Nëse logaritmet kanë baza të ndryshme. Formulat e logaritmit

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për ata që hyjnë në shkolla teknike).

Logaritmet, si çdo numër, mund të shtohen, zbriten dhe transformohen në çdo mënyrë. Por meqenëse logaritmet nuk janë saktësisht numra të zakonshëm, këtu ka rregulla, të cilat thirren vetitë kryesore.

Ju patjetër duhet t'i dini këto rregulla - pa to, asnjë problem i vetëm serioz logaritmik nuk mund të zgjidhet. Për më tepër, ka shumë pak prej tyre - mund të mësoni gjithçka brenda një dite. Pra, le të fillojmë.

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve

Konsideroni dy logaritme me baza të njëjta: log a x dhe log a y. Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe:

1. log a x+ log a y= log a (x · y);
2. log a x− log a y= log a (x : y).

Pra, shuma e logaritmeve është e barabartë me logaritmin e produktit, dhe diferenca është e barabartë me logaritmin e herësit. Ju lutemi vini re: pika kryesore këtu është baza identike. Nëse arsyet janë të ndryshme, këto rregulla nuk funksionojnë!

Këto formula do t'ju ndihmojnë të llogaritni një shprehje logaritmike edhe kur pjesët e saj individuale nuk merren parasysh (shihni mësimin "Çfarë është logaritmi"). Hidhini një sy shembujve dhe shikoni:

Regjistri 6 4 + regjistri 6 9.

Meqenëse logaritmet kanë të njëjtat baza, ne përdorim formulën e shumës:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 2 48 − log 2 3.

Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 3 135 − log 3 5.

Përsëri bazat janë të njëjta, kështu që kemi:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Siç mund ta shihni, shprehjet origjinale përbëhen nga logaritme "të këqija", të cilat nuk llogariten veçmas. Por pas shndërrimeve fitohen numra krejtësisht normalë. Shumë teste bazohen në këtë fakt. Po, shprehjet e ngjashme me testin ofrohen me gjithë seriozitetin (nganjëherë praktikisht pa ndryshime) në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Nxjerrja e eksponentit nga logaritmi

Tani le ta komplikojmë pak detyrën. Po sikur baza ose argumenti i një logaritmi të jetë një fuqi? Atëherë eksponenti i kësaj shkalle mund të hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave të mëposhtme:

Është e lehtë të shihet se rregulli i fundit ndjek dy të parët. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve.

Sigurisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet ODZ e logaritmit: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Dhe një gjë tjetër: mësoni të zbatoni të gjitha formulat jo vetëm nga e majta në të djathtë, por edhe anasjelltas, d.m.th. Ju mund të futni numrat përpara shenjës së logaritmit në vetë logaritmin. Kjo është ajo që kërkohet më shpesh.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 7 49 6 .

Le të heqim qafe shkallën në argument duke përdorur formulën e parë:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

[Diçitura për foton]

Vini re se emëruesi përmban një logaritëm, baza dhe argumenti i të cilit janë fuqitë e sakta: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ne kemi:

Unë mendoj se shembulli i fundit kërkon disa sqarime. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit ne punojmë vetëm me emëruesin. Ne paraqitëm bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e fuqive dhe nxorëm eksponentët - morëm një fraksion "tre-katëshe".

Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtin numër: log 2 7. Meqenëse log 2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që është bërë. Rezultati ishte përgjigja: 2.

Kalimi në një themel të ri

Duke folur për rregullat e mbledhjes dhe zbritjes së logaritmeve, theksova veçanërisht se ato punojnë vetëm me të njëjtat baza. Po nëse arsyet janë të ndryshme? Po sikur të mos jenë fuqi të sakta të të njëjtit numër?

Formulat për kalimin në një themel të ri vijnë në shpëtim. Le t'i formulojmë ato në formën e një teoreme:

Le të jepet regjistri i logaritmit a x. Pastaj për çdo numër c të tilla që c> 0 dhe c≠ 1, barazia është e vërtetë:

[Diçitura për foton]

Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim:

[Diçitura për foton]

Nga formula e dytë rrjedh se baza dhe argumenti i logaritmit mund të ndërrohen, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi shfaqet në emërues.

Këto formula rrallë gjenden në shprehjet e zakonshme numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ato vetëm kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë.

Megjithatë, ka probleme që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shohim disa nga këto:

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 5 16 log 2 25.

Vini re se argumentet e të dy logaritmave përmbajnë fuqi të sakta. Le të nxjerrim treguesit: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Tani le të "ndryshojmë" logaritmin e dytë:

Meqenëse produkti nuk ndryshon kur riorganizojmë faktorët, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas u morëm me logaritmet.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 9 100 lg 3.

Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë këtë dhe të heqim qafe treguesit:

Tani le të heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar në një bazë të re:

Identiteti bazë logaritmik

Shpesh në procesin e zgjidhjes është e nevojshme të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar. Në këtë rast, formulat e mëposhtme do të na ndihmojnë:

Në rastin e parë, numri n bëhet tregues i shkallës që qëndron në argument. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm një vlerë logaritmi.

Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Kjo është ajo që quhet: identiteti bazë logaritmik.

Në fakt, çfarë do të ndodhë nëse numri b ngrenë në një fuqi të tillë që numri b kësaj fuqie i jep numri a? Kjo është e drejtë: ju merrni të njëjtin numër a. Lexojeni përsëri këtë paragraf me kujdes - shumë njerëz ngecin në të.

Ashtu si formulat për kalimin në një bazë të re, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë zgjidhja e vetme e mundshme.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

[Diçitura për foton]

Vini re se log 25 64 = log 5 8 - thjesht mori katrorin nga baza dhe argumenti i logaritmit. Duke marrë parasysh rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim:

Nëse dikush nuk e di, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit :)

Njësia logaritmike dhe zero logaritmike

Si përfundim, do të jap dy identitete që vështirë se mund të quhen veti - përkundrazi, ato janë pasoja të përkufizimit të logaritmit. Ato shfaqen vazhdimisht në probleme dhe çuditërisht krijojnë probleme edhe për studentët e “avancuar”.

1. log a a= 1 është një njësi logaritmike. Mos harroni një herë e përgjithmonë: logaritmin në çdo bazë a nga kjo bazë është e barabartë me një.
2. log a 1 = 0 është zero logaritmike. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti përmban një, logaritmi është i barabartë me zero! Sepse a 0 = 1 është një pasojë e drejtpërdrejtë e përkufizimit.

Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni fletën e mashtrimit në fillim të mësimit, printojeni dhe zgjidhni problemet.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

vetitë kryesore.

1. logax + logaj = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

baza identike

Ditari 6 4 + log6 9.

Tani le ta komplikojmë pak detyrën.

Shembuj të zgjidhjes së logaritmeve

Po sikur baza ose argumenti i një logaritmi të jetë një fuqi? Atëherë eksponenti i kësaj shkalle mund të hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave të mëposhtme:

Natyrisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet ODZ e logaritmit: a > 0, a ≠ 1, x >

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Kalimi në një themel të ri

Le të jepet logaksi i logaritmit. Atëherë për çdo numër c të tillë që c > 0 dhe c ≠ 1, barazia është e vërtetë:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Shihni gjithashtu:

Vetitë themelore të logaritmit

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenti është 2.718281828…. Për të kujtuar eksponentin, mund të studioni rregullin: eksponenti është i barabartë me 2.7 dhe dyfishi i vitit të lindjes së Leo Nikolaevich Tolstoy.

Vetitë themelore të logaritmeve

Duke ditur këtë rregull, do të dini vlerën e saktë të eksponentit dhe datën e lindjes së Leo Tolstoit.

Shembuj për logaritmet

Shprehje logaritmesh

Shembulli 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Duke përdorur vetitë 3.5 ne llogarisim

2.

3.

4. Ku .

Shembulli 2. Gjeni x nëse

Shembulli 3. Le të jepet vlera e logaritmeve

Llogarit log(x) nëse

Vetitë themelore të logaritmeve

Logaritmet, si çdo numër, mund të shtohen, zbriten dhe transformohen në çdo mënyrë. Por meqenëse logaritmet nuk janë saktësisht numra të zakonshëm, këtu ka rregulla, të cilat thirren vetitë kryesore.

Ju patjetër duhet t'i dini këto rregulla - pa to, asnjë problem i vetëm serioz logaritmik nuk mund të zgjidhet. Për më tepër, ka shumë pak prej tyre - mund të mësoni gjithçka brenda një dite. Pra, le të fillojmë.

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve

Konsideroni dy logaritme me baza të njëjta: logax dhe logaj. Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe:

1. logax + logaj = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Pra, shuma e logaritmeve është e barabartë me logaritmin e produktit, dhe diferenca është e barabartë me logaritmin e herësit. Ju lutemi vini re: pika kryesore këtu është baza identike. Nëse arsyet janë të ndryshme, këto rregulla nuk funksionojnë!

Këto formula do t'ju ndihmojnë të llogaritni një shprehje logaritmike edhe kur pjesët e saj individuale nuk merren parasysh (shihni mësimin "Çfarë është logaritmi"). Hidhini një sy shembujve dhe shikoni:

Meqenëse logaritmet kanë të njëjtat baza, ne përdorim formulën e shumës:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log2 48 − log2 3.

Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log3 135 − log3 5.

Përsëri bazat janë të njëjta, kështu që kemi:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Siç mund ta shihni, shprehjet origjinale përbëhen nga logaritme "të këqija", të cilat nuk llogariten veçmas. Por pas shndërrimeve fitohen numra krejtësisht normalë. Shumë teste bazohen në këtë fakt. Po, shprehjet e ngjashme me testin ofrohen me gjithë seriozitetin (nganjëherë praktikisht pa ndryshime) në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Nxjerrja e eksponentit nga logaritmi

Është e lehtë të shihet se rregulli i fundit ndjek dy të parët. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve.

Sigurisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet ODZ e logaritmit: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dhe një gjë tjetër: mësoni të zbatoni të gjitha formulat jo vetëm nga e majta në të djathtë, por edhe anasjelltas , d.m.th. Ju mund të futni numrat përpara shenjës së logaritmit në vetë logaritmin. Kjo është ajo që kërkohet më shpesh.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log7 496.

Le të heqim qafe shkallën në argument duke përdorur formulën e parë:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Vini re se emëruesi përmban një logaritëm, baza dhe argumenti i të cilit janë fuqitë e sakta: 16 = 24; 49 = 72. Kemi:

Unë mendoj se shembulli i fundit kërkon disa sqarime. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit ne punojmë vetëm me emëruesin.

Formulat e logaritmit. Logaritme shembuj zgjidhjesh.

Ne paraqitëm bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e fuqive dhe nxorëm eksponentët - morëm një fraksion "tre-katëshe".

Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtin numër: log2 7. Meqenëse log2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që është bërë. Rezultati ishte përgjigja: 2.

Kalimi në një themel të ri

Duke folur për rregullat e mbledhjes dhe zbritjes së logaritmeve, theksova veçanërisht se ato punojnë vetëm me të njëjtat baza. Po nëse arsyet janë të ndryshme? Po sikur të mos jenë fuqi të sakta të të njëjtit numër?

Formulat për kalimin në një themel të ri vijnë në shpëtim. Le t'i formulojmë ato në formën e një teoreme:

Le të jepet logaksi i logaritmit. Atëherë për çdo numër c të tillë që c > 0 dhe c ≠ 1, barazia është e vërtetë:

Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim:

Nga formula e dytë rrjedh se baza dhe argumenti i logaritmit mund të ndërrohen, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi shfaqet në emërues.

Këto formula rrallë gjenden në shprehjet e zakonshme numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ato vetëm kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë.

Megjithatë, ka probleme që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shohim disa nga këto:

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log5 16 log2 25.

Vini re se argumentet e të dy logaritmave përmbajnë fuqi të sakta. Le të nxjerrim treguesit: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tani le të "ndryshojmë" logaritmin e dytë:

Meqenëse produkti nuk ndryshon kur riorganizojmë faktorët, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas u morëm me logaritmet.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log9 100 lg 3.

Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë këtë dhe të heqim qafe treguesit:

Tani le të heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar në një bazë të re:

Identiteti bazë logaritmik

Shpesh në procesin e zgjidhjes është e nevojshme të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar. Në këtë rast, formulat e mëposhtme do të na ndihmojnë:

Në rastin e parë, numri n bëhet eksponent në argument. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm një vlerë logaritmi.

Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Kështu quhet: .

Në fakt, çfarë ndodh nëse numri b ngrihet në një fuqi të tillë që numri b në këtë fuqi të japë numrin a? Kjo është e drejtë: rezultati është i njëjti numër a. Lexojeni përsëri këtë paragraf me kujdes - shumë njerëz ngecin në të.

Ashtu si formulat për kalimin në një bazë të re, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë zgjidhja e vetme e mundshme.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Vini re se log25 64 = log5 8 - thjesht mori katrorin nga baza dhe argumenti i logaritmit. Duke marrë parasysh rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim:

Nëse dikush nuk e di, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit :)

Njësia logaritmike dhe zero logaritmike

Si përfundim, do të jap dy identitete që vështirë se mund të quhen veti - përkundrazi, ato janë pasoja të përkufizimit të logaritmit. Ato shfaqen vazhdimisht në probleme dhe çuditërisht krijojnë probleme edhe për studentët e “avancuar”.

1. logaa = 1 është. Mbani mend një herë e përgjithmonë: logaritmi për çdo bazë a të vetë asaj baze është i barabartë me një.
2. Loga 1 = 0 është. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti përmban një, logaritmi është i barabartë me zero! Sepse a0 = 1 është një pasojë e drejtpërdrejtë e përkufizimit.

Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni fletën e mashtrimit në fillim të mësimit, printojeni dhe zgjidhni problemet.

Shihni gjithashtu:

Logaritmi i b për bazën a tregon shprehjen. Të llogaritësh logaritmin do të thotë të gjesh një fuqi x () në të cilën plotësohet barazia

Vetitë themelore të logaritmit

Është e nevojshme të njihen vetitë e mësipërme, pasi pothuajse të gjitha problemet dhe shembujt që lidhen me logaritmet zgjidhen në bazë të tyre. Pjesa tjetër e vetive ekzotike mund të nxirren përmes manipulimeve matematikore me këto formula

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Gjatë llogaritjes së formulës për shumën dhe ndryshimin e logaritmeve (3.4) hasni mjaft shpesh. Pjesa tjetër është disi komplekse, por në një numër detyrash ato janë të domosdoshme për thjeshtimin e shprehjeve komplekse dhe llogaritjen e vlerave të tyre.

Rastet e zakonshme të logaritmeve

Disa nga logaritmet më të zakonshme janë ato në të cilat baza është e barabartë me dhjetë, eksponenciale ose dy.
Logaritmi në bazën e dhjetë zakonisht quhet logaritmi dhjetor dhe shënohet thjesht me lg(x).

Nga regjistrimi duket qartë se në regjistrim nuk janë të shkruara bazat. Për shembull

Një logaritëm natyror është një logaritëm, baza e të cilit është një eksponent (i shënuar me ln(x)).

Eksponenti është 2.718281828…. Për të kujtuar eksponentin, mund të studioni rregullin: eksponenti është i barabartë me 2.7 dhe dyfishi i vitit të lindjes së Leo Nikolaevich Tolstoy. Duke ditur këtë rregull, do të dini vlerën e saktë të eksponentit dhe datën e lindjes së Leo Tolstoit.

Dhe një tjetër logaritëm i rëndësishëm për bazën dy shënohet me

Derivati ​​i logaritmit të një funksioni është i barabartë me një pjesëtuar me variablin

Logaritmi integral ose antiderivativ përcaktohet nga marrëdhënia

Materiali i dhënë është i mjaftueshëm që ju të zgjidhni një klasë të gjerë problemesh që lidhen me logaritmet dhe logaritmet. Për t'ju ndihmuar të kuptoni materialin, do të jap vetëm disa shembuj të zakonshëm nga programi shkollor dhe universitetet.

Shembuj për logaritmet

Shprehje logaritmesh

Shembulli 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Duke përdorur vetitë 3.5 ne llogarisim

2.
Nga vetia e diferencës së logaritmeve kemi

3.
Duke përdorur vetitë 3.5 gjejmë

4. Ku .

Një shprehje në dukje komplekse është thjeshtuar për t'u formuar duke përdorur një numër rregullash

Gjetja e vlerave të logaritmit

Shembulli 2. Gjeni x nëse

Zgjidhje. Për llogaritjen, ne aplikojmë për termin e fundit 5 dhe 13 vetitë

E vumë në procesverbal dhe vajtojmë

Meqenëse bazat janë të barabarta, ne i barazojmë shprehjet

Logaritmet. Niveli i hyrjes.

Le të jepet vlera e logaritmeve

Llogarit log(x) nëse

Zgjidhje: Le të marrim një logaritëm të ndryshores për të shkruar logaritmin përmes shumës së termave të saj

Ky është vetëm fillimi i njohjes sonë me logaritmet dhe vetitë e tyre. Praktikoni llogaritjet, pasuroni aftësitë tuaja praktike - së shpejti do t'ju nevojiten njohuritë që merrni për të zgjidhur ekuacionet logaritmike. Duke studiuar metodat themelore për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla, ne do të zgjerojmë njohuritë tuaja në një temë tjetër po aq të rëndësishme - pabarazitë logaritmike ...

Vetitë themelore të logaritmeve

Logaritmet, si çdo numër, mund të shtohen, zbriten dhe transformohen në çdo mënyrë. Por meqenëse logaritmet nuk janë saktësisht numra të zakonshëm, këtu ka rregulla, të cilat thirren vetitë kryesore.

Ju patjetër duhet t'i dini këto rregulla - pa to, asnjë problem i vetëm serioz logaritmik nuk mund të zgjidhet. Për më tepër, ka shumë pak prej tyre - mund të mësoni gjithçka brenda një dite. Pra, le të fillojmë.

