Çfarë është një derivat?

Tabela e derivateve.

Derivati ​​është një nga konceptet kryesore të matematikës së lartë. Në këtë mësim do të prezantojmë këtë koncept. Le të njihemi, pa formulime dhe prova të rrepta matematikore.

Ky njohje do t'ju lejojë të:

Të kuptojë thelbin e detyrave të thjeshta me derivate;

Zgjidhini me sukses këto detyra më të thjeshta;

Përgatituni për mësime më serioze mbi derivatet.

Së pari - një surprizë e këndshme.)

Përkufizimi i rreptë i derivatit bazohet në teorinë e kufijve dhe gjëja është mjaft e ndërlikuar. Kjo është shqetësuese. Por zbatimi praktik i derivateve, si rregull, nuk kërkon njohuri kaq të gjera dhe të thella!

Për të përfunduar me sukses shumicën e detyrave në shkollë dhe universitet, mjafton të dihet vetëm disa terma- për të kuptuar detyrën, dhe vetëm disa rregulla- për ta zgjidhur atë. Kjo është e gjitha. Kjo më bën të lumtur.

Le të fillojmë të njihemi?)

Termat dhe emërtimet.

Ka shumë operacione të ndryshme matematikore në matematikën elementare. Mbledhja, zbritja, shumëzimi, fuqizimi, logaritmi etj. Nëse këtyre veprimeve u shtoni edhe një operacion, matematika elementare bëhet më e lartë. Ky operacion i ri quhet diferencimi. Përkufizimi dhe kuptimi i këtij operacioni do të diskutohet në mësime të veçanta.

Është e rëndësishme të kuptohet këtu se diferencimi është thjesht një veprim matematikor mbi një funksion. Ne marrim çdo funksion dhe, sipas rregullave të caktuara, e transformojmë atë. Rezultati do të jetë një funksion i ri. Ky funksion i ri quhet: derivat.

Diferencimi- veprim në një funksion.

Derivat- rezultati i këtij veprimi.

Ashtu si, për shembull, shuma- rezultati i shtimit. Ose private- rezultati i ndarjes.

Duke ditur termat, të paktën mund t'i kuptoni detyrat.) Formulimet janë si më poshtë: gjeni derivatin e një funksioni; merr derivatin; të dallojë funksionin; llogarit derivatin etj. Kjo është e gjitha një dhe e njëjta. Sigurisht, ka edhe detyra më komplekse, ku gjetja e derivatit (diferencimit) do të jetë vetëm një nga hapat në zgjidhjen e problemit.

Derivati ​​tregohet me një vizë në krye të djathtë të funksionit. Si kjo: y" ose f"(x) ose S"(t) e kështu me radhë.

Leximi igrek stroke, ef stroke from x, es stroke from te, Epo, ju e kuptoni ...)

Një i thjeshtë mund të tregojë gjithashtu derivatin e një funksioni të caktuar, për shembull: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etj. Shpesh derivatet shënohen duke përdorur diferenciale, por ne nuk do ta konsiderojmë një shënim të tillë në këtë mësim.

Le të supozojmë se kemi mësuar të kuptojmë detyrat. Gjithçka që mbetet është të mësoni se si t'i zgjidhni ato.) Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë: gjetja e derivatit është transformimi i një funksioni sipas rregullave të caktuara.Çuditërisht, ka shumë pak nga këto rregulla.

Për të gjetur derivatin e një funksioni, duhet të dini vetëm tre gjëra. Tre shtylla mbi të cilat qëndron i gjithë diferencimi. Këto janë tre shtyllat:

1. Tabela e derivateve (formula e diferencimit).

3. Derivat i një funksioni kompleks.

Le të fillojmë me radhë. Në këtë mësim do të shikojmë tabelën e derivateve.

Tabela e derivateve.

Ka një numër të pafund funksionesh në botë. Midis këtij grupi ka funksione që janë më të rëndësishmet për përdorim praktik. Këto funksione gjenden në të gjitha ligjet e natyrës. Nga këto funksione, si nga tullat, mund të ndërtoni të gjitha të tjerat. Kjo klasë funksionesh quhet funksionet elementare. Janë këto funksione që studiohen në shkollë - lineare, kuadratike, hiperbola, etj.

Diferencimi i funksioneve "nga e para", d.m.th. Bazuar në përkufizimin e derivatit dhe teorinë e kufijve, kjo është një gjë mjaft punë intensive. Dhe matematikanët janë gjithashtu njerëz, po, po!) Kështu ata thjeshtuan jetën e tyre (dhe neve). Ata llogaritën derivatet e funksioneve elementare para nesh. Rezultati është një tabelë e derivateve, ku gjithçka është gati.)

Këtu është, kjo pjatë për funksionet më të njohura. Në të majtë është një funksion elementar, në të djathtë është derivati ​​i tij.

	Funksioni y	Derivati ​​i funksionit y y"
1	C (vlerë konstante)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - çdo numër)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	mëkat x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	harku x
	arccos x
	arktan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	n x ( a = e)

Unë rekomandoj t'i kushtoni vëmendje grupit të tretë të funksioneve në këtë tabelë të derivateve. Derivati ​​i një funksioni fuqie është një nga formulat më të zakonshme, nëse jo më e zakonshme! E kuptoni sugjerimin?) Po, këshillohet të njihni përmendësh tabelën e derivateve. Nga rruga, kjo nuk është aq e vështirë sa mund të duket. Mundohuni të zgjidhni më shumë shembuj, vetë tabela do të mbahet mend!)

Gjetja e vlerës së tabelës së derivatit, siç e kuptoni, nuk është detyra më e vështirë. Prandaj, shumë shpesh në detyra të tilla ka çipa shtesë. Ose në formulimin e detyrës, ose në funksionin origjinal, i cili nuk duket të jetë në tabelë...

Le të shohim disa shembuj:

1. Gjeni derivatin e funksionit y = x 3

Nuk ka një funksion të tillë në tabelë. Por ekziston një derivat i një funksioni fuqie në formë të përgjithshme (grupi i tretë). Në rastin tonë n=3. Pra, ne zëvendësojmë tre në vend të n dhe shkruajmë me kujdes rezultatin:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Kjo është ajo.

Përgjigje: y" = 3x 2

2. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit y = sinx në pikën x = 0.

Kjo detyrë do të thotë që së pari duhet të gjeni derivatin e sinusit dhe më pas të zëvendësoni vlerën x = 0 në këtë derivat. Pikërisht në atë rend! Përndryshe, ndodh që ata të zëvendësojnë menjëherë zeron në funksionin origjinal... Na kërkohet të gjejmë jo vlerën e funksionit origjinal, por vlerën. derivati ​​i tij. Derivati, më lejoni t'ju kujtoj, është një funksion i ri.

Duke përdorur tabletën gjejmë sinusin dhe derivatin përkatës:

y" = (mëkat x)" = cosx

Ne e zëvendësojmë zeron në derivatin:

y"(0) = cos 0 = 1

Kjo do të jetë përgjigja.

3. Diferenconi funksionin:

Çfarë, a frymëzon?) Nuk ka një funksion të tillë në tabelën e derivateve.

Më lejoni t'ju kujtoj se të diferencosh një funksion do të thotë thjesht të gjesh derivatin e këtij funksioni. Nëse harroni trigonometrinë elementare, kërkimi i derivatit të funksionit tonë është mjaft i mundimshëm. Tabela nuk ndihmon...

Por nëse shohim se funksioni ynë është kosinus me kënd të dyfishtë, atëherë gjithçka bëhet më mirë menjëherë!

Po, po! Mos harroni se transformimi i funksionit origjinal para diferencimit mjaft e pranueshme! Dhe ndodh që ta bëjë jetën shumë më të lehtë. Duke përdorur formulën e kosinusit me kënd të dyfishtë:

ato. funksioni ynë i ndërlikuar nuk është gjë tjetër veçse y = cosx. Dhe ky është një funksion i tabelës. Ne marrim menjëherë:

Përgjigje: y" = - mëkat x.

Shembull për të diplomuarit dhe studentët e avancuar:

4. Gjeni derivatin e funksionit:

Nuk ka një funksion të tillë në tabelën e derivateve, natyrisht. Por nëse ju kujtohet matematika elementare, veprimet me fuqi... Atëherë është mjaft e mundur ta thjeshtoni këtë funksion. Si kjo:

Dhe x në fuqinë e një të dhjetës është tashmë një funksion tabelor! Grupi i tretë, n=1/10. Ne shkruajmë drejtpërdrejt sipas formulës:

Kjo është ajo. Kjo do të jetë përgjigja.

Shpresoj që gjithçka të jetë e qartë me shtyllën e parë të diferencimit - tabelën e derivateve. Mbetet të merremi me dy balenat e mbetura. Në mësimin e ardhshëm do të mësojmë rregullat e diferencimit.

Derivat i një funksioni të një ndryshoreje.

Hyrje.

Këto zhvillime metodologjike janë të destinuara për studentët e Fakultetit të Inxhinierisë Industriale dhe Ndërtimore. Ato janë përpiluar në lidhje me programin e lëndës së matematikës në seksionin “Njehsimi diferencial i funksioneve të një ndryshoreje”.

Zhvillimet paraqesin një udhëzues të vetëm metodologjik, duke përfshirë: informacion të shkurtër teorik; Probleme dhe ushtrime “standarde” me zgjidhje dhe shpjegime të hollësishme për këto zgjidhje; opsionet e testimit.

Në fund të çdo paragrafi ka ushtrime shtesë. Kjo strukturë zhvillimesh i bën ato të përshtatshme për zotërim të pavarur të seksionit me ndihmën minimale të mësuesit.

§1. Përkufizimi i derivatit.

Kuptimi mekanik dhe gjeometrik

derivat.

Koncepti i derivatit është një nga konceptet më të rëndësishme në analizën matematikore. Formimi i konceptit të derivatit lidhet historikisht me dy probleme: problemin e shpejtësisë së lëvizjes së alternuar dhe problemin e tangjentes në një kurbë.

Këto probleme, pavarësisht nga përmbajtja e tyre e ndryshme, çojnë në të njëjtin veprim matematikor që duhet të kryhet në një funksion Ky operacion ka marrë një emër të veçantë në matematikë. Quhet operacioni i diferencimit të një funksioni. Rezultati i veprimit të diferencimit quhet derivat.

Pra, derivati ​​i funksionit y=f(x) në pikën x0 është kufiri (nëse ekziston) i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit.
në
.

Derivati ​​zakonisht shënohet si më poshtë:
.

Kështu, sipas përkufizimit

Simbolet përdoren gjithashtu për të treguar derivatet
.

Kuptimi mekanik i derivatit.

Nëse s=s(t) është ligji i lëvizjes drejtvizore të një pike materiale, atëherë
është shpejtësia e kësaj pike në kohën t.

Kuptimi gjeometrik i derivatit.

Nëse funksioni y=f(x) ka një derivat në pikë , atëherë koeficienti këndor i tangjentes me grafikun e funksionit në pikë
barazohet
.

Shembull.

Gjeni derivatin e funksionit
në pikën =2:

1) Le t'i japim një pikë =2 rritje
. Vini re se.

2) Gjeni shtimin e funksionit në pikë =2:

3) Le të krijojmë raportin e rritjes së funksionit me rritjen e argumentit:

Le të gjejmë kufirin e raportit në
:

.

Kështu,
.

§ 2. Derivatet e disave

funksionet më të thjeshta.

Nxënësi duhet të mësojë si të llogaritë derivatet e funksioneve specifike: y=x,y= dhe ne pergjithesi= .

Të gjejmë derivatin e funksionit y=x.

ato. (x)′=1.

Le të gjejmë derivatin e funksionit

Derivat

Le
Pastaj

Është e lehtë të vërehet një model në shprehjet për derivatet e funksionit të fuqisë
me n=1,2,3.

Prandaj,

. (1)

Kjo formulë është e vlefshme për çdo n real.

Në veçanti, duke përdorur formulën (1), kemi:

;

.

Shembull.

Gjeni derivatin e funksionit

.

.

Ky funksion është një rast i veçantë i një funksioni të formës

në
.

Duke përdorur formulën (1), kemi

.

Derivatet e funksioneve y=sin x dhe y=cos x.

Le të y=sinx.

Pjesëtojmë me ∆x, marrim

Duke kaluar në kufirin në ∆x→0, kemi

Le të y=cosx.

Duke kaluar në kufirin në ∆x→0, marrim

;
. (2)

§3. Rregullat themelore të diferencimit.

Le të shqyrtojmë rregullat e diferencimit.

Teorema1 . Nëse funksionet u=u(x) dhe v=v(x) janë të diferencueshëm në një pikëx të caktuar, atëherë në këtë pikë shuma e tyre është gjithashtu e diferencueshme, dhe derivati ​​i shumës është i barabartë me shumën e derivateve të termave : (u+v)"=u"+v".(3)

Vërtetim: shqyrtoni funksionin y=f(x)=u(x)+v(x).

Rritja ∆x e argumentit x korrespondon me inkrementet ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) të funksioneve u dhe v. Atëherë funksioni y do të rritet

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Prandaj,

Pra, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Nëse funksionet u=u(x) dhe v=v(x) janë të diferencueshëm në një pikëx të caktuar, atëherë produkti i tyre është i diferencueshëm në të njëjtën pikë, në këtë rast, derivati ​​i produktit gjendet me formulën e mëposhtme: uv)"=u"v+uv". (4)

Vërtetim: Le të jetë y=uv, ku u dhe v janë disa funksione të diferencueshme të x. Le t'i japim x një rritje prej ∆x, atëherë u do të marrë një rritje prej ∆u, v do të marrë një rritje prej ∆v, dhe y do të marrë një rritje prej ∆y.

Kemi y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ose

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Prandaj, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Nga këtu

Duke kaluar në kufirin në ∆x→0 dhe duke marrë parasysh që u dhe v nuk varen nga ∆x, do të kemi

Teorema 3. Derivati ​​i herësit të dy funksioneve është i barabartë me një fraksion, emëruesi i së cilës është i barabartë me katrorin e pjesëtuesit, dhe numëruesi është diferenca midis produktit të derivatit të dividendit nga pjesëtuesi dhe produktit të pjesëtuesit. divident nga derivati ​​i pjesëtuesit, d.m.th.

Nëse
Se
(5)

Teorema 4. Derivati ​​i një konstante është zero, d.m.th. nëse y=C, ku C=konst, atëherë y"=0.

Teorema 5. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja e derivatit, d.m.th. nëse y=Cu(x), ku С=const, atëherë y"=Cu"(x).

Shembulli 1.

Gjeni derivatin e funksionit

.

Ky funksion ka formën
, ku=x,v=cosx. Duke zbatuar rregullin e diferencimit (4), gjejmë

.

Shembulli 2.

Gjeni derivatin e funksionit

.

Le të zbatojmë formulën (5).

Këtu
;
.

Detyrat.

Gjeni derivatet e funksioneve të mëposhtme:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Në këtë artikull do të japim konceptet bazë mbi të cilat do të bazohet e gjithë teoria e mëtejshme mbi temën e derivatit të një funksioni të një ndryshoreje.

Shtegu x është argumenti i funksionit f(x) dhe është një numër i vogël i ndryshëm nga zero.

(lexo “delta x”) quhet duke rritur një argument funksioni. Në figurë, vija e kuqe tregon ndryshimin e argumentit nga vlera x në vlerë (prandaj dhe thelbi i emrit "rritje" e argumentit).

Kur lëvizni nga vlera e argumentit në vlerat e funksionit ndryshojnë në përputhje me rrethanat nga në, me kusht që funksioni të jetë monoton në interval. Diferenca quhet rritja e funksionit f(x), që korrespondon me këtë rritje të argumentit. Në figurë, rritja e funksionit është paraqitur me një vijë blu.

Le t'i shohim këto koncepte duke përdorur një shembull specifik.

Le të marrim, për shembull, funksionin . Le të rregullojmë pikën dhe shtimin e argumentit. Në këtë rast, rritja e funksionit kur lëviz nga në do të jetë e barabartë me

Një rritje negative tregon një ulje të funksionit në segment.

Ilustrim grafik

Përcaktimi i derivatit të një funksioni në një pikë.

Le të përcaktohet funksioni f(x) në intervalin (a; b) dhe të jenë pikat e këtij intervali. Derivati ​​i funksionit f(x) në pikë quhet kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit në . I caktuar .

Kur kufiri i fundit merr një vlerë përfundimtare specifike, ne flasim për ekzistencën derivat i fundëm në pikë. Nëse kufiri është i pafund, atëherë ata thonë se derivati ​​është i pafund në një pikë të caktuar. Nëse kufiri nuk ekziston, atëherë derivati ​​i funksionit në këtë pikë nuk ekziston.

Funksioni f(x) thirret i diferencueshëm në pikë, kur ka një derivat të fundëm në të.

Nëse një funksion f(x) është i diferencueshëm në çdo pikë të një intervali të caktuar (a; b), atëherë funksioni quhet i diferencueshëm në këtë interval. Kështu, çdo pikë x nga intervali (a; b) mund të shoqërohet me vlerën e derivatit të funksionit në këtë pikë, domethënë kemi mundësinë të përcaktojmë një funksion të ri, i cili quhet derivat i funksionit f(x) në intervalin (a; b).

Operacioni i gjetjes së derivatit quhet diferencimi.

Le të bëjmë një dallim në natyrën e koncepteve të derivatit të një funksioni në një pikë dhe në një interval: derivati ​​i një funksioni në një pikë është një numër, dhe derivati ​​i një funksioni në një interval është një funksion.

Le ta shohim këtë me shembuj për ta bërë fotografinë më të qartë. Gjatë diferencimit do të përdorim përkufizimin e derivatit, domethënë do të vazhdojmë me gjetjen e kufijve. Nëse lindin vështirësi, ju rekomandojmë t'i referoheni seksionit teorik.

Shembull.

Gjeni derivatin e funksionit në pikën duke përdorur përkufizimin.

Zgjidhje.

Meqenëse ne kërkojmë derivatin e një funksioni në një pikë, përgjigja duhet të përmbajë një numër. Le të shkruajmë kufirin e raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit dhe të përdorim formulat e trigonometrisë:

Çfarë është një derivat?
Përkufizimi dhe kuptimi i një funksioni derivat

Shumë do të befasohen nga vendosja e papritur e këtij artikulli në kursin e autorit tim mbi derivatin e një funksioni të një ndryshoreje dhe aplikimet e saj. Në fund të fundit, siç ka qenë që në shkollë: teksti standard para së gjithash jep përkufizimin e një derivati, kuptimin e tij gjeometrik, mekanik. Më pas, studentët gjejnë derivatet e funksioneve sipas përkufizimit dhe, në fakt, vetëm atëherë ata përsosin teknikën e diferencimit duke përdorur tabelat e derivateve.

Por nga këndvështrimi im, qasja e mëposhtme është më pragmatike: para së gjithash, këshillohet të KUPTOHET MIRE kufiri i një funksioni dhe, në veçanti, sasi të pafundme. Çështja është se përkufizimi i derivatit bazohet në konceptin e limitit, e cila është konsideruar dobët në kursin shkollor. Kjo është arsyeja pse një pjesë e konsiderueshme e konsumatorëve të rinj të granitit të dijes nuk e kuptojnë vetë thelbin e derivatit. Kështu, nëse keni pak njohuri për llogaritjen diferenciale ose nëse një tru i mençur ka hequr qafe me sukses këtë bagazh gjatë shumë viteve, ju lutemi filloni me kufijtë e funksionit. Në të njëjtën kohë, zotëroni/kujtoni zgjidhjen e tyre.

I njëjti kuptim praktik dikton që së pari është e dobishme Mësoni të gjeni derivatet, duke përfshirë derivatet e funksioneve komplekse. Teoria është teori, por, siç thonë ata, gjithmonë dëshiron të diferencosh. Në këtë drejtim, është më mirë të punoni me mësimet bazë të listuara, dhe ndoshta mjeshtër i diferencimit pa e kuptuar as thelbin e veprimeve të tyre.

Unë rekomandoj të filloni me materialet në këtë faqe pasi të keni lexuar artikullin. Problemet më të thjeshta me derivatet, ku, në veçanti, merret parasysh problemi i tangjentes në grafikun e një funksioni. Por ju mund të prisni. Fakti është se shumë aplikime të derivatit nuk kërkojnë ta kuptojnë atë, dhe nuk është për t'u habitur që mësimi teorik u shfaq mjaft vonë - kur më duhej të shpjegoja gjetja e intervaleve në rritje/zvogëlim dhe ekstreme funksionet. Për më tepër, ai ishte në temë për një kohë mjaft të gjatë. Funksionet dhe grafikët”, derisa më në fund vendosa ta vendos më herët.

Prandaj, të dashur çajnik, mos nxitoni të thithni thelbin e derivatit si kafshët e uritura, sepse ngopja do të jetë pa shije dhe e paplotë.

Koncepti i rritjes, zvogëlimit, maksimumit, minimumit të një funksioni

Shumë tekste prezantojnë konceptin e derivateve me ndihmën e disa problemeve praktike, dhe unë gjithashtu dola me një shembull interesant. Imagjinoni që jemi gati të udhëtojmë në një qytet që mund të arrihet në mënyra të ndryshme. Le të hedhim poshtë menjëherë shtigjet me dredha-dredha dhe të marrim parasysh vetëm autostradat e drejta. Sidoqoftë, drejtimet e vijës së drejtë janë gjithashtu të ndryshme: mund të shkoni në qytet përgjatë një autostrade të sheshtë. Ose përgjatë një autostrade kodrinore - lart e poshtë, lart e poshtë. Një rrugë tjetër shkon vetëm përpjetë, dhe një tjetër shkon drejt e tatëpjetë gjatë gjithë kohës. Entuziastët ekstremë do të zgjedhin një rrugë përmes një gryke me një shkëmb të pjerrët dhe një ngjitje të pjerrët.

Por sido që të jenë preferencat tuaja, këshillohet të njihni zonën ose të paktën të keni një hartë topografike të saj. Po sikur një informacion i tillë të mungojë? Në fund të fundit, ju mund të zgjidhni, për shembull, një rrugë të qetë, por si rezultat të pengoheni në një shpat skish me finlandezë të gëzuar. Nuk është fakt që një navigator apo edhe një imazh satelitor do të sigurojë të dhëna të besueshme. Prandaj, do të ishte mirë të zyrtarizonim lehtësimin e shtegut duke përdorur matematikën.

Le të shohim disa rrugë (pamje anësore):

Për çdo rast, ju kujtoj një fakt elementar: udhëtimi ndodh nga e majta në të djathtë. Për thjeshtësi, supozojmë se funksioni të vazhdueshme në zonën në shqyrtim.

Cilat janë veçoritë e këtij grafiku?

Në intervale funksionin rritet, domethënë çdo vlerë tjetër të saj më shumë e mëparshme. Përafërsisht, orari është i hapur nga poshtë lart(i ngjitemi kodrës). Dhe në interval funksioni zvogëlohet– çdo vlerë tjetër më pak e mëparshme, dhe orari ynë është aktiv nga lart poshtë(ne zbresim shpatin).

Le t'i kushtojmë vëmendje edhe pikave të veçanta. Në pikën që arrijmë maksimale dmth ekziston një seksion i tillë i shtegut ku vlera do të jetë më e madhja (më e larta). Në të njëjtën pikë arrihet minimale, Dhe ekziston lagjen e saj në të cilën vlera është më e vogla (më e ulëta).

Ne do të shikojmë terminologjinë dhe përkufizimet më strikte në klasë. rreth ekstremit të funksionit, por tani për tani le të studiojmë një veçori tjetër të rëndësishme: në intervale funksioni rritet, por rritet me shpejtësi të ndryshme. Dhe gjëja e parë që ju tërheq vëmendjen është se grafiku ngrihet lart gjatë intervalit shumë më cool, se sa në intervalin . A është e mundur të matet pjerrësia e një rruge duke përdorur mjete matematikore?

Shkalla e ndryshimit të funksionit

Ideja është kjo: le të marrim pak vlerë (lexo "delta x"), të cilin do ta quajmë rritje argumenti, dhe le të fillojmë ta "provojmë" në pika të ndryshme në rrugën tonë:

1) Le të shohim pikën më të majtë: duke kaluar distancën, ne ngjitemi shpatin në një lartësi (vijë e gjelbër). Sasia quhet rritja e funksionit, dhe në këtë rast kjo rritje është pozitive (ndryshimi në vlera përgjatë boshtit është më i madh se zero). Le të krijojmë një raport që do të jetë një masë e pjerrësisë së rrugës sonë. Natyrisht, ky është një numër shumë specifik, dhe meqenëse të dy rritjet janë pozitive, atëherë .

