Probleme të optimizimit të numrave të plotë.

Problemet e optimizimit të programimit linear

Problemi i optimizmit quhet problemi i gjetjes së ekstremit (maksimumit ose minimumit) të funksionit objektiv në prani të një sistemi kufizimesh lineare ose jolineare. Shpesh problemet e optimizimit jepen në formën e problemeve me tekst, kur para zgjidhjes së pari duhet të krijoni një sistem ekuacionesh dhe pabarazish. Probleme të tilla ndeshen vazhdimisht në Provimin e Bashkuar Shtetëror dhe në VI të Mesëm.

Le të fillojmë shqyrtimin e temës me rastet kur si funksioni objektiv ashtu edhe sistemi i kufizimeve janë specifikuar në mënyrë lineare.

Në përgjithësi, detyra duket si kjo:

Këtu janë numrat A Dhe Me– numra arbitrar. Detyra mund të synohet si në maksimum ashtu edhe në minimum. Në këtë rast, kufizimet mund të jenë ose më të vogla ose të barabarta me zero ose më të mëdha se ose të barabarta me zero.

Shembulli 1. Problemi i optimizimit duke përdorur konceptin e gradientit

Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një parametri A, në të cilin ekzekutohet sistemi i mëposhtëm:

Kushtet e rëndësishme:

Linjat e nivelit- linjat që mund të specifikohen nga ekuacioni i funksionit objektiv duke marrë parasysh vlerat e parametrave.

Gradient(nga latinishtja gradiens, gjinia gradientis - ecja, rritja) - një vektor, drejtimi i të cilit tregon drejtimin e rritjes më të madhe në një vlerë të caktuar, vlera e së cilës ndryshon nga një pikë në hapësirë në tjetrën, dhe në madhësi (modul) është e barabartë. ndaj ritmit të rritjes së kësaj vlere në këtë drejtim.

Gradienti është një vektor normal pingul me vijat e nivelit - vijat e nivelit do të lëvizin përgjatë këtij vektori. Siç e dimë nga Leksioni 2, nëse ekuacioni i një drejtëze jepet në formë të përgjithshme , atëherë vektori normal jepet si .

Probleme të optimizimit të numrave të plotë

Disa specifika shfaqen kur jepet një problem me fjalë me kushte të tilla që të panjohurat të jenë numër i plotë.

Shembulli 2. Problemi i optimizimit të numrave të plotë

Një maune me kapacitet mbajtës 134 tonë transporton kontejnerë të tipit A dhe B. Numri i kontejnerëve të tipit B të ngarkuar në një maune është të paktën 25% më i madh se numri i kontejnerëve të ngarkuar të tipit A. Pesha dhe kostoja e një kontejneri i tipit A është 2 ton dhe 5 milion rubla, një enë e tipit B - përkatësisht 5 ton dhe 7 milion rubla. Përcaktoni koston totale më të lartë të mundshme (në milion rubla) të të gjithë kontejnerëve të transportuar me maune në kushte të caktuara.

Probleme që përfundojnë në gjetjen e maksimumit/minimumit të një funksioni kuadratik

Në probleme të tilla, është e nevojshme të përdoren parimet tashmë të njohura për gjetjen e vlerës maksimale (ose minimale) të një funksioni kuadratik: mund të arrihet në kulmin e parabolës ose në pikat kufitare të kufizimit, nëse ka një të tillë. .

Dhe përsëri, është e nevojshme të mbani mend se nëse po flasim për një problem fjalësh, variablat mund të kenë kushte shtesë që lidhen me kuptimin - për shembull, jonegativiteti i tyre, integriteti.

Shembulli 3. Problema maksimale/minimumi për një funksion kuadratik

Shefi ka në dispozicion një ekip punëtorësh të përbërë nga 24 persona. Ato duhet të shpërndahen gjatë ditës në dy objekte. Nëse funksionon në objektin e parë t njerëz, atëherë paga e tyre ditore është 4 t 2 kub. e. Nëse funksionon në objektin e dytë t njerëzit, atëherë paga e tyre ditore është t 2 kub. e Si duhet të shpërndahet një ekip punëtorësh në këto objekte në mënyrë që pagesat për pagat e tyre të jenë sa më të vogla? sa keni? Domethënë, në këtë rast punëtorët do të duhet të paguhen?

Zgjidhje.

Le x- numri i kanalit të ri-dimrit të tipit A, y- numri i kontejnerëve të tipit B, atëherë pesha e kontejnerëve të tipit A është e barabartë me atë të tipit B - 5 në t Në përputhje me kushtin për-da-chi Përveç kësaj, kushti i mëposhtëm duhet të plotësohet:

Le S- shuma-mar-naya njëqind e më së shumti con-tey-not-hendek. Pastaj S = 5x + 7y. Duhet të studiojmë funksionin S(x, y) në vlerën më të lartë në kushtet e dhëna.

