Дамми нарт зориулсан векторууд. Вектортой үйлдэл

Эцэст нь би энэ өргөн уудам, удаан хүлээсэн сэдвээр гартаа авлаа. аналитик геометр. Нэгдүгээрт, дээд математикийн энэ хэсгийн талаар бага зэрэг ... Та одоо олон теорем, тэдгээрийн нотолгоо, зураг гэх мэт сургуулийн геометрийн хичээлийг санаж байгаа нь лавтай. Юуг нуух вэ, оюутнуудын нэлээд хэсэг нь дурладаггүй, ихэвчлэн бүрхэг байдаг. Аналитик геометр нь хачирхалтай нь илүү сонирхолтой, хүртээмжтэй мэт санагдаж магадгүй юм. "Аналитик" гэсэн нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ? "График шийдлийн арга" ба "аналитик шийдлийн арга" гэсэн хоёр хошгируулсан математик хэллэг шууд санаанд орж ирдэг. График арга, мэдээжийн хэрэг, график, зураг зурахтай холбоотой. Аналитикэсвэл аргаасуудлыг шийдвэрлэхэд хамаарна голчлоналгебрийн үйлдлээр дамжуулан. Үүнтэй холбогдуулан аналитик геометрийн бараг бүх асуудлыг шийдэх алгоритм нь энгийн бөгөөд ил тод байдаг бөгөөд ихэвчлэн шаардлагатай томъёог анхааралтай хэрэглэхэд хангалттай байдаг - хариулт бэлэн байна! Үгүй ээ, мэдээжийн хэрэг, үүнийг зураггүйгээр хийх боломжгүй бөгөөд үүнээс гадна материалыг илүү сайн ойлгохын тулд би тэдгээрийг шаардлагагүйгээр иш татахыг хичээх болно.

Шинээр нээгдсэн геометрийн хичээл нь онолын хувьд бүрэн дүүрэн дүр эсгэдэггүй, энэ нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чиглэгддэг. Би лекцэндээ зөвхөн миний бодлоор практикийн хувьд чухал зүйлийг л оруулах болно. Хэрэв танд аль нэг дэд зүйлд илүү бүрэн тусламж хэрэгтэй бол би дараах нэлээн хүртээмжтэй ном зохиолыг санал болгож байна.

1) Хэд хэдэн үеийнхэнд танил болсон зүйл, хошигнол биш: Сургуулийн геометрийн сурах бичиг, зохиогчид - Л.С. Атанасян ба компани. Сургуулийн хувцас солих өрөөний энэ өлгүүр аль хэдийн 20 (!) дахин хэвлэгдсэн бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг хязгаар биш юм.

2) Геометр 2 боть. Зохиогчид Л.С. Атанасян, Базылев В.Т.. Энэ бол ахлах сургуулийн уран зохиол, танд хэрэгтэй болно эхний боть. Ховор тулгардаг ажлууд миний нүднээс холдож магадгүй бөгөөд заавар нь үнэлж баршгүй тус болно.

Хоёр номыг онлайнаар үнэгүй татаж авах боломжтой. Нэмж дурдахад та миний архивыг хуудаснаас олж болох бэлэн шийдлүүдийн хамт ашиглаж болно Дээд математикийн жишээ татаж авах.

Хэрэгслийн дунд би дахин өөрийн хөгжлийг санал болгож байна - програм хангамжийн багцаналитик геометрийн чиглэлээр, энэ нь амьдралыг ихээхэн хялбарчилж, маш их цаг хэмнэх болно.

Уншигчид геометрийн үндсэн ойлголт, дүрсүүдийг мэддэг гэж үздэг: цэг, шулуун, хавтгай, гурвалжин, параллелограмм, параллелепипед, шоо гэх мэт. Зарим теоремуудыг санаж байхыг зөвлөж байна, ядаж Пифагорын теорем, давтагчдад сайн уу)

