Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij
Opomba. Ta tabela vrednosti trigonometrične funkcije uporablja znak √ za predstavitev kvadratnega korena. Za označevanje ulomka uporabite simbol "/".
Glej tudi uporabni materiali:
Za določanje vrednosti trigonometrične funkcije, ga poiščite na presečišču črte, ki označuje trigonometrično funkcijo. Na primer, sinus 30 stopinj - iščemo stolpec z naslovom sin (sinus) in najdemo presečišče tega stolpca tabele z vrstico "30 stopinj", na njihovem presečišču preberemo rezultat - eno polovico. Podobno ugotavljamo kosinus 60 stopnje, sinus 60 stopinj (spet na presečišču stolpca sin in črte 60 stopinj najdemo vrednost sin 60 = √3/2) itd. Vrednosti sinusov, kosinusov in tangentov drugih "priljubljenih" kotov se najdejo na enak način.
Sinus pi, kosinus pi, tangens pi in drugi koti v radianih
Spodnja tabela kosinusov, sinusov in tangentov je primerna tudi za iskanje vrednosti trigonometričnih funkcij, katerih argument je podano v radianih. Če želite to narediti, uporabite drugi stolpec vrednosti kotov. Zahvaljujoč temu lahko pretvorite vrednost priljubljenih kotov iz stopinj v radiane. Na primer, poiščimo kot 60 stopinj v prvi vrstici in pod njim preberimo njegovo vrednost v radianih. 60 stopinj je enako π/3 radianov.
Število pi nedvoumno izraža odvisnost obsega od stopinjske mere kota. Tako so pi radiani enaki 180 stopinjam.
Vsako število, izraženo s pi (radiani), je mogoče enostavno pretvoriti v stopinje tako, da pi (π) zamenjate s 180.
Primeri:
1. Sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
torej je sinus pi enak sinusu 180 stopinj in je enak nič.
2. Kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
tako je kosinus pi enak kosinusu 180 stopinj in je enak minus ena.
3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
tako je tangenta pi enaka tangenti 180 stopinj in je enaka nič.
Tabela vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa za kote 0 - 360 stopinj (običajne vrednosti)
|
vrednost kota α (stopinje) |
vrednost kota α (prek pi) |
greh (sinusi) |
cos (kosinus) |
tg (tangenta) |
ctg (kotangens) |
sek (sekant) |
cosec (kosekans) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Če je v tabeli vrednosti trigonometričnih funkcij namesto vrednosti funkcije naveden pomišljaj (tangens (tg) 90 stopinj, kotangens (ctg) 180 stopinj), potem je za dano vrednost stopinjske mere kota funkcija nima določene vrednosti. Če pomišljaja ni, je celica prazna, kar pomeni, da še nismo vnesli zahtevane vrednosti. Zanima nas, po kakšnih poizvedbah se uporabniki obračajo k nam in tabelo dopolnjujemo z novimi vrednostmi, kljub temu, da trenutni podatki o vrednostih kosinusov, sinusov in tangensov najpogostejših vrednosti kotov povsem zadostujejo za rešitev večine težave.
Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij sin, cos, tg za najbolj priljubljene kote
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stopinj
(številčne vrednosti "po Bradisovih tabelah")
| vrednost kota α (stopinje) | vrednost kota α v radianih | greh (sinus) | cos (kosinus) | tg (tangenta) | ctg (kotangens) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Trigonometrija kot veda izvira iz starega vzhoda. Prva trigonometrična razmerja so izpeljali astronomi, da bi ustvarili natančen koledar in orientacijo po zvezdah. Ti izračuni so se nanašali na sferično trigonometrijo, medtem ko v šolskem tečaju preučujejo razmerje stranic in kotov ravninskega trikotnika.
Trigonometrija je veja matematike, ki se ukvarja z lastnostmi trigonometričnih funkcij in odnosi med stranicami in koti trikotnikov.
