Zgjidhës Kuznetsov.
III Grafikët

Detyra 7. Kryeni një studim të plotë të funksionit dhe ndërtoni grafikun e tij.

Përpara se të filloni të shkarkoni opsionet tuaja, provoni ta zgjidhni problemin sipas shembullit të dhënë më poshtë për opsionin 3. Disa nga opsionet janë arkivuar në formatin .rar

7.3 Kryeni një studim të plotë të funksionit dhe vizatoni atë

Zgjidhje.

1) Fusha e përkufizimit: ose , që është .
.
Kështu: .

2) Nuk ka pika kryqëzimi me boshtin Ox. Në të vërtetë, ekuacioni nuk ka zgjidhje.
Nuk ka asnjë pikë kryqëzimi me boshtin Oy, pasi .

3) Funksioni nuk është as çift dhe as tek. Nuk ka simetri rreth boshtit të ordinatave. Nuk ka as simetri për origjinën. Sepse
.
Ne shohim se dhe .

4) Funksioni është i vazhdueshëm në fushën e përkufizimit
.

; .

; .
Rrjedhimisht, pika është një pikë ndërprerjeje e llojit të dytë (ndërprerje e pafundme).

5) Asimptota vertikale:

Le të gjejmë asimptotën e zhdrejtë . Këtu

;
.
Rrjedhimisht, kemi një asimptotë horizontale: y=0. Nuk ka asimptota të zhdrejtë.

6) Le të gjejmë derivatin e parë. Derivati i parë:
.
Dhe ja pse
.
Le të gjejmë pika të palëvizshme ku derivati është i barabartë me zero, d.m.th
.

7) Le të gjejmë derivatin e dytë. Derivati i dytë:
.
Dhe kjo është e lehtë për t'u verifikuar, pasi

Nëse problemi kërkon një studim të plotë të funksionit f (x) = x 2 4 x 2 - 1 me ndërtimin e grafikut të tij, atëherë do ta shqyrtojmë këtë parim në detaje.

Për të zgjidhur një problem të këtij lloji, duhet të përdorni vetitë dhe grafikët e funksioneve themelore elementare. Algoritmi i kërkimit përfshin hapat e mëposhtëm:

Gjetja e fushës së përkufizimit

Meqenëse hulumtimi kryhet në fushën e përcaktimit të funksionit, është e nevojshme të fillohet me këtë hap.

Shembulli 1

Shembulli i dhënë përfshin gjetjen e zerove të emëruesit në mënyrë që të përjashtohen ato nga ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Si rezultat, ju mund të merrni rrënjë, logaritme, etj. Pastaj ODZ mund të kërkohet për një rrënjë të një shkalle çift të tipit g (x) 4 nga pabarazia g (x) ≥ 0, për logaritmin log a g (x) nga pabarazia g (x) > 0.

Studimi i kufijve të ODZ dhe gjetja e asimptotave vertikale

Ka asimptota vertikale në kufijtë e funksionit, kur kufijtë e njëanshëm në pika të tilla janë të pafundme.

Shembulli 2

Për shembull, merrni parasysh pikat kufitare të barabarta me x = ± 1 2.

Pastaj është e nevojshme të studiohet funksioni për të gjetur kufirin e njëanshëm. Atëherë marrim se: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Kjo tregon se kufijtë e njëanshëm janë të pafund, që do të thotë se drejtëzat x = ± 1 2 janë asimptota vertikale të grafikut.

Studimi i një funksioni dhe nëse është çift apo tek

Kur kushti y (- x) = y (x) plotësohet, funksioni konsiderohet çift. Kjo sugjeron që grafiku ndodhet në mënyrë simetrike në lidhje me Oy. Kur kushti y (- x) = - y (x) plotësohet, funksioni konsiderohet tek. Kjo do të thotë se simetria është relative me origjinën e koordinatave. Nëse të paktën një pabarazi nuk plotësohet, marrim një funksion të formës së përgjithshme.

Barazia y (- x) = y (x) tregon se funksioni është çift. Gjatë ndërtimit, është e nevojshme të merret parasysh se do të ketë simetri në lidhje me Oy.

Për të zgjidhur pabarazinë, përdoren intervalet e rritjes dhe zvogëlimit me kushtet f " (x) ≥ 0 dhe f " (x) ≤ 0, përkatësisht.

