Nasprotni ploskvi paralelepipeda se imenujeta. Paralelepiped in kocka

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

V tej lekciji bodo vsi lahko preučevali temo "Pravokotni paralelopiped". Na začetku lekcije bomo ponovili, kaj so poljubni in ravni paralelopipedi, se spomnili lastnosti njunih nasprotnih ploskev in diagonal paralelepipeda. Nato si bomo ogledali, kaj je kvader, in razpravljali o njegovih osnovnih lastnostih.

Tema: Pravokotnost premic in ravnin

Lekcija: Kvader

Površino, sestavljeno iz dveh enakih paralelogramov ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 ter štirih paralelogramov ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, imenujemo. paralelopiped(slika 1).

riž. 1 Paralelepiped

Se pravi: imamo dva enaka paralelograma ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 (osnovici), ležita v vzporednih ravninah tako, da so stranski robovi AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 vzporedni. Tako se imenuje površina, sestavljena iz paralelogramov paralelopiped.

Tako je površina paralelepipeda vsota vseh paralelogramov, ki sestavljajo paralelepiped.

1. Nasprotni ploskvi paralelepipeda sta vzporedni in enaki.

(oblike so enake, to pomeni, da jih je mogoče kombinirati s prekrivanjem)

Na primer:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (po definiciji enaka paralelograma),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (ker sta AA 1 B 1 B in DD 1 C 1 C nasprotni strani paralelepipeda),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (ker sta AA 1 D 1 D in BB 1 C 1 C nasprotni ploskvi paralelepipeda).

2. Diagonali paralelepipeda se sekata v eni točki in se s to točko razpolovita.

Diagonale paralelopipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se sekajo v eni točki O in vsako diagonalo s to točko deli na pol (slika 2).

riž. 2 Diagonali paralelopipeda se sekata in ju deli presečišče na pol.

3. Obstajajo tri četverice enakih in vzporednih robov paralelepipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Opredelitev. Paralelepiped se imenuje raven, če so njegovi stranski robovi pravokotni na osnove.

Naj bo stranski rob AA 1 pravokoten na podlago (slika 3). To pomeni, da je premica AA 1 pravokotna na premici AD in AB, ki ležita v ravnini osnove. To pomeni, da stranske ploskve vsebujejo pravokotnike. In osnove vsebujejo poljubne paralelograme. Označimo ∠BAD = φ, kot φ je lahko poljuben.

riž. 3 Pravi paralelepiped

Pravilni paralelepiped je torej paralelepiped, pri katerem so stranski robovi pravokotni na osnove paralelopipeda.

Opredelitev. Paralelepiped se imenuje pravokotnik,če so njegovi stranski robovi pravokotni na podlago. Osnove so pravokotniki.

Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je pravokoten (slika 4), če:

1. AA 1 ⊥ ABCD (stranski rob, pravokoten na ravnino osnove, to je ravni paralelopiped).

2. ∠BAD = 90°, t.j. osnova je pravokotnik.

riž. 4 Pravokotni paralelepiped

Pravokotni paralelepiped ima vse lastnosti poljubnega paralelepipeda. Toda obstajajo dodatne lastnosti, ki izhajajo iz definicije kvadra.

Torej, kvader je paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na osnovo. Osnova kvadra je pravokotnik.

1. V pravokotnem paralelepipedu je vseh šest ploskev pravokotnikov.

ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 sta po definiciji pravokotnika.

2. Stranska rebra so pravokotna na podlago. To pomeni, da so vse stranske ploskve pravokotnega paralelepipeda pravokotniki.

3. Vsi diedrski koti pravokotnega paralelepipeda so pravi.

Oglejmo si na primer diedrski kot pravokotnega paralelopipeda z robom AB, to je diedrski kot med ravninama ABC 1 in ABC.

AB je rob, točka A 1 leži v eni ravnini - v ravnini ABB 1, točka D pa v drugi - v ravnini A 1 B 1 C 1 D 1. Potem lahko obravnavani diedrski kot označimo tudi takole: ∠A 1 ABD.