Одоо бид дараалсан байдлаар авч үзэх болно: векторын тухай ойлголт, вектортой үйлдэл, вектор координат. Би цааш нь уншихыг зөвлөж байна хамгийн чухал нийтлэл Векторуудын цэгийн үржвэр, мөн түүнчлэн Векторуудын вектор ба холимог үржвэр. Орон нутгийн даалгавар - Энэ талаар сегментийг хуваах нь илүүц байх болно. Дээрх мэдээлэлд үндэслэн та эзэмшиж чадна хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэл-тай шийдлийн хамгийн энгийн жишээ, энэ нь зөвшөөрөх болно геометрийн асуудлыг шийдэж сурах. Дараах нийтлэлүүд бас хэрэгтэй. Орон зай дахь хавтгайн тэгшитгэл, Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл, Шулуун ба хавтгайн үндсэн бодлого, аналитик геометрийн бусад хэсгүүд. Мэдээжийн хэрэг, стандарт ажлуудыг замдаа авч үзэх болно.

Вектор ойлголт. Чөлөөт вектор

Эхлээд векторын сургуулийн тодорхойлолтыг давтъя. Вектордуудсан чиглүүлсэнтүүний эхлэл ба төгсгөлийг заасан сегмент:

Энэ тохиолдолд сегментийн эхлэл нь цэг, сегментийн төгсгөл нь цэг юм. Вектор нь өөрөө . Чиглэлчухал бөгөөд хэрвээ та сумыг сегментийн нөгөө төгсгөл рүү зөөвөл вектор гарч ирэх бөгөөд энэ нь аль хэдийн болсон тэс өөр вектор. Физик биеийн хөдөлгөөнтэй векторын тухай ойлголтыг тодорхойлох нь тохиромжтой: та хүлээн зөвшөөрөх ёстой, хүрээлэнгийн хаалгаар орох эсвэл хүрээлэнгийн хаалганаас гарах нь огт өөр зүйл юм.

Онгоц эсвэл орон зайн бие даасан цэгүүдийг гэж нэрлэх нь тохиромжтой тэг вектор. Ийм векторын хувьд төгсгөл ба эхлэл нь давхцдаг.

!!! Жич: Энд, цаашлаад векторууд нэг хавтгайд байрладаг эсвэл тэдгээрийг сансарт байрладаг гэж таамаглаж болно - танилцуулсан материалын мөн чанар нь хавтгай болон орон зайд хоёуланд нь хүчинтэй байна.

Тэмдэглэл:Олон хүн сумгүй савааг шууд анзаарч, дээд талд нь сум байгаа гэж хэлэв! Үнэн, та үүнийг сумаар бичиж болно: , гэхдээ энэ нь бас боломжтой миний ирээдүйд ашиглах оруулга. Яагаад? Энэ зуршил нь практик шалтгаанаар бий болсон нь миний сургууль, их сургуулийн харваачид хэтэрхий өөр хэмжээтэй, сэвсгэр байсан бололтой. Боловсролын уран зохиолд заримдаа тэд дөрвөлжин бичээстэй огтхон ч санаа зовдоггүй, харин тод үсгээр тэмдэглэдэг: , ингэснээр энэ нь вектор болохыг илтгэнэ.

Энэ бол стилистик байсан бөгөөд одоо вектор бичих аргуудын тухай:

1) Векторуудыг хоёр том латин үсгээр бичиж болно.
гэх мэт. Энэ тохиолдолд эхний үсэг Заавалвекторын эхлэлийн цэгийг, хоёр дахь үсэг нь векторын төгсгөлийн цэгийг заана.

2) Векторуудыг мөн жижиг латин үсгээр бичсэн:
Ялангуяа манай векторыг жижиг латин үсгээр товчилуулж болно.

Уртэсвэл модультэг биш векторыг сегментийн урт гэнэ. Тэг векторын урт нь тэг байна. Логик.

Векторын уртыг модулийн тэмдгээр илэрхийлнэ: ,

Хэсэг хугацааны дараа бид векторын уртыг хэрхэн олох талаар сурах болно (эсвэл бид үүнийг хэнээс хамаарч давтах болно).

Энэ бол бүх сургуулийн сурагчдад танил болсон векторуудын талаархи үндсэн мэдээлэл байв. Аналитик геометрийн хувьд гэж нэрлэгддэг үнэгүй вектор.

