Тодорхойлолт.

Энэ бол зургаан өнцөгт бөгөөд суурь нь хоёр тэнцүү квадрат, хажуугийн нүүр нь тэнцүү тэгш өнцөгт юм.

Хажуугийн хавирга- хоёр зэргэлдээх хажуугийн нүүрний нийтлэг тал юм

Призмийн өндөр- энэ бол призмийн суурийн перпендикуляр сегмент юм

Призм диагональ- нэг нүүрэнд хамаарахгүй суурийн хоёр оройг холбосон сегмент

Диагональ хавтгай- призмийн диагональ ба түүний хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгай

Диагональ хэсэг- призм ба диагональ хавтгайн огтлолцлын хил хязгаар. Ердийн дөрвөлжин призмийн диагональ хөндлөн огтлол нь тэгш өнцөгт юм

Перпендикуляр огтлол (orthogonal хэсэг)- энэ бол призм ба түүний хажуугийн ирмэгүүдэд перпендикуляр татсан хавтгайн огтлолцол юм.

Энгийн дөрвөлжин призмийн элементүүд

Зураг дээр хоёр ердийн дөрвөлжин призмийг харуулсан бөгөөд тэдгээрийг харгалзах үсгээр тэмдэглэсэн болно.

ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 суурь нь хоорондоо тэнцүү ба параллель байна
Хажуугийн нүүрнүүд AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ба CC 1 D 1 D, тус бүр нь тэгш өнцөгт юм
Хажуугийн гадаргуу - призмийн бүх хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэр
Нийт гадаргуу - бүх суурь ба хажуугийн гадаргуугийн нийлбэр (хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэр)
Хажуугийн хавирга AA 1, BB 1, CC 1 ба DD 1.
Диагональ B 1 D
Үндсэн диагональ BD
Диагональ хэсэг BB 1 D 1 D
Перпендикуляр огтлол A 2 B 2 C 2 D 2.

Энгийн дөрвөлжин призмийн шинж чанарууд

Суурь нь хоёр тэнцүү квадрат юм
Суурь нь хоорондоо параллель байна
Хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна
Хажуугийн ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү байна
Хажуугийн нүүр нь суурьтай перпендикуляр байна
Хажуугийн хавирга нь хоорондоо параллель, тэнцүү байна
Хажуугийн бүх хавиргатай перпендикуляр, суурьтай параллель перпендикуляр хэсэг
Перпендикуляр огтлолын өнцөг - шулуун
Ердийн дөрвөлжин призмийн диагональ хөндлөн огтлол нь тэгш өнцөгт юм
Суурьтай параллель перпендикуляр (ортогональ хэсэг).

Энгийн дөрвөлжин призмийн томъёо

Асуудлыг шийдвэрлэх заавар

Сэдвийн асуудал шийдвэрлэх үед " ердийн дөрвөлжин призм" гэсэн үг:

Зөв призм- суурь нь ердийн олон өнцөгт байрладаг, хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байдаг призм. Өөрөөр хэлбэл ердийн дөрвөлжин призм нь түүний сууринд байдаг дөрвөлжин. (дээрх ердийн дөрвөлжин призмийн шинж чанарыг харна уу) Анхаарна уу. Энэ бол геометрийн асуудлууд (хэсэг стереометр - призм) бүхий хичээлийн нэг хэсэг юм. Энд шийдвэрлэхэд хэцүү асуудлууд байна. Хэрэв та энд байхгүй геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Бодлого шийдвэрлэхдээ квадрат язгуурыг гаргаж авах үйлдлийг тэмдэглэхийн тулд тэмдэглэгээг ашиглана√ .

Даалгавар.

Энгийн дөрвөлжин призмд суурийн талбай 144 см 2, өндөр нь 14 см призмийн диагональ ба гадаргуугийн нийт талбайг ол.

