж төлөөлж болох үр дүн нийцэхгүй бүрэн бүлэг адил боломжтойүйл явдал. Ийм үр дүнгүүд гэж нэрлэдэг тохиолдлууд, боломжууд, энгийн үйл явдлууд, туршлага - сонгодог. Тэд ийм туршлагын талаар ярьдаг бөгөөд энэ нь буцалгана хэргийн схемэсвэл савны схем(Учир нь ийм туршилтын магадлалын бодлогыг өөр өөр өнгийн бөмбөлөг агуулсан савтай ижил төстэй бодлогоор сольж болно).

Үйл явдал үүсэхэд хүргэдэг тохиолдол w А, дуудсан таатай(эсвэл таатай) түүнд, өөрөөр хэлбэл. тохиолдол w үйл явдлыг дагуулдаг А: .

Үйл явдлын магадлал Атооны харьцаа гэж нэрлэдэг мэнэ үйл явдалд таатай тохиолдлууд, нийт тоо nтохиолдлууд, өөрөөр хэлбэл.

Зориулалтын хамт Р(А) үйл явдлын магадлалын хувьд Аашигласан тэмдэглэгээ нь r, өөрөөр хэлбэл p=P(А).

Магадлалын сонгодог тодорхойлолтоос дараахь зүйл гарч ирнэ. шинж чанарууд:

1. Аливаа үйл явдлын магадлал нь тэгээс нэгийн хооронд, өөрөөр хэлбэл.

2. Боломжгүй үйл явдлын магадлал нь тэг, өөрөөр хэлбэл.

3. Найдвартай үйл явдлын магадлал 1, i.e.

4. Тохиромжгүй үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын давтамжийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. хэрэв , тэгвэл

Жишээ 1.3.Нэг саванд 12 цагаан, 8 хар бөмбөлөг байдаг. Санамсаргүй байдлаар зурсан бөмбөг цагаан өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Болъё А– цагаан бөмбөг зурсан үйл явдал. Энэ нь адил боломжтой бүх тохиолдлын тоо нь тодорхой байна. Үйл явдлыг дэмжсэн тохиолдлын тоо А, 12-той тэнцүү, i.e. . Тиймээс (1.3) томъёоны дагуу бид: , i.e. .

Магадлалын геометрийн тодорхойлолт

Магадлалын геометрийн тодорхойлолтыг туршилтын үр дүн ижил тэнцүү байх тохиолдолд ашигладаг бөгөөд PES нь хязгааргүй тоолж баршгүй олонлог юм. Хавтгай дээр Ω талбайтай зарим муж, Ω муж дотор байгааг авч үзье , бүс нутаг Дталбайтай С Д(6-р зургийг үз).

Ω мужид цэгийг санамсаргүй байдлаар сонгоно X. Энэ сонголтыг гэж тайлбарлаж болно оноо шидэх X бүс нутаг рууΩ. Энэ тохиолдолд Ω мужид цэг орох нь найдвартай үйл явдал юм Д- санамсаргүй. Ω бүсийн бүх цэгүүд тэнцүү гэж үздэг (бүх энгийн үйл явдлууд адилхан боломжтой), өөрөөр хэлбэл. Шидсэн цэг нь бүс нутгийн аль ч цэгийг цохиж болох Ω ба бүс рүү орох магадлал ДЭнэ талбайн талбайтай пропорциональ бөгөөд түүний байршил, хэлбэрээс хамаардаггүй. Үйл явдал байг, i.e. шидэгдсэн цэг тухайн хэсэгт унах болно Д.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт

Магадлал - магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг. Энэ ойлголтын хэд хэдэн тодорхойлолт байдаг. Магадлал Энэ нь тодорхой үйл явдал тохиолдох магадлалын түвшинг тодорхойлдог тоо юм.

Туршилтын боломжит үр дүн бүрийг дуудна анхан шатны үр дүн (анхан шатны үйл явдал).Тэмдэглэл: ...,

Бидний сонирхсон үйл явдал тохиолдох энгийн үр дүнг бид нэрлэх болно таатай.

Жишээ:Нэг саванд 10 ижил бөмбөлөг байхаас 4 нь хар, 6 нь цагаан байна. Үйл явдал - савнаас цагаан бөмбөг сугалж байна. Уран савнаас цагаан бөмбөлөг гаргах таатай үр дүнгийн тоо 4 байна.

