Нэгж вектор- Энэ вектор, үнэмлэхүй утга (модуль) нь нэгдэлтэй тэнцүү байна. Нэгж векторыг тэмдэглэхийн тулд хэрэв вектор өгөгдсөн бол бид e дэд тэмдгийг ашиглана А, тэгвэл түүний нэгж вектор нь вектор болно А e. Энэ нэгж вектор нь вектортой ижил чиглэлд чиглэнэ А, түүний модуль нь нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл a e = 1 байна.

Мэдээжийн хэрэг, А= a Ад (а - вектор модуль A). Энэ нь скалярыг вектороор үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх дүрмээс гардаг.

Нэгж векторуудихэвчлэн координатын системийн координатын тэнхлэгүүдтэй (ялангуяа декартын координатын системийн тэнхлэгүүдтэй) холбоотой байдаг. Эдгээрийн чиглэл векторуудхаргалзах тэнхлэгүүдийн чиглэлүүдтэй давхцдаг бөгөөд тэдгээрийн гарал үүсэл нь ихэвчлэн координатын системийн гарал үүсэлтэй нийлдэг.

Үүнийг сануулъя Декартын координатын системорон зайд координатын гарал үүсэл гэж нэрлэгддэг цэг дээр огтлолцдог харилцан перпендикуляр тэнхлэгүүдийн гурвалыг уламжлалт байдлаар нэрлэдэг. Координатын тэнхлэгүүдийг ихэвчлэн X, Y, Z үсгээр тэмдэглэдэг ба тэдгээрийг абсцисса тэнхлэг, ординатын тэнхлэг, хэрэглээний тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Декарт өөрөө зөвхөн нэг тэнхлэгийг ашигласан бөгөөд түүн дээр абсциссуудыг зурсан байв. Ашиглалтын ач тус системүүдсүх нь түүний шавь нарынх. Тиймээс хэллэг Декартын координатын системтүүхэн буруу. Ярилцсан нь дээр тэгш өнцөгт координатын системэсвэл ортогональ координатын систем. Гэсэн хэдий ч бид уламжлалаа өөрчлөхгүй бөгөөд ирээдүйд декарт ба тэгш өнцөгт (ортогональ) координатын системүүд нэг бөгөөд ижил байна гэж үзэх болно.

Нэгж вектор, X тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн, тэмдэглэгдсэн байна би, нэгж вектор, Y тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн, тэмдэглэгдсэн байна j, А нэгж вектор, Z тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн, тэмдэглэгдсэн байна к. Векторууд би, j, кгэж нэрлэдэг орц(Зураг 12, зүүн), тэдгээр нь нэг модультай, өөрөөр хэлбэл
i = 1, j = 1, k = 1.

Тэнхлэг ба нэгж векторууд тэгш өнцөгт координатын системзарим тохиолдолд өөр өөр нэр, тэмдэглэгээтэй байдаг. Тиймээс абсцисса тэнхлэгийг X шүргэгч тэнхлэг гэж нэрлэж болох бөгөөд түүний нэгж векторыг тэмдэглэв τ (Грекийн жижиг үсэг tau), ордны тэнхлэг нь хэвийн тэнхлэг, түүний нэгж векторыг тэмдэглэнэ. n, хэрэглээний тэнхлэг нь хоёр хэвийн тэнхлэг бөгөөд түүний нэгж векторыг тэмдэглэв б. Хэрэв мөн чанар нь хэвээр байвал яагаад нэрийг солих ёстой вэ?

Жишээлбэл, механикийн хувьд биеийн хөдөлгөөнийг судлахдаа тэгш өнцөгт координатын системийг ихэвчлэн ашигладаг. Тиймээс хэрэв координатын систем өөрөө хөдөлгөөнгүй бөгөөд хөдөлж буй объектын координатын өөрчлөлтийг энэ суурин системд хянадаг бол ихэвчлэн тэнхлэгүүдийг X, Y, Z гэж тэмдэглэдэг. нэгж векторуудтус тус би, j, к.

Гэхдээ ихэнхдээ объект ямар нэгэн муруй шугамын дагуу (жишээлбэл, тойрог хэлбэрээр) хөдөлж байх үед энэ объекттой хөдөлж буй координатын систем дэх механик процессуудыг авч үзэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Ийм хөдөлгөөнт координатын системд тэнхлэгийн бусад нэр, тэдгээрийн нэгж векторуудыг ашигладаг. Байгаагаараа л байна. Энэ тохиолдолд X тэнхлэг нь энэ объектын одоогийн байрлаж буй цэг дэх траекторийн чиглэлд шүргэгчээр чиглэнэ. Дараа нь энэ тэнхлэгийг X тэнхлэг гэж нэрлэхээ больсон, харин шүргэгч тэнхлэг гэж нэрлэгдэхээ больсон бөгөөд түүний нэгж векторыг тодорхойлохоо больсон. би, А τ . Y тэнхлэг нь траекторийн муруйлтын радиусын дагуу (тойрог доторх хөдөлгөөнтэй бол тойргийн төв рүү) чиглэнэ. Мөн радиус нь шүргэгчтэй перпендикуляр байдаг тул тэнхлэгийг хэвийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг (перпендикуляр ба хэвийн нь ижил зүйл). Энэ тэнхлэгийн нэгж векторыг тэмдэглэхээ больсон j, А n. Гурав дахь тэнхлэг (хуучин Z) нь өмнөх хоёртой перпендикуляр байна. Энэ нь ортой хоёр хэвийн үзэгдэл юм б(Зураг 12, баруун талд). Дашрамд хэлэхэд, энэ тохиолдолд ийм тэгш өнцөгт координатын системихэвчлэн "байгалийн" эсвэл байгалийн гэж нэрлэдэг.

Вектор бүтээгдэхүүний тухай ойлголтыг өгөхийн өмнө гурван хэмжээст орон зайд a →, b →, c → векторуудын дараалсан гурвалсан чиг баримжаа олгох тухай асуулт руу шилжье.

Эхлэхийн тулд a → , b → , c → векторуудыг нэг цэгээс хойш тавья. Гурвалсан a → , b → , c → чиглэл нь в → векторын өөрийн чиглэлээс хамаарч баруун эсвэл зүүн байж болно. Гурвалсан a → , b → , c → векторын а → в вектороос b → в → векторын төгсгөлөөс хамгийн богино эргэлт хийх чиглэлээс хамаарч тодорхойлогдоно.

Хэрэв хамгийн богино эргэлтийг цагийн зүүний эсрэг хийвэл a → , b → , c → векторуудын гурвалсан хэсгийг гэнэ. зөв, хэрэв цагийн зүүний дагуу - зүүн.