Përkufizimi 1

Pikat e palëvizshme- këto janë pikat që e kthejnë derivatin në zero.

Pikat kritike- këto janë pika të brendshme nga fusha e përkufizimit ku derivati i funksionit është i barabartë me zero ose nuk ekziston.

Kur merrni një vendim, duhet të merren parasysh shënimet e mëposhtme:

për intervalet ekzistuese të pabarazive në rritje dhe në ulje të formës f " (x) > 0, pikat kritike nuk përfshihen në zgjidhje;
pikat në të cilat funksioni është përcaktuar pa një derivat të fundëm duhet të përfshihen në intervalet e rritjes dhe zvogëlimit (për shembull, y = x 3, ku pika x = 0 e bën funksionin të përcaktuar, derivati ka vlerën e pafundësisë në këtë pika, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 përfshihet në intervalin në rritje);
Për të shmangur mosmarrëveshjet, rekomandohet përdorimi i literaturës matematikore të rekomanduar nga Ministria e Arsimit.

Përfshirja e pikave kritike në intervalet e rritjes dhe zvogëlimit nëse ato plotësojnë domenin e përcaktimit të funksionit.

Përkufizimi 2

Për Përcaktimi i intervaleve të rritjes dhe uljes së një funksioni, është e nevojshme të gjendet:

derivat;
pikat kritike;
ndani domenin e përkufizimit në intervale duke përdorur pikat kritike;
përcaktoni shenjën e derivatit në secilin nga intervalet, ku + është një rritje dhe - është një rënie.

Shembulli 3

Gjeni derivatin në domenin e përkufizimit f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Zgjidhje

Për të zgjidhur ju duhet:

gjeni pika të palëvizshme, ky shembull ka x = 0;
gjeni zerot e emëruesit, shembulli merr vlerën zero në x = ± 1 2.

Vendosim pika në vijën numerike për të përcaktuar derivatin në çdo interval. Për ta bërë këtë, mjafton të marrësh çdo pikë nga intervali dhe të kryesh llogaritjen. Nëse rezultati është pozitiv, ne përshkruajmë + në grafik, që do të thotë se funksioni po rritet dhe - do të thotë se po zvogëlohet.

Për shembull, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, që do të thotë se intervali i parë në të majtë ka një shenjë +. Merrni parasysh vijën numerike.

Përgjigje:

funksioni rritet në intervalin - ∞; - 1 2 dhe (- 1 2 ; 0 ] ;
ka një rënie në intervalin [0; 1 2) dhe 1 2 ; + ∞ .

Në diagram, duke përdorur + dhe -, përshkruhen pozitiviteti dhe negativiteti i funksionit, dhe shigjetat tregojnë ulje dhe rritje.

Pikat ekstreme të një funksioni janë pikat ku përcaktohet funksioni dhe përmes të cilave derivati ndryshon shenjën.

Shembulli 4

Nëse marrim parasysh një shembull ku x = 0, atëherë vlera e funksionit në të është e barabartë me f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kur shenja e derivatit ndryshon nga + në - dhe kalon në pikën x = 0, atëherë pika me koordinata (0; 0) konsiderohet pika maksimale. Kur shenja ndryshon nga - në +, marrim një pikë minimale.

Konveksiteti dhe konkaviteti përcaktohen duke zgjidhur pabarazitë e formës f "" (x) ≥ 0 dhe f "" (x) ≤ 0. Më pak i përdorur është emri konveksitet poshtë në vend të konkavitetit, dhe konveksitet lart në vend të konveksitetit.

Përkufizimi 3

Për përcaktimi i intervaleve të konkavitetit dhe konveksitetit e nevojshme:

gjeni derivatin e dytë;
gjeni zerot e funksionit të dytë derivat;
ndani zonën e përkufizimit në intervale me pikat që shfaqen;
përcaktoni shenjën e intervalit.

Shembulli 5

Gjeni derivatin e dytë nga fusha e përkufizimit.