Kemi: do të thotë

Le të zbulojmë se në çfarë vlere në ju jeni plot barazi

Për sa kohë x, y, dhe gjithashtu njëqind-e-më-sti kon-tey-ne-drov - numrat në-t-ral, pastaj Mean-leximi,

Nëse atëherë nuk ka zgjidhje lokale.

Nëse atëherë vendimi natyror:

Ju-llogaritni vlerën x në

Pra, vlera ime është 220 milion rubla.

Përgjigje: 220 milion rubla.

Le të japim një zgjidhje aritmetike.

Vini re se kontejneri është i llojit Açmimi pa u ulur 2.5 milion rubla. për ton, dhe llojin e kontejnerit NË- 1.4 milion rubla. për ton, kjo është arsyeja pse është një lloj kon-tey-jo-hendek A duhet të ketë sa më shumë të jetë e mundur, dhe lloji con-tey-not-ditch NË sa më pak të jetë e mundur. Sipas kushtit, për çdo 4 kontejnerë të tipit A duhet të ketë të paktën 5 tipe con-tey-not-ditch B. Le të tipit kon-tey-ne-hendek A do të ketë 4 x, dhe tipi kon-tey-ne-hendek B - 5x, pesha e tyre totale është 8 x + 25x = 33x ton Kapaciteti mbajtës i maunes është 134 ton, pra kjo është vlera më e madhe e mundshme. x = 4.

Nëse x= 4, atëherë 16 kontejnerë të tipit mund të ngarkohen në maune A dhe 20 tip con-tey-ne-hendek B, kostoja e tyre është 80 + 140 = 220 milion rubla. Në këtë rast, maune do të nënngarkohet me 2 tonë. Pas meje ka dy lloje con-tey-ne-ra A një lloj con-tay-not-rum NË. Kosto-dhe-më 14 lloj con-tey-not-ditch A dhe 21 tip kon-tey-ne-ra NË arrin në 70 + 147 = 217 milion rubla, ndërsa maune nuk ngarkohet me 1 ton. Do të ishte e mundur të ngarkohej plotësisht mauneja duke zëvendësuar dy kontejnerë të tjerë të të njëjtit lloj A një lloj con-tay-not-rum NË, por në të njëjtën kohë kostoja totale e con-tey-not-ditch do të reduktohej përsëri me 3 milion rubla. Nga kjo rezulton se është në rregull që maune të mos ngarkohet plotësisht, por të ngarkohet me 16 kontejnerë të këtij lloji. A dhe 20 tip con-tey-ne-hendek NË kostoja totale është 220 milion rubla.

Shënim.

Kontrollimi i kostos dhe mundësisë kur ngarkoni një maune që nuk është plotësisht e ngarkuar është një pjesë e detyrueshme e vendimeve. Për shembull, nëse një enë si NË kushtoi 11 milion rubla, dhe të dhënat e tjera nuk do të kishin ndryshuar për mua, atëherë kostoja e tipit 16 con-tey-ne-ditch A dhe 20 tip con-tey-ne-hendek B so-sta-vi-la do të ishte 80 + 220 = 300 milion rubla. (jo-deri-to-groo-por 2 ton), njëqind e më së shumti 14 lloji con-tey-not-ditch A dhe 21 tip kon-tey-ne-ra NË so-sta-vi-la do të ishte 70 + 231 = 301 milion rubla. (jo deri në 1 ton), por një lloj i njëqind e më 12 con-tey-not-ditch A dhe 22 lloje con-tey-ne-hendek NË so-sta-vi-la do të ishte 302 milionë rubla. - maune për ngarkesën e plotë, fitimi max-si-mal-na, më tej-shay për llojin con-tey-not-ditch A në tipin kon-tey-ne-ry NËçon në ulje të fitimit.

Shih edhe vendimin për po.

