Гурвалжны гайхалтай цэгүүдийн тухай теоремууд. Хичээл: Гурвалжны дөрвөн гайхалтай цэг

Танилцуулга

Бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн объектууд нь тодорхой шинж чанартай байдаг бөгөөд тэдгээрийн судалгааг янз бүрийн шинжлэх ухаан явуулдаг.

Геометр бол янз бүрийн дүрс, тэдгээрийн шинж чанарыг судалдаг математикийн салбар юм.

Элементүүдийн дөрөв дэх номонд Евклид "Өгөгдсөн гурвалжинд тойрог бичих" гэсэн асуудлыг шийджээ. Уг шийдлээс харахад гурвалжны дотоод өнцгийн гурван биссектрис нь нэг цэг дээр - бичээстэй тойргийн төвөөр огтлолцдог. Евклидийн өөр нэг асуудлын шийдлээс үзэхэд гурвалжны хажуу талуудад дунд цэгүүдэд нь сэргээн босгосон перпендикулярууд мөн нэг цэг дээр - хүрээлэгдсэн тойргийн төвтэй огтлолцдог. Элементүүдэд гурвалжны гурван өндөр нь ортоцентр гэж нэрлэгддэг нэг цэг дээр огтлолцдог гэж хэлээгүй (Грекээр "orthos" гэдэг нь "шулуун", "зөв" гэсэн утгатай). Гэсэн хэдий ч энэ саналыг Архимед мэддэг байсан. Гурвалжны дөрөв дэх ганц цэг нь медиануудын огтлолцлын цэг юм. Архимед гурвалжны хүндийн төв (барицент) гэдгийг нотолсон.

Дээрх дөрвөн цэгт онцгой анхаарал хандуулж, 18-р зуунаас гурвалжны "гайхалтай" эсвэл "онцгой" цэгүүд гэж нэрлэгдэх болсон. Эдгээр болон бусад цэгүүдтэй холбоотой гурвалжны шинж чанарыг судлах нь анхан шатны математикийн шинэ салбар болох "гурвалжингийн геометр" эсвэл "шинэ гурвалжны геометр" бий болгох эхлэл болсон бөгөөд үүнийг үүсгэн байгуулагчдын нэг нь Леонхард Эйлер байв.

1765 онд Эйлер аль ч гурвалжинд orthocenter, barycenter ба тойргийн төвүүд нэг шулуун дээр оршдог болохыг нотолсон бөгөөд хожим нь "Эйлерийн шулуун шугам" гэж нэрлэсэн. 19-р зууны 20-аад онд Францын математикч Ж.Понселе, К.Брайаншон болон бусад хүмүүс дараах теоремыг бие даан тогтоожээ: медиануудын суурь, өндрийн суурь ба гурвалжны оройтой ортой төвийг холбосон өндрийн сегментүүдийн дунд цэгүүд. нэг тойрог дээр хэвт. Энэ тойргийг "есөн цэгийн тойрог", "Фейербахын тойрог" эсвэл "Эйлерийн тойрог" гэж нэрлэдэг. К.Фейербах энэ тойргийн төв нь Эйлерийн шулуун дээр оршдог болохыг тогтоожээ.

“Бид урьд өмнө хэзээ ч ийм геометрийн үед амьдарч байгаагүй гэж би бодож байна. Эргэн тойрон дахь бүх зүйл геометр юм." 20-р зууны эхээр Францын агуу архитектор Ле Корбюзьегийн хэлсэн эдгээр үгс нь бидний цаг үеийг маш нарийн тодорхойлдог. Бидний амьдарч буй ертөнц байшин, гудамж, уул, талбай, байгаль, хүний ​​бүтээлийн геометрээр дүүрэн байдаг.

Бид "гурвалжингийн гайхалтай цэгүүд" гэж нэрлэгддэг зүйлийг сонирхож байсан.

Энэ сэдвийн талаархи уран зохиолыг уншсаны дараа бид гурвалжны гайхалтай цэгүүдийн тодорхойлолт, шинж чанарыг өөрсөддөө зориулж зассан. Гэвч бидний ажил үүгээр дууссангүй, бид өөрсдөө эдгээр цэгүүдийг судлахыг хүссэн.

Тийм ч учраас зорилтот өгсөн ажил Гурвалжны зарим гайхалтай цэг, шугамыг судлах, олж авсан мэдлэгээ асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах. Энэ зорилгод хүрэхийн тулд дараахь үе шатуудыг ялгаж салгаж болно.

Төрөл бүрийн мэдээлэл, уран зохиолын эх сурвалжаас боловсролын материалыг сонгох, судлах;

Гурвалжингийн гайхалтай цэг, шугамын үндсэн шинж чанарыг судлах;

Эдгээр шинж чанаруудын ерөнхий ойлголт, шаардлагатай теоремуудыг нотлох;

Гурвалжны гайхалтай цэгүүдтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх.

БүлэгI. Гайхамшигтай гурвалжны цэг ба шугамууд

1.1 Гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг

Перпендикуляр биссектриса нь хэрчмүүдийн дундыг дайран өнгөрөх, түүнд перпендикуляр шугам юм. Перпендикуляр биссектрисын шинж чанарыг тодорхойлсон теоремыг бид аль хэдийн мэддэг болсон. сегментийн перпендикуляр биссектрисын цэг бүр нь түүний төгсгөлүүдээс ижил зайд байх ба эсрэгээр нь хэрчмүүдийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа бол энэ нь перпендикуляр биссектрист дээр байрладаг;

Олон өнцөгтийг бичээстэй гэж нэрлэдэг Хэрэв түүний бүх орой нь тойрогт хамаарах бол тойрог. Тойрог олон өнцөгтийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг.

Аливаа гурвалжны эргэн тойронд тойргийг дүрсэлж болно. Түүний төв нь гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг юм.

О цэгийг АВ ба ВС гурвалжны талуудын перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг гэж үзье.

Дүгнэлт: Тиймээс хэрэв О цэг нь гурвалжны талуудын перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг бол OA = OC = OB, өөрөөр хэлбэл. O цэг нь ABC гурвалжны бүх оройноос ижил зайд байрладаг бөгөөд энэ нь хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм.

Үр дагавар

sin γ = c/2R = c/sin γ =2R.

Үүнтэй ижил аргаар нотлогддог А/ sin α =2R, b/ sin β =2R.

Тиймээс:

Энэ шинж чанарыг синусын теорем гэж нэрлэдэг.

Математикийн хувьд огт өөрөөр тодорхойлсон объектууд ижил болж хувирах нь олонтаа тохиолддог.

Жишээ.∆ABC BC, AC, AB талуудын дунд цэгүүдийг A1, B1, C1 гэж үзье. AB1C1, A1B1C, A1BC1 гурвалжнуудын эргэн тойронд дүрслэгдсэн тойргууд нэг цэгт огтлолцож байгааг харуул. Түүнчлэн, энэ цэг нь ∆ABC орчим хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм.

Ерөнхий ойлголт.Хэрэв ∆ABC AC, BC, AC талууд дээр дурын A 1, B 1, C 1 цэгүүдийг авбал AB 1 C 1, A 1 B 1 C, A 1 BC 1 гурвалжнуудын эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог нь нэг цэг дээр огтлолцоно. .

1.2 Гурвалжны биссектрисын огтлолцлын цэг

Эсрэг заалт нь бас үнэн: хэрэв цэг нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байвал түүний биссектрис дээр байрладаг.

Нэг булангийн талыг ижил үсгээр тэмдэглэх нь ашигтай.

OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.

О цэгийг А ба В өнцгийн биссектрисауудын огтлолцлын цэг гэж үзье.А өнцгийн биссектриса дээр байрлах цэгийн шинж чанараар OF=OD=r. В өнцгийн биссектриса дээр байрлах цэгийн шинж чанараас үзэхэд OE=OD=r. Тиймээс OE=OD= OF=r= O цэг нь ABC гурвалжны бүх талаас ижил зайд, өөрөөр хэлбэл. O нь бичээстэй тойргийн төв юм. (О цэг нь цорын ганц юм).

Дүгнэлт:тэгэхээр хэрэв О цэг нь гурвалжны өнцгүүдийн биссектриссүүдийн огтлолцлын цэг бол OE=OD= OF=r, өөрөөр хэлбэл. O цэг нь ABC гурвалжны бүх талаас ижил зайд байрладаг бөгөөд энэ нь бичээстэй тойргийн төв юм. Гурвалжны өнцгүүдийн биссектрисийн огтлолцлын O цэг нь гурвалжны гайхалтай цэг юм.

Үр дагавар:

Гипотенуз ба хурц өнцгийн дагуух AOF ба AOD гурвалжнуудын тэгшитгэлээс (Зураг 1) дараахь зүйлийг гаргана. А.Ф. = МЭ . OBD ба OBE гурвалжнуудын тэгш байдлаас үзэхэд ийм байна Б.Д = BE , COE ба COF гурвалжнуудын тэгшитгэлээс дараах нь гарна ХАМТ Ф = С.Э. . Тиймээс нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгч хэрчмүүд тэнцүү байна.

AF=AD= z, BD=BE= y, CF=CE= x

a=x+y (1), б= x+z (2), c= x+y (3).

+ (2) - (3), дараа нь бид дараахь зүйлийг авна. a+б-с=x+ y+ x+ z- z- y = a+б-с= 2x =

x=( б + в - a)/2

Үүний нэгэн адил: (1) + (3) - (2), дараа нь бид дараахыг авна. у = (a + c -б)/2.

Үүний нэгэн адил: (2) + (3) - (1), дараа нь бид дараахь зүйлийг авна. z= (а +б - в)/2.

Гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг зэргэлдээ талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваадаг.

1.3 Гурвалжны медиануудын огтлолцох цэг (төв)

Баталгаа 1. A 1 , B 1 ба C 1 нь ABC гурвалжны BC, CA, AB талуудын дунд цэгүүд байх ёстой (Зураг 4).

G нь AA 1 ба BB 1 хоёр медиануудын огтлолцлын цэг гэж үзье. Эхлээд AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2 гэдгийг баталъя.

Үүнийг хийхийн тулд AG ба BG сегментүүдийн P ба Q дунд цэгүүдийг авна. Гурвалжны дунд шугамын теоремоор B 1 A 1 ба PQ хэрчмүүд нь AB талын талтай тэнцүү ба түүнтэй параллель байна. Тиймээс A 1 B 1 дөрвөн өнцөгт нь PQ параллелограмм юм. Дараа нь PA 1 ба QB 1 диагональуудын огтлолцлын G цэг нь тус бүрийг хагасаар хуваана. Тиймээс P ба G цэгүүд нь AA 1 медианыг гурван тэнцүү хэсэгт хуваадаг бол Q ба G цэгүүд нь BB 1 медианыг гурван тэнцүү хэсэгт хуваана. Тэгэхээр гурвалжны хоёр медианы огтлолцлын G цэг нь оройноос нь тоолоход тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваана.

Гурвалжны медиануудын огтлолцох цэгийг гэнэ төв эсвэл хүндийн төв гурвалжин. Энэ нэр нь яг энэ үед нэгэн төрлийн гурвалжин хавтангийн хүндийн төв байрлаж байгаатай холбоотой юм.

1.4 Гурвалжингийн өндрийн огтлолцох цэг (ортотөв)

1.5 Торричелли цэг

Замыг ABC гурвалжингаар өгөв. Энэ гурвалжны Торричелли цэг нь энэ гурвалжны талууд 120 ° өнцгөөр харагдах О цэг юм, өөрөөр хэлбэл. AOB, AOC, BOC өнцөг нь 120°-тай тэнцүү байна.

Гурвалжны бүх өнцөг нь 120°-аас бага бол Торричелли цэг байдаг гэдгийг баталцгаая.

ABC гурвалжны AB тал дээр бид тэгш талт гурвалжин ABC" (Зураг 6, a) байгуулж, тойргийг дүрсэлнэ. AB сегмент нь энэ тойргийн нумыг 120 ° хэмждэг. Иймээс энэ нумын А-аас өөр цэгүүд. ба B нь AB сегмент нь 120 ° өнцгөөр харагдах шинж чанартай байдаг. Үүний нэгэн адил ABC гурвалжны АС тал дээр ACB тэгш өнцөгт гурвалжинг (Зураг 6, а) байгуулж, тойргийг дүрсэлнэ. . Харгалзах нумын цэгүүд нь A ба C-ээс ялгаатай бөгөөд тэдгээрээс AC сегмент нь 120 ° өнцгөөр харагдах шинж чанартай байдаг. Гурвалжны өнцөг нь 120°-аас бага тохиолдолд эдгээр нумууд нь зарим дотоод цэг дээр огтлолцдог O. Энэ тохиолдолд ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120° байна. Тиймээс ∟BOC = 120° байна. Тиймээс О цэг нь хүссэн цэг юм.

