Функции комплексной переменной.
Дифференцирование функций комплексной переменной.

Данная статья открывает серию уроков, на которых я рассмотрю типовые задачи, связанные с теорией функций комплексной переменной. Для успешного освоения примеров необходимо обладать базовыми знаниями о комплексных числах. В целях закрепления и повторения материала достаточно посетить страницу . Также потребуются навыки нахождения частных производных второго порядка . Вот они какие, эти частные производные… даже сам сейчас немного удивился, насколько часто встречаются…

Тема, которую мы начинаем разбирать, не представляет особых сложностей, и в функциях комплексной переменной, в принципе, всё понятно и доступно. Главное, придерживаться основного правила, которое выведено мной опытным путём. Читайте дальше!

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной , то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительные значения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Пример 1

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде

Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Пример 2

Найти действительную и мнимую часть функции

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной.

У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана :

Только в этом случае будет существовать производная!

Пример 3

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как , то:

Таким образом:

– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

2) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные :

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия :

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Существуют еще два способа нахождения производной, они, конечно, применяются реже, но информация будет полезна для понимания второго урока – Как найти функцию комплексной переменной?

Производную можно найти по формуле:

В данном случае:

Таким образом

Предстоит решить обратную задачу – в полученном выражении нужно вычленить . Для того, чтобы это сделать, необходимо в слагаемых и вынести за скобку:

Обратное действие, как многие заметили, выполнять несколько труднее, для проверки всегда лучше взять выражение и на черновике либо устно раскрыть обратно скобки, убедившись, что получится именно

Зеркальная формула для нахождения производной:

В данном случае: , поэтому:

Пример 4

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Краткое решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Всегда ли выполняются условия Коши-Римана? Теоретически они чаще не выполняются, чем выполняются. Но в практических примерах я не припомню случая, чтобы они не выполнялись =) Таким образом, если у вас «не сошлись» частные производные, то с очень большой вероятностью можно сказать, что вы где-то допустили ошибку.

Усложним наши функции:

Пример 5

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить

Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавится новый пунктик: нахождение производной в точке. Для куба нужная формула уже выведена:

Определим действительную и мнимую части данной функции:

Внимание и еще раз внимание!

Так как , то:


Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Проверка второго условия:

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция является дифференцируемой:

Вычислим значение производной в требуемой точке:

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,

Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления:

Пример 6

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить .

Решение и образец чистового оформления в конце урока.

В теории комплексного анализа определены и другие функции комплексного аргумента: экспонента, синус, косинус и т.д. Данные функции обладают необычными и даже причудливыми свойствами – и это действительно интересно! Очень хочется рассказать, но здесь, так уж получилось, не справочник или учебник, а решебник, поэтому я рассмотрю ту же задачу с некоторыми распространенными функциями.

Сначала о так называемых формулах Эйлера :

Для любого действительного числа справедливы следующие формулы:

Тоже можете переписать в тетрадь в качестве справочного материала.

Строго говоря, формула всего одна, но обычно для удобства пишут и частный случай с минусом в показателе. Параметр не обязан быть одинокой буковкой, в качестве может выступать сложное выражение, функция, важно лишь, чтобы они принимали только действительные значения. Собственно, мы это увидим прямо сейчас:

Пример 7

Найти производную.

Решение: Генеральная линия партии остаётся непоколебимой – необходимо выделить действительную и мнимую части функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг:

Поскольку , то:

(1) Подставляем вместо «зет».

(2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки.

(3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.

(4) Используем школьное действие со степенями.

(5) Для множителя используем формулу Эйлера , при этом .

(6) Раскрываем скобки, в результате:

– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Дальнейшие действия стандартны, проверим выполнение условий Коши-Римана:

Пример 9

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Производную, так и быть, находить не станем.

Решение: Алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово:

Поскольку , то:

1) Подставляем вместо «зет».

(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса . В этих целях раскрываем скобки.

(3) Используем формулу , при этом .

(4) Используем чётность гиперболического косинуса : и нечётность гиперболического синуса : . Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.

В итоге:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Внимание! Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.

С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:

Пример 10

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.

Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…

Пример 11

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Решение: Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции.
Если , то

Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе?

Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение , он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников . Вспоминаем школьную формулу . В знаменателе у нас уже есть , значит, сопряженным выражением будет . Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на :

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительныезначения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде

Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Найти действительную и мнимую часть функции

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной.
Условия Коши-Римана

У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:

Только в этом случае будет существовать производная!

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные :

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия :

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Интеграл ФКП. Теорема Коши.

Формула (52 ) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура в (52 ) выбрать окружность , то, заменяя и учитывая, что - дифференциал длины дуги , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения.

Пусть функция =u (x,y )+iv (x,y ) определена в окрестности точки z = x +iy . Если переменной z придать приращение  z = x +i  y , то функция
получит приращение


= (z + z )–
=u (x + x , y + y )+

+ iv (x + x , y + y ) - u (x,y ) - iv (x,y ) = [u (x + x , y + y ) –

– u (x,y )] + i [v (x + x , y + y ) - v (x,y )] =

= u (x,y ) + i  v (x,y ).

Определение. Если существует предел

=

,

то этот предел называется производной от функции
в точкеz и обозначается через f (z ) или
. Таким образом, по определению,

=

=

. (1.37)

Если функция
имеет производную в точкеz , то говорят, что функция
дифференцируема в точкеz . Очевидно, для дифференцируемости функции
необходимо, чтобы функцииu (x,y ) и v (x,y ) были дифференцируемы. Однако этого не достаточно для существования производной f (z ). Например, для функции w == x –iy функции u (x,y )=x

и v (x,y )=–y дифференцируемы во всех точках M(x,y ), но предел отношения
при x 0,  y 0 не существует, так как, если  y = 0,  x  0, то  w / z = 1,

если же  x = 0,  y  0, то  w /z = -1.

Единого предела не существует. Это означает, что функция

w = не имеет производную ни в одной точке z . Для существования производной от функции комплексного переменного требуются дополнительные условия. Какие именно? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Пусть функции u (x,y ) и v (x,y ) дифферен-цируемы в точке M(x,y ). Тогда для того, чтобы функция

= u (x,y ) + iv (x,y )

имела производную в точке z = x +iy , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

Равенства (1.38) называются условиями Коши-Римана.

Доказательство . 1) Необходимость. Пусть функция
имеет производную в точке z, то есть существует предел

=

=
.(1.39)

Предел, стоящий в правой части равенства (1.39) не зависит от того, по какому пути точка  z =  x +i  y стремится

к 0. В частности, если y = 0, x  0 (рис. 1.10), то

Если же x = 0, y  0 (рис. 1.11), то

(1.41)

Рис.1.10 Рис. 1.11

Левые части в равенствах (1.40) и (1.41) равны. Значит равны и правые части

Отсюда следует, что

Таким образом, из предположения о существовании производной f (z ) следует выполнение равенств (1.38), то есть условия Коши-Римана необходимы для существования производной f (z ).

1) Достаточность. Предположим теперь, что равенства (1.38) выполнены:

и докажем, что в этом случае функция
имеет производную в точкеz = x +iy , то есть предел (1.39)

=

существует.

Так как функции u (x,y ) и v (x,y ) дифференцируемы в точке M(x,y ), то полное приращение этих функций в точке M(x,y ) можно представить в виде

,

где  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 при x 0, y 0.

Так как, в силу (1.38),

Следовательно,

=
,

 1 =  1 +i  1 0,  2 =  2 +i  2 0 при z = x +i y 0.

Таким образом,

Так как z  2 = x  2 +y  2 , то x / z 1, y/ z 1. Поэтому

при z  0.

Отсюда следует, что правая часть равенства (1.42) имеет предел при  z  0, следовательно, и левая часть имеет предел при  z  0, причем этот предел не зависит от того, по какому пути  z стремится к 0. Таким образом, доказано, что если в точке M(x,y ) выполнены условия (1.38), то функция
имеет производную в точкеz = x +iy , причем

.

Теорема доказана полностью.

В процессе доказательства теоремы получены две формулы (1.40) и (1.42) для производной от функции комплексного переменного

,

.

С помощью формул (1.38) можно получить еще две формулы

, (1.43)

. (1.44)

Если функция f (z ) имеет производную во всех точках области D, то говорят, что функция
дифференцируема в области D. Для этого необходимо и достаточно, чтобы условия Коши-Римана выполнялись во всех точках области D.