Энгийнээр хэлэхэд - векторыг дурын цэгээс зурж болно:

Бид ийм векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэж заншсан (тэнцүү векторуудын тодорхойлолтыг доор өгөх болно), гэхдээ цэвэр математикийн үүднээс авч үзвэл тэдгээр нь АДИЛ ВЕКТОР эсвэл үнэгүй вектор. Яагаад үнэгүй гэж? Учир нь асуудлыг шийдвэрлэх явцад та энэ эсвэл өөр "сургуулийн" векторыг онгоц эсвэл орон зайн аль ч цэгт "хавсрах" боломжтой. Энэ бол маш гайхалтай онцлог юм! Дурын урт, чиглэлтэй чиглэсэн сегментийг төсөөлөөд үз дээ - үүнийг хязгааргүй олон удаа "клончлох" боломжтой бөгөөд огторгуйн аль ч цэгт, үнэндээ энэ нь хаа сайгүй байдаг. Ийм нэгэн оюутны хэлсэн үг байдаг: Лектор бүр векторын талаар санаа тавьдаг. Эцсийн эцэст, энэ бол зүгээр нэг уран яруу найраг биш, бүх зүйл бараг зөв юм - чиглүүлсэн сегментийг тэнд нэмж оруулах боломжтой. Гэхдээ баярлах гэж бүү яар, оюутнууд өөрсдөө ихэвчлэн зовж байдаг =)

Тэгэхээр, үнэгүй вектор- Энэ олон ижил чиглэсэн сегментүүд. Догол мөрийн эхэнд өгөгдсөн векторын сургуулийн тодорхойлолт нь: "Чилтгэсэн сегментийг вектор гэж нэрлэдэг ..." гэсэн утгатай. тодорхойХавтгай эсвэл орон зайн тодорхой цэгт холбогдсон өгөгдсөн багцаас авсан чиглэсэн сегмент.

Физикийн үүднээс авч үзвэл чөлөөт векторын тухай ойлголт нь ерөнхийдөө буруу бөгөөд хэрэглээний цэг нь чухал гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үнэн хэрэгтээ, миний тэнэг жишээг хөгжүүлэхэд хангалттай хамар эсвэл духан дээр ижил хүчээр шууд цохилт өгөх нь өөр өөр үр дагаварт хүргэдэг. Гэсэн хэдий ч, эрх чөлөөгүйвекторууд нь вишматын явцад бас олддог (тэнд очиж болохгүй :)).

Вектортой үйлдэл. Векторуудын коллинеар байдал

Сургуулийн геометрийн хичээл нь вектортой хэд хэдэн үйлдэл, дүрмийг багтаадаг. гурвалжны дүрмээр нэмэх, параллелограммын дүрмээр нэмэх, векторын ялгах дүрэм, векторыг тоогоор үржүүлэх, векторын скаляр үржвэр гэх мэт.Эхлэх цэг болгон аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд онцгой ач холбогдолтой хоёр дүрмийг давтан хэлье.

Гурвалжингийн дүрмийг ашиглан вектор нэмэх дүрэм

Дурын тэг биш хоёр векторыг авч үзье ба:

Та эдгээр векторуудын нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Бүх векторуудыг үнэ төлбөргүй гэж үздэг тул бид векторыг хойш тавих болно төгсгөлвектор:

Векторуудын нийлбэр нь вектор юм. Дүрмийг илүү сайн ойлгохын тулд түүнд физик утгыг оруулахыг зөвлөж байна: зарим биеийг векторын дагуу, дараа нь векторын дагуу явуулаарай. Дараа нь векторуудын нийлбэр нь эхлэл нь явах цэг, төгсгөл нь хүрэх цэгтэй, үүссэн замын вектор юм. Үүнтэй төстэй дүрмийг дурын тооны векторын нийлбэрт томъёолсон болно. Тэдний хэлснээр бие нь зигзаг дагуу, эсвэл автомат нисгэгчээр - нийлбэрийн үр дүнд бий болсон векторын дагуу маш хазайж болно.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв векторыг хойшлуулсан бол эхэлсэнвектор, тэгвэл бид эквивалентыг авна параллелограммын дүрэмвектор нэмэх.