Гурвалжны аль нэг өнцөг, жишээлбэл ABC нь 120°-тай тэнцүү бол дугуй нумын огтлолцлын цэг нь В цэг болно (Зураг 6, b). Энэ тохиолдолд Торричеллигийн цэг байхгүй, учир нь энэ цэгээс AB ба ВС талууд аль өнцгөөр харагдах талаар ярих боломжгүй юм.

Гурвалжны аль нэг өнцөг, жишээлбэл, ABC нь 120°-аас их байвал (Зураг 6, в) тойргийн харгалзах нумууд огтлолцохгүй, Торричеллигийн цэг ч байхгүй.

Торричелли цэг нь өгөгдсөн гурван цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь хамгийн бага цэгийг олох Фермагийн асуудалтай (бид үүнийг II бүлэгт авч үзэх болно) холбоотой юм.

1.6 Есөн цэгийн тойрог

Үнэн хэрэгтээ, A 3 B 2 нь AHC гурвалжны дунд шугам тул A 3 B 2 || CC 1. B 2 A 2 нь ABC гурвалжны дунд шугам тул B 2 A 2 || AB. CC 1 ┴ AB тул A 3 B 2 A 2 = 90° байна. Үүний нэгэн адил, A 3 C 2 A 2 = 90 °. Тиймээс A 2, B 2, C 2, A 3 цэгүүд A 2 A 3 диаметртэй нэг тойрог дээр байрладаг. AA 1 ┴BC тул А 1 цэг мөн энэ тойрогт хамаарна. Тиймээс A 1 ба A 3 цэгүүд A2B2C2 гурвалжны тойрог дээр байрладаг. Үүний нэгэн адил B 1 ба B 3, C 1 ба C 3 цэгүүд энэ тойрог дээр байрладаг болохыг харуулсан. Энэ нь бүх есөн цэг нэг тойрог дээр байрладаг гэсэн үг юм.

Энэ тохиолдолд есөн цэгийн тойргийн төв нь өндөрлөгүүдийн огтлолцлын төв ба хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүдийн дунд байрладаг. Үнэн хэрэгтээ, ABC гурвалжинд (Зураг 9) О цэгийг хүрээлэгдсэн тойргийн төв болго; G – медиануудын огтлолцох цэг. H нь өндрийн огтлолцох цэг юм. O, G, H цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг ба N есөн цэгийн тойргийн төв нь OH хэрчмийг хагасаар хуваадаг гэдгийг батлах хэрэгтэй.

G цэгт төвтэй, -0.5 коэффициенттэй гомотетийг авч үзье. ABC гурвалжны A, B, C оройнууд нь A 2, B 2, C 2 цэгүүдэд тус тус очно. ABC гурвалжны өндөр нь A 2 B 2 C 2 гурвалжны өндөрт орох ба H цэг нь О цэг рүү очно. Иймд O, G, H цэгүүд нэг шулуун дээр байх болно.

OH хэрчмийн N дунд цэг нь есөн цэгийн тойргийн төв болохыг харуулъя. Үнэхээр C 1 C 2 нь есөн цэгийн тойргийн хөвч юм. Иймд энэ хөвчний перпендикуляр биссектрис нь диаметр бөгөөд N-ийн дунд хэсэгт OH-той огтлолцоно. Үүний нэгэн адил хөвчний B 1 B 2-ийн перпендикуляр биссектрис нь диаметртэй ба OH-ыг ижил N цэгт огтолно. Тэгэхээр N нь N-ийн төв юм. есөн цэгийн тойрог. Q.E.D.

Үнэн хэрэгтээ P нь ABC гурвалжны тойрог дээр байрлах дурын цэг байг; D, E, F - перпендикуляруудын суурь нь P цэгээс гурвалжны талууд руу унасан (Зураг 10). D, E, F цэгүүд нэг шулуун дээр байгааг харуулъя.

Хэрэв AP нь тойргийн төвийг дайран өнгөрвөл D ба E цэгүүд нь B ба C оройтой давхцаж байгааг анхаарна уу. Үгүй бол ABP эсвэл ACP өнцгүүдийн нэг нь хурц, нөгөө нь мохоо байна. Үүнээс үзэхэд D, E цэгүүд BC шулууны эсрэг талд байрлах ба D, E, F цэгүүд нэг шулуун дээр байгааг батлахын тулд ∟CEF =∟BED гэдгийг шалгахад хангалттай.

CP диаметртэй тойргийг тайлбарлая. ∟CFP = ∟CEP = 90° тул E ба F цэгүүд энэ тойрог дээр байрладаг. Иймд ∟CEF =∟CPF нь тойргийн нэг нумаар хүрээлэгдсэн бичээстэй өнцөг юм. Дараа нь ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. АД-ын диаметртэй тойргийг тайлбарлая. ∟BEP = ∟BDP = 90° тул F ба D цэгүүд энэ тойрог дээр байрладаг. Тиймээс ∟BPD =∟BED. Тиймээс бид эцэст нь ∟CEF =∟BED-ийг олж авдаг. Энэ нь D, E, F цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг гэсэн үг юм.

БүлэгIIАсуудлыг шийдвэрлэх

Гурвалжны биссектриса, медиан, өндрийн байршилтай холбоотой бодлогуудаас эхэлье. Тэдгээрийг шийдвэрлэх нь нэг талаас өмнө нь авч үзсэн материалыг санах боломжийг олгодог бөгөөд нөгөө талаас шаардлагатай геометрийн ойлголтуудыг боловсруулж, илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд бэлтгэдэг.

Даалгавар 1. ABC гурвалжны A ба B өнцөгт (∟A

Шийдэл. CD нь өндөр, CE нь биссектриса байг

∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.

Тиймээс ∟DCE =.

Шийдэл. ABC гурвалжны биссектрисауудын огтлолцлын цэгийг О гэж үзье (Зураг 1). Том өнцөг нь гурвалжны том талын эсрэг талд байрлаж байгаа давуу талыг ашиглацгаая. Хэрэв AB BC бол ∟A

Шийдэл. ABC гурвалжны өндрийн огтлолцлын цэгийг О гэж үзье (Зураг 2). Хэрэв AC ∟B. BC диаметртэй тойрог нь F ба G цэгүүдийг дайран өнгөрнө. Хоёр хөвчөөс бага нь жижиг бичээстэй өнцөг байрладаг гэдгийг харгалзан үзвэл бид CG-ийг олж авна.

Баталгаа. ABC гурвалжны АС ба ВС талууд дээр диаметртэй адил тойрог байгуулдаг. A 1, B 1, C 1 цэгүүд эдгээр тойрогт хамаарна. Иймд ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC, тойргийн ижил нуман дээр тулгуурласан өнцгүүд. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 талууд перпендикуляр талуудтай өнцгүүд. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1 нь тойргийн ижил нумаар оршдог өнцгүүдийн хувьд. Иймээс ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1, i.e. CC 1 нь B 1 C 1 A 1 өнцгийн биссектрис юм. Үүнтэй адилаар AA 1 ба BB 1 нь B 1 A 1 C 1 ба A 1 B 1 C 1 өнцгүүдийн биссектрис болохыг харуулсан.

Өгөгдсөн цочмог гурвалжны өндрийн суурь болох оройнууд нь авч үзсэн гурвалжин нь сонгодог экстремаль асуудлын аль нэгэнд хариулт өгдөг.

Шийдэл.Өгөгдсөн хурц гурвалжинг ABC гэж үзье. Хажуу талд нь A 1 B 1 C 1 гурвалжны периметр нь хамгийн бага байх A 1 , B 1 , C 1 цэгүүдийг олох хэрэгтэй (Зураг 4).

Эхлээд C 1 цэгийг засаад A 1 B 1 C 1 гурвалжны периметр нь хамгийн бага байх (С 1 цэгийн өгөгдсөн байрлалын хувьд) A 1 ба B 1 цэгүүдийг хайцгаая.

Үүнийг хийхийн тулд АС ба ВС шулуун шугамуудтай харьцуулахад C 1 цэгтэй тэгш хэмтэй D ба Е цэгүүдийг авч үзье. Дараа нь B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E, тиймээс A 1 B 1 C 1 гурвалжны периметр нь DB 1 A 1 E тасархай шугамын урттай тэнцүү байх болно. Хэрэв B 1, A 1 цэгүүд DE шулуун дээр орвол энэ тасархай шугамын урт хамгийн бага байх нь тодорхой байна.

Одоо бид C 1 цэгийн байрлалыг өөрчилж, харгалзах A 1 B 1 C 1 гурвалжны периметр хамгийн бага байх байрлалыг хайх болно.

D цэг нь АС-тай харьцуулахад C 1-тэй тэгш хэмтэй тул CD = CC 1 ба ACD = ACC 1 болно. Үүний нэгэн адил, CE=CC 1 ба BCE=BCC 1. Тиймээс CDE гурвалжин нь хоёр талт өнцөг юм. Түүний хажуу тал нь CC 1-тэй тэнцүү байна. DE суурь нь периметртэй тэнцүү байна Пгурвалжин A 1 B 1 C 1. DCE өнцөг нь ABC гурвалжны ACB давхар өнцөгтэй тэнцүү тул C 1 цэгийн байрлалаас хамаарахгүй.

Оройндоо өгөгдсөн өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжинд тал нь бага байх тусам суурь нь бага байдаг. Тиймээс периметрийн хамгийн бага утга П CC 1-ийн хамгийн бага утгын хувьд хүрнэ. Хэрэв CC 1 нь ABC гурвалжны өндөр бол энэ утгыг авна. Иймд AB талд шаардлагатай С 1 цэг нь С оройноос татсан өндрийн суурь болно.

Эхлээд бид C 1 цэгийг биш, харин А 1 цэг эсвэл В 1 цэгийг засах боломжтой бөгөөд A 1 ба B 1 нь ABC гурвалжны харгалзах өндрийн суурь болно гэдгийг анхаарна уу.

Үүнээс үзэхэд өгөгдсөн ABC гурвалжинд бичигдсэн хамгийн жижиг периметрийн шаардлагатай гурвалжин нь оройнууд нь ABC гурвалжны өндрийн суурь болох гурвалжин юм.

Шийдэл.Гурвалжны өнцөг нь 120°-аас бага бол Стейнерийн бодлогын шаардлагатай цэг нь Торричелли цэг гэдгийг баталцгаая.

ABC гурвалжинг С оройг тойрон 60° өнцгөөр эргүүлье, Зураг. 7. Бид A’B’C гурвалжин авна. ABC гурвалжны дурын О цэгийг авъя. Эргэхэд энэ нь O цэг рүү очно. CO = CO' ба ∟OCO' = 60° учир OO'C гурвалжин нь ижил талт учир OC = OO' болно. Тиймээс OA + OB + OC уртуудын нийлбэр нь AO + OO' + O'B' тасархай шугамын урттай тэнцүү байх болно. Хэрэв A, O, O', B' цэгүүд нэг шулуун дээр байвал энэ тасархай шугамын урт хамгийн бага утгыг авах нь тодорхой байна. Хэрэв О нь Торричелли цэг бол энэ нь тийм юм. Үнэхээр ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Иймд A, O, O' цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг. Үүнтэй адилаар ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120° байна. Иймд O, O', B' цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг нь A, O, O', B' цэгүүд бүгд нэг шулуун дээр байрладаг гэсэн үг юм.

Дүгнэлт

Гурвалжны геометр нь анхан шатны математикийн бусад хэсгүүдийн хамт математикийн гоо сайхныг ерөнхийд нь мэдрэх боломжийг олгодог бөгөөд хэн нэгэнд "том шинжлэх ухаан" хүрэх замын эхлэл болж чадна.

Геометр бол гайхалтай шинжлэх ухаан юм. Түүх нь мянга гаруй жилийн түүхтэй, гэхдээ түүнтэй хийсэн уулзалт бүр нь жижиг нээлтийн сэтгэл хөдөлгөм шинэлэг зүйл, бүтээлч байдлын гайхалтай баяр баясгалангаар (багш, оюутан) бэлэглэж, баяжуулах чадвартай. Үнэн хэрэгтээ, анхан шатны геометрийн аливаа асуудал нь үндсэндээ теорем бөгөөд түүний шийдэл нь даруухан (заримдаа асар том) математикийн ялалт юм.