Үйл явдалд таатай байх үндсэн үр дүнгийн тоог тэдгээрийн нийт тоонд харьцуулсан харьцааг үйл явдлын магадлал гэж нэрлэдэг; Бидний жишээнд тэмдэглэгээ

Үйл явдлын магадлалЭнэ үйл явдалд таатай үр дүнгийн тооны харьцааг бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг ижил тэгш боломжтой үл нийцэх үндсэн үр дүнгийн нийт тоонд нэрлэх;

үйл явдалд таатай анхан шатны үр дүнгийн тоо хаана байна; бүх боломжит анхан шатны тестийн үр дүнгийн тоо.

Магадлалын шинж чанарууд:

1. Найдвартай үйл явдлын магадлал нэгтэй тэнцүү, i.e.

2. Боломжгүй үйл явдлын магадлал нь тэг, өөрөөр хэлбэл.д.

3. Санамсаргүй үйл явдлын магадлал нь тэгээс нэг хүртэлх эерэг тоо, өөрөөр хэлбэл.д.

эсвэл

1 ба 2-р шинж чанарыг харгалзан үзвэл, аливаа үйл явдлын магадлал нь тэгш бус байдлыг хангадаг

4 . Комбинаторикийн үндсэн томъёо

Комбинаторик нь дурын шинж чанартай өгөгдсөн хязгаарлагдмал олонлог элементүүдээс хийж болох нэгдлүүдийн тоог тодорхой нөхцлөөр судалдаг. Магадлалыг шууд тооцоолохдоо комбинаторик томъёог ихэвчлэн ашигладаг. Бид тэдгээрийн хамгийн түгээмэлийг танилцуулж байна.

СэлгээЭдгээр нь ижил өөр элементүүдээс бүрдэх ба зөвхөн байршлын дарааллаар ялгаатай хослолууд юм.

Бүх боломжит сэлгэлтийн тоо

Хаана Үүнийг хүлээн зөвшөөрч байна

Жишээ.Гурван оронтой тооны зураг дээр цифр бүр нь зөвхөн нэг удаа гарч ирэх гурван оронтой тооны тоо нь тэнцүү байна.

БайршлуулалтЭлементүүдийн найрлагаар эсвэл дарааллаар нь ялгаатай элементүүдээр янз бүрийн элементүүдээс бүрдсэн хослолууд юм. Бүх боломжит байршлын тоо

Жишээ. 2-р бүлэгт авсан өөр өөр өнгийн 6 тугнаас ирсэн дохионы тоо:

Хослолууднаад зах нь нэг элементээр ялгаатай элементүүдийн өөр өөр элементүүдээс бүрдсэн хослолууд юм. Хослолын тоо

Жишээ. 10 хэсэг агуулсан хайрцагнаас хоёр хэсгийг сонгох аргын тоо:

Байршил, сэлгэлт, хослолын тоо нь тэгш байдлаар хамааралтай

Комбинаторикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ дараахь дүрмийг баримтална.

Нийлбэрийн дүрэм. Хэрэв зарим объектыг олон тооны объектуудаас арга замаар сонгож, өөр объектыг арга замаар сонгох боломжтой бол аль нэгийг нь сонгож болно, эсвэл арга замаар сонгож болно.

Бүтээгдэхүүний дүрэм. Хэрэв объектыг объектын цуглуулгаас арга замаар сонгож болох ба ийм сонголт бүрийн дараа объектыг арга замаар сонгож болох юм бол тодорхой дарааллаар хос объектыг сонгож болно.

Харьцангуй давтамжМөн магадлалын онолын үндсэн ойлголт юм.

Харьцангуй давтамжүйл явдал гэдэг нь тухайн үйл явдал болсон туршилтын тоог бодит гүйцэтгэсэн туршилтын нийт тоонд харьцуулсан харьцаа бөгөөд томъёогоор тодорхойлогддог.

,

туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тоо хаана байна, нийт туршилтын тоо.

Магадлал ба харьцангуй давтамжийн тодорхойлолтыг харьцуулж үзвэл магадлалыг тодорхойлоход туршилт хийх шаардлагагүй, харьцангуй давтамжийг тодорхойлоход бодит туршилт хийх шаардлагатай гэж бид дүгнэж байна.

