Тригонометрийн тойрог. The Ultimate Guide (2019)

Тооны тойрогцэгүүд нь тодорхой бодит тоотой тохирч буй нэгж тойрог юм.

Нэгж тойрог нь 1 радиустай тойрог юм.

Тооны тойргийн ерөнхий дүр төрх.

1) Түүний радиусыг хэмжих нэгж болгон авна.

2) Хэвтээ ба босоо диаметр нь тооны тойргийг дөрөвний дөрөвт хуваадаг. Тэднийг эхний, хоёрдугаар, гурав, дөрөвдүгээр улирал гэж нэрлэдэг.

3) Хэвтээ диаметрийг хувьсах гүйдлээр тэмдэглэсэн бөгөөд А нь туйлшрал юм зөвцэг.
Босоо диаметрийг BD гэж тодорхойлсон бөгөөд B нь хамгийн өндөр цэг юм.
Тус тусад нь:

эхний улирал нь AB нум юм

хоёрдугаар улирал - МЭӨ нуман

гуравдугаар улирал - нуман CD

дөрөвдүгээр улирал - нуман DA

4) Тооны тойргийн эхлэл цэг нь А цэг юм.

Тооны тойргийн дагуу тоолохыг цагийн зүүний дагуу эсвэл цагийн зүүний эсрэг хийж болно.

А цэгээс тоолж байна эсрэгцагийн зүүний дагуу гэж нэрлэдэг эерэг чиглэл.

А цэгээс тоолж байна Byцагийн зүүний дагуу гэж нэрлэдэг сөрөг чиглэл.

Координатын хавтгай дээрх тооны тойрог.

Тооны тойргийн радиусын төв нь гарал үүсэлтэй тохирч байна (тоо 0).

Хэвтээ диаметр нь тэнхлэгтэй тохирч байна x, босоо - тэнхлэг y.

Эхлэх цэг А тооны тойрогтэнхлэг дээр байнаxба координаттай (1; 0).

Тооны тойрог дээрх гол цэгүүдийн нэр, байршил:

Тооны тойргийн нэрийг хэрхэн санах вэ.

Тооны тойргийн үндсэн нэрийг хялбархан санахад туслах хэд хэдэн энгийн загварууд байдаг.

Эхлэхээсээ өмнө танд сануулъя: тоолол нь эерэг чиглэлд, өөрөөр хэлбэл А цэгээс (2π) цагийн зүүний эсрэг явагдана.

1) Координатын тэнхлэг дээрх туйлын цэгүүдээс эхэлцгээе.

Эхлэх цэг нь 2π (тэнхлэг дээрх хамгийн баруун цэг X, 1-тэй тэнцүү).

Таны мэдэж байгаагаар 2π нь тойргийн тойрог юм. Энэ нь хагас тойрог нь 1π эсвэл π гэсэн үг юм. Тэнхлэг Xтойргийг яг хагасаар нь хуваана. Үүний дагуу тэнхлэг дээрх хамгийн зүүн цэг X-1-тэй тэнцүү бол π гэж нэрлэдэг.

Тэнхлэг дээрх хамгийн өндөр цэг цагт, 1-тэй тэнцүү, дээд хагас тойргийг хагасаар хуваана. Энэ нь хэрэв хагас тойрог нь π бол хагас тойрог нь π/2 гэсэн үг юм.

Үүний зэрэгцээ π/2 нь мөн тойргийн дөрөвний нэг юм. Гурван дөрөвний гурвыг эхнийхээс гурав хүртэл тоолж үзье - бид тэнхлэгийн хамгийн доод цэгт хүрнэ. цагт, -1-тэй тэнцүү. Харин дөрөвний гурвыг багтаасан бол нэр нь 3π/2 болно.

2) Одоо үлдсэн цэгүүд рүү шилжье. Анхаарна уу: бүх эсрэг цэгүүд ижил хуваагчтай бөгөөд эдгээр нь тэнхлэгтэй харьцуулахад эсрэг цэгүүд юм. цагт, хоёулаа тэнхлэгүүдийн төвтэй харьцуулахад, мөн тэнхлэгтэй харьцуулахад X. Энэ нь бидэнд тэдний онооны утгыг шахахгүйгээр мэдэхэд тусална.

