Deljenje celih števil. Dividenda, delitelj, količnik

Deljenje je definirano kot inverz množenja.

Deljenje enega števila z drugim pomeni iskanje tretjega števila, ki bo, ko ga pomnožimo z deliteljem, dalo dividendo v produktu:

Na podlagi te definicije izpeljemo pravilo delitve za racionalna števila.

Najprej naj enkrat za vselej poudarimo, da delitelj ne more biti nič. Deljenje z ničlo je izključeno iz istega razloga, kot je bilo izključeno v aritmetiki.

Absolutna vrednost a je enaka produktu absolutnih vrednosti in c. To pomeni, da je absolutna vrednost b enaka absolutni vrednosti a deljeno s absolutna vrednost

Določimo predznak količnika s.

Če imata dividenda in delitelj enaki znaki, potem je količnik pozitivno število. Dejansko, če sta a in pozitivna, bo tudi količnik o pozitivno število.

Primer. ker

Če sta a in negativna, potem mora biti količnik c in v tem primeru pozitiven, saj pomnožimo z negativno število dobiti moramo negativno število a.

Primer. ker

Če imata dividenda in delitelj različna predznaka, je količnik negativno število. Če je a pozitivno in a negativno, potem mora biti c negativen, saj moramo z množenjem negativnega števila z njim dobiti pozitivno število a.

Primer. ker

Če je a negativno in a pozitivno, potem mora biti v tem primeru c negativno število, saj z množenjem pozitivnega števila dobimo negativno število a.

Primer. ker

Tako pridemo do naslednje pravilo divizije:

Če želite eno stvar deliti z drugo, morate absolutno vrednost dividende deliti z absolutno vrednostjo delitelja in pred količnikom postaviti znak plus, če imata dividenda in delitelj enaka predznaka, in znak minus ,

če imata dividenda in delitelj nasprotna predznaka.

Kot smo že povedali, je deljenje z ničlo nemogoče, razložimo to podrobneje. Recimo, da jih morate nekaj razdeliti enako ničštevilo, na primer -3, z 0.

Če je število a želeni količnik, potem moramo z množenjem z deliteljem, to je z 0, dobiti dividendo, to je - 3. Toda produkt je enak 0, dividende - 3 pa ni mogoče dobiti pridobljeno. Iz tega sklepamo, da je število

Ne moreš deliti 3 z nič.

Naj bo število 0 deljeno z 0. Naj bo a zahtevani količnik; če a pomnožimo z deliteljem 0, dobimo 0 v produktu za katero koli vrednost a:

Tako da nismo dobili nobenega določeno število: Ko katerokoli število pomnožimo z 0, dobimo 0. Zato tudi deljenje nič z nič velja za nemogoče.

Za racionalna števila ostaja v veljavi naslednja osnovna lastnost količnika:

Kvocient dveh števil se ne spremeni, če dividendo in delitelj pomnožimo z istim številom (ki ni enako nič).

Naj to pojasnimo z naslednjimi primeri.

1. Upoštevajte količnik, pomnožite dividendo in delitelj z - 4; potem dobimo nov količnik

Torej smo v novem količniku dobili isto število 2.

2. Upoštevajte količnik, pomnožite dividendo in delitelj z - potem dobimo naslednji količnik:

Količnik se ni spremenil, ker je rezultat enako število

Samo zato, ker morate za cela števila izračunati predznak količnika. Kako izračunati predznak količnika celih števil? Oglejmo si to podrobno v temi.

Pojmi in pojmi kvocienta celih števil.

Če želite izvesti deljenje celih števil, se morate spomniti izrazov in konceptov. Pri deljenju so: dividenda, delitelj in količnik celih števil.

Dividenda je celo število, ki se deli. Razdelilnik je celo število, s katerim se deli. Zasebno je rezultat deljenja celih števil.

Lahko rečete "Deljenje celih števil" ali "Kvocient celih števil"; pomen teh fraz je enak, to pomeni, da morate eno celo število deliti z drugim in dobiti odgovor.