Урт хугацааны ажиглалтаас харахад ижил нөхцөлд туршилт хийх үед харьцангуй давтамж нь тогтвортой байдлын шинж чанартай байдаг. Энэ шинж чанар нь янз бүрийн цуврал туршилтуудад цувралаас цуврал хүртэлх туршилтын харьцангуй давтамж бага зэрэг өөрчлөгдөж, тодорхой тогтмол тоо орчимд хэлбэлздэгт оршино. Энэ нь тогтмол тоо бөгөөд үйл явдал болох магадлал юм.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь зарим сул талуудтай:

1) энгийн тестийн үр дүнгийн тоо практикт хязгаарлагдмал, энэ тоо хязгааргүй байж болно;

2) туршилтын үр дүнг энгийн үйл явдлын багц хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй байдаг;

Эдгээр шалтгааны улмаас магадлалын сонгодог тодорхойлолтын зэрэгцээ статистик тодорхойлолтыг ашигладаг. Вчанар статистик магадлал үйл явдал харьцангуй давтамжтай болдог.

Туршилтын улмаас санамсаргүй үйл явдал тохиолдож болно, эсвэл болохгүй гэдгийг мэддэг. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн нэг шүүх хуралд өөр өөр үйл явдал тохиолдох боломжууд өөр өөр байдаг. Нэг жишээ авч үзье. Хэрэв нэг саванд сайтар холилдсон зуун ижил бөмбөг байгаа бөгөөд тэдгээрийн зөвхөн арав нь хар, үлдсэн нь цагаан өнгөтэй байвал нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурахад цагаан бөмбөг гарч ирэх магадлал өндөр байдаг. Тухайн туршилтанд нэг юмуу өөр үйл явдал тохиолдох магадлал нь тоон хэмжигдэхүүнтэй байдаг бөгөөд үүнийг энэ үйл явдлын магадлал гэж нэрлэдэг бөгөөд магадлалын онолын дагуу хар эсвэл цагаан бөмбөгийг харах боломж ямар байхыг тооцоолж болно. .

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт

Тодорхой туршилтын үед $n$ энгийн адил боломжтой үйл явдал тохиолдох боломжтой гэж үзье. Энэ хэмжигдэхүүнээс $m$ тоо нь тодорхой $A$ үйл явдал тохиолдохыг дэмжсэн анхан шатны үйл явдлуудын тоо юм. Тэгвэл $A$ үйл явдлын магадлал нь $P\left(A\right)=\frac(m)(n) $ харьцаа юм.

Жишээ №1.

Уг саванд 3 цагаан, 5 хар бөмбөлөг байгаа бөгөөд тэдгээр нь зөвхөн өнгөөрөө ялгаатай. Туршилт нь савнаас санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг зурахаас бүрдэнэ. Бид $A$ үйл явдлыг "цагаан бөмбөгний дүр төрх" гэж үздэг. $A$ үйл явдлын магадлалыг тооцоол.

Туршилтын үеэр найман бөмбөгний аль нэгийг нь авч болно. Эдгээр бүх үйл явдлууд нь хоорондоо нийцэхгүй, бүрэн бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул энгийн зүйл юм. Энэ бүх үйл явдал адилхан боломжтой гэдэг нь бас тодорхой. Тиймээс $P\left(A\right)$ магадлалыг тооцоолохын тулд бид түүний сонгодог тодорхойлолтыг ашиглаж болно. Шийдлийн хувьд бид: $n=8$, $m=3$ бөгөөд бөмбөгнөөс цагааныг гаргаж авах магадлал $P\left(A\right)=\frac(3)(8)-тай тэнцүү байна. ) $.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолтоос дараахь шинж чанарууд гарч ирдэг.

• найдвартай үйл явдлын магадлал $V$ үргэлж нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл $P\left(V\right)=1$; Энэ нь найдвартай үйл явдлыг бүх энгийн үйл явдлууд илүүд үздэгтэй холбон тайлбарладаг, өөрөөр хэлбэл $m=n$;
• боломжгүй үйл явдлын магадлал $H$ үргэлж тэг, өөрөөр хэлбэл $P\left(H\right)=0$; Энэ нь боломжгүй үйл явдалд аль ч анхан шатны үйл явдал таалагддаггүй, өөрөөр хэлбэл $m=0$;
• Аливаа санамсаргүй үйл явдлын магадлал $A$ нь $0 нөхцлийг үргэлж хангадаг

Тиймээс ерөнхий тохиолдолд аливаа үйл явдлын магадлал $0\le P\left(A\right)\le 1$ тэгш бус байдлыг хангадаг.