V času razcveta kulture in znanosti v 1. tisočletju našega štetja se je znanje razširilo s starega vzhoda v Grčijo. Toda glavna odkritja trigonometrije so zasluga moških arabskega kalifata. Zlasti turkmenski znanstvenik al-Marazwi je predstavil funkcije, kot sta tangens in kotangens, ter sestavil prve tabele vrednosti za sinuse, tangente in kotangense. Koncepta sinusa in kosinusa so uvedli indijski znanstveniki. Trigonometrija je bila deležna veliko pozornosti v delih tako velikih osebnosti antike, kot so Evklid, Arhimed in Eratosten.
Osnovne količine trigonometrije
Osnovne trigonometrične funkcije numeričnega argumenta so sinus, kosinus, tangens in kotangens. Vsak od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens in kotangens.
Formule za izračun vrednosti teh količin temeljijo na Pitagorejevem izreku. Šolarjem je bolj znano v formulaciji: "Pitagorejske hlače so enake v vseh smereh", saj je dokaz podan na primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika.
Sinus, kosinus in druga razmerja določajo razmerje med ostrimi koti in stranicami katerega koli pravokotnega trikotnika. Predstavimo formule za izračun teh količin za kot A in sledimo razmerjem med trigonometričnimi funkcijami:
Kot lahko vidite, sta tg in ctg inverzni funkciji. Če si krak a predstavljamo kot produkt sin A in hipotenuze c ter krak b kot cos A * c, dobimo naslednji formuli za tangens in kotangens:
Trigonometrični krog
Grafično lahko razmerje med omenjenima količinama predstavimo na naslednji način:
Krog v tem primeru predstavlja vse možne vrednosti kota α - od 0° do 360°. Kot je razvidno iz slike, ima vsaka funkcija negativno ali pozitivno vrednost, odvisno od kota. Na primer, sin α bo imel znak "+", če α pripada 1. in 2. četrtini kroga, to je, če je v območju od 0° do 180°. Za α od 180° do 360° (III in IV četrtine) je lahko sin α le negativna vrednost.
Poskusimo sestaviti trigonometrične tabele za določene kote in ugotoviti pomen količin.
Vrednosti α enake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° in tako naprej se imenujejo posebni primeri. Vrednosti trigonometričnih funkcij zanje so izračunane in predstavljene v obliki posebnih tabel.
Ti koti niso bili izbrani naključno. Oznaka π v tabelah je za radiane. Rad je kot, pri katerem dolžina krožnega loka ustreza njegovemu polmeru. Ta vrednost je bila uvedena z namenom vzpostavitve univerzalne odvisnosti; pri izračunu v radianih dejanska dolžina polmera v cm ni pomembna.
Koti v tabelah za trigonometrične funkcije ustrezajo radianskim vrednostim:
Torej ni težko uganiti, da je 2π popoln krog ali 360°.
Lastnosti trigonometričnih funkcij: sinus in kosinus
Da bi upoštevali in primerjali osnovne lastnosti sinusa in kosinusa, tangensa in kotangensa, je treba narisati njihove funkcije. To je mogoče storiti v obliki krivulje, ki se nahaja v dvodimenzionalnem koordinatnem sistemu.
Razmislite o primerjalni tabeli lastnosti za sinus in kosinus:
| Sinusni val | Kosinus |
|---|---|
| y = sin x | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, za x = πk, kjer je k ϵ Z | cos x = 0, za x = π/2 + πk, kjer je k ϵ Z |
| sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, kjer je k ϵ Z | cos x = 1, pri x = 2πk, kjer je k ϵ Z |
| sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, kjer je k ϵ Z | cos x = - 1, za x = π + 2πk, kjer je k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, kar pomeni, da je funkcija liha | cos (-x) = cos x, kar pomeni, da je funkcija soda |
| funkcija je periodična, najmanjša perioda je 2π | |
| sin x › 0, pri čemer x pripada I in II četrtini ali od 0° do 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, pri čemer x pripada četrtini I in IV ali od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, pri čemer x pripada tretji in četrti četrtini ali od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, pri čemer x pripada 2. in 3. četrtini ali od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| narašča v intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | narašča na intervalu [-π + 2πk, 2πk] |
| pada na intervalih [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | zmanjšuje v intervalih |
| odvod (sin x)' = cos x | derivat (cos x)’ = - sin x |
Ugotavljanje, ali je funkcija soda ali ne, je zelo preprosto. Dovolj je, da si predstavljate trigonometrični krog z znaki trigonometričnih količin in miselno "zložite" graf glede na os OX. Če predznaka sovpadata, je funkcija soda, sicer pa liha.
Uvedba radianov in navedba osnovnih lastnosti sinusnih in kosinusnih valov nam omogočata, da predstavimo naslednji vzorec:
Zelo enostavno je preveriti, ali je formula pravilna. Na primer, za x = π/2 je sinus enak 1, prav tako kosinus od x = 0. Preverjanje je mogoče opraviti s pregledovanjem tabel ali s sledenjem krivuljam funkcij za dane vrednosti.
Lastnosti tangentsoidov in kotangensoidov
Grafa funkcije tangens in kotangens se bistveno razlikujeta od funkcije sinusa in kosinusa. Vrednosti tg in ctg sta med seboj recipročni.
- Y = tan x.
- Tangenta se nagiba k vrednostim y pri x = π/2 + πk, vendar jih nikoli ne doseže.
- Najmanjša pozitivna perioda tangentoida je π.
- Tg (- x) = - tg x, kar pomeni, da je funkcija liha.
- Tg x = 0, za x = πk.
- Funkcija se povečuje.
- Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Izpeljanka (tg x)' = 1/cos 2 x.
Oglejte si grafično podobo kotangentoida spodaj v besedilu.
Glavne lastnosti kotangentoidov:
- Y = posteljica x.
- Za razliko od funkcij sinusa in kosinusa lahko v tangentoidu Y prevzame vrednosti niza vseh realnih števil.
- Kotangentoid se nagiba k vrednostim y pri x = πk, vendar jih nikoli ne doseže.
- Najmanjša pozitivna perioda kotangentoida je π.
- Ctg (- x) = - ctg x, kar pomeni, da je funkcija liha.
- Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
- Funkcija se zmanjšuje.
- Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Izpeljava (ctg x)' = - 1/sin 2 x Pravilno
Koordinate x točke, ki ležijo na krogu, so enake cos(θ), koordinate pa l ustrezajo sin(θ), kjer je θ velikost kota.
- Če si težko zapomnite to pravilo, si le zapomnite, da je v paru (cos; sin) "sinus zadnji."
- To pravilo je mogoče izpeljati z upoštevanjem pravokotnih trikotnikov in definicije teh trigonometričnih funkcij (sinus kota je enak razmerju dolžine nasprotne stranice in kosinusa sosednje stranice proti hipotenuzi).
Zapišite koordinate štirih točk na krožnici."Enotski krog" je krog, katerega polmer je enak ena. Uporabite to za določitev koordinat x in l v štirih presečiščih koordinatnih osi s krožnico. Zgoraj smo zaradi jasnosti te točke označili kot "vzhod", "sever", "zahod" in "jug", čeprav nimajo ustaljenih imen.
- "Vzhod" ustreza točki s koordinatami (1; 0) .
- "Sever" ustreza točki s koordinatami (0; 1) .
- "Zahod" ustreza točki s koordinatami (-1; 0) .
- "Jug" ustreza točki s koordinatami (0; -1) .
- To je podobno navadnemu grafu, zato si teh vrednosti ni treba zapomniti, zapomnite si le osnovno načelo.
Zapomnite si koordinate točk v prvem kvadrantu. Prvi kvadrant se nahaja v zgornjem desnem delu kroga, kjer so koordinate x in l vzemite pozitivne vrednosti. To so edine koordinate, ki si jih morate zapomniti:
- točka π / 6 ima koordinate () ;
- točka π/4 ima koordinate () ;
- točka π / 3 ima koordinate () ;
- Upoštevajte, da ima števec samo tri vrednosti. Če se premikate v pozitivni smeri (od leve proti desni vzdolž osi x in od spodaj navzgor po osi l), števec ima vrednosti 1 → √2 → √3.