Shuma dhe afati i kredisë hipotekore http://youtu.be/UUTr2GGLE4I Si të zgjidhim një problem në matematikë Mësime në përgatitje për Provimin e Unifikuar të Shtetit VPR OGE SAT GMAT GRE ISEE IGCSE IB-math A-nivel SSAT http://uk.pinterest.com/pin/401172279287038344/ Për cilat vlera të parametrit kulmi i parabolës shtrihet në vijë të drejtë? Kështu, është e mundur të zvogëlohet shuma maksimale e kredisë. Ju lutemi vini re se bankat kanë kërkesat e tyre për strehimin hipotekor. Vlerësuesi përcaktoi koston e banesës në 500,000 rubla. Rekomandime metodologjike për procedurën e llogaritjes së kostos fillestare. Për të llogaritur çmimin fillestar (maksimal) të një produkti, është e nevojshme të përcaktohen metodat e Sultanov. Sa më e vogël të jetë pagesa paraprake, aq më i lartë është çmimi i kontratës në krahasim me çmimin e mësimeve nga një mësues online. Llogaritja e kostos mesatare të modeleve (llojeve) të mallrave dhe çmimi fillestar (maksimal) i klasave me një mësues MIPT, përcaktojnë lartësinë maksimale të një kolone betoni që mund të shembet. Problemet në ekonomi. Shuma e taksës. Përcaktoni shumën totale të tatimit. Funksioni i ofertës: Me çfarë norme tatimore (në njësi monetare për njësi mallrash) shuma totale e mbledhjes së taksës do të jetë maksimale, përcaktoni lartësinë më të madhe nga e cila mund të dëgjohet kënga e lakut. Kërkoni për zgjidhje. Këtu është detyra / kostoja totale e mundshme e matematikës së transportit. Përcaktoni koston më të lartë të mundshme totale të transportit të xhipave dhe kamionëve në këto kushte. Opsioni i trajnimit për analizën e faqes. Analiza e lidhjeve të jashtme dhe të brendshme - Mjetet dhe opsioni i trajnimit. Në depon e parë ka kuti me lapsa të thjeshtë, dhe në të dytën - me lapsa me ngjyra. Numri i kutive me lapsa të thjeshtë është 1417 nga numri i kutive me lapsa me ngjyra. Kur 38 kuti me lapsa dhe 59 lapsa me ngjyra u shitën nga magazinat, mbetën më pak se 3000 kuti në magazinën e parë dhe të paktën 2000 kuti në të dytën. Sa kuti ishin fillimisht në çdo magazinë të Rishikimit të SEO të faqes në internet. Metoda e dispersionit (bluarjes) në zgjidhjen e ekuacioneve diofantine. Përcaktoni koston më të lartë të mundshme totale të të gjithë kontejnerëve të transportuar me maune në kushte të dhëna. Kopshti zoologjik shpërndan 111 kg mish në ditë për dhelprat, leopardët dhe luanët. Kostoja e sigurimit. shkolla/kolegji Depoja e parë përmban kuti me lapsa, dhe depoja e dytë përmban kuti me lapsa me ngjyra. Dy persona që ndajnë të njëjtën biçikletë duhet të kalojnë nga pika A në pikë. Në korrik është planifikuar të merret një kredi bankare për një shumë të caktuar. Kushtet për kthimin e tij janë si më poshtë: Vasily dëshiron të marrë një kredi në shumën prej 1,325,535 rubla për 5 vjet me 20% në vit. Banka n Vasily depoziton 1,000,000 rubla në bankë me 10% në vit për 4 vjet, interesi rritet. Një maune me kapacitet ngritës prej tonësh transporton lloje kontejnerësh. Përcaktoni koston më të lartë të mundshme totale.