Харьцангуй давтамж ба түүний тогтвортой байдал

Тодорхойлолт 1

Нэлээд олон тооны туршилтууд хийгдсэн гэж бодъё, тэдгээр нь тус бүрд нь тодорхой үйл явдал $A$ тохиолдож болно, үгүй ​​ч байж болно. Ийм туршилтыг туршилтын цуврал гэж нэрлэдэг.

$A$ үйл явдал $m$ удаа тохиолдох $n$ цуврал туршилтуудыг явууллаа гэж бодъё. Энд $m$ тоог $A$ үйл явдлын үнэмлэхүй давтамж, $\frac(m)(n) $ харьцааг $A$ үйл явдлын харьцангуй давтамж гэнэ. Тухайлбал, галын үед ашигласан $n=20$ гал унтраагчаас $m=3$ гал унтраагч ажиллахгүй байсан (үйлдэл $A$). Энд $m=3$ нь $A$ үйл явдлын үнэмлэхүй давтамж, $\frac(m)(n) =\frac(3)(20) $ нь харьцангуй давтамж юм.

Практик туршлага, нийтлэг ойлголтоос харахад жижиг $ n$-ийн хувьд харьцангуй давтамжийн утгууд тогтвортой байж чадахгүй, гэхдээ туршилтын тоог нэмэгдүүлбэл харьцангуй давтамжийн утгууд тогтворжих ёстой.

Жишээ №2.

Дасгалжуулагч арван хөвгүүдээс таван хүүг сонгож багт оролцуулдаг. Багийн гол цөмийг бүрдүүлдэг хоёр тодорхой хөвгүүн багт байх юм бол тэр хэдэн янзаар багийг бүрдүүлж чадах вэ?

Даалгаврын нөхцлийн дагуу хоёр хүү багт нэн даруй орно. Тиймээс найман хүүгээс гурван хүүг сонгох л үлдлээ. Энэ тохиолдолд зөвхөн бүрэлдэхүүн чухал байдаг тул багийн бүх гишүүдийн үүрэг ялгаатай байдаггүй. Энэ нь бид хослолуудтай харьцаж байна гэсэн үг юм.

$n$ элементүүдийн $m$-ын хослолууд нь $m$ элементүүдээс бүрдэх ба элементүүдийн дарааллаар бус, дор хаяж нэг элементээр өөр хоорондоо ялгаатай хослолууд юм.

Хослолын тоог $C_(n)^(m) =\frac(n) томъёогоор тооцоолно{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.!}

Тиймээс, найман хөвгүүдээс сонгон гурван хөвгүүнтэй багийг бүрдүүлэх янз бүрийн аргуудын тоо нь 3-ын 8 элементийн хослолын тоо юм.

$C_(8)^(3) =\frac(8{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$!}

Жишээ №3.

Оффисын тавиур дээр санамсаргүй дарааллаар байрлуулсан 15 ном байсны 5 нь алгебрийн ном байна. Багш санамсаргүй байдлаар гурван ном авдаг. Авсан номнуудаас ядаж нэг нь алгебрийн ном байх магадлалыг ол.

$A$ (авсан гурван номын дор хаяж нэг нь алгебрийн ном) болон $\bar(A)$ (авсан гурван номны аль нь ч алгебрийн ном биш) үйл явдлууд эсрэг утгатай тул P(A) + P( $ \bar(A)$) = 1. Тиймээс P(A) = 1-P($\bar(A)$). Тиймээс хүссэн магадлал P(A) = 1 - $C_(10)^(3)\, /C_(15)^(3)\, $= 1 - 24/91 = 67/91.

Жишээ № 4.

Хориод хувьцаат компанийн дөрөв нь гадаадынх. Тухайн иргэн зургаан хувьцаат компанийн тус бүр нэг ширхэг хувьцаа худалдаж авсан. Худалдан авсан хувьцааны хоёр нь гадаадын хувьцаат компанийн хувьцаа байх магадлал хэд вэ?

