Магадлалын онол, тархалтын хууль. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль

Магадлалын тархалт нь хэмжигдэхүйц орон зайн магадлалын хэмжүүр юм.

W нь дурын шинж чанартай хоосон бус олонлог болон байг Ƒ -s- W дээрх алгебр, өөрөөр хэлбэл W-ийн дэд олонлогуудын цуглуулга нь W өөрөө, хоосон Æ олонлогийг агуулсан ба хамгийн ихдээ тоолж болох олонлогийн онолын үйлдлүүдийн дор хаагдсан (энэ нь аливаа А Î Ƒ тохируулах = W\ Адахин харьяалагддаг Ƒ мөн хэрэв А 1 , А 2 ,…О Ƒ , Тэр Ƒ Тэгээд Ƒ ). Хос (W, Ƒ ) хэмжигдэхүйц орон зай гэж нэрлэдэг. Сөрөг бус функц P( А), хүн бүрт зориулагдсан А Î Ƒ , магадлалын хэмжигдэхүүн, магадлал, P. магадлал эсвэл зүгээр л P. гэж нэрлэдэг, хэрэв P(W) = 1 ба P нь тоологдохуйц нэмэлт, өөрөөр хэлбэл аливаа дарааллын хувьд А 1 , А 2 ,…О Ƒ тиймэрхүү А и ∩ А ж= Æ бүгдэд нь би ¹ j, тэгш байдал P() = P( А и). Гурав (W, Ƒ , P) магадлалын орон зай гэж нэрлэдэг. Магадлалын орон зай нь A.N-ийн санал болгосон аксиоматик магадлалын онолын анхны ойлголт юм. Колмогоров 1930-аад оны эхээр.

Магадлалын орон зай бүр дээр (бодит) хэмжигдэхүйц функцуудыг авч үзэж болно X = X(w), wÎW, өөрөөр хэлбэл (w: X(w) О Б} Î Ƒ аль ч Borel дэд бүлэгт зориулсан Ббодит шугам Р. Функцийн хэмжигдэхүүн Xтэнцүү байна (w: X(w)< x} Î Ƒ ямар ч бодитой x. Хэмжих боломжтой функцуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хувьсагч бүр X, магадлалын орон зайд тодорхойлогдсон (W, Ƒ , P), P. магадлалыг үүсгэдэг

P X (Б) = P( XÎ Б) = P((w: X(w) О Б}), Б Î Ɓ ,
хэмжигдэхүйц орон зайд ( Р, Ɓ ), Хаана Ɓ Р, болон түгээлтийн функц

F X(x) = P( X < x) = P((w: X(w)< x}), -¥ < x <¥,
Эдгээрийг магадлалын магадлал ба санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц гэж нэрлэдэг X.

Түгээлтийн функц Фдурын санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь шинж чанартай байдаг

1. Ф(x) буурахгүй,

2. Ф(- ¥) = 0, Ф(¥) = 1,

3. Ф(x) цэг бүрт тасралтгүй үлдэнэ x.

Заримдаа хуваарилалтын функцийг тодорхойлоход тэгш бус байдал үүсдэг< заменяется неравенством £; в этом случае функция распределения является непрерывной справа. В содержательных утверждениях теории вероятностей не важно, непрерывна функция распределения слева или справа, важны лишь положения ее точек разрыва x(хэрэв байгаа бол) болон өсөлтийн хэмжээ Ф(x+0) - Ф(x-0) эдгээр цэгүүдэд; Хэрэв Ф X, тэгвэл энэ өсөлт нь P( X = x).

Аливаа функц Ф, шинж чанартай 1. - 3. тархалтын функц гэнэ. Түгээлтийн хоорондын захидал харилцаа ( Р, Ɓ ) ба түгээлтийн функцууд нь нэгээс нэг юм. Аливаа Р. Пдээр ( Р, Ɓ ) түүний хуваарилалтын функц нь тэгш байдлаар тодорхойлогддог Ф(x) = П((-¥, x)), -¥ < x <¥, а для любой функции распределения Фтүүнд тохирсон Р. Пхязгаарлагдмал тооны салангид интервалын функцийн нэгдлээс бүрдэх олонлогуудын £ алгебр дээр тодорхойлогддог. Ф 1 (x) 0-ээс 1 хүртэл шугаман нэмэгдэнэ. Функцийг бүтээх Ф 2 (x) сегментийг сегмент, интервал (1/3, 2/3) болон сегмент гэж хуваана. Чиг үүрэг Ф 2 (x) интервал дээр (1/3, 2/3) 1/2-тэй тэнцүү бөгөөд сегментүүд дээр 0-ээс 1/2, 1/2-оос 1 хүртэл шугаман нэмэгдэнэ. Энэ үйл явц үргэлжилж, үйл ажиллагаа Fn+1-ийг дараах функцийн хувиргалтыг ашиглан олж авна Fn, n³ 2. Функц байх интервал дээр Fn(x) тогтмол, Fn +1 (x) давхцаж байна Fn(x). Функц байгаа сегмент бүр Fn(x) -аас шугаман нэмэгдэнэ аруу б, сегмент , интервал (a + (a - b)/3, a + 2(b - a)/3) болон сегмент гэж хуваагдана. Заасан интервалаар Fn +1 (x) тэнцүү ( а + б)/2, мөн заасан сегментүүд дээр Fn +1 (x) -аас шугаман нэмэгдэнэ аруу ( а + б)/2 ба -аас ( а + б)/2 хүртэл бтус тус. 0 фунт тутамд x£1 дараалал Fn(x), n= 1, 2,..., зарим тоонд нийлдэг Ф(x). Түгээлтийн функцүүдийн дараалал Fn, n= 1, 2,..., тэнцүү үргэлжилсэн тул хязгаарын тархалтын функц Ф(x) тасралтгүй байна. Энэ функц нь өсөлтийн цэг байхгүй, тоолж болох интервалын багц дээр тогтмол байдаг (функцийн утгууд өөр өөр интервал дээр өөр байдаг) бөгөөд эдгээр интервалын нийт урт нь 1 байна. Тиймээс Лебегийн хэмжүүр хангамжийг тохируулах Фтэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл Фганц бие.

Түгээлтийн функц бүрийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

Ф(x) = х ac Ф ac ( x) + хг Ф d ( x) + хс Фс ( x),
Хаана Ф ac, Фг ба Ф s нь туйлын тасралтгүй, салангид ба ганц тархалтын функцууд ба сөрөг бус тоонуудын нийлбэр юм. х ac, х d ба p s нь нэгтэй тэнцүү байна. Энэ дүрслэлийг Лебесгийн тэлэлт ба функцууд гэж нэрлэдэг Ф ac, Фг ба Ф s - задралын бүрэлдэхүүн хэсгүүд.

Тархалтын функцийг тэгш хэмтэй if гэж нэрлэдэг Ф(-x) = 1 - Ф(x+ 0) хувьд
x> 0. Хэрэв тэгш хэмтэй тархалтын функц үнэмлэхүй тасралтгүй бол түүний нягт нь тэгш функц болно. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтэгш хэмтэй тархалттай, дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд XТэгээд - Xтэгш хуваарилагдсан. Хэрэв тэгш хэмт тархалтын функц Ф(x) тэг үед тасралтгүй байна Ф(0) = 1/2.

Магадлалын онолд ихэвчлэн хэрэглэгддэг туйлын тасралтгүй дүрмүүдийн дунд нэг төрлийн дүрэм, хэвийн дүрмүүд (Гауссын дүрэм), экспоненциал дүрмүүд, Коши дүрмүүд байдаг.

R. интервал дээр жигд гэж нэрлэдэг ( а, б) (эсвэл сегмент дээр [ а, б], эсвэл интервалаар [ а, б) ба ( а, б]), хэрэв нягт нь тогтмол бол (ба 1/( б - а)) хүртэл ( а, б) гадна тэгтэй тэнцүү ( а, б). Ихэнхдээ (0, 1) дээр жигд тархалтыг ашигладаг, түүний тархалтын функц Ф(x) үед тэгтэй тэнцүү байна x£ 0, нэг цагтай тэнцүү x>1 ба Ф(x) = x 0-д< x£ 1. (0, 1) дээр жигд санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна X(w) = w интервал (0, 1), энэ интервалын Борелийн дэд олонлогууд болон Лебегийн хэмжүүрээс бүрдэх магадлалын орон зайд. Энэ магадлалын орон зай нь "санамсаргүй байдлаар w цэгийг (0, 1) интервал руу шидэх" туршилттай тохирч байгаа бөгөөд "санамсаргүй байдлаар" гэдэг нь (0, 1) -ийн бүх цэгүүдийн тэгш байдал (тэнцүү боломж) гэсэн утгатай. Хэрэв магадлалын орон зайд (W, Ƒ , P) санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна X(0, 1) дээр жигд тархалттай, дараа нь ямар ч түгээлтийн функцэд үүн дээр Фсанамсаргүй хэмжигдэхүүн байдаг Ю, үүний хувьд түгээлтийн функц Ф Я-тай давхцаж байна Ф. Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц Ю = Ф -1 (X) давхцаж байна Ф. Энд Ф -1 (y) = inf( x: Ф(x) > y}, 0 < y < 1; если функция Ф(x) нь бүхэл бүтэн бодит шугам дээр тасралтгүй бөгөөд хатуу монотон байна Ф-1 - урвуу функц Ф.

параметртэй хэвийн R. ( а, s 2), -¥< а < ¥, s 2 >0, нягтралтай R. гэж нэрлэгддэг, -¥< x < ¥. Чаще всего используется нормальное Р. с параметрами а= 0 ба s 2 = 1, үүнийг стандарт хэвийн R гэж нэрлэдэг., түүний тархалтын функц F( x) нь анхан шатны функцүүдийн давхар байрлалаар илэрхийлэгдээгүй тул түүний интеграл дүрслэлийг F( ашиглах ёстой. x) =, -¥ < x < ¥. Для фунции распределения F(x) орчин үеийн тооцоолох технологи гарч ирэхээс өмнө шаардлагатай байсан нарийвчилсан хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн (F функцийн утгууд (F) x) мөн тусгай хүснэгт ашиглан авч болно. функцууд erf( x)), утгууд F( x) Учир нь x> 0-ийг цувралын нийлбэрийг ашиглан авч болно

,
болон төлөө x < 0 можно воспользоваться симметричностью F(x). Параметр бүхий хэвийн тархалтын функцийн утгууд аба s 2 нь F(()-тай давхцаж байгааг ашиглан олж авч болно. x - а)/s). Хэрэв X 1 ба X 2 бие даасан хэвийн тархалттай параметрүүдтэй а 1 , s 1 2 ба а 2 , s 2 2 санамсаргүй хэмжигдэхүүн, дараа нь тэдгээрийн нийлбэрийн тархалт X 1 + X 2 нь параметрийн хувьд бас тохиромжтой а= а 1 + а 2 ба s 2 = s 1 2 + s 2 2. Энэ мэдэгдэл нь бас үнэн, тодорхой утгаараа эсрэгээрээ: хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол Xпараметрүүдээр хэвийн тархсан аба s 2 ба
X = X 1 + X 2 хаана X 1 ба X 2 нь тогтмолоос бусад бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X 1 ба X 2 нь хэвийн тархалттай (Крамерын теорем). Сонголтууд а 1 , s 1 2 ба а 2 , s 2 2 хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт X 1 ба X 2 холбоотой аба s 2 дээр өгөгдсөн тэгшитгэлээр. Стандарт хэвийн тархалт нь төв хязгаарын теорем дахь хязгаар юм.

