Vrste števil. Naravno, celo število, racionalno in realno

V tem članku bomo definirali množico celih števil, razmislili, katera cela števila imenujemo pozitivna in katera negativna. Pokazali bomo tudi, kako se s celimi števili opisujejo spremembe določenih količin. Začnimo z definicijo in primeri celih števil.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cela števila. Definicija, primeri

Najprej se spomnimo naravnih števil ℕ. Že samo ime pove, da gre za števila, ki se naravno uporabljajo za štetje že od nekdaj. Da bi pokrili koncept celih števil, moramo razširiti definicijo naravnih števil.

Definicija 1. Cela števila

Cela števila so naravna števila, njihova nasprotja in število nič.

Množica celih števil je označena s črko ℤ.

Množica naravnih števil ℕ je podmnožica celih števil ℤ. Vsako naravno število je celo število, ni pa vsako celo naravno število.

Iz definicije sledi, da je vsako od števil 1, 2, 3 celo število. . , številko 0, pa tudi številke - 1, - 2, - 3, . .

V skladu s tem bomo podali primere. Števila 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 so cela števila.

Naj bo koordinatna črta narisana vodoravno in usmerjena v desno. Oglejmo si ga, da si predstavljamo lokacijo celih števil na črti.

Izhodišče na koordinatni premici ustreza številu 0, točke, ki ležijo na obeh straneh ničle, pa ustrezajo pozitivnim in negativnim celim številom. Vsaka točka ustreza enemu celemu številu.

Do katere koli točke na črti, katere koordinata je celo število, lahko pridete tako, da od izhodišča odmaknete določeno število enotskih segmentov.

Pozitivna in negativna cela števila

Med vsemi celimi števili je logično ločiti pozitivna in negativna cela števila. Naj podamo njihove definicije.

Definicija 2: Pozitivna cela števila

Pozitivna cela števila so cela števila z znakom plus.

Na primer, število 7 je celo število z znakom plus, torej pozitivno celo število. Na koordinatni premici leži to število desno od referenčne točke, za katero velja, da je številka 0. Drugi primeri pozitivnih celih števil: 12, 502, 42, 33, 100500.

Definicija 3: Negativna cela števila

Negativna cela števila so cela števila z znakom minus.

Primeri negativnih celih števil: - 528, - 2568, - 1.

Število 0 ločuje pozitivna in negativna cela števila in samo po sebi ni niti pozitivno niti negativno.

Vsako število, ki je nasprotno pozitivnemu celemu številu, je po definiciji negativno celo število. Velja tudi obratno. Inverznost katerega koli negativnega celega števila je pozitivno celo število.

Možno je podati druge formulacije definicij negativnih in pozitivnih celih števil z njihovo primerjavo z ničlo.

Definicija 4: Pozitivna cela števila

Pozitivna cela števila so cela števila, ki so večja od nič.

Definicija 5: Negativna cela števila

Negativna cela števila so cela števila, ki so manjša od nič.

V skladu s tem ležijo pozitivna števila desno od izhodišča na koordinatni premici, negativna cela števila pa levo od nič.

Prej smo rekli, da so naravna števila podmnožica celih števil. Razjasnimo to točko. Množico naravnih števil sestavljajo pozitivna cela števila. Po drugi strani pa je množica negativnih celih števil množica števil, nasprotnih naravnim.

Pomembno!

Vsako naravno število lahko imenujemo celo število, vendar nobenega celega števila ne moremo imenovati naravno število. Ko odgovarjamo na vprašanje, ali so negativna števila naravna števila, moramo pogumno reči – ne, niso.

Nepozitivna in nenegativna cela števila

Dajmo nekaj definicij.

Definicija 6. Nenegativna cela števila

Nenegativna cela števila so pozitivna cela števila in število nič.

Definicija 7. Nepozitivna cela števila

Nepozitivna cela števila so negativna cela števila in število nič.

Kot lahko vidite, število nič ni niti pozitivno niti negativno.

Primeri nenegativnih celih števil: 52, 128, 0.

Primeri nepozitivnih celih števil: - 52, - 128, 0.

Nenegativno število je število, ki je večje ali enako nič. V skladu s tem je nepozitivno celo število število, ki je manjše ali enako nič.

Izraza "nepozitivno število" in "nenegativno število" se uporabljata zaradi jedrnatosti. Na primer, namesto da rečete, da je število a celo število, ki je večje ali enako nič, lahko rečete: a je nenegativno celo število.

