Тэгш бус байдлыг хялбарчлах. Интервалын арга: хамгийн энгийн хатуу тэгш бус байдлыг шийдэх

Нэгдүгээрт, интервалын аргаар шийдэж буй асуудлыг мэдрэхийн тулд бага зэрэг дууны үг. Дараах тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье.

(x − 5)(x + 3) > 0

Ямар сонголтууд байна вэ? Ихэнх оюутнуудын санаанд хамгийн түрүүнд орж ирдэг зүйл бол “нэмэхэд нэмэх нь нэмэх”, “хасах нь нэмэх” гэсэн дүрэм юм. Иймд хоёр хаалт нь эерэг байх тохиолдлыг авч үзэхэд хангалттай: x − 5 > 0 ба x + 3 > 0. Дараа нь бид хоёр хаалт сөрөг байх тохиолдлыг авч үзье: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Илүү ахисан түвшний оюутнууд (магадгүй) зүүн талд график нь парабол болох квадрат функц байгааг санах болно. Түүнчлэн, энэ парабол нь OX тэнхлэгийг x = 5 ба x = -3 цэгүүдээр огтолж байна. Цаашид ажиллахын тулд та хаалтыг нээх хэрэгтэй. Бидэнд:

x 2 − 2x − 15 > 0

Одоо параболын мөчрүүд дээшээ чиглэсэн байгаа нь тодорхой байна, учир нь коэффициент a = 1 > 0. Энэ параболын диаграммыг зурж үзье.

Функц нь OX тэнхлэгээс дээгүүр өнгөрөх үед тэгээс их байна. Манай тохиолдолд эдгээр нь (−∞ −3) ба (5; +∞) интервалууд юм - энэ бол хариулт юм.

Анхаарна уу: зураг яг харагдаж байна функциональ диаграм, түүний хуваарь биш. Учир нь бодит графикийн хувьд та координатыг тоолох, нүүлгэн шилжүүлэлт болон бусад зүйлсийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд одоогоор бидэнд огт хэрэггүй.

Эдгээр аргууд яагаад үр дүнгүй байдаг вэ?

Тиймээс бид ижил тэгш бус байдлын хоёр шийдлийг авч үзсэн. Хоёулаа нэлээн ээдрээтэй болсон. Эхний шийдвэр гарч ирнэ - зүгээр л бодоорой! - тэгш бус байдлын тогтолцооны багц. Хоёрдахь шийдэл нь тийм ч хялбар биш юм: та параболын график болон бусад олон жижиг баримтуудыг санах хэрэгтэй.

Энэ бол маш энгийн тэгш бус байдал байсан. Энэ нь зөвхөн 2 үржүүлэгчтэй. Одоо 2 биш, харин дор хаяж 4 үржүүлэгч байх болно гэж төсөөлөөд үз дээ.

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Ийм тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Давуу болон сул талуудын боломжит бүх хослолыг үзэх үү? Тийм ээ, бид шийдлийг олохоосоо илүү хурдан унтах болно. Ийм функц координатын хавтгайд хэрхэн ажиллах нь тодорхойгүй тул график зурах нь бас сонголт биш юм.

Ийм тэгш бус байдлын хувьд шийдлийн тусгай алгоритм шаардлагатай бөгөөд бид өнөөдөр авч үзэх болно.

Интервалын арга гэж юу вэ

Интервалын арга нь f (x) > 0 ба f (x) хэлбэрийн нийлмэл тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан тусгай алгоритм юм.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. f (x) = 0 тэгшитгэлийг шийд. Тиймээс тэгш бус байдлын оронд шийдвэрлэхэд илүү хялбар тэгшитгэл гарч ирнэ;
2. Бүх олж авсан үндсийг координатын шугам дээр тэмдэглэ. Тиймээс шулуун шугамыг хэд хэдэн интервалд хуваах болно;
3. Хамгийн баруун талын интервал дээрх f (x) функцийн тэмдгийг (нэмэх хасах) ол. Үүнийг хийхийн тулд бүх тэмдэглэсэн язгуурын баруун талд байх дурын тоог f (x) -д орлуулахад хангалттай;
4. Үлдсэн интервалаар тэмдгүүдийг тэмдэглэ. Үүнийг хийхийн тулд үндэс бүрээр дамжих үед тэмдэг өөрчлөгддөг гэдгийг санаарай.

Ингээд л болоо! Үүний дараа бидний сонирхсон интервалуудыг бичих л үлдлээ. Хэрэв тэгш бус байдал f (x) > 0 хэлбэртэй байсан бол тэдгээрийг "+" тэмдгээр, хэрэв тэгш бус байдал нь f (x) хэлбэртэй бол "-" тэмдгээр тэмдэглэнэ.< 0.

Өнгөц харахад интервалын арга нь ямар нэгэн цагаан тугалга юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэхдээ практик дээр бүх зүйл маш энгийн байх болно. Жаахан дасгал хийвэл бүх зүйл тодорхой болно. Жишээнүүдийг хараад өөрөө үзээрэй:

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

(x − 2)(x + 7)< 0

Бид интервалын аргыг ашиглан ажилладаг. Алхам 1: тэгш бус байдлыг тэгшитгэлээр сольж, шийд:

(x − 2)(x + 7) = 0

Дараах хүчин зүйлсийн дор хаяж нэг нь тэг байвал бүтээгдэхүүн тэг болно.

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Бид хоёр үндэстэй. 2-р алхам руу шилжье: эдгээр үндэсийг координатын шугам дээр тэмдэглэ. Бидэнд:

Одоо 3-р алхам: хамгийн баруун талын интервал дээрх функцийн тэмдгийг ол (х = 2 гэж тэмдэглэсэн цэгийн баруун талд). Үүнийг хийхийн тулд x = 2-оос их ямар ч тоог авах хэрэгтэй. Жишээ нь, x = 3-ыг авъя (гэхдээ x = 4, x = 10, бүр x = 10,000 авахыг хэн ч хориглодоггүй). Бид авах:

f (x) = (x − 2)(x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Бид f (3) = 10 > 0 гэдгийг олж мэдэх тул хамгийн баруун талын интервалд нэмэх тэмдэг тавина.

Сүүлийн цэг рүү шилжье - үлдсэн интервал дээрх тэмдгүүдийг тэмдэглэх хэрэгтэй. Үндэс бүрээр дамжихдаа тэмдэг өөрчлөгдөх ёстой гэдгийг бид санаж байна. Жишээлбэл, x = 2 язгуурын баруун талд нэмэх тэмдэг байна (бид үүнийг өмнөх алхамд баталгаажуулсан), тиймээс зүүн талд хасах тэмдэг байх ёстой.

Энэ хасах нь бүхэл интервалд (−7; 2) үргэлжилдэг тул x = −7 язгуурын баруун талд хасах тэмдэг байна. Тиймээс x = −7 язгуурын зүүн талд нэмэх тэмдэг байна. Координатын тэнхлэг дээр эдгээр тэмдгүүдийг тэмдэглэх нь хэвээр байна. Бидэнд:

Дараах хэлбэртэй байсан анхны тэгш бус байдал руу буцъя.

(x − 2)(x + 7)< 0

Тиймээс функц нь тэгээс бага байх ёстой. Энэ нь бид зөвхөн нэг интервал дээр гарч ирэх хасах тэмдгийг сонирхож байна гэсэн үг юм: (−7; 2). Энэ хариулт байх болно.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Алхам 1: зүүн талыг тэг болгож тохируулна уу:

(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Санаж байгаарай: хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Ийм учраас бид хаалт бүрийг тэгтэй тэнцүүлэх эрхтэй.