Шийдэл.
Ердийн дөрвөлжин бол дөрвөлжин юм.
Үүний дагуу суурийн тал нь тэнцүү байх болно

√144 = 12 см.
Энгийн тэгш өнцөгт призмийн суурийн диагональ хаанаас тэнцүү байх болно
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Энгийн призмийн диагональ нь суурийн диагональ ба призмийн өндөртэй тэгш өнцөгт гурвалжинг үүсгэдэг. Үүний дагуу Пифагорын теоремын дагуу өгөгдсөн ердийн дөрвөлжин призмийн диагональ нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Хариулах: 22 см

Даалгавар

Энгийн дөрвөлжин призмийн диагональ нь 5 см, хажуугийнх нь диагональ нь 4 см бол түүний нийт гадаргууг тодорхойл.

Шийдэл.
Энгийн дөрвөлжин призмийн суурь нь дөрвөлжин тул суурийн талыг (а гэж тэмдэглэсэн) Пифагорын теоремыг ашиглан олно.

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Хажуугийн нүүрний өндөр (h гэж тэмдэглэсэн) нь дараахтай тэнцүү байна.

H 2 + 12.5 = 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 = 3.5
h = √3.5

Гадаргуугийн нийт талбай нь хажуугийн гадаргуугийн нийлбэр ба суурийн талбайгаас хоёр дахин их хэмжээтэй тэнцүү байна

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51.46 см 2.

Хариулт: 25 + 10√7 ≈ 51.46 см 2.

Призм. Параллелепипед

Призмнь хоёр нүүр нь n-гонтой тэнцүү олон өнцөгт юм (суурь) , зэрэгцээ хавтгайд хэвтэж, үлдсэн n нүүр нь параллелограмм байна (хажуугийн нүүр царай) . Хажуугийн хавирга Призмийн суурьт хамааралгүй талыг призмийн тал гэнэ.

Хажуу ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байрладаг призмийг гэнэ шууд призм (Зураг 1). Хэрэв хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд перпендикуляр биш бол призмийг дуудна налуу . Зөв Призм нь зөв олон өнцөгт суурьтай зөв призм юм.

Өндөрпризм нь суурийн хавтгай хоорондын зай юм. Диагональ Призм нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр оройг холбосон сегмент юм. Диагональ хэсэг нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар призмийн зүсэлт гэнэ. Перпендикуляр хэсэг призмийн хажуугийн ирмэгтэй перпендикуляр хавтгайгаар призмийн огтлол гэж нэрлэдэг.

Хажуугийн гадаргуугийн талбай Призм нь бүх хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэр юм. Нийт гадаргуугийн талбай призмийн бүх нүүрний талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг (жишээ нь: хажуугийн нүүр ба суурийн талбайн нийлбэр).

Дурын призмийн хувьд дараах томъёонууд үнэн байна.:

Хаана л- хажуугийн хавирганы урт;

Х- өндөр;

S тал

S дүүрэн

S суурь- суурийн талбай;

В- призмийн эзэлхүүн.

Шулуун призмийн хувьд дараахь томъёо зөв байна.

Хаана х- суурийн периметр;

л- хажуугийн хавирганы урт;

Х- өндөр.

параллелепипедсуурь нь параллелограмм болох призм гэж нэрлэгддэг. Хажуу ирмэг нь сууринд перпендикуляр байрладаг параллелепипед гэж нэрлэгддэг шууд (Зураг 2). Хажуугийн ирмэг нь суурийн перпендикуляр биш бол параллелепипед гэж нэрлэгддэг налуу . Суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэгддэг тэгш өнцөгт. Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэгддэг шоо

Нийтлэг оройгүй параллелепипедийн нүүрийг нэрлэдэг эсрэг . Нэг оройноос гарах ирмэгүүдийн уртыг нэрлэдэг хэмжилт параллелепипед. Параллелепипед нь призм тул түүний үндсэн элементүүдийг призмийн хувьд тодорхойлсонтой адилаар тодорхойлно.

Теоремууд.

1. Параллелепипедийн диагональууд нэг цэгт огтлолцож, хоёр хэсэгт хуваагдана.

2. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ уртын квадрат нь түүний гурван хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

3. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн дөрвөн диагональ бүгд хоорондоо тэнцүү байна.

Дурын параллелепипедийн хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

Хаана л- хажуугийн хавирганы урт;

Х- өндөр;

П- перпендикуляр огтлолын периметр;

Q– Перпендикуляр хөндлөн огтлолын талбай;

S тал- хажуугийн гадаргуугийн талбай;

S дүүрэн- нийт гадаргуугийн талбай;

S суурь- суурийн талбай;

В- призмийн эзэлхүүн.

Баруун параллелепипедийн хувьд дараах томъёо зөв байна.

Хаана х- суурийн периметр;

л- хажуугийн хавирганы урт;

Х– баруун параллелепипедийн өндөр.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хувьд дараах томъёо зөв байна.

(3)

Хаана х- суурийн периметр;

Х- өндөр;

г- диагональ;

a,b,c- параллелепипедийн хэмжилт.

Кубын хувьд дараах томъёо зөв байна.

Хаана а- хавирганы урт;

г- кубын диагональ.

Жишээ 1.Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ нь 33 дм, хэмжээ нь 2: 6: 9 харьцаатай. Параллелепипедийн хэмжээсийг ол.

Шийдэл.Параллелепипедийн хэмжээсийг олохын тулд бид (3) томъёог ашиглана, өөрөөр хэлбэл. куб хэлбэрийн гипотенузын квадрат нь түүний хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. -ээр тэмдэглэе кпропорциональ хүчин зүйл. Дараа нь параллелепипедийн хэмжээсүүд 2-той тэнцүү байх болно к, 6кболон 9 к. Асуудлын өгөгдөлд томъёо (3) бичье.

Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх к, бид авах:

Энэ нь параллелепипедийн хэмжээсүүд нь 6 дм, 18 дм, 27 дм байна гэсэн үг юм.

Хариулт: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

Жишээ 2.Хажуугийн ирмэг нь суурийн талтай тэнцүү, суурьтай 60º өнцгөөр налуу байвал суурь нь 8 см талтай тэгш талт гурвалжин болох налуу гурвалжин призмийн эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл . Зураг зурцгаая (Зураг 3).

Налуу призмийн эзэлхүүнийг олохын тулд түүний суурь ба өндрийн талбайг мэдэх хэрэгтэй. Энэхүү призмийн суурийн талбай нь 8 см-ийн талтай тэгш өнцөгт гурвалжны талбай юм.

Призмийн өндөр нь суурийн хоорондох зай юм. Дээрээс АДээд суурийн 1, доод суурийн хавтгайд перпендикулярыг буулгана А 1 Д. Түүний урт нь призмийн өндөртэй тэнцүү байх болно. Д бодъё А 1 МЭ: учир нь энэ нь хажуугийн ирмэгийн налуу өнцөг юм А 1 Асуурь хавтгайд, А 1 А= 8 см Энэ гурвалжнаас бид олно А 1 Д:

Одоо бид (1) томъёог ашиглан эзлэхүүнийг тооцоолно.

Хариулт: 192 см 3.

Жишээ 3.Энгийн зургаан өнцөгт призмийн хажуугийн ирмэг нь 14 см, хамгийн том диагональ хэсгийн талбай нь 168 см 2 байна. Призмийн нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 4)

Хамгийн том диагональ хэсэг нь тэгш өнцөгт юм А.А. 1 ДДДиагональаас хойш 1 МЭердийн зургаан өнцөгт ABCDEFхамгийн том нь юм. Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолохын тулд суурийн тал ба хажуугийн ирмэгийн уртыг мэдэх шаардлагатай.

Диагональ огтлолын талбайг (тэгш өнцөгт) мэдсэнээр бид суурийн диагональыг олдог.

Түүнээс хойш

Түүнээс хойш AB= 6 см.

Дараа нь суурийн периметр нь:

Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг олъё.

