Начальный уровень

Преобразование выражений. Подробная теория (2019)

Преобразование выражений

Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

«Да куда уж проще» - говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.

Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач. Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа (да-да, к черту эти буквы).

Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители. Поэтому сперва, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы « » и « ».

Прочитал? Если да, то теперь ты готов.

Базовые операции упрощения

Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Самый простой из них - это

1. Приведение подобных

Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел. Подобные - это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью. Например, в сумме подобные слагаемые - это и.

Вспомнил?

Привести подобные - значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

А как же нам сложить друг с другом буквы? - спросишь ты.

Это очень легко понять, если представить, что буквы - это какие-то предметы. Например, буква - это стул. Тогда чему равно выражение? Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, стульев: .

А теперь попробуй такое выражение: .

Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы. Например, - это (как обычно) стул, а - это стол. Тогда:

стула стола стул столов стульев стульев столов

Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами . Например, в одночлене коэффициент равен. А в он равен.

Итак, правило приведения подобных:

Примеры:

Приведите подобные:

Ответы:

2. (и подобны, так как, следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).

2. Разложение на множители

Это обычно самая важная часть в упрощении выражений. После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения. Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме « », поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное. Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители):

Решения:

3. Сокращение дроби.

Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?

В этом вся прелесть сокращения.

Все просто:

Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

Это правило вытекает из основного свойства дроби:

То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) числитель и знаменатель разложить на множители

2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

Принцип, я думаю, понятен?

Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить - это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

Например: надо упростить.

Некоторые делают так: , что абсолютно неверно.

Еще пример: сократить.

«Самые умные» сделают так: .

Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: - это множитель, значит можно сокращать.

Но нет: - это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

Вот другой пример: .

Это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на, а потом и на:

Можно и сразу поделить на:

Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным». То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители). Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров :

Ответы:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

Первым действием должно быть разложение на множители:

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители. Давай вспомним:

Ответы:

1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

2. Здесь общий знаменатель равен:

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

Попробуй сам:

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

Это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:

Кстати, есть одна хитрость:

Например: .

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

в степени

в степени

в степени

в степени.

Усложним задание:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Давай вспомним основное свойство дроби:

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить, чтобы получить?

Вот на и домножай. А домножай на:

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями». Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.

Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители:

(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

Еще пример:

Решение:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :

Отлично! Тогда:

Еще пример:

Решение:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

Так и напишем:

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

Усвоил? Сейчас проверим.

Задачи для самостоятельного решения:

Ответы:

Тут надо вспомнить еще одну - разность кубов:

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .

А - это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем - это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы - это один из множителей в разложени разности кубов:

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь - это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на. При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

То, что нужно!

5. Умножение и деление дробей.

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Посчитал?

Должно получиться.

Итак, напоминаю.

Первым делом вычисляется степень.

Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение.

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

2) Получаем:

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Упрости выражение.

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Перво-наперво определим порядок действий. Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна. Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью. Схематически пронумерую действия:

Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:

Напоследок дам тебе два полезных совета:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

И обещанная в самом начале:

Решения (краткие):

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Теперь вперед к обучению!

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Базовые операции упрощения:

• Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
• Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
• Сокращение дроби : числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
  1) числитель и знаменатель разложить на множители
  2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

  ВАЖНО: сокращать можно только множители!

• Сложение и вычитание дробей:
  ;
• Умножение и деление дробей:
  ;

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ

Тождественные преобразования выражений и методика обучения учащихся их выполнению

Исполнитель:

Студентка Стародубова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Введение

1 Основные типы преобразований и этапы их изучения. Этапы освоения применения преобразований

Заключение

Литература

Введение

Простейшие преобразования выражений и формул, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся в начальной школе и 5 и 6 классах. Формирование умений и навыков выполнения преобразований происходит в курсе алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования.

1. Основные типы преобразований и этапы их изучения. Этапы освоения применения преобразований

1. Начала алгебры

Используется нерасчлененная система преобразований, представленная правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы. Цель – достичь беглости в выполнении заданий на решение простейших уравнений, упрощение формул, задающих функции, в рациональном проведении вычислений с опорой на свойства действий.

Типичные примеры:

Решить уравнения:

а) ; б) ; в) .

Тождественное преобразование (а); равносильное и тождественное (б).

2. Формирование навыков применения конкретных видов преобразований

Выводы: формулы сокращенного умножения; преобразования, связанные с возведением в степень; преобразования, связанные с различными классами элементарных функций.

Организация целостной системы преобразований (синтез)

Цель – формирование гибкого и мощного аппарата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий . Переход к этому этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмысления уже известного материала усвоенного по частям, по отдельным типам преобразований к ранее изученным видам добавляют преобразования тригонометрических выражений. Все эти преобразования можно назвать “алгебраическими” к “аналитическим” преобразованиям можно отнести те из них, в основе которых лежат правила дифференцирования и интегрирования и преобразования выражений, содержащих предельные переходы. Отличие этого типа – в характере множества, которое пробегают переменные в тождествах (определенные множества функций).

Изучаемые тождества подразделяются на два класса:

I – тождества сокращенного умножения, справедливые в коммутативном кольце и тождества

справедливого в поле.

II – тождества, связывающие арифметические операции и основные элементарные функции.

2 Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований

Основной принцип организации системы заданий – предъявление их от простого к сложному.

Цикл упражнений – соединение в последовательности упражнений нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. При изучении тождественных преобразований цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие распознавания применимости рассматриваемого тождества . Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях. Задания в каждом цикле разбиты на две группы . К первой относятся задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они служат учебным материалом для нескольких идущих подряд уроков, объединенных одной темой.

Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Эта группа не образует композиционного единства – упражнения здесь разбросаны по различным темам.

Описанные структуры цикла относятся к этапу формирования навыков применения конкретных преобразований.

