riž. 1. Predmeti iz življenja, ki imajo obliko prisekanega stožca
Kaj mislite, od kod prihajajo nove oblike v geometriji? Vse je zelo preprosto: človek v življenju naleti na podobne predmete in si izmisli ime zanje. Vzemimo stojalo, na katerem sedijo levi v cirkusu, kos korenja, ki ga dobimo, če ga odrežemo le del, delujoči vulkan in na primer svetlobo svetilke (glej sliko 1).
riž. 2. Geometrijske oblike
Vidimo, da so vse te figure podobne oblike - tako spodaj kot zgoraj so omejene s krogi, vendar se zožijo navzgor (glej sliko 2).
riž. 3. Odrezovanje vrha stožca
Videti je kot stožec. Samo vrh manjka. V mislih si predstavljajmo, da vzamemo stožec in mu z enim zamahom ostrega meča odrežemo zgornji del (glej sliko 3).
riž. 4. Prisekani stožec
Rezultat je točno naša figura, imenujemo jo prisekan stožec (glej sliko 4).
riž. 5. Odsek vzporeden z osnovo stožca
Naj bo podan stožec. Narišimo ravnino, ki je vzporedna z ravnino osnove tega stožca in seka stožec (glej sliko 5).
Stožec bo razdelil na dve telesi: eno od njiju je manjši stožec, drugo pa imenujemo prisekani stožec (glej sliko 6).
riž. 6. Nastala telesa z vzporednim odsekom
Prisekani stožec je torej del stožca, ki je zaprt med njegovo osnovo in ravnino, vzporedno z osnovo. Tako kot pri stožcu ima lahko tudi prisekani stožec na dnu krog, v tem primeru se imenuje krožni. Če je bil prvotni stožec raven, se prisekan stožec imenuje ravni. Kot pri stožcih bomo tudi pri stožcih upoštevali izključno ravne krožne prisekane stožce, razen če ni posebej navedeno, da govorimo o posrednem prisekanem stožcu ali da njegove osnove niso krogi.
riž. 7. Vrtenje pravokotnega trapeza
Naša globalna tema so rotacijska telesa. Prisekani stožec ni izjema! Spomnimo se, da smo za pridobitev stožca upoštevali pravokotni trikotnik in ga zavrteli okoli kraka? Če nastali stožec preseka ravnina, vzporedna z osnovo, bo trikotnik ostal pravokoten trapez. Njegovo vrtenje okoli manjše stranice nam bo dalo prisekan stožec. Ponovno poudarimo, da seveda govorimo samo o ravnem krožnem stožcu (glej sliko 7).
riž. 8. Osnovice prisekanega stožca
Dajmo nekaj komentarjev. Osnova popolnega stožca in krog, ki izhaja iz odseka stožca z ravnino, se imenujeta osnovi prisekanega stožca (spodnji in zgornji) (glej sliko 8).
riž. 9. Generatorji prisekanega stožca
Odseki generatorjev popolnega stožca, zaprti med osnovami prisekanega stožca, se imenujejo generatorji prisekanega stožca. Ker so vsi generatorji prvotnega stožca enaki in vsi generatorji odrezanega stožca enaki, so enaki tudi generatorji prisekanega stožca (ne zamenjujte odsekanega in prisekanega!). To pomeni, da je osni prerez trapeza enakokrak (glej sliko 9).
Odsek vrtilne osi, zaprt znotraj prisekanega stožca, se imenuje os prisekanega stožca. Ta segment seveda povezuje središča svojih baz (glej sliko 10).
riž. 10. Os prisekanega stožca
Višina prisekanega stožca je navpičnica, ki poteka iz točke ene od osnov na drugo osnovo. Najpogosteje se višina prisekanega stožca šteje za njegovo os.
riž. 11. Osni prerez prisekanega stožca
Osni prerez prisekanega stožca je prerez, ki gre skozi njegovo os. Ima obliko trapeza; nekoliko kasneje bomo dokazali, da je enakokrak (glej sliko 11).
riž. 12. Stožec z uvedenimi oznakami
Poiščimo površino stranske površine prisekanega stožca. Naj imata osnovici prisekanega stožca polmera in , generatrisa pa enaka (glej sliko 12).
riž. 13. Oznaka generatrike odrezanega stožca
Najdemo površino stranske ploskve prisekanega stožca kot razliko med površinami stranskih ploskev prvotnega stožca in odrezanega. Da bi to naredili, označimo z generatriko odrezanega stožca (glej sliko 13).
Potem, kar iščete.
riž. 14. Podobni trikotniki
Vse kar ostane je izraziti.
Upoštevajte, da iz podobnosti trikotnikov, od koder (glej sliko 14).
Možno bi bilo izraziti , deljenje z razliko polmerov, vendar tega ne potrebujemo, saj se iskani produkt pojavi v želenem izrazu. Z zamenjavo imamo končno: .
