Сложение двух когерентных волн называется интерференцией. Когерентные источники

При а = 1 мм, d = 1 м, l = 0,6×10 –6 м, b< 0,6×10 –6 ×1ç 2×10 –3 = 0,3×10 –3 м = 0,3 мм. Для получения хорошей контрастности эта величина должна быть уменьшена еще в 3-4 раза.

6. Практические методы наблюдения интерференции.

а. Бизеркала Френеля, 1816 г. (рис.87). Свет от источника, заключенного в светонепроницаемый кожух, через отверстие в нем попадает расходящимся пучком на два плоских зеркала. Угол между зеркалами a » 179°.

Достоинство метода – хорошая освещен-ность, недостаток – сложность юстировки зеркал на оптической скамье.

б. Бипризма Френеля, 1819 г. (рис.88). Достоинства – хорошая освещенность и простота юстировки, недостаток – требуется специальная бипризма, изделие оптической промышленности.

Здесь S 1 и S 2 – мнимые изображения источника света S.

в. Билинза Бийе, 1845 г. (рис.89). Собирающая или рассеивающая линза разрезается (раскалывается) по диаметру, и обе половины слегка раздвигаются в стороны.

Чем дальше раздвинуты друг от друга полулинзы, тем сильнее сжата интерференцион-ная картина, тем уже полосы. Здесь S 1 и S 2 – действительные изображения источника света S.

г. Зеркало Ллойда, 1837 г. (рис.90). Прямой пучок от источника S интерферирует с пучком, отраженным от зеркала.

Здесь S – освещенная щель, S 1 – ее мнимое изображение.

Обобщим теперь предыдущее рассмотрение на случай, который является более реальным, т. е. экспериментально реализуемым. Для этого скажем несколько слов о том, как распространяется свет. Оптическое поле распространяется в соответствии с волновым уравнением

где вторая частная производная по пространственным координатам, а с - скорость света. В случае когерентного света можно воспользоваться выражением (4); подставляя его в уравнение (17а), мы получим волновое уравнение (уравнение Гельмгольца), описывающее распространение комплексной амплитуды:

где длина волны света. Существенную роль играют следующие решения этого волнового уравнения:

1) плоская волна, распространяющаяся вдоль оси

где А - постоянная;

2) сходящаяся (отрицательная экспонента) и расходящаяся (положительная экспонента) сферические волны

где радиус сферической волны.

Идеальный точечный источник излучает расходящуюся сферическую волну; расположенный на бесконечности, он будет давать плоскую волну. В качестве первого примера рассмотрим сложение двух плоских волн.

2.2.2.1. Сложение двух плоских волн

Мы будем рассматривать два идеальных точечных источника одинаковой интенсивности, расположенных на бесконечности и создающих две плоские волны, сходящиеся под углом 20 друг к другу. Иными словами, два плоских волновых фронта образуют углы ±0 относительно плоскости, в которой мы будем записывать интенсивность, создаваемую в результате их взаимодействия (рис. 1).

Рис. 1. Сложение двух плоских волн, расположенных симметрично относительно оптической оси.

Будем предполагать, что в точке обе эти волны имеют одинаковые фазы. Тогда результирующая комплексная амплитуда запишется в виде [см. выражение (14)]

а интенсивность если угол мал дается выражением

где - постоянная интенсивность, связанная с каждой отдельной плоской волной. Наконец, заметим, что

Для голографических исследований выражение (21) полезно записать в виде выражения (15):

Если делается фотографическая запись интенсивности и затем негатив освещается когерентной волной то второй и третий члены выражения (23) воссоздадут первоначальную и сопряженную ей волну.

В соответствии с (22) результирующая интенсивность представляет собой серию интерференционных полос с профилем в виде квадрата косинуса, что иллюстрируется на рис. 2, б. Естественно, что в случае, когда две волны некогерентны, складываются их интенсивности, что и дает результирующую интенсивность, равную 21 (рис. 2, а). Наконец, рис. 2, в иллюстрирует частично-когерентное сложение двух пучков (см. разд. 2.3.2, в котором обсуждается этот результат).

Рис. 2. Суммарная нормализованная интенсивность, образуемая двумя волнами, которые складываются некогерентно (а), когерентно (б) и частично-когерентно (в),

2.2.2.2. Сложение цилиндрической (или сферической) и плоской волн

Будем предполагать, что плоская волна распространяется вдоль оптической оси системы (рис. 3) и что в точке разность хода (а следовательно, и разность фаз) плоской и цилиндрической волн равна нулю. Тогда в предположении малых углов разность хода между этими двумя волнами равна где радиус сферической волны. Следовательно, разность фаз равна При этом результирующая амплитуда в плоскости х запишется в виде

а результирующая интенсивность

Рис. 3. Сложение плоской и цилиндрической волн.

Профиль результирующей интенсивности имеет вид и представляет собой серию интерференционных полос, причем аргумент косинуса зависит от квадрата пространственной координаты. Это иллюстрируется на рис. 4. Если бы задача решалась для сферической и плоской волн, то мы имели бы решение, описываемое

выражением (26) и соответствующее кривой на рис. 4, а, за исключением лишь того, что вместо линейной координаты появилась бы радиальная координата и картина стала бы радиально-симметричной.

Рис. 4. Распределение интенсивности при интерференции плоской и цилиндрической волн, а - кривая профиля интенсивности; б - фотография интерференционной картины.

2.2.2.3. Сложение цилиндрических (или сферических) волн

Эта задача решается аналогично рассмотренным двум предыдущим случаям. Пусть радиусы двух цилиндрических волн (рис. 5, а); тогда результирующая интенсивность дается выражением

в котором мы приняли, что в точке на оптической оси, определяющей начало координаты х плоскости, в которой записывается интенсивность, обе цилиндрические волны имеют нулевую разность фаз.

Рис. 5. Сложение двух цилиндрических волн, распространяющихся в одном и том же направлении (а) и под некоторым углом друг к другу

Если нормали к волновым фронтам двух распространяющихся цилиндрических волн не параллельны оптической оси (рис. 5, б), то в выражениях для результирующих амплитуды и интенсивности

появляются линейный и квадратичный члены относительно х:

Последнее выражение представляет собой комбинацию выражений (22) и (27).

Благодаря прошлым урокам нам известно, что свет является совокупностью прямолинейных лучей, определенным образом распространяющихся в пространстве. Однако для объяснения свойств некоторых явлений мы не можем пользоваться представлениями геометрической оптики, то есть не можем игнорировать волновые свойства света. Например, при прохождении солнечного света через стеклянную призму на экране возникает картина чередующихся цветных полос (рис. 1), которые называют спектром; при внимательном рассмотрении мыльного пузыря видна его причудливая окраска (рис. 2), постоянно меняющаяся с течением времени. Для объяснения этих и других подобных примеров мы будем использовать теорию, которая опирается на волновые свойства света, то есть волновую оптику.

Рис. 1. Разложение света в спектр

Рис. 2. Мыльный пузырь

На этом уроке мы рассмотрим явление, которое называется интерференцией света. С помощью этого явления ученые в XIX веке доказали, что свет имеет волновую природу, а не корпускулярную.

Явление интерференции заключается в следующем : при наложении друг на друга в пространстве двух или более волн возникает устойчивая картина распределения амплитуд, при этом в некоторых точках пространства результирующая амплитуда является суммой амплитуд исходных волн, в других точках пространства результирующая амплитуда становится равной нулю. При этом на частоты и фазы исходно складывающихся волн должны быть наложены определенные ограничения.

Пример сложения двух световых волн

Увеличение или уменьшение амплитуды зависит от того, с какой разностью фаз две складывающиеся волны приходят в данную точку.

На рис. 3 показан случай сложения двух волн от точечных источников и , находящихся на расстоянии и от точки M , в которой производят измерения амплитуды. Обе волны имеют в точке M в общем случае различные амплитуды, так как до попадания в эту точку они проходят разные пути и их фазы различаются.

Рис. 3. Сложение двух волн

На рис. 4 показано, как зависит результирующая амплитуда колебания в точке M от того, в каких фазах приходят ее две синусоидальные волны. Когда гребни совпадают, то результирующая амплитуда максимально увеличивается. Когда гребень совпадает со впадиной, то результирующая амплитуда обнуляется. В промежуточных случаях результирующая амплитуда имеет значение между нулем и суммой амплитуд складывающихся волн (рис. 4).

Рис. 4. Сложение двух синусоидальных волн

Максимальное значение результирующей амплитуды будет наблюдаться в том случае, когда разность фаз между двумя складывающимися волнами равна нулю. То же самое должно наблюдаться, когда разность фаз равна , так как - это период функции синуса (рис. 5).

Рис. 5. Максимальное значение результирующей амплитуды

Амплитуда колебаний в данной точке максимальна , если разность хода двух волн, возбуждающих колебание в этой точке, равна целому числу длин волн или четному числу полуволн (рис. 6).

Рис. 6. Максимальная амплитуда колебаний в точке M

Амплитуда колебаний в данной точке минимальна, если разность хода двух волн, возбуждающих колебание в этой точке, равна нечетному числу полуволн или полуцелому числу длин волн (рис. 7).

Рис. 7. Минимальная амплитуда колебаний в точке M

, где .

Интерференцию можно наблюдать только в случае сложения когерентных волн (рис. 8).

Рис. 8. Интерференция

Когерентные волны - это волны, которые имеют одинаковые частоты, постоянную во времени в данной точке разность фаз (рис. 9).

Рис. 9. Когерентные волны

Если волны не когерентны, то в любую точку наблюдения две волны приходят со случайной разностью фаз. Таким образом, амплитуда после сложения двух волн также будет случайной величиной, которая изменяется с течением времени, и эксперимент будет показывать отсутствие интерференционной картины.

Некогерентные волны - это волны, у которых разность фаз непрерывно меняется (рис. 10).

Рис. 10. Некогерентные волны

Существует много ситуаций, когда можно наблюдать интерференцию световых лучей. Например, бензиновое пятно в луже (рис. 11), мыльный пузырь (рис. 2).

Рис. 11. Бензиновое пятно в луже

Пример с мыльными пузырями относится к случаю так называемой интерференции в тонких пленках. Английский ученый Томас Юнг (рис. 12) первым пришел к мысли о возможности объяснения цветов тонких пленок сложением волн, одна из которых отражается от наружной поверхности пленки, а другая – от внутренней.

Рис. 12. Томас Юнг (1773-1829)

Результат интерференции зависит от угла падения света на пленку, ее толщины и длины волны света. Усиление произойдет в том случае, если преломленная волна отстанет от отраженной на целое число длин волн. Если же вторая волна отстанет на половину волны или на нечетное число полуволн, то произойдет ослабление света (рис. 13).

Рис. 13. Отражение световых волн от поверхностей пленки

Когерентность волн, отраженных от внешней и внутренней поверхности пленки, объясняется тем, что обе эти волны являются частями одной и той же падающей волны.

Различие в цветах соответствует тому, что свет может состоять из волн различной частоты (длины). Если свет состоит из волн с одинаковыми частотами, то он называется монохроматическим и наш глаз воспринимает его как один цвет.

Монохроматический свет (от др.-греч. μόνος – один, χρῶμα – цвет) – электромагнитная волна одной определенной и строго постоянной частоты из диапазона частот, непосредственно воспринимаемых человеческим глазом. Происхождение термина связано с тем, что различие в частоте световых волн воспринимается человеком как различие в цвете. Однако по своей физической природе электромагнитные волны видимого диапазона не отличаются от волн других диапазонов (инфракрасного, ультрафиолетового, рентгеновского и т. д.), и по отношению к ним также используют термин «монохроматический» («одноцветный»), хотя никакого ощущения цвета эти волны не дают. Свет, состоящий из волн с различными длинами, называется полихроматическим (свет от солнца).

Таким образом, если на тонкую пленку падает монохроматический свет, то интерференционная картина будет зависеть от угла падения (при некоторых углах волны будут усиливать друг друга, при других углах – гасить). При полихроматическом свете для наблюдения интерференционной картины удобно использовать пленку переменной толщины, при этом волны с разными длинами будут интерферировать в разных точках, и мы можем получить цветную картинку (как в мыльном пузыре).

Существуют специальные приборы – интерферометры (рис. 14, 15), с помощью которых можно измерять длины волн, показатели преломления различных веществ и другие характеристики.

Рис. 14. Интерферометр Жамена

Рис. 15. Интерферометр Физо

К примеру, в 1887 году два американских физика, Майкельсон и Морли (рис. 16), сконструировали специальный интерферометр (рис. 17), с помощью которого они собирались доказать или опровергнуть существование эфира. Этот опыт является одним из самых знаменитых экспериментов в физике.

Рис. 17. Звездный интерферометр Майкельсона

Интерференцию применяют и в других областях человеческой деятельности (для оценки качества обработки поверхности, для просветления оптики, для получения высокоотражающих покрытий).

Условие

Два полупрозрачных зеркала расположены параллельно друг другу. На них перпендикулярно плоскости зеркал падает световая волна частотой (рис. 18). Чему должно быть равно минимальное расстояние между зеркалами, чтобы наблюдался минимум интерференции проходящих лучей первого порядка?

Рис. 18. Иллюстрация к задаче

Дано :

Найти :

Решение

Один луч пройдет сквозь оба зеркала. Другой пройдет сквозь первое зеркало, отразится от второго и первого и пройдет сквозь второе. Разность хода этих лучей составит удвоенное расстояние между зеркалами.

Номер минимума соответствует значению целого числа .

Длина волны равна:

где – скорость света.

Подставим в формулу разности хода значение и значение длины волны:

Ответ : .

Для получения когерентных световых волн при использовании обычных источников света применяют методы деления волнового фронта. При этом световая волна, испущенная каким-либо источником, делится на две или более частей, когерентных между собой.

1. Получение когерентных волн методом Юнга

Источником света служит ярко освещенная щель, от которой световая волна падает на две узкие щели и параллельные исходной щели S (рис. 19). Таким образом, щели и служат когерентными источниками. На экране в области BC наблюдается интерференционная картина в виде чередующихся светлых и темных полос.

Рис. 19. Получение когерентных волн методом Юнга

2. Получение когерентных волн с помощью бипризмы Френеля

Данная бипризма состоит из двух одинаковых прямоугольных призм с очень малым преломляющим углом, сложенных своими основаниями. Свет от источника преломляется в обеих призмах, в результате этого за призмой распространяются лучи, как бы исходящие из мнимых источников и (рис. 20). Эти источники являются когерентными. Таким образом, на экране в области BC наблюдается интерференционная картина.

Рис. 20. Получение когерентных волн с помощью бипризмы Френеля

3. Получение когерентных волн с помощью разделения по оптической длине пути

Две когерентные волны создаются одним источником, но до экрана проходят разные геометрические пути длины и (рис. 21). При этом каждый луч идет в среде со своим абсолютным показателем преломления. Разность фаз между волнами, приходящими в точку на экране, равна следующей величине:

где и – длины волн в средах, показатели преломления которых равны соответственно и .

Рис. 21. Получение когерентных волн с помощью разделения по оптической длине пути

Произведение геометрической длины пути на абсолютный показатель преломления среды называется оптической длиной пути .

,

– оптическая разность хода интерферирующих волн.

С помощью интерференции можно оценить качество обработки поверхности изделия с точностью до длины волны. Для этого нужно создать тонкую клиновидную прослойку воздуха между поверхностью образца и очень гладкой эталонной пластиной. Тогда неровности поверхности до см вызовут заметное искривление интерференционных полос, образующихся при отражении света от проверяемых поверхностей и нижней грани (рис. 22).

Рис. 22. Проверка качества обработки поверхности

Множество современной фототехники использует большое количество оптических стекол (линзы, призмы и т. д.). Проходя через такие системы, световой поток испытывает многократное отражение, что пагубно влияет на качество изображения, поскольку при отражении теряется часть энергии. Чтобы избежать этого эффекта, необходимо применять специальные методы, одним из которых является метод просветления оптики.

Просветление оптики основано на явлении интерференции. На поверхность оптического стекла, например линзы, наносят тонкую пленку с показателем преломления, меньшим показателя преломления стекла.

На рис. 23 показан ход луча, падающего на поверхность раздела под небольшим углом. Для упрощения все вычисления делаем для угла, равного нулю.

Рис. 23. Просветление оптики

Разность хода световых волн 1 и 2, отраженных от верхней и нижней поверхности пленки, равна удвоенной толщине пленки:

Длина волны в пленке меньше длины волны в вакууме в n раз (n - показатель преломления пленки):

Для того чтобы волны 1 и 2 ослабляли друг друга, разность хода должна быть равна половине длины волны, то есть:

Если амплитуды обеих отраженных волн одинаковы или очень близки друг к другу, то гашение света будет полным. Чтобы добиться этого, подбирают соответствующим образом показатель преломления пленки, так как интенсивность отраженного света определяется отношением коэффициентов преломления двух сред.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда имеется не один, а несколько источников волн (осцилляторов). Излучаемые ими волны в некоторой области пространства будут оказывать совокупное действие. Прежде чем начать анализ того, что может произойти в результате, остановимся сначала на очень важном физическом принципе, которым неоднократно будем пользоваться в нашем курсе, - принципе суперпозиции. Суть его проста.

