Векторууд Векторыг тоогоор үржүүлэх Тэг векторын үржвэр нь урт нь тэнцүү, векторууд нь кодиректортой вектор юм. "Тоогоор векторын үржвэр" хичээл

Вектор хасах

Вектор нэмэх

Вектор нэмж болно. Үүссэн вектор нь хоёр векторын нийлбэр бөгөөд зай, чиглэлийг тодорхойлно. Жишээлбэл, та Киевт амьдардаг бөгөөд Москва дахь хуучин найзуудтайгаа уулзахаар шийдсэн бөгөөд тэндээсээ Львов дахь хайртай хадам ээждээ зочлохоор шийдсэн. Эхнэрийнхээ ээж дээр очихдоо гэрээсээ хэр хол байх вэ?

Энэ асуултад хариулахын тулд та аяллын эхлэлийн цэгээс (Киев) эцсийн цэг (Львов) хүртэл вектор зурах хэрэгтэй. Шинэ вектор нь бүхэл бүтэн аяллын үр дүнг эхнээс нь дуустал тодорхойлдог.

• Вектор А - Киев-Москва
• Вектор В - Москва-Львов
• Вектор C - Киев-Львов

C = A+B, хаана C - вектор нийлбэрэсвэл үүссэн вектор

Хуудасны дээд талд

Векторуудыг нэмэхээс гадна хасах боломжтой! Үүнийг хийхийн тулд хасах ба хасах векторуудын суурийг нэгтгэж, тэдгээрийн төгсгөлийг сумаар холбох хэрэгтэй.

• Вектор A = C-B
• Вектор В = С-А

23Асуулт:

Вектор гэдэг нь огторгуйн эсвэл хавтгайн хоёр цэгийг холбосон чиглэсэн сегмент юм.Векторуудыг ихэвчлэн жижиг үсгээр эсвэл эхлэл ба төгсгөлийн цэгээр тэмдэглэдэг. Дээд талд нь ихэвчлэн зураас байдаг.

Жишээлбэл, цэгээс чиглэсэн вектор Ацэг хүртэл Б, томилж болно а,

Тэг вектор 0 эсвэл 0 нь эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүд нь ижил вектор, өөрөөр хэлбэл. А=Б.Эндээс 0 = – 0.

a векторын урт (модуль) нь түүнийг төлөөлөх AB сегментийн урт бөгөөд |-ээр тэмдэглэгдсэн байна. a |. Тодруулбал, | 0 | = 0.

Векторуудыг дууддаг collinear, хэрэв тэдгээрийн чиглэсэн сегментүүд параллель шулуунууд дээр хэвтэж байвал. Коллинеар векторууд аТэгээд бтомилогдоно а|| б.

Гурав ба түүнээс дээш векторыг дуудна хавтгай, хэрэв тэд нэг хавтгайд хэвтэж байвал.

Вектор нэмэх.Учир нь векторууд чиглүүлсэнсегментүүд, дараа нь тэдгээрийн нэмэлтийг хийж болно геометрийн хувьд.(Векторуудын алгебрийн нэмэлтийг доор "Нэгж ортогональ векторууд" гэсэн хэсэгт тайлбарласан болно). Ингэж бодъё

a = ABболон б = CD,

дараа нь вектор __ __

а+ б = AB+ CD

Энэ нь хоёр үйлдлийн үр дүн юм:

а)зэрэгцээ шилжүүлэгвекторуудын аль нэг нь түүний эхлэлийн цэг нь хоёр дахь векторын төгсгөлийн цэгтэй давхцах;

б)геометрийн нэмэлт, өөрөөр хэлбэл тогтмол векторын эхлэлийн цэгээс шилжүүлсэн векторын төгсгөлийн цэг хүртэлх үр дүнд бий болсон векторыг байгуулах.

Векторуудыг хасах.Энэ үйлдлийг хасах векторыг эсрэгээр нь орлуулах замаар өмнөх үйлдлийг бууруулна. a–b =а+ (–б) .

Нэмэх хуулиуд.

I.a+ б = б + а(Шилжилтийн хууль).

