Тархалтын нөхцөлт хуулиуд. Регресс.
Тодорхойлолт. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн (X, Y) нөхцөлт тархалтын хууль нь түүний тархалтын хууль бөгөөд нөгөө бүрэлдэхүүн хэсэг нь тодорхой утгыг авсан (эсвэл зарим интервалд унасан) нөхцөлд тооцдог. Өмнөх лекцээр бид дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нөхцөлт тархалтыг олох талаар авч үзсэн. Нөхцөлт магадлалын томъёог мөн энд өгөв.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд j y (x) ба j X (y) нөхцөлт тархалтын магадлалын нягтыг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ зорилгоор өгөгдсөн томъёонд бид үйл явдлын магадлалыг тэдгээрийн "магадлалын элементүүд"-ээр орлуулдаг!
dx ба dy-ээр бууруулсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.
тэдгээр. хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгийн нөхцөлт магадлалын нягт нь түүний холбоосын нягтыг нөгөө бүрэлдэхүүн хэсгийн магадлалын нягттай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Эдгээр харилцааг хэлбэрээр бичсэн болно
тархалтын нягтыг үржүүлэх теорем (дүрэм) гэж нэрлэдэг.
Нөхцөлт нягтрал j y (x) ба j X (y). "болзолгүй" нягтын бүх шинж чанаруудтай.
Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлахдаа нэг хэмжээст X ба Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоон шинж чанарыг харгалзан үздэг - математикийн хүлээлт ба хэлбэлзэл. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд (X, Y) тэдгээрийг дараах томъёогоор тодорхойлно.
Тэдгээрийн хамт нөхцөлт тархалтын тоон шинж чанарыг харгалзан үзнэ: нөхцөлт математикийн хүлээлт M x (Y) ба M y (X) ба нөхцөлт дисперс D x (Y) ба D Y (X). Эдгээр шинж чанаруудыг математикийн хүлээлт ба дисперсийн ердийн томьёо ашиглан олдог бөгөөд үүнд үйл явдлын магадлал эсвэл магадлалын нягтын оронд нөхцөлт магадлал эсвэл нөхцөлт магадлалын нягтыг ашигладаг.
X = x үед санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийн нөхцөлт математикийн хүлээлт, i.e. M x (Y) нь х-ийн функцийг регрессийн функц гэж нэрлэдэг эсвэл X дээрх Y-ийн регресс юм. Үүний нэгэн адил, M Y (X) нь регрессийн функц эсвэл Y дээр X-ийн регресс гэж нэрлэгддэг. Эдгээр функцүүдийн графикууд нь дараах байдалтай байна. регрессийн шугам (эсвэл регрессийн муруй) Y-ийг X-ээр эсвэл X-ээр Y-ээр тус тус нэрлэдэг.
Хамааралтай ба бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.
Тодорхойлолт. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамтарсан тархалтын функц F(x,y) нь эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний F 1 (x) ба F 2 (y) хуваарилалтын функцүүдийн үржвэрээр илэрхийлэгдсэн бол тэдгээрийг бие даасан гэж нэрлэдэг.
Үгүй бол X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хамааралтай гэж нэрлэдэг.
x ба y аргументуудын хувьд тэгш байдлыг хоёр удаа ялгаж, бид олж авна
тэдгээр. X ба Ү бие даасан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тэдгээрийн хамтарсан нягт j(x,y) нь эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн j 1 (x) ба j 2 (y) магадлалын нягтын үржвэртэй тэнцүү байна.
Өнөөг хүртэл бид нэг хувьсагчийн x утга нь нөгөө хувьсагчийн хатуу тодорхойлсон утгатай тохирч байх үед X ба Y хувьсагчдын хоорондох функциональ хамаарлын тухай ойлголттой тулгарсаар ирсэн. Жишээлбэл, санамсаргүй хоёр хэмжигдэхүүн хоорондын хамаарал - тодорхой хугацааны туршид бүтэлгүйтсэн тоног төхөөрөмжийн тоо, тэдгээрийн өртөг - функциональ байдаг.