Zdaj je enostavno dobiti formulo za skupno površino. Če želite to narediti, samo dodajte območje dveh krogov baz: .
riž. 15. Ilustracija k nalogi
Naj dobimo prisekan stožec z vrtenjem pravokotnega trapeza okoli njegove višine. Srednja črta trapeza je enaka , velika stranska stran pa je enaka (glej sliko 15). Poiščite stransko površino nastalega prisekanega stožca.
rešitev
Iz formule to vemo 
.
Generatrica stožca bo večja stranica prvotnega trapeza, to pomeni, da so polmeri stožca osnove trapeza. Ne najdemo jih. Vendar ga ne potrebujemo: potrebujemo le njihovo vsoto, vsota osnov trapeza pa je dvakrat večja od njegove srednje črte, torej je enaka . Potem.
Upoštevajte, da smo, ko smo govorili o stožcu, potegnili vzporednice med njim in piramido - formule so bile podobne. Enako je pri nas, saj je prisekan stožec zelo podoben prisekani piramidi, zato so si formule za ploščine stranskih in skupnih ploskev prisekanega stožca in piramide (kmalu bodo tudi formule za prostornino) podobne.
riž. 1. Ilustracija za problem
Polmeri osnov prisekanega stožca so enaki in , generatrisa pa je enaka . Poiščite višino prisekanega stožca in površino njegovega osnega odseka (glej sliko 1).
Stožec (iz grškega "konos")- borov storž. Stožec je ljudem znan že od antičnih časov. Leta 1906 je bila odkrita knjiga "O metodi", ki jo je napisal Arhimed (287-212 pr. n. št.); ta knjiga daje rešitev problema prostornine skupnega dela sekajočih se valjev. Arhimed pravi, da to odkritje pripada starogrškemu filozofu Demokritu (470-380 pr. n. št.), ki je s pomočjo tega principa dobil formule za izračun volumna piramide in stožca.
Stožec (krožni stožec) je telo, ki je sestavljeno iz kroga - osnove stožca, točke, ki ne pripada ravnini tega kroga - vrha stožca in vseh segmentov, ki povezujejo vrh stožca in točke stožca. osnovni krog. Odseke, ki povezujejo oglišče stožca s točkami osnovnega kroga, imenujemo generatorji stožca. Ploskev stožca je sestavljena iz osnovne in stranske ploskve.
Stožec se imenuje ravnina, če je premica, ki povezuje vrh stožca s središčem baze, pravokotna na ravnino baze. Pravilni krožni stožec lahko obravnavamo kot telo, ki ga dobimo z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli njegovega kraka kot osi.
Višina stožca je navpičnica, spuščena z njegovega vrha na ravnino osnove. Pri ravnem stožcu osnova višine sovpada s središčem osnove. Os pravilnega stožca je premica, ki vsebuje njegovo višino.
Odsek stožca z ravnino, ki poteka skozi generatriko stožca in je pravokotna na osni odsek, narisan skozi to generatriko, se imenuje tangentna ravnina stožca.
Ravnina, pravokotna na os stožca, seka stožec v krogu, stranska ploskev pa seka krog s središčem na osi stožca.
Ravnina, pravokotna na os stožca, odreže od njega manjši stožec. Preostali del imenujemo prisekan stožec.
Prostornina stožca je enaka tretjini zmnožka višine in površine osnove. Tako imajo vsi stožci, ki ležijo na dani podlagi in imajo oglišče na dani ravnini, ki je vzporedna z osnovo, enako prostornino, saj so njihove višine enake.
Bočno površino stožca lahko najdete po formuli:
stran S = πRl,
Celotno površino stožca najdemo po formuli:
S con = πRl + πR 2,
kjer je R polmer baze, l je dolžina generatrise.
Prostornina krožnega stožca je enaka
V = 1/3 πR 2 H,
kjer je R polmer baze, H je višina stožca
Bočno površino prisekanega stožca lahko najdete po formuli:
stran S = π(R + r)l,
Celotno površino prisekanega stožca lahko najdete po formuli:
S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,
kjer je R polmer spodnje baze, r je polmer zgornje baze, l je dolžina generatrise.
Prostornino prisekanega stožca lahko najdete na naslednji način:
V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),
kjer je R polmer spodnje osnove, r je polmer zgornje osnove, H je višina stožca.
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.
Definicije:
Definicija 1. Stožec
Definicija 2. Krožni stožec
Definicija 3. Višina stožca
Definicija 4. Ravni stožec
Definicija 5. Pravilni krožni stožec
Izrek 1. Generatorji stožca
Izrek 1.1. Aksialni prerez stožca
Prostornina in površina :
Izrek 2. Prostornina stožca
Izrek 3. Območje stranske površine stožca
prisekan stožec :
Izrek 4. Odsek vzporeden z osnovo
Definicija 6. Prisekani stožec
Izrek 5. Prostornina prisekanega stožca
Izrek 6. Bočna površina prisekanega stožca
Definicije
Telo, ki je ob straneh omejeno s stožčasto ploskvijo med vrhom in ravnino vodila, ter ravno podlago vodila, ki jo tvori zaprta krivulja, imenujemo stožec.