Пример. Проверить условия Коши-Римана для

функции e z .

Так как e z = e x+iy = e x (cosy + i siny ),

то u (x , y ) = Ree z = e x cosy , v (x , y ) = Ime z = e x siny ,

,
,

,
,

следовательно,

Условия Коши - Римана для функции e z выполнены во всех точках z. Таким образом, функция e z дифференцируема на всей плоскости комплексной переменной, причем

Точно так же доказывается дифференцируемость

функций z n , cos z , sin z , chz , shz , Lnz , и справедливость формул

(z n ) = n z n-1 , (cosz ) = -sinz , (sinz ) = cosz ,

(chz ) = shz , (shz ) = chz , (Lnz ) = 1/z .

Для функций комплексного переменного остаются в силе все правила дифференцирования функций действительного переменного. Доказательство этих правил вытекает из определения производной так же, как и для функций действительного переменного.

Пусть w =f (z ) – однозначная функция, определенная в области.

Определение 1. Производной от функцииf (z ) в точке
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Функция, имеющая производную в точке z , называетсядифференцируемой в этой точке.

Очевидно, что выполняются все арифметические свойства производных.

Пример .

С помощью формулы бинома Ньютона аналогично выводится, что

Ряды для экспоненты, синуса и косинуса удовлетворяют всем условиям почленного дифференцирования. Непосредственной проверкой легко получить, что:

Замечание . Хотя определение производной ФКП формально полностью совпадает с определением для ФДП, но, по существу, является более сложным (см. замечание в §5).

Определение 2. Функцияf (z ) , непрерывно дифференцируемая во всех точках областиG , называетсяаналитической илирегулярной на этой области.

Теорема 1. Если функцияf (z ) дифференцируема во всех точках областиG , то она является аналитической в этой области. {б/д}

Замечание . Фактически, эта теорема устанавливает эквивалентность регулярности и дифференцируемости ФКП на области.

Теорема 2. Функция, дифференцируемая в некоторой области, имеет бесконечно много производных в этой области. {б/д. Ниже (в §13) это утверждение будет доказано при определенных дополнительных допущениях}

Представим функцию в виде суммы действительной и мнимой частей: Теорема 3. (Условия Коши − Римана). Пусть функцияf (z ) дифференцируема в некоторой точке
. Тогда функцииu (x ,y ) иv (x ,y ) имеют в этой точке частные производные, причем

и
, называемыеусловиями Коши – Римана .

{Так как значение производной не зависит от способа стремления величины
к нулю, выберем следующий путь:Получаем:

Аналогично, при
имеем:
, что и доказывает теорему.}

Верно и обратное утверждение:

Теорема 4. Если функцииu (x ,y ) иv (x ,y ) имеют в некоторой точке непрерывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши – Римана, то сама функцияf (z ) – дифференцируема в этой точке.{б/д}

Теоремы 1 – 4 показывают принципиальное отличие ФКП от ФДП.

Теорема 3 позволяет вычислять производную функции по любой из следующих формул:

При этом можно считать х иу произвольными комплексными числами и вычислять производную по формулам:

Примеры . Проверить функцию на регулярность. Если функция регулярна – вычислить ее производную.

функция регулярна;

2. функция не дифференцируема.

Замечание . Нетрудно видеть, что любая действительная функция комплексного аргумента – не дифференцируема.

§9.Гармонические функции.

Напомним определение гармонических функций, данное в курсе «Теории поля»:

Определение. Функцияu (x ,y ) называетсягармонической , если она удовлетворяет уравнению Лапласа:

Пусть на области G задана аналитическая функцияЭта функция удовлетворяет условиям Коши – Римана:
,
(§8). Так как аналитическая функция бесконечно дифференцируема, то и функцииu и v так же бесконечно дифференцируемы. Продифференцируем первое условие поx , второе поy и сложим полученные равенства:

т.е. действительная часть аналитической функции – гармоническая. Если условия продифференцировать поу , пох и вычесть, то легко убедиться в гармоничности мнимой части. Таким образом, доказана

Теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими:

Ясно, что две произвольные гармонические функции, вообще говоря, не будут действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции. Для этого они должны еще удовлетворять условиям Коши – Римана. Однако, по любой гармонической функции можно с точностью до константы определить вторую часть аналитической функции (т.е. саму аналитическую функцию).