Та зөвхөн эхний улирлын онооны утгыг санах хэрэгтэй: π/6, π/4, π/3. Дараа нь бид зарим хэв маягийг "харах" болно:

- Тэнхлэгтэй харьцуулахад цагт 2-р улирлын цэгүүдэд, эхний улирлын цэгүүдийн эсрэг талд, тоологч дахь тоо нь хуваагчийн хэмжээнээс 1-ээр бага байна. Жишээлбэл, π/6 цэгийг ав. Тэнхлэгтэй харьцуулахад түүний эсрэг талын цэг цагтмөн хуваагчдаа 6, тоологчдоо 5 байна (1 бага). Өөрөөр хэлбэл, энэ цэгийн нэр нь: 5π/6. π/4-ийн эсрэг талын цэг нь мөн хуваагчдаа 4, тоологч хэсэгт 3 байна (4-өөс 1-ээс бага) - энэ нь 3π/4 цэг юм.
π/3-ын эсрэг талын цэг мөн хуваагчдаа 3, тоологч хэсэгт 1-ээр бага байна: 2π/3.

- Координатын тэнхлэгүүдийн төвтэй харьцуулахадБүх зүйл эсрэгээрээ байна: эсрэг цэгүүдийн тоонуудын тоо (гуравдугаар улиралд) хуваагчийн утгаас 1-ээс их байна. π/6 цэгийг дахин авч үзье. Төвтэй харьцуулахад түүний эсрэг талын цэг нь хуваагчдаа 6-тай, тоологчийн тоо нь 1-ээр илүү байна, өөрөөр хэлбэл энэ нь 7π/6 байна.
π/4 цэгийн эсрэг талын цэг мөн хуваагчдаа 4-тэй, тоологчийн тоо 1-ээр илүү байна: 5π/4.
π/3 цэгийн эсрэг талын цэг мөн хуваагчдаа 3-тай, тоологч хэсэгт 1-ээр илүү байна: 4π/3.

- Тэнхлэгтэй харьцуулахад X(дөрөвдүгээр улирал)асуудал илүү төвөгтэй. Энд та хуваагчийн утгад 1-ээс бага тоог нэмэх хэрэгтэй - энэ нийлбэр нь эсрэг цэгийн тоологчийн тоон хэсэгтэй тэнцүү байх болно. π/6-аар дахин эхэлцгээе. 6-тай тэнцүү хуваарийн утга дээр энэ тооноос 1-ээр бага тоог нэмье - өөрөөр хэлбэл 5. Бид дараахийг авна: 6 + 5 = 11. Энэ нь тэнхлэгийн эсрэг байна гэсэн үг юм. Xцэг нь хуваагчдаа 6, тоологч хэсэгт 11 байх болно - өөрөөр хэлбэл 11π/6.

π/4 цэг. Бид хуваагчийн утга дээр 1-ээс бага тоог нэмнэ: 4 + 3 = 7. Энэ нь тэнхлэгтэй харьцуулахад түүний эсрэг байна гэсэн үг юм. XЭнэ цэг нь хуваагчдаа 4, тоологч хэсэгт 7 байна - өөрөөр хэлбэл 7π/4.
π/3 цэг. Хуваагч нь 3. Бид 3-т нэгээр бага тоог нэмнэ - өөрөөр хэлбэл 2. Бид 5-ыг авна. Энэ нь түүний эсрэг талын цэг нь тоологч дотор 5 байна гэсэн үг - энэ нь 5π/3 цэг юм.

3) Дөрөвний дундын цэгүүдийн өөр нэг загвар. Тэдний хуваагч нь 4 гэдэг нь тодорхой байна. Тоолууруудад анхаарлаа хандуулцгаая. Эхний улирлын дундын тоологч нь 1π (гэхдээ 1 гэж бичих нь заншилгүй). Хоёрдугаар улирлын дундын тоологч нь 3π байна. Гуравдугаар улирлын дундын тоологч нь 5π байна. Дөрөвдүгээр улирлын дунд үеийн тоологч нь 7π байна. Дунд хэсгийн тоологч нь эхний дөрвөн сондгой тоог өсөх дарааллаар агуулсан байна.
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Энэ бас маш энгийн. Бүх хэсгийн дундын цэгүүд хуваагчдаа 4-тэй байдаг тул бид тэдний бүтэн нэрийг мэддэг: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Тооны тойргийн онцлог. Тооны шугамтай харьцуулах.