Түүхийн хувьд геометр нь гурвалжингаас эхэлсэн тул хоёр, хагас мянган жилийн турш гурвалжин нь геометрийн бэлгэдэл байсаар ирсэн. Сургуулийн геометр нь зөвхөн сонирхолтой, утга учиртай болох бөгөөд зөвхөн гурвалжны гүн гүнзгий, иж бүрэн судалгааг багтаасан тохиолдолд л геометрийн хувьд зөв болж чадна. Гайхалтай нь, гурвалжин нь хэдийгээр энгийн мэт боловч судалгааны шавхагдашгүй объект юм - хэн ч, тэр байтугай бидний цаг үед гурвалжны бүх шинж чанарыг судалж, мэддэг гэж хэлж зүрхлэхгүй байна.

Энэхүү ажилд гурвалжны биссектриса, медиан, перпендикуляр биссектриса, өндрийн шинж чанарыг авч үзэж, гурвалжны гайхалтай цэг, шулууны тоог өргөтгөж, теоремуудыг томъёолж, нотолсон болно. Эдгээр теоремуудын хэрэглээний хэд хэдэн асуудлыг шийдсэн.

Үзүүлсэн материалыг үндсэн хичээл болон сонгон судлах ангиудад, мөн төвлөрсөн шалгалт, математикийн олимпиадад бэлтгэхэд ашиглаж болно.

Лавлагаа

Бергер М.Геометр хоёр боть - М: Мир, 1984.

Киселев А.П. Анхан шатны геометр. - М.: Боловсрол, 1980.

Coxeter G.S., Greitzer S.L. Геометртэй шинэ уулзалтууд. - М.: Наука, 1978.

Латотин Л.А., Чеботаравский Б.Д. Математик 9. – Минск: Народная Асвета, 2014.

Прасолов В.В. Планиметрийн асуудал. – М.: Наука, 1986. – 1-р хэсэг.

Сканави М.И. Шийдэлтэй холбоотой асуудлууд. - Ростов-на-Дону: Финикс, 1998.

Шарыгин И.Ф. Геометрийн асуудлууд: Планиметр. - М.: Наука, 1986.

Энэ хичээлээр бид гурвалжны дөрвөн гайхалтай цэгийг авч үзэх болно. Тэдгээрийн хоёрыг нарийвчлан авч үзээд чухал теоремуудын нотолгоог эргэн санаж, асуудлыг шийдье. Үлдсэн хоёрыг нь санаж, тодорхойлъё.

Сэдэв:8-р ангийн геометрийн хичээлийн давтлага

Хичээл: Гурвалжны дөрвөн гайхалтай цэг

Гурвалжин нь юуны түрүүнд гурван сегмент ба гурван өнцөг тул сегмент ба өнцгийн шинж чанарууд нь үндсэн юм.

AB сегментийг өгөв. Аливаа сегмент дунд цэгтэй бөгөөд түүгээр перпендикуляр зурж болно - үүнийг p гэж тэмдэглэе. Тиймээс p нь перпендикуляр биссектриса юм.

Теорем (перпендикуляр биссектрисын үндсэн шинж чанар)

Перпендикуляр биссектрис дээр байрлах аливаа цэг нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байна.

Үүнийг нотол

Нотолгоо:

Гурвалжин болон (1-р зургийг үз) авч үзье. Тэд тэгш өнцөгт, тэнцүү, учир нь. нийтлэг OM хөлтэй ба AO ба OB хөлүүд нь нөхцлөөр тэнцүү тул бид хоёр хөлтэй тэнцүү хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинтай болно. Үүнээс үзэхэд гурвалжны гипотенузууд нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл нотлох шаардлагатай байсан.



Цагаан будаа. 1

Эсрэг теорем үнэн.

Теорем

Сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд орших цэг бүр энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист байрладаг.

Өгөгдсөн AB сегмент, түүнд перпендикуляр биссектриса p, сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд M цэг (2-р зургийг үз).

М цэг сегментийн перпендикуляр биссектриса дээр байгааг батал.



Цагаан будаа. 2

Нотолгоо:

Гурвалжинг авч үзье. Нөхцөл байдлын дагуу энэ нь тэгш өнцөгт юм. Гурвалжны медианыг авч үзье: О цэг нь AB суурийн дунд, OM нь медиан юм. Тэгш өнцөгт гурвалжны өмчийн дагуу түүний суурь руу татсан медиан нь өндөр ба биссектриса юм. Үүнийг дагадаг. Гэхдээ p шулуун мөн AB-д перпендикуляр байна. О цэг дээр AB хэрчимд ганц перпендикуляр зурах боломжтой гэдгийг бид мэднэ, энэ нь OM ба p шулуунууд давхцаж байгаа тул М цэг нь p шулуун шугамд хамаарах болно гэдгийг батлах хэрэгтэй.

Хэрэв нэг сегментийг тойрсон тойргийг дүрслэх шаардлагатай бол үүнийг хийж болох бөгөөд ийм тойрог хязгааргүй олон байдаг, гэхдээ тэдгээрийн төв нь сегментийн перпендикуляр биссектрист дээр байрладаг.

Перпендикуляр биссектриса нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал гэж тэд хэлдэг.

Гурвалжин нь гурван сегментээс бүрдэнэ. Тэдгээрийн хоёрт хоёр талт перпендикуляр зурж, тэдгээрийн огтлолцлын O цэгийг авцгаая (3-р зургийг үз).

О цэг нь гурвалжны BC хажуугийн перпендикуляр биссектрист хамаарах бөгөөд энэ нь В ба С оройнуудаас ижил зайд байгаа тул энэ зайг R гэж тэмдэглэе: .

Үүнээс гадна О цэг нь AB сегментийн перпендикуляр биссектрист байрладаг, i.e. , нэгэн зэрэг, эндээс.

Ийнхүү хоёр дундын цэгийн огтлолцлын О цэг



Цагаан будаа. 3

гурвалжны перпендикулярууд нь оройнуудаас нь ижил зайд байрладаг бөгөөд энэ нь мөн гурав дахь биссектрисын перпендикуляр дээр байрладаг гэсэн үг юм.

Бид нэгэн чухал теоремийн нотолгоог давтан хийлээ.

Гурвалжны гурван перпендикуляр биссектрис нэг цэг дээр огтлолцдог - тойргийн төв.

Тиймээс бид гурвалжны анхны гайхалтай цэг болох түүний биссектораль перпендикуляруудын огтлолцлын цэгийг харав.

Дурын өнцгийн өмч рүү шилжье (4-р зургийг үз).

Өнцөг өгөгдсөн, түүний биссектриса AL, M цэг нь биссектрис дээр байрладаг.



Цагаан будаа. 4

Хэрэв M цэг нь өнцгийн биссектриса дээр байрладаг бол өнцгийн талуудаас ижил зайтай, өөрөөр хэлбэл, өнцгийн талуудын М цэгээс АС ба ВС хүртэлх зай тэнцүү байна.

Нотолгоо:

Гурвалжин болон . Эдгээр нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү, учир нь... нийтлэг гипотенуз AM байх ба AL нь өнцгийн биссектриса тул өнцөг нь тэнцүү байна. Тиймээс тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь гипотенуз ба хурц өнцгийн хувьд тэнцүү тул үүнийг батлах шаардлагатай байна. Тиймээс өнцгийн биссектрисын цэг нь тухайн өнцгийн талуудаас ижил зайд байна.

Эсрэг теорем үнэн.

Теорем

Хэрэв цэг нь хөгжөөгүй өнцгийн талуудаас ижил зайд байвал энэ нь биссектрис дээр байрладаг (5-р зургийг үз).

М цэгээс өнцгийн талууд хүртэлх зай ижил байхаар хөгжөөгүй өнцгийг өгөв.

М цэг өнцгийн биссектриса дээр байгааг батал.



Цагаан будаа. 5

Нотолгоо:

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикулярын урт юм. М цэгээс АВ тал руу MK, АС тал руу MR перпендикуляр зурна.

Гурвалжин ба . Эдгээр нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү, учир нь... нийтлэг гипотенузтай AM, хөл MK ба MR нь нөхцлөөр тэнцүү байна. Тиймээс тэгш өнцөгт гурвалжин нь гипотенуз ба хөлөөрөө тэнцүү байна. Гурвалжны тэгш байдлаас харгалзах элементүүдийн тэгш өнцөг нь тэнцүү талуудын эсрэг байрладаг; Тиймээс М цэг нь өгөгдсөн өнцгийн биссектриса дээр байрладаг.

Хэрэв та өнцөгт тойрог бичих шаардлагатай бол үүнийг хийж болно, ийм тойрог хязгааргүй олон боловч тэдгээрийн төвүүд нь өгөгдсөн өнцгийн биссектрист байрладаг.

Тэдний хэлснээр биссектриса нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.

Гурвалжин нь гурван өнцөгөөс бүрдэнэ. Тэдгээрийн хоёрын биссектриссийг байгуулж, тэдгээрийн огтлолцлын О цэгийг авцгаая (6-р зургийг үз).

O цэг нь өнцгийн биссектриса дээр байрладаг бөгөөд энэ нь AB ба ВС талуудаас ижил зайд байрладаг тул зайг r гэж тэмдэглэе: . Мөн О цэг нь өнцгийн биссектриса дээр байрладаг бөгөөд энэ нь АС ба ВС талуудаас: , , эндээс ижил зайтай байна гэсэн үг юм.

Биссектрисын огтлолцлын цэг нь гурав дахь өнцгийн хажуу талуудаас ижил зайд байгааг анзаарахад хялбар байдаг.



Цагаан будаа. 6

өнцгийн биссектрис. Тиймээс гурвалжны гурван биссектриса нь нэг цэг дээр огтлолцдог.

Тиймээс бид өөр нэг чухал теоремын нотолгоог санав.

Гурвалжны өнцгүүдийн биссектриса нь нэг цэг дээр огтлолцдог - бичээстэй тойргийн төв.

Тиймээс бид гурвалжны хоёр дахь гайхалтай цэг болох биссектрисын огтлолцлын цэгийг харав.

Бид өнцгийн биссектрисийг судалж, түүний чухал шинж чанарыг тэмдэглэв: биссектрисын цэгүүд нь өнцгийн талуудаас ижил зайд байрладаг, үүнээс гадна нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгч сегментүүд тэнцүү байна.

Зарим тэмдэглэгээг танилцуулъя (7-р зургийг үз).

Тэгш шүргэгч хэрчмүүдийг x, y, z гэж тэмдэглэе. А оройн эсрэг талд байрлах ВС талыг a гэж, AC-ыг b, AB-ийг c гэж тэмдэглэнэ.



Цагаан будаа. 7

Бодлого 1: гурвалжинд хагас периметр ба а талын уртыг мэддэг. A - AK оройноос татсан шүргэгчийн уртыг х-ээр тэмдэглэнэ.

Мэдээжийн хэрэг, гурвалжин нь бүрэн тодорхойлогдоогүй бөгөөд ийм олон гурвалжин байдаг, гэхдээ тэдгээр нь нийтлэг элементүүдтэй байдаг.

Бичсэн тойрогтой холбоотой асуудлын хувьд бид дараах шийдлийн аргыг санал болгож болно.

1. Бисектрисийг зурж, бичээстэй тойргийн төвийг ав.

2. О төвөөс талууд руу перпендикуляр зурж, шүргэлтийн цэгүүдийг олно.

3. Тэнцүү шүргэгчийг тэмдэглэ.

4. Гурвалжны талууд ба шүргэгч хоорондын хамаарлыг бич.

Зорилго:
"Гурвалжны дөрвөн гайхалтай цэг" сэдвээр оюутнуудын мэдлэгийг нэгтгэн дүгнэх, гурвалжны өндөр, медиан, биссектрисийг бүтээх ур чадварыг хөгжүүлэх ажлыг үргэлжлүүлэх;

Оюутнуудад гурвалжинд бичээстэй, тойрсон тойргийн тухай шинэ ойлголттой танилцах;

Судалгааны ур чадварыг хөгжүүлэх;
- сурагчдад тууштай, үнэн зөв, зохион байгуулалттай байдлыг төлөвшүүлэх.
Даалгавар:геометрийн сэдвээр танин мэдэхүйн сонирхлыг өргөжүүлэх.
Тоног төхөөрөмж:самбар, зургийн хэрэгсэл, өнгөт харандаа, ландшафтын хуудсан дээрх гурвалжингийн загвар; компьютер, мультимедиа проектор, дэлгэц.