На этапе синтеза циклы изменяются, происходит объединение групп заданий в сторону усложнения и слияния циклов, относящихся к различным тождествам, что способствует повышению роли действий по распознаванию применимости того или иного тождества.

Пример.

Цикл заданий для тождества:

I группа заданий:

а) представить в виде произведения:

б) Проверить верность равенства:

в) Раскрыть скобки в выражении:

.

г) Вычислить:

д) Разложить на множители:

е) упростить выражение:

.

Ученики только что ознакомились с формулировкой тождества, его записью в виде тождества, доказательством.

Задание а) связано с фиксированием структуры изучаемого тождества, с установлением связи с числовыми множествами (сопоставление знаковых структур тождества и преобразуемого выражения; замещение буквы числом в тождестве). В последнем примере еще предстоит выполнить приведение его к изучаемому виду. В следующих примерах (д и ж) происходит усложнение, вызванное прикладной ролью тождества и усложнением знаковой структуры.

Задания типа б) направлены на формирование навыков замены на . Аналогична роль задания в).

Примеры типа г), в которых требуется выбрать одно из направлений преобразования, завершает развитие этой идеи.

Задания I группы ориентированы на усвоение структуры тождества, операции замещения в простейших, принципиально наиболее важных случаях, и представления об обратимости преобразований, осуществляемых тождеством. Очень важное значение имеет также обогащение языковых средств, показывающих различные аспекты тождества. Представление об этих аспектах дают тексты заданий.

II группа заданий.

ж) Используя тождество при , разложить на множители многочлен .

з) Исключить иррациональность в знаменателе дроби .

и) Доказать что если - нечетное число, то делится на 4.

к) Функция задана аналитическим выражением

.

Избавиться от знака модуля, рассмотрев два случая: , .

л) Решить уравнение .

Эти задания направлены на возможно более полное использование и учет специфики именно данного тождества, предполагают сформированность навыков использования изучаемого тождества для разности квадратов. Цель – углубить понимание тождества за счет рассмотрения разнообразных приложений его в различных ситуациях, в сочетании с использованием материала, относящегося к другим темам курса математики.

или .

Особенности циклов заданий, связанных с тождествами для элементарных функций:

1) они изучаются на базе функционального материала;

2) появляются позже тождества первой группы и изучаются с использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований.

В первую группу заданий цикла должны войти задания на установление связи этих новых числовых областей с исходной областью рациональных чисел.

Пример.

Вычислить:

;

.

Цель таких заданий – освоение особенностей записей, включающих символы новых операций и функций, и в развитии навыков математической речи.

Значительная часть использования тождественных преобразований, связанных с элементарными функциями, приходится на решение иррациональных и транцендетных уравнений. Последовательность шагов:

а) найти функцию φ, для которой данное уравнение f(x)=0 представимо в виде:

б) произвести подстановку y=φ(x) и решить уравнение

в) решить каждое из уравнений φ(x)=y k , где y k -множество корней уравнения F(y)=0.

При использовании описанного способа зачастую шаг б) выполняется в неявном виде, без введения обозначения для φ(x). Кроме того, ученики зачастую предпочитают из различных путей, ведущих к нахождению ответа, выбирать тот, который быстрее и проще приводит к алгебраическому уравнению.

Пример. Решить уравнение 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (шаг а)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (шаг б)

Пример. Решить уравнение:

а) 2 2x -3*2 x +2=0;

б) 2 2x -3*2 x -4=0;

в) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Предложить для самостоятельного решения.)

Классификация заданий в циклах, относящихся к решению транцендетных уравнений, включающих показательную функцию:

1) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида а x =y 0 и имеющие простой, общий по форме ответ:

2) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида а x = а k , где k- целое число, или а x =b, где b≤0.

3) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида а x =y 0 , и требующие явного анализа формы, в которой явно записано число y 0 .

Большую пользу приносят задания, в которых тождественные преобразования используются для построения графиков при упрощении формул, задающих функции.

а) Построить график функции y=;

б) Решить уравнение lgx+lg(x-3)=1

в) на каком множестве формула lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) является тождеством?

Использование тождественных преобразований в вычислениях.(ж. Математика в школе, №4, 1983, стр.45)

Задача№1. Функция задана формулой y=0,3x 2 +4,64x-6. Найдите значения функции при x=1,2

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Задача№2. Вычислите длину катета прямоугольного треугольника, если длина его гипотенузы равна 3,6см, а другого катета- 2,16см.

Задача№3. Какова площадь участка прямоугольной формы, имеющего размеры а) 0,64м и 6,25м; б) 99,8м и 2,6м?

а)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2 ;

б)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Эти примеры позволяют выявить практическое применение тождественных преобразований. Учащегося следует ознакомить с условиями выполнимости преобразования.(см. схемы).

изображение многочлена, где в круглые контуры вписывается любой многочлен.(схема 1)

-

условие выполнимости преобразования произведения одночлена и приведено выражение, допускающее преобразование в разность квадратов. (схема 2)

-

здесь штриховки означают равные одночлены и приведено выражение допускающее преобразование в разность квадратов.(схема 3)

выражение, допускающее вынесение общего множителя.

Сформировать умения учащихся по выявлению условий можно с помощью следующих примеров:

Какие из следующих выражений могут быть преобразованы вынесением общего множителя за скобки:

2)

3) 0,7а 2 +0,2b 2 ;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;

7) 0,21+0,22+0,23.

Большинство вычислений на практике не удовлетворяют условиям выполнимости, поэтому учащимся необходимы навыки приведения их к виду, допускающему вычисления преобразований. В этом случае целесообразны такие задания:

при изучении вынесения общего множителя за скобки:

данное выражение, если это возможно, преобразуйте в выражение, которое изображается схемой 4:

4) 2а*а 2 *а 2 ;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

При формировании понятия «тождественное преобразование» следует помнить, что это означает не только то, что данное и полученное выражение в результате преобразования принимают равные значения при любых значениях входящих в него букв, но и то, что при тождественном преобразовании мы переходим от выражения, определяющего один способ вычисления, к выражению, определяющему другой способ вычисления того же значения.