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve

Konsideroni dy logaritme me baza të njëjta: logax dhe logaj. Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe:

1. logax + logaj = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Pra, shuma e logaritmeve është e barabartë me logaritmin e produktit, dhe diferenca është e barabartë me logaritmin e herësit. Ju lutemi vini re: pika kryesore këtu është baza identike. Nëse arsyet janë të ndryshme, këto rregulla nuk funksionojnë!

Këto formula do t'ju ndihmojnë të llogaritni një shprehje logaritmike edhe kur pjesët e saj individuale nuk merren parasysh (shihni mësimin "Çfarë është logaritmi"). Hidhini një sy shembujve dhe shikoni:

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log6 4 + log6 9.

Meqenëse logaritmet kanë të njëjtat baza, ne përdorim formulën e shumës:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log2 48 − log2 3.

Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log3 135 − log3 5.

Përsëri bazat janë të njëjta, kështu që kemi:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Siç mund ta shihni, shprehjet origjinale përbëhen nga logaritme "të këqija", të cilat nuk llogariten veçmas. Por pas shndërrimeve fitohen numra krejtësisht normalë. Shumë teste bazohen në këtë fakt. Po, shprehjet e ngjashme me testin ofrohen me gjithë seriozitetin (nganjëherë praktikisht pa ndryshime) në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Nxjerrja e eksponentit nga logaritmi

Tani le ta komplikojmë pak detyrën. Po sikur baza ose argumenti i një logaritmi të jetë një fuqi? Atëherë eksponenti i kësaj shkalle mund të hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave të mëposhtme:

Është e lehtë të shihet se rregulli i fundit ndjek dy të parët. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve.

Sigurisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet ODZ e logaritmit: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dhe një gjë tjetër: mësoni të zbatoni të gjitha formulat jo vetëm nga e majta në të djathtë, por edhe anasjelltas , d.m.th. Ju mund të futni numrat përpara shenjës së logaritmit në vetë logaritmin.

Si të zgjidhni logaritmet

Kjo është ajo që kërkohet më shpesh.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log7 496.

Le të heqim qafe shkallën në argument duke përdorur formulën e parë:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Vini re se emëruesi përmban një logaritëm, baza dhe argumenti i të cilit janë fuqitë e sakta: 16 = 24; 49 = 72. Kemi:

Unë mendoj se shembulli i fundit kërkon disa sqarime. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit ne punojmë vetëm me emëruesin. Ne paraqitëm bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e fuqive dhe nxorëm eksponentët - morëm një fraksion "tre-katëshe".

Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtin numër: log2 7. Meqenëse log2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që është bërë. Rezultati ishte përgjigja: 2.

Kalimi në një themel të ri

Duke folur për rregullat e mbledhjes dhe zbritjes së logaritmeve, theksova veçanërisht se ato punojnë vetëm me të njëjtat baza. Po nëse arsyet janë të ndryshme? Po sikur të mos jenë fuqi të sakta të të njëjtit numër?

Formulat për kalimin në një themel të ri vijnë në shpëtim. Le t'i formulojmë ato në formën e një teoreme:

Le të jepet logaksi i logaritmit. Atëherë për çdo numër c të tillë që c > 0 dhe c ≠ 1, barazia është e vërtetë:

Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim:

Nga formula e dytë rrjedh se baza dhe argumenti i logaritmit mund të ndërrohen, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi shfaqet në emërues.

Këto formula rrallë gjenden në shprehjet e zakonshme numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ato vetëm kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë.

Megjithatë, ka probleme që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shohim disa nga këto:

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log5 16 log2 25.

Vini re se argumentet e të dy logaritmave përmbajnë fuqi të sakta. Le të nxjerrim treguesit: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tani le të "ndryshojmë" logaritmin e dytë:

Meqenëse produkti nuk ndryshon kur riorganizojmë faktorët, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas u morëm me logaritmet.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log9 100 lg 3.

Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë këtë dhe të heqim qafe treguesit:

Tani le të heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar në një bazë të re:

Identiteti bazë logaritmik

Shpesh në procesin e zgjidhjes është e nevojshme të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar. Në këtë rast, formulat e mëposhtme do të na ndihmojnë:

Në rastin e parë, numri n bëhet eksponent në argument. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm një vlerë logaritmi.

Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Kështu quhet: .

Në fakt, çfarë ndodh nëse numri b ngrihet në një fuqi të tillë që numri b në këtë fuqi të japë numrin a? Kjo është e drejtë: rezultati është i njëjti numër a. Lexojeni përsëri këtë paragraf me kujdes - shumë njerëz ngecin në të.