Нэгдүгээрт, векторуудын коллинеар байдлын тухай. Хоёр векторыг нэрлэдэг collinear, хэрэв тэдгээр нь нэг шулуун дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр хэвтэж байвал. Товчхондоо бид параллель векторуудын тухай ярьж байна. Гэхдээ тэдэнтэй холбоотойгоор "зэрэгцээ" гэсэн нэр томъёог үргэлж ашигладаг.

Хоёр коллинеар векторыг төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв эдгээр векторуудын сумнууд нэг чиглэлд чиглүүлсэн бол ийм векторуудыг дуудна хамтран найруулсан. Хэрэв сумнууд өөр өөр чиглэлд чиглүүлбэл векторууд нь байх болно эсрэг чиглэлүүд.

Тэмдэглэл:векторуудын уялдаа холбоог ердийн параллелизм тэмдгээр бичнэ: , харин дэлгэрэнгүй тайлбарлах боломжтой: (векторууд хамтран чиглэсэн) эсвэл (векторууд эсрэгээр чиглэсэн).

ажилТоон дээрх тэгээс ялгаатай вектор нь урт нь -тэй тэнцүү, ба векторууд нь -т хамт, эсрэгээр нь чиглэсэн вектор юм.

Векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг зургийн тусламжтайгаар ойлгоход хялбар болно.

Үүнийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье:

1) Чиглэл. Хэрэв үржүүлэгч сөрөг байвал вектор болно чиглэлээ өөрчилдөгэсрэгээр.

2) урт. Хэрэв үржүүлэгч нь эсвэл дотор агуулагдаж байвал векторын урт буурдаг. Тэгэхээр векторын урт нь векторын уртын тал юм. Хэрэв үржүүлэгчийн модуль нэгээс их бол векторын урт нэмэгддэгзаримдаа.

3) Үүнийг анхаарна уу бүх векторууд коллинеар байна, нэг вектор нь нөгөө вектороор илэрхийлэгддэг бол жишээлбэл, . Урвуу нь бас үнэн юм: хэрэв нэг векторыг нөгөө вектороор илэрхийлэх боломжтой бол ийм векторууд заавал коллинеар байна. Тиймээс: Хэрэв бид векторыг тоогоор үржүүлбэл коллинеар болно(эх хувьтай харьцуулахад) вектор.

4) Векторууд хамтран чиглэгддэг. Векторууд мөн хамтран найруулдаг. Эхний бүлгийн дурын вектор нь хоёр дахь бүлгийн аль ч векторын эсрэг чиглэсэн байна.

Аль векторууд тэнцүү вэ?

Хоёр вектор ижил чиглэлд, ижил урттай байвал тэнцүү байна. Хамтарсан чиглэл нь векторуудын коллинеар байдлыг илэрхийлдэг гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв бид: "Хоёр вектор нь хоорондоо уялдаатай, нэгдмэл чиглэлтэй, ижил урттай бол тэнцүү байна" гэж хэлбэл энэ тодорхойлолт буруу (илүүдэл) байх болно.

Чөлөөт векторын үзэл баримтлалын үүднээс авч үзвэл тэнцүү векторууд нь өмнөх догол мөрөнд дурдсанчлан ижил векторууд юм.

Хавтгай болон орон зай дахь вектор координатууд

Эхний цэг бол хавтгай дээрх векторуудыг авч үзэх явдал юм. Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг дүрсэлж, координатын гарал үүслээс нь зурцгаая. ганц биевекторууд ба:

Векторууд ба ортогональ. Ортогональ = Перпендикуляр. Би таныг нэр томъёонд аажмаар дасахыг зөвлөж байна: параллелизм ба перпендикуляр байдлын оронд бид үгсийг тус тусад нь ашигладаг. уялдаа холбооТэгээд ортогональ байдал.

Зориулалт:Векторуудын ортогональ байдлыг ердийн перпендикулярын тэмдгээр бичнэ, жишээ нь: .