Vzemimo točko A na robu AB. AA 1 je pravokotna na rob AB v ravnini АВВ-1, AD je pravokotna na rob AB v ravnini ABC. To pomeni, da je ∠A 1 AD linearni kot danega diedrskega kota. ∠A 1 AD = 90°, kar pomeni, da je diedrski kot pri robu AB 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Podobno je dokazano, da so vsi diedrski koti pravokotnega paralelepipeda pravi.

Kvadrat diagonale pravokotnega paralelepipeda je enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij.

Opomba. Dolžine treh robov, ki izhajajo iz enega oglišča kvadra, so mere kvadra. Včasih se imenujejo dolžina, širina, višina.

Podano: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravokotni paralelopiped (slika 5).

Dokaži: .

riž. 5 Pravokotni paralelepiped

Dokaz:

Premica CC 1 je pravokotna na ravnino ABC in torej na premico AC. To pomeni, da je trikotnik CC 1 A pravokoten. Po Pitagorovem izreku:

Razmislite o pravokotnem trikotniku ABC. Po Pitagorovem izreku:

Toda BC in AD sta nasprotni strani pravokotnika. Torej BC = AD. Nato:

Ker , A , To. Ker je CC 1 = AA 1, je bilo to potrebno dokazati.

Diagonali pravokotnega paralelopipeda sta enaki.

Označimo mere paralelopipeda ABC kot a, b, c (glej sliko 6), nato pa AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Cilji lekcije:

1. Izobraževalni:

Uvesti pojem paralelopiped in njegove vrste;
- oblikovati (po analogiji s paralelogramom in pravokotnikom) in dokazati lastnosti paralelopipeda in kvadra;
- ponovijo vprašanja v zvezi z vzporednostjo in pravokotnostjo v prostoru.

2. Razvojni:

Nadaljevati razvoj kognitivnih procesov pri učencih, kot so zaznavanje, razumevanje, mišljenje, pozornost, spomin;
- spodbujati razvoj elementov ustvarjalne dejavnosti pri učencih kot lastnosti mišljenja (intuicija, prostorsko mišljenje);
- razviti pri študentih sposobnost sklepanja, tudi po analogiji, kar pomaga razumeti znotrajpredmetne povezave v geometriji.

3. Izobraževalni:

Prispevati k razvoju organiziranosti in navad sistematičnega dela;
- prispevajo k oblikovanju estetskih veščin pri zapisovanju in risanju.

Vrsta lekcije: lekcija - učenje novega gradiva (2 uri).

Struktura lekcije:

1. Organizacijski trenutek.
2. Posodabljanje znanja.
3. Študij novega gradiva.
4. Povzemanje in zastavljanje domače naloge.

Oprema: plakati (prosojnice) z dokazi, modeli različnih geometrijskih teles, vključno z vsemi vrstami paralelopipedov, grafični projektor.

Napredek lekcije.

1. Organizacijski trenutek.

2. Posodabljanje znanja.

Sporočanje teme lekcije, oblikovanje ciljev in ciljev skupaj s študenti, prikaz praktičnega pomena študija teme, ponavljanje predhodno preučenih vprašanj, povezanih s to temo.

3. Študij novega gradiva.

3.1. Paralelepiped in njegove vrste.

Prikazani so modeli paralelepipedov, identificirane so njihove lastnosti, kar pomaga oblikovati definicijo paralelepipeda s konceptom prizme.

definicija:

paralelopiped imenujemo prizma, katere osnova je paralelogram.

Narejena je risba paralelepipeda (slika 1), navedeni so elementi paralelepipeda kot posebnega primera prizme. Prikazan je diapozitiv 1.

Shematski zapis definicije:

Sklepi iz definicije so oblikovani:

1) Če je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma in ABCD paralelogram, potem je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelopiped.

2) Če je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – paralelopiped, potem je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizma in ABCD je paralelogram.

3) Če ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ni prizma ali ABCD ni paralelogram, potem
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ne paralelopiped.

4). Če je ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – ne paralelopiped, potem ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ni prizma ali ABCD ni paralelogram.

Nato so obravnavani posebni primeri paralelepipeda s konstrukcijo klasifikacijske sheme (glej sliko 3), prikazani so modeli, poudarjene so značilne lastnosti ravnih in pravokotnih paralelepipedov in oblikovane so njihove definicije.

definicija:

Paralelepiped se imenuje raven, če so njegovi stranski robovi pravokotni na podlago.

definicija:

Paralelepiped se imenuje pravokotne, če so njegovi stranski robovi pravokotni na osnovo, osnova pa je pravokotnik (glej sliko 2).

Po zapisu definicij v shematski obliki se oblikujejo zaključki iz njih.

3.2. Lastnosti paralelopipedov.

Poiščite planimetrične figure, katerih prostorski analogi so paralelopiped in kvader (paralelogram in pravokotnik). V tem primeru imamo opravka z vizualno podobnostjo figur. S pomočjo pravila sklepanja po analogiji izpolnimo tabele.

Pravilo sklepanja po analogiji:

1. Med predhodno preučenimi figurami izberite podobno figuro.
2. Formulirajte lastnost izbrane figure.
3. Formulirajte podobno lastnost izvirne figure.
4. Dokaži ali ovrži formulirano trditev.

Po formuliranju lastnosti se dokazovanje vsake od njih izvede po naslednji shemi:

razprava o dokaznem načrtu;
predstavitev diapozitiva z dokazi (prosojnice 2 – 6);
učenci, ki izpolnjujejo dokaze v svojih zvezkih.

3.3 Kocka in njene lastnosti.

Definicija: Kocka je pravokoten paralelepiped, v katerem so vse tri dimenzije enake.

Po analogiji s paralelopipedom učenci samostojno shematsko zapišejo definicijo, iz nje izpeljejo posledice in oblikujejo lastnosti kocke.

4. Povzemanje in zastavljanje domače naloge.

domača naloga:

Z uporabo zapiskov iz lekcij iz učbenika geometrije za 10.-11. razred, L.S. Atanasyan in drugi, preučite 1. poglavje, §4, 13. odstavek, 2. poglavje, §3, 24. odstavek.
Dokažite ali ovrzite lastnost paralelopipeda, 2. točka tabele.
Odgovorite na varnostna vprašanja.

Testna vprašanja.

1. Znano je, da sta samo dve stranski ploskvi paralelepipeda pravokotni na podlago. Kakšna vrsta paralelepipeda?

2. Koliko stranskih ploskev pravokotne oblike ima lahko paralelepiped?

3. Ali je mogoče imeti paralelepiped samo z eno stransko stranjo:

1) pravokotno na podlago;
2) ima obliko pravokotnika.

4. V pravilnem paralelopipedu so vse diagonale enake. Ali je pravokoten?

5. Ali drži, da so v pravilnem paralelepipedu diagonalni prerezi pravokotni na ravnine osnove?

6. Povejte izrek, nasproten izreku o kvadratu diagonale pravokotnega paralelepipeda.

7. Katere dodatne lastnosti razlikujejo kocko od pravokotnega paralelepipeda?

8. Ali bo paralelepiped kocka, v kateri so vsi robovi na enem od oglišč enaki?

9. Povejte izrek o kvadratu diagonale kvadra za primer kocke.

Paralelepiped je prizma, katere osnove so paralelogrami. V tem primeru bodo vsi robovi paralelogrami.
Vsak paralelepiped lahko obravnavamo kot prizmo na tri različne načine, saj lahko vsaki dve nasprotni ploskvi vzamemo kot osnovi (na sliki 5 ploskvi ABCD in A"B"C"D" ali ABA"B" in CDC"D" ali BCB "C" in ADA"D").
Zadevno telo ima dvanajst robov, štiri enake in med seboj vzporedne.
Izrek 3 . Diagonale paralelepipeda se sekajo v eni točki in sovpadajo s sredino vsake od njih.
Paralelepiped ABCDA"B"C"D" (slika 5) ima štiri diagonale AC", BD", CA", DB". Dokazati moramo, da razpolovišči katerih koli dveh izmed njih, na primer AC in BD", sovpadata. To izhaja iz dejstva, da je lik ABC"D", ki ima enake in vzporedne stranice AB in C"D", paralelogram.
Opredelitev 7 . Pravi paralelepiped je paralelepiped, ki je tudi ravna prizma, to je paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na ravnino osnove.
Opredelitev 8 . Pravokotni paralelepiped je pravi paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik. V tem primeru bodo vse njegove ploskve pravokotniki.
Pravokotni paralelepiped je prava prizma, ne glede na to, katero od njegovih ploskev vzamemo za osnovo, saj je vsak njegov rob pravokoten na robove, ki izhajajo iz istega oglišča, in bo zato pravokoten na ravnine ploskev, definiranih po teh robovih. Nasprotno pa lahko ravni, a ne pravokotni paralelepiped gledamo kot ravno prizmo le na en način.
Opredelitev 9 . Dolžine treh robov pravokotnega paralelopipeda, od katerih nobena dva nista med seboj vzporedna (na primer trije robovi, ki izhajajo iz istega oglišča), se imenujejo njegove mere. Dva pravokotna paralelepipeda, ki imata ustrezno enake mere, sta očitno enaka drug drugemu.
Opredelitev 10 .Kocka je pravokoten paralelepiped, katerega vse tri dimenzije so med seboj enake, tako da so vse njegove ploskve kvadrati. Dve kocki z enakima robovoma sta enaki.
Opredelitev 11 . Nagnjen paralelepiped, pri katerem so vsi robovi med seboj enaki in so koti vseh ploskev enaki ali komplementarni, se imenuje romboeder.
Vse ploskve romboedra so enaki rombi. (Nekateri zelo pomembni kristali imajo obliko romboedra, na primer kristali islandskega špara.) V romboedru lahko najdete oglišče (in celo dve nasprotni oglišči) tako, da so vsi koti, ki mejijo nanj, enaki drug drugemu.
Izrek 4 . Diagonali pravokotnega paralelopipeda sta med seboj enaki. Kvadrat diagonale je enak vsoti kvadratov treh dimenzij.
V pravokotnem paralelopipedu ABCDA"B"C"D" (slika 6) sta diagonali AC" in BD" enaki, saj je štirikotnik ABC"D" pravokotnik (ravna črta AB je pravokotna na ravnino ECB" C", v katerem leži BC") .
Poleg tega je AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 na podlagi izreka o kvadratu hipotenuze. Toda na podlagi istega izreka AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; torej imeti:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

Opredelitev

Polieder bomo imenovali zaprto ploskev, sestavljeno iz mnogokotnikov in omejuje določen del prostora.

Segmenti, ki so stranice teh mnogokotnikov, se imenujejo rebra polieder, sami poligoni pa so robovi. Oglišča mnogokotnikov imenujemo oglišča poliedrov.

Upoštevali bomo samo konveksne poliedre (to je polieder, ki se nahaja na eni strani vsake ravnine, ki vsebuje njegovo ploskev).

Mnogokotniki, ki sestavljajo polieder, tvorijo njegovo površino. Del prostora, ki ga omejuje dani polieder, imenujemo njegova notranjost.

Opredelitev: prizma

Razmislite o dveh enakih poligonih \(A_1A_2A_3...A_n\) in \(B_1B_2B_3...B_n\), ki se nahajata v vzporednih ravninah, tako da segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) vzporedno. Polieder, sestavljen iz mnogokotnikov \(A_1A_2A_3...A_n\) in \(B_1B_2B_3...B_n\) ter paralelogramov \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), se imenuje (\(n\)-gonal) prizma.

Mnogokotnika \(A_1A_2A_3...A_n\) in \(B_1B_2B_3...B_n\) imenujemo osnove prizme, paralelogrami \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– stranske ploskve, segmenti \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- stranska rebra.
Tako sta stranska robova prizme med seboj vzporedna in enaka.

Poglejmo primer - prizma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), na dnu katerega leži konveksni peterokotnik.

Višina prizme so navpičnica, spuščena iz katere koli točke ene baze na ravnino druge baze.

Če stranski robovi niso pravokotni na podlago, se imenuje taka prizma nagnjen(slika 1), drugače – neposredno. V ravni prizmi so stranski robovi višine, stranske ploskve pa enaki pravokotniki.

Če pravilni mnogokotnik leži na dnu ravne prizme, se imenuje prizma pravilno.

Opredelitev: pojem prostornine

Enota za merjenje prostornine je enotska kocka (kocka, ki meri \(1\times1\times1\) enot\(^3\), kjer je enota določena merska enota).

Lahko rečemo, da je prostornina poliedra količina prostora, ki ga ta polieder omejuje. Sicer: to je količina, katere številčna vrednost kaže, kolikokrat se enota kocke in njeni deli prilegajo danemu poliedru.

Prostornina ima enake lastnosti kot površina:

1. Prostornini enakih likov sta enaki.

2. Če je polieder sestavljen iz več poliedrov, ki se ne sekajo, potem je njegova prostornina enaka vsoti prostornin teh poliedrov.

3. Prostornina je nenegativna količina.

4. Prostornina se meri v cm\(^3\) (kubičnih centimetrih), m\(^3\) (kubičnih metrih) itd.

Izrek

1. Površina stranske površine prizme je enaka produktu oboda osnove in višine prizme.
Bočna površina je vsota ploščin stranskih ploskev prizme.

2. Prostornina prizme je enaka zmnožku osnovne ploščine in višine prizme: \

Definicija: paralelepiped

Paralelepiped je prizma s paralelogramom na dnu.

Vse ploskve paralelopipeda (obstajajo \(6\) : \(4\) stranske ploskve in \(2\) osnove) so paralelogrami, nasprotni ploskvi (med seboj vzporedni) pa sta enaka paralelograma (slika 2) .

Diagonala paralelepipeda je odsek, ki povezuje dve oglišči paralelepipeda, ki ne ležita na isti ploskvi (teh je \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) itd.).

Pravokotni paralelopiped je pravi paralelepiped s pravokotnikom na dnu.
Ker Ker je to pravi paralelepiped, so stranske ploskve pravokotniki. To pomeni, da so na splošno vse ploskve pravokotnega paralelepipeda pravokotniki.

Vse diagonale pravokotnega paralelepipeda so enake (to izhaja iz enakosti trikotnikov \(\trikotnik ACC_1=\trikotnik AA_1C=\trikotnik BDD_1=\trikotnik BB_1D\) itd.).

Komentiraj

Tako ima paralelepiped vse lastnosti prizme.

Izrek

Bočna površina pravokotnega paralelepipeda je \

Skupna površina pravokotnega paralelopipeda je \

Izrek

Prostornina kvadra je enaka zmnožku njegovih treh robov, ki izhajajo iz enega oglišča (tri dimenzije kvadra): \

Dokaz

Ker V pravokotnem paralelepipedu so stranski robovi pravokotni na osnovo, potem so tudi njegove višine, to je \(h=AA_1=c\) Ker osnova je torej pravokotnik \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Od tod izvira ta formula.

Izrek

Diagonalo \(d\) pravokotnega paralelopipeda najdemo z uporabo formule (kjer so \(a,b,c\) mere paralelepipeda) \

Dokaz

Poglejmo sl. 3. Ker osnova je pravokotnik, potem je \(\trikotnik ABD\) pravokoten, torej po Pitagorovem izreku \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Ker vsi stranski robovi so pravokotni na osnove, torej \(BB_1\perp (ABC) \desna puščica BB_1\) pravokotna na katero koli premico v tej ravnini, tj. \(BB_1\perp BD\) . To pomeni, da je \(\trikotnik BB_1D\) pravokoten. Potem pa po Pitagorejskem izreku \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Opredelitev: kocka

Kocka je pravokoten paralelepiped, katerega vse ploskve so enaki kvadrati.