Хичээлийн явц

1. Зохион байгуулалтын үе (1 минут)
Багш:Энэ хичээлээр та нар хүн бүр практик ажлыг дуусгасны дараа өөрийгөө судлаач инженер мэт мэдрэх болно; Ажил амжилттай болохын тулд хичээлийн явцад загвар бүхий бүх үйлдлийг маш нарийвчлалтай, зохион байгуулалттай хийх шаардлагатай. Танд амжилт хүсье.
2.
Багш: дэвтэртээ нээлттэй өнцгийг зур
А. Өнцгийн биссектриса байгуулах ямар аргуудыг та мэдэх вэ?

Өнцгийн биссектрисын тодорхойлох. Хоёр сурагч самбар дээр (урьдчилан бэлтгэсэн загваруудыг ашиглан) өнцгийн биссектрисийг захирагч эсвэл луужингаар хоёр аргаар байгуулдаг. Дараах хоёр оюутан мэдэгдлийг амаар нотолж байна.
1. Өнцгийн биссектрисын цэгүүд ямар шинж чанартай вэ?
2. Өнцөг дотор байрлах ба өнцгийн хажуу талуудаас ижил зайд орших цэгүүдийн талаар юу хэлж болох вэ?
Багш: ABC тетрагональ гурвалжинг зурж, аль нэг аргаар А болон С өнцгийн биссектриса, тэдгээрийн цэгийг байгуул.

огтлолцол - цэг O. VO туяаны талаар та ямар таамаг дэвшүүлж болох вэ? BO туяа нь ABC гурвалжны биссектриса гэдгийг батал. Гурвалжны бүх биссектриссүүдийн байршлын талаар дүгнэлт гарга.
3. Гурвалжингийн загвартай ажиллах (5-7 минут).
Сонголт 1 - хурц гурвалжин;
Сонголт 2 - зөв гурвалжин;
Сонголт 3 - мохоо гурвалжин.
Багш: гурвалжингийн загвар дээр хоёр биссектрис байгуулж, тэдгээрийг шараар дугуйл. Уулзалтын цэгийг тэмдэглэ

биссектрисын цэг K. Слайд №1-ийг үзнэ үү.
4. Хичээлийн үндсэн үе шатанд бэлтгэх (10-13 минут).
Багш: AB шугамын сегментийг дэвтэртээ зур. Хэсэгт перпендикуляр биссектрис барихад ямар багаж ашиглаж болох вэ? Перпендикуляр биссектрисын тодорхойлох. Хоёр сурагч самбар дээр перпендикуляр биссектрис байгуулж байна

(урьдчилан бэлтгэсэн загваруудын дагуу) хоёр аргаар: захирагч, луужингаар. Дараах хоёр оюутан мэдэгдлийг амаар нотолж байна.
1. Хэсэгт перпендикуляр биссектрисын цэгүүд ямар шинж чанартай вэ?
2. АВ хэрчимүүдийн төгсгөлөөс ижил зайд орших цэгүүдийн талаар юу хэлж болох вэ Багш: дэвтэртээ ABC гурвалжинг зурж, ABC гурвалжны дурын хоёр талд перпендикуляр биссектрисаг байгуул.

О огтлолцлын цэгийг тэмдэглэ. О цэгээр дамжуулан 3-р тал руу перпендикуляр зур. Та юу анзаарсан бэ? Энэ сегментийн перпендикуляр биссектриса гэдгийг батал.
5. Гурвалжны загвартай ажиллах (5 минут).Багш: Гурвалжингийн загвар дээр гурвалжны хоёр талд хоёр талт перпендикуляр байгуулж, ногооноор дугуйл. Бисекторын перпендикуляруудын огтлолцох цэгийг О цэгээр тэмдэглэ. Слайд No2-ыг үзнэ үү.

6. Хичээлийн үндсэн үе шатанд бэлтгэх (5-7 минут).Багш: ABC мохоо гурвалжин зурж, хоёр өндрийг барина. Тэдний огтлолцох цэгийг O тэмдэглэнэ үү.
1. Гурав дахь өндрийн талаар юу хэлж болох вэ (гурав дахь өндөр нь суурийн хэмжээнээс хэтэрсэн бол О цэгээр дамжин өнгөрөх)?

2. Бүх өндөрлөгүүд нэг цэгт огтлолцдог гэдгийг хэрхэн батлах вэ?
3. Эдгээр өндөрлөгүүд ямар шинэ дүрсийг бий болгож, түүнд юу багтсан бэ?
7. Гурвалжингийн загвартай ажиллах (5 минут).
Багш: Гурвалжингийн загвар дээр гурван өндрийг барьж, цэнхэр өнгөөр ​​дугуйл. Өндөр нь H цэгтэй огтлолцох цэгийг тэмдэглэ. Слайд №3-ыг үзнэ үү.

Хоёрдугаар хичээл

8. Хичээлийн үндсэн үе шатанд бэлтгэх (10-12 минут).
Багш: ABC хурц гурвалжинг зурж, түүний бүх медианыг байгуул. Тэдний огтлолцох цэгийг шошго O. Гурвалжны медианууд ямар шинж чанартай вэ?

9. Гурвалжингийн загвартай ажиллах (5 минут).
Багш: Гурвалжингийн загвар дээр гурван медиан байгуулж, хүрэн өнгөөр ​​дугуйл.

Медиануудын огтлолцох цэгийг T цэгээр тэмдэглэ. Слайд №4-ийг үзнэ үү.
10. Барилгын зөв эсэхийг шалгах (10-15 минут).
1. К цэгийн талаар юу хэлж болох вэ? / К цэг нь биссектрисын огтлолцлын цэг бөгөөд гурвалжны бүх талаас ижил зайд байрладаг /
2. Загвар дээр К цэгээс гурвалжны хагас тал хүртэлх зайг харуул. Та ямар дүрс зурсан бэ? Энэ яаж байрладаг вэ

хажуу тийш таслах уу? Энгийн харандаагаар зоригтойгоор тодруулаарай. (5-р слайдыг үзнэ үү).
3. Нэг шулуун дээр хэвтдэггүй хавтгайн гурван цэгээс ижил зайд орших цэг гэж юу вэ? Шар өнгийн харандаа ашиглан энгийн харандаагаар тэмдэглэсэн зайтай тэнцүү радиустай K төвтэй тойрог зур. (Слайдын дугаар 6-г үзнэ үү).
4. Та юу анзаарсан бэ? Энэ тойрог гурвалжинтай харьцуулахад хэрхэн байрладаг вэ? Та гурвалжин дотор тойрог бичсэн байна. Ийм дугуйланг юу гэж нэрлэж болох вэ?

Багш гурвалжинд бичээстэй тойргийн тодорхойлолтыг өгдөг.
5. О цэгийн талаар юу хэлж болох вэ? \O цэг нь перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг бөгөөд гурвалжны бүх оройноос ижил зайд оршдог\. A, B, C, O цэгүүдийг холбосноор ямар дүрсийг байгуулж болох вэ?
6. Ногоон ашиглан тойрог (O; OA) байгуул. (Слайдын дугаар 7-г үзнэ үү).
7. Та юу анзаарсан бэ? Энэ тойрог гурвалжинтай харьцуулахад хэрхэн байрладаг вэ? Ийм дугуйланг юу гэж нэрлэж болох вэ? Энэ тохиолдолд бид гурвалжинг хэрхэн дуудах вэ?

Багш гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн тодорхойлолтыг өгдөг.
8. О, Н, Т цэгүүдэд захирагчийг холбож, эдгээр цэгээр улаан шугам татна. Энэ шугамыг шулуун гэж нэрлэдэг

Эйлер (8-р слайдыг үзнэ үү).
9. ОТ ба ТН-ийг харьцуул. FROM:TN=1 шалгах: 2. (Слайдын дугаар 9-г үзнэ үү).
10. a) Гурвалжны медиануудыг ол (бороор). Медиануудын суурийг бэхээр тэмдэглээрэй.

Энэ гурван цэг хаана байна?
б) Гурвалжны өндрийг ол (цэнхэр өнгөөр). Өндрийн суурийг бэхээр тэмдэглээрэй. Эдгээр цэгүүдийн хэд нь байдаг вэ? \ Сонголт 1-3; 2 сонголт-2; Хувилбар 3-3\.в) Оройноос өндрийн огтлолцох цэг хүртэлх зайг хэмжинэ. Эдгээр зайг нэрлэ (AN,

VN, SN). Эдгээр сегментүүдийн дунд цэгийг олж, бэхээр тодруул. Энэ хэд нь

оноо? \1 сонголт-3; Сонголт 2-2; Сонголт 3-3\.
11. Бэхээр хэдэн цэг тэмдэглэгдсэнийг тоолоорой? \ 1 сонголт - 9; Сонголт 2-5; Сонголт 3-9\. томилох

D 1, D 2,…, D 9 цэгүүд. (10-р слайдыг үзнэ үү) Эдгээр цэгүүдийг ашиглан та Эйлерийн тойрог үүсгэж болно. Тойргийн төв Е цэг нь OH сегментийн дунд байна. Бид улаанаар тойрог зурдаг (E; ED 1). Энэ тойрог нь шулуун шугам шиг их эрдэмтний нэрээр нэрлэгдсэн. (Слайдын дугаар 11-ийг үзнэ үү).
11. Эйлерийн тухай танилцуулга (5 минут).
12. Дүгнэлт(3 минут) Оноо: "5" - хэрэв та шар, ногоон, улаан тойрог, Эйлерийн шулуун шугамыг авсан бол. "4" - хэрэв тойрог нь 2-3 мм буруу байвал. "3" - хэрэв тойрог нь 5-7 мм буруу байвал.

Илья Сильченков

хичээлийн материал, хөдөлгөөнт дүрс бүхий танилцуулга

Татаж авах:

Урьдчилан үзэх:

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com




Слайдын тайлбар:

Гурвалжны дунд шугам нь түүний хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчм бөгөөд энэ талын хагастай тэнцүү байна. Мөн теоремийн дагуу гурвалжны дунд шугам нь түүний аль нэг талтай параллель байх ба энэ талын талтай тэнцүү байна.

Хэрэв шугам нь хоёр зэрэгцээ шугамын аль нэгэнд перпендикуляр байвал нөгөөд нь мөн перпендикуляр байна

Гурвалжны гайхалтай цэгүүд

Гурвалжны гайхалтай цэгүүд Медиануудын огтлолцлын цэг (гурвалжны төв); Биссектрисын огтлолцлын цэг, бичээстэй тойргийн төв; Перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг; Өндөрт огтлолцох цэг (ортоцентр); Эйлерийн шулуун ба есөн цэгийн тойрог; Gergonne болон Nagel оноо; Фермат-Торричелли цэг;

Дундаж уулзварын цэг

Гурвалжны голч нь гурвалжны аль ч өнцгийн оройг эсрэг талын дундуур холбосон хэрчмийг хэлнэ.

I. Гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь голч бүрийг оройноос нь тоолоход 2:1 харьцаагаар хуваадаг.

Нотолгоо:

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. ABC гурвалжны AA 1 ба B B1 хоёр медиануудын огтлолцох цэгийг О үсгээр тэмдэглээд энэ гурвалжны дундах A 1 B 1 шугамыг зуръя. 2. A 1 B 1 хэрчим нь AB талтай параллель ба 1/2 AB = A 1 B 1 өөрөөр хэлбэл AB = 2A1B1 (гурвалжны дундын шугамын тухай теоремын дагуу), тиймээс 1 = 4 ба 3 = 2 (үүнээс хойш) тэдгээр нь AB ба A 1 B 1 параллель шулуунтай дотоод хөндлөн өнцөг ба 1, 4-ийн хувьд BB 1, 3, 2-ын хувьд AA 1, 3, 2-ын хувьд AA 1. Иймээс AOB ба A 1 OB 1 гурвалжин нь хоёр өнцгөөр ижил төстэй тул тэдгээрийн талууд пропорциональ, өөрөөр хэлбэл AO ба A 1 O, BO ба B 1 O, AB ба A 1 B 1 талуудын харьцаа тэнцүү боловч AB = 2A 1 B 1, тиймээс AO = 2A 1 O ба BO = 2B 1 байна. O. Тиймээс BB 1 ба AA 1 медиануудын огтлолцлын О цэг нь оройноос нь тоолоход тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваана.