Дараа нь a → ба b → коллинеар бус хоёр векторыг авна. Дараа нь А цэгээс A B → = a → ба A C → = b → векторуудыг зуръя. A B → болон A C → аль алинд нь нэгэн зэрэг перпендикуляр байх A D → = c → векторыг байгуулъя. Тиймээс, векторыг өөрөө A D → = c → байгуулахдаа бид үүнийг нэг чиглэл эсвэл эсрэгээр нь өгөх хоёр аргаар хийж болно (зураг харна уу).

a → , b → , c → векторуудын дараалсан гурвалсан нь векторын чиглэлээс хамаарч баруун эсвэл зүүн байж болно.

Дээрхээс бид вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтыг танилцуулж болно. Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон хоёр векторын хувьд энэ тодорхойлолтыг өгсөн болно.

Тодорхойлолт 1

a → ба b → хоёр векторын вектор үржвэр Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон ийм векторыг бид дараах байдлаар нэрлэх болно.

• a → ба b → векторууд нь коллинеар байвал тэг болно;
• a → ​​ вектор ба b вектор → i.e. вектор хоёуланд нь перпендикуляр байх болно. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• түүний уртыг дараах томъёогоор тодорхойлно: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → векторуудын гурвалсан нь өгөгдсөн координатын системтэй ижил чиглэлтэй байна.

a → ба b → векторуудын вектор үржвэр нь дараах тэмдэглэгээтэй байна: a → × b →.

Вектор бүтээгдэхүүний координатууд

Аливаа вектор координатын системд тодорхой координаттай байдаг тул бид вектор бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтыг оруулж болох бөгөөд энэ нь векторуудын өгөгдсөн координатыг ашиглан координатыг нь олох боломжийг бидэнд олгоно.

Тодорхойлолт 2

Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд a → = (a x ; a y ; a z) ба b → = (b x ; b y ; b z) хоёр векторын вектор үржвэр вектор гэж нэрлэдэг c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , энд i → , j → , k → нь координатын векторууд юм.

Вектор үржвэрийг 3-р эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогчоор дүрсэлж болох бөгөөд эхний мөрөнд i → , j → , k → вектор векторууд, хоёр дахь мөрөнд a → векторын координатууд, гурав дахь эгнээнд векторууд багтана. өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх b → векторын координатуудыг агуулна, энэ нь матрицын тодорхойлогч нь дараах байдалтай байна: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Энэ тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд болгон өргөжүүлбэл бид тэгшитгэлийг олж авна: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → b · = a x → → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Хөндлөн бүтээгдэхүүний шинж чанарууд

Координат дахь вектор үржвэрийг c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z матрицын тодорхойлогчоор илэрхийлдэг нь мэдэгдэж байна. матриц тодорхойлогчийн шинж чанарууддараахыг харуулав вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарууд:

1. anticommutativity a → × b → = - b → × a → ;
2. тархалт a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → эсвэл a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ассоциатив байдал λ a → × b → = λ a → × b → эсвэл a → × (λ b →) = λ a → × b →, энд λ нь дурын бодит тоо юм.

Эдгээр шинж чанарууд нь энгийн нотолгоотой байдаг.

Жишээ болгон бид вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг баталж чадна.

Эсрэг солилцооны нотолгоо

Тодорхойлолтоор a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ба b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Хэрэв матрицын хоёр эгнээ солигдвол матрицын тодорхойлогчийн утга эсрэгээр өөрчлөгдөх ёстой тул a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x = y байна. - b → × a → , энэ нь вектор үржвэрийн эсрэг коммутатив болохыг баталж байна.

Вектор бүтээгдэхүүн - жишээ ба шийдэл

Ихэнх тохиолдолд гурван төрлийн асуудал гардаг.

Эхний төрлийн бодлогод ихэвчлэн хоёр векторын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгдөг бөгөөд та векторын үржвэрийн уртыг олох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд дараах томъёог ашиглана c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Жишээ 1

a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 гэдгийг мэддэг бол a → ба b → векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол.

Шийдэл

a → ба b → векторуудын вектор үржвэрийн уртыг тодорхойлсноор бид энэ асуудлыг шийднэ: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Хариулт: 15 2 2 .

Хоёрдахь төрлийн асуудлууд нь векторуудын координат, тэдгээрийн векторын бүтээгдэхүүн, түүний урт гэх мэт холбоотой байдаг. өгөгдсөн векторуудын мэдэгдэж буй координатуудаар хайдаг a → = (a x; a y; a z) Тэгээд b → = (b x ; b y ; b z) .

Энэ төрлийн асуудлын хувьд та олон даалгаврын сонголтыг шийдэж чадна. Жишээлбэл, a → ба b → векторуудын координатыг зааж өгөхгүй, харин тэдгээрийн хэлбэрийг координат вектор болгон өргөтгөх боломжтой. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → ба c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, эсвэл a → ба b → векторуудыг тэдгээрийн эхлэлийн координатаар тодорхойлж болно. болон төгсгөлийн цэгүүд.

Дараах жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 2

Тэгш өнцөгт координатын системд хоёр вектор өгөгдсөн: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүнийг ол.

Шийдэл

Хоёр дахь тодорхойлолтоор бид өгөгдсөн координат дахь хоёр векторын вектор үржвэрийг олно: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Хэрэв бид вектор үржвэрийг матрицын тодорхойлогчоор бичвэл энэ жишээний шийдэл нь дараах байдалтай байна: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Хариулт: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Жишээ 3

i → - j → ба i → + j → + k → векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол, энд i →, j →, k → тэгш өнцөгт декартын координатын системийн нэгж векторууд байна.

Шийдэл

Эхлээд өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх i → - j → × i → + j → + k → вектор үржвэрийн координатыг олъё.

i → - j → ба i → + j → + k → векторууд (1; - 1; 0) ба (1; 1; 1) координатуудтай байдаг нь мэдэгдэж байна. Матрицын тодорхойлогчийг ашиглан вектор үржвэрийн уртыг олъё, тэгвэл i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Иймд i → - j → × i → + j → + k → вектор үржвэр нь өгөгдсөн координатын системд (- 1 ; - 1 ; 2) координаттай байна.

Бид вектор бүтээгдэхүүний уртыг томъёогоор олно (векторын уртыг олох хэсгийг үзнэ үү): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Хариулт: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Жишээ 4

Тэгш өнцөгт декартын координатын системд A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) гэсэн гурван цэгийн координатууд өгөгдсөн. A B → ба A C →-д нэгэн зэрэг перпендикуляр байх векторыг ол.