Можно схему 5(правило преобразования произведения одночлена и многочлена) проиллюстрировать на примерах

0,5a(b+c) или 3,8(0,7+).

Упражнения для изучения вынесения общего множителя за скобки:

Вычислите значение выражения:

а) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

б) a+bc при a=0,96; b=4,8; c=9,8.

в) a(a+c)-c(a+b) при a=1,4; b=2,8; c=5,2.

Проиллюстрируем на примерах формирование умений и навыков в вычислениях и тождественных преобразованиях.(ж. Математика в школе, №5, 1984, стр.30)

1) умения и навыки быстрее усваиваются и дольше сохраняются, если их формирование происходит на сознательной основе (дидактический принцип сознательности).

1) Можно сформулировать правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями или предварительно на конкретных примерах рассмотреть суть сложения одинаковых долей.

2) При разложении на множители вынесением общего множителя за скобки важно увидеть этот общий множитель и затем применить распределительный закон. При выполнении первых упражнений полезно каждое слагаемое многочлене записать в виде произведения, один из множителей которого- общий для всех слагаемых:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Особенно полезно так поступать, когда за скобки выносится один из одночленов многочлена:

II. Первый этап формирования навыка – овладение умением (упражнения выполняются с подробными объяснениями и записями)

(первым решается вопрос о знаке)

Второй этап – этап автоматизации умения путем исключения некоторых промежуточных операций

III. Прочность навыков достигается решением разнообразных как по содержанию, так и по форме, примеров.

Тема: “Вынесение общего множителя за скобки”.

1. Запишите вместо многочлена недостающий множитель:

2. Разложите на множители так, чтобы перед скобками был множителем одночлен с отрицательным коэффициентом:

3. Разложите на множители так, чтобы многочлен в скобках имел целые коэффициенты:

4. Решите уравнение:

IV. Формирование навыков наиболее эффективно в случае устного выполнения некоторых промежуточных вычислений или преобразований.

(устно);

V. Формируемые навыки и умения должны входить в ранее сформированную систему знаний, умений и навыков учащихся.

Например, при обучении разложению многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения предлагаются такие упражнения:

Разложить на множители:

VI. Необходимость рационального выполнения вычислений и преобразований.

в) упростить выражение:

Рациональность заключается в раскрытии скобок, т.к.

VII. Преобразование выражений, содержащих степень.

№1011 (Алг.9) Упростить выражение:

№1012 (Алг.9) Вынести множитель из-под знака корня:

№1013 (Алг.9) Внести множитель под знак корня:

№1014 (Алг.9) Упростить выражение:

Во всех примерах предварительно выполнить либо разложение на множители, либо вынесение общего множителя, либо “увидеть” соответствующую формулу сокращения.

№1015 (Алг.9) Сократить дробь:

Многие учащиеся испытывают некоторые затруднения в преобразовании выражений, содержащих корни, в частности при исследовании равенства:

Поэтому, либо подробно расписывают выражения вида или либо перейти к степени с рациональным показателем.

№1018 (Алг.9) Найти значение выражения:

№1019 (Алг.9) Упростить выражение:

2.285 (Сканави) Упростить выражение

а затем построить график функции y для

№2.299 (Сканави) Проверить справедливость равенства:

Преобразование выражений, содержащих степень, представляет собой обобщение полученных навыков и умений, при изучении тождественных преобразований многочленов.

№2.320 (Сканави) Упростить выражение:

В курсе «Алгебра 7» даны следующие определения.

Опр. Два выражения, соответственные значения которых равны при значениях переменных, называются тождественно равными.

Опр. Равенство, верно при любых значениях переменных наз. тождеством.

№94(Алг.7) Является ли тождеством равенство:

a)

c)

d)

Описание опр-ние: Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

№ (Алг.7) Среди выражений

найдите те, которые тождественно равны .

Тема: «Тождественные преобразования выражений» (методика вопроса)

Первая тема «Алгебры-7»-«Выражения и их преобразования» помогает закрепить вычислительные навыки, приобретённые в 5-6 классах, систематизировать и обобщить сведения о преобразованиях выражений и решений уравнений.

Нахождение значений числовых и буквенных выражений даёт возможность повторить с учащимися правила действия с рациональными числами. Умения выполнять арифметические действия с рациональными числами являются опорными для всего курса алгебры.

При рассмотрении преобразований выражений формально – оперативные умения остаются на том же уровне, который был достигнут в 5-6 классах.

Однако здесь учащиеся поднимаются на новую ступень в овладении теорией. Вводятся понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования выражений», содержание которых будет постоянно раскрываться и углубляться при изучении преобразований различных алгебраических выражений. Подчёркивается, что основу тождественных преобразований составляют свойства действий над числами.

При изучении темы «Многочлены» формируются формально-оперативные умения тождественных преобразований алгебраических выражений. Формулы сокращённого умножения способствуют дальнейшему процессу формирования умений выполнять тождественные преобразования целых выражений, умение применять формулы как для сокращённого умножения, так и для разложения многочленов на множители используется не только в преобразовании целых выражений, но и в действиях с дробями, корнями, степенями с рациональным показателем.

В 8-м классе приобретённые навыки тождественных преобразований отрабатываются на действиях с алгебраическими дробями, квадратным корнем и выражениями, содержащие степени с целым показателем.

В дальнейшем приёмы тождественных преобразований отражаются на выражениях, содержащих степень с рациональным показателем.

Особую группу тождественных преобразований составляют тригонометрические выражения и логарифмические выражения.

К обязательным результатам обучения за курс алгебры в 7-9 классах относятся:

1) тождественные преобразования целых выражений

a) раскрытие скобок и заключение в скобки;

b) приведение подобных членов;

c) сложение, вычитание и умножение многочленов;

d) разложение многочленов на множители при помощи вынесения общего множителя за скобки и формул сокращённого умножения;

e) разложение квадратного трёхчлена на множители.