Ashtu si formulat për kalimin në një bazë të re, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë zgjidhja e vetme e mundshme.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Vini re se log25 64 = log5 8 - thjesht mori katrorin nga baza dhe argumenti i logaritmit. Duke marrë parasysh rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim:

Nëse dikush nuk e di, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit :)

Njësia logaritmike dhe zero logaritmike

Si përfundim, do të jap dy identitete që vështirë se mund të quhen veti - përkundrazi, ato janë pasoja të përkufizimit të logaritmit. Ato shfaqen vazhdimisht në probleme dhe çuditërisht krijojnë probleme edhe për studentët e “avancuar”.

1. logaa = 1 është. Mbani mend një herë e përgjithmonë: logaritmi për çdo bazë a të vetë asaj baze është i barabartë me një.
2. Loga 1 = 0 është. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti përmban një, logaritmi është i barabartë me zero! Sepse a0 = 1 është një pasojë e drejtpërdrejtë e përkufizimit.

Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni fletën e mashtrimit në fillim të mësimit, printojeni dhe zgjidhni problemet.

Siç e dini, kur shumëzohen shprehjet me fuqi, eksponentët e tyre gjithmonë mblidhen (a b *a c = a b+c). Ky ligj matematikor u nxor nga Arkimedi, dhe më vonë, në shekullin e 8-të, matematikani Virasen krijoi një tabelë të eksponentëve të numrave të plotë. Ishin ata që shërbyen për zbulimin e mëtejshëm të logaritmeve. Shembuj të përdorimit të këtij funksioni mund të gjenden pothuajse kudo ku është e nevojshme të thjeshtohet shumëzimi i rëndë me mbledhje të thjeshtë. Nëse kaloni 10 minuta duke lexuar këtë artikull, ne do t'ju shpjegojmë se çfarë janë logaritmet dhe si të punoni me to. Në një gjuhë të thjeshtë dhe të arritshme.

Përkufizimi në matematikë

Një logaritëm është një shprehje e formës së mëposhtme: log a b=c, d.m.th., logaritmi i çdo numri jonegativ (d.m.th., çdo pozitiv) "b" në bazën e tij "a" konsiderohet të jetë fuqia "c. " tek e cila është e nevojshme të ngrihet baza "a" në mënyrë që të merret përfundimisht vlera "b". Le të analizojmë logaritmin duke përdorur shembuj, le të themi se ekziston një shprehje log 2 8. Si të gjejmë përgjigjen? Është shumë e thjeshtë, ju duhet të gjeni një fuqi të tillë që nga 2 në fuqinë e kërkuar të merrni 8. Pasi të keni bërë disa llogaritje në kokën tuaj, marrim numrin 3! Dhe kjo është e vërtetë, sepse 2 në fuqinë e 3 jep përgjigjen si 8.

Llojet e logaritmeve

Për shumë nxënës dhe studentë, kjo temë duket e ndërlikuar dhe e pakuptueshme, por në fakt logaritmet nuk janë aq të frikshme, gjëja kryesore është të kuptoni kuptimin e tyre të përgjithshëm dhe të mbani mend vetitë e tyre dhe disa rregulla. Ekzistojnë tre lloje të veçanta të shprehjeve logaritmike:

1. Logaritmi natyror ln a, ku baza është numri i Euler-it (e = 2.7).
2. Dhjetor a, ku baza është 10.
3. Logaritmi i çdo numri b në bazën a>1.

Secila prej tyre zgjidhet në një mënyrë standarde, duke përfshirë thjeshtimin, reduktimin dhe reduktimin pasues në një logaritëm të vetëm duke përdorur teorema logaritmike. Për të marrë vlerat e sakta të logaritmeve, duhet të mbani mend vetitë e tyre dhe sekuencën e veprimeve gjatë zgjidhjes së tyre.

Rregulla dhe disa kufizime

Në matematikë ka disa rregulla-kufizime që pranohen si aksiomë, pra nuk janë objekt diskutimi dhe janë të vërteta. Për shembull, është e pamundur të ndash numrat me zero, dhe është gjithashtu e pamundur të nxjerrësh rrënjën çift të numrave negativë. Logaritmet gjithashtu kanë rregullat e tyre, duke ndjekur të cilat lehtë mund të mësoni të punoni edhe me shprehje logaritmike të gjata dhe të mëdha:

• Baza "a" duhet të jetë gjithmonë më e madhe se zero dhe jo e barabartë me 1, përndryshe shprehja do të humbasë kuptimin e saj, sepse "1" dhe "0" në çdo shkallë janë gjithmonë të barabarta me vlerat e tyre;
• nëse a > 0, atëherë a b >0, rezulton se edhe “c” duhet të jetë më e madhe se zero.