II. (а+ б) + в = а+ (б + в) (хосолсон хууль).

III. а+ 0= а.

IV. а+ (-а) = 0 .

Векторыг тоогоор үржүүлэх хуулиуд.

I. 1 · а= а,0 · а= 0 , м· 0 = 0 , ( – 1) · а= – а.

II. m a = a m,| м а| = | м | · | a | .

III. m (n a) = (m n) a .(К о м б э т а л

тоогоор үржүүлэх хууль).

IV. (m+n) а= m a + n a,(ТАРХАЛТ

м(а+ б)= m a + m b . тоогоор үржүүлэх хууль).

Векторуудын цэгэн үржвэр. __ __

Тэг биш векторуудын хоорондох өнцөг ABТэгээд CD– энэ нь векторуудыг цэгүүдийг зэрэгцүүлэх хүртэл зэрэгцээ шилжүүлэхэд үүсэх өнцөг юм АТэгээд C. Векторуудын цэгэн үржвэр aТэгээд б-тэй тэнцүү тоо гэж нэрлэдэг тэдгээрийн урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэр:

Хэрэв векторуудын аль нэг нь тэг байвал тодорхойлолтын дагуу тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

(а, 0) = (0, б) = 0 .

Хэрэв вектор хоёулаа тэг биш бол тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Цэг бүтээгдэхүүн ( а, а), |-тэй тэнцүү а| 2, дуудсан скаляр квадрат.Вектор урт аба түүний скаляр квадрат нь дараахь байдлаар хамааралтай.

Хоёр векторын цэгэн үржвэр:

- эерэгээр, хэрэв векторуудын хоорондох өнцөг халуун ногоотой;

- сөрөг,хэрэв векторуудын хоорондох өнцөг мохоо.

Тэг биш хоёр векторын скаляр үржвэр нь зөвхөн тэдгээрийн хоорондох өнцөг зөв байвал тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Эдгээр векторууд перпендикуляр (ортогональ) байвал:

Скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанарууд.Аливаа векторын хувьд a, b, cболон дурын тоо мдараах харилцаанууд хүчинтэй байна.

I. (а, б) = (б, а) . (Шилжилтийн хууль)

II. (м а, б) = м(а, б) .

III.(a+b,c) = (a, c) + (б, в). (Түгээлтийн хууль

Вектор ба тооны үржвэр

Зорилго: векторыг тоогоор үржүүлэх тухай ойлголтыг танилцуулах; векторыг тоогоор үржүүлэх үндсэн шинж чанаруудыг авч үзье.

Хичээлийн явц

I. Шинэ материал сурах(лекц).

1. Лекцийн эхэнд вектор ба тооны үржвэрийг тодорхойлоход хүргэдэг жишээг өгөхийг зөвлөж байна, ялангуяа үүнийг:

-ийн хурдтай шулуун шугамаар машин хөдөлдөг. Түүнийг хоёр дахин хурдтай хоёр дахь машин гүйцэж түрүүлэв. Гурав дахь машин тэдний зүг хөдөлж байна, хурд нь хоёр дахь машиныхтай ижил байна. Хоёр, гурав дахь машины хурдыг эхний машины хурдаар хэрхэн илэрхийлэх, эдгээр хурдыг вектор ашиглан хэрхэн илэрхийлэх вэ?

2. Вектор ба тооны үржвэрийг тодорхойлох, түүний тэмдэглэгээ: (Зураг 260).

3. Дэвтэртээ бичнэ үү.

1) дурын векторын үржвэр ба тэг тоо нь тэг вектор;

2) дурын k тоо ба дурын векторын хувьд ба векторууд коллинеар байна.

4. Векторыг тоогоор үржүүлэх үндсэн шинж чанарууд:

Аливаа k, l тоо болон дурын векторуудын хувьд дараах тэгшитгэлүүд үнэн байна.

1°. (хосолсон хууль) (Зураг 261);

2°. (Эхний хуваарилалтын хууль) (Зураг 262);

3°. (хоёр дахь хуваарилалтын хууль) (Зураг 263).