Хувьцаат компаниудыг сонгох нийт хослолын тоо нь 20-6 хослолын тоотой тэнцүү буюу $(\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) $. Тааламжтай үр дүнгийн тоог $(\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\rm 16))^(() бүтээгдэхүүнээр тодорхойлно. \rm 4) ) $, энд эхний хүчин зүйл нь дөрвөөс гадаадын хувьцаат компанийн сонголтын хослолын тоог заана. Гэхдээ ийм хослол бүр нь гадаадын бус хувьцаат компаниудад тулгарч болно. Ийм хувьцаат компаниудын нэгдлийн тоо нь $(\rm C)_((\rm 16))^((\rm 4)) $ байна. Тиймээс хүссэн магадлалыг $(\rm P)=\frac((\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_ хэлбэрээр бичнэ. ((\rm 16 ))^((\rm 4)) )((\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) ) =0.28$.

Жишээ №5.

18 хэсгээс бүрдсэн багцад стандарт бус 4 ширхэг байдаг. 5 хэсгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Эдгээр 5 хэсгээс хоёр нь стандарт бус байх магадлалыг ол.

Бүх адил боломжтой нийцэхгүй үр дүнгийн тоо $n$ нь 18-аас 5-ын хослолын тоотой тэнцүү байна, i.e. $n=C_(18)^(5) =8568$.

А үйл явдалд таатай $m$ үр дүнгийн тоог тоолъё. Санамсаргүй байдлаар авсан 5 дэлгэрэнгүй мэдээлэлд 3 стандарт, 2 стандарт бус байх ёстой. Боломжтой 4 стандарт бус хэсгээс хоёр стандарт бус хэсгийг сонгох аргын тоо нь 4-ийн 2-ын хослолын тоотой тэнцүү байна: $C_(4)^(2) =6$.

Боломжтой 14 стандарт хэсгээс гурван стандарт хэсгийг сонгох аргын тоо нь $C_(14)^(3) =364$ байна.

Стандарт хэсгүүдийн аль ч бүлэг нь стандарт бус хэсгүүдийн аль ч бүлэгтэй нэгтгэгдэж болох тул нийт хослолын тоо $m$ нь $m=C_(4)^(2) \cdot C_(14)^(3) =6 байна. \cdot 364=2184$.

А үйл явдлын хүссэн магадлал нь тухайн үйл явдалд таатай $m$ үр дүнгийн тоог адил боломжтой ба үл нийцэх бүх үйл явдлын $n$ тоотой харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна $P(A)=\frac(2184)(8568) =0.255.$

Жишээ № 6.

Нэг саванд 5 хар, 6 цагаан бөмбөлөг байдаг. 4 бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурсан. Тэдний дунд дор хаяж нэг цагаан бөмбөг байх магадлалыг ол.

Сугалсан бөмбөлгүүдийн дунд ядаж нэг нь цагаан өнгөтэй байна гэж $$ үйл явдлыг хэлье.

$\bar()$-ийн эсрэг үйл явдлыг авч үзье - зурсан бөмбөгнүүдийн дунд нэг ч цагаан бөмбөг байхгүй. Энэ нь зурсан 4 бөмбөг бүгд хар өнгөтэй байна гэсэн үг.

Бид комбинаторик томъёог ашигладаг.

Арван нэгээс дөрвөн бөмбөг авах арга замуудын тоо:

$n=!_(11)^(4) =\frac(11{4!\cdot (11-4)!} =330$!}

Арван нэгээс дөрвөн хар бөмбөгийг арилгах арга замуудын тоо:

$m=!_(5)^(4) =\frac(5{4!\cdot (5-4)!} =5$!}

Бид дараахыг авна: $\; (\bar())=\frac(m)(n) =\frac(5)(330) =\frac(1)(66) $; $P(A)=1-\; (\bar(A))=1-\frac(1)(66) =\frac(65)(66) $.

Хариулт: Дөрвөн сугалсан бөмбөг дунд нэг ч цагаан бөмбөг байхгүй байх магадлал нь $\frac(65)(66) $ байна.

Харьцангуй давтамж. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал

Үйл явдлын харьцангуй давтамж нь тухайн үйл явдал болсон туршилтын тоог бодитоор хийсэн туршилтын нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, А үйл явдлын харьцангуй давтамжийг томъёогоор тодорхойлно.

Энд m нь үйл явдлын тохиолдлын тоо, n нь туршилтын нийт тоо юм.

