Түгээлтийн цувралыг өгсөн болно. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль

Магадлалын онолын хэрэглээнд туршилтын тоон шинж чанар нь хамгийн чухал ач холбогдолтой юм. Туршилтын үр дүнд тухайн тохиолдлоос хамааран өөр өөр утгыг авах боломжтой тоон хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг. санамсаргүй хувьсагч.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ:

1. Арав шидэхэд тэгш тооны оноо гарч ирэх тоо.

2. Цуврал харваж буй харваачийн бай оносон тоо.

3. Тэсэрч буй бүрхүүлийн хэлтэрхийний тоо.

Өгөгдсөн жишээ бүрт санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн тусгаарлагдсан утгуудыг, өөрөөр хэлбэл байгалийн цуврал тоонуудыг ашиглан дугаарлаж болох утгуудыг авч болно.

Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэгддэг, боломжит утгууд нь тусдаа тусгаарлагдсан тоонууд бөгөөд энэ хувьсагч тодорхой магадлалаар авдаг. салангид.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй (тоолж болох) байж болно.

Хуваарилалтын хуульДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын жагсаалт юм. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр (магадлалын тархалтын цуваа), аналитик болон графикаар (магадлалын тархалтын полигон) зааж өгч болно.

Туршилт хийхдээ судалж буй утгыг "дунджаар" үнэлэх шаардлагатай болдог. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгын үүргийг тоон шинж чанар гэж нэрлэдэг математикийн хүлээлт,томъёогоор тодорхойлогддог

Хаана x 1 , x 2 ,.. , x n– санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд X, А х 1 ,х 2 , ... , х n- эдгээр утгын магадлал (үүнийг анхаарна уу х 1 + х 2 +…+ х n = 1).

Жишээ. Буудлагыг зорилтот түвшинд гүйцэтгэдэг (Зураг 11).

I-д цохилт нь гурван оноо, II-д - хоёр оноо, III-д - нэг оноо өгдөг. Нэг шидэгчийн нэг цохилтонд авсан онооны тоо нь хэлбэрийн хуваарилалтын хуультай

Буудлагын ур чадварыг харьцуулахын тулд авсан онооны дундаж утгыг харьцуулах нь хангалттай юм. математикийн хүлээлт М(X) Мөн М(Ю):

М(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

М(Ю) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Хоёр дахь мэргэн бууч дунджаар арай илүү оноо өгдөг, i.e. дахин дахин галлавал илүү сайн үр дүн өгнө.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанаруудыг тэмдэглэе.

1. Тогтмол утгын математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү байна:

М(C) = C.

2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

М =(X 1 + X 2 +…+ X n)= М(X 1)+ М(X 2)+…+ М(X n).

3. Харилцан хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь хүчин зүйлсийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна.

М(X 1 X 2 … X n) = М(X 1)М(X 2)… М(X n).

4. Дуран тархалтын математик үгүйсгэл нь туршилтын тоо ба нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна (даалгавар 4.6).

М(X) = pr.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь "дунджаар" математикийн хүлээлтээс хэрхэн хазайж байгааг үнэлэхийн тулд, өөрөөр хэлбэл. Магадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтыг тодорхойлохын тулд дисперсийн тухай ойлголтыг ашигладаг.

Зөрчилсанамсаргүй хувьсагч Xквадрат хазайлтын математик хүлээлт гэж нэрлэдэг:

Д(X) = М[(X - М(X)) 2 ].

Тархалт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын тоон шинж чанар юм. Тодорхойлолтоос харахад санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт бага байх тусам түүний боломжит утгууд нь математикийн хүлээлтийн эргэн тойронд илүү ойрхон байрладаг, өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга нь түүний математик хүлээлтээр тодорхойлогддог нь тодорхой байна. .

Тодорхойлолтоос харахад зөрүүг томъёогоор тооцоолж болно

.

Өөр томъёог ашиглан зөрүүг тооцоолох нь тохиромжтой:

Д(X) = М(X 2) - (М(X)) 2 .

Тархалт нь дараахь шинж чанартай байдаг.

1. Тогтмол хэмжигдэхүүний дисперс нь тэг байна:

Д(C) = 0.

2. Тогтмол коэффициентийг квадрат болгож дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно.

Д(CX) = C 2 Д(X).

3. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь нэр томъёоны дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Д(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= Д(X 1)+ Д(X 2)+…+ Д(X n)

4. Хоёр гишүүний тархалтын дисперс нь туршилтын тоо болон нэг туршилтын үед тохиолдох болон тохиолдохгүй байх магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Д(X) = npq.

Магадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийн квадрат язгууртай тэнцүү тоон шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг. Энэ тоон шинж чанарыг дундаж квадрат хазайлт гэж нэрлэдэг бөгөөд тэмдэгээр тэмдэглэнэ

.

Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгаас хазайх ойролцоо хэмжээг тодорхойлдог бөгөөд санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй ижил хэмжээтэй байна.

4.1. Буудагч бай руу гурван удаа бууддаг. Буудсан болгонд бай онох магадлал 0.3 байна.

Үзсэн тоогоор түгээлтийн цувралыг байгуул.

Шийдэл. Үзсэн тоо нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X. Утга бүр x n санамсаргүй хувьсагч Xтодорхой магадлалтай тохирч байна П n .

Энэ тохиолдолд дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлж болно түгээлтийн ойролцоо.