Анхаарна уу. Бидний авч үзсэн векторууд дээрх үйлдлүүдийн шинж чанарууд нь нийлбэр, векторуудын ялгаа, векторуудын үржвэрийг агуулсан илэрхийлэлд тоон илэрхийлэлтэй ижил дүрмийн дагуу тоогоор хувиргах боломжийг олгодог.

Векторыг тоогоор үржүүлэх Тэг векторын үржвэр нь урт нь тэнцүү, векторууд нь ижил чиглэлтэй ба эсрэг чиглэлтэй вектор юм. Тэг вектор ба дурын тооны үржвэрийг тэг вектор гэж үзнэ. Тэг вектор ба тооны үржвэр нь урт нь тэнцүү, ба векторууд нь ижил чиглэлтэй ба эсрэг чиглэлд чиглэсэн вектор юм. Тэг вектор ба дурын тооны үржвэрийг тэг вектор гэж үзнэ.

Вектор ба тооны үржвэрийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: Вектор ба тооны үржвэрийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: Аливаа тоо ба дурын векторын хувьд ба векторууд коллинеар байна. Аливаа тоо ба дурын векторын хувьд ба векторууд нь коллинеар байна. Аливаа вектор ба тэг тооны үржвэр нь тэг вектор юм. Аливаа вектор ба тэг тооны үржвэр нь тэг вектор юм.

Аливаа вектор болон дурын тооны хувьд тэгшитгэл хүчинтэй байна: Аливаа вектор болон дурын тооны хувьд тэгш байдал хүчинтэй байна: (хосолсон хууль) (хосолсон хууль) (анхны тархалтын хууль) (эхний тархалтын хууль) (хоёр дахь тархалтын хууль) ( Хоёр дахь хуваарилалтын хууль)

(-1) нь векторын эсрэг талын вектор, өөрөөр хэлбэл. (-1) =-. (-1) ба векторуудын урт нь:. (-1) нь векторын эсрэг талын вектор, өөрөөр хэлбэл. (-1) =-. (-1) ба векторуудын урт нь:. Хэрэв вектор нь тэг биш бол (-1) ба векторууд нь эсрэг чиглэлтэй байна. Хэрэв вектор нь тэг биш бол (-1) ба векторууд нь эсрэг чиглэлтэй байна. ПЛАНИМЕТРИ ДЭЭР ПЛАНИМЕТРИД Хэрэв ба векторууд нь коллинеар ба байвал ийм тоо байна. Хэрэв ба векторууд нь коллинеар ба байвал ийм тоо байна.

Хавсарсан векторууд Векторуудыг нэг цэгээс зурахдаа нэг хавтгайд хэвтэх тохиолдолд тэдгээрийг копланар гэнэ. Векторуудыг нэг цэгээс зурахдаа нэг хавтгайд хэвтэж байвал тэдгээрийг копланар гэнэ.

Зураг нь параллелепипедийг харуулж байна. Зураг нь параллелепипедийг харуулж байна. Хэрэв та О цэгээс тэнцүү векторыг хасвал вектор, мөн копланар байна, учир нь О цэгээс тэнцүү векторыг хасвал вектор, ба векторууд нь векторыг авна. векторууд, мөн нэг хавтгайд OSCE-д хэвтэж байна. Векторууд нь хос хавтгай биш, учир нь вектор нь OAB хавтгайд оршдоггүй. мөн ижил OCE хавтгайд хэвтэж байна. Векторууд нь хос хавтгай биш, учир нь вектор нь OAB хавтгайд оршдоггүй.

Өмчлөлийн баталгаа Векторууд нь коллинеар биш (хэрэв векторууд коллинеар байвал векторуудын харилцан хамаарал нь тодорхой байна). Векторуудыг дурын O цэгээс зуръя (Зураг). Векторууд ба OAB хавтгайд хэвтэж байна. Векторууд нь нэг хавтгайд оршдог Векторууд нь коллинеар биш (хэрэв векторууд нь коллинеар байвал векторуудын харилцан хамаарал нь тодорхой байна). Векторуудыг дурын O цэгээс зуръя (Зураг). Векторууд ба OAB хавтгайд хэвтэж байна. Нэг хавтгайд векторууд оршдог тул тэдгээрийн нийлбэр вектор, улмаар вектортой тэнцүү нийлбэр вектор байдаг. Векторууд вектортой тэнцүү байна. Векторууд нэг хавтгайд байрладаг, өөрөөр хэлбэл. векторууд ба нэг хавтгайд хэвтэж байна, i.e. векторууд ба компланар. хавтгай.