Шийдэл

A B → ба A C → векторууд нь дараах координатуудтай (- 1 ; 2 ; 2) ба (0 ; 4 ; 1) байна. A B → ба A C → векторуудын вектор үржвэрийг олсноор энэ нь A B → болон A C → аль алинд нь перпендикуляр вектор болох нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл энэ нь бидний асуудлын шийдэл юм. Үүнийг A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → гэж олъё.

Хариулт: - 6 i → + j → - 4 k → . - перпендикуляр векторуудын нэг.

Гурав дахь төрлийн асуудлууд нь векторуудын вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглахад чиглэгддэг. Үүнийг хэрэглэсний дараа бид өгөгдсөн асуудлын шийдлийг олж авах болно.

Жишээ 5

a → ба b → векторууд нь перпендикуляр бөгөөд тэдгээрийн урт нь тус тус 3 ба 4 байна. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → вектор үржвэрийн уртыг ол. + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Шийдэл

Вектор бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанараар бид 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 гэж бичиж болно. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ассоциацийн шинж чанараар бид сүүлчийн илэрхийлэл дэх вектор бүтээгдэхүүний тэмдгээс тоон коэффициентүүдийг гаргаж авдаг: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ба b → × b → = b → · b → · sin тул a → × a → ба b → × b → вектор бүтээгдэхүүнүүд 0-тэй тэнцүү байна. 0 = 0, дараа нь 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Вектор бүтээгдэхүүний антикоммутатив байдлаас дараах нь - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан бид 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → тэгшитгэлийг олж авна.

Нөхцөлөөр a→ ба b → векторууд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь π 2-тэй тэнцүү байна. Одоо үлдсэн бүх зүйл бол олсон утгыг тохирох томъёонд орлуулах явдал юм: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · нүгэл (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Хариулт: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Тодорхойлолтоор векторуудын вектор үржвэрийн урт нь a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → -тэй тэнцүү байна. Гурвалжны талбай нь түүний хоёр талын уртын үржвэрийн хагасыг эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү гэдгийг (сургуулийн хичээлээс) аль хэдийн мэддэг болсон. Үүний үр дүнд вектор бүтээгдэхүүний урт нь параллелограммын талбайтай тэнцүү байна - давхар гурвалжин, тухайлбал а → ба b → вектор хэлбэрээр талуудын үржвэр, синусаар нэг цэгээс тавигдсан. тэдгээрийн хоорондох өнцөг sin ∠ a →, b →.

Энэ бол вектор бүтээгдэхүүний геометрийн утга юм.

Вектор бүтээгдэхүүний физик утга

Физикийн салбаруудын нэг болох механикт вектор бүтээгдэхүүний ачаар та орон зайн цэгтэй харьцуулахад хүчний моментийг тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт 3

А цэгтэй харьцуулахад B цэгт F → үйлчлэх хүчний агшинд бид дараах вектор бүтээгдэхүүн A B → × F → ойлгох болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

7.1. Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт

Гурав дахь в векторын төгсгөлөөс эхний а вектороос хоёр дахь b вектор руу хамгийн богино эргэлтийг харвал заасан дарааллаар авсан хос хавтгайргүй гурван вектор a, b, c нь баруун гар триплет үүсгэдэг. цагийн зүүний эсрэг байх ба зүүн гарын гурвалсан байх (Зураг .16-г үз).

a вектор b ба векторуудын хөндлөн үржвэрийг в вектор в гэнэ, үүнд:

1. a ба b векторуудад перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл c ^ a ба c ^ b ;

2. Энэ нь a ба векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайтай тэнцүү урттайбталуудын адил (17-р зургийг үз), i.e.

3. a, b, c векторууд нь баруун гарын гурвалсан хэлбэрийг үүсгэдэг.

Хөндлөн үржвэрийг a x b эсвэл [a,b] гэж тэмдэглэнэ. Вектор үржвэрийн тодорхойлолтоос шууд дагах i нэгж векторуудын хоорондох дараах хамаарал нь, j Тэгээдк

(18-р зургийг үз):
i x j = k, j x k = i, k x i = j.Жишээлбэл, үүнийг баталцгаая

би xj =k. ^ 1) k ^ i, k

j ; 2) |k |=1, харин | i x j

| = |i | Тэгээд|Ж | sin(90°)=1;

3) i, j ба векторууд

баруун гурвалсан (16-р зургийг үз).

7.2. Хөндлөн бүтээгдэхүүний шинж чанарууд = -(1. Хүчин зүйлсийг дахин цэгцлэх үед вектор бүтээгдэхүүн тэмдэг өөрчлөгддөг, i.e.).

ба xb =(b xa) (19-р зургийг үз).

a xb ба b xa векторууд нь хоорондоо уялдаатай, ижил модультай (параллелограммын талбай өөрчлөгдөөгүй), гэхдээ эсрэг чиглэлд чиглэсэн (a, b, a xb ба a, b, b x a эсрэг чиглэлтэй гурвалсан). Тиймээс ахбб ха б 2. Вектор үржвэр нь скаляр коэффициентийн хувьд нэгтгэх шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл l (a xb) = (l a) x b = a x (l b). б l >0 гэж үзье. l (a xb) вектор нь a ба b векторуудад перпендикуляр байна. Вектор ( ахбл ахб a) x ахбб ха бмөн a ба векторуудад перпендикуляр байна

(а векторууд, ахбгэхдээ нэг хавтгайд хэвтэх). Энэ нь векторууд гэсэн үг юм ахб(a xb) ба ( ахб<0.

collinear. Тэдний чиглэл давхцаж байгаа нь илт байна. Тэд ижил урттай: бТийм ч учраас<=>(a xb)=

a xb. Үүнийг ижил төстэй байдлаар нотолсон

3. Тэг биш хоёр вектор a ба

(Хэрэв тэдгээрийн вектор үржвэр нь тэг вектортой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл a ||b тохиолдолд л коллинеар байна.ба xb =0. бЯлангуяа i *i =j *j =k *k =0 .

4. Вектор үржвэр нь түгээлтийн шинж чанартай:

a+b)

xc = a xc + Вектор үржвэрийн тодорхойлолтоос шууд дагах i нэгж векторуудын хоорондох дараах хамаарал нь, xs.

Бид нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрөх болно.

7.3. Хөндлөн үржвэрийг координатаар илэрхийлэх Вектор үржвэрийн тодорхойлолтоос шууд дагах i нэгж векторуудын хоорондох дараах хамаарал нь,Бид i векторуудын хөндлөн үржвэрийн хүснэгтийг ашиглана. Тэгээдба к: хэрэв эхний вектороос хоёр дахь хүртэлх хамгийн богино замын чиглэл нь сумны чиглэлтэй давхцаж байвал үржвэр нь гурав дахь вектортой тэнцэнэ, хэрэв энэ нь давхцахгүй бол гурав дахь векторыг хасах тэмдгээр авна; a =a x i +a y хоёр векторыг өгье Вектор үржвэрийн тодорхойлолтоос шууд дагах i нэгж векторуудын хоорондох дараах хамаарал нь,+a z Тэгээдба b =b x

би

тэгш байдлын баруун тал (7.1) нь эхний эгнээний элементүүдийн хувьд гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн өргөтгөлтэй тохирч байгаа тул Тэгш байдал (7.2) санахад хялбар.