Экспоненциал тархалт нь нягтралтай тархалт юм х(x) = 0 үед x < 0 и х(x) = л д- л xцагт x³ 0, энд l > 0 нь параметр, түүний тархалтын функц Ф(x) = 0 үед x£0 ба Ф(x) = 1 - д- л xцагт x> 0 (заримдаа экспоненциал графикийг ашигладаг бөгөөд тэдгээр нь бодит тэнхлэгийн дагуух шилжилтээр заагдсанаас ялгаатай байдаг). Энэ R. нь aftereffect байхгүй гэсэн шинж чанартай: if Xнь экспоненциал R.-тэй санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм, дараа нь дурын эерэг хувьд xТэгээд т

P( X > x + т | X > x) = P( X > т).
Хэрэв XЭнэ нь зарим төхөөрөмжийн эвдрэл гарахаас өмнөх ажиллах хугацаа бөгөөд дараа нь үр дагавар гарахгүй байх нь 0 цагт асаалттай төхөөрөмж ажиллахгүй байх магадлалтай гэсэн үг юм. x + ттэр мөч хүртэл татгалзаагүй тохиолдолд x, хамаарахгүй x. Энэ өмчийг "хөгшрөлт" байхгүй гэж тайлбарладаг. Үр нөлөө байхгүй байх нь экспоненциал тархалтын онцлог шинж юм: туйлын тасралтгүй тархалтын ангилалд дээрх тэгш байдал нь зөвхөн экспоненциал тархалтын хувьд хүчинтэй байна (зарим параметр l > 0). Экспоненциал R. нь хамгийн бага схемд R. хязгаар хэлбэрээр харагдана. Болъё X 1 , X 2 ,… - сөрөг бус бие даасан ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ба тэдгээрийн нийтлэг тархалтын функцийн хувьд Ф 0 цэг нь өсөлтийн цэг юм. Дараа нь цагт n®¥ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт Юn= мин( X 1 ,…, X n) нэг өсөлтийн цэг 0 бүхий доройтсон тархалт руу сул нийлдэг (энэ нь олон тооны хуулийн аналог юм). Хэрэв бид зарим нь e > 0-д хуваарилалтын функцийг нэмж тооцвол Ф(x) интервал дээр (0, e) төлөөллийг хүлээн зөвшөөрдөг ба х(у)®l at у¯ 0, дараа нь Z санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцууд n = n мин( X 1 ,…, X n) цагт n®¥ тэгшхэн -¥< x < ¥ сходятся к экспоненциальной функции распределения с параметром l (это - аналог центральной предельной теоремы).

Р.Кошийг нягтралтай Р х(x) = 1/(p(1 + x 2)), -¥< x < ¥, его функция рас-пределения Ф(x) = (arctg x+ p/2)/p. Энэхүү Р. нь 1832 онд С.Пуассоны бүтээлд дараах асуудлыг шийдвэрлэхтэй холбогдуулан гарч ирсэн: бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд байдаг уу? X 1 , X 2 ,... арифметик утга нь ( X 1 + … + X n)/nболгонд nсанамсаргүй хэмжигдэхүүн бүрийн адил R.-тэй байна X 1 , X 2,...? Заасан нягтралтай санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ийм шинж чанартай байдгийг С.Пуассон нээсэн. Эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд арифметик утга нь ( X 1 +…+ X n)/nөсөлттэй хамт nдоройтох. Гэсэн хэдий ч энэ нь том тооны хуультай зөрчилддөггүй, учир нь энэ нь заасан тархалтад хангагдаагүй анхны санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтад хязгаарлалт тавьдаг (энэ хуваарилалтын хувьд бүх эерэг дарааллын үнэмлэхүй моментүүд нэгдмэл байдлаас бага байдаг, гэхдээ математикийн хүлээлт байхгүй). О.Кошигийн бүтээлүүдэд 1853 онд түүний нэрээр нэрлэгдсэн Р.Р.Коши холбоотой байдаг. X/Юстандарт хэвийн P-тэй бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.

Магадлалын онолд ихэвчлэн ашиглагддаг дискрет хувьсагчдын дунд Р.Бернулли, бином Р., Р.Пуассон нар байдаг.

R. Bernoulli хоёр өсөлтийн цэг бүхий аливаа тархалтыг дууддаг. Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол R. X, 0 ба 1 утгыг магадлалаар авна
q = 1 - хТэгээд хтус тус 0 байна< х < 1 - параметр. Первые формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы были получены для случайных величин, имею-щих Р. Бернулли. Если на вероятностном пространстве (W, Ƒ , P) дараалал байна X 1 , X 2,... бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь 0 ба 1 утгуудыг тус бүр 1/2 магадлалтай авч үзвэл энэ магадлалын орон зайд нэгэн жигд R дээр (0, 1) санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна. Ялангуяа санамсаргүй хэмжигдэхүүн (0, 1) дээр жигд тархалттай байна.

Параметр бүхий бином R. nТэгээд х, n- байгалийн, 0< х < 1, называется Р., с точками роста 0, 1,..., n, үүнд магадлалууд төвлөрдөг C n k p k q n-к, к = 0, 1,…, n,
q = 1 - х. Энэ нь R. хэмжээ юм nмагадлал нь төвлөрсөн 0 ба 1 өсөлтийн цэг бүхий Р.Бернуллитай бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд qТэгээд х. Энэхүү тархалтыг судалснаар Ж.Бернуллиг их тооны хуулийг, А.Мойврыг төвийн хязгаарын теоремыг нээхэд хүргэсэн.

Пуассоны томьёог тулгуур нь l магадлалууд төвлөрсөн 0, 1,... цэгүүдийн дараалал бүхий томьёог гэнэ. к э-л/ к!, к= 0, 1,…, энд l > 0 нь параметр юм. l ба m параметртэй R. Пуассонтой хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэр нь l + m параметртэй R. Пуассонтой байна. Р.Пуассон бол параметр бүхий Р.Бернуллигийн хязгаар юм nТэгээд х = х(n) цагт n®¥ хэрэв nТэгээд ххарилцаатай холбоотой n.p.®l at n®¥ (Пуассоны теорем). Хэрэв дараалал 0 бол< Т 1 < Т 2 < Т 3 <… есть последовательность моментов времени, в которые происходят некоторые события (так. наз поток событий) и величины Т 1 , Т 2 -Т 1 , Т 3 - Т 2 ,... нь бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд тэдгээрийн нийтлэг R. нь l > 0 параметртэй экспоненциал, дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн X т, интервалд тохиолдсон үйл явдлын тоотой тэнцүү (0, т), параметртэй Р.Пуассон байна.l т(ийм урсгалыг Пуассон гэж нэрлэдэг).

R-ийн тухай ойлголт нь олон тооны ерөнхий ойлголттой, ялангуяа олон хэмжээст тохиолдол болон алгебрийн бүтцэд хамаарна.

Санамсаргүй үйл явдалТуршилтын үр дүнд гарч болох эсвэл болохгүй аливаа баримт юм. Санамсаргүй үйл явдал бол туршилтын үр дүн юм. Шүүх хурал- энэ бол туршилт, тодорхой нөхцөл байдлын биелэлт бөгөөд нэг юмуу өөр үзэгдэл ажиглагдаж, нэг эсвэл өөр үр дүн бүртгэгдсэн байдаг.

Үйл явдлыг латин цагаан толгойн A, B, C үсгээр том үсгээр тэмдэглэв.

Үйл явдал тохиолдох боломжийн бодит байдлын зэрэглэлийн тоон хэмжүүр гэж нэрлэдэг санамсаргүй үйл явдлын магадлал.

Сонгодог тодорхойлолтА үйл явдлын магадлал:

А үйл явдлын магадлал нь А(m) үйл явдалд таатай тохиолдлын тоог нийт тохиолдлын тоо (n)-д харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Статистикийн тодорхойлолтмагадлал

Үйл явдлын харьцангуй давтамж– энэ нь А үйл явдал W=P*(A)= m/n гарсан бодит хийгдсэн туршилтуудын эзлэх хувь юм. Энэ нь туршилтын шинж чанар бөгөөд m нь А үйл явдал тохиолдсон туршилтын тоо; n нь гүйцэтгэсэн бүх туршилтын тоо юм.

Үйл явдлын магадлалТухайн үйл явдлын давтамжийн утгыг олон тооны туршилтын өөр өөр цувралд бүлэглэсэн тоо юм P(A)=.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг нийцэхгүй, хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдвол нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэж байвал. Үгүй бол үйл явдал болно хамтарсан.

нийлбэрхоёр үйл явдал нь эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг нь (A эсвэл B) тохиолдох үйл явдал юм.

Хэрэв А ба Б хамтарсанүйл явдлууд, дараа нь тэдгээрийн A+B нийлбэр нь А үйл явдал эсвэл В үйл явдал, эсвэл хоёр үйл явдал хамтдаа тохиолдохыг заана.

Хэрэв А ба Б нийцэхгүйүйл явдлууд, дараа нь A+B нийлбэр нь А үйл явдал эсвэл В үйл явдал тохиолдохыг хэлнэ.

2. Хамааралтай ба бие даасан үйл явдлын тухай ойлголт. Нөхцөлт магадлал, магадлалыг үржүүлэх хууль (теорем). Бэйсийн томъёо.

В үйл явдал гэж нэрлэдэг бие даасанА үйл явдлаас, хэрэв А үйл явдал тохиолдоход Б үйл явдал тохиолдох магадлал өөрчлөгдөхгүй бол хэд хэдэн тохиолдох магадлал бие даасанүйл явдлууд нь эдгээрийн магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна:

P(AB) = P(A)*P(B)

Учир нь хамааралтайүйл явдал:

P(AB) = P(A)*P(B/A).