Энэ асуудалд X 0, 1, 2, 3 утгыг авна. Бернуллигийн томъёогоор

,

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын магадлалыг олцгооё.

Р 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

Р 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

Р 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

Р 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг цэгцлэх замаар Xөсөх дарааллаар бид түгээлтийн цувралыг олж авна.

Хэмжээ гэдгийг анхаарна уу

санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлалыг хэлнэ Xболомжит утгуудаас дор хаяж нэг утгыг авах бөгөөд энэ үйл явдал найдвартай учраас

.

4.2 .Унганд 1-ээс 4 хүртэлх тоотой дөрвөн бөмбөг байна. Хоёр бөмбөг гаргана. Санамсаргүй хувьсагч X- бөмбөгний тоонуудын нийлбэр. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа байгуул X.

Шийдэл.Санамсаргүй хувьсагчийн утгууд X 3, 4, 5, 6, 7. Харгалзах магадлалыг олъё. Санамсаргүй хувьсагчийн утга 3 XСонгосон бөмбөгнүүдийн аль нэг нь 1, нөгөө нь 2-той тохиолдолд л зөвшөөрөгдөх боломжтой. Туршилтын боломжит үр дүнгийн тоо нь дөрөв (боломжтой хос бөмбөгний тоо) хоёрын хослолын тоотой тэнцүү байна.

Сонгодог магадлалын томъёог ашиглан бид олж авна

Үүний нэгэн адил,

Р(X= 4) =Р(X= 6) =Р(X= 7) = 1/6.

5 нийлбэр нь 1 + 4 ба 2 + 3 гэсэн хоёр тохиолдолд гарч ирж болно

.

Xхэлбэртэй байна:

Түгээлтийн функцийг ол Ф(x) санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xмөн үүнийг төлөвлө. -д зориулж тооцоол Xтүүний математик хүлээлт ба дисперс.

Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тархалтын функцээр тодорхойлж болно

Ф(x) =П(X x).

Түгээлтийн функц Ф(x) нь бүх тооны шулуун дээр тодорхойлогдсон буурдаггүй, зүүн тасралтгүй функц юм, while

Ф (- )= 0,Ф (+ )= 1.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд энэ функцийг томъёогоор илэрхийлнэ

.

Тиймээс энэ тохиолдолд

Түгээлтийн функцийн график Ф(x) нь шаталсан шугам юм (Зураг 12)

ХүлээлтМ(X) нь утгуудын жигнэсэн арифметик дундаж юм X 1 , X 2 ,……X nсанамсаргүй хувьсагч Xмасштабтай ρ 1, ρ 2, …… , ρ n ба санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэнэ X. Томъёоны дагуу

М(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

М(X) = 3·0.14+5·0.2+7·0.49+11·0.17 = 6.72.

Тархалтсанамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтын түвшинг дундаж утгаас нь тодорхойлж, тэмдэглэнэ. Д(X):

Д(X)=М[(ХМ(X)) 2 ]= М(X 2) –[М(X)] 2 .

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дисперс нь хэлбэртэй байна

эсвэл томъёогоор тооцоолж болно

Асуудлын тоон өгөгдлийг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

М(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

Д(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Хоёр шоо нэгэн зэрэг хоёр удаа шидэгддэг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хоёр гишүүний хуулийг бич X- хоёр шоо дээрх тэгш тооны онооны тохиолдлын тоо.

Шийдэл. Санамсаргүй үйл явдлыг танилцуулъя

А= (нэг шидэлттэй хоёр шоо нийт тэгш тооны оноотой болсон).

Магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг ашиглан бид олдог

Р(А)= ,

Хаана n - дүрмийн дагуу шалгалтын боломжит үр дүнгийн тоог олно

үржүүлэх:

n = 6∙6 =36,

м - үйл явдлыг дэмжсэн хүмүүсийн тоо Аүр дүн - тэнцүү

м= 3∙6=18.

Тиймээс нэг туршилтанд амжилтанд хүрэх магадлал өндөр байна

ρ = П(А)= 1/2.

Асуудлыг Бернулли туршилтын схемийг ашиглан шийддэг. Энд нэг сорилт бол хоёр шоо нэг удаа өнхрүүлэх явдал юм. Ийм туршилтын тоо n = 2. Санамсаргүй хувьсагч X 0, 1, 2 утгыг магадлалын хамт авна

Р 2 (0) =,Р 2 (1) =∙,Р 2 (2) =

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний шаардлагатай бином тархалт Xтүгээлтийн цуврал хэлбэрээр төлөөлж болно:

4.5 . Зургаан хэсгээс бүрдсэн багцад дөрвөн стандарт хэсэг байдаг. Гурван хэсгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг байгуул X– сонгосон хэсгүүдийн дундах стандарт хэсгүүдийн тоог гаргаж, түүний математик хүлээлтийг олоорой.

Шийдэл.Санамсаргүй хувьсагчийн утгууд X 0,1,2,3 тоонууд. Энэ нь ойлгомжтой Р(XСтандарт бус хоёр л хэсэг байгаа тул =0)=0.

Р(X=1) =
=1/5,

Р(X= 2) =
= 3/5,

Р(X=3) =
= 1/5.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль XҮүнийг түгээлтийн цуврал хэлбэрээр толилуулъя:

Хүлээлт

М(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт гэдгийг батал X- үйл явдлын тохиолдлын тоо АВ nбие даасан туршилтууд, тус бүрдээ үйл явдлын магадлал тэнцүү байна ρ – туршилтын тоог нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын магадлалаар үржүүлсэн үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл бином тархалтын математик хүлээлтийг нотлох.