7.4. Хөндлөн бүтээгдэхүүний зарим хэрэглээ

Векторуудын уялдаа холбоог тогтоох

Параллелограмм ба гурвалжны талбайг олох

Векторуудын вектор үржвэрийн тодорхойлолтын дагуу Аболон б |a xb | =|а | * |b |sin g, өөрөөр хэлбэл S хос = |a x b |. Тиймээс D S =1/2|a x b |.

Нэг цэгийн ойролцоох хүчний моментийг тодорхойлох

А цэг дээр хүч хэрэглэе F =ABмөн зөвшөөрөх ТУХАЙ- орон зайн зарим цэг (20-р зургийг үз).

Энэ нь физикээс мэдэгдэж байна хүчний момент Ф цэгтэй харьцуулахад ТУХАЙвектор гэж нэрлэдэг М,цэгээр дамждаг ТУХАЙМөн:

1) цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайд перпендикуляр О, А, Б;

2) нэг гарт ногдох хүчний үржвэртэй тоогоор тэнцүү байна

3) OA ба A B векторуудтай зөв гурвалсан хэлбэрийг үүсгэнэ.

Тиймээс M = OA x F.

Шугаман эргэлтийн хурдыг олох

Хурд vөнцгийн хурдаар эргэдэг хатуу биеийн М цэг wтогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд байх нь Эйлерийн томьёогоор тодорхойлогддог v =w xr, энд r =OM, O нь тэнхлэгийн зарим тогтмол цэг (21-р зургийг үз).

Энэ хичээлээр бид векторуудтай өөр хоёр үйлдлийг авч үзэх болно. векторуудын вектор үржвэрТэгээд векторуудын холимог бүтээгдэхүүн (хэрэгтэй хүмүүст шууд линк). Зүгээр дээ, заримдаа үүнээс гадна бүрэн аз жаргалын төлөө ийм зүйл тохиолддог векторуудын скаляр үржвэр, илүү ихийг шаарддаг. Энэ бол вектор донтолт юм. Бид аналитик геометрийн ширэнгэн ой руу орж байгаа юм шиг санагдаж магадгүй юм. Энэ бол буруу. Дээд математикийн энэ хэсэгт Пиноккиод хангалттай модыг эс тооцвол ерөнхийдөө бага мод байдаг. Үнэн хэрэгтээ, материал нь маш түгээмэл бөгөөд энгийн байдаг - ижил төстэй зүйлээс илүү төвөгтэй биш юм цэгийн бүтээгдэхүүн, ердийн даалгавар ч цөөн байх болно. Аналитик геометрийн гол зүйл бол олон хүн итгэлтэй байх болно, эсвэл аль хэдийн итгэлтэй байсан тул тооцоололд алдаа гаргахгүй байх явдал юм. Шившлэг шиг давтаад та аз жаргалтай байх болно =)

Хэрэв векторууд тэнгэрийн хаяанд байгаа аянга мэт хол хаа нэгтээ гялалзаж байвал хамаагүй, хичээлээс эхэл. Дамми нарт зориулсан векторуудвекторуудын талаарх анхан шатны мэдлэгийг сэргээх буюу дахин олж авах. Илүү бэлтгэгдсэн уншигчид мэдээлэлтэй танилцах боломжтой, би практик ажилд ихэвчлэн олддог хамгийн бүрэн жишээ цуглуулахыг хичээсэн

Юу чамайг тэр дор нь баярлуулах вэ? Би багадаа хоёр, бүр гурван бөмбөг жонглёрдог байсан. Энэ нь сайн болсон. Одоо та жонглёр хийх шаардлагагүй болно, учир нь бид авч үзэх болно зөвхөн орон зайн векторууд, мөн хоёр координаттай хавтгай векторуудыг орхих болно. Яагаад? Эдгээр үйлдлүүд ингэж төрсөн - векторуудын вектор ба холимог үржвэрийг тодорхойлж, гурван хэмжээст орон зайд ажилладаг. Энэ нь аль хэдийн хялбар болсон!

Энэ үйлдэл нь скаляр үржвэрийн нэгэн адил хамаарна хоёр вектор. Эдгээр нь мөхөшгүй үсэг байх болтугай.

Үйлдэл нь өөрөө гэж тэмдэглэсэндараах байдлаар: . Өөр сонголтууд байдаг, гэхдээ би векторуудын вектор үржвэрийг загалмай бүхий дөрвөлжин хаалтанд ингэж тэмдэглэж дассан.

Тэгээд тэр даруй асуулт: хэрэв байгаа бол векторуудын скаляр үржвэрХоёр вектор оролцож байгаа бөгөөд энд хоёр векторыг мөн үржүүлнэ ямар ялгаа байна? Үүний тод ялгаа нь юуны түрүүнд ҮР ДҮНД байна.

Векторуудын скаляр үржвэрийн үр дүн нь NUMBER:

Векторуудын хөндлөн үржвэрийн үр дүн нь ВЕКТОР юм: , өөрөөр хэлбэл, бид векторуудыг үржүүлээд дахин вектор авна. Хаалттай клуб. Уг нь хагалгааны нэр эндээс гаралтай. Өөр өөр боловсролын уран зохиолд тэмдэглэгээ нь өөр өөр байж болно, би үсгийг ашиглах болно;

Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт

Эхлээд зурагтай тодорхойлолт, дараа нь тайлбар байх болно.

Тодорхойлолт: Вектор бүтээгдэхүүн шугаман бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, ВЕКТОР гэж нэрлэгддэг, уртЭнэ нь тоон үзүүлэлт юм параллелограммын талбайтай тэнцүү байна, эдгээр векторууд дээр бүтээгдсэн; вектор векторуудад ортогональ, ба үндэс нь зөв чиг баримжаатай байхаар чиглэгддэг:

Тодорхойлолтыг задлаад үзье, энд маш олон сонирхолтой зүйл байна!

Тиймээс дараахь чухал зүйлийг онцолж болно.

1) Тодорхойлолтоор улаан сумаар заасан анхны векторууд уялдаа холбоогүй. Коллинеар векторуудын асуудлыг бага зэрэг дараа авч үзэх нь зүйтэй юм.