Хэрэв векторууд нь хос хавтгай, векторууд нь коллинеар биш бол векторыг вектор болгон өргөжүүлж болно. Хэрэв векторууд нь ижил хавтгай, векторууд нь коллинеар биш бол векторыг вектор болгон өргөжүүлж болно (жишээ нь. , хэлбэрээр илэрхийлсэн), ба (t .өөрөөр хэлбэл, хэлбэрээр илэрхийлнэ), тэлэлтийн коэффициентүүд (өөрөөр хэлбэл, тоонууд болон томъёогоор) өвөрмөц аргаар тодорхойлогддог. Нэмж дурдахад тэлэлтийн коэффициентийг (өөрөөр хэлбэл тоо болон томъёонд) өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог.

"Үүнийг вектор гэж нэрлэдэг" - Векторууд. Вектор нэмэх Параллелограммын дүрэм. Векторын хоёр дахь ойлголт. Векторуудын тэгш байдал. Эсрэг чиглэлтэй векторууд. Барилга: Эсрэг чиглэлтэй коллинеар векторуудыг эсрэг чиглэлтэй векторууд гэнэ. Векторуудыг хасах. Коллинеар векторууд. Векторын төгсгөл.

"Хавтгай дээрх векторууд" - Цэг ба вектор өгөгдсөн. Сегмент дэх тэгшитгэлүүд. Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийн судалгаа. Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл. Векторууд нь хоорондоо уялдаатай байна. Шугамын одоогийн цэгийг авч үзье, тэгвэл вектор энэ шулуун дээр байна. Аналитик геометр. M1 ба M2 хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

"Вектор нэмэх, хасах дүрэм" - "Олон өнцөгт"-ийн дүрэм. Гурвалжингийн дүрэм. Агуулгын хүснэгт. Векторуудыг хасах. Өмнөх слайд дээр ямар нэмэх дүрмийг ашигласан бэ? Векторыг тоогоор үржүүлэх. (Колинеар векторуудын хувьд). "Параллелограмм" дүрэм. Вектортой үйлдэл. Вектор нэмэх. Параллелограммын дүрмийг ашиглан нэмэхийг ашиглан хасах үйлдлийг хийж үзээрэй.

"Векторуудын скаляр үржвэрийг хэрхэн олох вэ" - Дөрвөлжин. Векторуудын хоорондох өнцөг. Векторуудын цэгэн үржвэр. Хүснэгтийг бөглөнө үү. Алга болсон үгийг бөглөнө үү. Av = нар = ac = 2. Векторуудын скаляр үржвэрийг ол. Гурвалжны талууд. Зөв хариултыг сонгоно уу. Цэгтэй бүтээгдэхүүн. Ав = нар = ac. Гурвалжны талууд ба өнцгийг ол. ABCD нь дөрвөлжин юм.

"Векторын төрөл" - Векторуудыг нэрлээд тэмдэглэгээг бич. Векторуудын тэгш байдал. Векторуудыг хасах. Уртыг оруулна уу. Вектор үржүүлэх. Векторууд. Sonorected векторууд. Коллинеар векторууд. Векторыг нэрлэ. Эсрэг чиглэлтэй векторуудыг нэрлэ. Сонголт. Хэд хэдэн векторын нийлбэр. Хамтарсан векторуудыг нэрлэ. Векторуудын уртыг тодорхойл.

“Векторын координат” - 1. Векторуудын нийлбэрийн координат нь харгалзах координатуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Вектор координат. A(3; 2). 2. Векторын зөрүүний координат нь харгалзах координатын зөрүүтэй тэнцүү байна. 1. Вектор координат. 2. Вектор координатын шинж чанарууд.