6 см талтай ердийн зургаан өнцөгтийн талбай нь:

Призмийн нийт гадаргуугийн талбайг ол:

Хариулт:

Жишээ 4.Баруун параллелепипедийн суурь нь ромб юм. Диагональ хөндлөн огтлолын талбай нь 300 см2 ба 875 см2 байна. Параллелепипедийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 5).

Ромбын хажуу талыг нь гэж тэмдэглэе А, ромбын диагональууд г 1 ба г 2, параллелепипед өндөр h. Баруун параллелепипедийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг олохын тулд суурийн периметрийг өндрөөр үржүүлэх шаардлагатай: (томъёо (2)). Суурийн периметр p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, учир нь ABCD- ромб H = AA 1 = h. Тэр. олох хэрэгтэй АТэгээд h.

Диагональ хэсгүүдийг авч үзье. АА 1 SS 1 - тэгш өнцөгт, нэг тал нь ромбын диагональ юм АС = г 1, хоёр дахь - хажуугийн ирмэг АА 1 = h, Дараа нь

Хэсгийн хувьд ч мөн адил Б.Б 1 ДД 1 бид дараахь зүйлийг авна.

Диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь түүний бүх талуудын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байхаар параллелограммын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тодорхойлолт. Призмнь олон өнцөгт бөгөөд түүний бүх оройнууд нь хоёр зэрэгцээ хавтгайд байрладаг бөгөөд эдгээр хоёр хавтгайд призмийн хоёр нүүр оршдог бөгөөд тэдгээр нь параллель талуудтай тэнцүү олон өнцөгтүүд бөгөөд эдгээр хавтгайд оршдоггүй бүх ирмэгүүд нь зэрэгцээ байна.

Хоёр тэнцүү царайг дууддаг призмийн суурь(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Призмийн бусад бүх нүүрийг дуудна хажуугийн нүүрнүүд(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Бүх хажуугийн нүүрнүүд үүсдэг призмийн хажуугийн гадаргуу .

Призмийн бүх хажуугийн нүүр нь параллелограмм юм .

Суурь дээр байрладаггүй ирмэгийг призмийн хажуугийн ирмэг гэж нэрлэдэг ( АА 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Призм диагональ Төгсгөл нь нэг нүүрэн дээр хэвтдэггүй призмийн хоёр орой болох хэрчмийг хэлнэ (МЭ 1).

Призмийн суурийн ба хоёр суурийн перпендикулярыг нэгэн зэрэг холбосон хэрчмийн уртыг гэнэ. призмийн өндөр .

Зориулалт:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Эхлээд, хөндлөн гарах дарааллаар нэг суурийн оройг, дараа нь нөгөө суурийн оройг ижил дарааллаар заана; хажуугийн ирмэг бүрийн төгсгөлийг ижил үсгээр, зөвхөн нэг сууринд байрлах оройг тэмдэглэнэ. индексгүй үсгээр, нөгөө талд нь индексээр тэмдэглэнэ)

Призмийн нэр нь түүний суурь дээр байрлах зургийн өнцгийн тоотой холбоотой байдаг, жишээлбэл, 1-р зурагт суурь дээр таван өнцөгт байдаг тул призмийг гэж нэрлэдэг. таван өнцөгт призм. Гэхдээ учир нь ийм призм 7 нүүртэй, тэгвэл тэр долоон талт(2 нүүр - призмийн суурь, 5 нүүр - параллелограмм, түүний хажуугийн нүүр)

Шулуун призмүүдийн дотроос нэг төрөл нь тодордог: ердийн призмүүд.

Шулуун призм гэж нэрлэдэг зөв,Хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт байвал.

Энгийн призм нь бүх хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгттэй байна. Призмийн онцгой тохиолдол бол параллелепипед юм.

Параллелепипед

Параллелепипеднь дөрвөлжин призм бөгөөд түүний суурь дээр параллелограмм (налуу параллелепипед) байрладаг. Баруун параллелепипед- хажуугийн ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байрладаг параллелепипед.