2) Векторуудыг авсан хатуу тогтоосон дарааллаар: – "a"-г "be"-ээр үржүүлнэ, мөн "а"-тай "байх" биш. Вектор үржүүлгийн үр дүннь ВЕКТОР бөгөөд энэ нь цэнхэр өнгөөр ​​тэмдэглэгдсэн байдаг. Хэрэв векторуудыг урвуу дарааллаар үржүүлбэл бид урттай тэнцүү, чиглэлийн эсрэг (бөөрөлзгөнө өнгө) векторыг авна. Энэ нь тэгш байдал нь үнэн юм .

3) Одоо вектор үржвэрийн геометрийн утгатай танилцацгаая. Энэ бол маш чухал цэг юм! Цэнхэр векторын УРТ (тиймээс час улаан вектор) нь векторууд дээр баригдсан параллелограммын ТАЛБАЙ-тай тэнцүү байна. Зураг дээр энэ параллелограммыг хараар будсан байна.

Анхаарна уу : зураг нь бүдүүвч бөгөөд мэдээжийн хэрэг вектор бүтээгдэхүүний нэрлэсэн урт нь параллелограммын талбайтай тэнцүү биш юм.

Геометрийн нэг томьёог эргэн санацгаая. Параллелограммын талбай нь зэргэлдээ талуудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү байна.. Тиймээс, дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн вектор бүтээгдэхүүний УРТыг тооцоолох томъёо хүчинтэй байна.

Томъёо нь векторын тухай биш харин векторын УРТ-ын тухай гэдгийг би онцолж байна. Практик утга нь юу вэ? Үүний утга нь аналитик геометрийн асуудлуудад параллелограммын талбайг ихэвчлэн вектор бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтоор олж авдаг.

Хоёрдахь чухал томъёог авч үзье. Параллелограммын диагональ (улаан тасархай шугам) нь түүнийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана. Тиймээс векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг (улаан сүүдэр) дараах томъёогоор олж болно.

4) Үүнтэй адил чухал баримт бол вектор нь векторуудад ортогональ, өөрөөр хэлбэл . Мэдээжийн хэрэг, эсрэг чиглэлтэй вектор (бөөрөлзгөнө сум) нь мөн анхны векторуудад ортогональ байна.

5) Вектор нь ийм байдлаар чиглэгддэг суурьбайна зөвчиг баримжаа. тухай хичээл дээр шинэ суурь руу шилжихБи хангалттай дэлгэрэнгүй ярьсан хавтгай чиг баримжаа, одоо бид орон зайн чиг баримжаа гэж юу болохыг олж мэдэх болно. Би хуруугаараа тайлбарлах болно баруун гар. Оюун санааны хувьд нэгтгэх долоовор хуруувектортой ба дунд хуруувектортой. Бөгжний хуруу, жижиг хурууалган дээрээ дар. Үүний үр дүнд эрхий хуруу– вектор бүтээгдэхүүн дээшээ харагдах болно. Энэ бол баруун тийш чиглэсэн суурь юм (зураг дээрх энэ нь). Одоо векторуудыг өөрчил ( долоовор ба дунд хуруу) зарим газарт үр дүнд нь эрхий хуруугаа эргүүлж, вектор бүтээгдэхүүн аль хэдийн доошоо харах болно. Энэ нь бас зөв хандлагын үндэс юм. Танд асуулт гарч ирж магадгүй: аль үндэс нь чиг баримжаагаа орхисон бэ? Ижил хуруунд "даалгах" зүүн гарвекторууд, мөн зайны зүүн суурь ба зүүн чиглэлийг авна (энэ тохиолдолд эрхий хуруу нь доод векторын чиглэлд байрлана). Дүрслэлээр хэлбэл, эдгээр суурь нь орон зайг өөр өөр чиглэлд "мушгих" буюу чиглүүлдэг. Мөн энэ ойлголтыг хэт хол эсвэл хийсвэр зүйл гэж үзэх ёсгүй - жишээлбэл, орон зайн чиг баримжаа нь хамгийн энгийн толин тусгалаар өөрчлөгддөг бөгөөд хэрэв та "айсан туссан объектыг харагдах шилнээс гаргаж авбал" ерөнхий тохиолдолд энэ нь Үүнийг "эх"-тэй нэгтгэх боломжгүй болно. Дашрамд хэлэхэд, гурван хуруугаа толинд бариад тусгалыг шинжлээрэй ;-)

... чи одоо мэдэж байгаа нь ямар сайхан юм бэ баруун ба зүүн тийш чиглэсэнҮндэслэл, учир нь зарим багш нарын чиг баримжааны өөрчлөлтийн талаархи мэдэгдэл аймшигтай юм =)

Коллинеар векторуудын хөндлөн үржвэр

Тодорхойлолтыг нарийвчлан авч үзсэн бөгөөд векторууд хоорондоо уялдаатай байх үед юу болохыг харах хэвээр байна. Хэрэв векторууд хоорондоо уялдаатай байвал тэдгээрийг нэг шулуун дээр байрлуулж болох бөгөөд бидний параллелограммыг нэг шулуун дээр "нэмэх" боломжтой. Математикчдын хэлснээр ийм газар нутаг, доройтохпараллелограмм нь тэгтэй тэнцүү байна. Томъёоноос ижил зүйл гарч ирнэ - тэг буюу 180 градусын синус нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь талбай нь тэг гэсэн үг юм.

Тиймээс хэрэв , тэгвэл . Хатуухан хэлэхэд векторын бүтээгдэхүүн нь өөрөө тэг вектортой тэнцүү боловч практик дээр үүнийг ихэвчлэн үл тоомсорлодог бөгөөд үүнийг зүгээр л тэгтэй тэнцүү гэж бичдэг.

Онцгой тохиолдол бол векторын вектор үржвэр юм:

Вектор үржвэрийг ашигласнаар та гурван хэмжээст векторуудын уялдаа холбоог шалгаж болох бөгөөд бид энэ асуудлыг шинжлэх болно.

Практик жишээг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй байж магадгүй юм тригонометрийн хүснэгтүүнээс синусын утгыг олох.

За, гал асаацгаая:

Жишээ 1

a) Хэрэв векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол

b) Хэрэв векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайг ол

Шийдэл: Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш, би заалтын эхний өгөгдлийг зориуд ижил болгосон. Учир нь шийдлүүдийн дизайн өөр байх болно!

a) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй уртвектор (хөндлөн бүтээгдэхүүн). Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

Асуулт нь урттай холбоотой байсан тул бид хариулт дахь хэмжээсийг зааж өгсөн болно - нэгж.

б) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй дөрвөлжинвекторууд дээр баригдсан параллелограмм. Энэ параллелограммын талбай нь вектор бүтээгдэхүүний урттай тоогоор тэнцүү байна.