Si të zgjidhni logaritmet?

Për shembull, jepet detyra për të gjetur përgjigjen e ekuacionit 10 x = 100. Kjo është shumë e lehtë, ju duhet të zgjidhni një fuqi duke ngritur numrin dhjetë në të cilin marrim 100. Kjo, natyrisht, është 10 2 = 100.

Tani le ta paraqesim këtë shprehje në formë logaritmike. Marrim log 10 100 = 2. Kur zgjidhim logaritme, të gjitha veprimet praktikisht konvergojnë për të gjetur fuqinë në të cilën është e nevojshme të futet baza e logaritmit për të marrë një numër të caktuar.

Për të përcaktuar me saktësi vlerën e një shkalle të panjohur, duhet të mësoni se si të punoni me një tabelë gradash. Duket kështu:

Siç mund ta shihni, disa eksponentë mund të merren me mend në mënyrë intuitive nëse keni një mendje teknike dhe njohuri për tabelën e shumëzimit. Sidoqoftë, për vlera më të mëdha do t'ju duhet një tavolinë energjie. Mund të përdoret edhe nga ata që nuk dinë asgjë për tema komplekse matematikore. Kolona e majtë përmban numra (baza a), rreshti i sipërm i numrave është vlera e fuqisë c në të cilën është ngritur numri a. Në kryqëzim, qelizat përmbajnë vlerat e numrave që janë përgjigja (a c =b). Le të marrim, për shembull, qelizën e parë me numrin 10 dhe ta katrorojmë atë, marrim vlerën 100, e cila tregohet në kryqëzimin e dy qelizave tona. Gjithçka është aq e thjeshtë dhe e lehtë sa që edhe humanisti më i vërtetë do ta kuptojë!

Ekuacionet dhe pabarazitë

Rezulton se në kushte të caktuara eksponenti është logaritmi. Prandaj, çdo shprehje numerike matematikore mund të shkruhet si barazi logaritmike. Për shembull, 3 4 = 81 mund të shkruhet si logaritmi bazë 3 i 81 i barabartë me katër (log 3 81 = 4). Për fuqitë negative rregullat janë të njëjta: 2 -5 = 1/32 e shkruajmë si logaritëm, marrim log 2 (1/32) = -5. Një nga seksionet më tërheqëse të matematikës është tema e "logaritmeve". Shembujt dhe zgjidhjet e ekuacioneve do të shikojmë më poshtë, menjëherë pas studimit të vetive të tyre. Tani le të shohim se si duken pabarazitë dhe si t'i dallojmë ato nga ekuacionet.

Është dhënë shprehja e mëposhtme: log 2 (x-1) > 3 - është një pabarazi logaritmike, pasi vlera e panjohur "x" është nën shenjën logaritmike. Dhe gjithashtu në shprehjen krahasohen dy madhësi: logaritmi i numrit të dëshiruar me bazën dy është më i madh se numri tre.

Dallimi më i rëndësishëm midis ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive është se ekuacionet me logaritme (për shembull, logaritmi 2 x = √9) nënkuptojnë një ose më shumë vlera numerike specifike në përgjigje, ndërsa kur zgjidhet një pabarazi, të dy diapazoni i pranueshëm vlerat dhe pikat përcaktohen duke thyer këtë funksion. Si pasojë, përgjigja nuk është një grup i thjeshtë numrash individualë, si në përgjigjen e një ekuacioni, por një seri e vazhdueshme ose grup numrash.

Teorema themelore rreth logaritmeve

Kur zgjidhni detyra primitive për gjetjen e vlerave të logaritmit, vetitë e tij mund të mos dihen. Megjithatë, kur bëhet fjalë për ekuacionet logaritmike ose pabarazitë, para së gjithash, është e nevojshme të kuptohen qartë dhe të zbatohen në praktikë të gjitha vetitë themelore të logaritmeve. Ne do t'i shikojmë shembujt e ekuacioneve më vonë, le të shohim më në detaje secilën veçori.

1. Identiteti kryesor duket si ky: a logaB =B. Zbatohet vetëm kur a është më e madhe se 0, jo e barabartë me një, dhe B është më e madhe se zero.
2. Logaritmi i produktit mund të paraqitet në formulën e mëposhtme: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Në këtë rast, kushti i detyrueshëm është: d, s 1 dhe s 2 > 0; a≠1. Ju mund të jepni një provë për këtë formulë logaritmike, me shembuj dhe zgjidhje. Le të log a s 1 = f 1 dhe log a s 2 = f 2, pastaj a f1 = s 1, a f2 = s 2. Marrim se s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vetitë e gradë ), dhe më pas sipas përkufizimit: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, që është ajo që duhej vërtetuar.
3. Logaritmi i herësit duket kështu: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema në formën e një formule merr formën e mëposhtme: log a q b n = n/q log a b.