Тэгш өнцөгт параллелепипед- суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипед.

Шинж чанар ба теоремууд:

Параллелепипедийн зарим шинж чанарууд нь параллелограммын шинж чанаруудтай төстэй байдаг тэнцүү хэмжээтэй тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэдэг шоо .Шоогийн бүх нүүр нь тэнцүү квадратууд Диагоналын квадрат нь түүний гурван хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна

энд d нь квадратын диагональ;
a нь квадратын тал юм.

Призмийн санааг дараахь байдлаар өгсөн болно.

янз бүрийн архитектурын бүтэц;
хүүхдийн тоглоом;
сав баглаа боодлын хайрцаг;
дизайнерын зүйлс гэх мэт.

Призмийн нийт ба хажуугийн гадаргуугийн талбай

Призмийн нийт гадаргуугийн талбайнь түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр юм Хажуугийн гадаргуугийн талбайтүүний хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг. Призмийн суурь нь тэнцүү олон өнцөгт, дараа нь тэдгээрийн талбай тэнцүү байна. Тийм ч учраас

S дүүрэн = S тал + 2S үндсэн,

Хаана S дүүрэн- нийт гадаргуугийн талбай, S тал- хажуугийн гадаргуугийн талбай; S суурь- суурь талбай

Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба призмийн өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна..

S тал= P үндсэн * h,

Хаана S тал- шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай;

P гол - шулуун призмийн суурийн периметр,

h - хажуугийн ирмэгтэй тэнцүү шулуун призмийн өндөр.

Призмийн эзэлхүүн

Призмийн эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Олон талт

Стереометрийн судалгааны гол объект нь орон зайн биетүүд юм. Биетодорхой гадаргуугаар хязгаарлагдсан орон зайн хэсгийг илэрхийлдэг.

Олон талтгадаргуу нь хязгаарлагдмал тооны хавтгай олон өнцөгтөөс бүрдэх бие юм. Олон өнцөгт нь гадаргуу дээрх хавтгай олон өнцөгт бүрийн хавтгайн нэг талд байрласан бол түүнийг гүдгэр гэж нэрлэдэг. Ийм хавтгай ба олон талт гадаргуугийн нийтлэг хэсэг гэж нэрлэдэг ирмэг. Гүдгэр олон өнцөгтийн нүүр нь хавтгай гүдгэр олон өнцөгт юм. Нүүрний хажуу талууд гэж нэрлэгддэг олон өнцөгтийн ирмэгүүд, оройнууд нь байна олон өнцөгтийн оройнууд.

Жишээлбэл, шоо нь түүний нүүр царай болох зургаан квадратаас бүрдэнэ. Энэ нь 12 ирмэг (дөрвөлжингийн талууд) ба 8 орой (дөрвөлжингийн орой) агуулдаг.

Хамгийн энгийн олон өнцөгтүүд бол призм ба пирамидууд бөгөөд бид цаашид судлах болно.

Призм

Призмийн тодорхойлолт ба шинж чанарууд

Призмпараллель хөрвүүлгээр хосолсон зэрэгцээ хавтгайд байрлах хоёр хавтгай олон өнцөгт, эдгээр олон өнцөгтүүдийн харгалзах цэгүүдийг холбосон бүх сегментээс бүрдсэн олон өнцөгт юм. Олон өнцөгт гэж нэрлэдэг призмийн суурь, мөн олон өнцөгтүүдийн харгалзах оройг холбосон хэрчмүүд нь байна призмийн хажуугийн ирмэгүүд.

Призмийн өндөртүүний суурийн хавтгай хоорондын зай () гэж нэрлэдэг. Нэг нүүрэнд хамаарахгүй призмийн хоёр оройг холбосон хэрчмийг гэнэ призм диагональ(). Призмийг нэрлэдэг n-нүүрстөрөгч, хэрэв түүний суурь нь n-gon байвал.