Хоёр үйл явдлын магадлал нь эхний үйл явдал болсон гэсэн таамаглалаар олдсон тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлал ба нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Нөхцөлт магадлалВ үйл явдал нь А үйл явдал тохиолдсон үед олдсон В үйл явдлын магадлал юм. P(V/A) гэж тэмдэглэсэн

Ажилхоёр үйл явдал нь эдгээр үйл явдлуудын (А ба В) хамтдаа тохиолдсон үйл явдлуудаас бүрдэх үйл явдал юм.

Бэйсийн томъёог санамсаргүй үйл явдлыг дахин тооцоолоход ашигладаг

P(H/A) = (P(H)*P(A/H))/P(A)

P(H) – H үйл явдлын өмнөх магадлал

P(H/A) – А үйл явдал аль хэдийн болсон тохиолдолд H таамаглалын арын магадлал

P(A/H) – шинжээчийн үнэлгээ

P(A) – А үйл явдлын нийт магадлал

3. Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалт, тэдгээрийн шинж чанар: математикийн хүлээлт, тархалт, стандарт хазайлт. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын хууль.

Санамсаргүй хувьсагчнь тухайн тохиолдлоос хамааран туршилтын үр дүнд боломжит олон утгуудын аль нэгийг авдаг хэмжигдэхүүн юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн– Энэ нь нэг, тусгаарлагдсан, тоолж болохуйц багц утгыг авах үед санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүннь тодорхой интервалаас ямар ч утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт хэмжилтэд үүсдэг.

Дискретийн хувьдсанамсаргүй хэмжигдэхүүн, тархалтын хуулийг хэлбэрээр зааж өгч болно хүснэгтүүд, аналитик (томъёоны хэлбэрээр) болон графикаар.

Хүснэгт– Энэ бол хуваарилалтын хуулийг тодорхойлсон хамгийн энгийн хэлбэр юм

Тавигдах шаардлага:

дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд

Аналитик:

1)F(x)=P(X

Түгээлтийн функц = хуримтлагдсан тархалтын функц. Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд.

2)f(x) = F’(x)

Магадлалын нягтын функц = зөвхөн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хамаарах дифференциал тархалтын функц.

График:

Нөхцөл: 1) 0≤F(x)≤1

2) дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд буурахгүй байх

S-va: 1) f(x)≥0 P(x)=

2) талбай S=1

тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд

Үзүүлэлтүүд:

1.математик хүлээлт – дундаж хамгийн их магадлалтай үйл явдал

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд.

2) Тархалт - математикийн хүлээлтийг тойрон тархах

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд:

D(x)=x i -M(x)) 2 *p i

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд:

D(x)=x-M(x)) 2 *f(x)dx

3) Стандарт хазайлт:

σ(x)=√(D(x))

σ – стандарт хазайлт буюу стандарт

x нь түүний дисперсийн квадрат язгуурын арифметик утга юм

Хэвийн тархалтын хууль (NDL) - Гауссын хууль

NZR нь дифференциал функцээр тодорхойлогддог тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын бууралт юм.

Магадлалын үндэслэлийн эхний бөгөөд хамгийн байгалийн алхам бол: хэрэв танд санамсаргүй байдлаар утгыг авдаг хувьсагч байгаа бол тухайн хувьсагч тодорхой утгыг ямар магадлалаар авахыг мэдэхийг хүсч байна. Эдгээр магадлалын нийлбэр нь магадлалын тархалтыг тодорхойлдог. Жишээлбэл, шоо өгсөн бол та чадна 1/6-тай тэнцүү магадлалтайгаар аль ч ирмэг дээр унана гэж априори тооцно. Энэ нь яс нь тэгш хэмтэй байх тохиолдолд тохиолддог. Хэрэв өлгүүр тэгш хэмтэй биш бол туршилтын өгөгдөл дээр үндэслэн илүү олон удаа унадаг царайнуудын магадлал өндөр, бага унадаг царайны магадлал бага байгааг тодорхойлох боломжтой. Хэрэв зарим царай огт харагдахгүй бол түүнд 0-ийн магадлалыг оноож болно. Энэ бол үхэл шидэх үр дүнг тодорхойлоход ашиглаж болох хамгийн энгийн магадлалын хууль юм. Мэдээжийн хэрэг, энэ бол маш энгийн жишээ боловч жишээлбэл, даатгалын бодлогыг гаргахдаа бодит эрсдэлийг бодит өгөгдөл дээр үндэслэн тооцох үед актуар тооцоололд үүнтэй төстэй асуудал үүсдэг.

Энэ бүлэгт бид практикт ихэвчлэн гарч ирдэг магадлалын хуулиудыг авч үзэх болно.

Эдгээр тархалтын графикийг STATISTICA-д хялбархан зурж болно.

Хэвийн тархалт

Ердийн магадлалын тархалтыг ялангуяа статистикт ихэвчлэн ашигладаг. Хэвийн тархалт нь бодит ертөнцийн үзэгдлийн сайн загвар болж өгдөг бөгөөд үүнд:

1) мэдээллийн төвийг тойрон бөөгнөрөх хандлага хүчтэй байна;

2) төвөөс эерэг ба сөрөг хазайлт ижил магадлалтай;

3) төвөөс хазайлт ихсэх үед хазайлтын давтамж хурдан буурдаг.

Төвлөрсөн хязгаарын теоремыг ашиглан тайлбарласан хэвийн тархалтын үндсэн механизмыг дараах байдлаар дүрсэлж болно. Та аяга усанд санамсаргүй унагасан цэцгийн тоосонцортой байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Микроскопоор нэг бөөмсийг харахад та гайхалтай үзэгдлийг харах болно - бөөмс хөдөлж байна. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь усны молекулууд хөдөлж, тэдний хөдөлгөөнийг түдгэлзүүлсэн цэцгийн тоосонцор руу дамжуулдаг учраас тохиолддог.

Гэхдээ хөдөлгөөн яг яаж үүсдэг вэ? Энд илүү сонирхолтой асуулт байна. Мөн энэ хөдөлгөөн маш хачин юм!

Усны молекулуудын нөлөөллийн хэлбэрээр бие даасан цэцгийн тоосонцор дээр хязгааргүй олон тооны бие даасан нөлөөлөл байдаг бөгөөд энэ нь бөөмсийг маш хачирхалтай траекторийн дагуу хөдөлгөдөг. Микроскопоор харахад энэ хөдөлгөөн нь олон удаа, эмх замбараагүй эвдэрсэн шугамтай төстэй юм. Эдгээр эвдрэлийг урьдчилан таамаглах боломжгүй бөгөөд тэдгээр нь бөөмс дэх молекулуудын эмх замбараагүй нөлөөлөлтэй яг таарч байна. Усны молекулын цохилтыг санамсаргүй байдлаар мэдэрсэн түдгэлзүүлсэн бөөмс хөдөлгөөний чиглэлээ өөрчилдөг, дараа нь хэсэг хугацаанд инерцээр хөдөлж, дараа нь дараагийн молекулын нөлөөнд дахин унах гэх мэт. Шилэн усанд гайхалтай бильярд гарч ирдэг!

Молекулуудын хөдөлгөөн нь санамсаргүй чиглэл, хурдтай байдаг тул траектор дахь гулзайлтын хэмжээ, чиглэл нь огт санамсаргүй бөгөөд урьдчилан таамаглах аргагүй юм. 19-р зуунд нээгдсэн Брауны хөдөлгөөн гэж нэрлэгддэг энэхүү гайхалтай үзэгдэл нь бидэнд олон зүйлийг эргэцүүлэн бодох боломжийг олгодог.

Хэрэв бид тохирох системийг нэвтрүүлж, тухайн бөөмийн координатыг тодорхой цаг мөчид тэмдэглэвэл ердийн хуулийг олж авна. Илүү нарийвчлалтайгаар молекулын нөлөөллөөс үүссэн цэцгийн тоосонцрын шилжилт нь ердийн хуулийг дагаж мөрдөх болно.

Брауны хэмээх ийм бөөмийн хөдөлгөөний хуулийг анх удаа А.Эйнштейн хатуу чанга физикийн түвшинд дүрсэлсэн байдаг. Дараа нь Ленжеван илүү энгийн бөгөөд ойлгомжтой аргыг боловсруулсан.

20-р зууны математикчид энэ онолд хамгийн сайн хуудсаа зориулж байсан бөгөөд 300 жилийн өмнө төвийн хязгаарын теоремын хамгийн энгийн хувилбарыг нээсэн анхны алхамыг хийсэн.

Магадлалын онолд төв хязгаарын теорем нь анх 17-р зуунд Ж. Бернуллигийн (1654-1705) алдартай их тооны хуулийн боловсруулалт гэж Мойвр, Лаплас нарын томъёололд мэдэгдэж байсан (Ж. Бернулли (1713) үзнэ үү). , Ars Conjectandi) нь одоогоор маш их хөгжиж, оргилдоо хүрсэн. Инвариант байдлын орчин үеийн зарчимд Оросын математикийн сургууль ихээхэн үүрэг гүйцэтгэсэн. Энэ зарчмаар Брауны бөөмийн хөдөлгөөн өөрийн хатуу математик тайлбарыг олдог.

Санаа нь олон тооны бие даасан хэмжигдэхүүнийг (тоосон тоосонцор дээрх молекулуудын мөргөлдөөн) нэгтгэн дүгнэхэд тодорхой боломжийн нөхцөлд хэвийн тархсан хэмжигдэхүүнүүдийг олж авдаг. Энэ нь бие даасан байдлаар, өөрөөр хэлбэл анхны утгуудын хуваарилалтаас өөрчлөгддөггүй. Өөрөөр хэлбэл, тодорхой хувьсагчид олон хүчин зүйл нөлөөлж байвал эдгээр нөлөөлөл нь бие даасан, харьцангуй бага, нийлбэр нь бие биендээ нийлдэг бол үүссэн утга нь хэвийн тархалттай байна.

Жишээлбэл, бараг хязгааргүй олон хүчин зүйл нь хүний ​​жинг тодорхойлдог (мянган ген, урьдач байдал, өвчин гэх мэт). Тиймээс бүх хүмүүсийн популяцид жингийн хэвийн хуваарилалтыг хүлээх болно.

Хэрэв та санхүүч бөгөөд хөрөнгийн зах зээл дээр тоглодог бол хувьцааны үнэ броуны тоосонцор шиг аашилж, олон хүчин зүйлээс эмх замбараагүй нөлөө үзүүлдэг тохиолдлуудыг та мэднэ.

Албан ёсоор хэвийн тархалтын нягтыг дараах байдлаар бичнэ.

a ба õ 2 нь тухайн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж ба дисперс гэж тус тус тайлбарласан хуулийн параметрүүд юм (хэвийн тархалтын онцгой үүрэг учир бид түүний нягтын функц ба тархалтын функцийг тусгай тэмдэгтээр тэмдэглэнэ). Харааны хувьд хэвийн нягтын график нь алдартай хонх хэлбэртэй муруй юм.

Хэвийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний (a,õ 2) харгалзах тархалтын функцийг Ф(x; a,õ 2) гэж тэмдэглээд дараах харьцаагаар өгөгдөнө.

a = 0 ба õ 2 = 1 параметртэй хэвийн хуулийг стандарт гэж нэрлэдэг.

z, 0 утгад хамаарах стандарт хэвийн тархалтын урвуу функц

STATISTICA-ийн магадлалын тооцоолуур ашиглан x ба эсрэгээр z-ийг тооцоолно уу.

Ердийн хуулийн үндсэн шинж чанарууд:

Дундаж, горим, медиан: E=x mod =x med =a;

Тархалт: D=õ 2 ;

Тэгш бус байдал:

Илүүдэл:

Томьёогоос харахад хэвийн тархалтыг хоёр параметрээр дүрсэлсэн нь тодорхой байна.

a - дундаж - дундаж;

õ - стандарт хазайлт - стандарт хазайлт, уншина уу: "сигма".

Заримдаа хамт стандарт хазайлтыг стандарт хазайлт гэж нэрлэдэг, гэхдээ энэ нь аль хэдийн хоцрогдсон нэр томъёо юм.

Хэвийн тархалтын талаар зарим хэрэгтэй баримтуудыг энд оруулав.

Дундаж утга нь нягтын байршлын хэмжүүрийг тодорхойлдог. Хэвийн тархалтын нягт нь дундажтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Хэвийн тархалтын дундаж нь медиан ба горимтой давхцдаг (графикийг харна уу).

1-р хэлбэлзэлтэй ба дундаж 1-тэй хэвийн тархалтын нягт

Дундаж 0, дисперс 0.01-тэй хэвийн тархалтын нягт

Дундаж 0 ба дисперс 4-тэй хэвийн тархалтын нягт

Тархалт ихсэх тусам хэвийн тархалтын нягт нь OX тэнхлэгийн дагуу тархах эсвэл тархах үед тархалт буурах үед энэ нь эсрэгээрээ агшиж, нэг цэгийн эргэн тойронд төвлөрдөг - дундаж утгатай давхцах хамгийн их утгын цэг; . Тэг вариацын хязгаарлагдмал тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүн доройтож, дундаж утгатай тэнцүү нэг утгыг авна.

Хэвийн тархалттай холбоотой 2 ба 3 сигма буюу 2 ба 3 стандарт хазайлтын дүрмийг мэдэх нь олон төрлийн хэрэглээнд хэрэглэгддэг. Эдгээр дүрмийн утга нь маш энгийн.

Хэрэв дундаж цэгээс эсвэл хэвийн тархалтын хамгийн их нягтын цэгээс бид баруун ба зүүн тийш хоёр ба гурван стандарт хазайлт (2 ба 3-сигма) тавьдаг бол Энэ интервалаас тооцсон хэвийн нягтын график доорх талбай нь график доорх нийт талбайн 95.45% ба 99.73% -тай тэнцүү байх болно (STATISTICA магадлалын тооцоолуур дээр шалгана уу!).

Өөрөөр хэлбэл, үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: Хэсгийн хэмжээ эсвэл хувьцааны үнэ гэх мэт энгийн популяцид бие даасан бүх ажиглалтын 95.45% ба 99.73% нь дунджаас 2 ба 3 стандарт хазайлт дотор байна.

Нэг төрлийн хуваарилалт

Нэг төрлийн тархалт нь утга тус бүр нь ижил магадлалтай хувьсах хэмжигдэхүүнийг тайлбарлахад ашигтай байдаг, өөрөөр хэлбэл хувьсагчийн утгууд нь зарим бүс нутагт жигд тархсан байдаг.

[a, b] интервалын утгыг авах нэгэн жигд санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягтрал ба тархалтын функцийн томъёог доор харуулав.

Эдгээр томъёоноос нэг төрлийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь олонлогоос утгыг авах магадлалыг ойлгоход хялбар байдаг. [c, d] [a, b], тэнцүү (d - c)/(b - a).

тавья a=0,b=1. Доорх нь сегмент дээр төвлөрсөн жигд магадлалын нягтын график юм.

Нэгдмэл хуулийн тоон шинж чанарууд:

Экспоненциал тархалт

Өдөр тутмын хэлээр ховор тохиолддог үйл явдлууд тохиолддог. Хэрэв T нь X эрчимтэй дунджаар тохиолдох ховор тохиолдлуудын хоорондох хугацаа бол утга
T нь параметр (lambda) бүхий экспоненциал тархалттай. Экспоненциал тархалтыг ихэвчлэн санамсаргүй тохиолдлуудын хоорондох завсарлага, тухайлбал, түгээмэл бус вэбсайт руу зочлох хоорондын зайг тодорхойлоход ашигладаг, учир нь эдгээр зочлолт нь ховор тохиолддог.

Энэхүү тархалт нь Оросын нэрт математикч А.А.Марковын хүндэтгэлд зориулж хожмын үр дагаваргүй, эсвэл тэдний хэлснээр Марковын шинж чанартай маш сонирхолтой шинж чанартай бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тайлбарлаж болно. Хэрэв тодорхой үйл явдал тохиолдох мөчүүдийн хоорондох хуваарилалт нь шинж тэмдэг юм бол тархалтыг ямар ч мөчөөс эхлэн тоолно. t дараагийн үйл явдал хүртэл, мөн экспоненциал тархалттай (ижил параметртэй).

Өөрөөр хэлбэл, ховор тохиолдлын урсгалын хувьд дараагийн зочдыг хэр удаан хүлээснээс үл хамааран хүлээх хугацаа нь үргэлж экспоненциал байдлаар тархдаг.

Экспоненциал тархалт нь Пуассоны тархалттай холбоотой: нэгж хугацааны интервалд үйл явдлын тоо, хоорондын интервалууд нь бие даасан, экспоненциал тархалттай байдаг нь Пуассоны тархалттай байдаг. Хэрэв сайтад зочлох хоорондын зай нь экспоненциал тархалттай бол, жишээ нь нэг цагийн дотор зочилсон тоог Пуассоны хуулийн дагуу хуваарилдаг.

Экспоненциал тархалт нь Вейбуллийн тархалтын онцгой тохиолдол юм.

Хэрэв цаг хугацаа тасралтгүй биш, харин салангид байвал экспоненциал тархалтын аналог нь геометрийн тархалт юм.

Экспоненциал тархалтын нягтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Энэ хуваарилалт нь зөвхөн нэг параметртэй бөгөөд энэ нь түүний шинж чанарыг тодорхойлдог.

Экспоненциал тархалтын нягтын график дараах байдалтай байна.

Экспоненциал тархалтын үндсэн тоон шинж чанарууд:

Эрлангийн хуваарилалт

Энэхүү тасралтгүй тархалт нь (0,1) дээр төвлөрсөн бөгөөд нягтралтай байна:

Хүлээлт ба хэлбэлзэл нь тэнцүү байна

Эрлангийн тархалтыг дараалал, утасны онолын асуудалд анх ашигласан А.Эрлангийн нэрээр нэрлэсэн.

µ ба n параметртэй Эрлангийн тархалт нь nµ параметртэй экспоненциал тархалттай, бие даасан, ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний n нийлбэрийн тархалт юм.

At n = 1 Эрлангийн тархалт нь экспоненциал эсвэл экспоненциал тархалттай ижил байна.

Лапласын тархалт

Лапласын нягтын функц буюу давхар экспоненциалыг жишээлбэл, регрессийн загварт алдааны тархалтыг тодорхойлоход ашигладаг. Энэ тархалтын графикийг харвал энэ нь OY тэнхлэгт тэгш хэмтэй хоёр экспоненциал тархалтаас бүрдэхийг харах болно.

Хэрэв байрлалын параметр 0 бол Лапласын тархалтын нягтын функц дараах хэлбэртэй байна.

Байршлын параметрийг тэг гэж үзвэл энэхүү тархалтын хуулийн үндсэн тоон шинж чанарууд нь дараах байдалтай байна.

Ерөнхийдөө Лапласын тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

a нь хуваарилалтын дундаж; b - масштабын параметр; e - Эйлерийн дугаар (2.71...).

Гамма тархалт

Экспоненциал тархалтын нягт нь 0 цэгт горимтой байдаг бөгөөд энэ нь заримдаа практик хэрэглээнд тохиромжгүй байдаг. Олон жишээн дээр авч үзэж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим 0-тэй тэнцүү биш гэдгийг урьдчилж мэддэг, жишээлбэл, цахим худалдааны дэлгүүрт үйлчлүүлэгчид ирэх эсвэл вэбсайт руу зочлох хоорондын зай нь тодорхой горимтой байдаг. Ийм үйл явдлыг загварчлахын тулд гамма тархалтыг ашигладаг.

Гамма тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Энд Г нь Эйлерийн Г-функц, a > 0 нь “хэлбэрийн” параметр, b > 0 нь масштабын параметр юм.

Тодорхой тохиолдолд бид Эрлангийн тархалт ба экспоненциал тархалттай.

Гамма тархалтын үндсэн шинж чанарууд:

Доорх нь масштабын параметр нь 1, хэлбэрийн параметр нь 3 ба 5-тай гамма нягтын хоёр график юм.

Гамма тархалтын ашигтай шинж чанар: дурын тооны бие даасан гамма тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр (ижил масштабын параметртэй b)

(a l ,b) + (a 2 ,b) + --- +(a n ,b) нь мөн гамма тархалтад захирагдах боловч a 1 + a 2 + + a n ба b параметртэй.

Логнормаль тархалт

h санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг натурал логарифм (lnh) нь хэвийн тархалтын хуульд захирагддаг бол логарифмын хэвийн буюу логнормаль гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, орлого, шинээр гэрлэсэн хүмүүсийн нас, хүнсний бүтээгдэхүүн дэх хортой бодисын стандартаас зөвшөөрөгдөх хазайлт зэрэг хувьсагчдыг загварчлахад логнормаль тархалтыг ашигладаг.

Тэгэхээр, хэрэв үнэ цэнэ x нь хэвийн тархалттай, дараа нь утга байна y = e x нь Логнормаль тархалттай.

Хэрэв та норм утгыг илтгэгчийн зэрэгт орлуулбал ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь давтан нийлбэрийн үр дүн болдог шиг логнормаль утга нь бие даасан хувьсагчдыг олон дахин үржүүлсний үр дүн гэдгийг төвөггүй ойлгож болно.

