Магадлалын сонгодог тодорхойлолт

Магадлал - магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг. Энэ ойлголтын хэд хэдэн тодорхойлолт байдаг. Магадлал Энэ нь тодорхой үйл явдал тохиолдох магадлалын түвшинг тодорхойлдог тоо юм.

Туршилтын боломжит үр дүн бүрийг дуудна анхан шатны үр дүн (анхан шатны үйл явдал).Тэмдэглэл: ...,

Бидний сонирхсон үйл явдал тохиолдох энгийн үр дүнг бид нэрлэх болно таатай.

Жишээ:Нэг саванд 10 ижил бөмбөлөг байхаас 4 нь хар, 6 нь цагаан байна. Үйл явдал - савнаас цагаан бөмбөг сугалж байна. Уран савнаас цагаан бөмбөлөг гаргах таатай үр дүнгийн тоо 4 байна.

Үйл явдалд таатай байх үндсэн үр дүнгийн тоог тэдгээрийн нийт тоонд харьцуулсан харьцааг үйл явдлын магадлал гэж нэрлэдэг; Бидний жишээнд тэмдэглэгээ

Үйл явдлын магадлалЭнэ үйл явдалд таатай үр дүнгийн тооны харьцааг бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг ижил тэгш боломжит үл нийцэх энгийн үр дүнгийн нийт тоонд нэрлэх;

үйл явдалд таатай анхан шатны үр дүнгийн тоо хаана байна; бүх боломжит анхан шатны тестийн үр дүнгийн тоо.

Магадлалын шинж чанарууд:

1. Найдвартай үйл явдлын магадлал нэгтэй тэнцүү, i.e.

2. Боломжгүй үйл явдлын магадлал нь тэг, өөрөөр хэлбэл.д.

3. Санамсаргүй үйл явдлын магадлал нь тэгээс нэг хүртэлх эерэг тоо, өөрөөр хэлбэл.д.

эсвэл

1 ба 2-р шинж чанарыг харгалзан үзвэл, аливаа үйл явдлын магадлал нь тэгш бус байдлыг хангадаг

4 . Комбинаторикийн үндсэн томъёо

Комбинаторик нь дурын шинж чанартай өгөгдсөн хязгаарлагдмал олонлог элементүүдээс хийж болох нэгдлүүдийн тоог тодорхой нөхцлөөр судалдаг. Магадлалыг шууд тооцоолохдоо комбинаторик томъёог ихэвчлэн ашигладаг. Бид тэдгээрийн хамгийн түгээмэлийг танилцуулж байна.

СэлгээЭдгээр нь ижил өөр элементүүдээс бүрдэх ба зөвхөн байршлын дарааллаар ялгаатай хослолууд юм.

Бүх боломжит сэлгэлтийн тоо

Хаана Үүнийг хүлээн зөвшөөрч байна

Жишээ.Гурван оронтой тооны зураг дээр цифр бүр нь зөвхөн нэг удаа гарч ирэх гурван оронтой тооны тоо нь тэнцүү байна.

БайршлуулалтЭлементүүдийн найрлагаар эсвэл дарааллаар нь ялгаатай элементүүдээр янз бүрийн элементүүдээс бүрдсэн хослолууд юм. Бүх боломжит байршлын тоо

Жишээ. 2-р бүлэгт авсан өөр өөр өнгийн 6 тугнаас ирсэн дохионы тоо:

Хослолууднаад зах нь нэг элементээр ялгаатай элементүүдийн өөр өөр элементүүдээс бүрдсэн хослолууд юм. Хослолын тоо

Жишээ. 10 хэсэг агуулсан хайрцагнаас хоёр хэсгийг сонгох аргын тоо:

Байршил, сэлгэлт, хослолын тоо нь тэгш байдлаар хамааралтай

Комбинаторикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ дараах дүрмийг баримтална.

Нийлбэрийн дүрэм. Хэрэв зарим объектыг олон тооны объектуудаас арга замаар сонгож, өөр объектыг арга замаар сонгох боломжтой бол аль нэгийг нь сонгож болно, эсвэл арга замаар сонгож болно.

Бүтээгдэхүүний дүрэм. Хэрэв объектыг объектын цуглуулгаас арга замаар сонгож болох ба ийм сонголт бүрийн дараа объектыг арга замаар сонгож болох юм бол тодорхой дарааллаар хос объектыг сонгож болно.

Харьцангуй давтамжМөн магадлалын онолын үндсэн ойлголт юм.

Харьцангуй давтамжүйл явдал гэдэг нь тухайн үйл явдал болсон туршилтын тоог бодит гүйцэтгэсэн туршилтын нийт тоонд харьцуулсан харьцаа бөгөөд томъёогоор тодорхойлогддог.

,

туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тоо хаана байна, нийт туршилтын тоо.

Магадлал ба харьцангуй давтамжийн тодорхойлолтыг харьцуулж үзвэл магадлалыг тодорхойлоход туршилт хийх шаардлагагүй, харьцангуй давтамжийг тодорхойлоход бодит туршилт хийх шаардлагатай гэж бид дүгнэж байна.