Аливаа призм нь дараахь шинж чанартай байдаг бөгөөд энэ нь призмийн суурийг параллель орчуулгаар нэгтгэдэг.

1. Призмийн сууриуд тэнцүү байна.

2. Призмийн хажуугийн ирмэгүүд нь параллель ба тэнцүү байна.

Призмийн гадаргуу нь суурь ба хажуугийн гадаргуу. Призмийн хажуугийн гадаргуу нь параллелограммуудаас бүрдэнэ (энэ нь призмийн шинж чанараас хамаарна). Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр юм.

Шулуун призм

Призмийг нэрлэдэг шууд, хэрэв түүний хажуугийн ирмэг нь суурийн перпендикуляр байвал. Үгүй бол призмийг дуудна налуу.

Зөв призмийн нүүрүүд нь тэгш өнцөгт юм. Шулуун призмийн өндөр нь түүний хажуугийн гадаргуутай тэнцүү байна.

Бүрэн призм гадаргуухажуугийн гадаргуугийн талбай ба суурийн талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Зөв призмээрСууриндаа жирийн олон өнцөгттэй зөв призм гэж нэрлэдэг.

Теорем 13.1. Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь периметр ба призмийн өндрийн үржвэртэй (эсвэл хажуугийн ирмэгээр ижил) тэнцүү байна.

Баталгаа. Зөв призмийн хажуу талууд нь тэгш өнцөгтүүд бөгөөд тэдгээрийн суурь нь призмийн суурийн олон өнцөгтүүдийн талууд, өндөр нь призмийн хажуугийн ирмэгүүд юм. Дараа нь, тодорхойлолтоор, хажуугийн гадаргуугийн талбай нь:

шулуун призмийн суурийн периметр хаана байна.

Параллелепипед

Хэрэв призмийн суурь дээр параллелограммууд оршдог бол түүнийг дуудна параллелепипед. Параллелепипедийн бүх нүүр нь параллелограмм юм. Энэ тохиолдолд параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд параллель ба тэнцүү байна.

Теорем 13.2. Параллелепипедийн диагональууд нэг цэгт огтлолцох ба огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдана.

Баталгаа. Жишээ нь, дурын хоёр диагональуудыг авч үзье. Учир нь параллелепипедийн нүүрнүүд нь параллелограмм, дараа нь ба , энэ нь To-ийн дагуу гурав дахь нь параллель хоёр шулуун байна гэсэн үг юм. Үүнээс гадна, энэ нь шулуун шугамууд нэг хавтгайд (хавтгай) хэвтэж байна гэсэн үг юм. Энэ хавтгай параллель хавтгай ба параллель шугамын дагуу огтлолцох ба . Тиймээс дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм бөгөөд параллелограммын шинж чанараар диагональууд нь огтлолцдог бөгөөд огтлолцлын цэгээр хагас хуваагддаг бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байв.

Суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипедийг гэнэ тэгш өнцөгт параллелепипед. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт юм. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн параллель бус ирмэгийн уртыг түүний шугаман хэмжээс (хэмжээ) гэж нэрлэдэг. Ийм гурван хэмжээ (өргөн, өндөр, урт) байдаг.

Теорем 13.3. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн аль ч диагональын квадрат нь түүний гурван хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. (Пифагорын Т-г хоёр удаа хэрэглэснээр батлагдсан).

Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэгддэг шоо.

Даалгаврууд

13.1 Энэ нь хэдэн диагональтай вэ? n- нүүрстөрөгчийн призм

13.2 Налуу гурвалжин призмд хажуугийн ирмэгүүдийн хоорондох зай 37, 13, 40. Том хажуугийн ирмэг ба эсрэг талын ирмэгийн хоорондох зайг ол.

13.3 Энгийн гурвалжин призмийн доод суурийн хажуугаар хажуугийн нүүрийг тэдгээрийн хоорондох өнцөг бүхий хэрчмүүдийн дагуу огтолж буй хавтгайг татсан. Энэ хавтгайн призмийн суурь руу хазайх өнцгийг ол.