Deljenje izvira iz množenja. Poglejmo primer:

Imamo dva faktorja 3 in 4. Toda recimo, da vemo, da obstaja en faktor 3 in je rezultat množenja faktorjev njihov produkt 12. Kako najti drugi faktor? Divizija priskoči na pomoč.

Pravilo za deljenje celih števil.

definicija:

Kvocient dveh celih števil je enako kvocientu njihovih modulov, s predznakom plus kot rezultat, če imata števili enaka predznaka, in z znakom minus, če imata različna predznaka.

Pomembno je upoštevati predznak kvocienta celih števil. Kratka pravila za deljenje celih števil:

Plus na plus daje plus.
“+ : + = +”

Dve nikalnici pomenita pritrdilno.
“– : – =+”

Minus plus plus daje minus.
“– : + = –”

Plus krat minus daje minus.
“+ : – = –”

Zdaj pa si podrobneje oglejmo vsako točko pravila za deljenje celih števil.

Deljenje pozitivnih celih števil.

Spomnimo se, da so pozitivna cela števila enaka naravnim številkam. Uporabljamo enaka pravila kot pri delitvi naravna števila. Predznak količnika pozitivnih celih števil je vedno plus. Z drugimi besedami, pri deljenju dveh celih števil " plus na plus daje plus”.

primer:
306 delite s 3.

rešitev:
Obe številki imata znak "+", zato bo odgovor znak "+".
306:3=102
Odgovor: 102.

primer:
Dividendo 220286 delite z deliteljem 589.

rešitev:
Dividenda 220286 in delitelj 589 imata predznak plus, zato bo imel tudi količnik predznak plus.
220286:589=374
Odgovor: 374

Deljenje negativnih celih števil.

Pravilo za deljenje dveh negativnih števil.

Naj imamo dve negativni celi števili a in b. Poiskati moramo njihove module in izvesti deljenje.

Rezultat deljenja ali količnik dveh negativnih celih števil bo imel znak "+". oz "dve nikalnici pomenita pritrdilno".

Poglejmo primer:
Poiščite količnik -900:(-12).

rešitev:
-900:(-12)=|-900|:|-12|=900:12=75
Odgovor: -900:(-12)=75

primer:
Eno negativno celo število -504 delite z drugim negativnim celim številom -14.

rešitev:
-504:(-14)=|-504|:|-14|=504:14=34
Izraz lahko zapišemo bolj na kratko:
-504:(-14)=34

Deljenje celih števil z različnimi predznaki. Pravila in primeri.

Pri izvajanju deljenje celih števil z različna znamenja , bo količnik enak negativnemu številu.

Ne glede na to, ali je pozitivno celo število deljeno z negativnim celim številom ali pa je negativno celo število deljeno s pozitivnim celim številom, bo rezultat deljenja vedno enak negativnemu številu.

Minus plus plus daje minus.
Plus krat minus daje minus.

primer:
Poiščite količnik dveh celih števil z različnima predznakoma -2436:42.

rešitev:
-2436:42=-58

primer:
Izračunaj deljenje 4716:(-524).

rešitev:
4716:(-524)=-9

Nič deljeno s celim številom. Pravilo.

Ko je nič deljeno s celim številom, je odgovor nič.

primer:
Izvedite deljenje 0:558.

rešitev:
0:558=0

primer:
Nič delite z negativnim celim številom -4009.

rešitev:
0:(-4009)=0

Ne morete deliti z ničlo.

Ne morete deliti 0 z 0.

Preverjanje delnega deljenja celih števil.

Kot smo že omenili, sta deljenje in množenje tesno povezana. Če želite torej preveriti rezultat deljenja dveh celih števil, morate pomnožiti delitelj in količnik, rezultat pa je dividenda.