Урт хугацааны ажиглалтаас харахад ижил нөхцөлд туршилт хийх үед харьцангуй давтамж нь тогтвортой байдлын шинж чанартай байдаг. Энэ шинж чанар нь янз бүрийн цуврал туршилтуудад цувралаас цуврал хүртэлх туршилтын харьцангуй давтамж бага зэрэг өөрчлөгдөж, тодорхой тогтмол тоо орчимд хэлбэлздэгт оршино. Энэ нь тогтмол тоо бөгөөд үйл явдал болох магадлал юм.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь зарим сул талуудтай:

1) энгийн тестийн үр дүнгийн тоо практикт хязгаарлагдмал, энэ тоо хязгааргүй байж болно;

2) туршилтын үр дүнг энгийн үйл явдлын багц хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй байдаг;

Эдгээр шалтгааны улмаас магадлалын сонгодог тодорхойлолтын зэрэгцээ статистик тодорхойлолтыг ашигладаг. Вчанар статистик магадлал үйл явдал харьцангуй давтамжтай болдог.

Харьцангуй давтамж нь магадлалын хамт магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудад хамаарна.

Харьцангуй давтамжүйл явдал нь тухайн үйл явдал болсон туршилтын тоог бодитоор хийсэн туршилтын нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм. Тиймээс үйл явдлын харьцангуй давтамж Атомъёогоор тодорхойлно

В(А) = м/n,

Хаана м- үйл явдлын тохиолдлын тоо, n- туршилтын нийт тоо.

Магадлал ба харьцангуй давтамжийн тодорхойлолтыг харьцуулж үзвэл бид дараахь дүгнэлтэд хүрэв: магадлалын тодорхойлолт нь туршилтыг бодитоор хийх шаардлагагүй; харьцангуй давтамжийг тодорхойлох нь туршилтыг бодитоор хийсэн гэж үздэг. Өөрөөр хэлбэл, магадлалыг туршилтаас өмнө, харьцангуй давтамжийг туршилтын дараа тооцдог.

Жишээ 1.Хяналтын хэлтэс нь санамсаргүй түүврийн аргаар сонгогдсон 80 ширхэг хэсгээс стандартын бус 3 ширхэгийг илрүүлсэн. Стандарт бус хэсгүүдийн үүсэх харьцангуй давтамж

В(А) =3/80.

Жишээ 2.Байгаа руу 24 удаа буудсанаас 19 удаа оносон байна. Харьцангуй зорилтот цохилтын түвшин

В(А) =19/24.

Урт хугацааны ажиглалтаас харахад хэрэв туршилтыг ижил нөхцөлд явуулсан бол туршилтын тоо хангалттай их байвал харьцангуй давтамж нь тогтвортой байдлын шинж чанарыг харуулдаг. Энэ өмч нь янз бүрийн туршилтуудад харьцангуй давтамж бага зэрэг өөрчлөгддөг(бага байх тусмаа илүү олон шинжилгээ хийдэг), тогтмол тооны орчимд хэлбэлздэг. Энэ тогтмол тоо нь үйл явдал болох магадлал болох нь тогтоогдсон.

Тиймээс, хэрэв харьцангуй давтамжийг туршилтаар тогтоосон бол үр дүнгийн тоог магадлалын утга болгон авч болно.

Харьцангуй давтамж ба магадлалын хоорондын хамаарлыг доор дэлгэрэнгүй, нарийвчлан тайлбарлах болно. Одоо тогтвортой байдлын шинж чанарыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 3.Шведийн статистик мэдээгээр 1935 онд охидын төрөлтийн харьцангуй давтамж. Сараар нь дараах тоогоор тодорхойлогддог (тоонуудыг 1-р сараас эхлэн саруудын дарааллаар байрлуулсан): 0.486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473

Харьцангуй давтамж нь 0.482 тоо орчим хэлбэлздэг бөгөөд энэ нь охидтой болох магадлалын ойролцоо утга гэж үзэж болно.

Өөр өөр орны статистик мэдээлэл нь ойролцоогоор ижил давтамжийн утгыг өгдөг болохыг анхаарна уу.

Жишээ 4.Зоос шидэх туршилтыг олон удаа хийж, "сүлд"-ийн хэдэн удаа гарч ирснийг тоолжээ. Хэд хэдэн туршилтын үр дүнг 1-р хүснэгтэд үзүүлэв.

Энд харьцангуй давтамж нь 0.5 тооноос бага зэрэг хазайдаг бөгөөд бага байх тусам туршилтын тоо их байх болно. Жишээлбэл, 4040 туршилтанд хазайлт нь 0.0069, 24000 туршилтанд ердөө 0.0005 байна. Зоос шидэх үед “сүлд” гарч ирэх магадлал 0.5 байдгийг харгалзан үзвэл харьцангуй давтамж магадлалын орчимд хэлбэлзэж байгааг бид дахин харж байна.