Тодорхойлолт 1. Призматик гадаргуу
Теорем 1. Призмийн гадаргуугийн параллель огтлолууд дээр
Тодорхойлолт 2. Призмийн гадаргуугийн перпендикуляр огтлол
Тодорхойлолт 3. Призм
Тодорхойлолт 4. Призмийн өндөр
Тодорхойлолт 5. Зөв призм
Теорем 2. Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай

Параллелепипед:
Тодорхойлолт 6. Параллелепипед
Теорем 3. Параллелепипедийн диагональуудын огтлолцол дээр
Тодорхойлолт 7. Баруун параллелепипед
Тодорхойлолт 8. Тэгш өнцөгт параллелепипед
Тодорхойлолт 9. Параллелепипедийн хэмжилт
Тодорхойлолт 10. Шоо
Тодорхойлолт 11. Ромбоэдрон
Теорем 4. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональуудын тухай
Теорем 5. Призмийн эзэлхүүн
Теорем 6. Шулуун призмийн эзэлхүүн
Теорем 7. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзэлхүүн

Призмхоёр нүүр (суурь) нь параллель хавтгайд байрлах олон өнцөгт бөгөөд эдгээр нүүрэнд ороогүй ирмэгүүд нь хоорондоо параллель байна.
Суурьаас бусад нүүр царайг нэрлэдэг хажуу.
Хажуугийн нүүр ба суурийн хажуу талууд гэж нэрлэдэг призм хавирга, ирмэгүүдийн төгсгөлүүд гэж нэрлэгддэг призмийн оройнууд. Хажуугийн хавиргасууринд хамаарахгүй ирмэгүүд гэж нэрлэдэг. Хажуугийн нүүрний нэгдлийг гэж нэрлэдэг призмийн хажуугийн гадаргуу, мөн бүх нүүрний нэгдэл гэж нэрлэгддэг призмийн бүтэн гадаргуу. Призмийн өндөрДээд суурийн цэгээс доод суурийн хавтгайд унасан перпендикуляр буюу энэ перпендикулярын урт гэж нэрлэдэг. Шууд призмхажуу ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байрладаг призм гэж нэрлэдэг. Зөвшулуун призм гэж нэрлэдэг (Зураг 3), түүний сууринд ердийн олон өнцөгт байрладаг.

Тэмдэглэл:
l - хажуугийн хавирга;
P - суурь периметр;
S o - үндсэн талбай;
H - өндөр;
P^ - перпендикуляр огтлолын периметр;
S b - хажуугийн гадаргуугийн талбай;
V - эзлэхүүн;
S p нь призмийн нийт гадаргуугийн талбай юм.

V=SH
S p = S b + 2S o
S b = P ^ л

Тодорхойлолт 1 . Призмийн гадаргуу нь нэг шулуунтай параллель хэд хэдэн хавтгайн хэсгүүдээс бүрдэх дүрс бөгөөд эдгээр хавтгайнууд хоорондоо дараалан огтлолцох шулуун шугамаар хязгаарлагддаг*; эдгээр шугамууд хоорондоо параллель байх ба тэдгээрийг дууддаг призмийн гадаргуугийн ирмэгүүд.
*Дараалсан хоёр хавтгай бүр огтлолцож, сүүлчийнх нь эхнийхтэй огтлолцдог гэж үздэг