М(X) =n . ρ ,

ба тархалт

Д(X) =n.p. .

Шийдэл.Санамсаргүй хувьсагч X 0, 1, 2... утгыг авч болно, n. Магадлал Р(X= k) Бернуллигийн томъёог ашиглан олно:

Р(X=k)= Р n(k)= ρ руу (1-ρ ) n-руу

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа Xхэлбэртэй байна:

Хаана q= 1- ρ .

Математикийн хүлээлтийн хувьд бид дараах илэрхийлэлтэй байна.

М(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

Нэг тестийн хувьд, өөрөөр хэлбэл хамт n= 1 санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 1 - үйл явдлын тохиолдлын тоо А- түгээлтийн цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

М(X 1)= 0∙q + 1 ∙ х = х

Д(X 1) = х – х 2 = х(1- х) = pq.

Хэрэв X k – үйл явдлын тохиолдлын тоо Атэгээд аль шалгалтанд Р(X руу)= ρ Тэгээд

X=X 1 +X 2 +….+X n .

Эндээс бид авдаг

М(X)=М(X 1 )+М(X 2)+ … +М(X n)= nρ,

Д(X)=Д(X 1)+Д(X 2)+ ... +Д(X n)=npq.

4.7. Чанарын хяналтын хэлтэс нь бүтээгдэхүүний стандартыг шалгадаг. Бүтээгдэхүүн нь стандарт байх магадлал 0.9 байна. Багц бүр 5 бүтээгдэхүүнтэй. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол X- тус бүр нь 4 стандарт бүтээгдэхүүн агуулсан багцын тоо - хэрэв 50 багцад хяналт шалгалт хийх юм бол.

Шийдэл. Санамсаргүй сонгосон багц бүрт 4 стандарт бүтээгдэхүүн байх магадлал тогтмол; гэж тэмдэглэе ρ .Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт Xтэнцүү байна М(X)= 50∙ρ.

Магадлалыг олъё ρ Бернуллигийн томъёоны дагуу:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

М(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Гурван шоо шидэв. Унасан онооны нийлбэрийн математик хүлээлтийг ол.

Шийдэл.Та санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг олж болно X- буурсан онооны нийлбэр, дараа нь түүний математик хүлээлт. Гэсэн хэдий ч энэ зам хэтэрхий төвөгтэй юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг төлөөлөх өөр техникийг ашиглах нь илүү хялбар байдаг X, математикийн хүлээлтийг тооцоолоход хялбар хэд хэдэн энгийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр хэлбэрээр тооцоолох шаардлагатай. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X бинь өнхрүүлсэн онооны тоо юм би- яс ( би= 1, 2, 3), дараа нь онооны нийлбэр Xхэлбэрээр илэрхийлэгдэх болно

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Анхны санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тооцоолохын тулд зөвхөн математикийн хүлээлтийн шинж чанарыг ашиглахад л үлддэг.

М(X 1 + X 2 + X 3 )= М(X 1 )+ М(X 2)+ М(X 3 ).

Энэ нь ойлгомжтой

Р(X би = К)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, би= 1, 2, 3.

Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X бишиг харагдаж байна

М(X би) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

М(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Туршилтын явцад бүтэлгүйтсэн төхөөрөмжүүдийн тооны математик хүлээлтийг тодорхойлно уу:

a) бүх төхөөрөмжийн эвдрэлийн магадлал ижил байна r, мөн туршилтанд хамрагдах төхөөрөмжүүдийн тоо тэнцүү байна n;

б) бүтэлгүйтлийн магадлал би – төхөөрөмжийн хэмжээ тэнцүү байна х би , би= 1, 2, … , n.

Шийдэл.Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье XЭнэ нь бүтэлгүйтсэн төхөөрөмжүүдийн тоо юм

X = X 1 + X 2 + … + X n ,

X би =

Энэ нь ойлгомжтой

Р(X би = 1)= Р би , Р(X би = 0)= 1– Р би ,i= 1, 2, … ,n.

М(X би)= 1∙Р би + 0∙(1-П би)=П би ,

М(X)=М(X 1)+М(X 2)+ … +М(X n)=П 1 +П 2 + … + П n .

"a" тохиолдолд төхөөрөмжийн эвдрэлийн магадлал ижил байна, өөрөөр хэлбэл

Р би =p,i= 1, 2, … ,n.

М(X)= n.p..

Хэрэв бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгааг анзаарсан бол энэ хариултыг шууд авах боломжтой Xпараметртэй бином тархалттай ( n, х).

4.10. Хоёр шоо нэгэн зэрэг хоёр удаа шиддэг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хоёр гишүүний хуулийг бич X -хоёр шоо дээрх тэгш тооны онооны өнхрөх тоо.

Шийдэл. Болъё

А=(эхний үхэл дээр тэгш тоо эргэлддэг),

B =(хоёр дахь шоо дээр тэгш тоог өнхрүүлэх).

Нэг шидэлтээр хоёр шоо дээр тэгш тоо гарах нь бүтээгдэхүүнээр илэрхийлэгдэнэ AB.Дараа нь

Р (AB) = Р(А)∙Р(IN) =
.