§ 7. Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын хязгаарлалт. Статистикийн магадлал

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь туршилтын анхан шатны үр дүнгийн тоог хязгаартай гэж үздэг. Практикт, боломжит үр дүнгийн тоо хязгааргүй байдаг тестүүдтэй тулгарах нь маш түгээмэл байдаг. Ийм тохиолдолд сонгодог тодорхойлолтыг ашиглах боломжгүй болно. Зөвхөн энэ нөхцөл байдал нь сонгодог тодорхойлолтын хязгаарлалтыг харуулж байна. Тэмдэглэгдсэн сул талыг, ялангуяа геометрийн магадлалыг (§ 8-г үзнэ үү) нэвтрүүлэх замаар, мэдээжийн хэрэг аксиоматик магадлалыг (§ 3, тайлбарыг үзнэ үү) ашиглан даван туулж болно.

Сонгодог тодорхойлолтын хамгийн сул тал бол туршилтын үр дүнг энгийн үйл явдлын багц хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй байдаг. Энгийн үйл явдлуудыг адил боломжтой гэж үзэх шалтгааныг зааж өгөх нь бүр ч хэцүү байдаг. Ихэвчлэн тестийн анхан шатны үр дүнгийн тэгш хэмийг харгалзан үзэх боломжтой гэж үздэг. Жишээлбэл, хэвийг ердийн полиэдрон (шоо) хэлбэртэй, нэгэн төрлийн материалаар хийсэн гэж үздэг. Гэсэн хэдий ч тэгш хэмийг харгалзан үзэх асуудлууд практикт маш ховор байдаг. Энэ шалтгааны улмаас магадлалын сонгодог тодорхойлолтын зэрэгцээ бусад тодорхойлолтуудыг, ялангуяа статистикийн тодорхойлолтыг ашигладаг. Харьцангуй давтамж эсвэл түүнд ойр байгаа тоог үйл явдлын статистик магадлал гэж авна.Жишээлбэл, хангалттай олон тооны туршилтын үр дүнд харьцангуй давтамж нь 0.4 тоотой маш ойрхон байвал энэ тоог үйл явдлын статистик магадлал болгон авч болно.

Сонгодог тодорхойлолтоос үүссэн магадлалын шинж чанарууд (§ 3-ыг үзнэ үү) магадлалын статистик тодорхойлолтод хадгалагдаж байгааг шалгахад хялбар байдаг. Үнэхээр үйл явдал найдвартай бол м =nболон харьцангуй давтамж

м/n = n/n = 1,

тэдгээр. найдвартай үйл явдлын статистик магадлал (сонгодог тодорхойлолтын хувьд) нэгтэй тэнцүү байна.

Хэрэв үйл явдал боломжгүй бол м= 0 тул харьцангуй давтамж

0/n = 0,

тэдгээр. боломжгүй үйл явдлын статистик магадлал 0 байна.

Аливаа үйл явдлын хувьд 0 м nулмаар харьцангуй давтамж

0 м/n 1,

тэдгээр. Аливаа үйл явдлын статистик магадлал нь тэгээс нэг хооронд байна.

Үйл явдлын статистик магадлалын хувьд Ашаардлагатай:

а) наад зах нь зарчмын хувьд үйл явдал бүрт хязгааргүй тооны туршилт хийх боломж. Атохиолддог эсвэл тохиолддоггүй;

б) үүсэх харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал Ахангалттай олон тооны туршилтын янз бүрийн цувралд.

Статистикийн тодорхойлолтын сул тал нь статистикийн магадлалын тодорхой бус байдал юм; Тэгэхээр, дээрх жишээнд зөвхөн 0.4 биш, бас 0.39-ийг үйл явдлын магадлал гэж авч болно; 0.41 гэх мэт.

Геометрийн магадлал

Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын сул талыг даван туулахын тулд энэ нь хязгааргүй тооны үр дүн бүхий туршилтуудад хамаарахгүй. геометрийн магадлал– тухайн газар (сегмент, онгоцны хэсэг гэх мэт) цэгийг онох магадлал.

Сегментийг зөвшөөр лсегментийн нэг хэсгийг бүрдүүлдэг Л. Сегментийн хувьд Лсанамсаргүй байдлаар цэг тавьсан. Энэ нь дараах таамаглалыг биелүүлнэ гэсэн үг юм: тогтоосон цэг нь сегментийн аль ч цэг дээр байж болно Л, сегмент дээр цэг унах магадлал лЭнэ сегментийн урттай пропорциональ бөгөөд сегменттэй харьцуулахад түүний байршлаас хамаарахгүй Л. Эдгээр таамаглалын дагуу цэгийн сегмент дээр унах магадлал лтэгш эрхээр тодорхойлогддог

П= Урт л/ Урт Л.

Жишээ 1.Сегментийн хувьд О.А.урт Лтооны тэнхлэг Үхэрсанамсаргүй байдлаар цэг тавьсан Б(x). Хэсгүүд нь бага байх магадлалыг ол О.Б.Тэгээд Б.А.илүү урттай Л

Шийдэл. Сегментийг хувааж үзье О.А.цэгүүд CТэгээд Д 3 тэнцүү хэсэгт хуваана. Даалгаврын шаардлага хангасан тохиолдолд цэг Б(x) сегмент дээр унадаг CDурт Л/3. Шаардлагатай магадлал

П = (Л /3)/Л = 1/3.