Та бүхний мэдэж байгаагаар тооны шулуун дээр цэг бүр нэг тоотой тохирч байна. Жишээлбэл, шулуун дээрх А цэг нь 3-тай тэнцүү бол энэ нь өөр ямар ч тоотой тэнцэх боломжгүй болно.

Энэ нь тойрог учраас тоон тойрог дээр ялгаатай. Жишээлбэл, тойргийн А цэгээс М цэг хүртэл ирэхийн тулд шулуун шугам дээр байгаа юм шиг (зөвхөн нумыг дайрч өнгөрдөг) эсвэл бүхэл бүтэн тойргийг тойрч, дараа нь М цэгт хүрч болно. Дүгнэлт:

M цэгийг зарим t тоотой тэнцүү болгоё. Бидний мэдэж байгаагаар тойргийн тойрог нь 2π юм. Энэ нь бид t тойрог дээрх цэгийг t эсвэл t + 2π гэсэн хоёр аргаар бичиж болно гэсэн үг юм. Эдгээр нь тэнцүү утга юм.
Энэ нь t = t + 2π гэсэн үг юм. Ганц ялгаа нь эхний тохиолдолд та тойрог хийлгүйгээр шууд М цэг дээр ирсэн, хоёр дахь тохиолдолд та тойрог хийсэн, гэхдээ ижил M цэг дээр дууссан. Та хоёр, гурав, хоёр зууг ийм болгож болно. тойрог. Хэрэв бид тойргийн тоог үсгээр тэмдэглэвэл n, дараа нь бид шинэ илэрхийлэл авна:
t = t + 2π n.

Тиймээс томъёо:

Хотын боловсролын байгууллага 1-р дунд сургууль

ХМАО-Югра

Хичээлийн хөгжил

10-р ангид

алгебр ба шинжилгээний зарчмуудын талаар

Надежда Михайловна

математикийн багш

Советский

Сэдэв: ТРИГОНОМЕТРИ

Тригонометрийн функцууд

Тригонометрийн тэгшитгэл

Тригонометрийн хувиргалт

Тооны тойрог асаалттай

координатын хавтгай

Уг хичээлийг блок-модуль технологи ашиглан заадаг.

Энэ хичээл нь шинэ материал сурах хичээлүүдийн нэг юм. Тиймээс хичээлийн гол цагийг шинэ материал сурахад зориулдаг бөгөөд оюутнууд энэ ажлыг бие даан хийдэг.

Хичээл дэх оюутны үйл ажиллагааны төрлүүд: урд талын, бие даасан, бие даасан ажил.

Хичээл дээр маш их ажил хийж, сурагчдын үйл ажиллагааны үр дүнг хянах шаардлагатай байдаг тул интерактив самбарыг мэдлэгийг шинэчлэх, шинэ материал сурах үе шатанд ашигладаг. Координатын хавтгай дээрх тооны тойргийн давхаргыг илүү дүрслэн харуулах, сургалтын төгсгөлд сургалтын материалын агуулгыг тусгах зорилгоор Power Point илтгэлүүдийг мөн ашигладаг.

боловсролын

Бие даан мэдлэг олж авч сур

хүмүүжүүлэх

Тайван байдал, хариуцлага, хичээл зүтгэлийг төлөвшүүлэх

хөгжиж байна

Шинжилгээ хийх, харьцуулах, аналогийг бий болгож сур

Хичээлийн төлөвлөгөө:

1) Зохион байгуулалтын мөч, сэдэв, хичээлийн зорилго 2 мин.

2) Мэдлэгээ шинэчлэх 4 мин.

3) Шинэ материал сурах 30 мин.

4) эргэцүүлэл 3 мин.

5) 1-р хичээлийн хураангуй мин.