Хоёр шоо хоёр дахь шидэлтийн үр дүн эхнийхээс хамаарахгүй тул Бернуллигийн томъёог дараах үед хэрэглэнэ.

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Санамсаргүй хувьсагч X 0, 1, 2 утгыг авч болно , Үүний магадлалыг Бернуллигийн томъёогоор олж болно.

Р(X= 0)= П 2 (0) = q 2 = 9/16,

Р(X= 1)= П 2 (1)= C ,r∙q = 6/16,

Р(X= 2)= П 2 (2)= C , r 2 = 1/16.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа X:

4.11. Энэхүү төхөөрөмж нь олон тооны бие даасан ажиллагаатай элементүүдээс бүрддэг бөгөөд элемент тус бүр нь цаг хугацааны явцад эвдрэх магадлал маш бага байдаг. т. Цаг хугацаа өнгөрөхөд татгалзсан дундаж тоог ол тэлементүүд, хэрэв энэ хугацаанд ядаж нэг элемент бүтэлгүйтэх магадлал 0.98 бол.

Шийдэл. Цаг хугацаа өнгөрөхөд татгалзсан хүмүүсийн тоо тэлементүүд - санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, энэ нь Пуассоны хуулийн дагуу тархсан, элементийн тоо их байдаг тул элементүүд нь бие даан ажилладаг бөгөөд элемент бүрийн эвдрэлийн магадлал бага байдаг. -д тохиолдсон үйл явдлын дундаж тоо nтестүүд тэнцүү байна

М(X) = n.p..

Амжилтгүй болох магадлалаас хойш TO-аас элементүүд nтомъёогоор илэрхийлнэ

Р n (TO)
,

хаана  = n.p., дараа нь тухайн хугацаанд нэг ч элемент бүтэлгүйтэх магадлал т бид хүрдэг K = 0:

Р n (0)= д -  .

Тиймээс эсрэг үйл явдлын магадлал нь цаг хугацааны хувьд юм т дор хаяж нэг элемент амжилтгүй болсон - 1-тэй тэнцүү - д - . Асуудлын нөхцлийн дагуу энэ магадлал 0.98 байна. Eq-аас.

1 - д -  = 0,98,

д -  = 1 – 0,98 = 0,02,

эндээс  = -ln 0,02  4.

Тиймээс, цаг тухайд нь ттөхөөрөмжийн ажиллагаа, дунджаар 4 элемент амжилтгүй болно.

4.12 . Шоонуудыг "хоёр" гарч ирэх хүртэл шиднэ. Шидэлтийн дундаж тоог ол.

Шийдэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг танилцуулъя X– бидний сонирхсон үйл явдал болох хүртэл хийх ёстой шинжилгээний тоо. Тийм магадлал X= 1 нь шоо нэг шидэхэд "хоёр" гарч ирэх магадлалтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Р(X= 1) = 1/6.

Үйл явдал X= 2 гэдэг нь эхний шалгалтанд "хоёр" нь унасангүй, харин хоёр дахь удаагаа унасан гэсэн үг. Үйл явдлын магадлал X= 2-ыг бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх дүрмээр олно.

Р(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Үүний нэгэн адил,

Р(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, Р(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

гэх мэт. Бид хэд хэдэн магадлалын хуваарилалтыг олж авдаг:

Шидэлтийн дундаж тоо (туршилт) нь математикийн хүлээлт юм

М(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + TO (5/6) TO -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + TO (5/6) TO -1 + …)

Цувралын нийлбэрийг олъё:

TOg TO -1 = (g TO) g 
.

Тиймээс,

М(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Тиймээс та "хоёр" гарч ирэх хүртэл дунджаар 6 шоо шидэх хэрэгтэй.

4.13. Бие даасан туршилтыг үйл явдал тохиолдох магадлалын адилаар явуулдаг Ашалгалт бүрт. Үйл явдал болох магадлалыг ол А, хэрэв гурван бие даасан туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тооны хэлбэлзэл 0.63 бол .

Шийдэл.Гурван туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм X, бином хуулийн дагуу тархсан. Бие даасан туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тооны хэлбэлзэл (туршилт бүрт үйл явдал тохиолдох магадлал ижил) нь туршилтын тоог тухайн үйл явдал тохиолдох болон тохиолдохгүй байх магадлалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. (асуудал 4.6)

Д(X) = npq.

Нөхцөлөөр n = 3, Д(X) = 0.63, тэгэхээр та чадна rтэгшитгэлээс олно

0,63 = 3∙r(1-р),

хоёр шийдэлтэй r 1 = 0.7 ба r 2 = 0,3.

Энэ хуудсан дээр бид боловсролын шийдлүүдийн жишээг цуглуулсан Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн талаархи асуудлууд. Энэ нь нэлээд өргөн хүрээтэй хэсэг юм: тархалтын цуврал бүрийн хувьд янз бүрийн тархалтын хуулиуд (бином, геометр, гипергеометр, Пуассон болон бусад), шинж чанар, тоон шинж чанаруудыг судалж, график дүрслэлийг барьж болно: магадлалын олон өнцөгт (олон өнцөгт), тархалтын функц;

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тухай шийдвэрийн жишээг доороос олж авах болно, үүнд та магадлалын онолын өмнөх хэсгүүдийн мэдлэгийг ашиглан тархалтын хууль гаргах, дараа нь математикийн хүлээлт, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолох, тархалтын функцийг байгуулах, хариулах шаардлагатай болно. DSV-ийн тухай асуултууд гэх мэт х.