Хавтгай дүрстэй байг gхавтгай дүрсний нэг хэсгийг бүрдүүлдэг Г. Тохиромжтой ГСанамсаргүй байдлаар цэг шиддэг. Энэ нь дараах таамаглалыг гаргана гэсэн үг юм: шидсэн цэг нь зургийн аль ч цэгт хүрч болно Г, шидсэн цэг нь дүрст тусах магадлал gЭнэ зургийн талбайтай пропорциональ бөгөөд түүний байршлаас хамаарахгүй Г, хэлбэрээс ч биш g. Эдгээр таамаглалуудын дагуу нэг цэг нь дүрсийг цохих магадлал юм gтэгш эрхээр тодорхойлогддог

П= Талбай g/ Талбай Г.

Жишээ 2.Хавтгай дээр хоёр төвлөрсөн тойрог зурсан бөгөөд тэдгээрийн радиус нь 5 ба 10 см байна. Том тойрог руу санамсаргүй байдлаар шидсэн цэг баригдсан тойргуудаас үүссэн цагираг руу унах магадлалыг ол. Хавтгай дүрст цэг унах магадлал нь энэ зургийн талбайтай пропорциональ бөгөөд том тойрогтой харьцуулахад түүний байршлаас хамаарахгүй гэж үздэг.

Шийдэл. Бөгжний талбай (зураг g)

С Г= p(10 2 - 5 2) = 75 х.

Их тойргийн талбай (зураг Г)

С Г= p10 2 = 100 х.

Шаардлагатай магадлал

П= 75 p / (100 p) = 0.75.

Жишээ 3.Дохиоллын төхөөрөмж нь хоёр төхөөрөмжөөс дохио хүлээн авдаг бөгөөд дохио тус бүрийг хүлээн авах нь үргэлжлэх хугацааны аль ч үед адилхан боломжтой байдаг. Т. Дохио ирэх мөчүүд нь бие биенээсээ хамааралгүй байдаг. Дохио хүлээн авах моментуудын хоорондын ялгаа бага байвал дохиолол үүснэ т(т<Т). Сэрүүлэг цагтаа дуугарах магадлалыг ол Т, хэрэв төхөөрөмж бүр нэг дохио илгээдэг бол.

Шийдэл. Эхний болон хоёр дахь төхөөрөмжөөс дохио ирэх мөчүүдийг тус тус тэмдэглэе. xТэгээд y. Асуудлын нөхцлөөс хамааран давхар тэгш бус байдлыг хангах ёстой: 0 x Т, 0 y ТТэгш өнцөгт координатын системийг авч үзье xOy. Энэ системд давхар тэгш бус байдлыг квадратын аль ч цэгийн координатаар хангадаг ОТАТ(Зураг 1).

Тиймээс энэ квадратыг зураг гэж үзэж болно Г, цэгүүдийн координатууд нь дохио ирэх мөчүүдийн бүх боломжит утгыг илэрхийлдэг.

Дохио хүлээн авах моментуудын хоорондын ялгаа бага байвал дохиолол үүснэ т, өөрөөр хэлбэл Хэрэв y-x<тцагт y>xТэгээд x-y<тцагт x>y, эсвэл, ижил зүйл юу вэ,

y<x+тцагт y>x, (*)

y >x-тцагт y<x. (**)

Зургийн эдгээр цэгүүдэд тэгш бус байдал (*) байна Г, шугамаас дээш байрлах y = xмөн шугамын доор y = x+т;тэгш бус байдал (**) шугамын доор байрлах цэгүүдэд тохирно y= xба шулуун шугамаас дээш y = x-т.

1-р зурагнаас харж болно. координатууд нь (*) ба (**) тэгш бус байдлыг хангадаг бүх цэгүүд сүүдэрт зургаан өнцөгт хамаарна. Тэгэхээр энэ зургаан өнцөгтийг дүрс гэж үзэж болно g, цэгүүдийн координатууд нь цаг хугацааны таатай мөчүүд юм xТэгээд y.

Шаардлагатай магадлал

П= Pl. g/ Pl. Г = (Т 2 - (Т - т) 2)/Т 2 = (т(2Т - т))/Т 2 .

Тайлбар1. Өгөгдсөн тодорхойлолтууд нь геометрийн магадлалын ерөнхий тодорхойлолтын онцгой тохиолдол юм. Хэрэв бид бүс нутгийн хэмжигдэхүүнийг (урт, талбай, эзэлхүүн) mes-ээр тэмдэглэвэл санамсаргүй байдлаар шидсэн цэг (дээрх утгаар) тухайн бүсэд унах магадлал. g- бүс нутгийн нэг хэсэг Г, тэнцүү байна

П=mes g/mes Г.