Харж байгаа векторуудыг дуудна координатын векторуудэсвэл орц. Эдгээр векторууд үүсдэг суурьонгоцонд. Үндэслэл нь олон хүнд ойлгомжтой, илүү дэлгэрэнгүй мэдээллийг нийтлэлээс олж болно гэж би бодож байна Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Векторуудын үндэсЭнгийнээр хэлбэл, координатын үндэс, гарал үүсэл нь бүхэл бүтэн системийг тодорхойлдог - энэ нь бүрэн дүүрэн, баялаг геометрийн амьдрал буцалж буй нэг төрлийн суурь юм.

Заримдаа баригдсан суурь гэж нэрлэдэг ортонормальХавтгайн үндэс: "ortho" - координатын векторууд нь ортогональ байдаг тул "нормчилсан" гэсэн нэр томъёо нь нэгж гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. суурь векторуудын урт нь нэгтэй тэнцүү байна.

Зориулалт:суурь нь ихэвчлэн хаалтанд бичигдсэн байдаг хатуу дарааллаарсуурь векторуудыг жагсаасан, жишээ нь: . Координатын векторууд энэ нь хориотойдахин зохион байгуулах.

Ямар чхавтгай вектор цорын ганц арга замдараах байдлаар илэрхийлсэн:
, Хаана - тоогэж нэрлэдэг вектор координатэнэ үндсэн дээр. Мөн илэрхийлэл нь өөрөө дуудсан вектор задралүндсэн дээр .

Оройн хоол:

Цагаан толгойн эхний үсгээр эхэлье: . Зураг нь векторыг суурь болгон задлахдаа сая авч үзсэн зүйлсийг ашигладаг болохыг тодорхой харуулж байна.
1) векторыг тоогоор үржүүлэх дүрэм: ба ;
2) гурвалжны дүрмийн дагуу вектор нэмэх: .

Одоо онгоцны өөр аль ч цэгээс векторыг оюун ухаанаар зур. Түүний ялзрал нь "түүнийг уйгагүй дагах" нь ойлгомжтой. Энд байна, векторын эрх чөлөө - вектор "бүх зүйлийг өөртөө авч явдаг". Энэ шинж чанар нь мэдээжийн хэрэг аливаа векторын хувьд үнэн юм. Суурь (чөлөөт) векторуудыг эхнээс нь зурах шаардлагагүй, жишээлбэл, зүүн доод талд, нөгөөг нь баруун дээд талд зурж болох бөгөөд юу ч өөрчлөгдөхгүй нь инээдтэй юм! Үнэн, та үүнийг хийх шаардлагагүй, учир нь багш бас өвөрмөц байдлыг харуулж, гэнэтийн газарт "зээл" авах болно.

Векторууд нь векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг яг таг харуулж байна, вектор нь үндсэн вектортой кодиректортой, вектор нь үндсэн векторын эсрэг чиглэсэн байна. Эдгээр векторуудын хувьд координатуудын нэг нь тэгтэй тэнцүү тул та үүнийг дараах байдлаар нарийн бичиж болно.

Дашрамд хэлэхэд суурь векторууд нь иймэрхүү байна: (үнэндээ тэд өөрсдөө илэрхийлэгддэг).

Тэгээд эцэст нь: , . Дашрамд хэлэхэд, вектор хасах гэж юу вэ, яагаад би хасах дүрмийн талаар яриагүй юм бэ? Шугаман алгебрийн хаа нэгтээ би хаана байгааг санахгүй байна, хасах үйлдэл нь нэмэхийн онцгой тохиолдол гэдгийг би тэмдэглэсэн. Тиймээс "de" ба "e" векторуудын өргөтгөлүүдийг нийлбэр хэлбэрээр хялбархан бичдэг: , . Гурвалжны дүрмийн дагуу хуучин векторуудыг нэмэх нь эдгээр нөхцөл байдалд хэр тодорхой ажиллаж байгааг харахын тулд зургийг дагана уу.

Маягтын задралыг авч үзсэн заримдаа вектор задрал гэж нэрлэдэг ort системд(жишээ нь нэгж векторын системд). Гэхдээ энэ нь вектор бичих цорын ганц арга биш юм:

Эсвэл тэнцүү тэмдэгтэй:

Үндсэн векторууд нь дараах байдлаар бичигдсэн байдаг: ба

Өөрөөр хэлбэл, векторын координатыг хаалтанд зааж өгсөн болно. Практик бодлогод тэмдэглэгээний гурван хувилбарыг бүгдийг нь ашигладаг.