«Математика в школе» (Б.У.М.) стр.110

2) тождественные преобразования рациональных выражений: сложение, вычитание, умножение и деление дробей, а также применять перечисленные умения при выполнении несложных комбинированных преобразований [стр. 111]

3) учащиеся должны уметь выполнять преобразования несложных выражений, содержащих степени и корни. (стр. 111-112)

Были рассмотрены основные типы задач, умение решать которых позволяют получить ученику положительную оценку.

Одной из самой важных сторон методики изучения тождественных преобразований является развитие учащимся целей выполнения тождественных преобразований.

1) - упрощение численного значения выражения

2) какое из преобразований следует выполнить: (1) или (2) Разбор этих вариантов является мотивировкой (предпочтительнее (1), т.к. в (2) происходит сужение области определения)

3) Решить уравнение:

Разложение на множители при решении уравнений.

4) Вычислить:

Применим формулу сокращённого умножения:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Найти значение выражения:

Для нахождения значения домножим каждую дробь на сопряжённый:

6) Построить график функции:

Выделим целую часть: .

Предупреждение ошибок при выполнении тождественных преобразований может быть получено путём варьирования примеров выполнения их. В этом случае отрабатываются «мелкие» приёмы которые как составные части входят в более объёмный процесс преобразования.

Например:

В зависимости от направлений уравнения можно рассмотреть несколько задач: справа налево умножение многочленов; слева направо -разложение на множители. Левая часть кратна одному из сомножителей в правой части и т.д.

Кроме варьирования примеров, можно воспользоваться проведением апологии между тождествами и числовыми равенствами.

Следующий приём – объяснение тождеств.

Для повышения интереса учащихся можно отнести отыскание различных способов решения задач.

Уроки по изучению тождественных преобразований станут интереснее, если их посвятить поиску решения задачи .

Например: 1) сократить дробь:

3) доказать формулу «сложного радикала»

Рассмотрим:

Преобразуем правую часть равенства:

-

сумма сопряжённых выражений. Их можно было бы домножить и разделить на сопряжённый, но такая операция приведет нас к дроби, знаменатель которой есть разность радикалов.

Заметим, что первое слагаемое в первой части тождества есть число большее, чем второе, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

Практическое занятие №3.

Тема: Тождественные преобразования выражений (методика вопроса).

Литература: ”Практикум по МПМ”, стр. 87-93.

Признаком высокой культуры вычислений и тождественных преобразований у учащихся являются прочные знания свойств и алгоритмов операций над точными и приближенными величинами и умелое их применение; рациональные приемы вычислений и преобразований и их проверка; умение обосновать применение приемов и правил вычислений и преобразований, автоматизм навыков безошибочного выполнения вычислительных операций.

С какого класса необходимо начать с учащимися работу по выработке перечисленных навыков?

Линия тождественных преобразований выражений начинается с применения приемов рационального вычисления начинается с применения приемов рационального вычисления значений числовых выражений. (5 класс)

При изучении таких тем школьного курса математики надо уделять им особое внимание!

Сознательному выполнению учащимися тождественных преобразований способствует понимание того факта, что алгебраические выражения существуют не сами по себе, а в неразрывной связи с некоторым числовым множеством, являются обобщенными записями числовых выражений. Аналогии между алгебраическими и числовыми выражениями (и преобразованиями их) законны в логическом отношении, использование их в обучении способствует предупреждению ошибок у учащихся.

Тождественные преобразования не являются какой-либо отдельной темой школьного курса математики, они изучаются на протяжении всего курса алгебры и начал математического анализа.

Программа по математике 1-5 класса представляет собой пропедевтический материал для изучения тождественных преобразований выражений с переменной.

В курсе алгебры 7 кл. вводятся определение тождества и тождественных преобразований.

Опр. Два выражения соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, наз. тождественно равными.

Опр . Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Ценность тождества состоит в том, что оно позволяет данное выражение заменить другим, тождественно равным ему.

Опр. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Основой тождественных преобразований можно считать равносильные преобразования.

Опр . Два предложения, каждое из которых является логическим следствием другого, наз. равносильными.

Опр . Предложение с переменными А наз. следствием предложения с переменными В , если область истинности В есть подмножество области истинности А.

Можно дать другое определение равносильных предложений: два предложения с переменными равносильны, если их области истинности совпадают.

а) В: x-1=0 над R; А: (x-1) 2 над R => A~B, т.к. области истинности (решения) совпадают (x=1)

б) А: х=2 над R; В: х 2 =4 над R => область истинности А: х=2; область истинности В: х=-2, х=2; т.к. область истинности А содержится в В, то: х 2 =4 следствие предложения х=2.

Основой тождественных преобразований является возможность представление одного и того же числа в разных формах. Например,

-

такое представление поможет при изучении темы “основные свойства дроби”.

Навыки в выполнении тождественных преобразований начинают формироваться при решении примеров, аналогичных следующему: “Найти числовое значение выражения 2а 3 +3аb+b 2 при а=0,5, b=2/3 ”, которые предлагаются учащимся в 5 классе и позволяют осуществить пропедевтику понятия функция.

Изучая формулы сокращенного умножения следует уделять внимание их глубокому пониманию и прочному усвоению. Для этого можно воспользоваться следующей графической иллюстрацией:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Вопрос: Как объяснить учащимся суть приведенных формул по данным чертежам?

Распространенной ошибкой является смешение выражений “квадрат суммы” и “ сумма квадратов”. Указание учителя на то, что эти выражения различаются порядком действия, не кажется существенным, так как учащиеся считают, что эти действия производятся над одними и теми же числами и поэтому от перемены порядка действий результат не изменяется.

Задание: Составьте устные упражнения для выработки у учащихся навыков безошибочного использования названных формул. Как объяснить, чем похожи эти два выражения и чем они друг от друга отличаются?