Тайлбар 2. Сонгодог тодорхойлолтын хувьд найдвартай (боломжгүй) үйл явдлын магадлал нь нэг (тэг) -тэй тэнцүү; Эсрэг заалтууд нь бас үнэн байдаг (жишээлбэл, хэрэв үйл явдлын магадлал тэг байвал үйл явдал боломжгүй болно). Магадлалын геометрийн тодорхойлолтын хувьд эсрэг заалтууд тохирохгүй. Жишээлбэл, шидсэн цэг тухайн хэсгийн тодорхой нэг цэгийг онох магадлал Гтэг, гэхдээ энэ үйл явдал тохиолдож болох тул боломжгүй зүйл биш юм.

Даалгаврууд

1. Хайрцаг нь 50 ижил хэсэгтэй бөгөөд 5 нь будсан байдаг. Нэг хэсгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Олборлосон хэсгийг будах магадлалыг ол

Хариулах. х = 0,1.

2. Үхэл шидэж байна. Тэгш тооны оноо авах магадлалыг ол.

Хариулах. х = 0,5.

3. Сугалаанд оролцогчид хайрцагнаас 1-ээс 100 хүртэлх тоон тэмдэгтүүдийг сугална.

Хариулах. х = 0,81.

4. Цүнхэнд 5 ижил шоо байна. Шоо бүрийн бүх нүүрэн дээр дараах үсгүүдийн аль нэгийг бичсэн байна: o, p, p, s, t нэг нэгээр нь сунгасан шоо дөрвөлжин дээр "спорт" гэсэн үгийг уншиж болох магадлалыг ол. шугам".

Хариулах. х = 1/120.

5. Зургаан ижил карт тус бүр дээр дараах үсгүүдийн аль нэгийг хэвлэсэн байна: a, t, m, p, s, o. Картууд нь сайтар холилдсон байна. "Кабель" гэдэг үгийг нэг нэгээр нь сугалж, "нэг мөрөнд" байрлуулсан дөрвөн картанд уншиж болох магадлалыг ол.

Хариулах. х = 1/ = 1/360.

6. Бүх ирмэгүүд нь өнгөтэй байдаг шоо нь ижил хэмжээтэй мянган шоо болгон хөрөөдөж, дараа нь сайтар холино. Санамсаргүй байдлаар зурсан шоо нь өнгөт нүүртэй байх магадлалыг ол: a) нэг; б) хоёр; в) гурав.

Хариулах. a) 0.384; b) 0.096; в) 0.008.

7. 28 даалууны сайтар холилдсон иж бүрэн багцаас санамсаргүй байдлаар хавтан зурдаг. Санамсаргүй байдлаар зурсан хоёр дахь ясыг эхний ясны хажууд байрлуулах магадлалыг ол: a) давхар болсон; б) давхар байхгүй.

Хариулах. a)2/9; б) 4/9.

8. Түгжээ нь нийтлэг тэнхлэгт таван дисктэй. Диск бүр зургаан салбарт хуваагддаг бөгөөд тэдгээрт өөр өөр үсэг бичигдсэн байдаг. Диск бүр нь түгжээтэй харьцуулахад нэг тодорхой байрлалыг эзэлдэг тохиолдолд л түгжээ нээгдэнэ. Хэрэв дискүүдийг санамсаргүй байдлаар суулгавал түгжээ нээгдэх магадлалыг ол.

Хариулах. х = 1/6 5 .

9. Найман өөр номыг нэг тавиур дээр санамсаргүй байдлаар байрлуулна. Хоёр тусгай номыг зэрэгцүүлэн байрлуулах магадлалыг ол.

Хариулах. х= 7*2!*6!/8! = ¼.

10. Номын сан нь арван өөр номоос бүрдэх бөгөөд тус бүр нь 4 рублийн үнэтэй таван ном, тус бүр нь нэг рублийн үнэтэй гурван ном, тус бүр нь гурван рублийн үнэтэй хоёр номтой. Санамсаргүй байдлаар авсан хоёр ном 5 рублийн үнэтэй байх магадлалыг ол.

Хариулах. х =

11. Техникийн хяналтын хэлтэс 100 ширхэг багцад стандартын бус 5 эд анги илрүүлсэн. Стандарт бус эд анги үүсэх харьцангуй давтамж хэд вэ?

Хариулах. w = 0,05.

12. Буунаас буудах үед бай онох харьцангуй давтамж нь 0.85-тай тэнцүү байв. Нийт 120 удаа буудсан бол оносон тоог ол.

Хариулах. 102 хандалт.

13. Сегментийн хувьд О.А.урт Лтооны тэнхлэг Үхэрсанамсаргүй байдлаар цэг тавьсан Б(x).Хэсгүүд нь жижиг байх магадлалыг ол О.Б.Тэгээд Б.А.-аас бага урттай Л/3. Хэсэг дээр унах цэгийн магадлал нь сегментийн урттай пропорциональ бөгөөд тооны тэнхлэг дээрх байршлаас хамаарахгүй гэж үздэг.

Хариулах. х = 2/3.