Ерөнхийдөө тэд функциональ байдлаас арай бага хамааралтай өөр төрлийн хараат байдалтай тулгардаг.
Тодорхойлолт.Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг тэдгээрийн аль нэгнийх нь утга тус бүр нь нөгөөгийн тодорхой (нөхцөлт) тархалттай тохирч байвал магадлалын (стохастик эсвэл статистик) гэж нэрлэдэг.
Магадлалын (стохастик) хамаарлын хувьд тэдгээрийн аль нэгнийх нь үнэ цэнийг мэдэхийн тулд нөгөөгийнх нь утгыг нарийн тодорхойлох боломжгүй, гэхдээ та зөвхөн нөгөө хэмжигдэхүүний тархалтыг зааж өгч болно. Жишээлбэл, тоног төхөөрөмжийн эвдрэлийн тоо, урьдчилан сэргийлэх засварын зардал, хүний жин, өндөр, сургуулийн сурагчийн телевизийн нэвтрүүлэг үзэх, ном уншихад зарцуулсан цаг хугацаа гэх мэт. магадлал (стохастик).
Зураг дээр. Зураг 5.10-д X ба Ү хамааралтай ба бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээг үзүүлэв.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийг судлахдаа тэдгээрийн хамаарлын зэрэг, шинж чанарыг үргэлж анхаарч үзэх хэрэгтэй. Энэ хамаарал нь их, бага хэмжээгээр тод томруун, ойр дотно байж болно. Зарим тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарал маш ойрхон байж болох тул нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг мэдсэнээр өөр нэг хэмжигдэхүүнийг үнэн зөв зааж өгч болно. Нөгөө онцгой тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарал маш сул бөгөөд хол байдаг тул тэдгээрийг бие даасан гэж үзэж болно.
Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт нь магадлалын онолын чухал ойлголтуудын нэг юм.
Тухайн хувьсагчийн тархалтын хууль нь тухайн хувьсагч ямар утга авахаас хамаарахгүй бол санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс хамааралгүй хэмжигдэхүүн гэнэ.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд хамааралгүй байх нөхцлийг дараах байдлаар бичиж болно.
ямар ч үед.
Эсрэгээрээ, -ээс шалтгаалж байвал
.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарал эсвэл бие даасан байдал нь үргэлж харилцан байдгийг баталцгаая: хэрэв утга нь -ээс хамаарахгүй бол.
Үнэн хэрэгтээ энэ нь дараахь зүйлээс хамаарахгүй байх болтугай.
. (8.5.1)
(8.4.4) ба (8.4.5) томъёоноос бид:
(8.5.1)-ийг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Q.E.D.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамаарал ба бие даасан байдал нь үргэлж харилцан байдаг тул бид бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн шинэ тодорхойлолтыг өгч болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалтын хууль нь нөгөөгийнхөө утгаас хамаарахгүй бол тэдгээрийг бие даасан гэж нэрлэдэг. Үгүй бол хэмжигдэхүүнийг хамааралтай гэж нэрлэдэг.
Бие даасан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тархалтын хуулиудын үржүүлэх теорем нь дараах хэлбэртэй байна.
, (8.5.2)
өөрөөр хэлбэл бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын нягт нь тухайн системд орсон хувьсагчдын тархалтын нягтын үржвэртэй тэнцүү байна.
Нөхцөл (8.5.2) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бие даасан байдлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл гэж үзэж болно.
Ихэнхдээ функцийн хэлбэрээс харахад санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байдаг гэж дүгнэж болно, тухайлбал тархалтын нягтрал нь хоёр функцийн үржвэрт задарвал тэдгээрийн нэг нь зөвхөн, нөгөө нь зөвхөн санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс хамаардаг. бие даасан байдаг.