Алхам 2: координатын шугам дээрх бүх үндэсийг тэмдэглэ.

Алхам 3: Хамгийн баруун талын цоорхойн тэмдгийг олж мэд. Бид x = 1-ээс их ямар ч тоог авна. Жишээлбэл, бид x = 10-ыг авч болно. Бидэнд:

f (x) = (x + 9)(x - 3)(1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = -1197< 0.

Алхам 4: Үлдсэн тэмдгүүдийг байрлуулах. Үндэс бүрээр дамжих үед тэмдэг өөрчлөгддөгийг бид санаж байна. Үүний үр дүнд бидний зураг дараах байдлаар харагдах болно.

Ингээд л болоо. Хариултаа бичих л үлдлээ. Анхны тэгш бус байдлыг дахин харна уу:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Энэ нь f(x) хэлбэрийн тэгш бус байдал юм.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Энэ бол хариулт юм.

Функцийн тэмдгийн тухай тэмдэглэл

Практикаас харахад интервалын аргын хамгийн том бэрхшээл нь сүүлийн хоёр алхамд үүсдэг, i.e. тэмдэг тавих үед. Олон оюутнууд эргэлзэж эхэлдэг: аль тоог авах, хаана тэмдэг тавих вэ.

Интервалын аргыг эцэст нь ойлгохын тулд түүний үндэслэсэн хоёр ажиглалтыг авч үзье.

1. Үргэлжилсэн функц нь зөвхөн эдгээр цэгүүдэд тэмдэгийг өөрчилдөг хаана тэгтэй тэнцүү байна. Ийм цэгүүд координатын тэнхлэгийг хэсэг болгон хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн дотор функцийн тэмдэг хэзээ ч өөрчлөгддөггүй. Ийм учраас бид f (x) = 0 тэгшитгэлийг шийдэж, олсон үндсийг шулуун дээр тэмдэглэнэ. Олдсон тоонууд нь давуу болон сул талуудыг тусгаарлах "хил" цэгүүд юм.
2. Аливаа интервал дээрх функцийн тэмдгийг олохын тулд энэ интервалаас дурын тоог функцэд орлуулахад хангалттай. Жишээлбэл (−5; 6) интервалын хувьд бид хүсвэл x = −4, x = 0, x = 4, бүр x = 1.29374 авах эрхтэй. Энэ яагаад чухал вэ? Тийм ээ, учир нь олон оюутнуудад эргэлзээ төрж эхэлдэг. Хэрэв x = −4 бол нэмэх, x = 0 бол хасах байвал яах вэ? Гэхдээ ийм зүйл хэзээ ч тохиолдохгүй. Нэг интервал дээрх бүх цэгүүд ижил тэмдгийг өгдөг. Үүнийг санаарай.

Энэ бол интервалын аргын талаар мэдэх ёстой зүйл юм. Мэдээжийн хэрэг, бид үүнийг хамгийн энгийн хэлбэрээр шинжилсэн. Илүү төвөгтэй тэгш бус байдал байдаг - хатуу бус, бутархай, давтагдах үндэстэй. Та мөн интервалын аргыг ашиглаж болно, гэхдээ энэ нь тусдаа том хичээлийн сэдэв юм.

Одоо би интервалын аргыг эрс хялбаршуулсан дэвшилтэт техникийг хармаар байна. Илүү нарийвчлалтай, хялбарчлах нь зөвхөн гурав дахь алхамд нөлөөлдөг - шугамын хамгийн баруун талд байгаа тэмдгийг тооцоолох. Зарим шалтгааны улмаас энэ техникийг сургуулиудад заадаггүй (наад зах нь хэн ч надад тайлбарлаагүй). Гэхдээ дэмий хоосон - учир нь үнэндээ энэ алгоритм нь маш энгийн.

Тэгэхээр функцийн тэмдэг нь тооны шулууны баруун талд байна. Энэ хэсэг нь (a ; +∞) хэлбэртэй байна, энд a нь f (x) = 0 тэгшитгэлийн хамгийн том үндэс юм. Таны сэтгэлийг хөдөлгөхгүйн тулд тодорхой жишээг авч үзье:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) = (x - 1)(2 + x)(7 - x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Бид 3 үндэстэй болсон. Тэднийг өсөх дарааллаар жагсаацгаая: x = −2, x = 1 ба x = 7. Хамгийн том язгуур нь x = 7 байх нь ойлгомжтой.

Графикаар тайлбарлахад хялбар байдаг хүмүүст би эдгээр үндэсийг координатын шугам дээр тэмдэглэх болно. Юу болсныг харцгаая:

Хамгийн баруун талын интервал дээр f (x) функцийн тэмдгийг олох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл. (7; +∞) хүртэл. Гэхдээ бид аль хэдийн тэмдэглэсэнчлэн тэмдгийг тодорхойлохын тулд та энэ интервалаас ямар ч тоог авч болно. Жишээлбэл, та x = 8, x = 150 гэх мэтийг авч болно. Одоо бол сургуульд заадаггүй ижил техник: хязгааргүйг тоо болгон авч үзье. Илүү нарийн, нэмэх хязгааргүй, өөрөөр хэлбэл +∞.

"Чи чулуу шидсэн үү? Хязгааргүйг функцэд яаж орлуулах вэ?" - Та асууж магадгүй юм. Гэхдээ бодоод үз: бидэнд функцын утга хэрэггүй, зөвхөн тэмдэг хэрэгтэй. Тиймээс, жишээлбэл, f (x) = −1 ба f (x) = −938 740 576 215 утгууд нь ижил утгатай: энэ интервал дээрх функц нь сөрөг байна. Тиймээс танаас шаардагдах бүх зүйл бол функцийн утгыг бус, хязгааргүйд гарч ирэх тэмдгийг олох явдал юм.

Үнэн хэрэгтээ хязгааргүйг орлуулах нь маш энгийн зүйл юм. Функц руугаа буцъя:

f (x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

x бол маш том тоо гэж төсөөлөөд үз дээ. Тэрбум, бүр их наяд. Одоо хаалт бүрт юу болохыг харцгаая.

Эхний хаалт: (x − 1). Хэрэв та тэрбумаас нэгийг хасвал юу болох вэ? Үр дүн нь тэрбумаас нэг их ялгаатай биш тоо байх бөгөөд энэ тоо эерэг байх болно. Хоёрдахь хаалттай адил: (2 + x). Хэрэв та хоёр тэрбумыг нэмбэл тэрбум, копейк авах болно - энэ нь эерэг тоо юм. Эцэст нь гурав дахь хаалт: (7 - x). Эндээс долоон хэлбэртэй өрөвдмөөр хэсгийг "зажилсан" хасах тэрбум байх болно. Тэдгээр. гарсан тоо нь хасах тэрбумаас тийм ч их ялгаатай биш - энэ нь сөрөг байх болно.

Бүхэл бүтэн ажлын шинж тэмдгийг олох л үлдлээ. Эхний хаалтанд нэмэх, сүүлчийнх нь хасах тэмдэгтэй байсан тул бид дараах бүтцийг олж авна.