Би ярих эсэхдээ эргэлзэж байсан ч би хэлэх болно: векторын координатыг өөрчлөх боломжгүй. Эхний ээлжинд хатууБид нэгж векторт тохирох координатыг бичнэ. хатуу хоёрдугаарт ордогБид нэгж векторт тохирох координатыг бичнэ. Үнэн хэрэгтээ, эдгээр нь хоёр өөр вектор юм.

Бид онгоцон дээрх координатуудыг олж мэдсэн. Одоо гурван хэмжээст орон зай дахь векторуудыг харцгаая, энд бараг бүх зүйл ижил байна! Энэ нь дахиад нэг координат нэмэх болно. Гурван хэмжээст зураг зурахад хэцүү байдаг тул би нэг вектороор хязгаарлагдах бөгөөд үүнийг хялбарчлах үүднээс гарал үүслийг нь авч үзэх болно.

Ямар ч 3D сансрын вектор цорын ганц арга замортонормаль суурь дээр өргөжүүлэх:
, энэ суурь дээрх векторын (тоо) координатууд хаана байна.

Зураг дээрх жишээ: . Энд векторын дүрэм хэрхэн ажилладагийг харцгаая. Нэгдүгээрт, векторыг тоогоор үржүүлнэ: (улаан сум), (ногоон сум) ба (бөөрөлзгөнө сум). Хоёрдугаарт, хэд хэдэн, энэ тохиолдолд гурван вектор нэмэх жишээ энд байна: . Нийлбэр вектор нь хөдлөх анхны цэгээс (векторын эхлэл) эхэлж, эцсийн хүрэх цэг дээр (векторын төгсгөл) дуусна.

Гурван хэмжээст орон зайн бүх векторууд нь мэдээжийн хэрэг, векторыг өөр ямар ч цэгээс салгах гэж оролдох бөгөөд та түүний задрал "үүнтэй хамт үлдэх болно" гэдгийг ойлгох болно.

Бичихээс гадна хавтгай хайрцагтай төстэй хаалт бүхий хувилбарууд өргөн хэрэглэгддэг: аль нэг .

Хэрэв өргөтгөлд нэг (эсвэл хоёр) координатын вектор байхгүй бол оронд нь тэгийг тавина. Жишээ нь:
вектор (нямбай ) - бичье;
вектор (нямбай) - бичих;
вектор (нямбай ) - бичье.

Үндсэн векторуудыг дараах байдлаар бичнэ.

Энэ нь магадгүй аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардагдах хамгийн бага онолын мэдлэг юм. Маш олон нэр томьёо, тодорхойлолт байж болох тул цайны савнууд энэ мэдээллийг дахин уншиж, ойлгохыг зөвлөж байна. Материалыг илүү сайн шингээхийн тулд үндсэн хичээлийг үе үе унших нь ямар ч уншигчдад ашигтай байх болно. Коллинеар байдал, ортогональ байдал, ортонормаль суурь, векторын задрал - эдгээр болон бусад ойлголтыг ирээдүйд ихэвчлэн ашиглах болно. Сайтын материал нь онолын шалгалт эсвэл геометрийн коллоквиумыг давахад хангалтгүй гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна, учир нь би бүх теоремуудыг сайтар шифрлэдэг (ба нотлох баримтгүйгээр) - илтгэлийн шинжлэх ухааны хэв маягт хохирол учруулах боловч таны хувьд нэмэлт зүйл юм. сэдвийн талаархи ойлголт. Нарийвчилсан онолын мэдээлэл авахын тулд профессор Атанасянд бөхийлгөнө үү.

Тэгээд бид практик хэсэг рүү шилжлээ:

Аналитик геометрийн хамгийн энгийн асуудлууд.
Координат дахь векторуудтай үйлдлүүд

Бүрэн автоматаар авч үзэх даалгавар, томъёог хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахыг зөвлөж байна цээжлэх, зориуд санах ч шаардлагагүй, тэд өөрсдөө санаж байх болно =) Аналитик геометрийн бусад бодлогууд нь хамгийн энгийн энгийн жишээн дээр үндэслэсэн тул энэ нь маш чухал бөгөөд ломбард идэж нэмэлт цаг зарцуулах нь ядаргаатай байх болно. . Цамцныхаа дээд товчийг бэхлэх шаардлагагүй;

Материалын танилцуулга нь онгоц болон орон зайн хувьд зэрэгцэн явагдана. Учир нь бүх томьёо... та өөрөө харах болно.