Магадлалын тархалтын түгээмэл хуулиудын жишээ:

DSV шинж чанарын тооцоолуур

• DSV-ийн математикийн хүлээлт, тархалт, стандарт хазайлтын тооцоо.

DSV-тэй холбоотой асуудлыг шийдсэн

Геометрийн ойролцоо хуваарилалт

Даалгавар 1.Тээврийн хэрэгслийн зам дагуу 4 гэрлэн дохио байдаг бөгөөд тус бүр нь 0.5 магадлалтайгаар тээврийн хэрэгслийн цаашдын хөдөлгөөнийг хориглодог. Эхний зогсоолын өмнө машины хажуугаар өнгөрсөн гэрлэн дохионы тоог хуваарилах цувааг ол. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперс нь юу вэ?

Даалгавар 2.Анчин эхний цохилт хүртэл тоглоом руу буудсан боловч дөрөвөөс илүүгүй удаа буудаж чаддаг. Нэг сумаар бай онох магадлал 0.7 бол алдсаны тоог хуваарилах хуулийг гарга. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Даалгавар 3. 3 сумтай буудагч эхний цохилт хүртэл бай руу бууддаг. Эхний, хоёр, гурав дахь цохилтын цохилтын магадлал 0.6, 0.5, 0.4 байна. С.В. $\xi$ - үлдсэн хайрцагны тоо. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг эмхэтгэж, санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, дисперс, стандарт хазайлтыг олох, санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг байгуулах, $P(|\xi-m| \le \sigma$) олох.

Даалгавар 4.Хайрцаг нь стандарт 7, гэмтэлтэй 3 хэсэгтэй. Тэд буцааж буцааж өгөхгүйгээр стандарт хэсэг гарч ирэх хүртэл хэсгүүдийг дараалан гаргаж авдаг. $\xi$ нь олж авсан гэмтэлтэй хэсгүүдийн тоо юм.
$\xi$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зурж, түүний математик хүлээлт, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолж, тархалтын полигон ба тархалтын функцийн графикийг зур.

Бие даасан үйл явдлуудтай даалгавар

Даалгавар 5.Магадлалын онолоор дахин шалгалт өгөхөөр 3 оюутан ирсэн. Эхний хүн шалгалтанд тэнцэх магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.7, гурав дахь нь 0.9 байна. Шалгалтанд тэнцсэн оюутнуудын $\xi$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг олоод, тархалтын функцийг графикаар зурж, $M(\xi), D(\xi)$-г ол.

Даалгавар 6.Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8 бөгөөд буудсан болгонд 0.1-ээр буурдаг. Гурван удаа буудсан тохиолдолд бай онох тоог хуваарилах хуулийг гарга. Хүлээгдэж буй утга, хэлбэлзэл, S.K.O-г ол. энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Тархалтын функцийн графикийг зур.

Даалгавар 7.Зорилтот руу 4 удаа буудаж байна. Цохих магадлал дараах байдлаар нэмэгдэнэ: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ол - цохилтын тоо. $X \ge 1$ байх магадлалыг ол.

Даалгавар 8.Хоёр тэгш хэмтэй зоос шидэж, зоосны дээд талын хоёр талын сүлдний тоог тоолно. Бид $X$-ийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үздэг - хоёр зоос дээрх сүлдний тоо. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг бичиж, түүний математик хүлээлтийг ол.

DSV-ийн тархалтын бусад асуудлууд ба хууль

Даалгавар 9.Хоёр сагсан бөмбөгчин сагсанд гурван цохилт хийдэг. Эхний сагсан бөмбөгчинд цохих магадлал 0.6, хоёр дахь нь 0.7 байна. Нэг ба хоёрдугаар сагсан бөмбөгчдийн амжилттай цохилтын тооны зөрүүг $X$ гэж үзье. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа, горим, тархалтын функцийг ол. Тархалтын олон өнцөгт ба тархалтын функцийн графикийг байгуул. Хүлээгдэж буй утга, хэлбэлзэл, стандарт хазайлтыг тооцоол. $(-2 \lt X \le 1)$ үйл явдлын магадлалыг ол.

Асуудал 10.Өдөр бүр тодорхой боомтод ачихаар ирж буй хотоос гадуурх хөлөг онгоцны тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ бөгөөд дараах байдлаар өгөгдсөн.
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) түгээлтийн цувралыг зааж өгсөн эсэхийг шалгах,
B) $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг олох,
C) Хэрэв тухайн өдөр гурваас дээш хөлөг онгоц ирсэн бол нэмэлт жолооч, ачигч хөлслөх шаардлагатай тул боомт зардлыг хариуцна. Боомтод нэмэлт зардал гарах магадлал хэд вэ?
D) $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

Асуудал 11. 4 шоо шиддэг. Бүх талд гарч ирэх онооны тооны нийлбэрийн математик хүлээлтийг ол.

Асуудал 12.Тэр хоёр ээлжлэн сүлд нь гарч иртэл зоос шиддэг. Сүлд авсан тоглогч нөгөө тоглогчоос 1 рубль авдаг. Тоглогч бүрийн хожих математик хүлээлтийг ол.

Санамсаргүй хувьсагчТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагчийг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Тэдний төрлөөс хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно. салангидТэгээд тасралтгүй.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн- энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний утга нь тоолж болох, өөрөөр хэлбэл төгсгөлтэй эсвэл тоолох боломжтой. Тооцооллын хувьд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг дугаарлаж болно гэсэн үг юм.