Логнормаль тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Логнормаль тархалтын үндсэн шинж чанарууд:

Хи квадратын тархалт

Дундаж 0 ба дисперс 1-тэй бие даасан m хэвийн хувьсагчийн квадратуудын нийлбэр нь m эрх чөлөөний зэрэгтэй хи-квадрат тархалттай байна. Энэ хуваарилалтыг өгөгдөлд дүн шинжилгээ хийхэд ихэвчлэн ашигладаг.

Албан ёсоор, m эрх чөлөөний зэрэгтэй сайн квадрат тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна.

Сөрөг байдлын хувьд x нягт нь 0 болно.

Хи квадрат тархалтын үндсэн тоон шинж чанарууд:

Нягтын графикийг доорх зурагт үзүүлэв.

Бином тархалт

Дуран тархалт нь хэдхэн цэгт төвлөрдөг хамгийн чухал дискрет тархалт юм. Хоёр нэрийн тархалт нь эдгээр цэгүүдэд эерэг магадлалыг өгдөг. Иймээс бином тархалт нь тус тусад нь сонгосон цэгүүдэд тэг магадлалыг өгдөг тасралтгүй тархалтаас (хэвийн, хи-квадрат гэх мэт) ялгаатай бөгөөд тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Дараах тоглоомыг авч үзээд дуран тархалтыг илүү сайн ойлгож чадна.

Та зоос шидэж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Төрийн сүлд унах магадлал байгаасай p ба толгойнууд буух магадлал байна q = 1 - p (зоос нь тэгш хэмт бус байх үед бид хамгийн ерөнхий тохиолдлыг авч үзэж байна, жишээлбэл, хүндийн төвийг нүүлгэн шилжүүлсэн - зоосонд нүх байдаг).

Сүлд буух нь амжилтад тооцогдох бол сүүл буух нь бүтэлгүйтсэнд тооцогдоно. Дараа нь зурсан толгойн (эсвэл сүүлний) тоо нь бином тархалттай байна.

Тэгш хэмт бус зоос эсвэл жигд бус шоо зэргийг авч үзэх нь практик сонирхолтой гэдгийг анхаарна уу. Ж.Нейманн “Магадлал ба математикийн статистикийн онолын танилцуулга” хэмээх гоёмсог номондоо тэмдэглэснээр, үхрийн цэгийн давтамж нь үхрийн өөрийнх нь шинж чанараас хамаардаг бөгөөд үүнийг зохиомлоор өөрчлөх боломжтой гэдгийг хүмүүс эртнээс таамаглаж ирсэн. Археологичид фараоны булшнаас хоёр хос шоо олжээ: "шударга" - бүх тал нь унах магадлалтай, худал нь - хүндийн төвийг зориудаар шилжүүлсэн нь зургаа унах магадлалыг нэмэгдүүлсэн.

Дуран тархалтын параметрүүд нь амжилтанд хүрэх магадлал юм p (q = 1 - p) ба туршилтын тоо n.

Дуран тархалт нь санамсаргүй түүврээр сонгогдсон компаниудын эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүсийн тоо гэх мэт бином үйл явдлын тархалтыг тодорхойлоход хэрэгтэй. Тоглоомын асуудалд бином тархалтыг ашиглах нь онцгой ач холбогдолтой юм.

Амжилтанд хүрэх магадлал m-ийн нарийн томъёо n туршилтыг дараах байдлаар бичнэ.

p-амжилтанд хүрэх магадлал

q нь 1-p, q>=0, p+q==1-тэй тэнцүү

n- туршилтын тоо, м =0.1...м

Бином тархалтын үндсэн шинж чанарууд:

Туршилтын янз бүрийн тоо n ба амжилтын магадлал p-ийн энэхүү тархалтын график дараах хэлбэртэй байна.

Бином тархалт нь хэвийн ба Пуассон тархалттай холбоотой (доороос харна уу); тодорхой параметрийн утгууд болон олон тооны туршилтуудын хувьд энэ нь эдгээр хуваарилалт болж хувирдаг. Үүнийг STATISTICA ашиглан харуулахад хялбар байдаг.

Жишээ нь, параметр бүхий бином тархалтын графикийг авч үзэх p = 0.7, n = 100 (зураг харна уу), бид STATISTICA BASIC ашигласан - график нь хэвийн тархалтын нягттай маш төстэй байгааг харж болно (энэ нь үнэхээр юм!).

Параметр бүхий бином тархалтын график p=0.05, n=100 нь Пуассоны тархалтын графиктай маш төстэй.

Өмнө дурьдсанчлан, хоёр нэрийн тархалт нь шударга зоос шидэх хамгийн энгийн боломжийн тоглоомын ажиглалтаас үүдэлтэй юм. Ихэнх тохиолдолд энэ загвар нь илүү төвөгтэй тоглоомууд болон хувьцааны арилжаанд тохиолддог санамсаргүй үйл явцын хувьд сайн анхны ойролцоололт болж өгдөг. Олон нарийн төвөгтэй процессуудын үндсэн шинж чанаруудыг энгийн бином загвараас ойлгож болох нь гайхалтай юм.

Жишээлбэл, дараах нөхцөл байдлыг авч үзье.

Сүлд алдсаныг 1, сүүл алдсаныг хасах 1 гэж тэмдэглэж, дараалсан оноогоор хожсон, ялагдлаа нэгтгэн дүгнэнэ. Графикууд нь 1000 шидэлт, 5000 шидэлт, 10 000 шидэлтийн ийм тоглоомын ердийн замыг харуулж байна. Удаан хугацааны туршид замнал хэрхэн тэгээс дээш эсвэл доогуур байгааг анзаараарай, өөрөөр хэлбэл, бүрэн шударга тоглолтонд тоглогчдын аль нэг нь ялах хугацаа маш урт, хожихоос ялагдах руу шилжих шилжилт харьцангуй ховор, мөн "Үнэхээр шударга тоглоом" гэсэн илэрхийлэл нь ид шидийн шившлэг шиг сонсогддог бэлтгэлгүй оюун ухаанд үүнийг эвлэрэхэд хэцүү байдаг. Тиймээс, тоглоом нь нөхцөл байдлын хувьд шударга боловч ердийн замналын зан байдал нь шударга бус бөгөөд тэнцвэрт байдлыг харуулдаггүй!

Мэдээжийн хэрэг, энэ баримтыг бүх тоглогчид мэддэг бөгөөд тоглогч хожсон мөнгөө орхихыг зөвшөөрдөггүй, харин цааш тоглохыг албаддаг.

Нэг тоглогч ялах (0-ээс дээш зам), хоёр дахь тоглогч ялагдах (0-ээс доош замнал) шидэлтийн тоог авч үзье. Өнгөц харахад ийм шидэлтийн тоо ойролцоогоор ижил байна. Гэсэн хэдий ч (сонирхолтой номыг үзнэ үү: Феллер В. "Магадлалын онол ба түүний хэрэглээ" танилцуулга. Москва: Мир, 1984, 106-р хуудас) 10,000 шидэлттэй зоос (өөрөөр хэлбэл Бернуллигийн туршилтын хувьд). p = q = 0.5, n=10,000) талуудын аль нэг нь 9930-аас дээш туршилтанд тэргүүлэгч байх магадлал, хоёр дахь нь 70-аас бага бол 0.1-ээс давсан.

Гайхалтай нь, 10,000 шударга зоос шидсэн тоглолтонд манлайлагч хамгийн ихдээ 8 удаа солигдох магадлал 0.14-ээс их, 78-аас дээш удаа удирдагч солигдох магадлал ойролцоогоор 0.12 байна.

Тиймээс, бидэнд парадоксик нөхцөл байдал бий: тэгш хэмтэй Бернулли алхах үед дараалсан тэг өгөөжийн хоорондох график дээрх "долгионууд" (графикуудыг харна уу) гайхалтай урт байж болно. Үүнтэй холбоотой өөр нэг нөхцөл байдал, тухайлбал, тэр нь T n / n (график нь x тэнхлэгээс дээш байх үеийн хэсэг) хамгийн бага магадлалтай нь 1/2-тэй ойролцоо утгууд юм.

Математикчид арксинус гэж нэрлэгддэг хуулийг нээсэн бөгөөд үүний дагуу 0 тутамд< а <1 вероятность неравенства , где Т n - число шагов, в течение которых первый игрок находится в выигрыше, стремится к

Арксинусын тархалт

Энэхүү тасралтгүй тархалт нь (0, 1) интервал дээр төвлөрсөн бөгөөд нягтралтай байна:

Арксинусын тархалт нь санамсаргүй алхалттай холбоотой. Энэ нь тэгш хэмтэй зоос, өөрөөр хэлбэл ижил магадлалтай зоос шидэх үед эхний тоглогч хожсон хугацааны хуваарилалт юм. S үсэг нь сүлд, сүүл дээр унасан байдаг. Өөр нэг байдлаар, ийм тоглоомыг тэгээс эхлэн баруун тийш эсвэл зүүн тийшээ нэг үсрэлт хийх магадлалтай бөөмийн санамсаргүй алхалт гэж үзэж болно. Бөөмийн үсрэлт - толгой эсвэл сүүл унах нь адилхан магадлалтай тул ийм алхалтыг ихэвчлэн тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Хэрэв магадлал өөр байсан бол бид тэгш бус алхах болно.

Арксинусын тархалтын нягтын графикийг дараах зурагт үзүүлэв.

Хамгийн сонирхолтой зүйл бол графикийн чанарын тайлбар бөгөөд үүнээс та шударга тоглолтын дараалсан ялалт, ялагдлын талаар гайхалтай дүгнэлт хийж болно. Графикийг харахад хамгийн бага нягт нь тухайн цэг дээр байгааг харж болно 1/2. "Тэгээд юу?!" - чи асууж байна. Гэхдээ хэрэв та энэ ажиглалтын талаар бодох юм бол таны гайхшрал хязгааргүй болно! Тоглоомыг шударга гэж тодорхойлсон хэдий ч энэ нь анх харахад тийм ч шударга биш юм.

Бөөм эерэг ба сөрөг хагас тэнхлэгт, өөрөөр хэлбэл тэгээс баруун эсвэл зүүн тийш тэнцүү цаг зарцуулдаг тэгш хэмтэй санамсаргүй траекторууд нь хамгийн бага магадлалтай байдаг. Тоглогчдын хэл рүү шилжих юм бол тэгш хэмтэй зоос шидэх үед тоглогчид хожиж, хожигдох тэнцүү цаг зарцуулдаг тоглоомууд хамгийн бага магадлалтай гэж хэлж болно.

Эсрэгээр, нэг тоглогч ялах, нөгөө нь хожигдох магадлал илүү өндөр байдаг тоглоомууд хамгийн өндөр магадлалтай байдаг. Гайхалтай парадокс!