Массын төвийг заримдаа төв гэж нэрлэдэг. Тийм ч учраас тэд медиануудын огтлолцох цэгийг гурвалжны төв гэж хэлдэг. Нэг төрлийн гурвалжин хавтангийн массын төв нь ижил цэг дээр байрладаг. Хэрэв ийм хавтанг зүү дээр байрлуулсан бол зүү нь гурвалжны төв хэсэгт яг таарч байвал хавтан тэнцвэрт байдалд байх болно. Мөн медиануудын огтлолцлын цэг нь түүний дунд гурвалжны бичээстэй тойргийн төв юм. Медиануудын огтлолцох цэгийн сонирхолтой шинж чанар нь массын төвийн физик ойлголттой холбоотой юм. Хэрэв та гурвалжны орой дээр ижил массыг байрлуулбал тэдгээрийн төв яг энэ цэг дээр унах болно.

Биссектрисын огтлолцлын цэг

Гурвалжны биссектриса нь гурвалжны аль нэг өнцгийн оройг эсрэг талд байрлах цэгтэй холбосон өнцгийн биссектрисын сегмент юм.

Гурвалжны биссектриса нь түүний талуудаас ижил зайтай нэг цэгт огтлолцоно.

Нотолгоо:

C A B A 1 B 1 C 1 0 1. ABC гурвалжны AA 1 ба BB 1 биссектриссуудын огтлолцох цэгийг О үсгээр тэмдэглэе. 3. Боловсроогүй өнцгийн биссектрисаны цэг бүр талуудаас нь ижил зайтай ба эсрэгээр нь давуу талыг ашиглая: өнцгийн дотор байрлах ба өнцгийн талуудаас ижил зайтай цэг бүр түүний биссектрис дээр байрладаг. Дараа нь OK=OL ба OK=OM. Энэ нь OM=OL гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл О цэг нь ABC гурвалжны талуудаас ижил зайд байрладаг тул С өнцгийн CC1 биссектрист байрладаг. 4. Үүний үр дүнд ABC гурвалжны гурван биссектриса нь О цэг дээр огтлолцоно. K L M Теорем батлагдсан. 2.Энэ цэгээс AB, BC, CA шулуунууд руу OK, OL, OM перпендикуляруудыг тус тус зур.

Перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг

Перпендикуляр биссектриса нь өгөгдсөн сегментийн дундыг дайран өнгөрөх ба түүнд перпендикуляр шугам юм.

Гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектрис нь гурвалжны оройн цэгүүдээс ижил зайд нэг цэгт огтлолцоно.

Нотолгоо:

B C A m n 1. ABC гурвалжны AB ба ВС талуудын m ба n хоёр талт перпендикуляр огтлолцох цэгийг О үсгээр тэмдэглэе. O 2. Хэсэгт перпендикуляр биссектрисын цэг бүр нь энэ хэрчмийн төгсгөлөөс ижил зайтай ба эсрэгээр: сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа цэг бүр түүнд перпендикуляр биссектрист оршдог гэсэн теоремыг ашиглан бид OB = гэдгийг олж авна. OA ба OB = OC. 3. Иймд OA = OC, өөрөөр хэлбэл O цэг нь АС сегментийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байх тул энэ хэрчимтэй перпендикуляр биссектрист байрладаг. 4. Үүний үр дүнд ABC гурвалжны талуудын m, n, p гурван биссектриса нь О цэг дээр огтлолцоно. Теорем батлагдсан. r

Өндөр (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөл) огтлолцох цэг

Гурвалжны өндөр нь гурвалжны аль ч өнцгийн оройноос эсрэг талыг агуулсан шулуун шугам руу татсан перпендикуляр юм.

Гурвалжны өндөр эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүд нь гурвалжны дотор эсвэл гадна байж болох нэг цэг дээр огтлолцдог.

Нотолгоо:

AA 1, BB 1, CC 1 шулуунууд нэг цэгт огтлолцдог болохыг баталцгаая. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. ABC гурвалжны орой тус бүрээр эсрэг талтай параллель шулуун зур. Бид A 2 B 2 C 2 гурвалжинг авна. 2. A, B, C цэгүүд нь энэ гурвалжны талуудын дунд цэгүүд юм. Үнэхээр AB=A 2 C ба AB=CB 2 нь ABA 2 C ба ABCB 2 параллелограммын эсрэг талуудтай адил тул A 2 C=CB 2 болно. Үүний нэгэн адил C 2 A=AB 2 ба C 2 B=BA 2 байна. Үүнээс гадна, хийцээс дараах байдлаар CC 1 нь A 2 B 2-д перпендикуляр, AA 1 нь B 2 C 2-д перпендикуляр, BB 1 нь A 2 C 2-д перпендикуляр (харгалзуураас параллель шугам ба секантын теорем хүртэл) байна. ). Тиймээс AA 1, BB 1 ба CC 1 шулуунууд нь A 2 B 2 C 2 гурвалжны талуудын перпендикуляр биссектрис юм. Тиймээс тэд нэг цэг дээр огтлолцдог. Теорем нь батлагдсан.

ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яам Дээд мэргэжлийн боловсролын холбооны улсын төсвийн боловсролын байгууллага

"Магнитогорскийн улсын их сургууль"

Физик-математикийн факультет

Алгебр ба геометрийн тэнхим




Курсын ажил

Гурвалжны гайхалтай цэгүүд




Гүйцэтгэсэн: 41-р бүлгийн оюутан

Вахрамеева А.М.

Шинжлэх ухааны удирдагч

Великих А.С.




Магнитогорск 2014 он

Танилцуулга




Түүхийн хувьд геометр нь гурвалжингаас эхэлсэн тул хоёр ба хагас мянган жилийн турш гурвалжин нь геометрийн бэлгэдэл байсан юм; гэхдээ тэр бол зөвхөн бэлгэдэл төдийгүй геометрийн атом юм.

Яагаад гурвалжинг геометрийн атом гэж үзэж болох вэ? Учир нь өмнөх ойлголтууд болох цэг, шулуун шугам, өнцөг нь тодорхойгүй, биет бус хийсвэрлэлүүд бөгөөд холбогдох теоремууд болон асуудлын багц юм. Тиймээс өнөөдөр сургуулийн геометр нь зөвхөн сонирхолтой, утга учиртай болж чадна, зөвхөн гурвалжны гүн гүнзгий, иж бүрэн судалгааг багтаасан тохиолдолд л геометрийн шинж чанар болж чадна.

Гайхалтай нь, гурвалжин нь хэдийгээр энгийн мэт боловч судалгааны шавхагдашгүй объект юм - хэн ч, тэр байтугай бидний цаг үед гурвалжны бүх шинж чанарыг судалж, мэддэг гэж хэлж зүрхлэхгүй байна.

Энэ нь гурвалжны геометрийг гүнзгий судлахгүйгээр сургуулийн геометрийн судалгааг хийх боломжгүй гэсэн үг юм; Судалгааны объект болох гурвалжны олон талт байдлыг харгалзан түүнийг судлах янз бүрийн аргын эх сурвалж болох тул гурвалжны гайхалтай цэгүүдийн геометрийг судлах материалыг сонгох, боловсруулах шаардлагатай байна. Түүнээс гадна, энэ материалыг сонгохдоо зөвхөн сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт улсын боловсролын стандартад заасан гайхалтай цэгүүдээр хязгаарлагдах ёсгүй, тухайлбал, бичээстэй тойргийн төв (биссектрисын огтлолцлын цэг), дугуйны гол хэсэг гэх мэт. тойрог (биссектрисын огтлолцлын цэг), медиануудын огтлолцлын цэг, өндрийн огтлолцлын цэг. Гэхдээ гурвалжны мөн чанарт гүнзгий нэвтэрч, түүний шавхагдашгүй байдлыг ойлгохын тулд гурвалжны аль болох олон гайхалтай цэгүүдийн талаар санаа бодолтой байх шаардлагатай. Гурвалжны геометрийн объект болох шавхагдашгүй байдлаас гадна гурвалжны хамгийн гайхалтай шинж чанарыг судлах зүйл болгон тэмдэглэх нь зүйтэй: гурвалжингийн геометрийг судлах нь түүний аль нэг шинж чанарыг судлахаас эхэлж болно. үүнийг үндэс болгон авах; Дараа нь гурвалжинг судлах аргачлалыг гурвалжны бусад бүх шинж чанаруудыг үүн дээр үндэслэн зангидаж болохуйц байдлаар байгуулж болно. Өөрөөр хэлбэл, та гурвалжинг судалж эхэлсэн газраас үл хамааран энэ гайхалтай дүрсийн аль ч гүнд хүрч чадна. Гэхдээ дараа нь - сонголтоор та гурвалжны гайхалтай цэгүүдийг судалж эхэлж болно.

Курсын ажлын зорилго нь гурвалжингийн гайхалтай цэгүүдийг судлах явдал юм. Энэ зорилгод хүрэхийн тулд дараахь ажлуудыг шийдвэрлэх шаардлагатай байна.

· Биссектриса, медиан, өндөр, перпендикуляр биссектриса, тэдгээрийн шинж чанаруудын тухай ойлголтуудыг судал.

· Сургуульд судлагдаагүй Гергонн цэг, Эйлерийн тойрог, Эйлерийн шугамыг авч үзье.




БҮЛЭГ 1. Гурвалжны биссектриса, гурвалжны бичээстэй тойргийн төв. Гурвалжны биссектрисын шинж чанарууд. Гергонна онцолж байна




1 Гурвалжингийн бичээстэй тойргийн төв




Гурвалжны гайхалтай цэгүүд нь гурвалжны байршил нь гурвалжингаар тодорхойлогддог бөгөөд гурвалжны талууд ба оройг авах дарааллаас хамаардаггүй цэгүүд юм.

Гурвалжны биссектриса нь оройг эсрэг талын цэгтэй холбосон гурвалжны өнцгийн биссектрис юм.

Теорем. Хөгжөөгүй өнцгийн биссектрисын цэг бүр нь түүний хажуу талуудаас ижил зайд (өөрөөр хэлбэл гурвалжны талуудыг агуулсан шугамуудаас ижил зайд) байрладаг. Үүний эсрэгээр: өнцгийн хажуу талуудаас ижил зайд орших өнцөг дотор байрлах цэг бүр түүний биссектрис дээр байрладаг.

Баталгаа. 1) BAC өнцгийн биссектриса дээр дурын M цэгийг авч, AB ба AC шулуунууд руу MK ба ML перпендикуляруудыг зурж, MK = ML гэдгийг батал. Тэгш өнцөгт гурвалжингуудыг авч үзье ?AMK болон ?AML. Тэд гипотенуз ба хурц өнцөгт тэнцүү байна (AM - нийтлэг гипотенуз, конвенцийн дагуу 1 = 2). Тиймээс MK=ML.

) M цэгийг ТАНЫ дотор байрлуулж, түүний AB ба AC талуудаас ижил зайд байг. AM туяа нь BAC биссектриса гэдгийг баталцгаая. AB ба AC шулуун шугамуудад MK ба ML перпендикуляруудыг татъя. AKM ба ALM тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь гипотенуз ба хөлөөрөө тэнцүү байна (AM нь нийтлэг гипотенуз, MK = ML конвенцоор). Тиймээс 1 = 2. Гэхдээ энэ нь AM туяа нь BAC-ийн биссектриса гэсэн үг юм. Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар. Гурвалжны биссектриса нь нэг цэг дээр (тойрогны төв ба төв) огтлолцдог.

ABC гурвалжны AA1 ба BB1 биссектриссуудын огтлолцох цэгийг О үсгээр тэмдэглэж, энэ цэгээс АВ, ВС, CA шулуунууд руу OK, OL, OM перпендикуляруудыг тус тус татъя. Теоремын дагуу (Хөгжөөгүй өнцгийн биссектрисын цэг бүр талуудаас нь ижил зайд байна. Эсрэгээр нь: өнцгийн дотор байрлах ба өнцгийн талуудаас ижил зайд байгаа цэг бүр түүний биссектрис дээр байрладаг) бид OK = OM ба OK = гэж хэлнэ. OL. Иймд OM = OL, өөрөөр хэлбэл О цэг нь ACB талуудаас ижил зайд байх тул энэ өнцгийн CC1 биссектрист байрладаг. Тиймээс гурван биссектриса ?ABC нь О цэг дээр огтлолцдог бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.

тойрог биссектрисын гурвалжин шугам

1.2 Гурвалжны биссектрисын шинж чанарууд




Дурын өнцгийн биссектриса BD (Зураг 1.1). ?ABC нь эсрэг талыг гурвалжны зэргэлдээ талуудтай пропорциональ AD ба CD хэсгүүдэд хуваана.