Preverjanje rezultata deljenja je kratka formula:
Delitelj ∙ Kvocient = Dividenda

Poglejmo primer:
Izvedite deljenje in preverite 1888:(-32).

rešitev:
Bodi pozoren na znake celih števil. Število 1888 je pozitivno in ima znak "+". Število (-32) je negativno in ima predznak »–«. Zato bo pri delitvi dveh celih števil z različnimi predznaki odgovor negativno število.
1888:(-32)=-59

Zdaj pa preverimo najdeni odgovor:
1888 – deljiva,
-32 – delitelj,
-59 – zasebno,

Delitelj pomnožimo s količnikom.
-32∙(-59)=1888

Števila pri deljenju so razporejena takole: na prvem mestu je dividenda, na drugem delitelj, količnik pa za enačajem.

Dividenda: delitelj = količnik.

Vsa neznana števila označimo s črkami

Naj bo dividenda enaka a, delitelj b in količnik c.

Po pogoju je produkt (to je množenje) dividende, delitelja in količnika enak 3136. Sestavimo enačbo.

a * b * c = 3136.
Ker je c enak a/b, zamenjamo črko c z ulomkom a/b.
a * b * a/b = 3136.
Spremenljivka in se zmanjša, tako da ostane a * a = 3136 ali a 2 = 3136.
S pomočjo tabele kvadratov najdemo vrednost a, a je enako 56.

Dividenda je 56. Izkazalo se je naslednjo enačbo: 56: v = c

Izrazimo znano dividendo z neznanimi spremenljivkami

Če želite najti dividendo, morate pomnožiti delitelj in količnik, to je 56 = v * s.

Po pogoju so vsa sodelujoča števila naravna števila, to je pozitivna cela števila. Kot vemo, je 56 enako produktu samo dveh celih števil - 7 in 8.

Posledica tega sta dva izraza:

To pomeni, da je lahko količnik (število za enačajom) enak le 7 ali 8.

Odgovor: količnik je lahko 7 ali 8.

Označimo dividendo z x in delitelj z y.

Potem bo količnik deljenja teh dveh števil enak x/y.

V skladu s pogoji problema je produkt dividende, delitelja in količnika enak 3136, zato lahko zapišemo naslednjo zvezo:

x * y * (x/y) = 3136.

Če poenostavimo nastalo razmerje, dobimo:

Glede na pogoje naloge so dividenda, delitelj in količnik naravna števila, zato vrednost x = -56 ni primerna.

Razčlenimo število 56 na zmnožek prafaktorjev:

56 = 2 * 28 = 2 * 2 * 14 = 2 * 2 * 2 * 7.

Naštejmo vse možne delitelje števila 56, pri katerih je količnik naravno število.

Delitelj 1, količnik 56;

delitelj 2, količnik 28;

delitelj 4, količnik 14;

delitelj 8, količnik 7;

delitelj 7, količnik 8;

delitelj 14, količnik 4;

delitelj 28, količnik 2.

delitelj 56, količnik 1.

Odgovor: količnik lahko zavzame vrednosti 1, 2, 4, 8, 7, 14, 28, 56.

Funkcijo a n =f (n) naravnega argumenta n (n=1; 2; 3; 4;...) imenujemo številsko zaporedje.

Številke a 1; a 2; a 3; a 4 ;…, ki tvorijo zaporedje, imenujemo člani številskega zaporedja. Torej a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…

Torej so člani zaporedja označeni s črkami, ki označujejo indekse - serijske številke njihovi člani: a 1 ; a 2; a 3; a 4 ;… torej je 1 prvi člen zaporedja;

a 2 je drugi člen zaporedja;

a 3 je tretji člen zaporedja;

a 4 je četrti člen zaporedja itd.

Številčno zaporedje na kratko zapišemo takole: a n =f (n) ali (a n).

Številsko zaporedje lahko določite na naslednje načine:

1) Verbalna metoda. Predstavlja vzorec ali pravilo za razporeditev članov zaporedja, opisanega z besedami.