(+) · (+) · (−) = (−)

Эцсийн тэмдэг нь хасах! Мөн функцын үнэ цэнэ нь ямар байх нь хамаагүй. Хамгийн гол нь энэ утга нь сөрөг, i.e. баруун талын интервал нь хасах тэмдэгтэй байна. Үлдсэн зүйл бол интервалын аргын дөрөв дэх алхамыг дуусгах явдал юм: бүх тэмдгүүдийг цэгцлээрэй. Бидэнд:

Анхны тэгш бус байдал нь:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Тиймээс бид хасах тэмдгээр тэмдэглэгдсэн интервалуудыг сонирхож байна. Бид хариултыг бичнэ:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Энэ бол миний чамд хэлэх гэсэн бүх заль мэх юм. Дүгнэж хэлэхэд, хязгааргүй байдлыг ашиглан интервалын аргаар шийдэж болох өөр нэг тэгш бус байдал энд байна. Шийдлийг нүдээр богиносгохын тулд би алхамын тоо, дэлгэрэнгүй тайлбарыг бичихгүй. Бодит асуудлыг шийдэхэд би зөвхөн таны бичих ёстой зүйлийг л бичих болно.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Бид тэгш бус байдлыг тэгшитгэлээр сольж, шийднэ.

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Бид бүх гурван үндсийг координатын шугам дээр тэмдэглэв (нэг дор тэмдэгтэй):

Координатын тэнхлэгийн баруун талд нэмэх зүйл бий, учир нь функц нь дараах байдлаар харагдаж байна.

f (x) = x (2x + 8)(x − 3)

Хэрэв бид хязгааргүйг (жишээлбэл, тэрбум) орлуулах юм бол гурван эерэг хаалт авна. Анхны илэрхийлэл нь тэгээс их байх ёстой тул бид зөвхөн эерэг талуудыг сонирхож байна. Хариултаа бичих л үлдлээ:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Энэ нийтлэлд би захиалагчдынхаа өөр нэг асуултанд хариулдаг. Асуултууд янз бүрээр ирдэг. Тэдгээрийг бүгдийг нь зөв томъёолоогүй байна. Тэдний заримыг нь зохиогч юу асуухыг хүсч байгаа нь тодорхойгүй байхаар томьёолжээ. Тиймээс, илгээсэн олон янзын асуултуудын дунд би үнэхээр сонирхолтой асуултуудыг сонгох ёстой, ийм "сувд" хариулт нь зөвхөн сэтгэл хөдөлгөм төдийгүй бусад уншигчдад хэрэгтэй мэт санагдаж байна. Өнөөдөр би эдгээр асуултын нэгэнд хариуллаа. Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг хэрхэн дүрслэх вэ?


Энэ үнэхээр сайн асуулт байна. Учир нь математикийн асуудлыг графикаар шийдвэрлэх арга нь маш хүчирхэг арга юм. Хүн янз бүрийн харааны материалын тусламжтайгаар мэдээллийг хүлээн авахад илүү тохиромжтой байхаар бүтээгдсэн байдаг. Тиймээс, хэрэв та энэ аргыг эзэмшсэн бол надад итгээрэй, энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалт, ялангуяа хоёрдугаар хэсэг, бусад шалгалтын даалгавруудыг шийдвэрлэхэд, оновчлолын асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай болно. .

Тэгэхээр энд байна. Бид энэ асуултад хэрхэн хариулж чадах вэ? Энгийнээр эхэлцгээе. Тэгш бус байдлын систем зөвхөн нэг хувьсагчтай байг.

Энэ системийг хялбаршуулъя. Үүнийг хийхийн тулд эхний тэгш бус байдлын хоёр талд 7-г нэмж, 2 нь эерэг тоо тул тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүйгээр хоёр талыг 2-т хуваа. Хоёр дахь тэгш бус байдлын хоёр тал дээр бид 4-ийг нэмснээр дараахь тэгш бус байдлын системийг олж авна.

Гарчиг=" QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

Ихэвчлэн ийм асуудлыг нэг хэмжээст гэж нэрлэдэг. Яагаад? Тийм ээ, учир нь түүний олон шийдлийг дүрслэхийн тулд энэ нь хангалттай шууд юм. Нарийвчлахын тулд тоон шугам. Энэ тооны шулуун дээр 6 ба 8 цэгүүдийг тэмдэглэе. 8-р цэг нь 6-р цэгээс баруун тийш байх нь тодорхой, учир нь тооны шулуун дээр том тоо нь жижиг тоонуудын баруун талд байрлана. Нэмж дурдахад 8-р цэгийг сүүдэрлэх болно, учир нь эхний тэгш бус байдлын тэмдэглэгээний дагуу энэ нь түүний шийдэлд багтсан болно. Үүний эсрэгээр, 6-р цэг нь хоёр дахь тэгш бус байдлын шийдэлд ороогүй тул сүүдэргүй болно.

Одоо системийн эхний тэгш бус байдлын дагуу 8-аас бага буюу тэнцүү утгуудын дээр сумаар, доор нь сумаар - 6-аас их утгыг тэмдэглэе. системийн хоёр дахь тэгш бус байдал:

Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүд тоон шулуун дээр хаана байрладаг вэ гэсэн асуултад хариулах хэвээр байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай. Системийн тэмдэг - буржгар хаалт нь математикийн "I" холбоосыг орлуулдаг. Өөрөөр хэлбэл, томьёоны хэлийг хүний ​​хэл рүү хөрвүүлэхдээ бид 6-аас их, 8-аас бага эсвэл тэнцүү утгыг зааж өгөх шаардлагатай гэж хэлж болно. Өөрөөр хэлбэл, шаардлагатай интервал нь тэмдэглэсэн уулзвар дээр байрладаг. интервал:

Тиймээс бид тэгш бус байдлын системд зөвхөн нэг хувьсагч агуулагдах тохиолдолд тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг тооны шулуун дээр дүрсэлсэн болно. Энэхүү сүүдэрлэсэн интервал нь системд бичигдсэн бүх тэгш бус байдлыг хангасан бүх утгыг агуулдаг.

Одоо илүү төвөгтэй хэргийг авч үзье. Манай систем нь хоёр хувьсагчтай тэгш бус байдлыг агуулж байг. Энэ тохиолдолд ийм системийн шийдлүүдийг дүрслэхийн тулд зөвхөн шулуун шугамыг ашиглах боломжгүй болно. Бид нэг хэмжээст ертөнцөөс хальж, түүнд өөр хэмжүүр нэмдэг. Энд бидэнд бүхэл бүтэн онгоц хэрэгтэй. Тодорхой жишээ ашиглан нөхцөл байдлыг харцгаая.

Тэгэхээр бид хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд хоёр хувьсагчтай өгөгдсөн тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг хэрхэн дүрслэх вэ? Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе. Энэ хавтгайн аль муж тэгш бусаар тодорхойлогддог вэ гэдгийг өөрөөсөө асууя. Тэгшитгэл нь тэнхлэгт перпендикуляр гүйх шулуун шугамыг зааж өгдөг ҮХЭРцэгээр (0;0). Энэ нь үнэн хэрэгтээ энэ шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцдаг Өө. За, бид 0-ээс их буюу тэнцүү утгыг сонирхож байгаа тул шулуун шугамын баруун талд байрлах бүхэл бүтэн хагас хавтгай тохиромжтой:

Түүнээс гадна тэнхлэг дээр байрлах бүх цэгүүд Өө, бидэнд бас тохиромжтой, учир нь тэгш бус байдал нь хатуу биш юм.