Хэрэв ABD = DBC бол AD: DC = AB: BC гэдгийг батлах хэрэгтэй.





CE || хийцгээе АВ талын үргэлжлэл бүхий Е цэгийн уулзвар хүртэл BD. Дараа нь хэд хэдэн параллель шугамаар огтлолцсон шулуунууд дээр үүссэн хэрчмүүдийн пропорциональ байдлын тухай теоремын дагуу бид AD: DC = AB: BE пропорцтой болно. Энэ пропорцоос нотлох шаардлагатай хувь руу шилжихийн тулд BE = BC, өөрөөр хэлбэл гэдгийг олж мэдэхэд хангалттай. ?БҮХ тэгш өнцөгт. Энэ гурвалжинд E = ABD (зэрэгцээ шугамтай харгалзах өнцгөөр) ба БҮХ = DBC (ижил зэрэгцээ шугамтай хөндлөн өнцгөөр).

Харин ABD = нөхцөлөөр DBC; энэ нь E = ALL гэсэн үг, тиймээс тэнцүү өнцгүүдийн эсрэг байрлах BE ба BC талууд тэнцүү байна.

Одоо дээр бичсэн пропорциональ дахь BE-г BC-ээр сольсноор бид нотлох шаардлагатай пропорцийг олж авна.

20 Гурвалжны дотоод ба зэргэлдээ өнцгүүдийн биссектриса нь перпендикуляр байна.





Баталгаа. BD нь ABC-ийн биссектриса (Зураг 1.2), BE-г заасан дотоод өнцгийн зэргэлдээх гадаад CBF-ийн биссектриса гэж үзье. ?ABC. Хэрэв бид ABD = DBC = гэж тэмдэглэвэл ?, CBE = EBF = ?, дараа нь 2 ? + 2?= 1800 гэх мэт ?+ ?= 900. Энэ нь БД гэсэн үг үү? BE.

30 Гурвалжны гадна талын өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг гадна талаас нь зэргэлдээх талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.





(Зураг 1.3) AB: BC = AD: DC, ?AED~ ?CBD, AE/BC = AD/DC = AE/BC.

40 Гурвалжны аль ч өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг гурвалжны зэргэлдээ талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.





Баталгаа. Ингээд авч үзье ?ABC. Тодорхой байхын тулд CAB биссектриса BC талыг D цэг дээр огтолцгооё (Зураг 1.4). BD: DC = AB: AC гэдгийг харуулъя. Үүнийг хийхийн тулд C цэгээр дамжуулан AB шулуунтай параллель шулууныг зурж, энэ AD шулууны огтлолцох цэгийг Е гэж тэмдэглэнэ. Дараа нь DAB=DEC, ABD=ECD гэх мэт ?DAB~ ?Гурвалжингийн ижил төстэй байдлын эхний шалгуурыг үндэслэн DEC. Цаашилбал, AD туяа нь биссектриса CAD тул CAE = EAB = AEC, тиймээс, ?ECA тэгш өнцөгт. Тиймээс AC=CE. Гэхдээ энэ тохиолдолд ижил төстэй байдлаас ?DAB ба ?DEC нь BD: DC=AB: CE =AB: AC гэж үздэг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байсан.

Хэрэв гурвалжны гадна талын өнцгийн биссектриса нь энэ өнцгийн оройн эсрэг талын хажуугийн өргөтгөлийг огтолж байвал үүссэн огтлолцлын цэгээс эсрэг талын төгсгөл хүртэлх хэсгүүд нь гурвалжны зэргэлдээ талуудтай пропорциональ байна.




Баталгаа. Ингээд авч үзье ?ABC. F нь CA талын суналтын цэг, D нь BAF гадна гурвалжны биссектрисын CB талын өргөтгөлтэй огтлолцох цэг (Зураг 1.5). DC:DB=AC:AB гэдгийг харуулъя. Үнэхээр C цэгээр AB шулуунтай параллель шулуун зурж, энэ шулууны DA шулуунтай огтлолцох цэгийг Е гэж тэмдэглэе. Дараа нь ADB ~ гурвалжин болно ?EDC ба тиймээс DC:DB=EC:AB. Тэгээд тэрнээс хойш ?EAC= ?МУУ= ?CEA, дараа нь ижил өнцөгт ?CEA тал AC=EC ба иймээс DC:DB=AC:AB, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.




3 Бисектрисын шинж чанарыг ашиглан бодлого бодох




Бодлого 1. Дотор нь бичигдсэн тойргийн төвийг О болгоё ?ABC, CAB = ?. COB = 900 + гэдгийг батлах уу? /2.





Шийдэл. О нь бичээсийн төв учраас ?Тойргийн ABC (Зураг 1.6), дараа нь BO болон CO туяа нь тус тус ABC ба BCA биссектриса юм. Дараа нь COB = 1800 - (OBC + BCO) = 1800 - (ABC + BCA)/2 = 1800 - (1800 -) ?)/2 = 900 + ?/2, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

Бодлого 2. О-г тухай өгүүлбэрийн төв болгоё ?Тойргийн ABC, H нь BC тал руу татсан өндрийн суурь юм. CAB биссектриса мөн биссектриса гэдгийг батлах уу? ӨӨ.






AD нь CAB-ийн биссектриса, AE нь хүрээлэгдсэн диаметр байна ?Тойргийн ABC (Зураг 1.7, 1.8). Хэрэв ?ABC нь цочмог (Зураг 1.7), тиймээс ABC<900, то так как ABC = AEC= ½ Хувьсах гүйдлийн нумууд, ба ?BHA ба ?ECA тэгш өнцөгт (BHA =ECA = 900), тэгвэл ?БХА~ ?ECA ба тиймээс CAO = CAE = HAB. Цаашилбал, BAD болон CAD нь нөхцлөөр тэнцүү тул HAD = BAD - BAH =CAD - CAE = EAD = OAD. Одоо ABC = 900 гэж үзье. Энэ тохиолдолд AH өндөр нь AB талтай давхцаж байвал О цэг нь AC гипотенузад хамаарах тул асуудлын мэдэгдлийн үнэн зөв нь тодорхой байна.

ABC > 900 байх тохиолдлыг авч үзье (Зураг 1.8). Энд дөрвөн өнцөгт ABCE нь тойрог дотор бичигдсэн тул AEC = 1800 - ABC болно. Нөгөө талаас, ABH = 1800 - ABC, i.e. AEC = ABH. Тэгээд тэрнээс хойш ?BHA ба ?ECA нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тул HAB = 900 - ABH = 900 - AEC = EAC, дараа нь HAD = HAB +BAD = EAC + CAD = EAD = OAD болно. BAC болон ACB нь мохоо байдаг тохиолдлуудыг ижил төстэй байдлаар авч үздэг. ?




4 оноо Гергонна




Гергонна цэг нь гурвалжны оройг эдгээр оройн эсрэг талын талуудын шүргэлтийн цэгүүд болон гурвалжны бичээстэй тойрогтой холбосон хэрчмүүдийн огтлолцлын цэг юм.

O цэгийг ABC гурвалжны тойргийн төв гэж үзье. Тойрог нь D, E, F цэгүүдэд BC, AC, AB гурвалжны талуудад тус тус хүрнэ. Gergonne цэг нь AD, BE, CF сегментүүдийн огтлолцох цэг юм. О цэгийг бичээстэй тойргийн төв болгоё ?ABC. Тойрог нь D, E, F цэгүүдэд BC, AC, AB гурвалжны талуудад тус тус хүрнэ. Gergonne цэг нь AD, BE, CF сегментүүдийн огтлолцох цэг юм.





Эдгээр гурван сегмент үнэхээр нэг цэгт огтлолцдог гэдгийг баталцгаая. Тойргийн төв нь өнцгийн биссектрисын огтлолцох цэг гэдгийг анхаарна уу ?ABC ба тойргийн радиусууд нь OD, OE, OF байна ?гурвалжны талууд. Тиймээс бид гурван хос тэнцүү гурвалжинтай (AFO ба AEO, BFO ба BDO, CDO ба CEO).




AF?BD ажилладаг ? CE ба AE? BE? CF нь тэнцүү, учир нь BF = BD, CD = CE, AE = AF, тиймээс эдгээр үржвэрүүдийн харьцаа тэнцүү байх ба Ceva-ийн теоремоор (A1, B1, C1 цэгүүд BC, AC, AB талууд дээр хэвтэнэ үү? ABC, AA1 , BB1 ба CC1 хэсгүүдийг нэг цэгээр огтолцгооё




(бид гурвалжинг цагийн зүүний дагуу тойрон явдаг)), сегментүүд нэг цэг дээр огтлолцдог.




Бичсэн тойргийн шинж чанарууд:

Тойрог бүх талдаа хүрвэл гурвалжинд бичээстэй гэж нэрлэдэг.

Ямар ч гурвалжинд тойрог бичиж болно.

Өгөгдсөн: ABC - энэ гурвалжин, O - биссектрисийн огтлолцлын цэг, M, L ба K - гурвалжны талуудтай тойргийн шүргэлтийн цэгүүд (Зураг 1.11).

Баталгаажуулах: O нь ABC дээр бичигдсэн тойргийн төв юм.





Баталгаа. О цэгээс AB, BC, CA талууд руу OK, OL, OM перпендикуляруудыг тус тус татъя (Зураг 1.11). О цэг нь ABC гурвалжны талуудаас ижил зайд байгаа тул OK = OL = OM болно. Иймд ОК радиустай О төвтэй тойрог K, L, M цэгүүдийг дайран өнгөрнө. ABC гурвалжны талууд нь OK, OL, OM радиустай перпендикуляр тул K, L, M цэгүүдэд энэ тойрогт хүрнэ. Энэ нь ОК радиустай О төвтэй тойрог ABC гурвалжинд бичигдсэн гэсэн үг юм. Теорем нь батлагдсан.

Гурвалжинд бичээстэй тойргийн төв нь түүний биссектрисын огтлолцлын цэг юм.





ABC өгөгдсөн, O нь дотор нь бичигдсэн тойргийн төв, D, E, F нь талуудтай тойргийн хүрэлцэх цэгүүд (Зураг 1.12). ? AEO =? Гипотенуз ба хөл дээрх AOD (EO = OD - радиус, AO - нийт). Гурвалжны тэгш байдлаас юу гарах вэ? OAD =? О.А.Э. Тэгэхээр AO нь EAD өнцгийн биссектриса юм. О цэг гурвалжны нөгөө хоёр биссектриса дээр байрладаг нь ижил аргаар батлагдсан.

Шүргэх цэг рүү татсан радиус нь шүргэгч рүү перпендикуляр байна.




Баталгаа. Хүрээлэн буй (O; R) нь өгөгдсөн тойрог байг (Зураг 1.13), a шулуун нь P цэг дээр хүрнэ. OP радиус нь a-д перпендикуляр байж болохгүй. О цэгээс шүргэгч рүү перпендикуляр OD зуръя. Шүргэгчийн тодорхойлолтоор түүний P цэгээс бусад бүх цэгүүд, ялангуяа D цэг нь тойргийн гадна байрладаг. Тиймээс перпендикуляр OD-ийн урт нь ташуу OP-ийн R уртаас их байна. Энэ нь ташуу өмчтэй зөрчилдөж байгаа бөгөөд үүнээс үүдэн гарсан зөрчил нь мэдэгдлийг нотолж байна.




БҮЛЭГ 2. Гурвалжны 3 гайхалтай цэг, Эйлерийн тойрог, Эйлерийн шулуун шугам.




1 Гурвалжингийн тойргийн төв




Хэсэгт перпендикуляр биссектриса нь сегментийн дундуур дайран өнгөрөх ба түүнд перпендикуляр шугам юм.

Теорем. Хэсгийн перпендикуляр биссектрисын цэг бүр нь тухайн сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байна. Эсрэгээр: сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа цэг бүр нь перпендикуляр биссектрист байрладаг.

Баталгаа. Шулуун шугам m нь AB сегментийн перпендикуляр биссектриса, О цэг нь сегментийн дунд цэг байна.

m шулуун дээрх дурын M цэгийг авч үзээд AM=BM гэдгийг баталъя. Хэрэв М цэг нь О цэгтэй давхцаж байвал О нь AB сегментийн дунд цэг тул энэ тэгшитгэл үнэн болно. M ба O хоёр өөр цэг байг. Тэгш өнцөгт ?OAM болон ?OBM нь хоёр хөл дээр тэнцүү байна (OA = OB, OM нь нийтлэг хөл), тиймээс AM = BM.