Зохион байгуулалтын мөч

Тооны тойрог

координатын хавтгай

координатын хавтгай дээрх тооны тойргийг авч үзэх; хамтдаа хоёр цэгийн координатыг олох; дараа нь тойргийн бусад гол цэгүүдийн координатын утгуудын хүснэгтийг бие даан эмхэтгэх;

тооны тойрог дээрх цэгүүдийн координатыг олох чадвараа шалгана уу.

Мэдлэгийг шинэчлэх

9-р ангийн геометрийн хичээл дээр бид дараахь зүйлийг судалсан

материал:

Нэгж хагас тойрог (R = 1) дээр бид координат бүхий М цэгийг авч үзсэн XТэгээд цагт

Геометрийн сурах бичгийн хэсгээс

Нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг олж сурсан.

Тэдний бусад нэрс рүү хялбархан шилжье: синус ба косинус, жишээлбэл.

Гол сэдэв рүү - ТРИГОНОМЕТРИ

Эхний даалгаврыг интерактив самбар дээр өгөх бөгөөд сурагчид самбар дээр хуруугаараа чирэх замаар тооны тойрог дээрх цэгүүд болон тэдгээрийн харгалзах тоог байрлуулах шаардлагатай.

Даалгавар 1

Бид үр дүнд хүрсэн:

Хоёрдахь даалгаврыг интерактив самбар дээр өгдөг. Хариултууд нь "хөшиг"-ээр хаагдаж, тайлагдах тусам ил болдог.

Даалгавар 2

Ажлын үр дүн:

Шинэ материал сурах

Координатын системийг аваад түүн дээр төвүүд нь давхцаж, тойргийн хэвтээ радиус нь OX тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцаж байхаар тооны тойрог тавъя (Power Point танилцуулга)

Үүний үр дүнд бид тооны тойрог болон координатын хавтгайд хоёуланд нь хамаарах цэгүүдтэй болно. Эдгээр цэгүүдийн аль нэгийг авч үзье, жишээ нь M цэг (Power Point танилцуулга)

М(т)

Энэ цэгийн координатыг зуръя

Өмнө нь авч үзсэн 4, 3, 6 болон π тоологчтой нэгж тойрог дээрх бидний сонирхсон цэгүүдийн координатыг олъё.

Нэгж тойрог дээрх тоонд тохирох цэгийн координатыг олоорой

Даалгавар 3

(Power Point танилцуулга)

Цэгийн радиус ба координатыг дүрсэлцгээе

Пифагорын теоремоор бид X 2+ x 2 = 12

Гэхдээ гурвалжны өнцөг нь π/4 = 45° байна , Энэ нь гурвалжин нь тэгш өнцөгт ба гэсэн үг юм x = y

Тоон (өнцөг)-д тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.

Даалгавар 4

(Power Point танилцуулга)

гэсэн үг цагт= 1/2

Пифагорын теоремын дагуу

Гипотенузын хувьд гурвалжин тэнцүү байна

ба хурц өнцөг, энэ нь тэдний хөл тэнцүү гэсэн үг юм

Өмнөх хичээл дээр оюутнууд тоон дугуйлан, янз бүрийн хүснэгт бүхий хоосон хуудас авсан.

Эхний хүснэгтийг бөглөнө үү.

Даалгавар 5

(интерактив самбар)

Эхлээд 2 ба 4-ийн үржвэртэй тойргийн цэгүүдийг хүснэгтэд оруулна

Үр дүнг шалгаж байна:

(интерактив самбар)

Дээрх цэгүүдийн координатын хувьд дээр авсан сегментүүдийн уртыг ашиглан тухайн цэг аль улиралд байрлаж байгаагаас хамааран координатын тэмдгүүдийг харгалзан эдгээр цэгүүдийн ординат ба абсциссуудыг хүснэгтэд өөрөө бөглөнө үү.

Даалгавар 6

Оюутны нэг нь олж авсан үр дүнг нэрлэж, үлдсэн хэсэг нь хариултаа шалгаж, үр дүнг амжилттай засахын тулд (эдгээр хүснэгтийг дараа нь уг сэдвийн талаархи ур чадвар, мэдлэгийг гүнзгийрүүлэх ажилд ашиглах болно) зөв бөглөсөн хүснэгтийг үзүүлэв. интерактив самбар дээр.