Жишээ 1 . Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ энд байна:

a) $n$ шидэлтээр байг онох тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэг,\n$ байна.

б) зоос шидэх үед буурсан бэлгэ тэмдгийн тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэг,\n$ байна.

в) онгоцонд ирж буй хөлөг онгоцны тоо (тооцоох утгын багц).

d) PBX-д ирж буй дуудлагын тоо (тоолох утгуудын багц).

1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль.

$X$ салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг $p\left(x_1\right),\\dots,\ p\left(x_n\right)$ магадлалтайгаар авч болно. Эдгээр утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын уялдаа холбоог нэрлэдэг дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгууд, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$ магадлалыг зааж өгнө. Эдгээр утгуудад тохирохыг зааж өгсөн болно.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \цэгүүд & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(массив)$

Жишээ 2 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь үхрийг шидэх үед авсан онооны тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ дараах утгуудыг авч болно: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Эдгээр бүх утгын магадлал 1/6 доллартай тэнцүү байна. Тэгвэл $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(массив)$

Сэтгэгдэл. $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуульд $1,\ 2,\ \цэг,\ 6$ үйл явдлууд нь бүхэл бүтэн бүлэг үйл явдлуудыг бүрдүүлдэг тул магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл $. \нийлбэр(p_i)=1$.

2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлттүүний "төв" утгыг тогтоодог. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математик хүлээлтийг $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудын үржвэрийн нийлбэр ба $p_1,\dots,\ p_n$ магадлалын эдгээр утгуудад харгалзах байдлаар тооцно. : $ M \ зүүн (X \ баруун) = \ нийлбэр ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. Англи хэл дээрх уран зохиолд $E\left(X\right)$ гэсэн өөр тэмдэглэгээг ашигладаг.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд$M\зүүн(X\баруун)$:

1. $M\left(X\right)$ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага ба хамгийн том утгуудын хооронд оршдог.
2. Тогтмол хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү, i.e. $M\зүүн(C\баруун)=C$.
3. Тогтмол хүчин зүйлийг математик хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж авч болно: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Жишээ 3 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг олъё.

$$M\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+2\cdot ((1)\(6) )+3\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+4\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+5\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+6\cdot ((1) )\ дээш (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага ($1$) ба хамгийн том ($6$) утгуудын хооронд байрлаж байгааг бид анзаарч болно.

Жишээ 4 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $3X+5$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\-г авна. cdot 2 +5=$11.

Жишээ 5 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=4$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $2X-9$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\-г авна. cdot 4 -9=-1$.

3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс.

Математикийн ижил хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь дундаж утгуудын эргэн тойронд өөр өөрөөр тархаж болно. Жишээлбэл, хоёр оюутны бүлэгт магадлалын онолын шалгалтын дундаж оноо 4 байсан ч нэг бүлэгт бүгд сайн сурагчид, нөгөө бүлэгт зөвхөн С, онц сурлагатанууд байсан. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар нь түүний математик хүлээлтийн эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтыг харуулах шаардлагатай байна. Энэ шинж чанар нь тархалт юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс$X$ нь дараахтай тэнцүү:

$$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2).\ $$

Англи хэлний уран зохиолд $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ гэсэн тэмдэглэгээг ашигладаг. Ихэнхдээ $D\left(X\right)$ хэлбэлзлийг $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) томъёогоор тооцдог. зүүн(X \баруун)\баруун))^2$.

Тархалтын шинж чанарууд$D\зүүн(X\баруун)$:

1. Дисперс нь үргэлж тэгээс их буюу тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. $D\зүүн(X\баруун)\ge 0$.
2. Тогтмолын хэлбэлзэл нь тэг, i.e. $D\зүүн(C\баруун)=0$.
3. Тогтмол хүчин зүйл нь квадрат хэлбэртэй байх тохиолдолд тархалтын тэмдгээс гаргаж болно, өөрөөр хэлбэл. $D \ зүүн (CX \ баруун) = C ^ 2D \ зүүн (X \ баруун) $.
4. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. $D\зүүн(X+Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)$.
5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ялгааны дисперс нь тэдгээрийн хэлбэлзлийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. $D\зүүн(X-Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)$.

Жишээ 6 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тооцоолъё.

$$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2)=((1)\ дээш (6))\cdot (\зүүн(1-3.5\баруун))^2+((1)\(6) дээр)\cdot (\зүүн(2-3.5\баруун))^2+ \цэг +( (1)\(6)-аас дээш)\cdot (\зүүн(6-3,5\баруун))^2=((35)\(12))\ойролцоогоор 2,92.$$

Жишээ 7 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. $4X+1$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=-г олно. 16D\ зүүн(X\баруун)=16\cdot 2=32$.

Жишээ 8 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=3$-тэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. $3-2X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=-г олно. 4D\ зүүн(X\баруун)=4\cdot 3=12$.

4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын цуваа хэлбэрээр илэрхийлэх арга нь цорын ганц арга биш бөгөөд хамгийн чухал нь тархалтын цуваа ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох боломжгүй тул бүх нийтийнх биш юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх өөр нэг арга байдаг - түгээлтийн функц.

Түгээлтийн функц$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $F\left(x\right)$ функц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x$-аас бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл $F\ зүүн(x\баруун)=P\зүүн(X< x\right)$

Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд:

1. $0\le F\left(x\баруун)\le 1$.
2. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн $\left(\alpha;\ \beta \right)$ интервалаас утгыг авах магадлал нь түүний төгсгөлд байгаа түгээлтийн функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна. интервал: $P\left(\альфа< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - буурахгүй.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x) \баруун)=1\ )$.

Жишээ 9 . $2$ жишээнээс $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн $F\left(x\right)$ тархалтын функцийг олцгооё.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(массив)$

Хэрэв $x\le 1$ бол мэдээж $F\left(x\right)=0$ (үүнд $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Хэрэв 1 доллар< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Хэрэв 2 доллар< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Хэрэв 3 доллар< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Хэрэв 4 доллар< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Хэрэв 5 доллар< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Хэрэв $x > 6$ бол $F\left(x\right)=P\left(X=1\баруун)+P\left(X=2\баруун)+P\зүүн(X=3\баруун) +P\зүүн(X=4\баруун)+P\зүүн(X=5\баруун)+P\зүүн(X=6\баруун)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Тэгэхээр $F(x)=\left\(\эхлэх(матриц))
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, at\ 1< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, at\ 3< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\төгсгөл(матриц)\баруун.$

Магадлалын онолын хамгийн чухал ойлголтуудын нэг бол үзэл баримтлал юм санамсаргүй хувьсагч.

Санамсаргүйдуудсан хэмжээТуршилтын үр дүнд урьдчилан мэдэгдээгүй, санамсаргүй шалтгаанаас хамаардаг тодорхой утгыг авдаг бөгөөд үүнийг урьдчилан тооцох боломжгүй юм.

Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэнэ X, Ю, Згэх мэт эсвэл баруун доод индекс бүхий латин цагаан толгойн том үсгээр, санамсаргүй хэмжигдэхүүний авч болох утгуудыг - Латин цагаан толгойн харгалзах жижиг үсгээр бичнэ. x, y, zгэх мэт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт нь санамсаргүй үйл явдлын тухай ойлголттой нягт холбоотой. Санамсаргүй үйл явдалтай холбогдохСанамсаргүй хэмжигдэхүүнээр тодорхой тоон утгыг авах нь магадлалаар тодорхойлогддог санамсаргүй үйл явдалд оршдог. .

Практикт санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёр үндсэн төрөл байдаг:

1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн;

2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй үйл явдлын тоон функц юм.

Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь шоо шидэх үед авсан онооны тоо эсвэл судалгааны бүлгээс санамсаргүй байдлаар сонгосон оюутны өндөр юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнУрьдчилан жагсааж болох бие биенээсээ алслагдсан утгуудыг л авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

Хуваарилалтын хууль(тархалтын функц ба тархалтын цуваа эсвэл магадлалын нягтрал) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг бүрэн дүрсэлдэг. Гэхдээ хэд хэдэн асуудлын хувьд асуусан асуултад хариулахын тулд судалж буй хэмжигдэхүүний зарим тоон шинж чанарыг (жишээлбэл, түүний дундаж утга ба түүнээс хазайх боломжтой) мэдэхэд хангалттай. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарыг авч үзье.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуульхарилцаа бүрийг нэрлэдэг , санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын холбоог тогтоох .

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг дараах байдлаар илэрхийлж болно ширээ:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Хуваарилалтын хуулийг дүрсэлж болно графикаар: санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, эдгээр утгын магадлалыг ордны тэнхлэгийн дагуу зурсан; үүссэн цэгүүд нь сегментүүдээр холбогддог. Баригдсан polyline гэж нэрлэдэг түгээлтийн полигон.

Жишээ. 4 сумтай анчин эхний цохилтоо хийх эсвэл бүх сумаа дуусгах хүртэл тоглоом руу бууддаг. Эхний цохилтонд цохих магадлал 0.7, дараагийн цохилт бүрт 0.1-ээр буурдаг. Анчны зарцуулсан сумны тоог хуваарилах хууль гарга.

Шийдэл. 4 сумтай анчин дөрвөн сум, дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг буудаж чаддаг тул X- анчны зарцуулсан сумны тоо нь 1, 2, 3, 4 гэсэн утгыг авч болно. Харгалзах магадлалыг олохын тулд бид үйл явдлуудыг танилцуулж байна.

-"-тэй цохих би-өө буудсан”, ;

- "хэзээ санаж байна би- om shot”, болон үйл явдлууд болон хосоороо бие даасан байдаг.

Асуудлын нөхцлийн дагуу бид дараах байдалтай байна.

,

Бие даасан үйл явдлуудын үржүүлэх теорем ба үл нийцэх үйл явдлуудын хувьд нэмэх теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олно.

(анчин эхний сумаар бай оносон);

(анчин хоёр дахь сумаар бай оносон);

(анчин гурав дахь сумаар бай оносон);

(анчин дөрөв дэх сумаар бай оносон эсвэл дөрвөн удаа бүгдийг алдсан).

Шалгах: - үнэн.

Ийнхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль Xхэлбэртэй байна:

Жишээ.Нэг ажилчин гурван машин ажиллуулдаг. Нэг цагийн дотор эхний машинд тохируулга хийх шаардлагагүй байх магадлал 0.9, хоёр дахь нь 0.8, гурав дахь нь 0.7 байна. Нэг цагийн дотор тохируулах шаардлагатай машинуудын тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл.Санамсаргүй хувьсагч X- Нэг цагийн дотор тохируулах шаардлагатай машинуудын тоо нь 0.1, 2, 3 утгыг авч болно. Харгалзах магадлалыг олохын тулд бид дараах үйл явдлуудыг танилцуулж байна.