Гурав дахь тэгш бус байдал нь координатын хавтгайд ямар талбайг тодорхойлохыг ойлгохын тулд функцийг зурах хэрэгтэй. Энэ нь эхлэл ба жишээлбэл (1;1) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Энэ нь үнэн хэрэгтээ энэ нь координатын эхний дөрөвний нэгийг бүрдүүлж буй өнцгийн биссектрисийг агуулсан шулуун шугам юм.

Одоо систем дэх гурав дахь тэгш бус байдлыг хараад бодоцгооё. Бид ямар газар нутгийг олох хэрэгтэй вэ? Харцгаая: . Их буюу тэнцүү тэмдэг. Өөрөөр хэлбэл, нөхцөл байдал өмнөх жишээн дээрхтэй төстэй байна. Зөвхөн энд "илүү" гэдэг нь "илүү баруун тийш" гэсэн үг биш, харин "илүү" гэсэн үг юм. Учир нь Өө- энэ бол бидний босоо тэнхлэг юм. Өөрөөр хэлбэл, гурав дахь тэгш бус байдлаар хавтгай дээр тодорхойлсон талбай нь шугамаас дээш эсвэл түүн дээр байрлах цэгүүдийн багц юм.

Эхний тэгш бус байдлын хувьд систем нь арай бага тохиромжтой. Гэхдээ бид гурав дахь тэгш бус байдлын тодорхойлсон талбайг тодорхойлж чадсаны дараа яаж ажиллах нь аль хэдийн тодорхой болсон гэж бодож байна.

Энэ тэгш бус байдлыг зөвхөн зүүн талд хувьсагч, баруун талд нь хувьсагч байхаар харуулах шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүйгээр хоёр талаас нь хасч, хоёр талыг нь 2-т хуваана, учир нь 2 нь эерэг тоо юм. Үүний үр дүнд бид дараахь тэгш бус байдлыг олж авна.

Үлдсэн зүйл бол тэнхлэгийг огтолж буй координатын хавтгай дээр шулуун шугам зурах явдал юм Өө A(0;4) цэг дээр ба шулуун шугам . Шулуунуудын тэгшитгэлийн баруун талыг тэгшитгэж, тэгшитгэлийг олж авах замаар сүүлийнхийг сурсан. Энэ тэгшитгэлээс огтлолцлын цэгийн координатыг олох ба координат нь координаттай тэнцүү байна гэж та таасан байх. Тааж амжаагүй байгаа хүмүүсийн хувьд энэ нь бидэнд огтлолцсон шугамуудын аль нэгний тэгшитгэл байгаатай холбоотой юм: .

Энэ шулуун шугамыг зурсны дараа бид хүссэн хэсгийг шууд тэмдэглэж болно. Энд тэгш бус байдлын тэмдэг нь "бага эсвэл тэнцүү" байна. Энэ нь хүссэн хэсэг нь доор эсвэл шууд дүрсэлсэн шулуун дээр байрладаг гэсэн үг юм.

За, сүүлчийн асуулт. Системийн бүх гурван тэгш бус байдлыг хангах хүссэн муж хаана байна вэ? Энэ нь гурван тэмдэглэсэн талбайн огтлолцол дээр байрладаг нь ойлгомжтой. Дахин хөндлөн гарч байна! Санаж байна уу: математик дахь системийн тэмдэг нь огтлолцох гэсэн үг юм. Энд байна, энэ бүс:

За, сүүлчийн жишээ. Бүр илүү ерөнхий. Одоо бид системд нэг хувьсагч биш, хоёр хувьсагч биш, харин гурван хувьсагчтай гэж үзье!

Гурван хувьсагч байгаа тул ийм тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг дүрслэхийн тулд өмнөх жишээн дээр ажиллаж байсан хоёр хэмжигдэхүүнээс гадна гуравдагч хэмжигдэхүүн хэрэгтэй болно. Өөрөөр хэлбэл, бид онгоцноос сансарт авирч, орон зайн координатын системийг гурван хэмжээстээр дүрсэлдэг. X, ЮТэгээд З. Энэ нь урт, өргөн, өндөртэй тохирч байна.

Энэ координатын системд тэгшитгэлээр тодорхойлсон гадаргууг дүрсэлж эхэлцгээе. Хэлбэрийн хувьд энэ нь хавтгай дээрх тойргийн тэгшитгэлтэй маш төстэй бөгөөд хувьсагчтай зөвхөн нэг гишүүн нэмэгддэг. Энэ нь (1;3;2) цэг дээр төвтэй бөмбөрцгийн тэгшитгэл гэдгийг таахад амархан, түүний квадрат нь радиус нь 4. Өөрөөр хэлбэл, радиус нь өөрөө 2 байна.

Дараа нь асуулт. Тэгэхэд тэгш бус байдал өөрөө юуг тогтоодог вэ? Энэ асуултанд эргэлзэж буй хүмүүст би дараах байдлаар тайлбарлахыг санал болгож байна. Томъёоны хэлийг хүний ​​хэл рүү хөрвүүлэхдээ радиус нь 2-оос бага буюу тэнцүү (1;3;2) цэгт төвтэй бүх бөмбөрцгийг зааж өгөх шаардлагатай гэж хэлж болно. Эдгээр бөмбөрцөг нь дүрслэгдсэн бөмбөрцөг дотор байрлах болно! Энэ нь үнэн хэрэгтээ энэ тэгш бус байдал нь дүрслэгдсэн бөмбөрцгийн дотоод бүсийг бүхэлд нь тодорхойлдог. Хэрэв та хүсвэл бөмбөгийг дүрсэлсэн бөмбөрцөгөөр хязгаарласан байна.

x+y+z=4 тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон гадаргуу нь координатын тэнхлэгүүдийг (0;0;4), (0;4;0) ба (4;0;0) цэгүүдээр огтолж буй хавтгай юм. Тэнцүү тэмдгийн баруун талд байгаа тоо их байх тусам координатын төвөөс хол байх тусам энэ хавтгайн координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд байрлах нь ойлгомжтой. Өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь тэгш бус байдал нь өгөгдсөн хавтгайгаас "дээд" байрлах хагас орон зайг тодорхойлдог. Уламжлалт "дээд" гэсэн нэр томъёог ашигласнаар би тэнхлэгийн дагуу координатын утгыг нэмэгдүүлэх чиглэлийг хэлнэ.

Энэ хавтгай нь дүрслэгдсэн бөмбөрцөгийг огтолж байна. Энэ тохиолдолд огтлолцох хэсэг нь тойрог юм. Энэ тойргийн төв нь координатын системийн төвөөс ямар зайд байгааг ч тооцоолж болно. Дашрамд хэлэхэд, хэн үүнийг яаж хийхийг таамаглаж байгаа бол өөрийн шийдэл, хариултаа сэтгэгдэл дээр бичээрэй. Тиймээс тэгш бус байдлын анхны систем нь координатыг нэмэгдүүлэх чиглэлд энэ хавтгайгаас цааш байрлах орон зайн мужийг зааж өгсөн боловч дүрсэлсэн бөмбөрцөгт хүрээлэгдсэн болно.