Нийт 29 илтгэл байна

Тэг вектор ба дурын тооны үржвэрийг тэг вектор гэж үзнэ. Аливаа k тоо ба дурын а векторын хувьд a, ka векторууд нь коллинеар байна. Энэ тодорхойлолтоос үзэхэд аливаа вектор ба тэг тооны үржвэр нь тэг вектор болно.

Танилцуулга бүхий архивын хэмжээ 614 KB байна.

"Хавтгай дүрсүүдийн талбай" - Даалгавар. Дүрслэгдсэн хэсгүүдийн хэсгүүд. Талбайг тооцоолохын тулд томъёог ашиглана уу. Онгоцны дүрсүүдийн талбайн тооцоо. Шууд. Зөв хариултууд. Талбайг олох алгоритм. Тэгш бус байдал. Зургийн талбай. Зургийн талбайнууд.

"Төв тэгш хэмийн тухай ойлголт" - Төвийн тэгш хэм нь хөдөлгөөн юм. M ба M1 цэгүүдийг тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Энэ дүрсийг тэгш хэмтэй гэж нэрлэдэг. Бид онгоцны хөдөлгөөнтэй танилцсан. Орон зайн хөдөлгөөн. Хөдөлгөөн. Өмч. Даалгавар. Орон зайг өөртөө буулгах. Төвийн тэгш хэм нь эргэлтийн онцгой тохиолдол юм. Төвийн тэгш хэм.

“Координат дахь асуудал” - Векторын координатыг хэрхэн олох вэ. А ба В цэгүүдийн хоорондох зай. Координатын хамгийн энгийн бодлого. Векторуудын координатаас скаляр үржвэрийг хэрхэн тооцох вэ. M - AB сегментийн дунд хэсэг. А ба В цэгүүдийн хоорондох зайг ол.Ерөнхийлөлтийг гүйцэтгэх ур чадварыг бүрдүүлэх. Сэдвийн сонирхол, хайрыг төлөвшүүлэх. Векторуудын хоорондох өнцөг. Цэгүүдийн хоорондох зайг хэрхэн тооцоолох вэ. Векторын уртыг координатаас нь хэрхэн тооцоолох вэ.

“Орон зай дахь векторын тодорхойлолт” - Хоёр векторын ялгаа. Гурван цэгийн дүрэм. Сансар дахь векторын тухай ойлголт. Сансар дахь векторууд. Цэгтэй бүтээгдэхүүн. Эсрэг чиглэлтэй векторууд. Гурвалжны төв рүү татсан вектор. Өргөтгөх коэффициентийг өвөрмөц аргаар тодорхойлно. Шийдэл. Сегментийн голд зурсан вектор. Коллинеар векторууд. Теоремын баталгаа. Баталгаа. Хамтарсан байдлын шинж тэмдгийн нотолгоо.

"Хувьсгалын биеийн эзэлхүүнийг тооцоолох" - Куб. Конус. Конусын тодорхойлолт. Конусын V боть. Цилиндр хэлбэртэй сав. Цилиндр. Эзлэхүүнийг ол. Цилиндр ба конус. Цацраг. Зураг. Цилиндрийн тодорхойлолт. Цилиндрүүд бидний эргэн тойронд байдаг. Конусын эзэлхүүн. Эргэлтийн биеийн төрлүүд. Бөмбөг. Хувьсгалын биетүүдийн хэмжээ. Бөмбөрцөг.

"Ердийн олон талтуудын элементүүд" - Евклидийн элементүүд. Hexahedron. Байгальд байх. Бичсэн бөмбөрцгийн радиус. Эгэл биетэн. Олон өнцөгт. Архимедийн хатуу биетүүд. Хааны булш. Хагас тэгш өнцөгт олон талт. Октаэдрийн эзэлхүүн. Кубын гадаргуугийн талбай. Додекаэдр. Тогтмол олон талтуудын нэгдлийн тухай теорем. Түүхэн мэдээлэл. Египетийн пирамидууд. Ердийн олон талтуудын тухай ярья. Гадаргуугийн талбай. Дэлхий. Гайхалтай амьтад.