Теорем 1 . Призмийн гадаргуугийн бие биентэйгээ параллель (гэхдээ түүний ирмэгүүдтэй параллель биш) хавтгайн хэсгүүд нь тэнцүү олон өнцөгтүүд юм.
ABCDE ба A"B"C"D"E" нь призмийн гадаргуугийн хоёр параллель хавтгайгаар огтлолцсон хэсгүүд байг. Эдгээр хоёр олон өнцөгтүүд тэнцүү эсэхийг шалгахын тулд ABC ба A"B"C" гурвалжингууд нь тэнцүү гэдгийг харуулахад хангалттай. тэнцүү ба ижил эргэлтийн чиглэлтэй байх ба ABD ба A"B"D, ABE ба A"B"E" гурвалжнуудад мөн адил байна. Гэхдээ эдгээр гурвалжны харгалзах талууд нь хоёр параллель хавтгайтай тодорхой хавтгайн огтлолцох шугам шиг параллель (жишээлбэл, АС нь АС-тай параллель байна); параллелограммын эсрэг талуудтай адил эдгээр талууд тэнцүү (жишээлбэл, АС нь A"C"-тэй тэнцүү), эдгээр талуудын үүсгэсэн өнцөг нь тэнцүү бөгөөд ижил чиглэлтэй байна.

Тодорхойлолт 2 . Призмийн гадаргуугийн перпендикуляр огтлол нь энэ гадаргуугийн ирмэгүүдтэй перпендикуляр хавтгайгаар хийсэн хэсэг юм. Өмнөх теорем дээр үндэслэн ижил призмийн гадаргуугийн бүх перпендикуляр хэсгүүд нь тэнцүү олон өнцөгт байх болно.

Тодорхойлолт 3 . Призм нь бие биентэйгээ параллель (гэхдээ призмийн гадаргуугийн ирмэгтэй параллель биш) хоёр хавтгайгаар хүрээлэгдсэн олон өнцөгт юм.
Эдгээр сүүлчийн хавтгайд хэвтэж буй нүүр царайг нэрлэдэг призмийн суурь; призмийн гадаргууд хамаарах нүүрнүүд - хажуугийн нүүрнүүд; призмийн гадаргуугийн ирмэгүүд - призмийн хажуугийн хавирга. Өмнөх теоремын дагуу призмийн суурь нь тэнцүү олон өнцөгтүүд. Призмийн бүх хажуугийн нүүрнүүд - параллелограммууд; бүх хажуугийн хавирга нь хоорондоо тэнцүү байна.
Мэдээжийн хэрэг, ABCDE призмийн суурь ба АА ирмэгүүдийн аль нэг нь" хэмжээ, чиглэлийг өгвөл BB", CC", ... АА ирмэгтэй тэнцүү ба параллель ирмэгийг зурж призм байгуулах боломжтой. .

Тодорхойлолт 4 . Призмийн өндөр нь түүний суурийн хавтгай хоорондын зай (HH") юм.

Тодорхойлолт 5 . Призмийн суурь нь призмийн гадаргуугийн перпендикуляр хэсгүүд бол түүнийг шулуун гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд призмийн өндөр нь мэдээжийн хэрэг түүнийх юм хажуугийн хавирга; хажуугийн ирмэгүүд байх болно тэгш өнцөгтүүд.
Призмийг түүний суурь болж буй олон өнцөгтийн талуудын тоотой тэнцүү хажуугийн нүүрний тоогоор ангилж болно. Тиймээс призмууд нь гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт гэх мэт байж болно.

Теорем 2 . Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь хажуугийн ирмэг ба перпендикуляр хэсгийн периметрийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
ABCDEA"B"C"D"E" нь өгөгдсөн призм ба түүний перпендикуляр огтлолыг abcde гэж үзье, ингэснээр ab, bc, .. хэрчмүүд түүний хажуугийн ирмэгүүдтэй перпендикуляр байна. ABA"B" нүүр нь параллелограмм; түүний талбай AA суурийн үржвэртэй тэнцүү байна " ab-тай давхцах өндөрт; Нүүрний талбай ВСВ "С" нь суурийн ВВ"-ийн үржвэртэй тэнцүү байна bc өндөр гэх мэт. Иймээс хажуугийн гадаргуу (жишээ нь, хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр) бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. хажуугийн ирмэгээс өөрөөр хэлбэл AA", ВВ", .. сегментүүдийн нийт уртыг ab+bc+cd+de+ea хэмжээгээр авна.