Formula za izračun vsote kotov. Pravilni mnogokotnik

Vrsta lekcije: praktični pouk, kombinirani pouk.

Cilji lekcije:

1. Izpeljite formulo, ki izraža vsoto kotov konveksnega mnogokotnika

2. Razvoj logično razmišljanje in pozornost

3. Gojenje kulture umskega dela

Oprema: tabela "Vsota kotov konveksnega mnogokotnika", delovni zvezek v geometriji, nabor modelov konveksni poligoni.

Uporabljene tehnologije: elementi tehnologije kritično mišljenje, tehnologije, ki varčujejo z zdravjem, tehnologija problemskega učenja.

Napredek lekcije:

jaz . Čustveni začetek lekcije:

Pozdravljeni fantje. Pozdravljeni, gostje. Fantje, poglejte me. Skrbi me, ti pa? Kakšno je vaše razpoloženje? Podprimo drug drugega, nasmejmo se drug drugemu in prepričan sem, da bomo skupaj premagali vse težave, to zmoremo.

Kaj mislite, o čem bo danes potekala lekcija? Ste na izgubi? Za zdaj ne bomo oblikovali teme naše lekcije, k njej se bomo vrnili kasneje, med delom.

II . Posodabljanje znanja:

Matematični narek (frontalni) in nato preverjanje znanja na zadnji strani table. Učenec dela na zadnji strani table.

Namen te naloge: ponovi vse potrebne informacije za nadaljnje delo.

Vrsta preizkusa znanja: medsebojno ali samotestiranje po izbiri študenta.

Učitelj preveri 2-3 dela po izbiri učencev. Rezultat temelji na številu pravilnih odgovorov.

Narekovanje:

1 Poligon znvozlišča se imenujejo... (n-kvadrat).

2. Odsek, ki povezuje katera koli dva ne sosednji vrhovi, se imenuje ... (diagonala mnogokotnika).

3. Če mnogokotnik leži na eni strani vsake premice, ki poteka skozi dve sosednji oglišči, potem se imenuje ... (konveksen).

4. Dve oglišči štirikotnika, ki nista sosednji, imenujemo ... (nasprotni).

5. Kakšen je znesek? stopenjske mere vsi koti trikotnika?.. (180°).

Rezultati: konceptn-kotnik, njegove diagonale, konveksni poligon, njegova nasprotna oglišča, vsota stopinjskih mer vseh kotov trikotnika, ki jih bomo uporabili na naslednji stopnji naše lekcije, pri izvajanju laboratorijskega dela.

III . Učenje nove snovi:

Laboratorijske vaje (v parih).

Namen dela: eksperimentalno izpeljati formulo, ki izraža vsoto kotov konveksnega mnogokotnika.

Navodila za uporabo:

1. Konstruirajte tri konveksne mnogokotnike.

2. Nariši diagonale iz enega oglišča.

3. Primerjaj število stranic mnogokotnika s številom nastalih trikotnikov.

4. Vsoto kotov vsakega mnogokotnika izrazi z vsoto kotov trikotnika.

Rezultate zapišite v tabelo (več učencev svoje rezultate zapiše na tablo)

Ali je zdaj mogoče oblikovati temo lekcije?

- Tema: “Vsota kotov konveksnega mnogokotnika”

5. Oblikujte hipotezo: »Vsota kotov konveksnen-gon je enako (n-2) ٠ 180°"

To hipotezo potrdimo tako, da preberemo izpeljavo formule na 99. strani učbenika. Zapišimo formulo v zvezek. Učenci ocenijo svoje rezultate laboratorijsko delo po pettočkovnem sistemu.

IV . Zdravstveno varčen oddih.

Cilj: preprečevanje utrujenosti, ohranjanje zdravja učencev s povezovanjem vaj z elementi, vključenimi v temo lekcije (z različnimi koti).

Otroci sedijo za mizo. Povabite jih, naj sedijo pod kotom 90°.

Fantje, vstanite. Z rokami narišite širok kot. Dviganje desna roka, kažejo pravi kot. Enako storite z dvigom leva roka. Potem se izmenično delaj neumnega, nato pa ostri koti. usedi se

V . Utrjevanje preučenega gradiva.

Cilj: učence naučiti reševati premico in inverzni problem, z uporabo formule za vsoto kotov konveksnega mnogokotnika.

Reševanje problemov

1. Delo v delovnih zvezkih. (Eden od učencev glasno prebere nalogo in njeno rešitev ter zapolni vrzeli, ostali pozorno spremljajo njegovo delo. Če se učenec zmoti, jo razred popravi.)

Naloga št. 4. Z uporabo formule (n-2) 180°, poiščite vsoto konveksnih kotov:

a) deseterokotnik

b) dvaindvajsetstrani trikotnik

Odgovor: a) 1620°, b) 3600°

2. Pisno odloči št. 365 (c). Koliko stranic ima konveksni mnogokotnik, pri čemer vsak kot meri 120°?

Eden od učencev je povabljen k tabli, da reši nalogo, ostali delajo v svojih zvezkih.

Rešitev: vsota kotov konveksan-kot je 180°٠ ( n-2). Torej 180°٠ ( n-2)=120°٠ n

Od tod: 180°٠ n-360°=120°٠ n, 60°٠ n=360°,n=6.

Odgovor: 6 strani.

Vodilna vprašanja:

Kolikšna je vsota kotov konveksan-kvadrat?

Drug način za izračun vsote kotov konveksan-gon, če vsak od svojihnkoti enaki 120°?

Kako najti število strani takega mnogokotnika?

VI . Samostojno delo

Cilj: preverite stopnjo obvladovanja teme

Naloga 1.

S pomočjo formule poiščite vsoto kotov konveksankvadrat

1. možnost 2. možnost

n=12. Odgovor: 1800°n=32. Odgovor: 5400°

Naloga 2.

Koliko stranic ima konveksni mnogokotnik, katerega vsak kot je enak:

1. možnost 2. možnost

90°. Odgovor: Štiri 60° Odgovor: Tri

Več učencev iz vsake možnosti zapiše svoje odgovore na hrbtno stran table, učitelj preveri, ostali učenci pa po lastni izbiri opravijo samo- ali medsebojno preverjanje.

domača naloga:

Cilj: Utrditi spretnosti učencev pri reševanju nalog z uporabo formule za vsoto kotov konveksnega mnogokotnika.

1. Točka 40 na strani 99, vprašanje 3 na strani 114;

2. Rešite naloge št. 364 (c), 365 (d).

VII . Povzetek lekcije:

1. Sestavljanje syncwine.

2. Ocenjevanje (aritmetično povprečje: narek, l/r, s/r).

3. Komentiranje domačih nalog.

4. Predaja zvezkov s strani učencev.

Sinkwine

Poligoni

konveksen,n- premog

Gradimo, lomimo, računamo

Vsota konveksnih kotovn-gon je enako (n-2) 180°

Formula

V 8. razredu se pri pouku geometrije v šoli učenci prvič seznanijo s pojmom konveksni mnogokotnik. Zelo kmalu se bodo naučili, da ima ta številka zelo zanimiva lastnina. Ne glede na to, kako zapleten je, vsota vseh notranjih in zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika ima strogo določeno vrednost. V tem članku učiteljica matematike in fizike govori o tem, čemu je enaka vsota kotov konveksnega mnogokotnika.

Vsota notranjih kotov konveksnega mnogokotnika

Kako dokazati to formulo?

Preden nadaljujemo z dokazom te izjave, se spomnimo, kateri mnogokotnik imenujemo konveksen. Konveksni mnogokotnik je mnogokotnik, ki v celoti leži na eni strani črte, ki vsebuje katero koli od svojih stranic. Na primer, prikazano na tej sliki:

Če mnogokotnik ne zadošča določeno stanje, potem se imenuje nekonveksen. Na primer takole:

Vsota notranjih kotov konveksnega mnogokotnika je enaka , kjer je število stranic mnogokotnika.

Dokaz tega dejstva temelji na izreku o vsoti kotov v trikotniku, ki ga dobro poznajo vsi šolarji. Prepričan sem, da ta izrek poznate tudi vi. Vsota notranjih kotov trikotnika je .

Ideja je razdeliti konveksni mnogokotnik na več trikotnikov. To se lahko naredi na različne načine. Glede na to, katero metodo izberemo, bodo dokazi nekoliko drugačni.

1. Konveksni mnogokotnik razdeli na trikotnike z vsemi možnimi diagonalami, narisanimi iz nekega oglišča. Zlahka je razumeti, da bo potem naš n-gon razdeljen na trikotnike:

Poleg tega je vsota vseh kotov vseh nastalih trikotnikov enaka vsoti kotov našega n-kotnika. Navsezadnje je vsak kot v nastalih trikotnikih delni kot v našem konveksnem mnogokotniku. To pomeni, da je zahtevana količina enaka.

2. Izberete lahko tudi točko znotraj konveksnega poligona in jo povežete z vsemi oglišči. Nato bo naš n-gon razdeljen na trikotnike:

Poleg tega bo vsota kotov našega mnogokotnika v tem primeru enaka vsoti vseh kotov vseh teh trikotnikov minus središčni kot, kar je enako . To pomeni, da je zahtevana količina spet enaka.

Vsota zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika

Postavimo si zdaj vprašanje: "Kolikšna je vsota zunanjih kotov konveksnega mnogokotnika?" Na to vprašanje je mogoče odgovoriti na naslednji način. Vsak zunanji kot meji na ustrezni notranji kot. Zato je enako:

Potem je vsota vseh zunanjih kotov enaka . To pomeni, da je enaka.

To pomeni, da dobimo zelo smešen rezultat. Če zaporedno enega za drugim narišemo vse zunanje kote poljubnega konveksnega n-kotnika, bo rezultat točno cela ravnina.

to zanimivo dejstvo lahko ponazorimo na naslednji način. Proporcionalno zmanjšajmo vse stranice nekega konveksnega mnogokotnika, dokler se ne združi v točko. Ko se to zgodi, bodo vsi zunanji koti položeni drug od drugega in tako zapolnili celotno ravnino.

Zanimivo dejstvo, kajne? In takih dejstev je v geometriji veliko. Učite se torej geometrije, dragi šolarji!

Gradivo o tem, čemu je enaka vsota kotov konveksnega mnogokotnika, je pripravil Sergey Valerievich

Trikotnik, kvadrat, šesterokotnik - te številke poznajo skoraj vsi. Ampak tukaj je, kaj je pravilni mnogokotnik, ne vedo vsi. Toda ti so vsi enaki Pravilni mnogokotnik je tisti, ki ima enake kote in stranice. Takšnih številk je veliko, a vse imajo enake lastnosti in zanje veljajo iste formule.

Lastnosti pravilnih mnogokotnikov

Vsak pravilni mnogokotnik, pa naj bo to kvadrat ali osmerokotnik, lahko vpišemo v krog. Ta osnovna lastnost se pogosto uporablja pri konstruiranju figure. Poleg tega lahko v mnogokotnik vpišemo krog. V tem primeru bo število stičnih točk enako številu njegovih strani. Pomembno je, da bo krog, vpisan v pravilni mnogokotnik, imel splošni center. Za te geometrijske like veljajo isti izreki. Katera koli stran pravilnega n-kotnika je povezana s polmerom R kroga, opisanega okoli njega, zato ga je mogoče izračunati z uporabo naslednjo formulo: a = 2R ∙ sin180°. Skozi lahko najdete ne samo stranice, ampak tudi obseg poligona.

Kako najti število strani pravilnega mnogokotnika

Vsak je sestavljen iz določenega števila enakih segmentov, ki, ko so povezani, tvorijo zaprto črto. V tem primeru imajo vsi koti nastale figure enako vrednost. Poligone delimo na preproste in zapletene. V prvo skupino spadata trikotnik in kvadrat. Kompleksni poligoni imajo večje število straneh Sem sodijo tudi zvezdaste figure. Pri zapletenih pravilnih mnogokotnikih stranice najdemo tako, da jih vpišemo v krog. Dajmo dokaz. Nariši pravilni mnogokotnik z poljubno število strani n. Okoli njega narišite krog. Nastavite polmer R. Zdaj pa si predstavljajte, da imate n-kotnik. Če točke njegovih kotov ležijo na krogu in so med seboj enake, potem lahko stranice najdete po formuli: a = 2R ∙ sinα: 2.

Iskanje števila stranic včrtanega pravilnega trikotnika

Enakostranični trikotnik je pravilen mnogokotnik. Zanj veljajo iste formule kot za kvadrat in n-kotnik. Trikotnik se šteje za pravilnega, če so njegove stranice enake dolžine. V tem primeru sta kota 60⁰. Sestavimo trikotnik z dano dolžino stranice a. Če poznate njegovo mediano in višino, lahko ugotovite vrednost njegovih strani. Za to bomo uporabili metodo iskanja s formulo a = x: cosα, kjer je x mediana ali višina. Ker so vse stranice trikotnika enake, dobimo a = b = c. Potem bo res naslednja izjava a = b = c = x: cosα. Podobno lahko najdete vrednost stranic v enakokrakem trikotniku, vendar bo x podana višina. V tem primeru ga je treba projicirati strogo na dno figure. Če torej poznamo višino x, najdemo stran a enakokraki trikotnik po formuli a = b = x: cosα. Ko najdete vrednost a, lahko izračunate dolžino osnove c. Uporabimo Pitagorov izrek. Iskali bomo vrednost polovice osnove c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Potem je c = 2xtanα. Na ta preprost način lahko ugotovite število stranic katerega koli včrtanega mnogokotnika.

Izračunavanje stranic kvadrata, včrtanega v krog

Kot vsak drugi včrtan pravilni mnogokotnik ima tudi kvadrat enake stranice in vogali. Zanj veljajo iste formule kot za trikotnik. Stranice kvadrata lahko izračunate z diagonalno vrednostjo. Razmislimo o tej metodi podrobneje. Znano je, da diagonala deli kot na pol. Sprva je bila njegova vrednost 90 stopinj. Tako bosta po delitvi oblikovana kota pri dnu enaka 45 stopinj. V skladu s tem bo vsaka stranica kvadrata enaka, to je: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, kjer je e diagonala kvadrata ali osnova pravokotnega trikotnika, ki nastane po delitev. To ni edini način iskanje stranic kvadrata. Vpišimo ta lik v krog. Če poznamo polmer tega kroga R, najdemo stranico kvadrata. Izračunali ga bomo takole: a4 = R√2. Polmeri pravilnih mnogokotnikov se izračunajo po formuli R = a: 2tg (360 o: 2n), kjer je a dolžina stranice.

Kako izračunati obseg n-kotnika

Obseg n-kotnika je vsota vseh njegovih stranic. Preprosto je izračunati. Če želite to narediti, morate poznati pomene vseh strani. Za nekatere vrste poligonov obstajajo posebne formule. Omogočajo vam, da veliko hitreje najdete obod. Znano je, da ima vsak pravilen mnogokotnik enake stranice. Zato je za izračun njegovega oboda dovolj poznati vsaj enega od njih. Formula bo odvisna od števila strani figure. Na splošno je videti takole: P = an, kjer je a vrednost strani in n število kotov. Na primer, da bi našli obseg pravilnega osmerokotnika s stranico 3 cm, ga morate pomnožiti z 8, to je P = 3 ∙ 8 = 24 cm za šesterokotnik s stranico 5 cm, izračunamo kot sledi: P = 5 ∙ 6 = 30 cm In tako za vsak mnogokotnik.

Iskanje obsega paralelograma, kvadrata in romba

Glede na to, koliko stranic ima pravilni mnogokotnik, se izračuna njegov obseg. To zelo olajša nalogo. Dejansko vam v tem primeru za razliko od drugih figur ni treba iskati vseh strani, ena je dovolj. Po enakem principu najdemo obseg štirikotnikov, torej kvadrata in romba. Kljub temu, da ta različne figure, je formula zanje ena P = 4a, kjer je a stranica. Dajmo primer. Če je stranica romba ali kvadrata 6 cm, potem dobimo obseg takole: P = 4 ∙ 6 = 24 cm, samo za paralelogram nasprotnih straneh. Zato se njen obseg najde z drugo metodo. Torej moramo poznati dolžino a in širino b figure. Nato uporabimo formulo P = (a + b) ∙ 2. Paralelogram, v katerem so vse stranice in koti med njimi enaki, se imenuje romb.

Iskanje obsega enakostraničnega in pravokotnega trikotnika

Obseg pravilne je mogoče najti s formulo P = 3a, kjer je a dolžina stranice. Če je neznana, jo je mogoče najti prek mediane. IN pravokotni trikotnik enaka vrednost imajo samo dve strani. Osnovo lahko najdemo s pomočjo Pitagorovega izreka. Ko so znane vrednosti vseh treh strani, izračunamo obseg. Najdemo ga lahko s formulo P = a + b + c, kjer sta a in b enaki stranici, c pa je osnova. Spomnimo se, da je v enakokrakem trikotniku a = b = a, kar pomeni a + b = 2a, potem je P = 2a + c. Na primer, stranica enakokrakega trikotnika je 4 cm, poiščimo njegovo osnovo in obseg. Vrednost hipotenuze izračunamo s pomočjo Pitagorovega izreka z = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Sedaj izračunaj obseg P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Kako najti kote pravilnega mnogokotnika