Тэгш бус байдлын системийн олон шийдлийг ингэж дүрсэлдэг. Хэрэв системд 3-аас олон хувьсагч байгаа бол (жишээлбэл, 4) шийдлүүдийн багцыг тодорхой дүрслэх боломжгүй болно. Учир нь энэ нь 4 хэмжээст координатын системийг шаарддаг. Гэхдээ энгийн хүн 4 харилцан перпендикуляр координатын тэнхлэгийг хэрхэн байрлуулахыг төсөөлж чадахгүй. Хэдийгээр надад үүнийг хялбархан хийж чадна гэж хэлдэг найз бий. Тэр үнэн хэлж байгаа эсэхийг би мэдэхгүй, магадгүй тэр үнэн хэлж байгаа байх. Гэсэн хэдий ч хүний ​​ердийн төсөөлөл үүнийг хийхийг зөвшөөрдөггүй.

Өнөөдрийн хичээл танд хэрэг болсон гэж найдаж байна. Үүнийг хэр сайн ойлгосноо шалгахын тулд доорх гэрийн даалгаврыг гүйцэтгээрэй.

Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг зур.

ql-right-eqno"> title=" QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

Сергей Валерьевич бэлтгэсэн материал

Нийтлэлд бид авч үзэх болно тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. Бид танд тодорхой хэлэх болно тэгш бус байдлын шийдлийг хэрхэн бий болгох, тодорхой жишээнүүдээр!

Жишээ ашиглан тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн өмнө үндсэн ойлголтуудыг ойлгоцгооё.

Тэгш бус байдлын талаархи ерөнхий мэдээлэл

Тэгш бус байдалфункцууд харилцааны тэмдгээр холбогдсон илэрхийлэл юм >, . Тэгш бус байдал нь тоон болон үгийн аль аль нь байж болно.
Харьцааны хоёр тэмдэгтэй тэгш бус байдлыг давхар, гурвыг гурав дахин гэж нэрлэдэг. Жишээ нь:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > эсвэл эсвэл - тэмдгийг агуулсан тэгш бус байдал нь хатуу биш.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхнь энэ тэгш бус байдал үнэн байх хувьсагчийн дурын утга юм.
"Тэгш бус байдлыг шийдэх" Бид түүний бүх шийдлүүдийн багцыг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Өөр өөр байдаг тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргууд. Учир нь тэгш бус байдлын шийдлүүдТэд тооны шугамыг ашигладаг бөгөөд энэ нь хязгааргүй юм. Жишээлбэл, тэгш бус байдлын шийдэл x > 3 нь 3-аас + хүртэлх интервал бөгөөд 3-ын тоо энэ интервалд ороогүй тул шулуун дээрх цэгийг хоосон тойрогоор тэмдэглэнэ. тэгш бус байдал хатуу байна.
+
Хариулт нь: x (3; +) байх болно.
Х=3 утга нь шийдлийн багцад ороогүй тул хаалт дугуй хэлбэртэй байна. Хязгааргүй байдлын тэмдгийг үргэлж хаалтанд тэмдэглэдэг. Энэ тэмдэг нь "харьяалах" гэсэн утгатай.
Тэмдгээр өөр жишээ ашиглан тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэхийг харцгаая.
x 2
-+
Х=2 утга нь шийдлүүдийн багцад багтсан тул хаалт нь дөрвөлжин бөгөөд шулуун дээрх цэгийг дүүргэсэн тойргоор заана.
Хариулт нь: x.

Гурав дахь жишээ. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Шийдэл. Эхний алхам бол функцүүд алга болох цэгүүдийг тодорхойлох явдал юм. Зүүн талынх нь хувьд энэ тоо 2, баруун талынх нь хувьд 1 байна. Тэдгээрийг цацраг дээр тэмдэглэж, тэмдгийн тогтмол байдлын интервалыг тодорхойлох шаардлагатай.

Хасах хязгаараас 1 хүртэлх эхний интервалд тэгш бус байдлын зүүн талын функц эерэг утгыг, баруун талын функц нь сөрөг утгыг авна. Нуман доор та "+" ба "-" гэсэн хоёр тэмдгийг зэрэгцүүлэн бичих хэрэгтэй.

Дараагийн интервал нь 1-ээс 2 хүртэл байна. Үүн дээр хоёр функц эерэг утгыг авна. Энэ нь нуман доор хоёр давуу талтай гэсэн үг юм.

2-оос хязгааргүй хүртэлх гурав дахь интервал нь дараах үр дүнг өгнө: зүүн функц сөрөг, баруун функц эерэг байна.

Үүссэн тэмдгүүдийг харгалзан та бүх интервалын тэгш бус байдлын утгыг тооцоолох хэрэгтэй.

Эхнийх нь дараах тэгш бус байдлыг үүсгэдэг: 2 - x > - 2 (x - 1). Хоёр дахь тэгш бус байдлын хоёрын өмнөх хасах нь энэ функц нь сөрөг байгаатай холбоотой юм.

Өөрчлөлтийн дараа тэгш бус байдал дараах байдалтай байна: x > 0. Энэ нь хувьсагчийн утгыг шууд өгнө. Өөрөөр хэлбэл, энэ интервалаас зөвхөн 0-ээс 1 хүртэлх интервалд хариулах болно.

Хоёр дахь нь: 2 - x > 2 (x - 1). Өөрчлөлтүүд нь дараах тэгш бус байдлыг өгнө: -3x + 4 нь тэгээс их. Үүний тэг нь x = 4/3 байх болно. Тэгш бус байдлын тэмдгийг харгалзан үзвэл x нь энэ тооноос бага байх ёстой. Энэ нь энэ интервалыг 1-ээс 4/3 хүртэлх интервал болгон бууруулсан гэсэн үг юм.

Сүүлийнх нь дараах тэгш бус байдлыг өгнө: - (2 - x) > 2 (x - 1). Түүний хувиргалт нь дараахад хүргэдэг: -x > 0. Өөрөөр хэлбэл, x тэгээс бага үед тэгшитгэл үнэн болно. Энэ нь шаардлагатай интервал дээр тэгш бус байдал нь шийдлийг өгдөггүй гэсэн үг юм.

Эхний хоёр интервалд хязгаарын тоо 1 болсон. Үүнийг тусад нь шалгах шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, үүнийг анхны тэгш бус байдалд орлуулна. Энэ нь: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Тоолоход 1 нь 0-ээс их байгааг харуулж байна. Энэ нь үнэн үг тул хариултанд нэгийг оруулсан болно.

Хариулт: x интервалд (0; 4/3) оршдог.

Тэгш бус байдлын дүрсүүдийн талаар та юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Дүрс бүхий тэгш бус байдал илүү (> ), эсвэл бага (< ) гэж нэрлэдэг хатуу.Дүрс бүхий -аас их буюу тэнцүү (≥ ), -аас бага буюу тэнцүү (≤ ) гэж нэрлэдэг хатуу биш.Дүрс тэнцүү биш (≠ ) нь тусдаа байдаг, гэхдээ та үргэлж энэ дүрс бүхий жишээг шийдэх хэрэгтэй. Тэгээд бид шийдэх болно.)

Дүрс нь өөрөө шийдлийн үйл явцад тийм ч их нөлөөлдөггүй. Гэхдээ шийдвэрийн төгсгөлд эцсийн хариултыг сонгохдоо дүрсний утга бүрэн хэмжээгээр гарч ирнэ! Үүнийг бид доор жишээн дээр харах болно. Тэнд онигоо байдаг...

Тэгш бус байдал нь тэгш байдал шиг байдаг үнэнч, үнэнч бус.Энд бүх зүйл энгийн, ямар ч заль мэх байхгүй. 5 гэж хэлье > 2 нь жинхэнэ тэгш бус байдал юм. 5 < 2 - буруу.

Энэ бэлтгэл нь тэгш бус байдлын төлөө ажилладаг ямар ч төрлийнаймшгийн хэмжээнд хүртэл энгийн.) Та зүгээр л хоёр (хоёрхон!) энгийн үйлдлийг зөв хийх хэрэгтэй. Эдгээр үйлдлүүд нь хүн бүрт танил юм. Гэхдээ онцлог шинж чанараараа эдгээр үйлдлүүдийн алдаа нь тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол алдаа юм, тийм ээ ... Тиймээс эдгээр үйлдлүүдийг давтах ёстой. Эдгээр үйлдлүүдийг дараах байдлаар нэрлэнэ.

Тэгш бус байдлын ижил өөрчлөлтүүд.

Тэгшитгэлийн ижил хувиргалт нь тэгшитгэлийн ижил хувиргалттай маш төстэй. Үнэндээ энэ бол гол асуудал юм. Ялгаанууд таны толгойг давж,... бид ирлээ.) Тиймээс би эдгээр ялгааг онцгойлон тэмдэглэх болно. Тиймээс, тэгш бус байдлын анхны ижил хувиргалт:

1. Тэгш бус байдлын хоёр талд ижил тоо буюу илэрхийллийг нэмж (хасаж) болно. Ямар ч. Энэ нь тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүй.

Практикт энэ дүрмийг тэгш бус байдлын зүүн талаас баруун тийш (болон эсрэгээр) тэмдгийн өөрчлөлтөөр нэр томъёог шилжүүлэхэд ашигладаг. Тэгш бус байдал биш нэр томьёоны тэмдгийн өөрчлөлтөөр! Нэгийг харьцах дүрэм нь тэгшитгэлийн дүрэмтэй ижил байна. Гэхдээ тэгш бус байдлын дараах ижил хувиргалтууд нь тэгшитгэлийнхээс эрс ялгаатай байна. Тиймээс би тэдгээрийг улаан өнгөөр ​​тодруулсан:

2. Тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил зүйлээр үржүүлж (хувааж) болноэерэгтоо. Дурын хувьдэерэг өөрчлөгдөхгүй.

3. Тэгш бус байдлын хоёр талыг ижил зүйлээр үржүүлж (хувааж) болносөрөгтоо. Дурын хувьдсөрөгтоо. Үүнээс тэгш бус байдлын тэмдэгэсрэгээр өөрчлөгдөх болно.

Тэгшитгэлийг ямар ч зүйлээр үржүүлж/хувааж болно гэдгийг та санаж байна (би найдаж байна ...). Мөн дурын тооны хувьд, мөн X-тэй илэрхийллийн хувьд. Хэрэв тэг биш байсан бол. Энэ нь түүнийг, тэгшитгэлийг халуун ч биш, хүйтэн ч биш болгодог.) Энэ нь өөрчлөгдөхгүй. Гэхдээ тэгш бус байдал нь үржүүлэх / хуваахад илүү мэдрэмтгий байдаг.

Урт санах ойн тод жишээ. Эргэлзээ төрүүлэхгүй тэгш бус байдлыг бичье.

5 > 2

Хоёр талыг үржүүлнэ +3, бид авах:

15 > 6

Ямар нэгэн эсэргүүцэл байна уу? Эсэргүүцэл байхгүй.) Хэрэв бид анхны тэгш бус байдлын хоёр талыг үржүүлбэл -3, бид авах:

15 > -6

Мөн энэ бол шууд худал юм.) Бүрэн худал! Ард түмнийг хуурч байна! Гэхдээ тэгш бус байдлын тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөхөд бүх зүйл байрандаа орно.

15 < -6

Би зүгээр л худал хуурмагийн талаар харааж зүхээгүй.) "Тэгш тэмдгийг өөрчлөхөө мартсан байна ..."- Энэ гэртэгш бус байдлыг шийдвэрлэх алдаа. Энэ өчүүхэн бөгөөд энгийн дүрэм маш олон хүнийг хохироосон! Тэд мартсан ...) Тиймээс би тангараглаж байна. Магадгүй би санаж байх болно ...)

Ялангуяа анхааралтай хүмүүс тэгш бус байдлыг X тэмдэгтэй илэрхийллээр үржүүлэх боломжгүй гэдгийг анзаарах болно. Анхаарал хандуулдаг хүмүүст хүндэтгэлтэй хандаарай!) Яагаад болохгүй гэж? Хариулт нь энгийн. Энэ илэрхийллийн X тэмдэгтийг бид мэдэхгүй. Эерэг, сөрөг байж болно... Тиймээс үржүүлсний дараа ямар тэгш бус байдлын тэмдэг тавихаа мэдэхгүй байна. Би үүнийг өөрчлөх ёстой юу, үгүй ​​юу? Тодорхойгүй. Мэдээжийн хэрэг, энэ хязгаарлалтыг (тэгш бус байдлыг х-тэй илэрхийллээр үржүүлэх/хуваах хориг) тойрч болно. Хэрэв танд үнэхээр хэрэгтэй бол. Гэхдээ энэ бол бусад хичээлүүдийн сэдэв юм.

Энэ бол тэгш бус байдлын ижил төстэй өөрчлөлтүүд юм. Тэдний төлөө ажилладаг гэдгийг дахин сануулъя ямар чтэгш бус байдал Одоо та тодорхой төрлүүд рүү шилжиж болно.

Шугаман тэгш бус байдал. Шийдэл, жишээ.

Шугаман тэгш бус байдал гэдэг нь x нь нэгдүгээр зэрэглэлд байх ба х-д хуваагдахгүй тэгш бус байдлыг хэлнэ. Төрөл:

x+3 > 5х-5

Ийм тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Тэдгээрийг шийдвэрлэхэд маш хялбар! Тухайлбал: тусламжтайгаар бид хамгийн ойлгомжгүй шугаман тэгш бус байдлыг багасгадаг шууд хариулт руу.Энэ бол шийдэл. Би шийдвэрийн гол санааг онцолж хэлье. Тэнэг алдаа гаргахгүйн тулд.)

Энэ тэгш бус байдлыг шийдье:

x+3 > 5х-5

Бид үүнийг шугаман тэгшитгэлтэй яг ижил аргаар шийддэг. Ганц ялгаа нь:

Бид тэгш бус байдлын тэмдгийг анхааралтай ажигладаг!

Эхний алхам бол хамгийн түгээмэл зүйл юм. X-тэй - зүүн тийш, X-гүй - баруун тийш ... Энэ бол энгийн бөгөөд асуудалгүй анхны ижил хувиргалт юм.) Зөвхөн шилжүүлсэн нэр томъёоны тэмдгийг өөрчлөхөө бүү мартаарай.

Тэгш бус байдлын тэмдэг хэвээр байна:

x-5x > -5-3

Энд ижил төстэй зүйлүүд байна.

Тэгш бус байдлын тэмдэг хэвээр байна:

4x > -8

Сүүлийн ижил хувиргалтыг хэрэгжүүлэхэд үлдлээ: хоёр талыг -4-т хуваана.

Хуваах сөрөгтоо.

Тэгш бус байдлын тэмдэг нь эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

X < 2

Энэ бол хариулт юм.

Бүх шугаман тэгш бус байдлыг ингэж шийддэг.

Анхаар! 2-р цэгийг цагаанаар зурсан, өөрөөр хэлбэл. будаагүй. Дотор нь хоосон. Энэ нь тэр хариултанд ороогүй гэсэн үг юм! Би түүнийг маш эрүүл зурсан. Математикийн ийм цэгийг (хоосон, эрүүл биш!)) гэж нэрлэдэг цоорсон цэг.

Тэнхлэг дээрх үлдсэн тоонуудыг тэмдэглэж болох боловч шаардлагагүй. Бидний тэгш бус байдалтай холбоогүй гадны тоонууд нь төөрөгдүүлж магадгүй, тийм ээ ... Та зүгээр л тоонууд нь сумны чиглэлд нэмэгддэг гэдгийг санах хэрэгтэй, i.e. тоо 3, 4, 5 гэх мэт. байна баруун тийшхоёр, тоо нь 1, 0, -1 гэх мэт. - зүүн тийш.

Тэгш бус байдал x < 2 - хатуу. X нь хоёроос бага байна. Хэрэв эргэлзэж байвал шалгах нь энгийн зүйл юм. Бид эргэлзээтэй тоог тэгш бус байдалд орлуулж, "Хоёр нь хоёроос бага" гэж бодож байна. Энэ нь зөв. Тэгш бус байдал 2 < 2 буруу.Хариуд нь хоёр нь тохиромжгүй.

Нэг нь зүгээр үү? Мэдээж. Бага... Тэгээд тэг бол сайн, мөн -17, 0.34... Тийм ээ, хоёроос бага тоонууд бүгд сайн! Тэгээд бүр 1.9999.... Ядаж бага зэрэг, гэхдээ бага!

Тэгэхээр энэ бүх тоог тооны тэнхлэгт тэмдэглэе. Яаж? Энд сонголтууд байна. Эхний сонголт бол сүүдэрлэх явдал юм. Бид зураг дээр хулганаа хөдөлгөж (эсвэл таблет дээрх зурган дээр хүрч) x нөхцөлийг хангасан бүх x-ийн талбай сүүдэрлэж байгааг харна. < 2 . Ингээд л болоо.

Хоёр дахь жишээг ашиглан хоёр дахь сонголтыг авч үзье.

X ≥ -0,5

Тэнхлэг зураад -0.5 тоог тэмдэглэ. Үүнтэй адил:

Ялгааг анзаарч байна уу?) За, тийм ээ, анзаарахгүй байх нь хэцүү юм ... Энэ цэг нь хар! Дээрээс нь будсан. Энэ нь -0.5 гэсэн үг хариултанд багтсан болно.Дашрамд хэлэхэд, баталгаажуулалт нь хэн нэгнийг төөрөлдүүлж магадгүй юм. Орлуулж үзье:

-0,5 ≥ -0,5

Яаж тэгэх вэ? -0.5 нь -0.5-аас ихгүй байна! Мөн илүү олон дүрс бий ...

Зүгээр дээ. Хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд дүрсэнд тохирсон бүх зүйл тохиромжтой. БА тэнцүү байнасайн, мөн илүүсайн. Иймд -0.5 гэсэн хариултыг оруулсан байна.

Тиймээс бид тэнхлэг дээр -0.5 гэж тэмдэглэсэн; -0.5-аас их байгаа бүх тоог тэмдэглэх нь хэвээр байна. Энэ удаад би тохирох x утгын талбайг тэмдэглэв нум(үгнээс нум), сүүдэрлэхийн оронд. Бид курсорыг зурган дээр аваачиж, энэ нумыг харна.

Сүүдэрлэх, гар хоёрын хооронд онцгой ялгаа байхгүй. Багшийн хэлснээр хий. Хэрэв багш байхгүй бол нуман хаалга зур. Илүү нарийн төвөгтэй ажлуудад сүүдэрлэх нь тодорхойгүй байдаг. Та андуурч болно.

Шугаман тэгш бус байдлыг тэнхлэг дээр ингэж зурдаг. Тэгш бус байдлын дараагийн шинж чанарт шилжье.

Тэгш бус байдлын хариултыг бичих.

Тэгшитгэлүүд сайн байсан.) Бид х-г олоод хариултыг бичлээ, жишээ нь: x=3. Тэгш бус байдалд хариулт бичих хоёр хэлбэр байдаг. Нэг нь эцсийн тэгш бус байдлын хэлбэртэй. Энгийн тохиолдлуудад тохиромжтой. Жишээ нь:

X< 2.

Энэ бол бүрэн хариулт юм.

Заримдаа та ижил зүйлийг бичих хэрэгтэй, гэхдээ өөр хэлбэрээр, тоон интервалтайгаар бичих хэрэгтэй. Дараа нь бичлэг маш шинжлэх ухаанч харагдаж эхэлдэг):

x ∈ (-∞; 2)

Дүрс дор ∈ үг нуугдаж байна "харьяалах"

Бичлэг нь дараах байдалтай байна. х нь хасах хязгаараас хоёр хүртэлх интервалд хамаарна оруулахгүй. Маш логиктой. Х нь бүх боломжит тооноос хязгааргүй хасахаас хоёр хүртэлх дурын тоо байж болно. Давхар X байж болохгүй, энэ нь үг бидэнд хэлдэг "үүнд ороогүй".

Мөн хариултын хаана нь тодорхой байна "үүнд ороогүй"? Энэ баримтыг хариултад тэмдэглэсэн болно дугуйхоёрын дараа шууд хаалт хийнэ. Хэрэв энэ хоёрыг оруулсан бол хаалт нь байх байсан дөрвөлжин.Үүнтэй адил: ]. Дараах жишээнд ийм хаалт ашиглаж байна.

Хариултаа бичье: x ≥ -0,5 интервалаар:

x ∈ [-0.5; +∞)

Уншсан: x нь хасах 0.5 хүртэлх интервалд хамаарна, үүнд,нэмэх хязгааргүй.

Хязгааргүй байдлыг хэзээ ч асааж болохгүй. Энэ бол тоо биш, бэлгэдэл юм. Иймд ийм тэмдэглэгээнд хязгааргүй нь үргэлж хаалтанд байдаг.

Энэ бичлэгийн хэлбэр нь хэд хэдэн зайнаас бүрдсэн нарийн төвөгтэй хариултуудад тохиромжтой. Гэхдээ - зөвхөн эцсийн хариултуудын хувьд. Цаашдын шийдэл хүлээгдэж буй завсрын үр дүнд энгийн тэгш бус байдлын хэлбэрээр ердийн хэлбэрийг ашиглах нь дээр. Үүнийг бид холбогдох сэдвүүдээр авч үзэх болно.

Тэгш бус байдал бүхий түгээмэл даалгаврууд.

Шугаман тэгш бус байдал нь өөрөө энгийн. Тиймээс даалгавар нь ихэвчлэн хэцүү болдог. Тиймээс бодох хэрэгтэй байсан. Хэрэв та үүнд дасаагүй бол энэ нь тийм ч таатай биш юм.) Гэхдээ энэ нь ашигтай. Би ийм даалгаврын жишээг харуулах болно. Та тэдгээрийг сурахын тулд биш, энэ нь шаардлагагүй юм. Ийм жишээнүүдтэй уулзахдаа айхгүй байхын тулд. Жаахан бодоод үзээрэй - энэ нь маш энгийн!)

1. 3x - 3 тэгш бус байдлын дурын хоёр шийдийг ол< 0

Хэрэв юу хийх нь тодорхойгүй байвал математикийн үндсэн дүрмийг санаарай.

Хэрэв танд юу хэрэгтэйгээ мэдэхгүй байгаа бол чадах бүхнээ хий!)

X < 1

Тэгээд юу? Онцгой зүйл байхгүй. Тэд биднээс юу асууж байна вэ? Тэгш бус байдлын шийдэл болох хоёр тодорхой тоог олохыг биднээс хүсдэг. Тэдгээр. хариултанд тохирно. Хоёр ямар чтоо. Үнэн хэрэгтээ энэ нь будлиантай юм.) 0 ба 0.5 гэсэн хосууд тохиромжтой. Хос -3 ба -8. Эдгээр хосуудын тоо хязгааргүй олон! Аль хариулт нь зөв бэ?!

Би хариулдаг: бүх зүйл! Дурын хос тоо, тус бүр нь нэгээс бага, зөв хариулт байх болно.Та алийг нь хүсч байгаагаа бичээрэй. Үргэлжлүүлье.

2. Тэгш бус байдлыг шийд:

4х - 3 ≠ 0

Энэ хэлбэрийн даалгавар нь ховор байдаг. Гэхдээ туслах тэгш бус байдлын хувьд жишээлбэл, ODZ-ийг олох эсвэл функцийн тодорхойлолтын мужийг олох үед тэдгээр нь байнга тохиолддог. Ийм шугаман тэгш бус байдлыг энгийн шугаман тэгшитгэл болгон шийдэж болно. Зөвхөн "=" тэмдгээс бусад бүх газар ( тэнцүү байна) тэмдэг тавих" ≠ " (тэнцүү биш). Тэгш бус байдлын тэмдгээр та хариултанд ингэж хандаж байна:

X ≠ 0,75

Илүү төвөгтэй жишээн дээр аливаа зүйлийг өөрөөр хийх нь дээр. Тэгш бус байдлаас тэгш бус байдлыг бий болго. Үүнтэй адил:

4х - 3 = 0

Үүнийг заасны дагуу тайван шийдэж, хариултыг аваарай:

x = 0.75

Хамгийн гол нь эцсийн хариултыг бичихдээ бид x олсон гэдгийг мартаж болохгүй, энэ нь өгдөг тэгш байдал.Мөн бидэнд хэрэгтэй - тэгш бус байдал.Тиймээс бидэнд энэ X хэрэггүй.) Мөн бид үүнийг зөв тэмдэгтээр бичих хэрэгтэй:

X ≠ 0,75

Энэ арга нь алдаа багатай байдаг. Тэгшитгэлийг автоматаар шийддэг хүмүүс. Тэгшитгэлийг шийддэггүй хүмүүсийн хувьд тэгш бус байдал нь үнэндээ ямар ч ашиггүй юм ...) Алдартай даалгаврын өөр нэг жишээ:

3. Тэгш бус байдлын хамгийн бага бүхэл тоон шийдийг ол:

3(x - 1) < 5x + 9

Эхлээд бид тэгш бус байдлыг шийднэ. Бид хаалтуудыг онгойлгож, хөдөлгөж, ижил төстэй зүйлсийг авчирна ... Бид дараахь зүйлийг авна.

X > - 6

Тэгж бүтсэнгүй гэж үү!? Та тэмдгүүдийг дагасан уу!? Мөн гишүүдийн тэмдгийн ард, тэгш бус байдлын тэмдгийн ард...

Дахиад бодоцгооё. Бид хариулт болон нөхцөлийн аль алинд нь тохирох тодорхой тоог олох хэрэгтэй "хамгийн жижиг бүхэл тоо".Хэрэв энэ нь танд шууд харагдахгүй бол та ямар ч дугаарыг аваад үүнийг олж мэдэх боломжтой. Хоёр хасах зургаагаас их үү? Мэдээжийн хэрэг! Тохиромжтой бага тоо байна уу? Мэдээжийн хэрэг. Жишээлбэл, тэг нь -6-аас их байна. Тэгээд бүр бага уу? Бидэнд хамгийн жижиг зүйл хэрэгтэй! Гурав хасвал зургаагаас их байна! Та аль хэдийн хэв маягийг барьж аваад тоонуудын дунд тэнэг явахаа больж чадна, тийм үү?)

-6-д ойртсон тоог авч үзье. Жишээлбэл, -5. Хариулт нь биелсэн, -5 > - 6. -5-аас бага боловч -6-аас их өөр тоо олох боломжтой юу? Та жишээ нь -5.5... Зогс! Бидэнд хэлдэг бүхэлд ньшийдэл! -5.5 өнхрөхгүй! Хасах зургаа яах вэ? Өө-өө! Тэгш бус байдал нь хатуу, хасах 6 нь хасах 6-аас багагүй!

Тиймээс зөв хариулт нь -5 байна.

Ерөнхий шийдлээс үнэ цэнийг сонгоход бүх зүйл тодорхой байгаа гэж найдаж байна. Өөр нэг жишээ:

4. Тэгш бус байдлыг шийд:

7 < 3х+1 < 13

Хөөх! Энэ илэрхийлэл гэж нэрлэдэг гурвалсан тэгш бус байдал.Хатуухан хэлэхэд энэ нь тэгш бус байдлын системийн товчилсон хэлбэр юм. Гэхдээ ийм гурвалсан тэгш бус байдлыг зарим нэг даалгавар дээр шийдвэрлэх шаардлагатай хэвээр байна ... Үүнийг ямар ч системгүйгээр шийдэж болно. Ижил ижил өөрчлөлтүүдийн дагуу.

Бид хялбарчилж, энэ тэгш бус байдлыг цэвэр X-д хүргэх хэрэгтэй. Гэхдээ... Юуг хаашаа зөөх ёстой юм бэ?! Эндээс баруун, зүүн тийш шилжих нь чухал гэдгийг санах цаг болжээ богино хэлбэранхны таних өөрчлөлт.

Мөн бүтэн хэлбэр нь иймэрхүү сонсогдож байна: Тэгшитгэлийн хоёр талд (тэгш бус байдал) дурын тоо эсвэл илэрхийллийг нэмж/хасаж болно.

Энд гурван хэсэг байна. Тиймээс бид бүх гурван хэсэгт ижил өөрчлөлтүүдийг хийх болно!

Тэгэхээр тэгш бус байдлын дунд байгаа нэгийг хасъя. Бүхэл бүтэн дунд хэсгээс нэгийг хасъя. Тэгш бус байдал өөрчлөгдөхгүйн тулд үлдсэн хоёр хэсгээс нэгийг хасна. Үүнтэй адил:

7 -1< 3х+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Энэ нь дээр, тийм үү?) Гурван хэсгийг гурав хуваахад л үлдлээ.

2 < X < 4

Ингээд л болоо. Энэ бол хариулт юм. X нь хоёроос (үүнд ороогүй) дөрөв (оролцоогүй) хүртэлх дурын тоо байж болно. Энэ хариултыг мөн интервалаар бичдэг, ийм оруулгууд нь квадрат тэгш бус байдалд байх болно. Тэнд тэд хамгийн нийтлэг зүйл юм.

Хичээлийн төгсгөлд би хамгийн чухал зүйлийг давтах болно. Шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх амжилт нь шугаман тэгшитгэлийг хувиргах, хялбарчлах чадвараас хамаарна. Хэрэв нэгэн зэрэг тэгш бус байдлын тэмдгийг ажигла,ямар ч асуудал гарахгүй. Үүнийг л би чамд хүсч байна. Асуудал байхгүй.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.