Магадлалыг тодорхойлохдоо туршилтыг бодитоор хийх шаардлагагүй; харьцангуй давтамжийг тодорхойлох нь туршилтыг бодитоор хийсэн гэж үздэг. Өөрөөр хэлбэл туршилтын өмнө магадлалыг, туршилтын дараа харьцангуй давтамжийг тооцдог.

Урт хугацааны ажиглалтаас харахад хэрэв туршилтыг ижил нөхцөлд явуулсан бол туршилтын тоо хангалттай их байвал харьцангуй давтамж нь тогтвортой байдлын шинж чанарыг харуулдаг. Энэ шинж чанар нь янз бүрийн туршилтуудад харьцангуй давтамж бага зэрэг өөрчлөгддөг (бага байх тусам илүү их туршилт хийх), тодорхой тогтмол тооны орчимд хэлбэлздэг. Энэ тогтмол тоо нь үйл явдал болох магадлал болох нь тогтоогдсон.

Гэсэн хэдий ч хэрэв харьцангуй давтамжийг туршилтаар тогтоосон бол үр дүнгийн тоог магадлалын утга болгон авч болно.

Жишээ 1. Зоос шидэх туршилтыг олон удаа хийж, "сүлд"-ийн харагдах тоог тоолдог. Хэд хэдэн туршилтын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв.

Харьцангуй давтамж нь ач холбогдолгүй юм. Тэдгээр нь 0.5 тооноос хазайдаг бөгөөд бага байх тусам тестийн тоо их байх болно.

Хэрэв бид зоос шидэх үед ʼʼГʼʼ гарч ирэх магадлал = 0.5 гэдгийг харгалзан үзвэл энэ нь хамааралтай гэдэгт бид дахин итгэлтэй байна. Давтамж нь дээд хэсэгт хэлбэлздэг.

Сонгодог зүйлийн хамгийн сул тал. Гол санаа нь туршилтын үр дүнг энгийн үзэгдэл хэлбэрээр харуулах нь ихэвчлэн боломжгүй байдаг. Элементүүдийг аль болох адил авч үзэх боломжийг бидэнд олгодог үндэслэлийг зааж өгөх нь бүр ч хэцүү байдаг. Энэ шалтгааны улмаас сонгодогтой хамт. Ver-ti гэх мэт тодорхойлолтыг ашигладаг.
ref.rf дээр нийтлэгдсэн
ver-ti-ийн тодорхойлолт Ялангуяа, статистик:Үйл явдлыг статистикийн үнэн гэж үздэг. давтамж эсвэл түүнтэй ойролцоо тоо.

Үүний зэрэгцээ статистикийн вер-тигийн тодорхойлолт нь өөрийн гэсэн ʼʼ-ʼʼ-тэй байдаг. Жишээлбэл, статистикийн вер-ти хоёрдмол утгатай. Тиймээс авч үзсэн жишээн дээр үйл явдлын үнэн чанарын чанарыг зөвхөн 0.5 төдийгүй 0.5069, 0.5016 гэх мэтээр авч болно.

ʼʼ тухай ойлголт геометрийн хувилбар.ʼʼ комп. дараагийн:

G талбай руу хүрэх замыг цэгээр санамсаргүй байдлаар шиддэг. “Санамсаргүй байдлаар шидсэн” хэллэгийг ихэвчлэн шидсэн цэг нь G талбайн аль ч цэгийг онож болно гэсэн утгаар ойлгогддог. Энэ нь ямар нэг цэгт оногддог гэж үздэг. G бүсийн хэсэг нь энэ хэсгийн хэмжигдэхүүнтэй (урт, талбай, эзэлхүүн) пропорциональ бөгөөд түүний байршил, хэлбэрээс хамаардаггүй.

Тэр. хэрвээ g нь G бүсийн нэг хэсэг бол g мужид орох магадлал тодорхойлолтоор = P(g) = g хэмжилт/ G хэмжигдэхүүн. Энд бүх энгийн үр дүнгийн Ω дүрэм нь G талбайн бүх цэгүүдийн нийлбэрийг илэрхийлдэг тул "геом" гэсэн ойлголтын төгсгөлгүй олон тооны энгийн үзэгдлүүдээс бүрддэг болохыг анхаарна уу. Ver-t'-ийг "сонгодог" гэсэн ойлголтын ерөнхий ойлголт гэж үзэж болно. Хязгааргүй олон тооны үр дүн бүхий туршилтуудын жишээнд итгээрэй.