Narišite ravne črte in določite koordinate točk njihovega presečišča s krogom.Če narišete ravne vodoravne in navpične črte iz točk enega kvadranta, bodo druge točke presečišča teh črt s krogom imele koordinate x in l z enakimi absolutnimi vrednostmi, vendar z različnimi predznaki. Z drugimi besedami, iz točk prvega kvadranta lahko narišete vodoravne in navpične črte in točke presečišča označite s krogom z enakimi koordinatami, hkrati pa na levi pustite prostor za pravilen znak ("+" ali "-").
- Na primer, lahko narišemo vodoravno črto med točkama π/3 in 2π/3. Ker ima prva točka koordinate ( 1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))), bodo koordinate druge točke (? 1 2 , ? 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3))(2)))), kjer je namesto znaka "+" ali "-" vprašaj.
- Uporabite najpreprostejšo metodo: bodite pozorni na imenovalce koordinat točke v radianih. Vse točke z imenovalcem 3 imajo enake absolutne vrednosti koordinat. Enako velja za točke z imenovalcem 4 in 6.
Za določitev znaka koordinat uporabite pravila simetrije. Obstaja več načinov, kako določiti, kje postaviti znak "-":
- Zapomnite si osnovna pravila za običajne grafikone. Os x negativna na levi in pozitivna na desni. Os l negativno spodaj in pozitivno zgoraj;
- začnite s prvim kvadrantom in narišite črte do drugih točk. Če premica prečka os l, koordiniraj x bo spremenil predznak. Če premica prečka os x, se bo predznak koordinate spremenil l;
- ne pozabite, da so v prvem kvadrantu vse funkcije pozitivne, v drugem kvadrantu je pozitiven samo sinus, v tretjem kvadrantu je pozitiven le tangens, v četrtem kvadrantu pa je pozitiven le kosinus;
- Ne glede na to, katero metodo uporabite, bi morali dobiti (+,+) v prvem kvadrantu, (-,+) v drugem, (-,-) v tretjem in (+,-) v četrtem.
Preverite, če ste se zmotili. Spodaj je popoln seznam koordinat "posebnih" točk (razen štirih točk na koordinatnih oseh), če se premikate po enotskem krogu v nasprotni smeri urinega kazalca. Ne pozabite, da je za določitev vseh teh vrednosti dovolj, da se spomnite koordinat točk samo v prvem kvadrantu:
- prvi kvadrant: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- drugi kvadrant: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- tretji kvadrant: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- četrti kvadrant: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).
Ta članek vsebuje tabele sinusov, kosinusov, tangensov in kotangensov. Najprej bomo podali tabelo osnovnih vrednosti trigonometričnih funkcij, to je tabelo sinusov, kosinusov, tangentov in kotangensov kotov 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stopinj ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Po tem bomo podali tabelo sinusov in kosinusov ter tabelo tangentov in kotangensov V. M. Bradisa in pokazali, kako te tabele uporabiti pri iskanju vrednosti trigonometričnih funkcij.
Navigacija po straneh.
Tabela sinusov, kosinusov, tangensov in kotangensov za kote 0, 30, 45, 60, 90, ... stopinj
Reference.
- Algebra: Učbenik za 9. razred. povpr. šola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.: Izobraževanje, 1990. - 272 str.: ilustr
- Bašmakov M. I. Algebra in začetki analize: Učbenik. za 10-11 razrede. povpr. šola - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 1993. - 351 str .: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. splošno izobraževanje ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Izobraževanje, 2004. - il.
- Gusev V. A., Mordkovič A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.
- Bradis V. M.Štirimestne tabele matematike: Za splošno izobraževanje. učbenik ustanove. - 2. izd. - M.: Bustard, 1999.- 96 str .: ilustr. ISBN 5-7107-2667-2