Большое разнообразие тождественных преобразований затрудняет ориентацию учащихся в том, с какой целью они выполняются. Нечеткое знание цели выполнения преобразований (в каждом конкретном случае) отрицательно сказывается на их осознании, служит источником массовых ошибок учащихся. Это говорит о том, что разъяснение учащимся целей выполнении различных тождественных преобразований является важной составной частью методики их изучения.

Примеры мотивировок тождественных преобразований:

1. упрощение нахождения числового значения выражения;

2. выбор преобразования уравнения, не приводящего к потере корня;

3. при выполнении преобразования можно отметить его область вычислений;

4. использование преобразований при вычислении, например, 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Для управления процессом решения учителю важно обладать умением давать точную характеристику сущности допущенной учащимся ошибки. Точная характеристика ошибки является ключом к правильному выбору последующих действий, предпринимаемых учителем.

Примеры ошибок учащихся:

1. выполняя умножение: ученик получил -54abx 6 (7 кл.);

2. выполняя возведение в степень (3х 2) 3 ученик получил 3х 6 (7 кл.);

3. преобразуя (m+n) 2 в многочлен, ученик получил m 2 +n 2 (7 кл.);

4. сокращая дробь ученик получил (8 кл.);

5. выполняя вычитание: , ученик записывает (8 кл.)

6. представляя дробь в виде дробей, ученик получил: (8 кл.);

7. извлекая арифметический корень ученик получил х-1 (9кл.);

8. решая уравнение (9кл.);

9. преобразовывая выражение , ученик получает: (9 кл.).

Заключение

Изучение тождественных преобразований проводится в тесной связи с числовыми множествами, изучаемыми в том или ином классе.

На первых порах следует просить учащегося объяснять каждый шаг преобразования, сформировать те правила и законы, которые применяются.

В тождественных преобразованиях алгебраических выражений используются два правила: подстановки и замены равным. Наиболее часто используется подстановка, т.к. на ней основан счёт по формулам, т.е. найти значение выражения a*b при a=5 и b=-3. Очень часто учащиеся пренебрегают скобками при выполнении действия умножения, считая что знак умножения подразумевается. Например, возможна такая запись: 5*-3.

Литература

1. А.И. Азаров, С.А. Барвенов «Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач»,Мн..Аверсэв, 2004

2. О.Н. Пирютко «Типичные ошибки на централизованном тестировании», Мн..Аверсэв, 2006

3. А.И. Азаров, С.А. Барвенов «Задачи-ловушки на централизованном тестировании»,Мн..Аверсэв, 2006

4. А.И. Азаров, С.А. Барвенов «Методы решения тригонометрических задач», Мн..Аверсэв, 2005

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели урока:

• Усовершенствовать умения применять ранее полученные знания для подготовки к ГИА в 9 классе.
• Научить умению анализировать, творчески подходить к поставленной задаче.
• Воспитывать культуру и оперативность мышления, познавательный интерес к математике.
• Помочь учащимся подготовиться к ГИА.

• Систематизировать теоретические знания учащихся.
• Усилить практическую направленность данной темы при подготовке к ГИА.
• Формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения.

Оборудование: мультимедийный проектор, рабочие листки с заданиями, часы.

План урока: 1. Организационный момент.

1. Актуализация знаний.
2. Отработка теоретического материала.
3. Итог урока.
4. Домашнее задание.

1) Приветствие учителя.

Криптография – наука о способах преобразования (шифрования) информации с целью ее защиты от незаконных пользователей. Один из таких способов называется “решетка”. Он принадлежит к числу к числу сравнительно простых и тесно связан с арифметикой, но такой, которая в школе не изучается. Образец решетки перед вами. Кто-нибудь догадается, как им пользоваться.

– разгадка послания.

“Все, что перестает удаваться, перестает и привлекать”.

Франсуа Ларашфуко.

2) Сообщения темы урока, целей урока, плана урока.

– слайды в презентации.

II. Актуализация знаний.

1) Устная работа.

1. Числа. Какие числа вы знаете?

– натуральные – это числа 1,2,3,4… которые употребляются при счете

– целые – это числа …-4,-3,-2,-1,0,1, 2… натуральные, противоположные им и число 0.

– рациональные – это числа целые и дробные числа

– иррациональные – это бесконечные десятичные непериодические дроби

– действительные – это рациональные и иррациональные.

2. Выражения. Какие выражения вы знаете?

– числовые – это выражения, состоящие из чисел, соединенных знаками арифметических действий.

– буквенные – это выражение, содержащее некоторые переменные величины, числа и знаки действий.

– целые – это выражения, состоящие из чисел и переменных с использованием действий сложения, вычитания, умножения и деления на число.

– дробные – это целые выражения с использованием деления на выражение с переменной.

3. Преобразования. Какие основные свойства используются при выполнении преобразований?

– переместительное – для любых чисел а и в верно: а+в=в+а, ав=ва

– сочетательное – для любых чисел а, в, с верно: (а+в)+с=а+(в+с),(ав)с=а(вс)

– распределительное – для любых чисел а, в, с верно: а(в+с)=ав+ас

4. Выполните:

– расположите в порядке возрастания числа: 0,0157; 0,105; 0,07

– расположите числа в порядке убывания: 0,0216; 0,12; 0,016

– одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу v68. Какая это точка?

– какой точке соответствуют числа

– на координатной прямой отмечены числа а и в. Какое из следующих утверждений является верным?

III. Отработка теоретического материала.

1. Работа в тетрадях, у доски.

У каждого обучающего есть рабочий листок, где записаны задания для работы в тетрадях, на уроке. В правом столбце этого листка задания для работы на уроке, а в левом столбце – домашняя работа.

Для работы у доски выходят ученики.

Задание №1. В каком случае выражение преобразовано в тождественное равное.