Probleme me zgjedhjen optimale
1. Në klasën e parë hyjnë 45 persona: 20 djem dhe 25 vajza. Ata u ndanë në dysh
klasa: njëra duhet të ketë 22 persona, dhe tjetra
përkufizimet
Llogaritëm përqindjen e vajzave në secilën klasë dhe shtuam numrat që rezultuan. Si duhet
të shpërndahen sipas klasave në mënyrë që shuma që rezulton të jetë më e madhja?
23. Pas garave
―
2. Shefi ka në dispozicion një ekip punëtorësh të përbërë nga 24 persona. Ato janë të nevojshme
shpërndani ditën në dy objekte. Nëse t njerëzit punojnë në objektin e parë, atëherë të tyre
paga ditore eshte 4t2. e. Nëse t njerëzit punojnë në objektin e dytë, atëherë e tyre
paga ditore eshte 2 vjet. e. Si duhet të shpërndahet ekipi në këto objekte?
punëtorët në mënyrë që pagesat për pagat e tyre ditore të jenë më të voglat? sa keni? e.
Në këtë rast, a do t'ju duhet të paguani punëtorët?
3. Dy çiklistë lëvizin në mënyrë uniforme përgjatë rrugëve pingule reciproke drejt
kryqëzimin e këtyre rrugëve. Njëri prej tyre lëviz me një shpejtësi prej 40 km/h dhe ndodhet në një distancë prej 5 km nga
kryqëzimi, i dyti lëviz me shpejtësi 30 km/h dhe ndodhet në një distancë prej 3 km nga kryqëzimi. pas sa kohe
Kur do të jetë distanca midis çiklistëve më e vogël? Cila do të jetë distanca më e shkurtër?
4. Alexey doli nga shtëpia për një shëtitje me një shpejtësi prej v km/h. Pasi ka ecur 6 km largohet nga shtëpia më pas
qeni Zhuchka doli nga shtëpia pas tij, shpejtësia e të cilit ishte 9 km/h më e madhe se shpejtësia e Alexey. Kur Bug
u kapën me pronarin, u kthyen dhe u kthyen në shtëpi së bashku me shpejtësi 4 km/h. Gjeni vlerën e v kur
koha e ecjes së Alexey do të jetë më e shkurtra. Sa kohë do të zgjasë ecja e tij?
5. Tre tuba janë instaluar në pishinë. Tubi i parë derdh 30 m3 ujë në orë. Tubi i dytë derdhet në orë
3V m3 më pak se i pari (0< V < 10), а третья труба наливает в час на 10V м3 больше первой. Сначала первая и
tubi i dytë, duke punuar së bashku, mbush 30% të pishinës, dhe më pas të tre tubat, duke punuar së bashku, mbushin
pjesa e mbetur 0.7 pishina. Në cilën vlerë të V-së do të mbushet më shpejt pishina duke përdorur metodën e treguar?
6. Një kopshtar solli në treg 91 kg mollë, të cilat pas transportit i ndau në tre varietete. Mollët
Ai e shiti klasën e parë për 40 rubla, klasën e dytë për 30 rubla, klasën e tretë për 20 rubla. për kilogram.
Të ardhurat nga shitja e të gjitha mollëve arritën në 2170 rubla. Dihet se masa e mollëve të klasës së dytë është më e vogël se masa e mollëve
Klasa e tretë me të njëjtën përqindje si masa e mollëve të klasës së parë është më e vogël se masa e mollëve të klasës së dytë
varieteteve. Sa kilogramë mollë të klasës së dytë ka shitur kopshtari?
7. Një maune me kapacitet mbajtës 134 ton transporton kontejnerë të tipit A dhe B. Numri i ngarkuar për
një maune e kontejnerëve të tipit B është të paktën 25% më e madhe se numri i kontejnerëve të tipit A të ngarkuar dhe
kostoja e një kontejneri të tipit A është 2 ton e 5 milion rubla, një enë e tipit B është 5 ton dhe 7 milion.
fshij në përputhje me rrethanat. Përcaktoni koston totale më të lartë të mundshme (në milion rubla) të të gjithë kontejnerëve,
transportohen me maune në kushte të caktuara.
8. Leonid është pronar i dy fabrikave në qytete të ndryshme. Fabrikat prodhojnë absolutisht një
instrumente pirun, por uzina e vendosur në qytetin e dytë përdor pajisje më të avancuara.
Si rezultat, nëse punëtorët në një fabrikë të vendosur në qytetin e parë punojnë gjithsej 4t3 orë për
javë, pastaj gjatë kësaj jave prodhojnë t pajisje; nëse punëtorët janë në një fabrikë të vendosur në qytetin e dytë,
punojnë gjithsej t3 orë në javë, prodhojnë t pajisje.
Për çdo orë pune (në secilën prej fabrikave) Leonid i paguan punëtorit 1 mijë rubla. E nevojshme,
në mënyrë që të prodhohen gjithsej 20 pajisje në javë. Cila është shuma më e vogël që do të duhet të shpenzojë pronari?
fabrikat çdo javë për të paguar punëtorët?
9. Sasha depozitoi një shumë në bankë për 4 vjet me 10% në vit. Në të njëjtën kohë, Pasha është i njëjti
Unë e depozitova shumën për dy vjet në një bankë tjetër me 15% në vit. Dy vjet më vonë, Pasha vendosi të zgjasë afatin e depozitës
edhe për 2 vite të tjera. Mirëpo, deri në atë kohë norma e interesit për depozitat në këtë bankë kishte ndryshuar dhe arriti në
tashmë p% në vit. Si rrjedhojë, pas katër vitesh, Pasha kishte në llogarinë e tij një shumë më të madhe se Sasha, dhe kjo
diferenca ishte më pak se 10% e shumës që të gjithë investuan fillimisht. Gjeni më të mirën e mundshme
vlera e plotë e normës së interesit.
10. Një fermer ka dy ara, secila me një sipërfaqe prej 10 hektarësh. Çdo fushë mund të rritet

patate në fushën e parë është 400 c/ha, dhe në të dytën - 300 c/ha. Rendimenti i panxharit në fillim
fusha është 300 c/ha, kurse në të dytën - 400 c/ha.
Një fermer mund të shesë patate me një çmim prej 10,000 rubla. për njëqind peshë, dhe panxhar - me një çmim prej 11,000

11. Në dy rajone ka 160 punëtorë secili, secili prej të cilëve është i gatshëm të punojë 5 orë në ditë në miniera.

Kërkohen 2 orë punë në ditë.

zëvendësoni 1 kg nikel. Cila është masa më e madhe e metaleve që mund të nxirret në total në dy rajone në një ditë?
12. Secila prej dy fabrikave punëson 100 persona. Në fabrikën e parë prodhon një punëtor
ndërrimi i 3 pjesëve A ose 1 pjesës B. Në impiantin e dytë, t2 persona u kërkohet të prodhojnë t pjesë (si A ashtu edhe B)
ndërrime Të dyja fabrikat furnizojnë me pjesë fabrikën, ku është montuar produkti, dhe për prodhimin e tij është e nevojshme
1 pjesë A dhe 3 pjesë B. Në të njëjtën kohë, fabrikat bien dakord ndërmjet tyre që të prodhojnë pjesë që të munden
ishte për të mbledhur numrin më të madh të produkteve. Në sa produkte në kushte të tilla mund të montohet bima
ndërrim?
13. Në klasën e parë hyjnë 43 persona: 23 djem dhe 20 vajza. Ata u ndanë në dy klasa:
njëri duhet të ketë 22 persona dhe tjetri
llogaritjet llogaritën përqindjen e djemve në
çdo klasë dhe numrat që rezultuan u shtuan. Cila duhet të jetë shpërndarja sipas klasave në mënyrë që të rezultojë
ishte shuma me e madhe?
21. Pas garave
―
14. Një fabrikë që prodhon produkte ushqimore gjysëm të gatshme prodhon petulla me llojet e mëposhtme
mbushjet: kokrra të kuqe dhe gjizë. Tabela e mëposhtme tregon koston dhe çmimin e shitjes, si dhe
aftësitë prodhuese të fabrikës për çdo lloj produkti vetëm me ngarkesë të plotë të të gjitha kapaciteteve
këtij lloj produkti.

Lloji i mbushjes
Çmimi i kostos
(për 1 ton)
Çmimi i shitjes
(për 1 ton)
Prodhimi
mundësitë
manaferrat
gjizë
70 mijë rubla.
100 mijë rubla.
90 (ton në muaj)
100 mijë rubla.
135 mijë rubla.
75 (ton në muaj)

Për të përmbushur kushtet e asortimentit të vendosura nga zinxhirët e shitjes me pakicë, çdo produkt
Duhet të prodhohen të paktën 15 tonë të këtij lloji. Duke supozuar se të gjitha produktet e fabrikës janë në kërkesë
(shitet pa rezervë), gjeni fitimin maksimal të mundshëm që mund të marrë fabrika nga prodhimi
prodhimi i petullave në 1 muaj.
15. Fabrika e konservave prodhon komposto frutash në dy lloje kontejnerë - qelqi dhe kallaj. Proiz
Kapaciteti prodhues i uzinës lejon prodhimin e 90 centenrave komposto në enë qelqi në ditë ose 80
centners në enë prej kallaji. Të plotësojë kushtet e asortimentit të vendosura nga tregtia
rrjetet, produktet në çdo lloj kontejneri duhet të prodhohen të paktën 20 centner. Tabela tregon
kostoja dhe çmimi i shitjes së fabrikës për 1 kuintal produktesh për të dy llojet e kontejnerëve.

Lloji i kontejnerit
xhami
kallaj
Çmimi i kostos,
1 c.
Çmimi i shitjes,
1 c.
1500 fshij.
1100 fshij.
2100 fshij.
1750 fshij.

Duke supozuar se të gjitha produktet e uzinës janë në kërkesë (shiten pa rezervë), gjeni maksimumin e mundshëm
fitimi i mundshëm i uzinës në një ditë (fitimi është diferenca midis çmimit të shitjes së të gjitha produkteve
tion dhe kostoja e tij).
16. Informacioni parësor ndahet në serverët nr.1 dhe nr.2 dhe përpunohet në to. Nga serveri nr. 1 në
me një vëllim prej t2 GB informacioni të përfshirë në të, del 20t GB dhe nga serveri nr. 2 me një vëllim prej t2 GB informacioni i përfshirë në
informacioni del
GB informacione të përpunuara; 25< t < 55. Каков наибольший общий объём вы
e informacionit në hyrje me një vëllim total të informacionit hyrës prej 3364 GB?
17. Antoni është pronar i dy fabrikave në qytete të ndryshme. Fabrikat prodhojnë absolutisht një
produkte të njëjta duke përdorur të njëjtat teknologji. Nëse punëtorët në njërën nga fabrikat punojnë gjithsej
por t2 orë në javë, pastaj gjatë kësaj jave prodhojnë t njësi mallrash.
Për çdo orë pune në një fabrikë të vendosur në qytetin e parë, Anton i paguan punëtorit 250 rubla dhe
impianti i vendosur në qytetin e dytë - 200 rubla.

Anton është gati të ndajë 900,000 rubla në javë për të paguar punëtorët. Cili është numri më i madh
a mund të prodhohen njësi mallrash në një javë në këto dy fabrika?
18. Gregori është pronar i dy fabrikave në qytete të ndryshme. Fabrikat prodhojnë absolutisht një
produkte të njëjta, por fabrika e vendosur në qytetin e dytë përdor pajisje më të avancuara.
Si rezultat, nëse punëtorët në një fabrikë të vendosur në qytetin e parë punojnë gjithsej t2 orë në javë, atëherë
gjatë kësaj jave prodhojnë 3t njësi mallrash; nëse punëtorët në një fabrikë të vendosur në qytetin e dytë punojnë
zgjasin gjithsej t2 orë në javë, pastaj gjatë kësaj jave prodhojnë 4t njësi mallrash.
Për çdo orë pune (në secilën prej fabrikave) Grigory i paguan punëtorit 500 rubla.
Grigory është gati të ndajë 5,000,000 rubla në javë për të paguar punëtorët. Cila është sasia më e madhe
Sa njësi të një produkti mund të prodhohen në një javë në këto dy fabrika?
19. Prodhimi i x mijë njësive të produktit kushton q = 0.5x2 + x + 7 milion rubla në vit. Me një çmim prej p mijë.

në vlerën më të vogël të p, në tre vjet fitimi i përgjithshëm do të jetë së paku 75 milion rubla?
20. Prodhimi i x mijë njësive të produktit kushton q = 0.5x2 + 2x + 5 milion rubla në vit. Me një çmim prej p mijë.
rubla për njësi, fitimi vjetor nga shitja e këtyre produkteve (në milion rubla) është px - q. Në çfarë
në vlerën më të vogël të p, në katër vjet fitimi i përgjithshëm do të jetë së paku 52 milion rubla?
21. Ndërtimi i një fabrike të re kushton 78 milionë rubla. Kostot e prodhimit x mijë njësi. produktet në
një bimë e tillë janë të barabarta
milion rubla në vit. Nëse produktet e uzinës shiten me një çmim prej r mijë rubla për
njësi, atëherë do të jetë fitimi i kompanisë (në milion rubla) për një vit
. Kur do të jetë fabrika
e ndërtuar, kompania do të prodhojë produkte në sasi të tilla që fitimi të jetë më i madh. Në çfarë
Me vlerën më të vogël të p, ndërtimi i uzinës do të paguajë veten në jo më shumë se 3 vjet?
22. Një fermer ka dy ara, secila me një sipërfaqe prej 10 hektarësh. Çdo fushë mund të rritet
patate dhe panxhar, arat mund të ndahen midis këtyre kulturave në çdo proporcion. Produktiviteti
patate në fushën e parë është 500 c/ha, dhe në të dytën - 300 c/ha. Rendimenti i panxharit në fillim
fusha është 300 c/ha, kurse në të dytën – 500 c/ha.
Një fermer mund të shesë patate për 5000 rubla. për qind, dhe panxhar - me një çmim prej 8,000 rubla. për
kuintal Cilat janë të ardhurat më të larta që mund të fitojë një fermer?
23. Një sipërmarrës bleu një ndërtesë dhe do të hapë një hotel në të. Hoteli mund të ketë standard por
një dhomë me sipërfaqe 27 metra katrorë dhe një suitë me sipërfaqe 45 metra katrorë. Sipërfaqja e përgjithshme
Kjo zonë mund të përdoret për dhoma dhe është 981 metra katrorë. Një sipërmarrës mund ta ndajë këtë përfitim
Rezervoni ndërmjet dhomave të llojeve të ndryshme sipas dëshirës. Një dhomë e zakonshme do t'i sjellë hotelit 2000 rubla në ditë,
dhe një dhomë luksoze kushton 4000 rubla në ditë. Cila është shuma më e madhe e parave që mund të fitojë në ditë nga e tija
sipërmarrës hotelesh?
24. Një sipërmarrës bleu një ndërtesë dhe do të hapë një hotel në të. Hoteli mund të ketë standard por
një dhomë me sipërfaqe 30 metra katrorë dhe një suitë me sipërfaqe 40 metra katrorë. Sipërfaqja e përgjithshme
Kjo dhomë mund të përdoret si dhoma dhe është 940 metra katrorë. Një sipërmarrës mund ta përcaktojë këtë
siperfaqe ndermjet dhomave te llojeve te ndryshme sipas deshires. Një dhomë e rregullt do t'i sjellë hotelit 4000 rubla për
troket, dhe një dhomë luksoze kushton 5000 rubla në ditë. Cila është shuma më e madhe e parave që një person mund të fitojë në ditë?
sipërmarrës në hotelin tuaj?
25. Alumini dhe nikeli nxirren në dy miniera. Në minierën e parë janë 20 punëtorë, secili prej të cilëve
gati per te punuar 5 ore ne dite. Në këtë rast, një punëtor nxjerr 1 kg alumin ose 2 kg nikel në orë. Në OBT
Në minierë janë 100 punëtorë, secili prej të cilëve është i gatshëm të punojë 5 orë në ditë. Në të njëjtën kohë, një punëtor për
një orë prodhon 2 kg alumin ose 1 kg nikel.

26. Alumini dhe nikeli nxirren në dy miniera. Në minierën e parë janë 60 punëtorë, secili prej të cilëve
gati per te punuar 5 ore ne dite. Në këtë rast, një punëtor prodhon 2 kg alumin ose 3 kg nikel në orë. Në OBT
Miniera Roy ka 260 punëtorë, secili prej të cilëve është i gatshëm të punojë 5 orë në ditë. Në të njëjtën kohë, një punëtor për
një orë prodhon 3 kg alumin ose 2 kg nikel.
Të dyja minierat furnizojnë metalin e nxjerrë në fabrikë, ku prodhohet aliazh alumini për nevoja industriale.
minium dhe nikel, në të cilat për çdo 2 kg alumin ka 1 kg nikel. Në këtë rast, minierat bien dakord ndërmjet
për të kryer nxjerrjen e metaleve në mënyrë që uzina të mund të prodhojë sasinë më të madhe të aliazhit. Sa kilogramë
A mundet bima të prodhojë gram aliazh çdo ditë në kushte të tilla?

27. Në dy rajone ka 20 punëtorë, secili prej të cilëve është i gatshëm të punojë 10 orë në ditë në miniera.
alumini ose nikel. Në zonën e parë, një punëtor nxjerr 0,2 kg alumin ose 0,2 kg nikel në orë. Në
orë pune, dhe për nxjerrjen e y kg nikel në
kërkohet një ditë
orët e punës.

për të kryer nxjerrjen e metaleve në mënyrë që uzina të mund të prodhojë sasinë më të madhe të aliazhit. Sa kilogramë
A mundet bima të prodhojë gram aliazh çdo ditë në kushte të tilla?
28. Në dy rajone ka 20 punëtorë secili, secili prej të cilëve është i gatshëm të punojë 10 orë në ditë në miniera.
alumini ose nikel. Në zonën e parë, një punëtor nxjerr 0,1 kg alumin ose 0,1 kg nikel në orë. Në
zona e dytë për të nxjerrë x kg alumini kërkohet në ditë
orët e punës, dhe për nxjerrjen e kg nikel në
kërkohet një ditë
orët e punës.
Të dy rajonet furnizojnë metalin e nxjerrë në fabrikë, ku prodhohet aliazh alumini për nevoja industriale.
minium dhe nikel, në të cilat 3 kg alumini përbëjnë 1 kg nikel. Në këtë rast, rajonet bien dakord ndërmjet
për të kryer nxjerrjen e metaleve në mënyrë që uzina të mund të prodhojë sasinë më të madhe të aliazhit. Sa kilogramë
A mundet bima të prodhojë gram aliazh çdo ditë në kushte të tilla?
29. Në dy rajone ka 100 punëtorë secili, secili prej të cilëve është gati të punojë 10 orë në ditë për të marrë
se alumini ose nikeli. Në zonën e parë, një punëtor nxjerr 0,3 kg alumin ose 0,1 kg nikel në orë. Në
në rajonin e dytë, për të nxjerrë x kg alumin në ditë kërkon x2 orë punë dhe për të nxjerrë kg nikel në ditë

Të dy rajonet furnizojnë metalin e nxjerrë në fabrikë, ku prodhohet aliazh alumini për nevoja industriale.
minium dhe nikel, në të cilin për 1 kg alumin ka 1 kg nikel. Në këtë rast, rajonet bien dakord ndërmjet
për të kryer nxjerrjen e metaleve në mënyrë që uzina të mund të prodhojë sasinë më të madhe të aliazhit. Sa kilogramë
A mundet bima të prodhojë gram aliazh çdo ditë në kushte të tilla?
30. Janë 160 punëtorë në dy rajone, secili prej të cilëve është i gatshëm të punojë 5 orë në ditë për
minierat e aluminit ose nikelit. Në zonën e parë, një punëtor nxjerr 0,1 kg alumin ose 0,3 kg nikel në orë.
Në zonën e dytë, duhen x2 orë punë për të nxjerrë x kg alumin në ditë dhe x kg nikel për të minuar
Kërkohen y2 orë punë në ditë.
Për nevoja industriale mund të përdoret alumini ose nikel dhe mund të përdoret 1 kg alumin

industria?
31. Vasya ëndërron apartamentin e tij, i cili kushton 3 milionë rubla. Vasya mund ta blejë me kredi, me

pagesat, dhe ai do të duhet të paguajë një shumë 180% më të lartë se ajo origjinale. Në vend të kësaj, Vasya
mund të marrësh me qira një apartament për ca kohë (kostoja e qirasë
duke vënë çdo muaj
për blerjen e një apartamenti, shuma që do të mbetet nga pagesa e mundshme e tij në bankë (sipas skemës së parë) pas pagesës.
ju jeni duke paguar qiranë për një apartament me qira. Sa kohë do të duhet në këtë rast që Vasya të kursejë për një apartament nëse

15 mijë rubla. në muaj), nga
―
32. Vasya ëndërron apartamentin e tij, i cili kushton 2 milionë rubla. Vasya mund ta blejë me kredi, me
Në këtë rast, banka është e gatshme ta lëshojë këtë shumë menjëherë, dhe Vasya do të duhet të shlyejë kredinë për 20 vjet në këste të barabarta mujore
pagesat, dhe ai do të duhet të paguajë një shumë 260% më të lartë se ajo origjinale. Në vend të kësaj, Vasya
mund të marrësh me qira një apartament për ca kohë (kostoja e qirasë - 14 mijë rubla në muaj), duke kursyer çdo muaj për
blerja e një apartamenti - shuma që do të mbetet nga pagesa e tij e mundshme në bankë (sipas skemës së parë) pas pagesës
qira per nje apartament me qera. Në sa muaj në këtë rast Vasya do të jetë në gjendje të kursejë për një apartament nëse
supozojmë se vlera e tij nuk do të ndryshojë?
33. Në vitin 2016, dikush mori një kredi bankare prej 6,6 milionë rubla me interes, e cila llogaritet një herë në çdo
vit në mes të vitit. Në vitin 2017, 2018 dhe 2019, në fillim të vitit, ka kontribuar në shuma të barabarta në mënyrë që pas përllogaritjes
interesi për shumën e mbetur në korrik, borxhi në fund të vitit ishte i barabartë me 6.6 milion rubla. Më pas, në 2020 dhe 2021,
gjendja e borxhit është paguar në shuma të barabarta në mënyrë që kredia të mbyllet në vitin 2021. Sa ishte përqindja
hua, nëse janë paguar 12.6 milion rubla gjatë gjithë periudhës së huadhënies?
34. Në dy rajone ka 90 punëtorë secili, secili prej të cilëve është i gatshëm të punojë 5 orë në ditë në miniera.
alumini ose nikel. Në zonën e parë, një punëtor nxjerr 0,3 kg alumin ose 0,1 kg nikel në orë. Në

një ditë kërkon y2 orë punë.
Për nevoja industriale mund të përdoret alumini ose nikel dhe 1 kg alumin
1 kg nikel mund të zëvendësohet. Cila është masa më e madhe e metaleve që mund të nxirret në dy rajone gjithsej
nevojat e industrisë?

35. Në dy rajone ka 250 punëtorë, secili prej të cilëve është i gatshëm të punojë 5 orë në ditë në miniera.
alumini ose nikel. Në zonën e parë, një punëtor nxjerr 0,2 kg alumin ose 0,1 kg nikel në orë. Në
në rajonin e dytë, për të minuar x kg alumin në ditë duhen x2 orë punë dhe për të nxjerrë y kg nikel në ditë
një ditë kërkon y2 orë punë.
Për nevoja industriale mund të përdoret alumini ose nikel dhe mund të përdoret 1 kg alumin
zëvendësoni 1 kg nikel. Cila është masa më e madhe e metaleve që mund të nxirret në dy rajone gjithsej për nevojat e
industria?
36. Një fermer ka dy ara, secila me një sipërfaqe prej 10 hektarësh. Çdo fushë mund të rritet
patate dhe panxhar, arat mund të ndahen midis këtyre kulturave në çdo proporcion. Produktiviteti
patate në fushën e parë është 300 c/ha, dhe në të dytën - 200 c/ha. Rendimenti i panxharit në fillim
fusha është 200 c/ha, kurse në të dytën - 300 c/ha.
Një fermer mund të shesë patate me një çmim prej 10,000 rubla. për njëqind peshë, dhe panxhar - me një çmim prej 13,000
fshij. për qind. Cilat janë të ardhurat më të larta që mund të fitojë një fermer?
37. Fondi i pensionit zotëron aksione, çmimi i të cilave në fund të vitit t bëhet i barabartë me 2 mijë rubla. (dmth te
në fund të vitit të parë ato kushtojnë 1 mijë rubla, deri në fund të të dytit - 4 mijë rubla. etj) për 20 vjet. Në fund të ndonjë
vit, ju mund t'i shesni aksionet me çmimin e tyre të tregut në fund të vitit dhe t'i vendosni të ardhurat në bankë në 25%
në vit. Në fund të cilit vit duhet të shiten aksionet për të maksimizuar fitimet?
38. Fondi pensional zotëron letra me vlerë me vlerë
mijë rubla në fund
Në fund të çdo viti, fondi i pensioneve mund të shesë letra me vlerë dhe të depozitojë para
vit
një herë.
në një llogari bankare, dhe në fund të çdo viti të ardhshëm shuma në llogari do të rritet me
Fondi pensional dëshiron të shesë letra me vlerë në fund të një viti të tillë në mënyrë që në fund të vitit të njëzetepestë shuma
ishte më i madhi në llogarinë e tij. Llogaritjet kanë treguar se për këtë, letrat me vlerë duhet të shiten në mënyrë rigoroze në fund
viti i njëzet e një. Në cilat vlera pozitive të r është e mundur kjo?

39. Një fermer shiste patatet me dyfishin e çmimit në tetor se në mars. Në të njëjtën kohë, të ardhurat
nga shitja e patates në tetor ishte 53% më e ulët në krahasim me muajin mars. Përcaktoni në
Sa përqind më pak patate ka shitur fermeri në tetor se në mars?
40. Një fermer mori një kredi nga një bankë në një përqindje të caktuar në vit. Pas një viti fermeri numëron
shlyerjen e kredisë, ai i ktheu bankës 3/4 e të gjithë shumës që i kishte borxh bankës deri në këtë kohë, si dhe
një vit më vonë, për të shlyer plotësisht kredinë, ai depozitoi në bankë një shumë 21% më të lartë se shuma.
marrë kredi. Sa është norma vjetore e interesit për një kredi nga kjo bankë?
41. Dy punëtorë që punojnë së bashku mund të kryejnë një punë në 12 ditë. Për sa ditë, duke punuar veçmas,
punëtori i parë do ta kryejë këtë punë nëse e kryen të njëjtën pjesë të punës për dy ditë siç bën i dyti
tre ditë?