Эхний тоглогч ялах t хугацааны хэсэг нь хоёрын хооронд байх магадлалыг тооцоолохын тулд t1 хүртэл t2, түгээлтийн функцийн утгаас шаардлагатай F(t2) F(t1) түгээлтийн функцийн утгыг хасна.

Албан ёсоор бид дараахь зүйлийг авна.

P(t1

Энэ баримт дээр үндэслэн 10,000 алхмаар бөөмс эерэг талдаа 9930 гаруй удаа 0.1 магадлалаар үлддэгийг STATISTICA ашиглан тооцоолж болно, өөрөөр хэлбэл ойролцоогоор нэг тохиолдолд ийм байрлал ажиглагдах болно. 10-аас (хэдийгээр харахад утгагүй мэт санагдаж байна; "Магадлал ба математикийн статистик" нэвтэрхий толь дахь Ю. В. Прохоровын "Бернуллигийн эрэл хайгуул" хэмээх гайхалтай тэмдэглэлийг үзнэ үү, хуудас 42-43, М.: Оросын том нэвтэрхий толь, 1999 он. ) .

Сөрөг бином тархалт

Энэ нь бүхэл тоон цэгүүдэд хуваарилах салангид хуваарилалт юм k = 0,1,2,... магадлал:

p k =P(X=k)=C k r+k-1 p r (l-p) k ", энд 0<р<1,r>0.

Сөрөг binomial тархалт нь олон хэрэглээнд байдаг.

Ерөнхийдөө r > 0 бол сөрөг бином тархалтыг Бернулли тестийн схемд r-р "амжилт"-ыг хүлээх хугацааны хуваарилалт "амжилт"-ын магадлал гэж тайлбарладаг. p, жишээ нь, хоёр дахь эмблемийг зурахаас өмнө хийх ёстой өнхрөх тоо, энэ тохиолдолд үүнийг заримдаа Паскал тархалт гэж нэрлэдэг бөгөөд гамма тархалтын салангид аналог юм.

At r = 1 сөрөг бином тархалт нь геометрийн тархалттай давхцдаг.

Хэрэв Y нь санамсаргүй параметртэй Пуассон тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд энэ нь эргээд нягтралтай гамма тархалттай байна.

Дараа нь U параметртэй сөрөг бином тархалттай байх болно;

Пуассоны тархалт

Пуассоны тархалтыг заримдаа ховор тохиолдлын тархалт гэж нэрлэдэг. Пуассоны хуулийн дагуу хуваарилагдсан хувьсагчдын жишээ нь: ослын тоо, үйлдвэрлэлийн процесст гарсан согогийн тоо гэх мэт. Пуассоны тархалтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Пуассоны санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн шинж чанарууд:

Пуассоны тархалт нь экспоненциал тархалт ба Бернуллигийн тархалттай холбоотой.

Хэрэв үйл явдлын тоо Пуассоны тархалттай бол үйл явдлын хоорондын интервал нь экспоненциал эсвэл экспоненциал тархалттай байна.

Пуассоны тархалтын график:

5-р параметртэй Пуассоны тархалтын графикийг p=q=0.5,n=100 үед Бернулли тархалтын графиктай харьцуул.

Графикууд маш төстэй байгааг та харах болно. Ерөнхий тохиолдолд дараах загвар байдаг (жишээлбэл, маш сайн номыг үзнэ үү: Ширяев А.Н. "Магадлал." Москва: Наука, х. 76): хэрвээ Бернулли тестүүд n нь том утгыг авдаг бол амжилтанд хүрэх магадлал / ? харьцангуй бага учир амжилтын дундаж тоо (бүтээгдэхүүн ба нар) бага ч биш, их ч биш, тэгвэл n, p параметртэй Бернулли тархалтыг = np параметртэй Пуассоны тархалтаар сольж болно.

Пуассоны тархалтыг практикт, жишээлбэл, чанарын хяналтын графикт ховор тохиолдлын хуваарилалт болгон өргөн ашигладаг.

Өөр нэг жишээ болгон, телефон утасны шугамтай холбоотой дараах асуудлыг авч үзье, практикт авч үзнэ үү (үзнэ үү: Feller V. Introduction to theory of probability and its application. Москва: Мир, 1984, х. 205, түүнчлэн Молина Е. С. (1935). Инженерийн магадлал, Цахилгааны инженерчлэл, 54, х 423-427 Bell телефоны систем Техникийн бүтээлүүд Монограф Б-854). Энэ даалгаврыг орчин үеийн хэл рүү, жишээлбэл, хөдөлгөөнт холбооны хэл рүү хялбархан орчуулж болох бөгөөд үүнийг сонирхсон уншигчдыг хийхийг урьж байна.

Асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон. А ба В гэсэн хоёр утасны станц байг.

А телефоны станц 2000 хэрэглэгч болон В биржийн хооронд холбоо барих ёстой.Харилцааны чанар нь 100 дуудлагаас 1 нь л шугам чөлөөтэй болтол хүлээдэг байх ёстой.

Асуулт нь: харилцаа холбооны өгөгдсөн чанарыг хангахын тулд хэдэн утасны шугам суурилуулах шаардлагатай вэ? Мэдээжийн хэрэг, 2000 мөр үүсгэх нь тэнэг хэрэг, учир нь тэдний олонх нь удаан хугацаанд чөлөөтэй байх болно. Зөн совингийн үүднээс авч үзвэл N шугамын оновчтой тоо байгаа нь тодорхой байна. Энэ тоог хэрхэн тооцоолох вэ?

Захиалагчийн сүлжээнд нэвтрэх эрчмийг тодорхойлсон бодит загвараас эхэлцгээе, загварын үнэн зөвийг мэдээж статистикийн стандарт шалгуурыг ашиглан шалгаж болно гэдгийг тэмдэглэе.

Тиймээс, захиалагч бүр цагт дунджаар 2 минут шугам ашигладаг бөгөөд захиалагчдын холболтууд бие даасан байна гэж бодъё (Гэхдээ Феллерийн зөвөөр тэмдэглэснээр, бүх захиалагчдад нөлөөлөх ямар нэг үйл явдал тохиолдохгүй бол сүүлийнх нь тохиолддог, жишээлбэл, дайн эсвэл. хар салхи).

Дараа нь бидэнд 2000 Бернулли туршилт (зоос шидэх) эсвэл амжилттай байх магадлалтай сүлжээний холболтууд p=2/60=1/30 байна.

N-ээс олон хэрэглэгч нэгэн зэрэг сүлжээнд холбогдсон байх магадлал 0.01-ээс хэтрэхгүй байхаар N-г олох хэрэгтэй. Эдгээр тооцоог STATISTICA системд хялбархан шийдэж болно.

STATISTICA ашиглан асуудлыг шийдэж байна.

Алхам 1.Модулийг нээнэ үү Үндсэн статистик. 110 ажиглалт агуулсан binoml.sta файл үүсгэ. Эхний хувьсагчийг нэрлэнэ үү ХОЁС, хоёр дахь хувьсагч - ХОР.

Алхам 2. ХОЁС, цонхыг нээнэ үү Хувьсагч 1(зураг харна уу). Зурагт үзүүлсэн шиг томьёог цонхонд оруулна. товчийг дарна уу OK.

Алхам 3.Гарчиг дээр давхар товшино уу ХОР, цонхыг нээнэ үү Хувьсагч 2(зураг харна уу)

Зурагт үзүүлсэн шиг томьёог цонхонд оруулна. Бид Пуассоны тархалтын параметрийг томъёогоор тооцоолж байгааг анхаарна уу =n×p. OK.

Тиймээс = 2000 × 1/30. товчийг дарна уу

STATISTICA нь магадлалыг тооцоолж, үүсгэсэн файлд бичнэ.Алхам 4.

Ажиглалтын дугаар 86 руу гүйлгэж үзнэ үү. Хэрэв хоёр тоот тархалтыг ашиглавал нэг цагийн дотор сүлжээний 2000 хэрэглэгчээс 86 ба түүнээс дээш нэгэн зэрэг хэрэглэгч байх магадлал 0.01347 болохыг харах болно.

Сүлжээний 2000 хэрэглэгчээс 86 ба түүнээс дээш хүн нэг цагт нэгэн зэрэг ажиллах магадлал нь Пуассоны ойролцоолсон хоёр тоот тархалтыг ашиглан 0.01293 байна.

Бидэнд 0.01-ээс ихгүй магадлал хэрэгтэй тул шаардлагатай харилцааны чанарыг хангахад 87 шугам хангалттай байх болно.

Хоёрномын тархалтын ердийн ойролцооллыг ашиглан ижил төстэй үр дүнг авч болно (үүнийг шалгаарай!).

В.Феллерийн мэдэлд STATISTICA систем байгаагүй бөгөөд хоёр нэрийн болон хэвийн тархалтын хүснэгтүүдийг ашигласан болохыг анхаарна уу.

Хэрэглэгчдийг бүлгүүдэд хуваахад ижил чанарын түвшинд хүрэхийн тулд нэмэлт 10 мөр шаардлагатай болно.

Та мөн өдрийн турш сүлжээний холболтын эрчмийн өөрчлөлтийг анхаарч үзэх боломжтой.

Геометрийн тархалт

Хэрэв Бернуллигийн бие даасан туршилтыг хийж, дараагийн "амжилт" хүртэлх туршилтын тоог тоолох юм бол энэ тоо нь геометрийн тархалттай байна. Тиймээс, хэрэв та зоос шидэх юм бол дараагийн сүлд гарч ирэхээс өмнө хэдэн шидэх ёстой нь геометрийн хуульд захирагдана.

Геометрийн тархалтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

F(x) = p(1-p) x-1

p - амжилтанд хүрэх магадлал, x = 1, 2,3...

Тархалтын нэр нь геометрийн прогресстой холбоотой.

Тиймээс геометрийн тархалт нь тодорхой алхам дээр амжилтанд хүрэх магадлалыг тодорхойлдог.

Геометрийн тархалт нь экспоненциал тархалтын салангид аналог юм. Хэрэв цаг хугацаа квантаар өөрчлөгддөг бол цаг мөч бүрт амжилтанд хүрэх магадлалыг геометрийн хуулиар тодорхойлдог. Хэрэв цаг хугацаа тасралтгүй байвал магадлалыг экспоненциал эсвэл экспоненциал хуулиар тодорхойлно.

Гипергеометрийн тархалт

Энэ нь m = 0, 1,2,...,n бүхэл тоон утгыг магадлал бүхий X санамсаргүй хэмжигдэхүүний дискрет тархалт юм.

Энд N, M ба n нь сөрөг бус бүхэл тоо ба M< N, n < N.