Хоёр цэгээс векторыг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв хавтгайн хоёр цэг өгөгдсөн бол вектор дараах координаттай байна.

Хэрэв орон зайд хоёр цэг өгөгдсөн бол вектор дараах координаттай байна.

Энэ нь, векторын төгсгөлийн координатааста харгалзах координатыг хасах хэрэгтэй векторын эхлэл.

Дасгал:Ижил цэгүүдийн хувьд векторын координатыг олох томъёог бичнэ үү. Хичээлийн төгсгөлд томъёо.

Жишээ 1

Онгоцны хоёр цэг өгөгдсөн ба . Вектор координатыг ол

Шийдэл:холбогдох томъёоны дагуу:

Эсвэл дараах оруулгыг ашиглаж болно.

Үүнийг гоо зүйчид шийднэ.

Би хувьдаа бичлэгийн эхний хувилбарт дассан.

Хариулт:

Нөхцөл байдлын дагуу зураг зурах шаардлагагүй (энэ нь аналитик геометрийн асуудлуудад тохиолддог) боловч даммигийн зарим зүйлийг тодруулахын тулд би залхуурахгүй.

Та мэдээж ойлгох хэрэгтэй цэгийн координат ба вектор координат хоорондын ялгаа:

Цэгийн координат- Эдгээр нь тэгш өнцөгт координатын систем дэх энгийн координатууд юм. 5-6-р ангиасаа эхлэн координатын хавтгайд цэг зурах арга барилыг хүн бүр мэддэг байх гэж бодож байна. Цэг бүр онгоцонд хатуу байр суурь эзэлдэг бөгөөд тэдгээрийг хаашаа ч зөөх боломжгүй.

Векторын координатууд– энэ бол энэ тохиолдолд суурийн дагуу түүний өргөтгөл юм. Аливаа вектор үнэ төлбөргүй байдаг тул хэрэв хүсвэл эсвэл шаардлагатай бол бид үүнийг онгоцны өөр цэгээс хялбархан холдуулж болно. Сонирхолтой нь, векторуудын хувьд тэнхлэг эсвэл тэгш өнцөгт координатын системийг огт барих шаардлагагүй, энэ тохиолдолд онгоцны ортонормаль суурь хэрэгтэй болно.

Цэгүүдийн координат ба векторуудын координатуудын бичлэгүүд ижил төстэй юм шиг байна: , ба координатын утгатуйлын өөр, мөн та энэ ялгааг сайн мэдэж байх ёстой. Энэ ялгаа нь мэдээжийн хэрэг орон зайд ч хамаатай.

Ноёд хатагтай нар аа, гараа дүүргэцгээе:

Жишээ 2

a) Оноо ба өгөгдсөн. векторуудыг олох ба .
б) Оноо өгдөг Мөн . векторуудыг олох ба .
в) Оноо ба өгөгдсөн. векторуудыг олох ба .
d) Оноо өгдөг. Векторуудыг олох .

Магадгүй энэ нь хангалттай байх. Эдгээр нь та өөрөө шийдэх жишээ юм, тэдгээрийг үл тоомсорлож болохгүй, энэ нь үр дүнгээ өгөх болно ;-). Зураг зурах шаардлагагүй. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултууд.

Аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд юу чухал вэ?“Хоёр нэмэх нь хоёр тэг” гэсэн гайхалтай алдаа гаргахгүйн тулд ОНЦ БОЛОМЖТОЙ байх нь чухал. Хаа нэгтээ алдаа гаргасан бол шууд уучлалт гуйя =)

Хэсгийн уртыг хэрхэн олох вэ?

Уртыг аль хэдийн дурдсанчлан модулийн тэмдгээр илэрхийлнэ.