Уулзалтын даалгавар. Шийдэл: А ба В хүмүүсийн ирэх мөчийг x ба y-ээр тэмдэглэе. Хэрвээ |x-y|≤10 бол уулзалт болно.

Хэрэв та x ба y-г квадрат дээрх декарт координатаар дүрсэлсэн бол бүх боломжит үр дүнг 60 талтай дөрвөлжин дэх цэгээр дүрсэлнэ.

10≤y-x≤10

Буффоны асуудал. Шийдэл: дараах тэмдэглэгээг оруулъя: x – зүүний дундаас хамгийн ойрын параллель хүртэлх зай;

φ нь зүүгээр параллель хийх өнцөг юм.

Зүүгийн байрлалыг x ба φ-ийн өгөгдсөн тодорхой утгуудаар бүрэн тодорхойлно. Мөн x Є(0;a), φЄ(0;π). Өөрөөр хэлбэл зүүний дунд хэсэг нь a ба π талтай тэгш өнцөгтийн аль ч цэг рүү унаж болно.

Тэр. Энэ тэгш өнцөгтийг G дүрс гэж үзэж болох бөгөөд тэдгээрийн цэгүүд нь зүүний дундах бүх боломжит байрлалыг илэрхийлдэг. Мэдээжийн хэрэг, зургийн энэ талбар = πa.

Цэг бүр нь бидний сонирхож буй үйл явдлыг дэмжсэн g дүрсийг олцгооё, ᴛ.ᴇ. Зургийн цэг бүр нь зүүний дунд хэсэг болж, ирмэгүүд нь параллель гаталж болно.

Зүү нь түүнд хамгийн ойр параллельтай огтлолцоно: x≤l·sinφ

Тэдгээр. хэрэв зүүний дунд хэсэг нь Зураг (2) дээр сүүдэрлэсэн зургийн аль нэг цэгт хүрсэн бол. Тэр. сүүдэрлэсэн дүрсийг g гэж үзэж болно. Түүний талбайг олъё:

Хариулт: 2л/aπ

Харьцангуй давтамж. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал - ойлголт ба төрлүүд. "Харьцангуй давтамж. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал" ангиллын ангилал, онцлог 2017, 2018 он.

Магадлалын тухай ойлголтын хэд хэдэн тодорхойлолт байдаг. Сонгодог тодорхойлолтыг өгье. Энэ нь таатай үр дүнгийн тухай ойлголттой холбоотой юм. Эдгээр үндсэн үр дүн (e.i.), муур. Бидний сонирхож буй үйл явдал тохиолдвол бид үүнийг энэ үйл явдалд таатай гэж нэрлэх болно.: А үйл явдлыг дуудсан гэдэгт би итгэж байна. Энэ үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог тэнцүү байж болох үл нийцэх үр дүнгийн нийт тоонд харьцуулсан харьцаа e. i., бүрэн бүлэг байгуулах. P(A) = m/n, энд m нь e-ийн тоо юм. i., А үйл явдалд таатай байх; n – бүх боломжит тоо e. Тэгээд. туршилтууд. Магадлалын тодорхойлолтоос түүний шинж чанарыг дагадагНайдвартай үйл явдлын :1) хувилбар(в) нь үргэлж 1-тэй тэнцүү байна.Учир нь. үйл явдал найдвартай, дараа нь бүх зүйл e. Тэгээд. туршилтууд энэ үйл явдлыг илүүд үздэг, өөрөөр хэлбэл. m=n.

P(A)=n/n = 1; 2) V. боломжгүй хувийн. 0-тэй тэнцүү байна.Учир нь

үйл явдал боломжгүй, тэгвэл байхгүй e. i., энэ үйл явдалд таатай, m=0 гэсэн үг.

P(A) = 0/n = 0; 3) Санамсаргүй үйл явдлын утга нь 0-ээс 1-ийн хооронд агуулагдах сөрөг бус утга, өөрөөр хэлбэл. 0

4. Харьцангуй давтамж. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал. Үйл явдлын харьцангуй давтамж (RF) нь тухайн үйл явдал болсон туршилтын тоог бодитоор хийсэн туршилтын нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм. (Омега БИШ!!!).стат. хувилбар. (r.v.) үйл явдлууд - харьцангуй давтамж (RF) эсвэл түүнтэй ойролцоо тоо.