Үр дүнг шалгаж байна:

(интерактив самбар)

Хоёр дахь хүснэгтийг бөглөнө үү.

Даалгавар 7

(интерактив самбар)

Эхлээд 3 ба 6-ын үржвэртэй тойргийн цэгүүдийг хүснэгтэд оруулна

Үр дүнг шалгаж байна:

(интерактив самбар)

Хүснэгтэнд эдгээр цэгүүдийн ординат ба абсциссуудыг өөрөө бөглөнө үү

Даалгавар 8

Үр дүнг шалгаж байна:

(интерактив самбар)

(Power Point танилцуулга)

Богино математикийн диктант хийж, дараа нь өөрийгөө хянах ажлыг хийцгээе.

1) Нэгж тойргийн цэгүүдийн координатыг ол:

Сонголт 2

1 сонголт

2) Нэгж тойргийн цэгүүдийн абсциссыг ол:

1) Нэгж тойрог дээрх цэгүүдийн координатыг ол

Сонголт 2

1 сонголт

2) Нэгж тойргийн цэгүүдийн абсциссыг ол

Өөрийгөө туршиж үзээрэй

3) Нэгж тойргийн цэгүүдийн ординатыг ол:

Та өөрөө 4 бөглөсөн жишээг "5" гэж тэмдэглэж болно.

3 жишээг "4" гэж, 2 жишээг "3" гэж тэмдэглэнэ

Хичээлийг дүгнэж байна

1) Цаашид цэг ба өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгыг олохын тулд эхний улиралд хамаарах цэгүүдийн координатын утгыг бөглөсөн хүснэгтүүдээс сурах шаардлагатай. цаашид бид бусад бүх цэгүүдийн координатын утгыг эхний улирлын цэгүүдийн утгуудаар илэрхийлж сурах болно;

2) Туршилтын онолын асуултуудыг бэлтгэх.

Гэрийн даалгавар:

Хичээлийн хураангуй

Хичээл дээр хамгийн идэвхтэй ажилласан сурагчдад үнэлгээ өгнө. Хичээлийн явцад алдааг шууд засдаг тул бүх оюутнуудын ажлыг үнэлдэггүй. Өөрийгөө хянах зорилгоор диктант хийсэн; үнэлгээний хэмжээ хангалтгүй байна.

Аналитик геометр нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх нэг төрлийн арга техникийг өгдөг. Үүнийг хийхийн тулд бүх өгөгдсөн болон эрэлхийлсэн цэг, шугамыг нэг координатын системд хуваарилдаг.

Координатын системд цэг бүрийг координатаараа, шугам бүрийг хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлээр тодорхойлж болно, график нь энэ шугам юм. Тиймээс геометрийн асуудлыг алгебрийн асуудал болгон бууруулж, тооцоолох бүх аргыг сайтар боловсруулсан болно.

Тойрог нь нэг тодорхой шинж чанартай цэгүүдийн геометрийн байрлал юм (тойрог дээрх цэг бүр нэг цэгээс ижил зайд байрладаг бөгөөд үүнийг төв гэж нэрлэдэг). Тойргийн тэгшитгэл нь энэ шинж чанарыг тусгаж, энэ нөхцлийг хангасан байх ёстой.

Тойргийн тэгшитгэлийн геометрийн тайлбар нь тойргийн шугам юм.

Хэрэв та координатын системд тойрог байрлуулсан бол тойрог дээрх бүх цэгүүд нэг нөхцөлийг хангана - тэдгээрээс тойргийн төв хүртэлх зай нь тойрогтой ижил, тэнцүү байх ёстой.

Нэг цэг дээр төвтэй тойрог А ба радиус Р координатын хавтгайд байрлуулна.

Хэрэв төв нь солбицдог бол (а;б) , мөн тойрог дээрх дурын цэгийн координат (x;y) , тэгвэл тойргийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Хэрэв тойргийн радиусын квадрат нь тойрог дээрх дурын цэг ба түүний төвийн харгалзах координатуудын хоорондын зөрүүгийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол энэ тэгшитгэл нь хавтгай координатын систем дэх тойргийн тэгшитгэл болно.