Kujdes! Emërtimet janë NJË simbol, d.m.th., nuk mund të "shqyesh" "deltën" nga "X" dhe t'i konsiderosh këto shkronja veç e veç. Natyrisht, komenti ka të bëjë edhe me simbolin e rritjes së funksionit.

Le të eksplorojmë natyrën e thyesës që rezulton në mënyrë më kuptimplote. Le të jemi fillimisht në një lartësi prej 20 metrash (në pikën e zezë të majtë). Pasi të kemi kaluar distancën prej metrash (vija e kuqe e majtë), do të gjendemi në një lartësi prej 60 metrash. Atëherë rritja e funksionit do të jetë metra (vija e gjelbër) dhe: . Kështu, në çdo metër këtë pjesë të rrugës rritet lartësia mesatarisht me 4 metra... harruat pajisjet tuaja të ngjitjes? =) Me fjalë të tjera, marrëdhënia e ndërtuar karakterizon normën mesatare të ndryshimit (në këtë rast, rritje) të funksionit.

Shënim : Vlerat numerike të shembullit në fjalë korrespondojnë vetëm përafërsisht me përmasat e vizatimit.

2) Tani le të kalojmë të njëjtën distancë nga pika e zezë më e djathtë. Këtu rritja është më graduale, kështu që rritja (vija e kuqe) është relativisht e vogël, dhe raporti në krahasim me rastin e mëparshëm do të jetë shumë modest. Duke folur relativisht, metra dhe norma e rritjes së funksionitështë . Kjo është, këtu për çdo metër të shtegut ka mesatarisht gjysmë metër ngritje.

3) Pak aventurë në shpatin e malit. Le të shohim pikën e zezë të sipërme të vendosur në boshtin e ordinatave. Le të supozojmë se kjo është shenja 50 metra. Ne e kapërcejmë përsëri distancën, si rezultat i së cilës gjendemi më poshtë - në nivelin 30 metra. Meqenëse lëvizja kryhet nga lart poshtë(në drejtimin "kundër" të boshtit), pastaj fundi rritja e funksionit (lartësia) do të jetë negative: metra (segment kafe në vizatim). Dhe në këtë rast ne tashmë po flasim shkalla e uljes Karakteristikat: , pra për çdo metër rrugë të këtij seksioni lartësia zvogëlohet mesatarisht me 2 metra. Kujdesuni për rrobat tuaja në pikën e pestë.

Tani le t'i bëjmë vetes pyetjen: cila vlerë e "standardit matës" është më e mira për t'u përdorur? Është plotësisht e kuptueshme, 10 metra është shumë e ashpër. Një duzinë e mirë humoqesh mund të përshtaten lehtësisht mbi to. Pavarësisht nga gunga, mund të ketë një grykë të thellë poshtë, dhe pas disa metrash ka anën tjetër të saj me një ngritje të mëtejshme të pjerrët. Kështu, me një dhjetë metër nuk do të marrim një përshkrim të kuptueshëm të seksioneve të tilla të shtegut përmes raportit .

Nga diskutimi i mësipërm rezulton konkluzioni i mëposhtëm: aq më e ulët është vlera, aq më saktë përshkruajmë topografinë e rrugës. Për më tepër, faktet e mëposhtme janë të vërteta:

– Për këdo pika ngritëse ju mund të zgjidhni një vlerë (edhe nëse është shumë e vogël) që përshtatet brenda kufijve të një rritjeje të veçantë. Kjo do të thotë që rritja përkatëse e lartësisë do të garantohet të jetë pozitive dhe pabarazia do të tregojë saktë rritjen e funksionit në çdo pikë të këtyre intervaleve.

- Po kështu, për çdo pika e pjerrësisë ka një vlerë që do të përshtatet plotësisht në këtë shpat. Rrjedhimisht, rritja përkatëse në lartësi është qartësisht negative dhe pabarazia do të tregojë saktë uljen e funksionit në çdo pikë të intervalit të caktuar.

– Një rast veçanërisht interesant është kur shpejtësia e ndryshimit të funksionit është zero: . Së pari, rritja e lartësisë zero () është një shenjë e një shtegu të qetë. Dhe së dyti, ka situata të tjera interesante, shembuj të të cilave i shihni në figurë. Imagjinoni që fati na ka çuar në majë të një kodre me shqiponja fluturuese ose në fund të një përroske me bretkosa kërcitëse. Nëse bëni një hap të vogël në çdo drejtim, ndryshimi në lartësi do të jetë i papërfillshëm dhe mund të themi se shkalla e ndryshimit të funksionit është në fakt zero. Kjo është pikërisht fotografia e vërejtur në pika.