Kjo formulë quhet "vetia e shkallës së logaritmit". I ngjan vetive të shkallëve të zakonshme dhe nuk është për t'u habitur, sepse e gjithë matematika bazohet në postulate natyrore. Le të shohim provën.

Le të log a b = t, rezulton një t =b. Nëse i ngremë të dyja pjesët në fuqinë m: a tn = b n ;

por meqenëse a tn = (a q) nt/q = b n, prandaj log a q b n = (n*t)/t, atëherë log a q b n = n/q log a b. Teorema është vërtetuar.

Shembuj të problemeve dhe pabarazive

Llojet më të zakonshme të problemeve në logaritme janë shembuj të ekuacioneve dhe pabarazive. Ato gjenden pothuajse në të gjitha librat me probleme dhe janë gjithashtu pjesë e detyrueshme e provimeve të matematikës. Për të hyrë në një universitet ose për të kaluar provimet pranuese në matematikë, duhet të dini se si t'i zgjidhni saktë detyra të tilla.

Fatkeqësisht, nuk ka asnjë plan ose skemë të vetme për zgjidhjen dhe përcaktimin e vlerës së panjohur të logaritmit, por disa rregulla mund të zbatohen për çdo pabarazi matematikore ose ekuacion logaritmik. Para së gjithash, duhet të zbuloni nëse shprehja mund të thjeshtohet ose reduktohet në një formë të përgjithshme. Ju mund të thjeshtoni shprehjet e gjata logaritmike nëse përdorni saktë vetitë e tyre. Le t'i njohim shpejt.

Kur zgjidhim ekuacione logaritmike, duhet të përcaktojmë se çfarë lloj logaritmi kemi: një shprehje shembull mund të përmbajë një logaritëm natyror ose një dhjetor.

Këtu janë shembuj ln100, ln1026. Zgjidhja e tyre zbret në faktin se ata duhet të përcaktojnë fuqinë në të cilën baza 10 do të jetë e barabartë me 100 dhe 1026, përkatësisht. Për të zgjidhur logaritmet natyrore, duhet të aplikoni identitete logaritmike ose vetitë e tyre. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së problemeve logaritmike të llojeve të ndryshme.

Si të përdorni formulat e logaritmit: me shembuj dhe zgjidhje

Pra, le të shohim shembuj të përdorimit të teoremave bazë rreth logaritmeve.

1. Vetia e logaritmit të një produkti mund të përdoret në detyra ku është e nevojshme të zbërthehet një vlerë e madhe e numrit b në faktorë më të thjeshtë. Për shembull, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Përgjigja është 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - siç mund ta shihni, duke përdorur vetinë e katërt të fuqisë së logaritmit, arritëm të zgjidhim një shprehje në dukje komplekse dhe të pazgjidhshme. Thjesht duhet të faktorizoni bazën dhe më pas të hiqni vlerat e eksponentit nga shenja e logaritmit.

Detyrat nga Provimi i Unifikuar i Shtetit

Logaritmet gjenden shpesh në provimet pranuese, veçanërisht shumë probleme logaritmike në Provimin e Unifikuar të Shtetit (provim shtetëror për të gjithë maturantët). Në mënyrë tipike, këto detyra janë të pranishme jo vetëm në pjesën A (pjesa më e lehtë testuese e provimit), por edhe në pjesën C (detyrat më komplekse dhe më voluminoze). Provimi kërkon njohuri të sakta dhe të përsosura të temës “Logaritmet natyrore”.

Shembujt dhe zgjidhjet e problemeve janë marrë nga versionet zyrtare të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Le të shohim se si zgjidhen detyra të tilla.

Jepet log 2 (2x-1) = 4. Zgjidhje:
le ta rishkruajmë shprehjen, duke e thjeshtuar pak log 2 (2x-1) = 2 2, me përcaktimin e logaritmit marrim se 2x-1 = 2 4, pra 2x = 17; x = 8,5.

• Është mirë që të reduktohen të gjitha logaritmet në të njëjtën bazë në mënyrë që zgjidhja të mos jetë e rëndë dhe konfuze.
• Të gjitha shprehjet nën shenjën e logaritmit tregohen si pozitive, prandaj, kur eksponenti i një shprehjeje që është nën shenjën e logaritmit dhe si bazë e saj nxirret si shumëzues, shprehja e mbetur nën logaritëm duhet të jetë pozitive.