Меню

6.2.1. Кубатурные формулы, основанные на сведении кратного интеграла к повторному

Повторное интегрирование по прямоугольной области Интегралы по криволинейной трапеции

Повторное интегрирование по прямоугольной области

Как известно из курса анализа, вычисление кратных интегралов может быть осуществлено путем повторного вычисления однократных интегралов. Поэтому, как уже отмечалось выше, одним из простейших путей получения формул для приближенного вычисления кратных интегралов является повторное применение полученных нами ранее квадратурных формул для вычисления однократных интегралов.

Проиллюстрируем это на примере вычисления двойного интеграла по прямоугольнику:

Применяя для вычисления внешнего интеграла квадратурную формулу средних прямоугольников, можем записать:

Вычислив теперь оставшийся интеграл также по формуле средних прямоугольников, окончательно получим:

Часть III. Теоретические материалы

Глава 6. Приближенное вычисление интегралов 6.2. Вычисление кратных интегралов

Меню 6.2.1. Cведении кратного интеграла к повторному Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

В качестве других примеров рассмотрим варианты кубатурных формул, получаемых на основе применения других известных вариантов квадратурных формул при повторном интегрировании.

∙ Кубатурная формула трапеций:

= ∫ ∫ (,) ≈− ∫ (,) +∫ (,) ≈

≈ − 2 ·[ − 2 ((,) + (,)) +− 2 ((,) + (,))] ≈

≈ 4 · [ (,) + (,) + (,) + (,)] .

∙ Кубатурная формула Симпсона :

Общая схема построения указанного типа кубатурных формул может быть получена, если воспользоваться формулами повторного интерполирования. Например, используя представление соответствующего интерполяционного многочлена в форме Лагранжа

Часть III. Теоретические материалы

Глава 6. Приближенное вычисление интегралов 6.2. Вычисление кратных интегралов

Меню 6.2.1. Cведении кратного интеграла к повторному Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

Интегралы по криволинейной трапеции

Рассмотрим теперь случай, когда область интегрирования Ω не является прямоугольником, но удовлетворяет условиям, при которых может быть осуществлено сведение к повторному интегралу без разбиения ее на подобласти (для этого достаточно, чтобы контур области пересекался прямыми, параллельными координатным осям, только в двух точках).

Выбор правила для вычисления интеграла, таким образом, должен быть согласован со свойствами функции (,) и, во-вторых, со свойствами области интегрирования Ω.

Если предположить, что (,) является достаточно гладкой всюду в Ω, то интеграл () может быть вычислен по одному из известных правил с постоянным весом, например, по правилу Гаусса ,Симпсона и т.п. Форма области оказывает влияние только на границы интегрирования1 () и2 (). Отрезок можно привести к каноническому, например, к отрезку с помощью подстановки

1 () + (2 () −1 ()) . Тогда

() = (2 () −1 ()) (,1 () + (2 () −1 ())) = (2 () −1 ()) Φ () .

Выделившийся при замене в интеграле = ∫ () множитель2 ()−1 () является естественной весовой функцией. Поэтому при вычислении интеграла =∫ (2 () −1 ()) Φ () можно воспользоваться любой квадратурной формулой, построенной для веса () =2 ()−1 (), например, квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени точности.

Часть III. Теоретические материалы

Глава 6. Приближенное вычисление интегралов 6.2. Вычисление кратных интегралов

Меню 6.2.1. Cведении кратного интеграла к повторному Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

Такой полный учет формы области, вероятно, неразумно делать, так как каждой области Ω будет отвечать свой вес () и поэтому пришлось бы использовать большое число узлов и коэффициентов.

Можно упростить задачу на основании следующих простых соображений. Рассмотрим две весовые функции, отличающиеся друг от друга достаточно гладким множителем (), не обращающимся в нуль на отрезке интегрирования [ , ]: () = () (). Тогда следует ожидать, что квадратурные формулы, соответствующие этим двум весовым функциям () и (), будут близки по точности.

А теперь вспомним о весовой функции Якоби () = (−) (−) . Она зависит от двух параметров

и и их часто можно подобрать таким образом, чтобы отношение

было ограничено сверху и снизу положительными числами. В этом случае можно воспользоваться весом Якоби, преобразовав интеграл к виду

= (−) (−) () .

Например, если область интегрирования имеет форму, изображенную на рисунке 6.5 , причем контур об-

может быть вычислен с помощью формул (6.60 ), (6.61 ).

Аналогично, в случае, если область интегрирования имеет вид, изображенный на рисунке 6.6 и контур

имеет с прямыми = и = соприкосновение первого порядка, то за весовую функцию можно принять

() = (−) (−), и к вычислению интеграла

= (−) (−) · ()

также применить формулы (6.60 ), (6.61 ).

Основной способ вычисления кратного интеграла состоит в последовательном интегриро-вании по каждой из переменных.