) AB хэрчмийн төгсгөлөөс ижил зайд орших дурын N цэгийг авч үзээд N цэг m шулуун дээр байгааг батал. Хэрэв N нь AB шулуун дээрх цэг бол энэ нь AB сегментийн О дунд цэгтэй давхцах тул m шулуун дээр байрладаг. Хэрэв N цэг AB шулуун дээр хэвтэхгүй бол бодоорой ?AN=BN тул ижил өнцөгт ANB. NO сегмент нь энэ гурвалжны медиан тул өндөр юм. Тиймээс NO нь AB-д перпендикуляр тул ON ба m шугамууд давхцаж байгаа тул N нь m шулууны цэг болно. Теорем нь батлагдсан.

Үр дагавар. Гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектриса нь нэг цэг дээр (тойргийн төв) огтлолцоно.

АВ ба ВС талуудын m ба n хоёр талт перпендикуляруудын огтлолцох цэг болох О цэгийг тэмдэглэе. ?ABC. Теоремын дагуу (хэгж рүү чиглэсэн перпендикуляр биссектрисын цэг бүр энэ сегментийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байна. Эсрэгээр нь: сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа цэг бүр түүнд перпендикуляр биссектрист байрладаг.) ​​бид OB = OA гэж дүгнэж байна. OB = OC Тиймээс: OA = OC, Өөрөөр хэлбэл, О цэг нь АС сегментийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байрладаг тул энэ сегментийн перпендикуляр p биссектрист байрладаг. Иймд бүх гурван биссектриса m, n, p талууд руу ?ABC нь О цэг дээр огтлолцоно.

Хурц гурвалжны хувьд энэ цэг нь дотор талд, мохоо гурвалжны хувьд гурвалжны гадна талд, тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд гипотенузын дунд байрладаг.

Гурвалжны перпендикуляр биссектрисын шинж чанар:

Гурвалжны дотоод ба гадаад өнцгийн биссектрис нь нэг оройноос гарч байгаа шугамууд нь гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн диаметрийн эсрэг талын цэгүүдээс эсрэг талын перпендикуляр дундуур огтлолцдог.





Баталгаа. Жишээ нь, ABC биссектрисаг дүрсэлсэнтэй огтлолцуулъя ?D цэг дээрх ABC тойрог (Зураг 2.1). Дараа нь бичээстэй ABD ба DBC тэнцүү тул AD = нум DC. Гэхдээ АС тал руу чиглэсэн перпендикуляр биссектриса нь АС нумыг мөн хуваадаг тул D цэг мөн энэ перпендикуляр биссектрист хамаарах болно. Цаашилбал, 1.3-р зүйлийн 30-р шинж чанараар ABC-тай зэргэлдээх BD ABC биссектрис учраас тойрог нь D цэгийн эсрэг талын цэг дээр огтлолцох болно, учир нь бичээстэй тэгш өнцөг нь үргэлж диаметр дээр тулгуурладаг.




2 Гурвалжингийн тойргийн ортот төв




Өндөр нь гурвалжны оройгоос эсрэг талыг агуулсан шулуун шугам руу татсан перпендикуляр юм.

Гурвалжны өндөр (эсвэл тэдгээрийн өргөтгөлүүд) нэг цэг дээр (ортоцентр) огтлолцдог.

Баталгаа. Дурын зүйлийг авч үзье ?ABC ба түүний өндрийг агуулсан AA1, BB1, CC1 шулуунууд нэг цэгт огтлолцдог болохыг нотол. Орой бүрээр нь явцгаая ?ABC нь эсрэг талтай параллель шулуун шугам юм. Бид авдаг ?A2B2C2. A, B, C цэгүүд нь энэ гурвалжны дунд цэгүүд юм. Үнэхээр AB=A2C ба AB=CB2 нь ABA2C ба ABCB2 параллелограммын эсрэг талуудтай адил тул A2C=CB2 болно. Үүнтэй адилаар C2A=AB2 ба C2B=BA2. Нэмж хэлэхэд, хийцээс дараах байдлаар CC1 нь A2B2, AA1 нь B2C2, BB1 нь A2C2 перпендикуляр байна. Тиймээс AA1, BB1 ба CC1 шугамууд нь талуудтай перпендикуляр биссектрис юм. ?A2B2C2. Тиймээс тэд нэг цэг дээр огтлолцдог.

Гурвалжны төрлөөс хамааран ортоцентр нь гурвалжны дотор хурц өнцгөөр, түүний гадна талд - мохоо өнцгөөр эсвэл оройтой давхцаж, тэгш өнцөгт хэлбэртэй бол зөв өнцгөөр оройтой давхцаж болно.

Гурвалжны өндрийн шинж чанарууд:

Цочмог гурвалжны хоёр өндрийн суурийг холбосон сегмент нь түүнээс нийтлэг өнцгийн косинустай тэнцүү ижил төстэй байдлын коэффициент бүхий өгөгдсөнтэй төстэй гурвалжинг таслав.





Баталгаа. AA1, BB1, CC1 нь цочмог гурвалжны ABC-ийн өндрийг ABC = гэж үзье. ?(Зураг 2.2). BA1A ба CC1B тэгш өнцөгт гурвалжнууд нийтлэг байдаг ?, тиймээс тэдгээр нь ижил төстэй бөгөөд энэ нь BA1/BA = BC1/BC = cos гэсэн үг юм ?. Эндээс BA1/BC1=BA/BC = cos байна ?, өөрөөр хэлбэл В ?C1BA1 ба ?Нийтлэг хажуугийн ABC талууд ??C1BA1~ ?ABC, cos-тэй тэнцүү төстэй байдлын коэффициент ?. Үүнтэй адилаар үүнийг нотолсон ?A1CB1~ ?Ижил төстэй коэффиценттэй ABC cos BCA, ба ?B1AC1~ ?Ижил төстэй байдлын коэффициенттэй ABC cos CAB.

Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз хүртэл унасан өндөр нь түүнийг өөр хоорондоо төстэй, анхны гурвалжинтай төстэй хоёр гурвалжинд хуваадаг.





Баталгаа. Тэгш өнцөгтийг авч үзье ?ABC, ямар байна ?BCA = 900, CD нь түүний өндөр (Зураг 2.3).

Дараа нь ижил төстэй байдал ?ADC ба ?Жишээлбэл, AD/CD = CD/DB тул BDC нь тэгш өнцөгт гурвалжны ижил төстэй байдлын тэмдгийг хоёр хөлийн пропорциональ байдлаар илэрхийлдэг. ADC ба BDC тэгш өнцөгт гурвалжин бүр нь анхны тэгш өнцөгт гурвалжинтай төстэй бөгөөд наад зах нь хоёр өнцгийн ижил төстэй байдалд үндэслэнэ.

Өндөрлөгийн шинж чанарыг ашиглахтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх

Бодлого 1. Нэг орой нь өгөгдсөн мохоо гурвалжны орой, нөгөө хоёр орой нь бусад хоёр оройгоос нь хассан мохоо гурвалжны өндрийн суурь болох гурвалжинтай төстэй болохыг батал. Эхний орой дээрх өнцгийн косинусын модультай тэнцүү төстэй байдлын коэффициент бүхий өгөгдсөн гурвалжин .

Шийдэл. Мохоо гэж бодъё ?тэнэг CAB-тай ABC. AA1, BB1, CC1 нь түүний өндөр (Зураг 2.4, 2.5, 2.6) ба CAB = гэж үзье. ?, ABC =? , BCA = ?.

Үүний баталгаа ?C1BA1~ ?ABC (Зураг 2.4) ижил төстэй байдлын коэффициент k = cos ?, эд хөрөнгийн нотолгоонд хийсэн үндэслэлийг 1-р зүйлийн 2.2-т бүрэн давтаж байна.

Үүнийг баталцгаая ?A1CB~ ?ABC (Зураг 2.5) ижил төстэй коэффициент k1= cos ?, А ?B1AC1~ ?ABC (Зураг 2.6) ижил төстэй байдлын коэффициент k2 = |cos? |.







Үнэн хэрэгтээ CA1A ба CB1B тэгш өнцөгт гурвалжин нь нийтлэг өнцөгтэй байдаг ?тиймээс ижил төстэй. Үүнээс үзэхэд B1C/ BC = A1C / AC= cos ?тиймээс B1C/ A1C = BC / AC = cos ?, өөрөөр хэлбэл A1CB1 ба ABC гурвалжинд талууд нь нийтлэгийг үүсгэдэг ??, пропорциональ байна. Дараа нь гурвалжингийн ижил төстэй байдлын хоёр дахь шалгуурын дагуу ?A1CB~ ?ABC, ижил төстэй байдлын коэффициент k1= cos ?. Сүүлчийн тохиолдлын хувьд (Зураг 2.6), дараа нь тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг авч үзэхээс ?BB1A ба ?BAB1 ба C1AC тэнцүү босоо өнцөг бүхий CC1A нь ижил төстэй тул B1A / BA = C1A / CA = cos (1800 -) ?) = |cos ?|, оноос хойш ??- мохоо. Эндээс B1A / C1A = BA /CA = |cos ?| тэгээд гурвалжинд ?B1AC1 ба ?Тэгш өнцөг үүсгэсэн ABC талууд нь пропорциональ байна. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм ?B1AC1~ ?Ижил төстэй байдлын коэффициент k2 = |cos-тэй ABC? |.

Бодлого 2. О цэг нь АВС хурц гурвалжны өндрийн огтлолцлын цэг бол ABC + AOC = 1800, BCA + BOA = 1800, CAB + COB = 1800 гэдгийг батал.




Шийдэл. Асуудлын тайлбарт өгөгдсөн томъёоны эхнийх нь үнэн зөвийг баталъя. Үлдсэн хоёр томъёоны хүчинтэй байдал ижил төстэй байдлаар нотлогддог. Тиймээс ABC = гэж үзье ?, AOC = ?. A1, B1, C1 нь гурвалжны өндрийн суурь нь A, B, C оройнуудаас (Зураг 2.7). Дараа нь BC1C тэгш өнцөгт гурвалжингаас BCC1 = 900 - ?тэгснээр тэгш өнцөгт гурвалжинд OA1C өнцөг COA1-тэй тэнцүү байна ?. Харин AOC + COA1 өнцгүүдийн нийлбэр = ? + ?шулуун өнцгийг өгдөг тул AOC + COA1 = AOC + ABC = 1800, үүнийг батлах шаардлагатай.

Бодлого 3. Цочмог гурвалжны өндрүүд нь оройнууд нь энэ гурвалжны өндрийн суурь болох гурвалжны өнцгийн биссектристар болохыг батал.




байна.2.8




Шийдэл. ABC гурвалжны AA1, BB1, CC1 өндрийг CAB = гэж үзье. ?(Зураг 2.8). Жишээлбэл, AA1 өндөр нь C1A1B1 өнцгийн биссектриса гэдгийг баталъя. Үнэн хэрэгтээ C1BA1 ба ABC гурвалжин ижил төстэй (1-р шинж чанар) тул BA1C1 = ?Тиймээс C1A1A = 900 - ?. A1CB1 ба ABC гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас харахад AA1B1 = 900 - ?тиймээс C1A1A = AA1B1= 900 - ?. Гэхдээ энэ нь AA1 нь C1A1B1 өнцгийн биссектриса гэсэн үг юм. Үүний нэгэн адил ABC гурвалжны нөгөө хоёр өндөр нь A1B1C1 гурвалжны бусад харгалзах хоёр өнцгийн биссектрис болох нь батлагдсан.




3 Гурвалжингийн тойргийн хүндийн төв




Гурвалжны медиан нь гурвалжны аль ч оройг эсрэг талын дунд цэгтэй холбосон хэрчмийг хэлнэ.

Теорем. Гурвалжны медиан нь нэг цэг дээр (хүндийн төв) огтлолцдог.

Баталгаа. дур зоргоороо авч үзье? ABC.





AA1 ба BB1 медиануудын огтлолцох цэгийг О үсгээр тэмдэглээд энэ гурвалжны дундах A1B1 шугамыг зуръя. A1B1 хэрчим нь AB талтай параллель байх тул 1 = 2 ба 3 = 4. Тиймээс, ?AOB ба ?A1OB1 нь хоёр өнцгөөр төстэй, тиймээс тэдгээрийн талууд нь пропорциональ: AO:A1O=BO:B1O=AB:A1B1. Харин AB=2A1B1, тэгэхээр AO=2A1O, BO=2B1O. Ийнхүү AA1 ба BB1 медиануудын огтлолцлын О цэг нь оройноос нь тоолоход тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваана.