Жишээ. Системийн тархалтын нягт нь дараахь хэлбэртэй байна.
.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хамааралтай эсвэл хамааралгүй эсэхийг тодорхойлох.
Шийдэл. Хуваагчийг хүчин зүйл болгон тооцвол бидэнд:
.
Функц нь хоёр функцийн үржвэрт хуваагддаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь зөвхөн -ээс, нөгөө нь зөвхөн -ээс хамааралтай байдаг тул хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байх ёстой гэж бид дүгнэж байна. Үнэн хэрэгтээ (8.4.2) ба (8.4.3) томъёог ашигласнаар бид дараах байдалтай байна.
;
адилхан
,
үүнд бид яаж итгэлтэй байх вэ
мөн, тиймийн тул, тоо хэмжээ болон бие даасан байна.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамаарал эсвэл бие даасан байдлыг дүгнэх дээрх шалгуур нь системийн тархалтын хуулийг бидэнд мэддэг гэсэн таамаглал дээр суурилдаг. Практикт эсрэгээр нь ихэвчлэн тохиолддог: системийн тархалтын хууль тодорхойгүй; Зөвхөн системд орсон бие даасан хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хуулиуд л мэдэгдэж байгаа бөгөөд хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан гэж үзэх үндэслэл бий. Дараа нь бид системийн тархалтын нягтыг системд орсон бие даасан хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын нягтын үржвэр болгон бичиж болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний "хамаарал" ба "бие даасан байдал" гэсэн чухал ойлголтуудын талаар дэлгэрэнгүй авч үзье.
Магадлалын онолд бидний ашигладаг санамсаргүй хэмжигдэхүүний "бие даасан" гэсэн ойлголт нь математикт ашигладаг хувьсагчийн "хамаарал" гэсэн ердийн ойлголтоос арай өөр юм. Үнэн хэрэгтээ, ихэвчлэн хэмжигдэхүүний "хамаарал" гэж бид зөвхөн нэг төрлийн хамаарлыг хэлдэг - бүрэн, хатуу, функциональ хамаарал гэж нэрлэгддэг. Хоёр хэмжигдэхүүнийг функциональ хамааралтай гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь утгыг мэдэж, нөгөөгийнхөө утгыг үнэн зөв зааж өгч болно.
Магадлалын онолын хувьд бид өөр, илүү ерөнхий, магадлалын буюу "стохастик" хамааралтай тулгардаг. Хэрэв хэмжигдэхүүн нь тухайн хэмжигдэхүүнтэй магадлалын хамаарлаар холбогдож байгаа бол -ийн утгыг мэдсэнээр -ийн яг утгыг зааж өгөх боломжгүй бөгөөд зөвхөн тухайн хэмжигдэхүүн ямар утгыг авснаас хамаарах түүний тархалтын хуулийг л зааж өгч болно.
Магадлалын хамаарал нь илүү их эсвэл бага ойрхон байж болно; Магадлалын хамаарлын битүүмжлэл ихсэх тусам функциональд ойртож байна. Тиймээс функциональ хамаарлыг хамгийн ойрын магадлалын хамаарлын туйлын хязгаарлагдмал тохиолдол гэж үзэж болно. Өөр нэг онцгой тохиолдол бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн бие даасан байдал юм. Эдгээр хоёр онцгой тохиолдлын хооронд магадлалын хамаарлын бүх шатлалууд байдаг - хамгийн хүчтэйгээс хамгийн сул хүртэл. Практикт бидний функциональ хамааралтай гэж үздэг эдгээр физик хэмжигдэхүүнүүд нь үнэн хэрэгтээ маш ойрхон магадлалын хамаарлаар холбогддог: эдгээр хэмжигдэхүүний аль нэгний өгөгдсөн утгын хувьд нөгөө нь маш нарийн хязгаарт хэлбэлздэг тул үүнийг бараг тодорхой гэж үзэж болно. Нөгөөтэйгүүр, бидний практик болон бодит байдал дээр бие даасан гэж үздэг хэмжигдэхүүнүүд нь ихэвчлэн харилцан хамааралтай байдаг боловч энэ хамаарал нь маш сул тул практик зорилгоор үүнийг үл тоомсорлож болно.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондох магадлалын хамаарал нь практикт маш түгээмэл байдаг. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь магадлалын хамааралтай бол энэ нь утга өөрчлөгдөхөд утга нь маш тодорхой байдлаар өөрчлөгдөнө гэсэн үг биш юм; Энэ нь зөвхөн хэмжээ өөрчлөгдөхийн хэрээр хэмжээ нь өөрчлөгдөх хандлагатай байна гэсэн үг юм (жишээ нь, өсөх үед нэмэгдэх эсвэл буурах). Энэ чиг хандлага нь зөвхөн "дунджаар" ажиглагддаг бөгөөд бүх тохиолдолд үүнээс хазайх боломжтой байдаг.
Жишээлбэл, ийм санамсаргүй хоёр хэмжигдэхүүнийг авч үзье: - санамсаргүй байдлаар авсан хүний өндөр, - түүний жин. Мэдээжийн хэрэг, тоо хэмжээ ба тодорхой магадлалын хамаарал; Энэ нь ерөнхийдөө өндөр өндөртэй хүмүүс илүү жинтэй байдагтай холбоотой юм. Та энэ магадлалын хамаарлыг функциональ байдлаар орлуулах эмпирик томъёог ч үүсгэж болно. Энэ нь жишээлбэл, өндөр ба жингийн хоорондын хамаарлыг ойролцоогоор илэрхийлдэг алдартай томъёо юм.
Хэрэв нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нөгөө санамсаргүй хэмжигдэхүүн ямар утгыг авахаас хамаарч өөрчлөгдөхгүй бол $X$ ба $Y$ хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бие даасан гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, дурын $x$ ба $y$-ын хувьд $X=x$ ба $Y=y$ үйл явдлууд бие даасан байна. $X=x$ ба $Y=y$ үйл явдлууд бие даасан тул бие даасан үйл явдлуудын магадлалын үржвэрийн теоремоор $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\) баруун)\баруун)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\баруун)$.
Жишээ 1 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь "Оросын Лотто" сугалааны нэг сугалааны тасалбараас авсан мөнгөн хожлыг, $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өөр "Алтан түлхүүр" сугалааны тасалбараас авсан мөнгөн хожлыг илэрхийлнэ. Нэг сугалааны тасалбарын хонжвор нь өөр нэг сугалааны тасалбараас хожлын хуваарилалтын хуулиас хамаарахгүй тул санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X,\Y$ нь бие даасан байх нь ойлгомжтой. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X,\Y$ нь ижил сугалааны хожлыг илэрхийлэх юм бол эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай байх нь ойлгомжтой.
Жишээ 2 . Хоёр ажилчин өөр өөр цехэд ажиллаж, үйлдвэрлэлийн технологи, ашигласан түүхий эдээр бие биенээсээ хамааралгүй төрөл бүрийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг. Нэг ээлжинд эхний ажилчны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог хуваарилах хууль дараахь хэлбэртэй байна.
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\ гэмтэлтэй \ бүтээгдэхүүний тоо \ x & 0 & 1 \\
\hline
Магадлал & 0.8 & 0.2 \\
\hline
\end(массив)$
Хоёр дахь ажилтны нэг ээлжинд үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо нь дараахь хуваарилалтын хуулийг дагаж мөрддөг.
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\ гэмтэлтэй \ бүтээгдэхүүний тоо \ y & 0 & 1 \\
\hline
Магадлал & 0.7 & 0.3 \\
\hline
\end(массив)$
Нэг ээлжиндээ хоёр ажилчин үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог хуваарилах хуулийг олъё.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь нэг ээлжинд эхний ажилтны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо, $Y$ нь нэг ээлжинд хоёр дахь ажилтны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо байх болно. Нөхцөлөөр $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байна.