Osnovni pojmi
Krožni stožec je telo, ki je sestavljeno iz krožnice (osnovice), točke, ki ne leži v ravnini osnove (vrh) in vseh segmentov, ki povezujejo vrh s točkami baze. 
Ravni stožec je stožec, katerega višina vsebuje središče osnove stožca.
Upoštevajte katero koli črto (krivuljo, lomljeno ali mešano) (npr. l), ki leži v določeni ravnini, in poljubna točka (na primer M), ki ne leži v tej ravnini. Vse možne premice, ki povezujejo točko M z vsemi točkami dane premice l, obrazec površina, imenovana kanonična. Točka M je oglišče take ploskve, dana pa premica l - vodnik. Vse premice, ki povezujejo točko M z vsemi točkami premice l, poklical oblikovanje. Kanonična ploskev ni omejena niti z vrhom niti z vodilom. Od vrha se razteza v nedogled v obe smeri. Naj bo zdaj vodilo zaprta konveksna črta. Če je vodilo lomljena črta, se imenuje telo, ki ga bočno omejuje kanonična ploskev med njegovim vrhom in ravnino vodila ter ravno podlago v ravnini vodila. piramida.
Če je vodilo kriva ali mešana črta, potem se telo, ki je ob straneh omejeno s kanonično ploskvijo med njegovim vrhom in ravnino vodila, ter ravno podlago v ravnini vodila, imenuje stožec oz.
Definicija 1
. Stožec je telo, sestavljeno iz baze - ploščate figure, omejene s sklenjeno črto (ukrivljeno ali mešano), vrha - točke, ki ne leži v ravnini baze, in vseh segmentov, ki povezujejo vrh z vsemi možnimi točkami. baze.
Vse premice, ki potekajo skozi vrh stožca in katero koli točko krivulje, ki omejuje lik osnove stožca, imenujemo generatorji stožca. Najpogosteje v geometrijskih problemih generatrix ravne črte pomeni segment te ravne črte, zaprt med vrhom in ravnino osnove stožca.
Osnova omejene mešane linije je zelo redek primer. Tukaj je navedeno samo zato, ker ga je mogoče upoštevati v geometriji. Pogosteje se upošteva primer z ukrivljenim vodilom. Čeprav sta tako primer s poljubno krivuljo kot primer z mešano vodilnico malo uporabna in je iz njiju težko izpeljati kakršnekoli vzorce. Med stožci se v tečaju elementarne geometrije preučuje pravilni krožni stožec.
Znano je, da je krog poseben primer zaprte krivulje. Krog je ploščat lik, ki ga omejuje krog. Če vzamemo krog kot vodilo, lahko definiramo krožni stožec.
Definicija 2
. Krožni stožec je telo, ki je sestavljeno iz krožnice (osnovice), točke, ki ne leži v ravnini osnove (vrh) in vseh segmentov, ki povezujejo vrh s točkami baze.
Definicija 3
. Višina stožca je navpičnica, spuščena z vrha na ravnino osnove stožca. Izberete lahko stožec, katerega višina pade na sredino ploščate figure baze.
Definicija 4
. Ravni stožec je stožec, katerega višina vsebuje središče osnove stožca.
Če združimo ti dve definiciji, dobimo stožec, katerega osnova je krog, višina pa pade v središče tega kroga.
Definicija 5
. Pravilni krožni stožec je stožec, katerega osnova je krog, njegova višina pa povezuje vrh in sredino osnove tega stožca. Takšen stožec dobimo tako, da pravokotni trikotnik zavrtimo okoli enega od njegovih krakov. Zato je pravilen krožni stožec vrtilno telo in ga imenujemo tudi vrtilni stožec. Če ni navedeno drugače, za kratkost v nadaljevanju preprosto rečemo stožec.
Tukaj je torej nekaj lastnosti stožca:
1. izrek.
Vsi generatorji stožca so enaki. Dokaz. Višina MO je pravokotna na vse ravne črte baze, po definiciji je ravna črta, pravokotna na ravnino. Zato so trikotniki MOA, MOB in MOS pravokotni in enaki na dveh krakih (MO je splošni, OA=OB=OS so polmeri osnovice. Torej sta enaki tudi hipotenuzi, tj. generatorji.
Včasih se imenuje polmer osnove stožca polmer stožca. Imenuje se tudi višina stožca os stožca, zato se vsak odsek, ki poteka skozi višino, imenuje aksialni prerez. Vsak osni odsek seka osnovo v premeru (ker premica, po kateri se sekata osni odsek in ravnina osnove, poteka skozi središče kroga) in tvori enakokraki trikotnik.
Izrek 1.1.
Osni prerez stožca je enakokraki trikotnik. Torej je trikotnik AMB enakokrak, ker njeni strani MB in MA sta generatorji. Kot AMB je kot na vrhu osnega prereza.
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse varovanja zasebnosti.