Үүнтэй адилаар BB1 ба CC1 медиануудын огтлолцлын цэг нь оройноос нь тоолоход тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваадаг тул О цэгтэй давхцаж, 2:1 харьцаагаар хуваагддаг нь батлагдсан. оройноос эхлэн тоолох.

Гурвалжны медианы шинж чанарууд:

10 Гурвалжны медианууд нэг цэгт огтлолцох ба оройноос эхлэн тоолоход 2:1 харьцаатай огтлолцлын цэгээр хуваагдана.

Өгөгдсөн: ?ABC, AA1, BB1 - медианууд.

Баталгаажуулах: AO:OA1=VO:OB1=2:1

Баталгаа. A1B1||AB, A1B1=1/2 AB дунд шугамын шинж чанарын дагуу A1B1 (Зураг 2.10) шугамыг зуръя. A1B1 || оноос хойш AB, дараа нь 1 = 2 зэрэгцээ AB ба A1B1 шугамууд ба AA1 зүсэлттэй хөндлөн хэвтэнэ. 3 = 4 A1B1 ба AB зэрэгцээ шугамууд ба BB1 зүсэлттэй хөндлөн хэвтэнэ.

Тиймээс, ?AOB ~ ?A1OB1 нь хоёр өнцгийн тэгшитгэлээр, энэ нь талууд пропорциональ гэсэн үг юм: AO/A1O = OB/OB1 = AB/A1B = 2/1, AO/A1O = 2/1; OB/OB1 = 2/1.





Медиан нь гурвалжинг тэнцүү талбайтай хоёр гурвалжинд хуваана.




Баталгаа. BD - дундаж ?ABC (Зураг 2.11), BE - түүний өндөр. Дараа нь ?ABD ба ?DBC нь ижил хэмжээтэй, учир нь тэдгээр нь AD ба DC суурьтай, нийтлэг BE өндөртэй.

Гурвалжинг бүхэлд нь медиануудаараа тэнцүү зургаан гурвалжинд хуваана.

Хэрэв гурвалжны голын үргэлжлэл дээр гурвалжны хажуугийн дундаас голчтой тэнцүү урттай хэрчмийг тавьсан бол энэ сегментийн төгсгөлийн цэг ба гурвалжны оройнууд нь гурвалжны оройнууд болно. параллелограмм.





Баталгаа. D нь BC талын дунд цэг байг ?ABC (Зураг 2.12), E нь AD шулуун дээрх DE=AD байх цэг юм. Дараа нь ABEC дөрвөн өнцөгтийн огтлолцлын D цэг дээрх AE ба ВС диагональууд хоёр хуваагдсан тул 13.4-р шинж чанараас харахад ABEC дөрвөн өнцөгт параллелограмм байна.

Медианы шинж чанарыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх:

Бодлого 1. Хэрэв О нь медиануудын огтлолцлын цэг болохыг батал ?Тэгвэл ABC ?А.О.Б. ?BOC болон ?AOC нь тэнцүү хэмжээтэй байна.




Шийдэл. AA1 ба BB1 нь медиан байг ?ABC(Зураг 2.13). Ингээд авч үзье ?AOB ба ?BOC. Эндээс харахад С ?AOB = S ?AB1B-S ?AB1O, С ?BOC=S ?BB1C-S ?OB1C. Гэхдээ 2-р өмчийн хувьд бид С ?AB1B=S ?BB1C, С ?AOB = S ?OB1C, энэ нь С ?AOB = S ?BOC. Тэгш байдал С ?AOB = S ?AOC.

Бодлого 2. Хэрэв О цэг дотор байгаа бол гэдгийг батал ?ABC болон ?А.О.Б. ?BOC болон ?AOC талбайн хувьд тэнцүү бол О нь медиануудын огтлолцох цэг мөн үү? ABC.





Шийдэл. Ингээд авч үзье ?ABC (2.14) ба О цэг BB1 медиан дээр оршдоггүй гэж үзье. Дараа нь OB1 нь медиан байна ?AOC дараа нь С ?AOB1 = S ?B1OC ба түүнээс хойш нөхцөл байдлын дагуу S ?AOB = S ?БОК, дараа нь С ?AB1OB = S ?BOB1C. Гэхдээ энэ нь байж болохгүй, учир нь С ?ABB1 = S ?B1BC. Үүссэн зөрчил нь О цэг нь BB1 медиан дээр байрладаг гэсэн үг юм. Үүний нэгэн адил О цэг нь өөр хоёр медианд хамаарах нь батлагдсан ?ABC. Үүнээс үзэхэд О цэг үнэхээр гурван медианы огтлолцлын цэг мөн үү? ABC.

Бодлого 3. Хэрэв байгаа бол гэдгийг батал ?ABC талууд AB ба BC тэнцүү биш бол түүний BD биссектрис нь BM медиан ба BH өндөр хоёрын хооронд байна.

Баталгаа. талаар тайлбарлая ?ABC нь тойрог бөгөөд К цэг дээрх тойрогтой огтлолцох хүртэл BD биссектрисаа сунгана. АС хэрчмийн перпендикуляр дунд цэг нь медиантай нийтлэг M цэгтэй K цэгийг (2.1-р зүйлийн 1-р шинж чанар) дайран өнгөрнө. Гэхдээ BH ба MK хэрчмүүд параллель, B ба K цэгүүд нь АС шугамын эсрэг талд байрладаг тул BK ба AC хэрчмүүдийн огтлолцох цэг нь HM сегментэд хамаарах бөгөөд энэ нь шаардлагатай байгааг баталж байна.

Асуудал 4. B ?ABC медиан BM нь AB талын хагастай тэнцүү бөгөөд үүнтэй хамт 400 өнцөг үүсгэнэ.





Шийдэл. BM медианыг M цэгээс уртаар нь сунгаж D цэгийг авъя (Зураг 2.15). AB = 2BM тул AB = BD, өөрөөр хэлбэл ABD гурвалжин нь ижил өнцөгт байна. Тиймээс BAD = BDA = (180o - 40o) : 2 = 70o. ABCD дөрвөлжин нь параллелограмм юм, учир нь диагональ нь огтлолцох цэгээрээ хуваагддаг. Энэ нь CBD = ADB = 700 гэсэн үг юм. Дараа нь ABC = ABD + CBD = 1100 хариулт нь 1100 байна.

Бодлого 5. Талууд?ABC a,b,c-тэй тэнцүү. c тал руу татсан медиан mc-ийг тооцоол (Зураг 2.16).





Шийдэл. ACBP параллелограмм дээр ?ABC-г барьж медианыг хоёр дахин нэмэгдүүлье, мөн энэ параллелограмм дээр 8-р теоремыг ашиглая: CP2+AB2 = 2AC2+2BC2, өөрөөр хэлбэл. (2mc)2+c2= 2b2+2a2, эндээс бид олдог:

2.4 Эйлерийн тойрог. Эйлерийн шугам




Теорем. Дурын гурвалжны медиануудын суурь, өндрүүд, түүнчлэн гурвалжны оройг түүний ортот төвтэй холбосон сегментүүдийн дунд цэгүүд нь ижил тойрог дээр байрладаг бөгөөд радиус нь тойргийн радиусын хагастай тэнцүү байна. гурвалжин. Энэ тойргийг есөн цэгийн тойрог буюу Эйлерийн тойрог гэж нэрлэдэг.

Баталгаа. Дундаж?MNL (Зураг 2.17) авч, түүнийг тойруулан W тойргийг дүрсэлцгээе LQ хэрчим нь тэгш өнцөгт?AQB дахь медиан тул LQ=1/2AB байна. Хэсэг MN=1/2AB, учир нь MN - дунд шугам?ABC. Эндээс QLMN трапецын тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. W тойрог нь ижил өнцөгт трапецын L, M, N 3 оройг дайран өнгөрдөг тул дөрөв дэх Q оройг мөн дайран өнгөрнө. Үүний нэгэн адил P нь W-д, R нь W-д хамаарах нь батлагдсан.

X,Y,Z цэгүүд рүү шилжье.XL хэрчим нь BH-тэй перпендикуляр байна?AHB дунд шугам. BH сегмент нь АС-д перпендикуляр бөгөөд АС нь LM-тэй параллель байдаг тул BH нь LM-тэй перпендикуляр байна. Тиймээс XLM=P/2. Үүний нэгэн адил, XNM = P/2.

Дөрвөн өнцөгт LXNM-д эсрэг талын хоёр өнцөг нь зөв өнцөг тул тойргийг тойрон дүрсэлж болно. Энэ нь W тойрог байх болно. Тэгэхээр X нь W-д, Y нь W-д, Z нь W-д хамаарна.

Дундаж?LMN нь?ABC-тай төстэй. Ижил төстэй байдлын коэффициент нь 2. Тиймээс есөн цэгийн тойргийн радиус R/2 байна.

Эйлер тойргийн шинж чанарууд:

Есөн цэгийн тойргийн радиус нь ABC-ийг тойрсон тойргийн радиусын хагастай тэнцүү байна.

Есөн цэгийн тойрог нь коэффицентээр тойрсон ABC тойрогтой ижил байна ½ ба H цэг дээрх гомотетийн төв.





Теорем. Ортоцентр, төв, тойргийн төв, есөн цэгийн тойргийн төв нь нэг шулуун дээр байрладаг. Эйлерийн шулуун шугам.

Баталгаа. H нь orthocenter ABC (Зураг 2.18), O нь хүрээлэгдсэн тойргийн төв байх уу? Барилгын хувьд перпендикуляр биссектриссууд?ABC нь медиан?MNL-ийн өндрийг агуулна, өөрөөр хэлбэл O нь нэгэн зэрэг ортоцентр?LMN байна. ?LMN ~ ?ABC, тэдгээрийн ижил төстэй байдлын коэффициент 2 тул BH=2ON.

H ба O цэгүүдээр шулуун шугам татъя. Бид хоёр ижил төстэй гурвалжинг олж авдаг?NOG болон?BHG. BH=2ON тул BG=2GN. Сүүлийнх нь G цэг нь ABC төв гэсэн үг юм. G цэгийн хувьд HG:GO=2:1 харьцаа хангагдсан байна.

Цаашид ТФ перпендикуляр биссектриса?MNL, F нь энэ перпендикулярын HO шулуунтай огтлолцох цэг гэж үзье. Ижил төстэй ?TGF болон ?ТББ-ыг авч үзье. G цэг нь?MNL-ийн центроид тул?TGF ба?NGO-ийн ижил төстэй байдлын коэффициент 2-той тэнцүү байна. Иймээс OG=2GF ба HG=2GO тул HF=FO ба F нь HO хэрчмийн дунд байна.

Хэрэв бид нөгөө тал руу чиглэсэн перпендикуляр биссектрисын талаар ижил үндэслэлийг хийвэл энэ нь мөн HO сегментийн дундуур өнгөрөх ёстой. Гэхдээ энэ нь F цэг нь перпендикуляр биссектрисын цэг гэсэн үг юм?MNL. Энэ цэг нь Эйлерийн тойргийн төв юм. Теорем нь батлагдсан.





ДҮГНЭЛТ




Энэ ажилд бид сургуульд сурч байсан гурвалжингийн 4 гайхалтай цэг, тэдгээрийн шинж чанаруудыг авч үзсэн бөгөөд үүний үндсэн дээр бид олон асуудлыг шийдэж чадна. Гергонн цэг, Эйлерийн тойрог, Эйлерийн шулуун шугамыг мөн авч үзсэн.




АШИГЛАСАН ЭХ ҮҮСВЭРИЙН ЖАГСААЛТ




1.Геометр 7-9. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурах бичиг // Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. ба бусад - М.: Боловсрол, 1994.

2.Амелкин В.В. Хавтгай дээрх геометр: Онол, асуудал, шийдэл: Сурах бичиг. Математикийн гарын авлага // В.В.Амелкин, В.Л. Рабцевич, В.Л. Тимохович - М.: "Асар", 2003 он.

.V.S. Болодурин, О.А. Вахмянина, Т.С. Измайлова // Анхан шатны геометрийн гарын авлага. Оренбург, ОГПИ, 1991 он.

.Прасолов В.Г. Планиметрийн асуудал. - 4-р хэвлэл, нэмэлт - М.: Москвагийн Математикийн тасралтгүй боловсролын төвийн хэвлэлийн газар, 2001 он.