- “би- машин нэг цагийн дотор тохируулга хийх шаардлагатай болно," ;

- “би- машин нэг цагийн дотор тохируулга хийх шаардлагагүй болно.

Асуудлын нөхцлийн дагуу бид дараах байдалтай байна.

, .

Дискрет санамсаргүйХувьсагч нь зөвхөн бие биенээсээ алслагдсан утгыг авдаг, урьдчилан жагсааж болох санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.
Хуваарилалтын хууль
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын холбоог тогтоодог харилцаа юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа нь түүний боломжит утгууд ба харгалзах магадлалын жагсаалт юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах функц юм.
,
X аргументын утга тус бүрийн хувьд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн энэ x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлох.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт
,
дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга хаана байна; - санамсаргүй хэмжигдэхүүн X утгыг хүлээн авах магадлал.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь боломжит утгуудын тоолж болох багцыг авдаг бол:
.
Бие даасан n туршилтаар үйл явдлын тохиолдлын тоог тооцоолох математикийн хүлээлт:
,

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт ба стандарт хазайлт
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт:
эсвэл .
n бие даасан туршилт дахь үйл явдлын тохиолдлын тооны хэлбэлзэл
,
Энд p нь үйл явдал болох магадлал.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт:
.

Жишээ 1
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн (DRV) X-ийн магадлалын тархалтын хуулийг зур - n = 8 хос шоо шидэхэд хамгийн багадаа нэг “зургаан”-ын k тохиолдлын тоо. Түгээлтийн олон өнцөгтийг байгуул. Тархалтын тоон шинж чанарыг ол (тархалтын горим, математикийн хүлээлт M(X), дисперс D(X), стандарт хазайлт s(X)). Шийдэл:Тэмдэглэгээг танилцуулъя: А үйл явдал - "хос шоо шидэх үед дор хаяж нэг удаа зургаа гарч ирнэ." А үйл явдлын P(A) = p магадлалыг олохын тулд эхлээд эсрэг үйл явдлын Ā - “хос шоо шидэх үед зургаа хэзээ ч гарч байгаагүй” үйл явдлын P(Ā) = q магадлалыг олох нь илүү тохиромжтой.
Нэг үхлийг шидэх үед "зургаа" гарч ирэхгүй байх магадлал 5/6 тул магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу
P(Ā) = q = =.
тус тус,
P(A) = p = 1 – P(Ā) =.
Асуудлын тестүүд нь Бернулли схемийн дагуу явагддаг тул d.s.v. хэмжээ X- тоо кХоёр шоо шидэх үед дор хаяж нэг зургаа гарах нь магадлалын тархалтын хоёртын хуульд захирагдана.

Энд = -ийн хослолын тоо n By к.

Энэ асуудалд хийсэн тооцооллыг хүснэгт хэлбэрээр хялбархан танилцуулж болно.
Магадлалын тархалт d.s.v. X º к (n = 8; х = ; q = )

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын олон өнцөгт (полигон). Xзурагт үзүүлэв:

Цагаан будаа. Магадлалын тархалтын олон өнцөгт d.s.v. X=к.
Босоо шугам нь тархалтын математикийн хүлээлтийг харуулж байна М(X).

d.s.v-ийн магадлалын тархалтын тоон шинж чанарыг олцгооё. X. Түгээлтийн горим нь 2 (энд П 8(2) = 0.2932 дээд тал нь). Тодорхойлолтоор математикийн хүлээлт нь дараахтай тэнцүү байна.
М(X) = = 2,4444,
Хаана xk = к– d.s.v-ийн авсан үнэ цэнэ. X. Зөрчил Д(X) бид дараах томъёог ашиглан тархалтыг олно.
Д(X) = = 4,8097.
Стандарт хазайлт (RMS):
с( X) = = 2,1931.

Жишээ 2
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн

Шийдэл.Хэрэв , дараа нь (гурав дахь шинж чанар).
Хэрэв, тэгвэл. Үнэхээр, X 0.3 магадлалтайгаар 1 утгыг авч болно.
Хэрэв, тэгвэл. Үнэхээр, хэрэв энэ нь тэгш бус байдлыг хангаж байвал
, дараа нь хэзээ тохиолдож болох үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна X 1 (энэ үйл явдлын магадлал 0,3) эсвэл 4 (энэ үйл явдлын магадлал 0,1) утгыг авна. Энэ хоёр үйл явдал үл нийцэх тул нэмэх теоремын дагуу үйл явдлын магадлал нь 0.3+0.1=0.4 магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна. Хэрэв, тэгвэл. Үнэн хэрэгтээ үйл явдал тодорхой учраас түүний магадлал нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс түгээлтийн функцийг аналитик байдлаар дараах байдлаар бичиж болно.

Энэ функцийн график:
Эдгээр утгуудад тохирох магадлалыг олцгооё. Нөхцөлөөр төхөөрөмжүүдийн эвдрэлийн магадлал тэнцүү байна: баталгаат хугацааны туршид төхөөрөмжүүд ажиллах магадлал тэнцүү байна.




Хуваарилалтын хууль нь дараахь хэлбэртэй байна.