Хэрэв хавтгайн хоёр цэг өгөгдсөн бол сегментийн уртыг томъёогоор тооцоолж болно

Хэрэв орон зайд хоёр цэг өгөгдсөн бол сегментийн уртыг томъёогоор тооцоолж болно

Жич: Харгалзах координатуудыг сольсон тохиолдолд томъёонууд зөв хэвээр байх болно: болон , гэхдээ эхний сонголт нь илүү стандарт юм

Жишээ 3

Шийдэл:холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

Тодорхой болгохын тулд би зураг зурах болно

Сегмент - энэ вектор биш, мөн мэдээж та үүнийг хаашаа ч хөдөлгөж чадахгүй. Үүнээс гадна, хэрэв та масштабаар зурвал: 1 нэгж. = 1 см (хоёр дэвтэр нүд), дараа нь үр дүнгийн хариултыг сегментийн уртыг шууд хэмжих замаар ердийн захирагчаар шалгаж болно.

Тийм ээ, шийдэл нь богино, гэхдээ би тодруулахыг хүсч буй хэд хэдэн чухал зүйл байна:

Нэгдүгээрт, хариултанд бид "нэгж" хэмжигдэхүүнийг тавьдаг. Нөхцөл байдал нь ЮУ гэдгийг хэлээгүй, миллиметр, сантиметр, метр, километр. Тиймээс математикийн хувьд зөв шийдэл нь ерөнхий томъёолол байх болно: "нэгж" - "нэгж" гэж товчилсон.

Хоёрдугаарт, зөвхөн авч үзсэн даалгаварт хэрэг болохуйц сургуулийн материалыг давтан хэлье.

Анхаарна уу чухал техник – үржүүлэгчийг үндэс доороос нь арилгах. Тооцооллын үр дүнд бид үр дүнд хүрсэн бөгөөд математикийн сайн хэв маяг нь хүчин зүйлийг үндэснээс нь (боломжтой бол) хасах явдал юм. Илүү нарийвчилсан байдлаар процесс дараах байдалтай байна. . Мэдээжийн хэрэг, хариултыг байгаагаар нь үлдээх нь алдаа биш, гэхдээ энэ нь багшийн хувьд дутуу дулимаг, нухацтай маргаан болно.

Бусад нийтлэг тохиолдлууд энд байна:

Ихэнхдээ үндэс нь нэлээд их тоог гаргадаг, жишээ нь . Ийм тохиолдолд юу хийх вэ? Тооцоологч ашиглан тухайн тоо 4-т хуваагдах эсэхийг шалгана: . Тийм ээ, энэ нь бүрэн хуваагдсан тул: . Эсвэл энэ тоог дахин 4-т хувааж болох уу? . Тиймээс: . Тооны сүүлийн орон сондгой тул гурав дахь удаагаа 4-т хуваахад бүтэхгүй нь ойлгомжтой. Есөөр хуваахыг хичээцгээе: . Үүний үр дүнд:
Бэлэн.

Дүгнэлт:хэрэв язгуур дор бид бүхэлд нь гаргаж авах боломжгүй тоог олж авбал бид язгуураас хүчин зүйлийг арилгахыг оролддог - тооцоолуур ашиглан энэ тоо дараахь байдлаар хуваагдах эсэхийг шалгана: 4, 9, 16, 25, 36, 49 гэх мэт.

Төрөл бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ багшийн тайлбар дээр үндэслэн шийдвэрээ эцэслэн гаргахын тулд бага зэрэглэл, шаардлагагүй асуудлаас зайлсхийхийн тулд үндэс суурьтай байнга тулгардаг;

Мөн квадрат үндэс болон бусад хүчийг давтъя:

Ерөнхий хэлбэрээр эрх мэдэлтэй ажиллах дүрмийг сургуулийн алгебрийн сурах бичгээс олж болно, гэхдээ өгөгдсөн жишээнүүдээс харахад бүх зүйл эсвэл бараг бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болсон гэж би бодож байна.

Орон зай дахь сегмент бүхий бие даасан шийдэлд зориулсан даалгавар:

Жишээ 4

Оноо ба өгөгдсөн. Хэсгийн уртыг ол.

Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.