Задание №3. Разложите на множители:

а 3 – ав – а 2 в + а 2 ; х 2 у – х 2 -у +х 3 .

2х+ у + у 2 – 4х 2 ; а – 3в +9в 2 -а 2 .

2. Самостоятельная работа.

На рабочих листах у вас есть самостоятельная работа, внизу после текста есть таблица, в нее вы заносите число под правильным ответом. На выполнение работы – 7 минут.

Тест “Числа и преобразования”

1. Запишите 0,00019 в стандартном виде.

1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу

3. О числах а и в известно, что а>0, в>0, а>4в. Какое из следующих неравенств неверно?

1) а-2а>-3в; 2) 2а>8в; 3) а/4>в-2; 4) а+3>в+1.

4.Найдите значение выражения: (6х – 5у):(3х+у), если х=1,5 а у=0,5.

1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.

5.В какое из приведенных выражений можно преобразовать выражение (7 – х)(х – 4)?

1)– (7 –х)(4 – х); 2) (7 – х)(4 – х);

3) – (х – 7)(4 – х); 4) (х – 7)(х-4).

6. Итог урока.

Сегодня на уроке вы решали задания подобранные из сборников для подготовки к ГИА. Это малая часть того, что нужно повторить для отличной сдачи экзамена.

– Урок закончен. Что вам полезного принес урок?

“Эксперт – это, человек, который больше уже не думает, он знает”. Френк Хаббард.

7. Домашняя работа

На листочках задания для выполнения дома.

Числовые и алгебраические выражения. Преобразование выражений.

Что такое выражение в математике? Зачем нужны преобразования выражений?

Вопрос, как говорится, интересный... Дело в том, что эти понятия - основа всей математики. Вся математика состоит из выражений и их преобразований. Не очень понятно? Поясню.

Допустим, перед вами злой пример. Очень большой и очень сложный. Допустим, вы сильны в математике и ничего не боитесь! Сможете сразу дать ответ?

Вам придётся решать этот пример. Последовательно, шаг за шагом, этот пример упрощать . По определённым правилам, естественно. Т.е. делать преобразование выражений . Насколько успешно вы проведёте эти преобразования, настолько вы и сильны в математике. Если вы не умеете делать правильные преобразования, в математике вы не сможете сделать ни-че-го ...

Во избежание такого неуютного будущего (или настоящего...), не мешает разобраться в этой теме.)

Для начала выясним, что такое выражение в математике . Что такое числовое выражение и что такое алгебраическое выражение.

Что такое выражение в математике?

Выражение в математике - это очень широкое понятие. Практически всё то, с чем мы имеем дело в математике - это набор математических выражений. Любые примеры, формулы, дроби, уравнения и так далее - это всё состоит из математических выражений .

3+2 - это математическое выражение. с 2 - d 2 - это тоже математическое выражение. И здоровущая дробь, и даже одно число - это всё математические выражения. Уравнение, например, вот такое:

5х + 2 = 12

состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства. Одно выражение - слева, другое - справа.

В общем виде термин "математическое выражение " применяется, чаще всего, чтобы не мычать. Спросят вас, что такое обыкновенная дробь, например? И как ответить?!

Первый вариант ответа: "Это... м-м-м-м... такая штука... в которой... А можно я лучше напишу дробь? Вам какую?"

Второй вариант ответа: "Обыкновенная дробь - это (бодро и радостно!) математическое выражение , которое состоит из числителя и знаменателя!"

Второй вариант как-то посолидней будет, правда?)

Вот в этих целях фраза "математическое выражение " очень хороша. И правильно, и солидно. Но для практического применения надо хорошо разбираться в конкретных видах выражений в математике .

Конкретный вид- это другое дело. Это совсем другое дело! У каждого вида математических выражений есть свой набор правил и приёмов, который необходимо использовать при решении. Для работы с дробями - один набор. Для работы с тригонометрическими выражениями - второй. Для работы с логарифмами - третий. И так далее. Где-то эти правила совпадают, где-то - резко отличаются. Но не пугайтесь этих страшных слов. Логарифмы, тригонометрию и прочие загадочные вещи мы будем осваивать в соответствующих разделах.

Здесь мы освоим (или - повторим, кому как...) два основных вида математических выражений. Числовые выражения и алгебраические выражения.

Числовые выражения.

Что такое числовое выражение ? Это очень простое понятие. Само название намекает, что это выражение с числами. Да, так оно и есть. Математическое выражение, составленное из чисел, скобок и знаков арифметических действий называется числовым выражением.

7-3 - числовое выражение.

(8+3,2)·5,4 - тоже числовое выражение.

И вот этот монстр:

тоже числовое выражение, да...

Обычное число, дробь, любой пример на вычисление без иксов и прочих букв - всё это числовые выражения.

Главный признак числового выражения - в нём нет букв . Никаких. Только числа и математические значки (если надо). Всё просто, правда?

И что можно делать с числовыми выражениями? Числовые выражения, как правило, можно считать. Для этого приходится, бывает, раскрывать скобки, менять знаки, сокращать, менять местами слагаемые - т.е. делать преобразования выражений . Но об этом чуть ниже.

Здесь же мы разберёмся с таким забавным случаем, когда с числовым выражением ничего делать не надо. Ну вот совсем ничего! Эта приятная операция - ничего не делать) - выполняется, когда выражение не имеет смысла .

Когда числовое выражение не имеет смысла?

Понятное дело, если мы видим перед собой какую-то абракадабру, типа

то делать ничего и не будем. Так как непонятно, что с этим делать. Бессмыслица какая-то. Разве что, посчитать количество плюсиков...

Но бывают внешне вполне благопристойные выражения. Например такое:

(2+3) : (16 - 2·8)

Однако, это выражение тоже не имеет смысла ! По той простой причине, что во вторых скобочках - если посчитать - получается ноль. А на ноль делить нельзя! Это запретная операция в математике. Стало быть, с этим выражением тоже ничего делать не надо. При любом задании с таким выражением, ответ будет всегда один: "Выражение не имеет смысла!"