Плоскую область D вида

Где и – непрерывные на [a , b ] функции, назовем правильной в направлении оси Oy (рис. 25). Предположим, что функция f (x , y ) непрерывна в такой области D . Для любого фиксированного x = x 0 , рассмотрим функцию f (x 0 , y ) от одной переменной y , непрерывную на отрезке . Для нее существует определенный интеграл . Этот интеграл, конечно, зависит от точки x 0 . Обозначим его . Можно показать, что функция , определенная на отрезке [a , b ], непре-рывна на нем. Интеграл от этой функции называется повторным интегралом от функции f (x , y ) по области D , и обозначается

.

Теорема 2 . Если функция f (x , y ) непрерывна в области , то

,

т.е. двойной интеграл равен повторному интегралу. Таким образом, для вычисления двойного интеграла по правильной в направлении оси Oy области следует вначале, считая x постоянным, проинтегрировать функцию по переменной y , после чего проинтегрировать получившуюся функцию переменной x . Заметим, что если пределы во внешнем интеграле постоянные, то во внутреннем интеграле они, вообще говоря, зависят от x .

Если область D правильная в направлении оси Ox : , то двойной интеграл равен повторному интегралу .

Пример 1 . Вычислить двойной интеграл от функции по конечной области D , ограниченной параболой и прямой y = 1 (рис. 26).

Решение . Имеем:

Поэтому .

Если требуется вычислить интеграл по области, не являющейся правильной ни в направлении оси Ox , ни в направлении оси Oy , надо попытаться разбить область на конечное число частей, каждая из которых уже будет правильной в направлении какой-либо координатной оси (рис. 27). Если это удастся сделать, то, в силу аддитивности интеграла, вычисление данного интеграла сведется к вычислению интегралов по указанным частям, каждый из которых может быть представлен в виде повторного.

Перейдем теперь к вопросу вычисления тройного интеграла.

Правильной относительно оси Oz называется трехмерная область G вида

где j и y – непрерывные в ограниченной замкнутой области D плоскости xOy функции (рис. 28). Предположим, что функция f (x , y , z ) непрерывна в такой области G . Зафиксировав произвольным образом точку , рассмотрим функцию одной переменной z , непрерывную на отрезке . Возьмем от этой функции определенный интеграл (он существует в силу непрерывности функции). Этот интеграл зависит от точки (x 0 , y 0). Обозначим его . Определенная на D функция двух переменных оказывается непрерывной на D . Интеграл называют повторным интегралом и обозначают . Для тройных интегралов имеет место утверждение, аналогичное теореме 2: если функция f (x , y , z ) непрерывна в области , то

,

т.е. тройной интеграл равен повторному.

Таким образом, для вычисления тройного интеграла по области, правильной в направлении оси Oz , следует вначале, считая x и y постоянными, проинтегрировать по переменной z , а затем от получившейся функции переменных x и y взять двойной интеграл по проекции области на плоскость xOy .

то, записав двойной интеграл по области D в виде повторного, будем иметь:

.

Если обозначить через E (x 0) сечение области G плоскостью x = x 0 , , то, объединяя в интеграле справа два внутренних интегрирования по переменным y и z , получим формулу:

.

Как видим, для тройного интеграла имеется два способа сведения к повторному интегралу.

В частном случае получаем формулы для нахождения объема V области G .

Пусть у= f (X ) функция с областью определения D(f) и пусть S - подмножество в D(f) (т.е. S является частью в D(f). Точка A принадлежит S называется точкой условного минимума функции f , если существует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей одновременно и в этой окрестности точки А и множестве S, верно неравенство f (A )f (B ).

Аналогично точка А принадлежит S называется точкой условного максимума функции f , если существует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей в этой окрестности и в S, верно неравенство f (A )>= f (B ).

Общее название для условных минимумов и максимумов - условные экстремумы.

^ 47. Метод Лагранжа.

Пусть функции f и g 1 … g s определены и имеют непрерывные частные производные в окрестности точки х* причем, векторы

линейно независимы. Тогда если х* - точка условного экстремума функции f при условиях

то найдутся числа ʎ 1 …ʎ s для которых x * - стационарная точка функции

Функция L называется функцией Лагранжа, а числа множителями Лагранжа.
^ 48. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом ограниченном множестве.

Множество S называется ограниченным, если оно содержится внутри круга (для множества на плоскости) или внутри шара (для множества в пространстве), имеющего достаточно большой радиус. Множество называется замкнутым, если оно включает в себя все свои предельные точки.

Важным свойством непрерывных функций является следующее.

Пусть z = f (x ,у) - непрерывная функция, a S - замкнутое и ограниченное множество, лежащее в области определения функции f. Тогда в S существуют точки, в которых функция принимает свои наибольшее и наименьшее значения, множество значений представляет собою отрезок .
^ 49. Кратные интегралы и их свойства. Условия интегрируемости функции.

Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при ʎ->0 то функция f (x ; y ) называется интегрируемой в области D .

свойства двойного интеграла.