Пример . Доказать, чтоможет быть действительной частью аналитической функции и определить эту функцию.

Из 2-го условия К – Р:

КОШИ - РИМАНА УРАВНЕНИЯ

- дифференц. ур-ния, к-рым удовлетворяют веществ. и мнимая части аналитической функции. Ф-ция f(z) = u(x, y)+i (x, у), z=x +iy, непрерывно дифференцируемая в области D комплексной плоскости , аналитична в D в том и только в том случае, когда справедливы К.- Р. у.:

К. - Р. у. впервые введены Ж. Д"Аламбером (J. L. D"Alembert) в 1752 и Л. Эйлером (L. Euler) в 1777 и использованы О. Коши и Б. Риманом (В. Rеmann). Формально К.- Р. у. могут быть также записаны в виде

Следствием К.- Р. у. является тот факт, что u(х, у )и ( х, у) - гармонические функции в D. Две гармонич. ф-ции наз. взаимно сопряжёнными, если они удовлетворяют К.- Р. у. Для любой ф-ции, гармонической в односвязной области, существует сопряжённая гармонич. ф-ция, определяемая с точностью до пост. слагаемого. В случае неодносвязных областей последнее утверждение, вообще говоря, не справедливо.

• - поверхность, являющаяся границей области причинной предсказуемости физ. явлений в будущем по нач. данным, заданным на нек-рой пространственноподобной трёхмерной поверхности...

  Физическая энциклопедия

• - задача о нахождении решения дифференц. ур-ния, удовлетворяющего нач. условиям. Рассмотрена в 1823-24 О. Коши...

  Физическая энциклопедия

• - она же эллиптическая геометрия, двумерная геометрия сферы в трехмерном евклидовом пространстве с отождествленными диаметрально противоположными точками...

  Начала современного Естествознания

• - ...

  Этнографические термины

• - Огюстен Луи, барон, французский математик, создатель комплексного анализа. Развивая идеи ЭЙЛЕРА, формализовал многие понятия математического ИСЧИСЛЕНИЯ...

  Научно-технический энциклопедический словарь

• - Д"Аламбера - Эйлера условия,- условия на действительную и=и.и мнимую v= v.части функции комплексного переменного обеспечивающие моногенность и аналитичность f как функции комплексного переменного...

  Математическая энциклопедия

• - знаменитый французский математик. Первым его учителем и воспитателем был его отец - страстный латинист и ревностный католик. 13-ти лет Огюстен К. был определен в центральную школу...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - Огюстен Луи, французский математик, член Парижской АН. Окончил Политехническую школу и Школу мостов и дорог в Париже. В 1810-13 работал инженером в г. Шербур...
• - в теории аналитических функций, дифференциальные уравнения с частными производными 1-го порядка, связывающие действительную и мнимую части аналитической функции ϖ = u + iυ комплексного переменного z= х +...

  Большая Советская энциклопедия

• - эллиптическая геометрия, одна из неевклидовых геометрий, т. е. геометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых отличны от требований аксиом евклидовой геометрии...

  Большая Советская энциклопедия

• - см. Дзета-функция...

  Большая Советская энциклопедия

• - обычный определённый Интеграл. Само определение Р. и. по существу было дано О. Коши, который, однако, применял его к непрерывным функциям...

  Большая Советская энциклопедия

• - одно из возможных геометрических изображений совокупности комплексных чисел, введённое Б. Риманом...

  Большая Советская энциклопедия

• - Огюстен Луи, французский математик. Один из основоположников теории функций. Труды по теории дифференциальных уравнений, математической физике, теории чисел, геометрии...

  Современная энциклопедия

• - РИМАНА УРАВНЕНИЯ - дифференциальные уравнения с частными производными 1-го порядка, связывающие действительную и мнимую части аналитической функции комплексного переменного...

  Большой энциклопедический словарь

• - сущ., кол-во синонимов: 1 обувь...

  Словарь синонимов

"КОШИ - РИМАНА УРАВНЕНИЯ" в книгах

37. Коши и чакры