Чтобы дать такой ответ, пришлось, конечно, посчитать, что в скобочках будет. А иногда в скобочках такого понаворочено... Ну тут уж ничего не поделаешь.

Запретных операций в математике не так уж много. В этой теме - всего одна. Деление на ноль. Дополнительные запреты, возникающие в корнях и логарифмах обсуждаются в соответствующих темах.

Итак, представление о том, что такое числовое выражение - получили. Понятие числовое выражение не имеет смысла - осознали. Едем дальше.

Алгебраические выражения.

Если в числовом выражении появляются буквы - это выражение становится... Выражение становится... Да! Оно становится алгебраическим выражением . Например:

5а 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (а+b) 2 ; ...

Ещё такие выражения называют буквенными выражениями. Или выражениями с переменными. Это, практически, одно и то же. Выражение 5а +с , к примеру - и буквенное, и алгебраическое, и выражение с переменными.

Понятие алгебраическое выражение - более широкое, чем числовое. Оно включает в себя и все числовые выражения. Т.е. числовое выражение - это тоже алгебраическое выражение, только без букв. Всякая селёдка - рыба, но не всякая рыба - селёдка...)

Почему буквенное - понятно. Ну, раз буквы есть... Фраза выражение с переменными тоже не сильно озадачивает. Если понимать, что под буквами скрываются числа. Всякие числа могут скрываться под буквами... И 5, и -18, и всё, что угодно. Т.е букву можно заменять на разные числа. Поэтому буквы и называются переменными .

В выражении у+5 , например, у - переменная величина. Или говорят просто "переменная" , без слова "величина". В отличие от пятёрки, которая - величина постоянная. Или просто - постоянная .

Термин алгебраическое выражение означает, что для работы с данным выражением нужно использовать законы и правила алгебры . Если арифметика работает с конкретными числами, то алгебра - со всеми числами разом. Простой пример для пояснения.

В арифметике можно записать, что

А вот если мы подобное равенство запишем через алгебраические выражения:

а + b = b + a

мы сразу решим все вопросы. Для всех чисел махом. Для всего бесконечного количества. Потому, что под буквами а и b подразумеваются все числа. И не только числа, но даже и другие математические выражения. Вот так работает алгебра.

Когда алгебраическое выражение не имеет смысла?

Про числовое выражение всё понятно. Там на ноль делить нельзя. А с буквами, разве можно узнать, на что делим?!

Возьмём для примера вот такое выражение с переменными:

2: (а - 5)

Имеет оно смысл? Да кто ж его знает? а - любое число...

Любое-то любое... Но есть одно значение а , при котором это выражение точно не имеет смысла! И что это за число? Да! Это 5! Если переменную а заменить (говорят - "подставить") на число 5, в скобочках ноль получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение не имеет смысла , если а = 5 . Но при других-то значениях а смысл имеется? Другие числа подставлять-то можно?

Конечно. Просто в таких случаях говорят, что выражение

2: (а - 5)

имеет смысл для любых значений а , кроме а = 5 .

Весь набор чисел, которые можно подставлять в заданное выражение, называется областью допустимых значений этого выражения.

Как видите, ничего хитрого нет. Смотрим на выражение с переменными, да соображаем: при каком значении переменной получается запретная операция (деление на ноль)?

А потом обязательно смотрим на вопрос задания. Чего спрашивают-то?

не имеет смысла , наше запретное значение и будет ответом.

Если спрашивают, при каком значении переменной выражение имеет смысл (почувствуйте разницу!), ответом будут все остальные числа , кроме запретного.

Зачем нам смысл выражения? Есть он, нет его... Какая разница?! Дело в том, что это понятие становится очень важным в старших классах. Крайне важным! Это основа для таких солидных понятий, как область допустимых значений или область определения функции. Без этого вы вообще не сможете решать серьёзные уравнения или неравенства. Вот так.

Преобразование выражений. Тождественные преобразования.

Мы познакомились с числовыми и алгебраическими выражениями. Поняли, что означает фраза "выражение не имеет смысла". Теперь надо разобраться, что такое преобразование выражений. Ответ прост, до безобразия.) Это любое действие с выражением. И всё. Вы эти преобразования делали с первого класса.

Возьмём крутое числовое выражение 3+5. Как его можно преобразовать? Да очень просто! Посчитать:

Вот этот расчёт и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:

Тут мы вообще ничего не считали. Просто записали выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать вот так:

И это тоже - преобразование выражения. Таких преобразований можно понаделать сколько хочешь.

Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. И все дела. Всё очень просто. Но есть здесь одно очень важное правило. Настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики. Нарушение этого правила неизбежно приводит к ошибкам. Вникаем?)

Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, вот так:

Преобразование? Конечно. Мы же записали выражение в другом виде, что здесь не так?

Всё не так.) Дело в том, что преобразования "как попало" математику не интересуют вообще.) Вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Три плюс пять можно записать в каком угодно виде, но это должно быть восемь.

Преобразования, не меняющие сути выражения называются тождественными.

Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, превращать сложный пример в простое выражение, сохраняя суть примера. Если в цепочке преобразований мы ошибёмся, сделаем НЕ тождественное преобразование, дальше мы будем решать уже другой пример. С другими ответами, которые не имеют отношения к правильным.)

Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.

Пример с числовыми выражением 3+5 я привёл для наглядности. В алгебраических выражениях тождественные преобразования даются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:

a(b+c) = ab + ac

Значит, мы в любом примере можем вместо выражения a(b+c) смело написать выражение ab + ac . И наоборот. Это тождественное преобразование. Математика предоставляет нам выбор из этих двух выражений. А уж какое из них писать - от конкретного примера зависит.