Хэрэв тойргийн төв нь эхлэлтэй давхцаж байвал тойргийн радиусын квадрат нь тойргийн аль ч цэгийн координатын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд тойргийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Тойргийн тэгшитгэлийн асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Даалгавар. Өгөгдсөн тойргийн тэгшитгэлийг бич

Шийдэл.
Тойргийн тэгшитгэлийн томъёо руу шилжье.
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Томъёонд утгуудыг орлуулъя.
Тойргийн радиус R = 4
Тойргийн төвийн координат (нөхцөлийн дагуу)
a = 2
b = -3

Бид авах:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
эсвэл
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Даалгавар. Тойргийн тэгшитгэлд цэг хамаарах уу?

Шийдэл.
Хэрэв цэг нь тойрогт хамаарах бол түүний координат нь тойргийн тэгшитгэлийг хангана.
Өгөгдсөн координаттай цэг тойрогт хамаарах эсэхийг шалгахын тулд тухайн цэгийн координатыг өгөгдсөн тойргийн тэгшитгэлд орлуулна.

тэгшитгэлд ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
Нөхцөлийн дагуу A(2;3) цэгийн координатыг орлуулъя, өөрөөр хэлбэл
x = 2
y=3

Үүссэн тэгш байдлын үнэн эсэхийг шалгая
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 тэгш байдал худлаа

Тиймээс өгөгдсөн цэг хамаарахгүйөгөгдсөн тойргийн тэгшитгэл.

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:

Координатын хавтгай дахь тооны тойрог

Дахин хэлье: Нэгж тойрог нь радиус нь 1. R=1 C=2 π + - y x тоон тойрог юм.

Хэрэв тооны тойргийн М цэг нь t тоотой тохирч байвал t+2 π k хэлбэрийн тоонд мөн тохирно, энд k нь дурын бүхэл тоо (k ϵ Z). M(t) = M(t+2 π k), энд k ϵ Z

Үндсэн бүдүүвч Эхний байрлал 0 π y x Хоёр дахь байрлал y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

Тухайн цэгт тохирох М цэгийн координатыг олъё. 1) 2) x y M P 45° O A

Эхний байршлын гол цэгүүдийн координат 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A цэгт харгалзах М цэгийн координатыг олъё. 1) 2) 30°

M P цэгт тохирох М цэгийн координатыг ол. 1) 2) 30° x y O A B

Тэгш хэмийн шинж чанарыг ашиглан y x-ийн үржвэртэй цэгүүдийн координатыг олно

Хоёр дахь байршлын гол цэгүүдийн координатууд x y x y y x

Жишээ Тооны тойрог дээрх цэгийн координатыг ол. Шийдэл: P y x

Жишээ Тооны тойргийн ординаттай цэгүүдийг олох Шийдэл: y x ​​x y x y

Дасгал: Тооны тойрог дээрх цэгүүдийн координатыг ол: a) , b) . Тооны тойрог дээрх абсциссатай цэгүүдийг ол.

Үндсэн цэгүүдийн координат 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Эхний байршлын гол цэгүүдийн координат x y x y Үндсэн цэгийн координат хоёр дахь байршлын цэгүүд

Сэдвийн талаар: арга зүйн боловсруулалт, танилцуулга, тэмдэглэл

10-р ангийн алгебрийн дидактик материал ба шинжилгээний эхлэл (профайлын түвшин) "Координатын хавтгай дээрх тооны тойрог"

Сонголт 1.1 Тооны тойргийн цэгийг ол: A) -2∏/3B) 72. 16.3-ын цэгийг тоон тойргийн аль дөрөвний нэг нь олох вэ.

Хэрэв та нэгжийн тооны тойргийг координатын хавтгайд байрлуулбал түүний цэгүүдийн координатыг олох боломжтой. Тооны тойрог нь түүний төв нь онгоцны гарал үүсэл, өөрөөр хэлбэл О (0; 0) цэгтэй давхцахаар байрладаг.

Ихэвчлэн нэгжийн дугаарын тойрог дээр тойргийн гарал үүсэлтэй тохирох цэгүүдийг тэмдэглэдэг

• дөрөвний нэг - 0 эсвэл 2π, π/2, π, (2π)/3,
• дунд хэсэг - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• дөрөвний гуравны нэг - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Координатын хавтгай дээр нэгж тойргийн дээрх байрлалтай бол тойргийн эдгээр цэгүүдэд тохирох координатуудыг олж болно.