Primer 1. Napišite zaporedje vseh nenegativna števila, večkratniki 5.

rešitev. Ker so vsa števila, ki se končajo z 0 ali 5, deljiva s 5, bo zaporedje zapisano takole:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Primer 2. Podano zaporedje: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Vprašajte ga ustno.

rešitev. Opazimo, da je 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... Sklepamo: dano je zaporedje, sestavljeno iz kvadratov naravnih števil.

2) Analitična metoda. Zaporedje je podano s formulo n-tega člena: a n =f (n). S to formulo lahko najdete katerega koli člana zaporedja.

Primer 3. Znan je izraz za k-ti člen številskega zaporedja: a k = 3+2·(k+1). Izračunajte prve štiri člene tega zaporedja.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Primer 4. Določite pravilo za sestavljanje številskega zaporedja z uporabo prvih nekaj členov in izrazite splošni člen zaporedja s preprostejšo formulo: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

rešitev. Opazimo, da nam je dano zaporedje lihih števil. katera koli liho število lahko zapišemo v obliki: 2k-1, kjer je k naravno število, tj. k=1; 2; 3; 4; ... . Odgovor: a k =2k-1.

3) Ponavljajoča se metoda. Tudi zaporedje je podano s formulo, vendar ne s formulo generalni član, odvisno samo od članske številke. Določena je formula, po kateri se vsak naslednji člen najde skozi prejšnje člene. Pri rekurentnem načinu podajanja funkcije vedno dodatno podamo enega ali več prvih členov zaporedja.

Primer 5. Izpišite prve štiri člene zaporedja (a n),

če je 1 =7; a n+1 = 5+a n.

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Odgovor: 7; 12; 17; 22; ... .

Primer 6. Izpišite prvih pet členov zaporedja (b n),

če je b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Odgovor: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Grafična metoda.Številčno zaporedje je podano z grafom, ki predstavlja izolirane točke. Abscise teh točk so naravna števila: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinate so vrednosti članov zaporedja: a 1 ; a 2; a 3; a 4;….

Primer 7. Zapišite vseh pet členov grafično podanega številskega zaporedja.

Vsaka točka v tem koordinatna ravnina ima koordinate (n; a n). Zapišimo koordinate označenih točk v naraščajočem vrstnem redu abscise n.

Dobimo: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).

Zato je a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.

Odgovor: -3; 1; 4; 6; 7.

Pregledano številčno zaporedje kot funkcija (v primeru 7) je podana na množici prvih petih naravnih števil (n=1; 2; 3; 4; 5), zato je končno številsko zaporedje(sestavlja ga pet članov).

Če je številsko zaporedje kot funkcija podano na celotni množici naravnih števil, potem bo takšno zaporedje neskončno številsko zaporedje.

Pokliče se številsko zaporedje povečevanje, če njeni člani naraščajo (a n+1 >a n) in padajo, če njeni člani se zmanjšujejo(a n+1

Imenuje se naraščajoče ali padajoče številsko zaporedje monotono.

Zelo velika in zelo majhna števila so običajno zapisana v standardni obliki: a∙10 n, Kje 1≤a<10 in n(naravno ali celo število) – je vrstni red števila, zapisan v standardni obliki.

Na primer, 345,7=3,457∙10 2; 123456=1,23456∙10 5 ; 0,000345=3,45∙10 -4.

Primeri.

Zapišite številko v standardni obliki: 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.

rešitev.

1) 40503=4,0503·10 4;

2) 0,0023=2,3∙10 -3 ;

3) 876,1=8,761∙10 2 ;

4) 0,0000067=6,7∙10 -6 .

Več primerov o standardni obliki števil.

5) Število molekul plina v 1 cm 3 pri 0 °C in tlaku 760 mm ps.st je enako

27 000 000 000 000 000 000.

rešitev.

27 000 000 000 000 000 000=2,7∙10 19 .

6) 1 parsek(enota za dolžino v astronomiji) je enako 30.800.000.000.000 km. Zapišite to številko v standardni obliki.

rešitev.

1 parsec=30 800 000 000 000=3.08∙10 13 km.