Uporaba celih števil za opisovanje količinskih sprememb

Za kaj se uporabljajo cela števila? Prvič, z njihovo pomočjo je priročno opisati in določiti spremembe v količini katerega koli predmeta. Dajmo primer.

Naj bo določeno število ročičnih gredi shranjeno v skladišču. Če bodo v skladišče pripeljali še 500 ročičnih gredi, se bo njihovo število povečalo. Število 500 natančno izraža spremembo (povečanje) števila delov. Če se nato iz skladišča vzame 200 delov, bo ta številka označevala tudi spremembo števila ročičnih gredi. Tokrat navzdol.

Če se nič ne vzame iz skladišča in se nič ne dostavi, bo številka 0 pomenila, da število delov ostane nespremenjeno.

Očitna priročnost uporabe celih števil v nasprotju z naravnimi je v tem, da njihov znak jasno kaže smer spremembe vrednosti (povečanje ali zmanjšanje).

Znižanje temperature za 30 stopinj lahko označimo z negativnim celim številom - 30, in povečanje za 2 stopinji - s pozitivnim celim številom 2.

Dajmo še en primer z uporabo celih števil. Tokrat si predstavljajmo, da moramo nekomu dati 5 kovancev. Potem lahko rečemo, da imamo - 5 kovancev. Število 5 opisuje višino dolga, znak minus pa pomeni, da moramo kovance oddati.

Če eni osebi dolgujemo 2 kovanca, drugi pa 3, potem lahko skupni dolg (5 kovancev) izračunamo po pravilu seštevanja negativnih števil:

2 + (- 3) = - 5

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Cela števila - to so naravna števila, pa tudi njihova nasprotja in ničla.

Cela števila— razširitev množice naravnih števil n, ki ga dobimo z dodajanjem n 0 in negativna števila, kot je − n. Množica celih števil označuje Z.

Vsota, razlika in zmnožek celih števil spet dajo cela števila, tj. cela števila tvorijo obroč glede na operacije seštevanja in množenja.

Cela števila na številski premici:

Koliko celih števil? Koliko celih števil? Največje in najmanjše celo število ne obstajata. Ta serija je neskončna. Največje in najmanjše celo število ne obstajata.

Imenujemo tudi naravna števila pozitivno cela števila, tj. izraza "naravno število" in "pozitivno celo število" sta ista stvar.

Niti ulomki niti decimalke niso cela števila. Obstajajo pa ulomki s celimi števili.

Primeri celih števil: -8, 111, 0, 1285642, -20051 in tako naprej.

Preprosto povedano, cela števila so (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - zaporedje celih števil. To so tisti, katerih delni del (()) je enak nič. Nimajo delnic.

Naravna števila so cela, pozitivna števila. cela števila, primeri: (1,2,3,4...+ ∞).

Operacije na celih številih.

1. Vsota celih števil.

Če želite sešteti dve celi števili z enakimi predznaki, morate sešteti module teh števil in dati končni znak pred vsoto.

primer:

(+2) + (+5) = +7.

2. Odštevanje celih števil.

Če želite sešteti dve celi števili z različnima predznakoma, morate modul števila, ki je večje, odšteti od modula števila, ki je manjše, in odgovoru dati predznak večjega modulo števila.

primer:

(-2) + (+5) = +3.

3. Množenje celih števil.

Če želite pomnožiti dve celi števili, morate pomnožiti modula teh števil in pred zmnožek postaviti znak plus (+), če sta bila prvotna števila istega predznaka, in znak minus (-), če sta bila različna.

primer:

(+2) ∙ (-3) = -6.

Pri množenju več števil bo predznak produkta pozitiven, če je število nepozitivnih faktorjev sodo, in negativen, če je število nepozitivnih faktorjev liho.

primer:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 nepozitivni dejavniki).

4. Deljenje celih števil.

Če želite deliti cela števila, morate modul enega deliti z modulom drugega in pred rezultatom postaviti znak "+", če sta predznaka števil enaka, in znak minus, če sta različna.

primer:

(-12) : (+6) = -2.

Lastnosti celih števil.

Z ni zaprt glede na deljenje 2 celih števil ( na primer 1/2). Spodnja tabela prikazuje nekaj osnovnih lastnosti seštevanja in množenja za poljubno celo število a, b in c.

Iz tabele lahko sklepamo, da Z je komutativni obroč z enoto pri seštevanju in množenju.

Standardno deljenje ne obstaja na množici celih števil, obstaja pa t.i deljenje z ostankom: za vsa cela števila a in b, b≠0, obstaja en niz celih števil q in r, Kaj a = bq + r in 0≤r<|b| , Kje |b|- absolutna vrednost (modul) števila b. Tukaj a- deljivo, b- delilnik, q- zasebno, r- ostanek.

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes; znanstvena skupnost še ni uspela priti do skupnega mnenja o bistvu paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.

Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnjevanje časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro.

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Vendar to ni popolna rešitev problema. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru v enem trenutku, vendar iz njih ne morete ugotoviti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, trigonometrija vam bo pomagala ). Posebno pozornost želim opozoriti na to, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo mešati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.

Sreda, 4. julij 2018

Razlike med množico in množico so zelo dobro opisane na Wikipediji. Pa poglejmo.

Kot lahko vidite, »v nizu ne moreta biti dva enaka elementa«, če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje »multiset«. Razumna bitja ne bodo nikoli razumela takšne absurdne logike. To je raven govorečih papig in dresiranih opic, ki nimajo pameti od besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.

Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom, medtem ko so preizkušali most. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.

Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo »pozor, jaz sem v hiši« ali bolje rečeno »matematika preučuje abstraktne pojme«, obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabimo matematično teorijo množic za same matematike.

Zelo dobro smo se učili matematiko in zdaj sedimo za blagajno in delimo plače. Torej pride matematik k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični nabor plače«. Pojasnimo matematiku, da bo preostale račune prejel šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enakimi elementi. Tu se začne zabava.

Najprej bo delovala logika poslancev: "To lahko velja za druge, zame pa ne!" Potem nas bodo začeli prepričevati, da imajo bankovci istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za iste elemente. V redu, preštejmo plače v kovancih - na kovancih ni številk. Tu se bo matematik začel mrzlično spominjati fizike: različni kovanci imajo različno količino umazanije, kristalna struktura in razporeditev atomov je edinstvena za vsak kovanec ...

In zdaj imam najbolj zanimivo vprašanje: kje je črta, za katero se elementi množice spreminjajo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanost tu niti približno ne laže.

Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Območja polj so enaka – kar pomeni, da imamo multimnožico. Če pa pogledamo imena teh istih stadionov, jih dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Kaj je pravilno? In tu matematik-šaman-oštar potegne iz rokava asa adutov in nam začne pripovedovati ali o množici ali multimnožici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.

Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnih koli "predstavljivo kot enotna celota" ali "ni predstavljivo kot ena sama celota."

Nedelja, 18. marec 2018

Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a zato so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.

Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran "Vsota števk števila." Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so številke grafični znaki, s katerimi pišemo števila, v matematičnem jeziku pa naloga zveni takole: »Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število.« Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa to z lahkoto.

Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števk danega števila. In tako imamo številko 12345. Kaj je treba storiti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.

1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v grafični številski simbol. To ni matematična operacija.

2. Eno nastalo sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo posamezne številke. Rezanje slike ni matematična operacija.

3. Posamezne grafične znake pretvorite v številke. To ni matematična operacija.

4. Seštej dobljena števila. Zdaj je to matematika.

Vsota števk števila 12345 je 15. To so »tečaji krojenja in šivanja«, ki jih poučujejo šamani, uporabljajo pa jih matematiki. A to še ni vse.

Z matematičnega vidika ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej bo v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z velikim številom 12345 si ne želim delati glave, razmislimo o številki 26 iz članka o. Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Ne bomo pogledali vsakega koraka pod mikroskopom; Poglejmo rezultat.

Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je enako, kot če bi določili površino pravokotnika v metrih in centimetrih, bi dobili popolnoma drugačne rezultate.

Ničla je videti enako v vseh številskih sistemih in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označi nekaj, kar ni številka? Kaj, za matematike ne obstaja nič razen številk? Šamanom to lahko dovolim, znanstvenikom pa ne. Resničnost niso samo številke.

Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote za števila. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine po primerjavi privedejo do različnih rezultatov, potem to nima nobene zveze z matematiko.

Kaj je prava matematika? To je takrat, ko rezultat matematične operacije ni odvisen od velikosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo to dejanje izvaja.

Oh! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje nedefilske svetosti duš med njihovim vnebovzetjem v nebesa! Halo na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?

Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol sta moški.

Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan zasveti pred očmi,

Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu:

Osebno se trudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (kompozicija več slik: minus, številka štiri, oznaka stopinj). In mislim, da to dekle ni bedak, ki ne pozna fizike. Samo ima močan stereotip dojemanja grafičnih podob. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.

1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "človek, ki se pokaka" ali številka "šestindvajset" v šestnajstiškem zapisu. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznajo številko in črko kot en grafični simbol.

Algebraične lastnosti

Povezave

Fundacija Wikimedia. 2010.

• Poljubljanje policistov
• Cele stvari

Oglejte si, kaj so "cela števila" v drugih slovarjih:

Gaussova cela števila- (Gaussova števila, kompleksna cela števila) so kompleksna števila, pri katerih sta realni in imaginarni del cela števila. Uvedel ga je Gauss leta 1825. Vsebina 1 Definicija in operacije 2 Teorija deljivosti ... Wikipedia

POLNJENJE ŠTEVIL- v kvantni mehaniki in kvantni statistiki številke, ki označujejo stopnjo zasedenosti kvanta. stanja ljudi kvantno mehanska. sistemi številnih enakih delcev. Za sisteme hc s polcelim spinom (fermioni) h.z. lahko ima samo dva pomena... Fizična enciklopedija

Zuckermanove številke- Zuckermanova števila so naravna števila, ki so deljiva s produktom svojih števk. Primer 212 je Zuckermanovo število, saj in. Zaporedje Vsa cela števila od 1 do 9 so Zuckermanova števila. Vsa števila, vključno z ničlo, niso... ... Wikipedia

Algebraična cela števila- Algebraična cela števila so kompleksne (in zlasti realne) korenine polinomov s celimi koeficienti in z vodilnim koeficientom, ki je enak ena. V zvezi s seštevanjem in množenjem kompleksnih števil, algebraičnih celih števil ... ... Wikipedia

Kompleksna cela števila- Gaussova števila, števila v obliki a + bi, kjer sta a in b celi števili (na primer 4 7i). Geometrično predstavljeno s točkami kompleksne ravnine s celimi koordinatami. C.C.H., ki ga je leta 1831 uvedel K. Gauss v zvezi z raziskavami teorije...

Cullenove številke- V matematiki so Cullenova števila naravna števila oblike n 2n + 1 (zapisano Cn). Cullenova števila je prvi proučeval James Cullen leta 1905. Cullenova števila so posebna vrsta Prota števila. Lastnosti Leta 1976 je Christopher Hooley (Christopher... ... Wikipedia

Številke s fiksno točko- Število s fiksno točko je oblika za predstavitev realnega števila v računalniškem pomnilniku kot celega števila. V tem primeru sta samo število x in njegova celoštevilska predstavitev x′ povezana s formulo, kjer je z cena najnižje števke. Najenostavnejši primer aritmetike z... ... Wikipedijo

Izpolni številke- v kvantni mehaniki in kvantni statistiki številke, ki označujejo stopnjo zapolnjenosti kvantnih stanj z delci kvantno mehanskega sistema številnih enakih delcev (glej Identični delci). Za sistem delcev s pol celim Spinom... ... Velika sovjetska enciklopedija

Leylandove številke- Leylandovo število je naravno število, ki ga je mogoče predstaviti kot xy + yx, kjer sta x in y celi števili, večji od 1. Prvih 15 Leylandovih števil je: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649 zaporedje A076980 v OEIS.... ... Wikipedia

Algebraična cela števila- številke, ki so korenine enačb oblike xn + a1xn ​​​​1 +... + an = 0, kjer so a1,..., an racionalna cela števila. Na primer, x1 = 2 + C. a. h., saj je x12 4x1 + 1 = 0. Teorija C. a. h. je nastala v 30 40 x letih. 19. stoletje v zvezi z raziskavo K. ... Velika sovjetska enciklopedija

knjige

• Aritmetika: cela števila. O deljivosti števil. Merjenje količin. Metrični sistem mer. Navadni, Kiselev, Andrej Petrovič. Pozornosti bralcev predstavljamo knjigo izjemnega ruskega učitelja in matematika A. P. Kiseleva (1852-1940), ki vsebuje sistematični tečaj aritmetike. Knjiga obsega šest razdelkov.…