1. Если функция f (x ; y ) интегрируема в области D , то для любого числа к функция kf (x ; y ) также интегрируема в D и

2. Если функции f (x ; y ) и g (x ; y ) интегрируемы в области D , то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и

3. Если функции f (x ; y ) и g (x ; y ) интегрируемы в области D и f (x ; у) g (x ; у) во всех точках D , то

4. Если функция f (x ; y ) ограничена на множестве Г нулевой площади, то

5. ^ Свойство аддитивности интеграла. Если область интегрирования D может быть разбита на две части D 1 и D 2 , не имеющих общих внутренних точек, так, что D=D 1 объединение D 2 , и f (x ; y ) интегрируема в D 1 и D 2 , то в области D эта функция также интегрируема, и

6. Теорема о среднем. Если функция f (x ; y ) непрерывна в области D , то в этой области найдется такая точка (ξ, ς ) , что

^ Если функция f (x , у) определена и непрерывна в прямоугольнике Р = { a =х=b , с=d ), то существует двойной интеграл P
Пусть G - ограниченная область, f - ограниченная функция на G ,Г - объединение границы G и множества точек разрыва f на G . Предположим, что площадь Г равна нулю. Тогда

существует интеграл G

^ 50. Сведение кратного интеграла к повторному интегралу.

Если функция f (x , y ) интегрируема в области G и при любом фиксированном х из [а, b ] существует интеграл справедлива формула

^ 51. Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.

В полярных координатах:

^ 52. Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.

Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при ʎ->0 то функция f (x ; y ) называется интегрируемой в области D . Значение этого предела называется двойным интегралом по области D

^ Геометрический смысл двойного интеграла.

Рассмотрим непрерывную неотрицательную функцию z = f (x ; y )>=0 при любом значении (x,y) принадлежащем D. Ее графиком будет поверхность в пространстве OXYZ . Тогда двойной интеграл D представляет собой объем прямого цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D , а сверху поверхностью z=f (x ; y ).

Если подынтегральная функция f (x ; y ) тождественного равна единице в области D , то значение двойного интеграла совпадает с площадью области интегрирования:

^ 53. Несобственные кратные интегралы. Интеграл Эйлера-Пуассона.

Пусть GсR 2 - неограниченное множество, f (x , у) - функция, интегрируемая по всякому подмножеству в G вида G ∩ D , где D - ограниченное множество с границей нулевой площади. Если для любого допустимого семейства { D t } предел

существует и не зависит от выбора семейства { D t }, то данный

предел обозначается G и называется несобственным двойным интегралом от f по G .
^ 54. Числовые ряды.

Определение. Пусть дана числовая последовательность а 1 ,а 2 , а 3 …. a n . Выражение вида

называют числовым рядом, или просто рядом.

Числа а 1 ,а 2 , а 3 ,…. a n называют членами ряда, число а п с общим номером п называют общим членом ряда.

Суммы конечного числа первых членов ряда

называют частичными суммами ряда . Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы образуют числовую последовательность

^ 55. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.

Пусть дана некоторая последовательность действительных чисел а п . Тогда сумма бесконечного числа членов этой последовательности

называется числовым рядом, а число а п (n = 1,2,...) - членом ряда. Если член ряда а п представлен в виде функции, натурального аргумента а п = f (п) , то его называют общим членом ряда. При этом сумму S n = а 1 + а 2 +...+ а п первых п членов ряда называют его n-ой частичной суммой. Таким образом, мы можем образовать новую последовательность - последовательность частичных сумм S 1 = a 1 , S 2 = a 1 + a 2 , S 3 = a 1 + a 2 + a 3 , S n = a 1 + a 2 +...+a n . Если эта последовательность имеет конечный предел S = lim S n при n-> infimity , то числовой ряд называется схо дящимся, а число S - суммой ряда. В противном случае ряд называют расходящимся.
^ 56. Свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд (l) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыванием конечного числа членов. Ряд

полученный отбрасыванием первых

п членов суммы (l), называется п-м остатком ряда. Таким образом, ряд (l) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

2. Если каждый член сходящегося ряда (l), сумма которого равна
S , умножить на некоторое число k , то полученный ряд
также сходится, и его сумма равна kS .

3. Если даны два сходящихся ряда

и
с суммами S и Т соответственно, то новый ряд полученный почленным сложением исходных рядов, также сходится, и его сумма равна S + T .

4. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, и суммы рядов одинаковы.

^ 57. Необходимое условие сходимости числового ряда.

Теорема 5.1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.

Эквивалентная формулировка: Если предел общего члена ряда не равен нулю.или не сугцествует, то данный ряд расходится.

Доказательство. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S . Для любого натурального п имеем S n = S n - 1 + а п или

A n = S n - S n -1

При п -> infinity обе частичные суммы S n и S n -1 стремятся к пределу S , поэтому из равенства следует, что

Подчеркнем еще раз, что мы установили только необходимое условие сходимости ряда, т.е. усдовие, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно доказывать только расходимость ряда

^ 58. Числовые ряды с неотрицательными членами.

Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если общий член ряда а п >0 для любого n=1,2,.... Критерием сходимости для таких рядов служит ограниченность последовательности частичных сумм ряда.

При решении задач на сходимость рядов первым шагом является проверка выполнения необходимого условия сходимости, т.е.

^ 59. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.

Теорема 5,2. Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
^ 60. Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.