Предположим, что имеется не один, а несколько источников возмущения (ими могут быть механические осцилляторы, электрические заряды, и др.). Что будет отмечать прибор, регистрирующий одновременно возмущения среды от всех источников? Если составляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, то результирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности независимо от наличия остальных - это и есть принцип суперпозиции, т.е. наложения. Этот принцип един для многих явлений, но его математическая запись может быть разной в зависимости от характера рассматриваемых явлений - векторного или скалярного.

Принцип суперпозиции волн выполняется не во всех случаях, а только в так называемых линейных средах. Среду, например, можно считать линейной, если ее частицы находятся под действием упругой (квазиупругой) возвращающей силы. Среды, в которых принцип суперпозиции не выполняется, называются нелинейными. Так, при распространении волн большой интенсивности линейная среда может становиться нелинейной. Возникают чрезвычайно интересные и технически важные явления. Это наблюдается при распространении в среде ультразвука большой мощности (в акустике) или лазерных лучей в кристаллах (в оптике). Научные и технические направления, занимающиеся изучением этих явлений, получили название нелинейной акустики и нелинейной оптики, соответственно.

Будем рассматривать только линейные эффекты. Применительно к волнам принцип суперпозиции утверждает, что каждая из них?,(х, t) распространяется независимо от того, есть ли в данной среде источники других волн или нет. Математически, в случае распространения N волн вдоль оси х, он выражается так

где с(х, 1) - суммарная (результирующая) волна.

Рассмотрим наложение двух монохроматических волн одинаковой частоты со и поляризации, распространяющихся по одному направлению (ось х) из двух источников

Будем наблюдать результат их сложения в определенной точке М, т.е. зафиксируем координату х = х м в уравнениях, описывающих обе волны:

При этом мы устранили двойную периодичность процесса и превратили волны в колебания, совершающиеся в одной точке М с одним временным периодом Т= 2л/со и различающиеся начальными фазами Ф, = к г х м и ф 2 = крс м, т.е.

и

Теперь для нахождения результирующего процесса t{t) в точке М мы должны сложить 2,! и q 2: W) = ^i(0 + с 2 (0- Мы можем воспользоваться результатами, полученными ранее в подразделе 2.3.1. Используя формулу (2.21), получим амплитуду суммарного колебания А, выраженную через А, ф! и А 2 , фг, как

Значение А м (амплитуда суммарного колебания в точке М) зависит от разности фаз колебаний Аф = ф 2 - ф). Что происходит в случае разных значений Дф, подробно рассмотрено в подразделе 2.3.1. В частности, если эта разность Аф остается все время постоянной, то в зависимости от ее значения может получиться так, что в случае равенства амплитуд А = А 2 = А результирующая амплитуда А м будет равной нулю или 2А.

Чтобы явление увеличения или уменьшения амплитуды при наложении волн (интерференции) можно было наблюдать, необходимо, как уже говорилось, чтобы разность фаз Дф = ф 2 - ф! оставалась постоянной. Это требование означает, чтобы колебания были когерентными. Источники колебаний называются когерентными ", если разность фаз возбуждаемых ими колебаний не изменяется с течением времени. Волны, порожденные такими источниками, также являются когерентными. Кроме того, необходимо, чтобы складываемые волны были одинаково поляризованными, т.е. чтобы смещения частиц в них происходили, например, в одной плоскости.

Видно, что осуществление интерференции волн требует соблюдения нескольких условий. В волновой оптике это означает создание когерентных источников и реализации способа сложения возбуждаемых ими волн.

1 Различают когерентность (от лат. cohaerens - «находящийся в связи») временную, связанную с монохроматичностью волн, о которой и идет речь в данном разделе, и пространственную когерентность, нарушение которой характерно для протяженных источников излучения (нагретых тел, в частности). Особенности пространственной когерентности (и некогерентности) мы не рассматриваем.