Улирлын төгсгөлийн координатыг олоход маш хялбар байдаг. Тойргийн 0 цэг дээр х координат 1, у координат 0 байна. Бид үүнийг A (0) = A (1; 0) гэж тэмдэглэж болно.

Эхний улирлын төгсгөл нь эерэг y тэнхлэгт байрлана. Тиймээс B (π/2) = B (0; 1).

Хоёрдугаар улирлын төгсгөл нь сөрөг хагас тэнхлэг дээр байна: C (π) = C (-1; 0).

Гуравдугаар улирлын төгсгөл: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Гэхдээ улирлын дундын цэгүүдийн координатыг хэрхэн олох вэ? Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжин байгуул. Түүний гипотенуз нь тойргийн төвөөс (эсвэл гарал үүсэл) улирлын тойргийн дунд цэг хүртэлх сегмент юм. Энэ бол тойргийн радиус юм. Тойрог нь нэгж тул гипотенуз нь 1-тэй тэнцүү байна. Дараа нь тойрог дээрх цэгээс дурын тэнхлэгт перпендикуляр зур. Үүнийг x тэнхлэг рүү чиглүүл. Үр дүн нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд түүний хөлийн урт нь тойрог дээрх цэгийн х ба у координат юм.

Дөрөвний тойрог нь 90º байна. Мөн дөрөвний хагас нь 45º байна. Гипотенузыг квадрантын дунд цэг рүү татсан тул гарал үүслийн эхнээс гарч буй гипотенуз ба хөлийн хоорондох өнцөг 45º байна. Гэхдээ аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180º байна. Үүний үр дүнд гипотенуз ба нөгөө хөлийн хоорондох өнцөг нь 45º хэвээр байна. Үүний үр дүнд тэгш өнцөгт гурвалжин үүснэ.

Пифагорын теоремоос бид x 2 + y 2 = 1 2 тэгшитгэлийг олж авна. x = y ба 1 2 = 1 тул тэгшитгэл х 2 + x 2 = 1 болж хялбарчлагдана. Үүнийг шийдэж x = √½ = 1/√2 = √2/2 болно.

Тиймээс цэгийн координатууд M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

Бусад хэсгийн дунд цэгүүдийн цэгүүдийн координатуудад зөвхөн тэмдгүүд өөрчлөгдөж, утгын модулиуд ижил хэвээр байх болно, учир нь зөв гурвалжинг зөвхөн эргүүлэх болно. Бид авах:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
М 4 ((7π)/4) = М 4 (√2/2; -√2/2)

Тойргийн дөрөвний гурав дахь хэсгийн координатыг тодорхойлохдоо тэгш өнцөгт гурвалжинг бас байгуулдаг. Хэрэв бид π/6 цэгийг аваад x тэнхлэгт перпендикуляр зурвал гипотенуз ба х тэнхлэг дээр хэвтэж буй хөлийн хоорондох өнцөг 30º болно. 30º өнцгийн эсрэг байрлах хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Энэ нь бид y координатыг олсон гэсэн үг бөгөөд энэ нь ½-тэй тэнцүү байна.

Гипотенуз ба нэг хөлийн уртыг мэдэж, Пифагорын теоремыг ашиглан бид нөгөө хөлийг олно.
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Тиймээс T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Эхний улирлын хоёр дахь гуравны нэг (π/3) цэгийн хувьд y тэнхлэгт тэнхлэгт перпендикуляр зурах нь дээр. Дараа нь эхлэл дээрх өнцөг нь мөн 30º болно. Энд x координат нь ½, y-тэй тэнцүү байх болно, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Гуравдугаар улирлын бусад цэгүүдийн хувьд координатын утгын тэмдэг, дараалал өөрчлөгдөнө. X тэнхлэгт ойр байгаа бүх цэгүүд нь √3/2-тэй тэнцүү модуль x координатын утгатай байна. Y тэнхлэгт ойр байгаа цэгүүд нь √3/2-тэй тэнцүү y модулийн утгатай байна.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)