Гипергеометрийн тархалт нь ихэвчлэн солихгүйгээр сонголттой холбоотой байдаг бөгөөд жишээлбэл, M хар, N - M цагаан зэрэг N бөмбөлөг агуулсан популяциас n хэмжээтэй санамсаргүй түүврээс яг m хар бөмбөг олох магадлалыг тодорхойлдог (харна уу. Жишээ нь, "Магадлал" нэвтэрхий толь ба математикийн статистик, М.: Оросын агуу нэвтэрхий толь, 144-р хуудас).

Гипергеометрийн тархалтын математик хүлээлт нь N-ээс хамаарахгүй бөгөөд харгалзах бином тархалтын μ=np математик хүлээлттэй давхцаж байна.

Гипергеометрийн тархалтын хэлбэлзэл бином тархалтын дисперсээс хэтрэхгүй npq. Гипергеометрийн тархалтын аль ч дарааллын моментуудад бином тархалтын моментуудын харгалзах утгуудад хандах хандлагатай байдаг.

Энэхүү хуваарилалт нь чанарын хяналтын програмуудад маш их тохиолддог.

Олон гишүүнт тархалт

Олон гишүүнт буюу олон гишүүнт тархалт нь уг тархалтыг ерөнхийд нь илэрхийлдэг. Зоосыг хоёр үр дүнтэй (толгой эсвэл сүлд) шидэх үед хоёр нэрийн тархалт үүсдэг бол олон гишүүнт тархалт нь үхрийг өнхрүүлэх үед үүсдэг ба хоёроос илүү үр дүн гарах боломжтой. Албан ёсоор энэ нь n 1 + ... + n k = нөхцлийг хангасан n 1,...,n k сөрөг бус бүхэл тоон утгыг авч X 1,...,X k санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын хамтарсан тархалт юм. n, магадлал бүхий:

"Олон гишүүнт тархалт" гэсэн нэрийг олон гишүүнт (p 1 + ... + p k) n тэлэх үед олон гишүүнт магадлал үүсдэгтэй холбон тайлбарладаг.

Бета түгээлт

Бета тархалт нь дараах хэлбэрийн нягтралтай байна.

Стандарт бета тархалт нь 0-ээс 1 хүртэлх интервал дээр төвлөрдөг. Шугаман хувиргалтыг ашиглан бета утгыг ямар ч интервал дээр утгыг авахаар хувиргаж болно.

Бета тархалттай хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарууд:

Хэт их утгын хуваарилалт

Хэт их утгын тархалт (I төрөл) нь дараахь хэлбэрийн нягтралтай байна.

Энэ тархалтыг заримдаа хэт үнэ цэнийн тархалт гэж нэрлэдэг.

Хэт их утгын хуваарилалтыг онцгой нөхцөл байдлын загварчлалд ашигладаг, жишээлбэл, үерийн түвшин, эргэлтийн хурд, тухайн жилийн хөрөнгийн зах зээлийн индексийн дээд хэмжээ гэх мэт.

Энэ хуваарилалтыг найдвартай байдлын онолд, жишээлбэл, цахилгаан хэлхээний эвдрэлийн хугацааг тодорхойлох, түүнчлэн актуар тооцоонд ашигладаг.

Рэйлигийн хуваарилалт

Рэйлигийн тархалт нь дараах хэлбэрийн нягтралтай байна.

энд b нь масштабын параметр юм.

Рэйлигийн тархалт нь 0-ээс хязгааргүй хүртэлх мужид төвлөрдөг. 0 утгын оронд STATISTICA нь босго параметрийн өөр утгыг оруулах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь Rayleigh тархалтыг тохируулахаас өмнө анхны өгөгдлөөс хасагдах болно. Тиймээс босго параметрийн утга нь ажиглагдсан бүх утгаас бага байх ёстой.

Хэрэв 1 ба 2 хоёр хувьсагч нь бие биенээсээ хамааралгүй бөгөөд ижил дисперстэй хэвийн тархсан бол хувьсагч Рэйлигийн тархалттай байх болно.

Жишээлбэл, буудлагын онолд Рэйлигийн тархалтыг ашигладаг.

Вейбуллийн тархалт

Weibull тархалтыг Шведийн судлаач Валодди Вейбуллийн нэрээр нэрлэсэн бөгөөд тэрээр энэхүү хуваарилалтыг найдвартай байдлын онолын янз бүрийн хэлбэрийн бүтэлгүйтлийн хугацааг тодорхойлоход ашигласан.

Албан ёсоор Вейбуллийн тархалтын нягтыг дараах байдлаар бичнэ.

Заримдаа Вейбуллийн тархалтын нягтыг дараах байдлаар бичдэг.

B - масштабын параметр;

C - хэлбэрийн параметр;

E нь Эйлерийн тогтмол (2.718...).

Байршлын параметр. Ерөнхийдөө Weibull тархалт нь 0-ээс хязгааргүй хүртэлх хагас тэнхлэгт төвлөрдөг. Хэрэв 0-ийн хилийн оронд практикт ихэвчлэн шаардлагатай байдаг a параметрийг оруулбал гурван параметрт Weibull тархалт үүсдэг.

Weibull тархалтыг найдвартай байдлын онол, даатгалд өргөнөөр ашигладаг.

Дээр дурдсанчлан экспоненциал тархалтыг объектын бүтэлгүйтлийн магадлал тогтмол гэсэн таамаглалаар бүтэлгүйтэх хугацааг тооцоолох загвар болгон ашигладаг. Хэрэв бүтэлгүйтлийн магадлал цаг хугацааны явцад өөрчлөгдвөл Weibull хуваарилалтыг хэрэглэнэ.

At =1-тэй эсвэл өөр нэг параметржүүлэлтээр Вейбуллийн тархалтаар томъёоноос харахад экспоненциал тархалт, -тэй - Рэйлигийн тархалт болж хувирдаг.

Вейбуллийн тархалтын параметрүүдийг тооцоолох тусгай аргуудыг боловсруулсан (жишээлбэл: Лоулесс (1982) Statistical models and methods for lifetime data, Belmont, CA: Lifetime Learning, энэ нь тооцооллын аргууд, түүнчлэн асуудлуудыг тодорхойлсон номыг үзнэ үү. Weibull) гурван параметрийн тархалтын байрлалын параметрийг тооцоолоход үүсдэг.

Найдвартай байдлын шинжилгээ хийхдээ тухайн цаг хугацааны дараа богино хугацааны интервалд бүтэлгүйтэх магадлалыг харгалзан үзэх шаардлагатай байдаг. t энэ мөч хүртэл заасан t бүтэлгүйтэл гарсангүй.

Энэ функцийг эрсдэлийн функц буюу бүтэлгүйтлийн түвшний функц гэж нэрлэдэг бөгөөд албан ёсоор дараах байдлаар тодорхойлогддог.

H(t) - t үеийн бүтэлгүйтлийн түвшний функц эсвэл эрсдэлийн функц;

f(t) - эвдрэлийн үеийн хуваарилалтын нягт;

F(t) - эвдрэлийн хугацааны хуваарилалтын функц (интервал дахь нягтын интеграл).

Ерөнхийдөө бүтэлгүйтлийн түвшний функцийг дараах байдлаар бичнэ.

Эрсдлийн функц нь төхөөрөмжийн хэвийн үйл ажиллагаанд тохирох тогтмол утгатай тэнцүү байх үед (томъёог үзнэ үү).

Эрсдэлийн функц буурах үед энэ нь төхөөрөмжийн ажиллах хугацаатай тохирч байна.

Төхөөрөмжийн насжилттай тохирч байгаа эрсдэлийн функц буурах үед. Ердийн эрсдэлийн функцуудыг графикт үзүүлэв.

Төрөл бүрийн параметр бүхий Weibull нягтын графикийг доор үзүүлэв. a параметрийн утгын гурван мужид анхаарлаа хандуулах шаардлагатай.

Эхний бүсэд эрсдэлийн функц буурч (тохируулгын хугацаа), хоёр дахь бүсэд эрсдэлийн функц тогтмол хэмжээтэй тэнцүү, гуравдугаар бүсэд эрсдэлийн функц нэмэгддэг.

Шинэ машин худалдаж авах жишээг ашиглан юу хэлснийг хялбархан ойлгож болно: эхлээд машин дасан зохицох хугацаа, дараа нь удаан хугацаагаар хэвийн ажиллах хугацаа, дараа нь машины эд анги элэгдэж, эвдрэх эрсдэлтэй байдаг. огцом нэмэгддэг.

Үйл ажиллагааны бүх үеийг ижил хуваарилалтын гэр бүлээр дүрсэлж болох нь чухал юм. Энэ бол Weibull түгээлтийн цаад санаа юм.

Weibull тархалтын үндсэн тоон шинж чанарыг танилцуулъя.

Парето хуваарилалт

Хэрэглээний статистикийн янз бүрийн асуудалд таслагдсан хуваарилалт гэж нэрлэгддэг зүйл нэлээд түгээмэл байдаг.

Жишээлбэл, энэ хуваарилалтыг даатгалд эсвэл татварт ашигладаг бөгөөд ашиг нь тодорхой утгаас хэтэрсэн орлогод ашиглагдана c 0

Парето тархалтын үндсэн тоон шинж чанарууд:

Логистик түгээлт

Логистик түгээлт нь нягтын функцтэй:

A - байрлалын параметр;

B - масштабын параметр;

E - Эйлерийн дугаар (2.71...).

Hotelling T 2 түгээлт

(0, Г) интервал дээр төвлөрсөн энэхүү тасралтгүй тархалт нь нягтралтай байна:

параметрүүд хаана байна n ба k, n >_k >_1-ийг эрх чөлөөний зэрэг гэнэ.

At k = 1 Hotelling, P-хуваарилалт нь Оюутны хуваарилалт хүртэл буурдаг ба аль ч хувьд k >1 нь Оюутны тархалтыг олон хувьсагч тохиолдолд ерөнхийд нь авч үзэх боломжтой.

Зочид буудлын хуваарилалт нь хэвийн тархалт дээр суурилдаг.

k хэмжээст санамсаргүй вектор Y нь тэг вектор дундаж ба ковариацын матрицтай хэвийн тархалттай байг.

Тоо хэмжээг авч үзье

Энд Z i санамсаргүй векторууд нь бие биенээсээ болон Y-ээс хамааралгүй бөгөөд Y-тэй ижил байдлаар тархсан байна.

Тэгвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүн T 2 =Y T S -1 Y нь n зэрэгтэй эрх чөлөөний T 2 -Hotelling тархалттай байна (Y нь баганын вектор, T нь шилжүүлэн суулгах оператор).

санамсаргүй хэмжигдэхүүн хаана байна t n нь n зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий Оюутны тархалттай ("Магадлал ба Математик Статистик," нэвтэрхий толь, хуудас 792-ыг үзнэ үү).