Pravilni mnogokotnik se v našem življenju pojavlja vsak dan, na primer pravilen kvadrat, trikotnik, osmerokotnik. Zdi se, da ni nič lažjega kot zgraditi to figuro sami. Toda to je preprosto le na prvi pogled. Če želite sestaviti kateri koli n-kotnik, morate poznati vrednost njegovih kotov. Toda kako jih najti? Celo starodavni znanstveniki so poskušali zgraditi pravilne mnogokotnike. Ugotovili so, kako jih postaviti v kroge. In potem so označili potrebne točke, jih povezal z ravnimi črtami. Za preproste figure gradbeni problem je bil rešen. Dobili smo formule in izreke. Na primer, Evklid se je v svojem znamenitem delu "Začetek" ukvarjal z reševanjem problemov za 3-, 4-, 5-, 6- in 15-kotnike. Našel je načine, kako jih sestaviti in najti kote. Poglejmo, kako to narediti za 15-gon. Najprej morate izračunati vsoto njegovih notranjih kotov. Uporabiti je treba formulo S = 180⁰(n-2). Torej, dan nam je 15-kotnik, kar pomeni, da je število n 15. Podatke, ki jih poznamo, nadomestimo v formulo in dobimo S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Našli smo vsoto vseh notranjih kotov 15-kotnika. Zdaj morate ugotoviti vrednost vsakega od njih. Skupaj je 15 kotov. Izračunamo 2340⁰: 15 = 156⁰. Torej vsi notranji kotiček je enako 156⁰, zdaj lahko s pomočjo ravnila in šestila sestavite pravilni 15-kotnik. Kaj pa bolj zapleteni n-kotniki? Več stoletij so se znanstveniki trudili rešiti ta problem. Našel ga je šele v 18. stoletju Carl Friedrich Gauss. Bil je sposoben zgraditi 65537-gon. Od takrat je problem uradno veljal za popolnoma rešen.

Izračun kotov n-kotnikov v radianih

Seveda obstaja več načinov za iskanje kotov mnogokotnikov. Najpogosteje se izračunajo v stopinjah. Lahko pa jih izrazimo tudi v radianih. Kako to narediti? Nadaljevati morate na naslednji način. Najprej ugotovimo število stranic pravilnega mnogokotnika, nato od njega odštejemo 2. To pomeni, da dobimo vrednost: n - 2. Ugotovljeno razliko pomnožimo s številom n ("pi" = 3,14). Zdaj ostane le še, da dobljeni produkt delimo s številom kotov v n-kotniku. Oglejmo si te izračune na primeru istega desetkotnika. Torej je število n 15. Uporabimo formulo S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13 : 15 = 2,72. To seveda ni edini način za izračun kota v radianih. Kot v stopinjah lahko preprosto delite s 57,3. Navsezadnje je to število stopinj enakovrednih enemu radianu.

Izračun kotov v stopinjah

Poleg stopinj in radianov lahko poskusite najti kote pravilnega mnogokotnika v stopinjah. To se naredi na naslednji način. Od skupno število kotov, odštejemo 2, dobljeno razliko delimo s številom stranic pravilnega mnogokotnika. Ugotovljeni rezultat pomnožimo z 200. Mimogrede, takšna merska enota kotov kot stopinje se praktično ne uporablja.

Izračun zunanjih kotov n-kotnikov

Za vsak pravilni mnogokotnik lahko poleg notranjega izračunamo tudi zunanji kot. Njegovo vrednost najdemo na enak način kot pri drugih številkah. Torej, če želite najti zunanji kot pravilnega mnogokotnika, morate poznati vrednost notranjega. Poleg tega vemo, da je vsota teh dveh kotov vedno enaka 180 stopinj. Zato naredimo izračune na naslednji način: 180⁰ minus vrednost notranjega kota. Najdemo razliko. Enak bo vrednosti kota, ki meji nanj. Na primer, notranji kot kvadrata je 90 stopinj, kar pomeni, da bo zunanji kot 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kot vidimo, ga ni težko najti. Zunanji kot lahko sprejme vrednost od +180⁰ do -180⁰.