Ещё пример. Одно из из самых главных и нужных преобразований - это основное свойство дроби. Подробнее можно по ссылке посмотреть, а здесь просто напомню правило: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится. Вот вам пример тождественных преобразований по этому свойству:

Как вы, наверняка, догадались, эту цепочку можно продолжать до бесконечности...) Очень важное свойство. Именно оно позволяет превращать всякие монстры-примеры в белые и пушистые.)

Формул, задающих тождественные преобразования, - много. Но самых главных - вполне разумное количество. Одно из базовых преобразований - разложение на множители. Оно используется во всей математике - от элементарной до высшей. С него и начнём. В следующем уроке.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Девиз урока: м

Тип урока:

Цели:

Задачи:

Ход урока

1. Организационный момент.

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает,

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

2.

(числовые и буквенные)

3. . Актуализация знаний.

1) Правила раскрытия скобок.

2) 1. Правило умножения одночлена на многочлен.

Найдите и исправьте ошибку:

( )

Найдите и исправьте ошибку:

( )

3)

Задания Ответы

4) Разложение на множители.

Б) способ группировки;

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА!!!

а) Сокращение дроби

б) Сумма и разность дробей.

4. Закрепление материала.

Задание.

5. Итоги.Рефлексия.

6. Домашние задание.

Просмотр содержимого документа
«Повторение: выражения и их преобразования»

Тема: «Повторение: выражения и их преобразования»

Девиз урока: м атематику нельзя изучать, наблюдая как это делает сосед.

Тип урока: закрепление и обобщение изученного материала.

Цели: а) систематизировать знания учащихся за курс алгебры 7-9 класс, обобщить их знания и умения по данной теме, вспомнить и закрепить методы работы с алгебраическими выражениями: правила раскрытия скобок, правила умножения одночлена на многочлен и многочлена на многочлен, формулы сокращенного умножения, разложение многочлена на множители, действия над рациональными дробями;

б) воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям, дисциплинированности;

в) развитие аналитического и синтезирующего мышления, умений применять знания на практике, аккуратности, точности выполнения действий, самостоятельности.

Задачи: вспомнить и применить при решении тренировочных упражнений вышеперечисленные правила работы с алгебраическими выражениями.

Ход урока

Организационный момент.

Поэт Роман Сеф в шутливой форме писал:

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает,

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

Мы сегодня скучать не будем. Согласны? Запишите в тетрадях дату, классная работа и тему урока «Выражения и их преобразования».

Постановка целей и задач урока.

Посмотрите внимательно на тему урока.

Какие виды выражений вы знаете? (числовые и буквенные)

А какие их преобразования вам знакомы? (правила раскрытия скобок, правила умножения одночлена на многочлен и многочлена на многочлен, формулы сокращенного умножения, разложение многочлена на множители, действия над рациональными дробями)

Так какова цель сегодняшней нашей работы? (вспомнить и закрепить методы работы с алгебраическими выражениями)

Таким образом, мы с вами систематизируем и обобщим знания и умения по данной теме за курс алгебры 7-9 класса в целом.

Повторение учебного материала . Актуализация знаний.

1) Правила раскрытия скобок.

Одним из видов преобразования выражения является раскрытие скобок. Бывает удобно перейти от выражения со скобками к тождественно равному выражению, которое уже не содержит этих скобок.

Сформулируйте, пожалуйста, правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+»: если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

Сформулируйте теперь правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «−»: если перед скобками стоит знак «−», то скобки опускаются, а слагаемые в скобках меняют свой знак на противоположный.

2) 1. Правило умножения одночлена на многочлен.

Давайте вспомним правило умножения одночлена на многочлен: чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Найдите и исправьте ошибку:

()

2. Правило умножения многочлена на многочлен.

Напомните, пожалуйста, правило умножения многочлена на многочлен: чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Найдите и исправьте ошибку:

()

3) Формулы сокращенного умножения.

Подошла очередь вспомнить формулы сокращенного умножения. Заполните пропуски в формулах.

А теперь выполним следующее задание. Соедините линиями задания и ответы.

Задания Ответы

4) 4)

6) 6)

7) 7)

Ключ: 1-2; 2-4; 3-3; 4-6; 5-7; 6-5; 7-1.

Если выполнили правильно, то поставьте «+», если же допустили ошибку, то «-» и исправьте ошибку.

Поднимите руку, кто выполнил все правильно. А где допустили ошибки?

4) Разложение на множители.

Посмотрите внимательно на примеры, записанные на доске. Ответьте на вопрос: что общего в приведенных ниже примерах?

Ответ: в ответах получаются произведения.

Так что же называется разложением на множители?

Ответ: представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложением на множители.

Назовите, исходя из данных примеров, методы разложения многочлена на множители:

А) вынесение общего множителя за скобки;

Б) способ группировки;

В) с помощью формул сокращенного умножения;

Г) формула разложения на множители квадратного трехчлена.

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА!!!

5) Действия над рациональными дробями.

А сейчас я предлагаю поиграть в математическое лото. Работаем в парах. Вам надо подобрать, соединить правило и соответствующий ему пример.

а) Сокращение дроби

б) Сумма и разность дробей.

в) Произведение и частное дробей.

Проверим следующим образом. Я показываю пример, а вы озвучиваете соответствующее правило.

Таким образом, мы повторили теоретический материал и переходим практической части.

Закрепление материала.

Задание. Вставьте вместо пропусков такие одночлены или знаки, чтобы полученное равенство было тождеством:

Итоги.Рефлексия.

Как говорит Евгений Доманский: «Тот, кто сумел отрефлексировать действительность, тот и получает преимущества в движении вперед.» Поэтому мы тоже проведем рефлексию.

Вернемся к началу нашего урока. Посмотрите на цель урока. Мы ее достигли? Достигли, потому что…

Домашние задание.

Откройте, пожалуйста, дневники и запишите домашнее задание:

В 69, 70 (9) (сборник экзаменационных заданий)

Задание. Рассмотреть решение примера и найти ошибки:

Правильное решение оформить на доске: