Манай дэлхий яагаад үзэсгэлэнтэй юм бэ? Учир нь амьд байгалийн хэлбэр, өнгө нь математикийн хатуу шинжилгээгээр илчлэгдсэн зохицлын ерөнхий хуулиудыг ихэвчлэн дагаж мөрддөг. Байгалийг судлахдаа бид үүнээс илүү олон гоо зүйн шинж чанарыг олж авдаг бөгөөд энэ нь дүрмээр бол тэр даруй биш, харин нарийвчилсан математикийн дүн шинжилгээ хийсний дараа илэрдэг.

Хүн эргэн тойрныхоо эд зүйлсийг хэлбэр дүрсээр нь ялгадаг. Аливаа зүйлийн хэлбэрийг сонирхох нь амин чухал хэрэгцээнээс үүдэлтэй байж болно, эсвэл хэлбэрийн гоо үзэсгэлэнгээс үүдэлтэй байж болно. Тэгш хэм ба алтан харьцааны хослол дээр суурилсан уг хэлбэр нь харааны хамгийн сайн ойлголт, гоо үзэсгэлэн, эв найрамдлын мэдрэмжийг бий болгоход хувь нэмэр оруулдаг.

Бүхэл бүтэн хэсэг нь үргэлж хэсгүүдээс бүрддэг, өөр өөр хэмжээтэй хэсгүүд нь бие биетэйгээ болон бүхэлдээ тодорхой харилцаатай байдаг. Алтан харьцааны зарчим нь урлаг, шинжлэх ухаан, технологи, байгаль дахь бүхэл бүтэн болон түүний хэсгүүдийн бүтэц, үйл ажиллагааны төгс төгөлдөр байдлын хамгийн дээд илрэл юм.

Байгалийн геометрийн хуулиудыг шинэ нөхцөлд ашиглахдаа геометрийн байгууламжтай холбоотой хичээлүүдийг судлахдаа бид судалсан геометрийн хуулиудыг дахин бодож, геометрийн зөн совингоо хөгжүүлдэг.

Төрөл бүрийн агуулгын бүтээлч даалгавруудыг гүйцэтгэх явцад бид геометрийн мэдлэгийг ашиглах боломжтой чиглэлүүдтэй (зураачид, архитекторууд, дизайнерууд гэх мэт) танилцсан.

Мэдээллийг харуулах график хэрэгслийг нийгмийн бүх салбарт ашигладаг. Тэд бүрэн дүр төрхтэй, бэлгэдэл, нягтрал, уншихад харьцангуй хялбар байдлаар тодорхойлогддог. График зургийн эдгээр чанарууд нь тэдгээрийн өргөтгөсөн хэрэглээг тодорхойлдог. Ойрын ирээдүйд танилцуулсан мэдээллийн талаас илүү хувийг графикаар танилцуулах болно. Дүрслэх геометр, инженерийн график болон бусад холбогдох шинжлэх ухааны онолын үндэслэлийг хөгжүүлэх нь график дүрсийг олж авах аргыг өргөжүүлсэн. График зураг үүсгэх, дизайны баримт бичгийг боловсруулах гарын авлагын аргуудын зэрэгцээ компьютерийн аргууд улам бүр ашиглагдаж байна. Мэдээллийн шинэ технологийг ашиглах нь янз бүрийн програм хангамжийн хэрэгслийг ашиглан график дүрсийг бүтээх, засварлах, хадгалах, хуулбарлах боломжийг олгодог.

I. Алгебрийн муруйн тухай үндсэн мэдээлэл

1. Astroid

Астроид (Грек хэлнээс >-од) нь радиусаас дөрөв дахин их тогтмол тойрог дотор дотроос хүрч, гулсахгүй эргэлдэж буй хөдөлгөөнт тойрог дээрх цэгээр дүрслэгдсэн муруй юм. Асроидоор хязгаарлагдсан талбай нь тогтмол тойргийн талбайн наймны нэг бөгөөд астроидын нийт урт нь энэ тойргийн радиусаас зургаа дахин их байна.

Декарт тэгш өнцөгт координат дахь астроидуудын тэгшитгэл:

x + y = R.

Астероидын графикийг дараах байдлаар бүтээв.

:: y > 0 (радиус R = 5) функцийн графикийг байгуулав;

:: Функцийн графикийг байгуулав.

2. Кардиоид

Кардиоид (Грек хэлнээс >-зүрх, eidos-үзэх) нь тойрог дээрх тогтсон цэгээр дүрслэгдсэн хавтгай муруй бөгөөд гадна талаасаа ижил радиустай тогтмол тойрогт хүрч, түүний дагуу гулсахгүйгээр эргэлддэг. Энэ муруй нь зүрхтэй төстэй учраас нэрээ авсан.

Кардиоидын график байгуулах ажлыг >-д мөн хийсэн.

3. Нефроид

Нефроид (Грек хэлнээс hephros-бөөр, eidos-төрөл) нь хоёр дахин том тойргийн дагуу гадуур эргэлдэж буй тойргийн тогтмол цэгээр дүрслэгдсэн муруй юм. Нефридын шинж чанарыг анх 17-р зуунд Саксоны язгууртан Е.В.Цчирнхаус судалжээ. Нефроид нь хоёр кардиоидоос бүрдэнэ.

4. Паскалийн эмгэн хумс.

Паскалийн эмгэн хумс нь хавтгай алгебрийн муруй юм. Үүнийг анх судалж үзсэн Этьен Паскалийн (Блэйз Паскалийн эцэг) нэрээр нэрлэгдсэн. Туйлын координат дахь тэгшитгэл. l = 2a үед кардиоидыг олж авна.

II. Математик загварчлалын хэрэглээ.

1. Мөр график үүссэн түүх

Thread graphics (эсвэл isothread) нь картон эсвэл бусад хатуу суурин дээрх утаснуудын тусламжтайгаар тусгай аргаар хийгдсэн график дүрс юм. Утастай графикийг заримдаа изограф эсвэл картон дээрх хатгамал гэж нэрлэдэг.

> (thread graphics or isothread) гэсэн нэр томъёог Орос улсад ашигладаг бол англи хэлээр ярьдаг улс орнуудад цаасан дээр хатгамал, герман хэлээр ярьдаг улс орнуудад энэ хэллэгийг ашигладаг.

Чимэглэлийн болон хэрэглээний урлагийн нэг төрөл болох утас график нь анх 17-р зуунд Англид гарч ирсэн. Английн нэхмэлчид утас нэхэх тусгай аргыг гаргаж ирэв. Тэд самбар руу хадаас цохиж, утсыг тодорхой дарааллаар татав. Үр дүн нь гэрийг чимэглэхэд ашигладаг задгай нэхсэн тор бүтээгдэхүүн байв. (Эдгээр бүтээлүүд нь даавуун дээрх хэв маягийн ноорог байсан гэсэн хувилбар гарч ирэв). Орчин үеийн хэрэглээний материалууд нь маш гайхалтай бүтээгдэхүүнийг олж авах боломжийг олгодог.

График утас зурах анхны техникээс гадна утаснуудын дизайны өөр нэг чиглэл байдаг - ижил техникийг ашиглан картон дээр хатгамал (изотрид) хийх (булан ба дугуйланг дүүргэх арга).

Утастай графикийн сонирхол гарч ирээд дараа нь алга болсон. 19-р зууны төгсгөлд алдартай оргилуудын нэг байв. Хүүхдэд хүртээмжтэй, энгийн, хялбар цаасан дээр хатгамал хийх ер бусын аргыг дүрсэлсэн нэхмэлийн номууд хэвлэгджээ. Ажилд цоолсон карт (бэлэн загвар) болон буланг дүүргэх техник, оёдол >, > (муруй хатгамал хийх) ашигласан. Хамгийн бага мөнгөөр ​​хэн ч (хамгийн чухал нь хүүхдүүд) баярын үеэр гоёмсог бэлэг дурсгалын зүйл хийж болно.

Одоо энэ урлагийг дэлхийн олон оронд хийж байна.

Манай улсад изофреадын талаар бага хэмжээний мэдээлэл байдаг бөгөөд гол төлөв мэдээллийн зорилгоор: сэтгүүлд хэвлэгдсэн бие даасан хэвлэлүүд > 1995 онд Минскийн профессор Г.А.Браницкийн ном >, М.И.Нагибина > изотерийн тухай жижиг бүлэгтэй ном хэвлэгджээ. .

Боломжтой мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийсний дараа бид энэ төрлийн оёдлын талаар олон номыг алхам алхмаар зааварчилгаа, санааны цомог хэлбэрээр хэвлүүлж, зөвхөн нөхөн үржихүйн ажлын аргыг хаа сайгүй ашигладаг болохыг олж мэдсэн.

Isothread-ийн давуу тал нь хурдан хийгддэг бөгөөд та олон сонирхолтой загваруудыг гаргаж чадна. Энэ төрлийн бүтээлч байдал нь төсөөлөл, нүд, хурууны нарийн моторт ур чадвар, уран сайхны чадвар, гоо зүйн амтыг хөгжүүлдэг. Утасны график техникийг ашиглан та зөвхөн гоёл чимэглэлийн хавтан төдийгүй мэндчилгээний хуудас, бэлэг дурсгалын бүрээс, хавчуурга хийх боломжтой.

Isothread (утас график эсвэл утас дизайн) нь хэд хэдэн чиглэлтэй байж болно:

1) нөхөн үржихүйн арга: загвар, алхам алхмаар зааварчилгаа, бэлэн хэв маяг, хатгамалын иж бүрдлийг тараах.

2) хэсэгчлэн хайх (төсөл): картонон дээр тооцоолж сурах (өөрөөр хэлбэл өөрийн шилдэг бүтээлийг бүтээх), өөрийн техник, хослолыг хайх, дэвсгэр, утаснууд - гүйцэтгэх материалаар "тоглох"

3) хосолсон - бүх зүйл "ABC" -аас эхлэхэд бид бэлэн диаграммуудтай ажилладаг боловч материалын төрлийг (өнгө) өөрчилж, "шоу" -д хүрдэг.

2. Мөрт графикийн үндсэн техникүүд

Утастай графикийг өөр нэрээр нэрлэдэг: isothread (өөрөөр хэлбэл утастай зураг), график хатгамал. Техникийг эзэмшихийн тулд өнцөг, тойрог, нумыг хэрхэн дүүргэхийг мэдэхэд хангалттай.

Техник 1. Булангийн буланг дүүргэх.

Картонны ар талд өнцгийг зурж, тал бүрийг тэнцүү тооны хэсгүүдэд хуваа. Бид цэгүүдийг тээглүүр эсвэл нимгэн зулзаганаар цоолж, зүү зүүж, диаграммын дагуу дүүргэнэ.

Техник 2. Тойрог дүүргэх.

Луужингаар тойрог зурцгаая. Үүнийг 12 тэнцүү хэсэгт хувааж, диаграммын дагуу дүүргэцгээе.

Техник 3. Нуманыг дүүргэх.

Нуман зурж, тэнцүү хэсгүүдэд хувааж, хуваах цэгүүдэд цоорхойнууд хийцгээе. Зүүг утасдаж, диаграммын дагуу бөглөнө үү

III. Судалгааны ажил.

Программ дахь бүтээн байгуулалтууд >.

Бодлого 1. Хэсэгийг n тэнцүү хэсэгт хуваах.

Шийдэл 1. 2, 4, 8, 16 гэх мэт хэсгүүдэд хуваахыг > хэсэгт сегментийн дунд цэгүүдийг байгуулж гүйцэтгэсэн.

Шийдэл 2. Мөн бид Фалесийн теоремыг ашиглан хэрчмийг дурын тооны хэсгүүдэд хуваах ажлыг гүйцэтгэсэн.

Даалгавар 2. Тойрог 6, 12, 24 хэсэгт хуваах.

Шийдэл 1. Бид тойргийг хэсэг болгон хуваах янз бүрийн аргыг хайж байсан. Програмд ​​> бид тойрог зурж, цэгүүдийг санамсаргүй дарааллаар байрлуулж, үүссэн өнцгийг хэмжиж, дараа нь > хүссэн утгыг олж авах хүртэл цэгүүдийг тойргийн эргэн тойронд шилжүүлэв. Нэг хэвийн, сонирхолгүй ажил байлаа. Анхны 12 хэсэгт хуваагдсан алдаа нь хөвчний уртад + 0.15 см байв. Бид нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийж, асуудлыг шийдвэрлэх оновчтой арга замыг хайж эхлэв. Үүний үр дүнд бид тойргийг 6, 12, 24 хэсэгт хуваах хэд хэдэн шийдлийг олсон.

Шийдэл 2. Тойрог дээр 6 цэгийг тэмдэглэж, бүх өнцгийг хэмжиж, өнцөг бүрийг 60 [o]-тэй тэнцүү байхаар тэгшлээрэй. Дараа нь програмыг ашиглан бид өнцөг бүрийн биссектрисийг зурсан. Үүний үр дүнд 12 хэсэгт хуваагдсан. 24 хэсэгт хуваахын тулд бид үүссэн өнцгүүдийн биссектрисийг дахин зурав. Энэ барилгын алдаа нь +0.01 градус болсон.

Шийдэл 3. Програмыг ашиглан бид ижил радиустай 3 тойрог (хуулбарлах аргыг ашиглан) барьж, зурагт үзүүлсэн шиг нэгтгэв. Тойрогуудын огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэ. Бид үүссэн өнцгийг хэмжсэн бөгөөд тэдгээр нь 60 [o]-тэй тэнцүү болсон. Дараа нь бид 12 ба 24 хэсэгт хуваагдах өнцөг булангуудыг барьсан. Ийм шийдлийн алдаа нь тэг байна.

Бодлого 3. Тойрог 9, 18, 36 хэсэгт хуваах.

Өмнөх асуудлыг шийдэх хамгийн оновчтой аргыг олж авсны дараа бид тойргийг 9, 18, 36 хэсэгт хуваах арга замыг хайж эхлэв. 18 ба 36 хэсэгт хуваах ажлыг зөвхөн биссектрисын барилгыг ашиглан 9 цэгийг байгуулсны дараа хийж болно.

Шийдэл. 360 [o] : 9 = 40 [o]. Бид > хагас тойргийг ойролцоогоор 40 [o], 20 [o] нуман хэлбэртэй 4 нум болгон хуваасан. Програмыг ашиглан бид цэгүүдийг хөдөлгөж шаардлагатай бүх өнцгийн хэмжилтийг хийсэн. Дараа нь бид барьсан цэгүүдийг сонгоод > командыг ашиглан хоёр дахь хагас тойрог дээр тойргийн төвтэй харьцуулахад 180 градусын цэгүүдийг тусгав. Энэ барилгын алдаа нь + 0.04 градус байв.

Бодлого 4. Алгебрийн муруй байгуулах

Astroid

Шийдэл 1. Дараах алгоритмыг ашиглан астроидыг координатын хавтгайд бүтээв.

:: Ординатын тэнхлэгийн цэгүүдийг абсцисса тэнхлэгийн цэгүүдтэй холбох шаардлагатай бөгөөд ингэснээр хуваагдлын тоонуудын нийлбэр нь 10 (жишээлбэл: 1 ба 9, 2 ба 8, 3 ба 7 гэх мэт) болно.

:: Координатын хавтгайн үлдсэн хэсгийн цэгүүдийг ижил дарааллаар холбоно.

Шийдэл 2. Тойрог зурж, перпендикуляр диаметрийг барьж, радиус бүрийг тэгш тооны хэсгүүдэд хуваа. Бид өмнөх алгоритмын дагуу цэгүүдийг сегментүүдээр холбосон.

Шийдэл 3. Тойргийг 6 хэсэгт хуваах оновчтой техникийг эзэмшсэний дараа бид 6 одтой астроид бүтээв.

Шийдэл 4. 8 одтой астроид бүтээх ажлыг зөв өнцгийн биссектрисаг барьж гүйцэтгэсэн.

Кардиоид

Шийдэл. Кардиоидыг барихын тулд суурь нь тойрог байх болно. Кардиоидыг дараахь төлөвлөгөөний дагуу барьсан.

:: тойрог зурж, 36 хэсэгт хуваасан (тус бүр нь 10 градус);

:: гаднах цэгүүдийг цагийн зүүний эсрэг 1-ээс 36 хүртэл дугаарласан;

:: дотоод цэгүүдийг диаграм 1-ийн дагуу дугаарласан;

:: ижил дотоод болон гадаад дугаартай холбогдсон цэгүүд;

:: дугтуй нь кардиоид байх болно.

Схем 1 Схем 2

IV. Бидний бүтээлч байдал.

>-д дизайн, загварчлалын үндсэн арга техникийг эзэмшсэний дараа бид өөрсдийгөө дизайнер, зураач гэдгээ ухамсарлахыг хичээсэн. Бид дараах ажлуудыг боловсруулан хэрэгжүүлж байна.

Дүгнэлт, дүгнэлт

>" гэж Аристотель 2500 жилийн өмнө тэмдэглэжээ. Манай үеийн Сухомлинский үүнд итгэдэг >. Математик бол гайхшруулах гайхалтай хичээл юм.

Боломжтой материалыг гүнзгий судалсны дараа бид муруй зурах шинэ арга болох математикийн хатгамал, геометрийн дүрсийг бүтээх танил арга техникийг ашиглан (өнцөг барих, сегментийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваах, цэгүүдийг тодорхой дарааллаар холбох, хуваах) танилцсан. Програмд ​​тэнцүү хэсгүүдэд дугуйлна уу >). Бид математикийн хатгамал болон гоёл чимэглэлийн болон хэрэглээний урлагийн эртний төрөл болох изотреад хоёрын гайхалтай ижил төстэй байдлыг олж мэдсэн.

Интернет болон тусгай ном зохиол дээр изотер хатгамал бүхий олон гэрэл зураг байдаг боловч тэдгээрт хавсаргасан диаграм байхгүй байна. Бид математикийн хатгамал бол бүтээлч үйл явц юм гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Бидний ажилд тусгагдсан математик загварчлалын үндсийг мэдэж, бүтээлч сэтгэлгээ, логик, тэвчээрийг ашиглан та хувийн > хэрэглээний урлагийг хийж чадна.

Математикийн хатгамал нь зөвхөн биднийг төдийгүй сургуулийн олон сурагчдыг (охид, хөвгүүдийн аль аль нь) сонирхож байв. Орчин үеийн мэдээллийн технологи нь математик, урлагийг хослуулах боломжийг олгоно гэж бид үзэж байна.

Astroid(Грек astron - од) - одны загварчилсан дүрс шиг харагдах муруй.

Томъёо x = a* cos(t)^3, y = a* sin(t)^3 нь астроид зурдаг бөгөөд энд коэффициент азургийн уртасгахад нөлөөлдөг.

Эпициклоидууд

Өөр нэг тохиолдлыг авч үзье. Бид тойргийг өөр (лавлагаа) тойрог дотор биш, харин гадна талынх нь дагуу эргүүлнэ. Одоо бүх үүссэн муруйнууд гэр бүлд хамаарах болно эпициклоидууд(Грек epi - дээр, дээр). Ийм тоо баримтууд орно cardiodida болон Паскалийн чихний чихний чихний чихний хөндий

Кардиоид ба Паскалийн чихний дун

Кардиоид

Хэрэв та ижил радиустай хоёр тойргийг ашиглаж, нэгийг нь нөгөөгөөр нь эргүүлбэл та авах болно кардиоид(Грек кардиа - зүрх) - математикчдийн үзэж байгаагаар үүссэн муруй нь зүрхтэй төстэй юм.

r = 2a(1 + cos(theta)) томьёо нь кардиоидыг зурдаг

Лимакон эсвэл Паскалийн эмгэн хумс

Хэрэв бид эргэлдэж буй тойргийн цэгийг биш, харин түүний доторх цэгийг төвөөс нь холдуулах юм бол муруйнууд хэрхэн ажиллах вэ? Дараа нь бид муруй гэж нэрлэдэг Паскалийн эмгэн хумсэсвэл лимакона.

ЛимаконаФранцын математикч Этьен Паскаль (нэрт эрдэмтэн Блез Паскалийн эцэг) нээсэн.

Томъёо r = b + 2a cos(theta) зурна лимакона (Паскалын эмгэн хумс)

b = 2a үед лимаконаболдог кардиодидом .

Муруй бүхий эффектүүд

Тиймээс бид тойрог, кардиоид, Паскалийн эмгэн хумсны томъёог мэддэг. Томъёо нь маш төстэй гэдгийг харж болно, зөвхөн эхний үр нөлөөг олж авахын тулд тэдгээрийг нэг мөчлөгт нэгтгэх хэрэгтэй

Dim x As Single, y As Single, b As Single

Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single

twoPi = Atn (1) * 8

Хуваарь (-25, 25)-(25, -25)

b = 0-ээс 8-ын хувьд 2-р алхам

For I = 0 to twoPi Алхам 0.01

R = b + 6 * Cos(I)

col = RGB(255 - 30 * b, 128 + (-1) ^ (b * 1) * b * 60, b * 110)

Шугам (x, y)-Алхам(0, 0), col, BF

Бидний жишээнд a нь тогтмол утга бөгөөд b нь мөчлөгт b=0-ээс b=8 болж өөрчлөгддөг. Жижиг гогцоо нь цэг болж доройтож, том нь радиусыг хоёр дахин нэмэгдүүлж, кардиоид болж хувирахыг та харж байна.

Зургаа дуусгая. Програмаа жаахан өөрчилчихөөд гоё хээ авъя

l = 0-ээс 200 хүртэл Алхам 13

t = 0-ээс 360 хүртэлх Алхам 0.25

tt = t * pi / 180

x = a * Cos(tt) * Cos(tt) + l * Cos(tt)

y = a * Cos(tt) * Sin(tt) + l * Sin(tt)

улаан = 255 - 250 * Нүгэл (0.31 * л)

ногоон = 255 - 250 * Нүгэл (0.3 * л)

цэнхэр = 255 - 250 * Нүгэл(0.29 * л)

Col = RGB(улаан, ногоон, цэнхэр)

Хэрэв l Mod 2 = 0 байвал

Col = RGB(0, 0, 0)

Col = RGB(255, л, 255 - л)

Шугаман (x + 190, y + 250)-Алхам(ss, ss), Col, BF

PSet (x + 190, y + 250), Кол

Конкоид

Паскалийн эмгэн хумсыг конкоид гэж төсөөлье. Муруйн онолыг судлахгүйгээр бид дараахь сул тодорхойлолтыг өгөх болно: конкоид нь анхны муруйн цэг бүрийг тодорхой аргаар тодорхойлсон тодорхой гадаргуугийн дагуу хөдөлгөх замаар олж авсан цэгүүдийн геометрийн байрлал юм. Pascal's Helix-ийн хувьд анхны муруй нь хамгийн түгээмэл тойрог бөгөөд цэгүүд нь энэ тойрог дээр байрлах цэгийг дайран өнгөрдөг шугамын дагуу шилждэг. Графикаар тайлбарлая. Зураг дээр бид тойрог дээрх тогтмол цэгийг сонгоно Рба хувьсах цэг М, бид цэгүүдийг холбосон шугамын дагуу шилжинэ РТэгээд Мтодорхой зайд А.

Үүссэн цэгүүдийн бүлгүүд нь тогтмол цэгтэй харьцуулахад тойргийн конкоид юм. Хөтөлбөр нь хүлээгдэж буй зургуудыг авах боломжийг танд олгоно. Эхлээд a=0.25R гэж оноож үзье. (Энэ утгыг аажмаар нэмэгдүүлнэ.) Хоёр эргэлт хийх шаардлагатайг анхаарна уу (төв өнцөг, 0-ээс 720 градусын хувьсагч гэж нэрлэдэг) - нэг нь цэгүүдийг гадагш, хоёр дахь эргэлт нь тойрог доторх цэгүүдийг хөдөлгөдөг. Гол нарийн шинж чанар нь бидний мөчлөгийн дагуу дамждаг тойргийн төв өнцгөөс (х хэмжигдэхүүнээр f эсвэл радианаар t хувьсагч) хэвтээ тэнхлэгтэй тойрог дээрх тогтмол цэгийг одоогийн цэгтэй холбосон шугамын өнцөг рүү шилжих явдал юм. тэнхлэг (альфа хувьсах)

Form1.ScaleMode = vbPixels

"Тойргийн радиус

"Тойрог дээр заа

"Орос хувилбарын хувьд таслалыг тусгаарлагч болгон ашигла!

a = CSng(Text1.Text) * R

"Бид эргэлт хийж байна

f = 1-ээс 720 хүртэл 5-р алхам

t = f * pi / 180

x = R * (1 + Cos(t))

Хэрэв x > 0 бол альфа = Atn (y / x)

Хэрэв f< 360 Then

X1 = x - a * Cos(alfa)

Y1 = y - a * Нүгэл(альфа)

X1 = x + a * Cos(alfa)

Y1 = y + a * Нүгэл(альфа)

Тойрог(X1+190, Y1+250), 2, vbBlue

Тойрог(x+190,y+250),2,vbУлаан

Шугаман (x + 190, y + 250)-(X1 + 190, Y1 + 250), vbGreen

Циклоид муруй нь зөвхөн циклоид, эпи- ба гипоциклоид төдийгүй доор тайлбарласан трохоид, кардиоид, астроид орно.  

X, y координатууд нь энэ тохиолдолд астроид тэгшитгэлийг хангана (Зураг 91)  

Үл хамаарах зүйл (astroid)  

p = r = (m = 3) үед гипоциклоидыг астроид гэж нэрлэдэг (Зураг 64), тэгшитгэлүүд нь x = R os i y = R sin "i эсвэл x -y = R хэлбэртэй байна.  

p = r = - (t = 3) үед гипоциклоидыг астроид гэж нэрлэдэг (Зураг 64), тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна.  

Зураг дээр. 72 сегмент AB = I AB = I холбоосыг 0 = 180 ° өнцгөөр тогтооно. Иймд Би цэгээр зурсан астроид нь В цэгийн t6 өнцгөөр татсан астроидтой харьцуулахад эргэлддэг.  

Энэ муруй руу шүргэгч татах асуудлыг авч үзэж буй механизмыг ашиглан авч үзье. Дээр томъёолсон дүрмийн дагуу астроид руу шүргэгч нь илэрхийллийн баруун талд байрлах фракцын хуваагчтай тэнцүү OA бүлүүрт шугам дээрх сегментийг таслах болно (160). Зураг дээр үзүүлсэн механизмтай холбоотой. 72, зүссэн сегментийн хэмжээг (172) томъёогоор тодорхойлно.  

Практикт, үйлдвэрлэлийн нөхцөлд астроид барихад зориулж, хөдөлж буй шулуун шугам бүр  

Зураг дээр. 72-т бид 10-р холбоосын S ба Si төгсгөлийг хоёр астроид дагуу хөдөлгөж, нэгийг нь нөгөөгөөсөө 45 ° эргүүлсэн механизмыг үзүүлэв.  

(57) ба (58) тэгшитгэлээр тодорхойлсон муруй нь астроид хэлбэрийн муруй байх болно. Энэ муруйн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд нь тэнхлэгүүдийн хамт үүсдэг  

-д хийсэн шиг astroid-ийн гадна талыг Re5>0 хагас хавтгай дээр харуулъя.  

a = p = 1 гэж авснаар бид астроид гажигтай байсан контурыг байгуулна (Зураг 24).  

Слайдерууд / ба 2 нь тэнхлэгүүд нь харилцан перпендикуляр байдаг p ба q тогтмол чиглүүлэгчид гулсдаг. А болон 6 гулсагч 1-ээс 2 хүртэлх процессууд нь хөндлөн хэлбэртэй гулсагч 3-т гулсдаг бөгөөд тэдгээрийн тэнхлэгүүд нь мөн харилцан перпендикуляр байдаг. 4-р холбоос нь 3-р гулсагчтай эргэлтийн хос C-д орж, I ба 2-р гулсагчтай L ба B эргэлтийн хосуудад багтсан 6-р холбоосын тэнхлэгийн дагуу гулсдаг хөндлөн хэлбэртэй гулсагч 5-д гулсдаг. I-ээс 2 хүртэлх гулсагчтай үед чиглүүлэгчийн дагуу хөдөлж, K цэг нь астроид нумыг дүрсэлсэн бөгөөд тэгшитгэл нь = 1 - AB байна. Шулуун шугам нь эргэн тойрон эргэлддэг  

Гипоциклоид нь n - -1 оргил цэгтэй бөгөөд тэдгээр нь стрессийн концентрацийн үүднээс авч үзвэл хагарлын төгсгөлтэй тэнцүү байна (Зураг. PZO нь n = 3-тай астроидийг харуулж байна). Энэ төрлийн согогууд нь хэврэг байдлын бат бөх чанарыг тодорхойлж чаддаг  

Асроид руу шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол.  

Зураг дээр. 72 нь астроидуудыг үржүүлэхэд зориулагдсан арван холбоосын механизмыг харуулж байна. Астроид бол m = модультай ердийн гипоциклоид бөгөөд 6-р эрэмбийн алгебрийн муруй юм. Астроид нэр  

Тиймээс зурагт үзүүлсэн астроидуудын аль нэгэнд хүрэх шүргэгч нь C ба 5 цэгүүдээр, нөгөө рүү нь шүргэгч нь C ба S цэгүүдээр дамжин өнгөрнө. Гэхдээ В ба В цэгүүд нь ламбдагийн B B холбогч саваагийн төгсгөлүүд юм. -Харте шулуун шугамын хэлбэртэй бүлэг. Тиймээс В төгсгөл нь үргэлж DDj холбоосын дагуу гулсаж, В төгсгөл нь C цэгээс DDj руу сэргээгдсэн перпендикуляр дагуу гулсдаг. Үүнээс үзэхэд В цэгээр зурсан астроид нь DD холбоосын бүх байрлалын дугтуй юм. Дээр дурдсан зүйлийг В цэгээр хуулбарласан астроидууд эсвэл А-аас I радиусаар хүрээлэгдсэн тойргийн дурын цэгүүдэд өргөтгөж болно.  

Мэдэгдэж байгаагаар астроид цэцэг, хэрэв сүүлчийнх нь тэгш хэмийн төвийг туйл болгон сонгосон бол дөрвөн дэлбээтэй сарнай юм. Тиймээс Зураг дээрх ABi = AB сегментүүдийг уртасгахад хангалттай. 72 (эсвэл 73-р зурагт) AB = ABi = L хэмжээтэй, үүгээр олж авна.  

КУЛ ISIO-RY АСТРОИДЫН нөхөн үржихүйн ВЯТКИНЫН ЧУХАЛ МЕХАНИЗМ  

Далавчны онолтой шууд холбоотой ажлаа дуусгахын тулд бид Г.Н. Бабаева Флеттнерийн роторын тухай (Шинжлэх ухааны тэмдэглэл. Саратовын Улсын Их Сургуулийн Багшийн факультет. Т. ВХ. 1929 оны 11-р дугаар), зохиогч нь хоёр Флеттнер роторын тохиолдолд далавчаа судлах ердийн аргыг хэрэглэдэг. Дашрамд хэлэхэд, зохиогч энэ тохиолдолд мөчүүдийн шугам нь астроид гэдгийг харуулсан. талаар

- (Грекийн астрон од ба эйдосын үзэмжээс) радиусаас дөрөв дахин их тогтмол тойрог дотор дотроос хүрч, түүний дагуу гулсахгүйгээр эргэлдэж буй тойрог дээрх цэгээр дүрслэгдсэн хавтгай муруй. Гипоциклоидуудад хамаардаг. Алгебрийн астроид...... Том нэвтэрхий толь бичиг

Нэр үг, ижил утгатай үгсийн тоо: 1 муруй (56) ASIS ижил утгатай толь бичиг. В.Н. Тришин. 2013… Синонимын толь бичиг

- (Грекийн ástron star болон éidos харагдацаас), радиусаас дөрөв дахин их тогтмол тойрог дотор дотроос хүрч, гулсахгүй эргэлдэж буй тойрог дээрх цэгээр дүрслэгдсэн хавтгай муруй. Гипоциклоидуудад хамаардаг. астроид...... Нэвтэрхий толь бичиг

- (астро... гр. eidos харах) дэвсгэр. эхнийхээс дөрөв дахин их радиустай өөр хөдөлгөөнгүй тойргийн дотор талд гулсахгүй өнхөрч буй тойрог дээрх цэгээр дүрслэгдсэн хавтгай муруй; дөрвөн хошуут од шиг харагдаж байна. Шинэ толь бичиг... Орос хэлний гадаад үгсийн толь бичиг

Хавтгай алгебр ирмэг хүртэлх муруйг R = 4r радиустай тойргийн дотоод талын дагуу эргэлдэж буй r радиустай тойргийн цэгээр дүрсэлсэн; r=4 модультай гипоциклоид. Декарт тэгш өнцөгт координат дахь тэгшитгэл: параметр. тэгшитгэлүүд... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Муруй эсвэл шугам нь өөр өөр хэсгүүдэд өөр өөрөөр тодорхойлогддог геометрийн ойлголт юм.

CURVE (шугам), хөдөлж буй цэг эсвэл биеийн үлдээсэн ул мөр. Ихэвчлэн муруйг зөвхөн парабол, тойрог гэх мэт жигд муруй шугамаар дүрсэлдэг. Гэхдээ муруйн математикийн ойлголт нь шулуун шугам, гурвалжин эсвэл дөрвөлжин гэх мэт шулуун хэрчмүүдээс бүрдсэн дүрсийг хоёуланг нь хамардаг.

Муруйг хавтгай ба орон зайн гэж хувааж болно. Парабол эсвэл шулуун шугам гэх мэт хавтгай муруй нь хоёр хавтгай эсвэл хавтгай ба биеийн огтлолцолоос үүсдэг тул бүхэлдээ нэг хавтгайд оршдог. Орон зайн муруйг, жишээлбэл, мушгиа пүрш шиг хэлбэртэй мушгиа нь зарим гадаргуу эсвэл биеийг хавтгайтай огтлолцох байдлаар олж авах боломжгүй бөгөөд энэ нь нэг хавтгайд хэвтдэггүй. Мөн муруйг хаалттай, нээлттэй гэж хувааж болно. Квадрат эсвэл тойрог гэх мэт хаалттай муруй нь төгсгөлгүй, i.e. ийм муруй үүсгэдэг хөдөлж буй цэг нь өөрийн замыг үе үе давтдаг.

Муруй гэдэг нь математикийн зарим нөхцөл эсвэл тэгшитгэлийг хангасан цэгүүдийн локус буюу олонлог юм.

Жишээлбэл, тойрог нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд байгаа хавтгай дээрх цэгүүдийн байрлал юм. Алгебрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон муруйг алгебрийн муруй гэнэ.

Жишээ нь y = mx + b шулуун шугамын тэгшитгэл нь m нь налуу, b нь y тэнхлэгт таслагдсан хэрчм юм.

Тэгшитгэл нь логарифм эсвэл тригонометрийн функц зэрэг трансцендент функцуудыг агуулсан муруйг трансцендентал муруй гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, y = log x ба y = tan x нь трансцендент муруйнуудын тэгшитгэл юм.

Алгебрийн муруйн хэлбэрийг тэгшитгэлийн нөхцлийн хамгийн дээд зэрэгтэй давхцаж буй тэгшитгэлийн зэргээр тодорхойлж болно.

Хэрэв тэгшитгэл нь эхний зэрэгтэй бол, жишээ нь Ax + By + C = 0 бол муруй нь шулуун шугам хэлбэртэй байна.

Жишээлбэл, хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл нь:

Ax 2 + By + C = 0 эсвэл Ax 2 + By 2 + C = 0, тэгвэл муруй нь квадрат, өөрөөр хэлбэл. конус хэлбэрийн нэг хэсгийг төлөөлдөг; Эдгээр муруйд парабол, гипербол, эллипс, тойрог орно.

Конус огтлолын тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрийг жагсаацгаая.

x 2 + y 2 = r 2 - тойрог,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - эллипс,

y = сүх 2 - парабол,

x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1 - гипербол.

Гурав, дөрөв, тав, зургаа гэх мэт тэгшитгэлд тохирсон муруйнууд. градусыг гурав, дөрөв, тав, зургаа гэх мэт муруй гэж нэрлэдэг. захиалга. Ерөнхийдөө тэгшитгэлийн зэрэг өндөр байх тусам нээлттэй муруй илүү их гулзайлгах болно.

Олон тооны нарийн төвөгтэй муруйнууд тусгай нэрийг хүлээн авсан.

Циклоид гэдэг нь циклоидын генератор гэж нэрлэгддэг шулуун шугамын дагуу эргэлдэж буй тойрог дээрх тогтмол цэгээр дүрслэгдсэн хавтгай муруй юм; циклоид нь хэд хэдэн давтагдах нумуудаас бүрдэнэ.

Эпициклоид нь тойрог дээрх тогтмол цэгээр дүрслэгдсэн хавтгай муруй бөгөөд гаднах өөр тогтмол тойрог дээр эргэлддэг.

Гипоциклоид нь тогтмол тойргийн дагуу дотроос эргэлдэж буй тойрог дээрх тогтмол цэгээр дүрслэгдсэн хавтгай муруй юм.

Спираль нь тогтмол цэгээс (эсвэл эргэн тойронд нь ороож) тайлж, ээлжлэн эргэдэг хавтгай муруй юм.

Математикчид эрт дээр үеэс муруйн шинж чанарыг судалж ирсэн бөгөөд олон ер бусын муруйнуудын нэрсийг анх судалсан хүмүүсийн нэртэй холбоотой байдаг. Эдгээр нь жишээлбэл, Архимедийн спираль, Агнеси буржгар, Диоклес циссоид, Никомедын кокоид, Бернулли лемнискат юм.

Энгийн геометрийн хүрээнд муруйн тухай ойлголт нь тодорхой томъёолол хүлээн авдаггүй бөгөөд заримдаа "өргөнгүй урт" эсвэл "зургийн хил" гэж тодорхойлогддог. Үндсэндээ, анхан шатны геометрийн хувьд муруйг судлах нь жишээг авч үзэхэд хүргэдэг (, , , гэх мэт). Ерөнхий арга байхгүй тул энгийн геометр нь тодорхой муруйн шинж чанарыг судлахад нэлээд гүнзгий нэвтэрсэн (, зариммөн түүнчлэн), тохиолдол бүрт тусгай арга техникийг ашиглан.

Ихэнх тохиолдолд муруйг сегментээс дараах хүртэлх тасралтгүй зураглал гэж тодорхойлдог.

Үүний зэрэгцээ муруйнууд нь өөр өөр байсан ч байж болнотаарах. Ийм муруйг гэж нэрлэдэгпараметржүүлсэн муруйэсвэл хэрэв[ а , б ] = , арга замууд.

Заримдаа муруй нь параметрийн муруй байхын тулд хамгийн бага эквивалент харьцаа хүртэл тодорхойлогддог.

Үргэлжилсэн (заримдаа буурдаггүй) байвал тэнцүү байна. hсегментээс [ а 1 ,б 1 ] сегмент бүрт [ а 2 ,б 2 ], ийм байна

Энэ хамаарлаар тодорхойлогдсоныг энгийн муруй гэж нэрлэдэг.

Аналитик тодорхойлолтууд

Аналитик геометрийн хичээлүүдэд декарт тэгш өнцөгт (эсвэл бүр ерөнхий аффин) координатаар бичсэн шугамуудын дунд хоёрдугаар зэргийн ерөнхий тэгшитгэлээр нотлогддог.

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(A, B, C коэффициентүүдийн дор хаяж нэг нь тэгээс ялгаатай) зөвхөн дараах найман төрлийн шугам олддог.

а) эллипс;

б) гипербол;

в) парабол (хоёр дахь эрэмбийн доройтдоггүй муруй);

г) огтлолцсон хос шугам;

д) хос зэрэгцээ шугам;

е) давхцсан хос шугам (нэг шулуун шугам);

g) нэг цэг (хоёр дахь эрэмбийн доройтсон шугам);

h) ямар ч цэг агуулаагүй "шугам".

Үүний эсрэгээр, заасан найман төрөл бүрийн дурын мөрийг декартын тэгш өнцөгт координатад хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлээр бичнэ. (Аналитик геометрийн хичээл дээр тэд ихэвчлэн есөн (найман биш) төрлийн конус огтлолын тухай ярьдаг, учир нь тэд "төсөөллийн эллипс" ба "хос төсөөлөлтэй зэрэгцээ шугам" -ыг ялгадаг - геометрийн хувьд эдгээр "шугамууд" нь адилхан, учир нь хоёулаа ижил байдаг. нэг цэг агуулаагүй боловч аналитик байдлаар тэдгээрийг өөр өөр тэгшитгэлээр бичдэг.) Иймээс (муудсан ба доройтдоггүй) конус зүсэлтийг хоёр дахь эрэмбийн шугам гэж тодорхойлж болно.

INХавтгай дээрх муруйг координатууд нь тэгшитгэлийг хангадаг цэгүүдийн багц гэж тодорхойлогддог.Ф ( x , y ) = 0 . Үүний зэрэгцээ функцийн хувьдФ Энэ тэгшитгэл нь хязгааргүй олон тооны ялгаатай шийдлүүдтэй байх баталгаа болох хязгаарлалтууд тавигдсан

Энэхүү шийдлийн багц нь "онгоцны хэсгийг" дүүргэхгүй.

Алгебрийн муруй

Муруйнуудын чухал ангилал нь функцийг гүйцэтгэдэг муруйнууд юмФ ( x , y ) Байнахоёр хувьсагчаас. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлээр тодорхойлогддог муруйФ ( x , y ) = 0 , дуудсан.

1-р зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон алгебрийн муруйнууд нь .

Хязгааргүй олон шийдэлтэй 2-р зэргийн тэгшитгэл нь доройтсон ба доройтдоггүйг тодорхойлдог.

3-р зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон муруйн жишээ: , .

4-р зэргийн муруйн жишээ: ба.

6-р зэргийн муруйны жишээ: .

Тэгш градусын тэгшитгэлээр тодорхойлсон муруйны жишээ: (олон фокус).

Өндөр зэрэглэлийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон алгебрийн муруйг авч үзнэ. Үүний зэрэгцээ, хэрэв авч үзэх юм бол тэдний онол илүү нийцтэй болно. Энэ тохиолдолд алгебрийн муруйг хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлно

Ф ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

Хаана Ф- цэг болох гурван хувьсагчийн олон гишүүнт.

Муруйн төрлүүд

Хавтгай муруй нь бүх цэгүүд нэг хавтгайд оршдог муруй юм.

(энгийн шугам эсвэл Жорданы нум, мөн контур) - шугамын сегментүүдтэй нэг нэгээр, харилцан тасралтгүй нийцэж байгаа хавтгай эсвэл орон зайн цэгүүдийн багц.

Зам нь доторх хэсэг юм.

алгебрийн бус аналитик муруй. Илүү нарийвчлалтайгаар аналитик функцийн түвшний шугамаар (эсвэл олон хэмжээст тохиолдолд функцүүдийн систем) тодорхойлж болох муруйнууд.

Синус долгион,

Циклоид,

Архимед спираль,

трактор,

гинжин шугам,

Гиперболын спираль гэх мэт.

1. Муруйг тодорхойлох аргууд:

аналитик – муруйг математикийн тэгшитгэлээр өгсөн;

график – муруйг график мэдээллийн зөөгч дээр дүрслэн харуулсан;

хүснэгт - муруй нь дараалсан цуврал цэгүүдийн координатаар тодорхойлогддог.

параметрийн (муруйн тэгшитгэлийг тодорхойлох хамгийн түгээмэл арга):

Хаана - жигд параметрийн функцуудт, ба

(x") 2 + (y") 2 + (z") 2 > 0 (тогтмол байдлын нөхцөл).

Муруйн тэгшитгэлийн инвариант, нягт дүрслэлийг ашиглах нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг:

зүүн талд муруйн цэгүүд байгаа бөгөөд баруун тал нь түүний зарим параметрээс хамаарлыг тодорхойлдог т. Энэ оруулгыг координатаар өргөжүүлснээр бид (1) томъёог олж авна.

1. Циклоид.

Циклоид судлалын түүх нь Аристотель, Птолемей, Галилео, Гюйгенс, Торричелли болон бусад агуу эрдэмтэн, философич, математикч, физикчдийн нэртэй холбоотой юм.

Циклоид(аасκυκλοειδής - дугуй) - бөгөөд үүнийг шулуун шугамд гулсахгүй өнхөрч буй тойргийн хил дээр байрлах цэгийн зам гэж тодорхойлж болно. Энэ тойргийг үүсгэгч гэж нэрлэдэг.

Муруйг бүрдүүлэх хамгийн эртний аргуудын нэг бол муруйг цэгийн траектор хэлбэрээр олж авах кинематик арга юм. Тойрог дээр тогтсон, шулуун шугамын дагуу, тойрог эсвэл бусад муруйн дагуу гулсахгүйгээр эргэлдэж буй цэгийн траекторийг олж авсан муруйг циклоид гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь грек хэлнээс орчуулбал дугуй хэлбэртэй, тойргийг санагдуулдаг гэсэн үг юм.

Тойрог шулуун шугамын дагуу эргэлдэж байгаа тохиолдлыг эхлээд авч үзье. Шулуун дагуу гулсахгүй өнхөрч буй тойрог дээр тогтсон цэгээр дүрслэгдсэн муруйг циклоид гэнэ.

R радиустай тойрог a шулуун шугамын дагуу эргэлдэнэ. C нь тойрог дээр тогтсон цэг бөгөөд цаг хугацааны эхний мөчид А байрлалд байрладаг (Зураг 1). Тойргийн урттай тэнцүү AB хэрчмийг a шулуун дээр зуръя, өөрөөр хэлбэл. AB = 2 π R. Энэ хэрчмийг A1, A2, ..., A8 = B цэгүүдээр 8 тэнцүү хэсэгт хуваа.

Шулуун а шугамын дагуу эргэлдэж буй тойрог нэг эргэлт хийх нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл. 360 эргэдэг, дараа нь (8) байрлалыг эзэлнэ, С цэг нь А байрлалаас В байрлал руу шилжинэ.

Хэрэв тойрог хагас бүтэн эргэлт хийвэл, i.e. 180 эргэж, дараа нь (4) байрлалыг авч, С цэг нь хамгийн өндөр C4 байрлал руу шилжинэ.

Хэрэв тойрог 45 өнцгөөр эргэвэл тойрог (1) байрлал руу, С цэг C1 байрлал руу шилжинэ.

Зураг 1-д мөн тойргийн эргэлтийн үлдсэн өнцөгт 45-ын үржвэрт тохирсон циклоидын бусад цэгүүдийг харуулав.

Баригдсан цэгүүдийг гөлгөр муруйгаар холбосноор бид тойргийн нэг бүтэн эргэлтэнд тохирох циклоидын хэсгийг олж авна. Дараагийн хувьсгалуудад ижил хэсгүүдийг авах болно, өөрөөр хэлбэл. Циклоид нь циклоидын нуман хаалга гэж нэрлэгддэг үе үе давтагдах хэсгээс бүрдэнэ.

Циклоидтай шүргэгчийн байрлалд анхаарлаа хандуулцгаая (Зураг 2). Хэрэв дугуйчин нойтон зам дээр явж байвал дугуйнаас гарч буй дуслууд нь циклоид руу тангенциалаар нисч, бамбай байхгүй тохиолдолд дугуйчны нурууг асгаж болно.

Циклоидыг судалсан анхны хүн бол Галилео Галилей (1564-1642) юм. Тэр бас түүний нэрийг гаргаж ирсэн.

Циклоид шинж чанарууд:

Циклоид нь хэд хэдэн гайхалтай шинж чанартай байдаг. Тэдгээрийн заримыг нь дурдъя.

Үл хөдлөх хөрөнгө 1. (Мөсөн уул.) 1696 онд И.Бернулли хамгийн эгц уруулын муруйг олох, өөрөөр хэлбэл, мөсөн гулсуурыг доош гүйлгэж, аян замд гарахын тулд ямар хэлбэртэй байх ёстой вэ гэсэн асуудлыг тавьжээ. А цэгээс төгсгөлийн B цэг хүртэл хамгийн богино хугацаанд (Зураг 3, а). Хүссэн муруйг "брахистохрон" гэж нэрлэсэн, өөрөөр хэлбэл. хамгийн богино хугацааны муруй.

А цэгээс В цэг хүртэлх хамгийн богино зам нь AB сегмент гэдэг нь тодорхой байна. Гэсэн хэдий ч ийм шулуун хөдөлгөөнөөр хурд нь аажмаар нэмэгдэж, буухад зарцуулсан хугацаа их болж хувирдаг (Зураг 3, b).

Буурах тусам хурд нь хурдан нэмэгддэг. Гэсэн хэдий ч эгц доошилсон үед муруйн дагуух зам уртасч, улмаар үүнийг дуусгахад шаардагдах хугацаа нэмэгддэг.

Энэ асуудлыг шийдсэн математикчдын дунд: Г.Лейбниц, И.Ньютон, Г.Л'Хопитал, Ж.Бернулли нар байв. Тэд хүссэн муруй нь урвуу циклоид гэдгийг баталсан (Зураг 3, а). Брахистохроны асуудлыг шийдвэрлэхэд эдгээр эрдэмтдийн боловсруулсан аргууд нь математикийн шинэ чиглэл болох өөрчлөлтийн тооцооны үндэс суурийг тавьсан юм.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. (Дүүжинтэй цаг.) Энгийн савлууртай цаг нь зөв ажиллах боломжгүй, учир нь савлуурын хэлбэлзлийн хугацаа нь түүний далайцаас хамаардаг: далайц их байх тусам хугацаа их байх болно. Голландын эрдэмтэн Кристиан Гюйгенс (1629 – 1695) савлуурын утсан дээрх бөмбөлөг ямар муруй дагах ёстой вэ, ингэснээр түүний хэлбэлзлийн хугацаа далайцаас хамаарахгүй байх ёстой гэж гайхаж байв. Энгийн дүүжинд бөмбөг хөдөлж буй муруй нь тойрог гэдгийг анхаарна уу (Зураг 4).

Бидний хайж байсан муруй урвуу циклоид болж хувирав. Жишээлбэл, урвуу циклоид хэлбэртэй суваг хийж, түүний дагуу бөмбөг хөөргөвөл таталцлын нөлөөн дор бөмбөгний хөдөлгөөний хугацаа нь түүний анхны байрлал, далайцаас хамаарахгүй (Зураг 5). ). Энэ өмчийн хувьд циклоидыг "таутохрон" гэж нэрлэдэг - тэнцүү хугацааны муруй.

Гюйгенс зүүн ба баруун талын утасны хөдөлгөөнийг хязгаарлаж, циклоид хэлбэртэй ирмэг бүхий хоёр модон банз хийжээ (Зураг 6). Энэ тохиолдолд бөмбөг өөрөө урвуу циклоидын дагуу хөдөлж, улмаар түүний хэлбэлзлийн хугацаа далайцаас хамаарахгүй.

Ялангуяа циклоидын энэ шинж чанараас харахад урвуу циклоид хэлбэртэй мөсөн гулсуурын аль газраас бид бууж эхлэхээс үл хамааран төгсгөлийн цэг хүртэл ижил цагийг өнгөрөөх болно.

Циклоид тэгшитгэл

1. Циклоид тэгшитгэлийг α - радианаар илэрхийлсэн тойргийн эргэлтийн өнцгөөр бичих нь тохиромжтой.

x=rα– rнүгэл α

y=r – r cos α

2. Хэвтээ координатын тэнхлэгийг радиус үүсгэгч тойрог өнхрөх шулуун шугам гэж авъя. r.

Циклоид нь параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог

x = rt – rнүгэл т,

y = r – r cos т.

Тэгшитгэл нь:

Циклоидыг дифференциал тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Циклоидын түүхээс

Циклоид анхаарлаа хандуулсан анхны эрдэмтэнВ, гэхдээ энэ муруйн талаар ноцтой судалгаа зөвхөн онд эхэлсэн.

Циклоидыг судалсан анхны хүн бол Италийн алдарт одон орон судлаач, физикч, сурган хүмүүжүүлэгч Галилео Галилей (1564-1642) юм. Тэрээр мөн "тойрогийг санагдуулам" гэсэн утгатай "циклоид" гэсэн нэрийг гаргажээ. Галилео өөрөө циклоидын талаар юу ч бичээгүй боловч түүний энэ чиглэлээр хийсэн ажлыг Галилеогийн шавь нар, дагалдагчид Вивиани, Ториселли болон бусад хүмүүс дурджээ. Алдарт физикч, барометрийн зохион бүтээгч Ториселли математикт маш их цаг зарцуулсан. Сэргэн мандалтын үед нарийн мэргэжлийн эрдэмтэд байгаагүй. Авьяаслаг хүн гүн ухаан, физик, математикийн чиглэлээр суралцаж, хаа сайгүй сонирхолтой үр дүнд хүрч, томоохон нээлтүүдийг хийсэн. Италичуудаас арай хожуу францчууд циклоидыг авч, "рулет" эсвэл "трохоид" гэж нэрлэжээ. 1634 онд алдартай жингийн системийг зохион бүтээгч Робервал циклоидын нуман хаалга ба түүний суурьтай хязгаарлагдсан талбайг тооцоолжээ. Циклоид хэмээх томоохон судалгааг Галилеогийн орчин үеийн хүн хийсэн. , өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичих боломжгүй муруйнууд x , y, циклоид нь судлагдсан хүмүүсийн эхнийх нь юм.

Циклоидын тухай бичсэн:

рулет нь шулуун шугам болон тойргийн дараа ямар ч шугам илүү олон удаа тулгарсан байдаг нь маш нийтлэг шугам юм; Энэ нь хүн бүрийн нүдний өмнө маш олон удаа дүрслэгдсэн байдаг тул эртний хүмүүс үүнийг анхаарч үзээгүйд гайхах нь гарцаагүй... учир нь энэ бол дугуйны хадаасаар агаарт дүрслэгдсэн замаас өөр зүйл биш юм.

Шинэ муруй хурдан алдартай болж, гүнзгий дүн шинжилгээнд хамрагдсан, , Ньютон,, Бернулли ах нар болон 17-18-р зууны шинжлэх ухааны бусад нэрт зүтгэлтнүүд. Циклоид дээр тэр жилүүдэд гарч ирсэн аргуудыг идэвхтэй сайжруулсан. Циклоид аналитик судалгаа нь алгебрийн муруйн шинжилгээтэй адил амжилттай болсон нь гайхалтай сэтгэгдэл төрүүлж, алгебрийн болон трансцендент муруйнуудын "тэнцүү эрхийн" чухал аргумент болсон юм. Эпициклоид

Зарим төрлийн циклоидууд

Эпициклоид - R радиустай чиглүүлэгч тойргийн дагуу гулсахгүй эргэлдэж буй D диаметртэй тойрог дээр хэвтэж буй А цэгийн замнал (гадаад контакт).

Эпициклоид барих ажлыг дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ.

0 төвөөс 000=R+r радиустай туслах нумыг зурна;

01, 02, ...012 цэгүүдээс төвүүдээс эхлэн эпициклоидод хамаарах A1, A2, ... A12 цэгүүдэд туслах нумуудтай огтлолцох хүртэл r радиустай тойрог зурна.

Гипоциклоид

Гипоциклоид нь R радиустай чиглүүлэгч тойргийн дагуу гулсахгүйгээр эргэлдэж буй D диаметртэй тойрог дээр хэвтэж буй А цэгийн зам (дотоод шүргэгч) юм.

Гипоциклоид барих ажлыг дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ.

r радиусын үүсгэгч тойрог ба R радиусын чиглүүлэгч тойрог нь А цэгт хүрч байхаар зурсан;

Үүсгэх тойрог нь 12 тэнцүү хэсэгт хуваагдаж, 1, 2, ... 12-р цэгүүдийг олж авна;

0 төвөөс 000=R-r-тэй тэнцүү радиустай туслах нумыг зурна;

Төвийн өнцгийг a =360r/R томъёогоор тодорхойлно.

А өнцгөөр хязгаарлагдсан чиглүүлэгч тойргийн нумыг 12 тэнцүү хэсэгт хувааж, 11, 21, ...121 цэгүүдийг авна;

0 төвөөс шулуун шугамыг 11, 21, ...121 цэгүүдээр 01, 02, ...012 цэгт туслах нумтай огтлолцох хүртэл;

0 төвөөс эхлэн туслах нумыг үүсгэгч тойргийн 1, 2, ... 12-р хуваах цэгүүдээр дамжуулан татдаг;

01, 02, ... 012 цэгүүдээс төвүүдийн хувьд гипоциклоидод хамаарах A1, A2, ... A12 цэгүүдэд туслах нумуудтай огтлолцох хүртэл r радиустай тойрог зурна.

1. Кардиоид.

Кардиоид ( καρδία - зүрх, Кардиоид бол онцгой тохиолдол юм "Кардиоид" гэсэн нэр томъёог 1741 онд Кастиллон нэвтрүүлсэн.

Хэрэв бид тойрог ба түүн дээрх цэгийг туйл болгон авбал тойргийн диаметртэй тэнцүү сегментүүдийг зурсан тохиолдолд л кардиоидыг олж авна. Хуримтлагдсан сегментүүдийн бусад хэмжээтэй бол конкоидууд нь уртассан эсвэл богиноссон кардиоидууд байх болно. Эдгээр уртасгасан, богиноссон кардиоидуудыг Паскалийн чихний дун гэж нэрлэдэг.

Кардиоид нь технологийн хувьд янз бүрийн хэрэглээтэй байдаг. Кардиоидын хэлбэрийг машинд зориулсан эксцентрик, камер хийхэд ашигладаг. Үүнийг заримдаа араа зурахад ашигладаг. Үүнээс гадна энэ нь оптик технологид ашиглагддаг.

Кардиоидын шинж чанар

2) Кардиоидыг өөр аргаар олж авч болно. Тойрог дээр цэг тэмдэглээрэй ТУХАЙтэгээд түүнээс туяа татъя. Хэрэв цэгээс Аэнэ туяаг тойрогтой огтлолцох, сегментийг зурах AM,урт нь тойргийн диаметртэй тэнцүү байх ба туяа нь цэгийг тойрон эргэлддэг ТУХАЙ, дараа нь зааж өгнө үү Мкардиоидын дагуу хөдөлнө.

3) Кардиоидыг мөн өгөгдсөн тойрог дээр төвүүдтэй, түүний тогтмол цэгийг дайран өнгөрч буй бүх тойрогтой шүргэгч муруй хэлбэрээр дүрсэлж болно. Хэд хэдэн тойрог барихад кардиоид нь өөрөө баригдсан мэт харагдана.

4) Кардиоидыг харах нэгэн адил гоёмсог, гэнэтийн арга байдаг. Зураг дээр та тойрог дээрх цэгийн гэрлийн эх үүсвэрийг харж болно. Тойрогоос гэрлийн туяа анх удаа туссаны дараа тэд кардиоид руу шүргэнэ. Тойрог нь аяганы ирмэг гэж төсөөлөөд үз дээ, нэг цэг дээр тод гэрлийн чийдэн тусдаг. Аяганд хар кофе юүлж, тод туссан туяаг харах боломжтой. Үүний үр дүнд кардиоидыг гэрлийн туяагаар тодруулдаг.

1. Astroid.

Astroid (Грек хэлнээс astron - од ба eidos - харах), радиусаас дөрөв дахин их тогтмол тойрог дотор дотроос хүрч, гулсахгүйгээр эргэлддэг тойрог дээрх цэгээр дүрслэгдсэн хавтгай муруй. Гипоциклоидуудад хамаардаг. Astroid бол 6-р эрэмбийн алгебрийн муруй юм.

Бүх astroid-ийн урт нь тогтмол тойргийн зургаан радиустай тэнцүү бөгөөд түүгээр хязгаарлагдсан талбай нь тогтмол тойргийн наймны гурав юм.

Астроидын үзүүрт зурсан тогтмол тойргийн харилцан перпендикуляр хоёр радиусын хооронд хүрээлэгдсэн астроид руу шүргэгч сегмент нь тухайн цэгийг хэрхэн сонгосоноос үл хамааран тогтмол тойргийн радиустай тэнцүү байна.

Астроидын шинж чанарууд

Дөрөв байнакаспа .

0 цэгээс дугтуй хүртэлх нумын урт

Astroid бол 6-р зэрэглэл юм.

Астроидын тэгшитгэл

Асроид бүтээх арга

Бид хоёр харилцан перпендикуляр шулуун шугамыг зурж, урттай хэд хэдэн сегментийг зурдагР , тэдгээрийн төгсгөлүүд нь эдгээр шугамууд дээр байрладаг. Зураг дээр ийм 12 сегментийг (харилцан перпендикуляр шулуун шугамын хэсгүүдийг оруулаад) харуулав. Илүү олон сегмент зурах тусам муруйг илүү нарийвчлалтай авах болно. Одоо эдгээр бүх сегментүүдийн дугтуйг бүтээцгээе. Энэ дугтуй нь астроид байх болно.

1. Дүгнэлт

Энэхүү ажил нь янз бүрийн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог эсвэл математикийн зарим нөхцлийг хангасан янз бүрийн төрлийн муруйтай асуудлын жишээг өгдөг. Ялангуяа циклоидын муруй, тэдгээрийг тодорхойлох арга, янз бүрийн бүтээх арга, эдгээр муруйн шинж чанарууд.

Циклоид муруйны шинж чанарыг механикт араагаар ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд энэ нь механизм дахь эд ангиудын бат бөх чанарыг ихээхэн нэмэгдүүлдэг.