Хариулт:

Хариулт нь биднээс асуусан вектор бүтээгдэхүүний талаар огт яриагүй гэдгийг анхаарна уу зургийн талбай, үүний дагуу хэмжээс нь квадрат нэгж юм.

Нөхцөл байдлын дагуу ЮУ олох ёстойгоо бид үргэлж харж, үүн дээр үндэслэн томъёолдог тодорхойхариулах. Энэ нь шууд утгаараа мэт санагдаж болох ч тэдний дунд олон тооны багш нар байгаа бөгөөд уг даалгавар нь дахин хянан үзэхэд буцаах магадлал өндөр байна. Хэдийгээр энэ нь тийм ч хол зөрүүтэй асуулт биш юм - хэрэв хариулт буруу байвал тухайн хүн энгийн зүйлийг ойлгодоггүй ба/эсвэл даалгаврын мөн чанарыг ойлгоогүй гэсэн сэтгэгдэл төрдөг. Дээд математик болон бусад хичээлийн аливаа асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ цэгийг үргэлж хянаж байх ёстой.

"en" том үсэг хаашаа явсан бэ? Зарчмын хувьд үүнийг шийдэлд нэмж хавсаргаж болох байсан, гэхдээ оруулгыг богиносгохын тулд би үүнийг хийгээгүй. Хүн бүр үүнийг ойлгож, ижил зүйлд зориулагдсан болно гэж найдаж байна.

DIY шийдлийн түгээмэл жишээ:

Жишээ 2

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг ол

Вектор бүтээгдэхүүнээр гурвалжны талбайг олох томъёог тодорхойлолтын тайлбарт өгсөн болно. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Практикт гурвалжингууд нь таныг ерөнхийд нь зовоож чаддаг.

Бусад асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд хэрэгтэй болно:

Векторуудын вектор үржвэрийн шинж чанарууд

Бид вектор бүтээгдэхүүний зарим шинж чанарыг аль хэдийн авч үзсэн боловч би тэдгээрийг энэ жагсаалтад оруулах болно.

Дурын векторууд болон дурын тооны хувьд дараах шинж чанарууд үнэн байна.

1) Мэдээллийн бусад эх сурвалжид энэ зүйлийг ихэвчлэн шинж чанараар нь тодруулдаггүй боловч практикийн хувьд энэ нь маш чухал юм. Тиймээс байг.

2) – өмчийг мөн дээр дурдсан, заримдаа үүнийг нэрлэдэг антикоммутатив. Өөрөөр хэлбэл векторуудын дараалал чухал.

3) - ассоциатив эсвэл ассоциативвектор бүтээгдэхүүний хууль. Тогтмолыг вектор бүтээгдэхүүнээс гадуур хялбархан зөөж болно. Үнэхээр тэд тэнд юу хийх ёстой вэ?

4) – хуваарилалт эсвэл түгээхвектор бүтээгдэхүүний хууль. Мөн хаалт нээхэд асуудал гардаггүй.

Үүнийг харуулахын тулд товч жишээг харцгаая.

Жишээ 3

Хэрвээ олоорой

Шийдэл:Нөхцөл нь дахин вектор бүтээгдэхүүний уртыг олохыг шаарддаг. Бяцхан зургаа зурцгаая:

(1) Ассоциатив хуулиудын дагуу бид тогтмолуудыг вектор бүтээгдэхүүний хамрах хүрээнээс гадуур авдаг.

(2) Бид модулийн гаднах тогтмолыг авдаг бөгөөд модуль нь хасах тэмдгийг "иддэг". Урт нь сөрөг байж болохгүй.

(3) Бусад нь тодорхой байна.

Хариулт:

Гал дээр илүү их мод нэмэх цаг болжээ.

Жишээ 4

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг тооцоол

Шийдэл: Томъёог ашиглан гурвалжны талбайг ол . Хамгийн гол нь "tse" ба "de" векторууд нь векторуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энд байгаа алгоритм нь стандарт бөгөөд хичээлийн 3, 4-р жишээнүүдийг санагдуулдаг. Векторуудын цэгийн үржвэр. Тодорхой болгохын тулд бид шийдлийг гурван үе шатанд хуваана.

1) Эхний алхамд бид вектор үржвэрийг вектор бүтээгдэхүүнээр илэрхийлдэг. векторыг вектороор илэрхийлье. Урт хугацааны талаар хараахан хэлээгүй байна!

(1) Векторуудын илэрхийлэлийг орлуулах.

(2) Тархалтын хуулиудыг ашиглан бид олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалтыг нээнэ.

(3) Ассоциатив хуулиудыг ашиглан бид бүх тогтмолуудыг вектор үржвэрээс цааш шилжүүлдэг. Бага зэрэг туршлагатай бол 2, 3-р алхамуудыг нэгэн зэрэг хийж болно.

(4) Сайхан шинж чанарын улмаас эхний болон сүүлчийн гишүүн нь тэгтэй тэнцүү (тэг вектор). Хоёр дахь нэр томъёонд бид вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг ашигладаг.

(5) Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.

Үүний үр дүнд вектор нь вектороор илэрхийлэгдэх болсон бөгөөд үүнд хүрэх шаардлагатай байв.

2) Хоёр дахь шатанд бид шаардлагатай вектор бүтээгдэхүүний уртыг олно. Энэ үйлдэл нь 3-р жишээтэй төстэй:

3) Шаардлагатай гурвалжны талбайг ол:

Шийдлийн 2-3 үе шатыг нэг мөрөнд бичиж болно.

Хариулт:

Туршилтын хувьд энэ асуудал нэлээд түгээмэл байдаг тул үүнийг өөрөө шийдэх жишээ энд байна.

Жишээ 5

Хэрвээ олоорой

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт. Өмнөх жишээнүүдийг судлахдаа хэр анхааралтай байсныг харцгаая ;-)

Координат дахь векторуудын хөндлөн үржвэр

Томъёо нь үнэхээр энгийн: тодорхойлогчийн дээд мөрөнд бид координатын векторуудыг бичиж, хоёр ба гурав дахь мөрөнд векторуудын координатыг "тавиж" тавьдаг. хатуу дарааллаар– эхлээд “ve” векторын координатууд, дараа нь “давхар-ve” векторын координатууд. Хэрэв векторуудыг өөр дарааллаар үржүүлэх шаардлагатай бол мөрүүдийг солих хэрэгтэй.

Жишээ 10

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг шалгана уу.
A)
б)

Шийдэл: Шалгалт нь энэ хичээлийн хэллэгүүдийн аль нэг дээр үндэслэсэн болно: хэрэв векторууд нь коллинеар байвал тэдгээрийн вектор үржвэр нь тэгтэй тэнцүү (тэг вектор): .

a) Вектор үржвэрийг ол:

Тиймээс векторууд нь коллинеар биш юм.

б) Вектор үржвэрийг ол:

Хариулт: a) уялдаа холбоогүй, б)

Энд магадгүй векторуудын вектор бүтээгдэхүүний талаархи бүх үндсэн мэдээлэл байна.

Векторуудын холимог үржвэрийг ашиглахад асуудал цөөн тул энэ хэсэг тийм ч том биш байх болно. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл тодорхойлолт, геометрийн утга, ажлын хэд хэдэн томъёоноос хамаарна.

Векторуудын холимог үржвэр нь гурван векторын үржвэр юм:

Тиймээс тэд галт тэрэг шиг жагсаж, хэн болохыг нь тэсэн ядан хүлээж байна.

Эхлээд дахин тодорхойлолт ба зураг:

Тодорхойлолт: Холимог ажил тэгш бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, дуудсан параллелепипед эзэлхүүн, эдгээр векторууд дээр баригдсан, хэрэв суурь нь зөв бол "+" тэмдгээр, хэрэв суурь нь үлдсэн бол "-" тэмдгээр тоноглогдсон.

Зургаа хийцгээе. Бидэнд үл үзэгдэх шугамуудыг тасархай шугамаар зурсан:

Тодорхойлолт руу орцгооё:

2) Векторуудыг авсан тодорхой дарааллаар, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүн дэх векторуудыг дахин зохион байгуулах нь таны таамаглаж байгаагаар үр дагаваргүйгээр явагдахгүй.

3) Геометрийн утгыг тайлбарлахын өмнө би тодорхой баримтыг тэмдэглэх болно. векторуудын холимог үржвэр нь ДУГААР юм: . Боловсролын уран зохиолд загвар нь арай өөр байж болно, би холимог бүтээгдэхүүнийг "pe" үсгээр тэмдэглэж, тооцоолсон үр дүнг тэмдэглэдэг.

Тодорхойлолтоор холимог бүтээгдэхүүн нь параллелепипедийн эзэлхүүн юм, векторууд дээр бүтээгдсэн (зураг улаан вектор, хар шугамаар зурсан). Өөрөөр хэлбэл, тоо нь өгөгдсөн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.

Анхаарна уу : Зураг нь бүдүүвчилсэн байна.

4) Суурь ба орон зайн чиг баримжаа гэсэн ойлголтын талаар дахин санаа зовох хэрэггүй. Эцсийн хэсгийн утга нь эзлэхүүн дээр хасах тэмдэг нэмж болно гэсэн үг юм. Энгийнээр хэлбэл, холимог бүтээгдэхүүн нь сөрөг байж болно: .

Тодорхойлолтоос шууд векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёог дагаж мөрддөг.

Тодорхойлолт (x 1 , x 2 , ... , x n) n бодит тооны дараалсан цуглуулгыг гэнэ. n хэмжээст вектор, мөн тоонууд x i (i =) - бүрэлдэхүүн хэсгүүд,эсвэл координат,

Жишээ. Жишээлбэл, тодорхой автомашины үйлдвэр нь нэг ээлжинд 50 автомашин, 100 ачааны машин, 10 автобус, 50 ​​иж бүрдэл автомашин, 150 иж бүрдэл ачааны машин, автобус үйлдвэрлэх ёстой бол энэ үйлдвэрийн үйлдвэрлэлийн хөтөлбөрийг вектор хэлбэрээр бичиж болно. (50, 100, 10, 50, 150), таван бүрэлдэхүүн хэсэгтэй.

Тэмдэглэгээ. Векторуудыг тод жижиг үсгээр эсвэл дээд талд нь зураас эсвэл сумтай үсгээр тэмдэглэнэ, жишээлбэл. аэсвэл. Хоёр векторыг нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээр нь ижил тооны бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй бөгөөд тэдгээрийн харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь тэнцүү бол.

Вектор бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг солих боломжгүй, жишээлбэл, (3, 2, 5, 0, 1)ба (2, 3, 5, 0, 1) өөр векторууд.
Вектор дээрх үйлдлүүд.ажил x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) бодит тоогоорλ вектор гэж нэрлэдэгλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Дүнx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ба y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) -ийг вектор гэнэ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Вектор орон зай.Н -хэмжээст вектор орон зай Р n нь бодит тоогоор үржүүлэх болон нэмэх үйлдлүүдийг тодорхойлсон бүх n хэмжээст векторуудын олонлогоор тодорхойлогддог.

Эдийн засгийн дүрслэл. n хэмжээст вектор орон зайн эдийн засгийн дүрслэл: барааны орон зай (бараа). Доод барааБид тодорхой газар тодорхой цагт худалдаанд гарсан зарим бараа, үйлчилгээг ойлгох болно. Хязгаарлагдмал тооны n бараа байна гэж бодъё; Хэрэглэгчийн худалдаж авсан тэдгээрийн тоо хэмжээ нь багц барааны тодорхойлогддог

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

Энд x i нь хэрэглэгчийн худалдан авсан i-р барааны хэмжээг илэрхийлнэ. Бүх бараа нь дур зоргоороо хуваагдах шинж чанартай байдаг тул тэдгээрийн сөрөг бус тоо хэмжээг худалдан авах боломжтой гэж бид таамаглах болно. Дараа нь бүх боломжит барааны багц нь барааны орон зай C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).

Шугаман бие даасан байдал. Систем д 1 , д 2 , ... , д m n хэмжээст векторуудыг нэрлэнэ шугаман хамааралтай, хэрэв ийм тоо байгаа болλ 1 , λ 2 , ... , λ м , үүнээс дор хаяж нэг нь тэг биш, ийм тэгш байдалλ 1 д 1 + λ 2 д 2 +... + λ м дм = 0; өөрөөр хэлбэл энэ векторын системийг гэж нэрлэдэг шугаман бие даасан, өөрөөр хэлбэл заасан тэгш байдал нь зөвхөн бүх тохиолдолд л боломжтой болно . Векторуудын шугаман хамаарлын геометрийн утга Р 3-ыг чиглэсэн сегмент гэж тайлбарлавал дараах теоремуудыг тайлбарла.

Теорем 1. Нэг вектороос бүрдэх систем нь зөвхөн энэ вектор тэг байвал шугаман хамааралтай байна.

Теорем 2. Хоёр вектор шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээр нь коллинеар (параллель) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Теорем 3 . Гурван вектор шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай (нэг хавтгайд хэвтэж) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Зүүн ба баруун гурвалсан векторууд. Хавсарсан бус векторуудын гурав дахин a, b, cдуудсан зөв, хэрэв тэдгээрийн нийтлэг гарал үүслийн ажиглагч векторуудын төгсгөлийг тойрч байвал a, b, cөгөгдсөн дарааллаар цагийн зүүний дагуу гарч ирдэг. Үгүй бол a, b, c -гурав үлдсэн. Бүх баруун (эсвэл зүүн) гурвалсан векторууд гэж нэрлэгддэг адилхан чиглэсэн.