14. Радиусын тойрог дотор РСанамсаргүй байдлаар нэг цэг шиддэг. Тойрог дотор бичээстэй дөрвөлжин дотор цэг байх магадлалыг ол. Нэг цэгийн квадрат руу унах магадлал нь талбайн талбайтай пропорциональ бөгөөд тойрогтой харьцуулахад түүний байршлаас хамаардаггүй гэж үздэг.

P = 7/16.

Хоёрдугаар бүлэг

дуудсан харьцангуй давтамж (эсвэл давтамж)үйл явдал Аавч үзэж буй туршилтуудын цувралд.

Үйл явдлын харьцангуй давтамж нь дараах байдалтай байна шинж чанарууд:

1. Аливаа үйл явдлын давтамж нь тэгээс нэгийн хооронд байдаг, i.e.

2. Боломжгүй үйл явдлын давтамж нь тэг, өөрөөр хэлбэл.

3. Найдвартай үйл явдлын давтамж нь 1, i.e.

4. Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн давтамж нь давтамжийн нийлбэртэй тэнцүү байна
эдгээр үйл явдлууд, жишээлбэл. хэрэв , тэгвэл

Давтамж нь өөр нэг үндсэн шинж чанартай байдаг статистикийн тогтвортой байдлын шинж чанар: туршилтын тоо нэмэгдэх тусам (жишээ нь. n) энэ нь зарим тогтмол тоотой ойролцоо утгыг авдаг (тэд хэлэхдээ: давтамж тогтворжиж, тодорхой тоонд ойртож, давтамж нь тодорхой тооны орчимд хэлбэлздэг, эсвэл түүний утгууд нь тодорхой тооны эргэн тойронд бүлэглэгддэг).

Жишээлбэл, туршилтанд (К. Пирсон) зоос шидэх - 12,000 ба 24,000 шидэлт бүхий төрийн сүлд харагдах харьцангуй давтамж нь 0.5015 ба 0.5005-тай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. давтамж нь тоонд ойртдог. Хүүтэй болох давтамж нь ажиглалтаас харахад 0.515 орчим хэлбэлздэг.

Магадлалын онол нь зөвхөн харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдлыг тооцсон тодорхой бус үр дүн бүхий масс санамсаргүй үзэгдлүүдийг судалдаг гэдгийг анхаарна уу.

Магадлалын статистик тодорхойлолт

Санамсаргүй үйл явдлыг математикийн аргаар судлахын тулд тухайн үйл явдлын зарим тоон үнэлгээг нэвтрүүлэх шаардлагатай. Зарим үйл явдал бусдаасаа илүү тохиолдох магадлал (“илүү магадлалтай”) нь тодорхой байна. Энэ үнэлгээ нь үйл явдлын магадлал, тэдгээр. авч үзэж буй туршлагад тохиолдох боломжийн түвшинг илэрхийлсэн тоо. Магадлалын хэд хэдэн математик тодорхойлолтууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бүгд бие биенээ нөхөж, нэгтгэдэг.

Хэд хэдэн удаа давтаж болох туршилтыг авч үзье (тэд: "давтан туршилт явуулсан" гэж хэлдэг), ямар нэгэн үйл явдал ажиглагдаж байна. А.

Статистикийн магадлалүйл явдал Ань хангалттай олон тооны туршилт (туршилт) хийхэд А үйл явдлын харьцангуй давтамж хэлбэлзэх тоо юм.

Үйл явдлын магадлал Атэмдгээр илэрхийлнэ Р(А). Энэ тодорхойлолтын дагуу:

.

(1.2)

Харьцангуй давтамж ба магадлалын ойролцоо байдлын математик үндэслэл Р(А) зарим үйл явдлын тухай АЖ.Бернуллигийн теорем болдог.

Магадлал Р(А) 1-4 харьцангуй давтамжийн шинж чанаруудыг дараахь байдлаар тодорхойлно.

1. Аливаа үйл явдлын статистик магадлал нь тэгээс нэгийн хооронд, өөрөөр хэлбэл.

2. Боломжгүй үйл явдлын статистик магадлал нь тэг, өөрөөр хэлбэл.

3. Найдвартай үйл явдлын статистик магадлал нь 1-тэй тэнцүү, i.e.

4. Хоёр үл нийцэх үйл явдлын нийлбэрийн статистик магадлал нь эдгээр үйл явдлын давтамжийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. хэрэв , тэгвэл

Бодит туршлага дээр үндэслэн магадлалыг тодорхойлох статистик арга нь энэ ойлголтын агуулгыг бүрэн харуулж байна. Статистикийн тодорхойлолтын сул тал нь статистикийн магадлалын тодорхой бус байдал юм; Тиймээс зоос шидэх жишээн дээр та магадлалыг зөвхөн 0.5 биш, харин 0.49 эсвэл 0.51 гэх мэтээр авч болно. Магадлалыг найдвартай тодорхойлохын тулд та олон тооны туршилт хийх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь үргэлж хялбар, хямдхан байдаггүй.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт

Туршилтын хязгаарлагдмал тооны үр дүнгийн аль нэгнийх нь тэгш байдалд үндэслэн үйл явдлын магадлалыг тодорхойлох энгийн арга бий. -ээр туршилт явуулъя nгэж төлөөлж болох үр дүн нийцэхгүй бүрэн бүлэг адил боломжтойүйл явдал. Ийм үр дүнгүүд гэж нэрлэдэг боломж, тохиолдлын, энгийн үйл явдлууд, туршлага - сонгодог. Тэд ийм туршлагын талаар ярьдаг бөгөөд энэ нь буцалгана хэргийн схемэсвэл савны схем(Учир нь ийм туршилтын магадлалын бодлогыг өөр өөр өнгийн бөмбөлөг агуулсан савтай ижил төстэй бодлогоор сольж болно).

Үйл явдал үүсэхэд хүргэдэг тохиолдол w А, дуудсан таатай(эсвэл таатай) түүнд, өөрөөр хэлбэл. тохиолдол w үйл явдлыг дагуулдаг А: .

Үйл явдлын магадлал Атооны харьцаа гэж нэрлэдэг мэнэ үйл явдалд таатай тохиолдлууд, нийт тоо nтохиолдлууд, өөрөөр хэлбэл.

Зориулалтын хамт Р(А) үйл явдлын магадлалын хувьд Аашигласан тэмдэглэгээ нь r, өөрөөр хэлбэл p=P(А).

Магадлалын сонгодог тодорхойлолтоос дараахь зүйл гарч ирнэ. шинж чанарууд:

1. Аливаа үйл явдлын магадлал нь тэгээс нэгийн хооронд, өөрөөр хэлбэл.

2. Боломжгүй үйл явдлын магадлал нь тэг, өөрөөр хэлбэл.

3. Найдвартай үйл явдлын магадлал 1, i.e.

4. Тохиромжгүй үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын давтамжийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. хэрэв , тэгвэл

Жишээ 1.3.Нэг саванд 12 цагаан, 8 хар бөмбөлөг байдаг. Санамсаргүй байдлаар зурсан бөмбөг цагаан өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Болъё А– цагаан бөмбөг зурсан үйл явдал. Энэ нь адил боломжтой бүх тохиолдлын тоо нь тодорхой байна. Үйл явдлыг дэмжсэн тохиолдлын тоо А, 12-той тэнцүү, i.e. . Тиймээс (1.3) томъёоны дагуу бид: , i.e. .

Магадлалын геометрийн тодорхойлолт

Магадлалын геометрийн тодорхойлолтыг туршилтын үр дүн ижил тэнцүү байх тохиолдолд ашигладаг бөгөөд PES нь хязгааргүй тоолж баршгүй олонлог юм. Хавтгай дээр зарим бүсийг Ω талбайтай, Ω муж доторхыг авч үзье , бүс нутаг Дталбайтай С Д(6-р зургийг үз).

Ω мужид цэгийг санамсаргүй байдлаар сонгоно X. Энэ сонголтыг гэж тайлбарлаж болно оноо шидэх X бүс нутаг рууΩ. Энэ тохиолдолд Ω мужид цэг орох нь найдвартай үйл явдал юм Д- санамсаргүй. Ω бүсийн бүх цэгүүд тэнцүү гэж үздэг (бүх энгийн үйл явдлууд адилхан боломжтой), өөрөөр хэлбэл. Шидсэн цэг нь бүс нутгийн аль ч цэгийг цохиж болох Ω ба бүс рүү орох магадлал ДЭнэ талбайн талбайтай пропорциональ бөгөөд түүний байршил, хэлбэрээс хамаардаггүй. Үйл явдал байг, i.e. шидэгдсэн цэг тухайн хэсэгт унах болно Д.

Харьцангуй давтамж. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал

Харьцангуй давтамж нь магадлалын хамт магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудад хамаарна.

Харьцангуй давтамжүйл явдал нь тухайн үйл явдал болсон туршилтын тоог бодитоор хийсэн туршилтын нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм. Тиймээс А үйл явдлын харьцангуй давтамжийг томъёогоор тодорхойлно

Энд m нь үйл явдлын тохиолдлын тоо, n нь туршилтын нийт тоо юм.

Магадлал ба харьцангуй давтамжийн тодорхойлолтыг харьцуулж үзвэл бид дараахь дүгнэлтэд хүрэв: магадлалын тодорхойлолт нь туршилтыг бодитоор хийх шаардлагагүй; харьцангуй давтамжийг тодорхойлох нь туршилтыг бодитоор хийсэн гэж үздэг. Өөрөөр хэлбэл туршилтын өмнө магадлалыг, туршилтын дараах харьцангуй давтамжийг тооцдог.