Na temo:

Kilovatna ura je izvensistemska enota energije ali dela, ki se uporablja v elektrotehniki in se označuje z kWh.

1 kWh=3,6∙10 6 J(Juli).

Pogosto morate najti vsoto kvadratov (x 1 2 + x 2 2) ali vsoto kock (x 1 3 + x 2 3) korenin kvadratne enačbe, manj pogosto - vsoto recipročnih vrednosti kvadratov korenov ali vsote aritmetičnih kvadratnih korenov korenov kvadratne enačbe:

Pri tem lahko pomaga Vietin izrek:

Vsota korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +px+q=0 je enak drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Izrazimo se skozi str in q:

1) vsota kvadratov korenin enačbe x 2 +px+q=0;

2) vsota kubnih korenov enačbe x 2 +px+q=0.

rešitev.

1) Izraz x 1 2 + x 2 2 dobimo s kvadriranjem obeh strani enačbe x 1 + x 2 = -p;

(x 1 + x 2) 2 = (-p) 2 ; odpremo oklepaje: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; izrazimo zahtevano količino: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Dobili smo uporabno enakost: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

2) Izraz x 1 3 + x 2 3 Predstavimo vsoto kock s formulo:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Še ena uporabna enačba: x 1 3 + x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Primeri.

3) x 2 -3x-4=0. Ne da bi rešili enačbo, izračunajte vrednost izraza x 1 2 + x 2 2.

rešitev.

x 1 + x 2 =-p=3, in delo x 1 ∙x 2 =q=v primeru 1) enakost:

x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q. Imamo -str=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Potem x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

odgovor: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Izračunaj: x 1 3 +x 2 3 .

rešitev.

Po Vietovem izreku je vsota korenin te zmanjšane kvadratne enačbe x 1 +x 2 =-p=2, in delo x 1 ∙x 2 =q=-4. Uporabimo prejeto ( v primeru 2) enakost: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

odgovor: x 1 3 + x 2 3 =32.

Vprašanje: kaj če nam je podana nereducirana kvadratna enačba? Odgovor: vedno ga je mogoče »zmanjšati« tako, da člen za členom delimo s prvim koeficientom.

5) 2x 2 -5x-7=0. Brez odločitve izračunajte: x 1 2 + x 2 2.

rešitev. Dobili smo popolno kvadratno enačbo. Obe strani enakosti delimo z 2 (prvi koeficient) in dobimo naslednjo kvadratno enačbo: x 2 -2,5x-3,5=0.

Po Vietovem izreku je vsota korenin enaka 2,5 ; produkt korenin je enak -3,5 .

Rešujemo ga na enak način kot primer 3) z uporabo enakosti: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

odgovor: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Najdi:

Preoblikujemo to enakost in z uporabo Vietovega izreka zamenjamo vsoto korenin skozi -str, in produkt korenin skozi q, dobimo še eno uporabno formulo. Pri izpeljavi formule smo uporabili enakost 1): x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q.

V našem primeru x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Te vrednosti nadomestimo v nastalo formulo:

7) x 2 -13x+36=0. Najdi:

Pretvorimo to vsoto in dobimo formulo, ki jo lahko uporabimo za iskanje vsote aritmetičnih kvadratnih korenov iz korenin kvadratne enačbe.

Imamo x 1 +x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Te vrednosti nadomestimo v nastalo formulo:

nasvet : Vedno preverite možnost iskanja korenov kvadratne enačbe z ustrezno metodo, ker 4 pregledan uporabne formule omogočajo hitro dokončanje naloge, še posebej v primerih, ko je diskriminant »neprimerno« število. V vseh preprostih primerih poiščite korenine in jih operirajte. Na primer, v zadnjem primeru izberemo korenine z uporabo Vietovega izreka: vsota korenin mora biti enaka 13 , in produkt korenin 36 . Kakšne so te številke? seveda, 4 in 9. Zdaj izračunajte vsoto kvadratnih korenov teh števil: 2+3=5. To je to!