Суурь ба координат. Тройка д 1, д 2 , д 3 хуваарьгүй векторууд Р 3 гэж нэрлэдэг суурь, мөн векторууд өөрсдөө д 1, д 2 , д 3 - үндсэн. Аливаа вектор аүндсэн векторууд болгон өвөрмөц байдлаар өргөжүүлж болно, өөрөөр хэлбэл хэлбэрээр төлөөлдөг

А= x 1 д 1+x2 д 2 + x 3 д 3, (1.1)

(1.1) өргөтгөлийн x 1 , x 2 , x 3 тоонуудыг дуудна координатуудаүндсэн дээр д 1, д 2 , д 3 ба томилогдсон а(x 1, x 2, x 3).

Ортонормаль суурь. Хэрэв векторууд д 1, д 2 , д 3 нь хос перпендикуляр бөгөөд тус бүрийн урт нь нэгтэй тэнцүү бол суурь гэж нэрлэдэг. ортонормаль, мөн координатууд x 1 , x 2 , x 3 - тэгш өнцөгт.Ортонормаль суурийн суурь векторуудыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ i, j, k.

Бид үүнийг сансарт гэж таамаглах болно Р 3 Декартын тэгш өнцөгт координатын зөв системийг сонгосон (0, i, j, k}.

Вектор урлагийн бүтээл. Вектор урлагийн бүтээл Авектор руу бвектор гэж нэрлэдэг вдараах гурван нөхцөлөөр тодорхойлогддог.

1. Векторын урт ввекторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайтай тоогоор тэнцүү байна аТэгээд б,өөрөөр хэлбэл
в= |a||b|нүгэл( а^б).

2. Вектор ввектор тус бүрт перпендикуляр байна аТэгээд б.

3. Векторууд а, бТэгээд в, заасан дарааллаар авсан, баруун гурвалсан үүсгэнэ.

Хөндлөн бүтээгдэхүүний хувьд втэмдэглэгээг танилцуулж байна c =[ab] эсвэл
c = a × б.

Хэрэв векторууд аТэгээд бхоорондоо уялдаатай, дараа нь нүгэл ( a^b) = 0 ба [ ab] = 0, ялангуяа, [ аа] = 0. Нэгж векторын вектор үржвэрүүд: [ ij]=к, [jk] = би, [ки]=j.

Хэрэв векторууд аТэгээд бүндэслэлд заасан i, j, kкоординатууд а(a 1 , a 2 , a 3), б(b 1, b 2, b 3), дараа нь

Холимог ажил. Хэрэв хоёр векторын вектор үржвэр бол АТэгээд бскаляраар гурав дахь вектороор үржүүлсэн в,тэгвэл гурван векторын ийм үржвэрийг гэнэ холимог ажилба тэмдгээр тэмдэглэгдсэн байна а б в.

Хэрэв векторууд а, бТэгээд вүндсэн дээр i, j, kтэдгээрийн координатаар өгөгдсөн
а(a 1 , a 2 , a 3), б(b 1, b 2, b 3), в(c 1, c 2, c 3), дараа нь

.

Холимог бүтээгдэхүүн нь энгийн геометрийн тайлбартай байдаг - энэ нь өгөгдсөн гурван вектор дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнтэй үнэмлэхүй утгатай тэнцүү скаляр юм.

Хэрэв векторууд зөв гурвалсан бол тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүн нь заасан эзэлхүүнтэй тэнцүү эерэг тоо байна; хэрэв гурав бол a, b, c -тэгээд зүүн a b c<0 и V = - a b c, тиймээс V =|a b c|.

Нэгдүгээр бүлгийн асуудалд тулгарсан векторуудын координатыг зөв ортонормаль суурьтай харьцуулсан гэж үзнэ. Нэгж вектор вектортой координат А,тэмдгээр илэрхийлнэ АО. Тэмдэг r=ОММ цэгийн радиус вектороор тэмдэглэгдсэн, a, AB эсвэл тэмдэгтүүд|а|, | AB|векторуудын модулиудыг тэмдэглэв АТэгээд AB.

Жишээ 1.2. Векторуудын хоорондох өнцгийг ол а= 2м+4nТэгээд б= м-н, Хаана мТэгээд n-нэгж векторууд ба хоорондын өнцөг мТэгээд n 120 o-тай тэнцүү.

Шийдэл. Бидэнд байна: cos φ = ab/аб ab =(2м+4n) (м-н) = 2м 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; а 2 = (2м+4n) (2м+4n) =
= 4м 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, энэ нь a = гэсэн үг. b = ; б 2 =
= (м-н)(м-н) = м 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, энэ нь b = гэсэн үг. Эцэст нь бидэнд байна: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Жишээ 1.3.Векторуудыг мэддэг AB(-3,-2.6) ба МЭӨ(-2,4,4),АВС гурвалжны AD өндрийн уртыг тооцоол.

Шийдэл. ABC гурвалжны талбайг S-ээр тэмдэглэвэл бид дараахь зүйлийг авна.
S = МЭӨ 1/2. Дараа нь AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, энэ нь вектор гэсэн үг А.С.координаттай
. .

Жишээ 1.4 . Хоёр вектор өгөгдсөн а(11,10,2) ба б(4,0,3). Нэгж векторыг ол в,векторуудад ортогональ аТэгээд бба дараалсан гурвалсан вектор байхаар чиглүүлсэн a, b, cзөв байсан.

Шийдэл.Векторын координатыг тэмдэглэе в x, y, z-ийн хувьд өгөгдсөн зөв ортонормаль суурийн хувьд.

Учир нь в ⊥ а, в ⊥б, Тэр ойролцоогоор= 0,cb= 0. Бодлогын нөхцлийн дагуу c = 1 ба байх шаардлагатай a b c >0.

Бидэнд x,y,z-ийг олох тэгшитгэлийн систем бий: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Системийн эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлээс бид z = -4/3 x, y = -5/6 x-ийг олж авна. Гурав дахь тэгшитгэлд y ба z-г орлуулбал: x 2 = 36/125, эндээс
x =± . Нөхцөлийг ашиглах a b c > 0, бид тэгш бус байдлыг олж авна

z ба y-ийн илэрхийллүүдийг харгалзан бид үүссэн тэгш бус байдлыг 625/6 x > 0 хэлбэрээр дахин бичдэг бөгөөд энэ нь x>0 гэсэн үг юм. Тэгэхээр x = , y = - , z =- .