Жишээ 1. Хяналтын хэлтэс нь санамсаргүй түүврийн аргаар сонгогдсон 80 ширхэг хэсгээс стандартын бус 3 ширхэгийг илрүүлсэн. Стандарт бус хэсгүүдийн үүсэх харьцангуй давтамж

Жишээ 2.Байгаа руу 24 удаа буудсанаас 19 удаа оносон байна. Харьцангуй зорилтот цохилтын түвшин

Урт хугацааны ажиглалтаас харахад хэрэв туршилтыг ижил нөхцөлд явуулсан бол туршилтын тоо хангалттай их байвал харьцангуй давтамж нь тогтвортой байдлын шинж чанарыг харуулдаг. Энэ өмч нь Янз бүрийн туршилтуудад харьцангуй давтамж бага зэрэг өөрчлөгддөг (бага байх тусам илүү их туршилт хийх), тодорхой тогтмол тоо орчим хэлбэлздэг.. Энэ тогтмол тоо нь үйл явдал болох магадлал болох нь тогтоогдсон.

Тиймээс, хэрэв харьцангуй давтамжийг туршилтаар тогтоосон бол үр дүнгийн тоог магадлалын утга болгон авч болно.

Харьцангуй давтамж ба магадлалын хоорондын хамаарлыг доор дэлгэрэнгүй, нарийвчлан тайлбарлах болно. Одоо тогтвортой байдлын шинж чанарыг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 3.Шведийн статистикийн мэдээгээр 1935 оны охидын төрөлтийн харьцангуй давтамжийг сараар нь дараах тоогоор тодорхойлдог (1-р сараас эхлэн тоонуудыг сараар нь дарааллаар нь жагсаасан): 0.486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473.

Харьцангуй давтамж нь 0.482 тоо орчим хэлбэлздэг бөгөөд энэ нь охидтой болох магадлалын ойролцоо утга гэж үзэж болно.

Өөр өөр орны статистик мэдээлэл нь ойролцоогоор ижил давтамжийн утгыг өгдөг болохыг анхаарна уу.

Жишээ 4. Зоос шидэх туршилтыг олон удаа хийж, “сүлд” хэдэн удаа гарч ирснийг тоолдог байсан. Хэд хэдэн туршилтын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 1.

Энд харьцангуй давтамж нь 0.5 тооноос бага зэрэг хазайж, гүйдэл бага байх тусам туршилтын тоо их байх болно. Жишээлбэл, 4040 туршилтын хувьд хазайлт нь 0,0069, 24,000 туршилтын хувьд ердөө 0,0005 байна. магадлалын орчимд хэлбэлздэг.

Сонгодог тодорхойлолтоор үйл явдлын магадлалыг P(A)=m/n тэгшитгэлээр тодорхойлно, энд m нь А үйл явдал тохиолдоход таатай анхан шатны туршилтын үр дүнгийн тоо; n нь анхан шатны шалгалтын боломжит үр дүнгийн нийт тоо юм.

Анхан шатны үр дүн нь бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг бөгөөд адилхан боломжтой гэж үздэг.

А үйл явдлын харьцангуй давтамж: W(A)=m/n, энд m нь А үйл явдал болсон туршилтын тоо; n нь гүйцэтгэсэн туршилтын нийт тоо юм.

Статистикийг тодорхойлохдоо үйл явдлын магадлалыг түүний харьцангуй давтамж гэж үздэг.

Жишээ нь: хоёр шоо шидсэн. Өнхрүүлсэн талуудын онооны нийлбэр тэгш байх ба ядаж нэг шооны талд зургаа гарч ирэх магадлалыг ол.

Шийдэл: “эхний” шооны унасан талд нэг оноо,..., зургаан оноо гарч ирж болно. "Хоёр дахь" үхлийг шидэх үед ижил төстэй зургаан үндсэн үр дүн гарах боломжтой. "Эхний" шидэлтийн үр дүн бүрийг "хоёр дахь" шидэлтийн үр дүн бүртэй нэгтгэж болно. энгийн тестийн үр дүнгийн нийт тоо нь 6*6=36. Эдгээр үр дүн нь бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг бөгөөд ясны тэгш хэмийн улмаас адилхан боломжтой. Үйл явдалд таатай 5 хөдөлгөөн: 1)6,2;2)6,4;3)6,6;4)2,6;5)4,6;

Шаардлагатай магадлал: P(A)=5/36

Та мөн өөрийн сонирхож буй мэдээллээ шинжлэх ухааны хайлтын систем Otvety.Online-аас олж болно. Хайлтын маягтыг ашиглана уу:

Сэдвийн талаар дэлгэрэнгүй 3. Харьцангуй давтамж. Харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдал. Магадлалын статистик тодорхойлолт:

1. 4. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт. Үйл явдлын харьцангуй давтамж. Статистикийн магадлал. Геометрийн магадлал.
2. 27. Түүврийн статистикийн тодорхойлолт. Вариацын цуваа ба тэдгээрийн график дүрслэл. Давтамжийн полигон ба гистограмм (харьцангуй давтамж).
3. 39. Интервалын вариацын цуваа байгуулах. Давтамж ба харьцангуй давтамжийн гистограм.
4. 4. Харьцангуй давтамжийн тогтмол магадлалаас хазайх магадлал бие даасан туршилтууд