Хэрэв Y нь тэгээс өөр дундажтай хэвийн тархалттай бол харгалзах тархалтыг дуудна төв бус Hotelling T 2 -эрх чөлөөний n зэрэгтэй хуваарилалт ба төвлөрсөн бус параметр v.

Hotelling T 2 -тархалт нь математикийн статистикт Оюутны ^-тархалттай ижил нөхцөлд ашиглагддаг, гэхдээ зөвхөн олон хувьсагч тохиолдолд. Хэрэв X 1,..., X n ажиглалтын үр дүн нь μ дундаж вектор ба ганц бус ковариацын матрицтай бие даасан, хэвийн тархалттай санамсаргүй векторууд байвал статистик

нь Hotelling T 2 - түгээх нь байна n - 1 градусын эрх чөлөө. Энэ баримт нь Hotelling шалгуурын үндэс суурь болдог.

STATISTICA-д Hotelling тестийг жишээ нь Үндсэн статистик ба хүснэгтийн модульд ашиглах боломжтой (доорх харилцах цонхыг харна уу).

Максвелл хуваарилалт

Максвеллийн тархалт нь идеал хийн молекулуудын хурдны тархалтыг тайлбарлах үед физикт үүссэн.

Энэхүү тасралтгүй тархалт нь (0, ) дээр төвлөрсөн бөгөөд нягтралтай байна:

Түгээлтийн функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Энд Ф(x) нь стандарт хэвийн тархалтын функц юм. Максвеллийн тархалт нь эерэг хазайлтын коэффициенттэй бөгөөд нэг цэг дээр нэг горимтой байдаг (өөрөөр хэлбэл тархалт нь нэг загвартай).

Максвелл хуваарилалт нь ямар ч дарааллын төгсгөлийн мөчүүдтэй; Математикийн хүлээлт ба дисперс нь тэнцүү, мөн

Максвеллийн тархалт нь ердийн тархалттай холбоотой байдаг.

Хэрэв X 1, X 2, X 3 нь 0 ба õ 2 параметртэй хэвийн тархалттай бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол санамсаргүй хэмжигдэхүүн Максвелл тархалттай. Иймд Максвеллийн тархалтыг гурван хэмжээст орон зай дахь декартын координатын систем дэх координат нь бие даасан, дундаж 0, дисперс õ 2-той хэвийн тархсан санамсаргүй векторын уртын тархалт гэж үзэж болно.

Коши хуваарилалт

Энэхүү гайхалтай тархалт нь заримдаа дундаж утгагүй байдаг, учир нь түүний нягтрал нь х-ийн үнэмлэхүй утгыг нэмэгдүүлэх үед маш удаан тэг рүү чиглэдэг. Ийм тархалтыг хүнд сүүлт хуваарилалт гэж нэрлэдэг. Хэрэв та дундаж утгагүй хуваарилалтыг гаргах шаардлагатай бол тэр даруй Коши хуваарилалт гэж нэрлэнэ үү.

Коши тархалт нь горимын хувьд нэг загварлаг бөгөөд тэгш хэмтэй бөгөөд энэ нь медиан бөгөөд нягтын функцтэй байдаг:

Хаана c > 0 - масштабын параметр ба a нь горим ба медианы утгыг нэгэн зэрэг тодорхойлдог төвийн параметр юм.

Нягтын интеграл, өөрөөр хэлбэл тархалтын функцийг дараахь харьцаагаар тодорхойлно.

Оюутны хуваарилалт

Английн статистикч В.Госсет, “Оюутан” хэмээх нууц нэрээр алдаршсан, англи шар айрагны чанарын статистик судалгаанаас ажлын гараагаа эхэлсэн бөгөөд 1908 онд дараах үр дүнд хүрчээ. Болъё x 0 , x 1 ,.., x m - бие даасан, (0, s 2) - хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд:

Энэ хуваарилалтыг одоо Оюутны тархалт гэж нэрлэдэг (товчилсон t (m) тархалт, энд m нь эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо) нь хоёр популяцийн дундаж утгыг харьцуулах зорилготой алдартай t-тестийн үндэс юм.

Нягтын функц f t (x) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний õ 2 дисперсээс хамаарахгүй бөгөөд үүнээс гадна x = 0 цэгийн хувьд нэг модаль, тэгш хэмтэй байна.

Оюутны тархалтын үндсэн тоон шинж чанарууд:

Дундаж үнэлгээг авч үзэж, түүврийн хэлбэлзэл тодорхойгүй тохиолдолд t-ийн тархалт чухал юм. Энэ тохиолдолд түүврийн дисперс ба t тархалтыг ашиглана.

Их хэмжээний эрх чөлөөний хувьд (30-аас дээш) t-тархалт нь стандарт хэвийн тархалттай бараг давхцдаг.

Эрх чөлөөний зэрэг нэмэгдэхийн хэрээр t-тархалтын нягтын функцийн график дараах байдлаар гажиглана: оргил нь нэмэгдэж, сүүл нь 0 хүртэл огцом явж, t-тархалтын нягтын функцийн график хажуу тийш шахагдсан мэт харагдана.

F тархалт

Ингээд авч үзье m 1 + m 2 бие даасан ба (0, s 2) хэвийн тархсан хэмжигдэхүүнүүд

болон тавих

Мэдээжийн хэрэг, ижил санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хоёр бие даасан, зохих ёсоор нормчлогдсон хи-квадрат тархсан хувьсагчийн харьцаа гэж тодорхойлж болно.

Английн нэрт статистикч Р.Фишер 1924 онд санамсаргүй хэмжигдэхүүний F(m 1, m 2) магадлалын нягтыг дараах функцээр өгөгдсөн болохыг харуулсан.

Энд Г(у) нь Эйлерийн гамма функцийн утга юм. цэг y ба хуулийг өөрөө m,1l m7-тэй тэнцүү тооны болон хуваагчийн чөлөөт байдлын зэрэгтэй F-тархалт гэж нэрлэдэг.

F-тархалтын үндсэн тоон шинж чанарууд:

F тархалт нь ялгаварлан гадуурхах шинжилгээ, регрессийн шинжилгээ, дисперсийн шинжилгээ болон бусад төрлийн олон хувьсагчтай өгөгдлийн шинжилгээнд илэрдэг.

Мэдэгдэж байгаагаар, санамсаргүй хувьсагч тухайн тохиолдлоос хамааран тодорхой утгыг авч болох хувьсах хэмжигдэхүүн юм. Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн том үсгээр (X, Y, Z) тэмдэглэж, утгыг нь харгалзах жижиг үсгээр (x, y, z) тэмдэглэнэ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тасархай (дискрет) ба тасралтгүй гэж хуваадаг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Энэ нь тодорхой тэг биш магадлал бүхий зөвхөн хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй (тоолж болох) утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг тэдгээрийн магадлалтай холбодог функц юм. Хуваарилалтын хуулийг дараах аргуудын аль нэгээр тодорхойлж болно.

1 . Хуваарилалтын хуулийг дараах хүснэгтээр өгч болно.

Энд λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)ашиглан түгээлтийн функц F(x) , энэ нь x утга бүрийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл. F(x) = P(X< x).

F(x) функцийн шинж чанарууд

3 . Хуваарилалтын хуулийг графикаар тодорхойлж болно – тархалтын олон өнцөгт (олон өнцөгт) (3-р асуудлыг үзнэ үү).

Зарим асуудлыг шийдэхийн тулд хуваарилалтын хуулийг мэдэх шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Зарим тохиолдолд хуваарилалтын хуулийн хамгийн чухал шинж чанарыг тусгасан нэг буюу хэд хэдэн тоог мэдэхэд хангалттай. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний "дундаж утга" гэсэн утгатай тоо эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгаас хазайх дундаж хэмжээг харуулсан тоо байж болно.

Ийм төрлийн тоонуудыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар гэж нэрлэдэг. :

• Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанар Математикийн хүлээлт (дундаж утга) дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн.
  M(X)=Σ x i p i
• Дуран тархалтын хувьд M(X)=np, Пуассон тархалтын хувьд M(X)=λ Тархалт дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн D(X)=M2 эсвэл D(X) = M(X 2)− 2
  . X–M(X) зөрүүг санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайлт гэнэ.
• Дуран тархалтын хувьд D(X)=npq, Пуассон тархалтын хувьд D(X)=λ Стандарт хазайлт (стандарт хазайлт).

σ(X)=√D(X)

"Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль" сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Даалгавар 1.

1000 сугалааны тасалбар гаргасан: 5 нь 500 рубль, 10 нь 100 рубль, 20 нь 50 рубль, 50 нь 10 рубль хожно. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хуулийг тодорхойл - нэг тасалбарын ялалт. Шийдэл.

Асуудлын нөхцлийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн дараах утгуудыг авах боломжтой: 0, 10, 50, 100, 500.

Ялалтгүй тасалбарын тоо 1000 – (5+10+20+50) = 915, дараа нь P(X=0) = 915/1000 = 0.915 байна.

Үүнтэй адилаар бид бусад бүх магадлалыг олно: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0.005. Үүссэн хуулийг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлье.

X утгын математик хүлээлтийг олъё: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

Даалгавар 3.

1000 сугалааны тасалбар гаргасан: 5 нь 500 рубль, 10 нь 100 рубль, 20 нь 50 рубль, 50 нь 10 рубль хожно. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хуулийг тодорхойл - нэг тасалбарын ялалт. 1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X = (нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементүүдийн тоо) дараах боломжит утгуудтай байна: x 1 = 0 (төхөөрөмжийн аль нь ч бүтэлгүйтсэн), x 2 = 1 (нэг элемент амжилтгүй болсон), x 3 = 2 ( хоёр элемент амжилтгүй болсон ) ба x 4 =3 (гурван элемент амжилтгүй болсон).

Элементүүдийн эвдрэл нь бие биенээсээ хамааралгүй, элемент тус бүрийн эвдрэлийн магадлал тэнцүү тул үүнийг хэрэглэж болно. Бернуллигийн томъёо . n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 гэсэн нөхцлийн дагуу дараах утгуудын магадлалыг тодорхойлно.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
Шалгах: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

Тиймээс X-ийн хүссэн хоёр нэрийн тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

Бид абсцисса тэнхлэгийн дагуу x i-ийн боломжит утгуудыг, ординатын тэнхлэгийн дагуу p i-ийн харгалзах магадлалыг зурдаг. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) цэгүүдийг байгуулъя. Эдгээр цэгүүдийг шулуун шугамын сегментүүдтэй холбосноор бид хүссэн тархалтын полигоныг олж авна.

3. F(x) = Р(Х) тархалтын функцийг олъё

F(x) функцийн график

4. X бином тархалтын хувьд:
- математикийн хүлээлт M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- дисперс D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- стандарт хазайлт σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.