Нэг ээлжинд хоёр ажилчны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X+Y$ байна. Түүний боломжит утгууд нь $0,\1$, $2$ байна. $X+Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн өөрийн утгыг авах магадлалыг олцгооё.
$P\left(X+Y=0\баруун)=P\зүүн(X=0,\Y=0\баруун)=P\зүүн(X=0\баруун)P\зүүн(Y=0\баруун) =0.8\cdot 0.7=0.56.$
$P\зүүн(X+Y=1\баруун)=P\зүүн(X=0,\ Y=1\ эсвэл\ X=1,\ Y=0\баруун)=P\зүүн(X=0\баруун) )P\left(Y=1\баруун)+P\зүүн(X=1\баруун)P\зүүн(Y=0\баруун)=0.8\cdot 0.3+0.2\cdot 0.7 =0.38.$
$P\зүүн(X+Y=2\баруун)=P\зүүн(X=1,\Y=1\баруун)=P\зүүн(X=1\баруун)P\зүүн(Y=1\баруун) =0.2\cdot 0.3=0.06.$
Дараа нь нэг ээлжинд хоёр ажилчин үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог хуваарилах хууль:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\ гэмтэлтэй \ бүтээгдэхүүний тоо & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Магадлал & 0.56 & 0.38 & 0.06\\
\hline
\end(массив)$
Өмнөх жишээн дээр бид $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд дээр үйлдэл хийж, тэдгээрийн $X+Y$ нийлбэрийг олсон. Одоо санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээрх үйлдлүүдийн (нэмэх, ялгах, үржүүлэх) илүү нарийн тодорхойлолтыг өгч, шийдлийн жишээг өгье.
Тодорхойлолт 1. Тогтмол хэмжигдэхүүнтэй $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний $kX$ үржвэр нь $kx_i$-г ижил магадлалтай $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\) авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. \цэгүүд ,\ n\ баруун)$.
Тодорхойлолт 2. $X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр (ялгаа эсвэл бүтээгдэхүүн) нь $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ эсвэл $x_i\cdot y_i$) хэлбэрийн бүх боломжит утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. , $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_i$ утгыг, $Y$ нь $y_j$ утгыг авах $p_(ij)$ магадлалтай:
$$p_(ij)=P\зүүн[\зүүн(X=x_i\баруун)\зүүн(Y=y_j\баруун)\баруун].$$
$X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байдаг тул бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ баруун) = p_i \ cdot p_j $.
Жишээ 3 . $X,\Y$ бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь магадлалын тархалтын хуулиар тодорхойлогддог.
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(массив)$
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(массив)$
$Z=2X+Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг томьёолъё. $X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр, өөрөөр хэлбэл $X+Y$ нь $x_i+y_j$ хэлбэрийн бүх боломжит утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд $i=1,\2 ,\dots ,\ n$ , $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_i$ утгыг, $Y$ $y_j$ утгыг авах $p_(ij)$ магадлалтай: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байдаг тул бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ баруун) = p_i \ cdot p_j $.
Тиймээс $2X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хуультай.
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(массив)$
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(массив)$
$Z=2X+Y$ нийлбэрийн бүх утгууд ба тэдгээрийн магадлалыг олоход хялбар байх үүднээс бид туслах хүснэгтийг зохиож, нүд бүрт нь $ нийлбэрийн утгыг зүүн буланд байрлуулна. Z=2X+Y$, баруун буланд - $2X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний харгалзах утгуудын магадлалыг үржүүлсний үр дүнд олж авсан эдгээр утгуудын магадлал.
Үүний үр дүнд бид $Z=2X+Y$ хуваарилалтыг олж авна:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0.12 & 0.28 & 0.03 & 0.07 & 0.15 & 0.35 \\
\hline
\end(массив)$