Kështu, ne kemi ardhur në një mundësi të mahnitshme për të karakterizuar me saktësi të përsosur shkallën e ndryshimit të një funksioni. Në fund të fundit, analiza matematikore bën të mundur drejtimin e rritjes së argumentit në zero: d.m.th. pafundësisht i vogël.

Si rezultat, lind një pyetje tjetër logjike: a është e mundur të gjesh për rrugën dhe orarin e saj një funksion tjetër, e cila do të na njoftonte për të gjitha seksionet e sheshta, ngjitjet, zbritjet, majat, luginat, si dhe shkallën e rritjes/uljes në secilën pikë të rrugës?

Çfarë është një derivat? Përkufizimi i derivatit.
Kuptimi gjeometrik i derivatit dhe diferencialit

Ju lutemi lexoni me kujdes dhe jo shumë shpejt - materiali është i thjeshtë dhe i arritshëm për të gjithë! Është në rregull nëse në disa vende diçka nuk duket shumë e qartë, gjithmonë mund t'i ktheheni artikullit më vonë. Do të them më shumë, është e dobishme të studiohet teoria disa herë për të kuptuar plotësisht të gjitha pikat (këshillat janë veçanërisht të rëndësishme për studentët "teknik", për të cilët matematika e lartë luan një rol të rëndësishëm në procesin arsimor).

Natyrisht, në vetë përkufizimin e derivatit në një pikë e zëvendësojmë atë me:

Në çfarë kemi ardhur? Dhe arritëm në përfundimin se për funksionin sipas ligjit vihet në përputhje funksion tjetër, e cila quhet funksioni derivator(ose thjesht derivat).

Derivati ​​karakterizon shkalla e ndryshimit funksionet Si? Ideja shkon si një fije e kuqe që në fillim të artikullit. Le të shqyrtojmë një pikë fusha e përkufizimit funksionet Le të jetë funksioni i diferencueshëm në një pikë të caktuar. Pastaj:

1) Nëse , atëherë funksioni rritet në pikën . Dhe padyshim që ka intervali(madje edhe shumë i vogël), që përmban një pikë në të cilën funksioni rritet dhe grafiku i tij shkon "nga poshtë lart".

2) Nëse , atëherë funksioni zvogëlohet në pikën . Dhe ka një interval që përmban një pikë në të cilën funksioni zvogëlohet (grafi shkon "nga lart poshtë").

3) Nëse , atëherë pafundësisht afër pranë një pike funksioni ruan shpejtësinë konstante. Kjo ndodh, siç u përmend, me një funksion të vazhdueshëm dhe në pikat kritike të funksionit, në veçanti në pikë minimale dhe maksimale.

Pak semantikë. Çfarë do të thotë folja "diferencoj" në një kuptim të gjerë? Të dallosh do të thotë të nxjerrësh në pah një veçori. Duke diferencuar një funksion, ne "izolojmë" shkallën e ndryshimit të tij në formën e një derivati ​​të funksionit. Nga rruga, çfarë nënkuptohet me fjalën "derivativ"? Funksioni ndodhi nga funksioni.

Termat interpretohen me shumë sukses nga kuptimi mekanik i derivatit :
Le të shqyrtojmë ligjin e ndryshimit të koordinatave të një trupi, në varësi të kohës, dhe funksionin e shpejtësisë së lëvizjes së një trupi të caktuar. Funksioni karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të koordinatës së trupit, prandaj është derivati ​​i parë i funksionit në lidhje me kohën: . Nëse koncepti i "lëvizjes së trupit" nuk do të ekzistonte në natyrë, atëherë nuk do të kishte derivatore koncepti i "shpejtësisë së trupit".

Nxitimi i një trupi është shpejtësia e ndryshimit të shpejtësisë, pra: . Nëse konceptet fillestare të "lëvizjes së trupit" dhe "shpejtësisë së trupit" nuk do të ekzistonin në natyrë, atëherë nuk do të ekzistonin derivatore koncepti i "përshpejtimit të trupit".