Zgjidhje

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Gjejmë zerot e numëruesit dhe të emëruesit, ku në shembullin tonë kemi se zerot e emëruesit x = ± 1 2

Tani ju duhet të vizatoni pikat në vijën numerike dhe të përcaktoni shenjën e derivatit të dytë nga çdo interval. Ne e kuptojmë atë

Përgjigje:

funksioni është konveks nga intervali - 1 2 ; 1 2 ;
funksioni është konkav nga intervalet - ∞ ; - 1 2 dhe 1 2; + ∞ .

Përkufizimi 4

Pika e lakimit– kjo është një pikë e formës x 0 ; f (x 0) . Kur ka një tangjente me grafikun e funksionit, atëherë kur kalon në x 0 funksioni ndryshon shenjën në të kundërtën.

Me fjalë të tjera, kjo është një pikë nëpër të cilën kalon derivati i dytë dhe ndryshon shenjën, dhe në vetë pikat është e barabartë me zero ose nuk ekziston. Të gjitha pikat konsiderohen të jenë domeni i funksionit.

Në shembull, ishte e qartë se nuk kishte pika lakimi, pasi derivati i dytë ndryshon shenjën ndërsa kalon nëpër pikat x = ± 1 2. Ata, nga ana tjetër, nuk përfshihen në fushën e përkufizimit.

Gjetja e asimptotave horizontale dhe të zhdrejta

Kur përcaktoni një funksion në pafundësi, duhet të kërkoni asimptota horizontale dhe të zhdrejta.

Përkufizimi 5

Asimptota të zhdrejta janë paraqitur duke përdorur drejtëza të dhëna nga ekuacioni y = k x + b, ku k = lim x → ∞ f (x) x dhe b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Për k = 0 dhe b jo të barabartë me pafundësinë, gjejmë se asimptota e zhdrejtë bëhet horizontale.

Me fjalë të tjera, asimptotat konsiderohen si vija të cilave grafiku i një funksioni afrohet në pafundësi. Kjo lehtëson ndërtimin e shpejtë të një grafiku funksioni.

Nëse nuk ka asimptota, por funksioni është i përcaktuar në të dyja pafundësitë, është e nevojshme të llogaritet kufiri i funksionit në këto pafundësi për të kuptuar se si do të sillet grafiku i funksionit.

Shembulli 6

Le ta konsiderojmë si shembull atë

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

është një asimptotë horizontale. Pasi të keni ekzaminuar funksionin, mund të filloni ta ndërtoni atë.

Llogaritja e vlerës së një funksioni në pikat e ndërmjetme

Për ta bërë grafikun më të saktë, rekomandohet të gjeni disa vlera funksioni në pikat e ndërmjetme.

Shembulli 7

Nga shembulli që shqyrtuam, është e nevojshme të gjejmë vlerat e funksionit në pikat x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Meqenëse funksioni është i barabartë, marrim që vlerat përkojnë me vlerat në këto pika, domethënë, marrim x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Le të shkruajmë dhe zgjidhim:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Për të përcaktuar maksimumin dhe minimumin e funksionit, pikat e lakimit dhe pikat e ndërmjetme, është e nevojshme të ndërtohen asimptota. Për përcaktim të përshtatshëm, regjistrohen intervalet e rritjes, zvogëlimit, konveksitetit dhe konkavitetit. Le të shohim foton më poshtë.

Është e nevojshme të vizatoni linja grafike nëpër pikat e shënuara, të cilat do t'ju lejojnë t'i afroheni asimptotave duke ndjekur shigjetat.

Kjo përfundon eksplorimin e plotë të funksionit. Ka raste të ndërtimit të disa funksioneve elementare për të cilat përdoren shndërrime gjeometrike.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Si të studiohet një funksion dhe të ndërtohet grafiku i tij?

Duket se po filloj të kuptoj fytyrën e mprehtë shpirtërore të liderit të proletariatit botëror, autorit të veprave të mbledhura në 55 vëllime... Udhëtimi i gjatë filloi me informacione bazë rreth funksionet dhe grafikët, dhe tani puna në një temë intensive të punës përfundon me një rezultat logjik - një artikull rreth një studimi të plotë të funksionit. Detyra e shumëpritur është formuluar si më poshtë:

Studioni një funksion duke përdorur metoda të llogaritjes diferenciale dhe ndërtoni grafikun e tij bazuar në rezultatet e studimit

Ose me pak fjalë: ekzaminoni funksionin dhe ndërtoni një grafik.

Pse të eksploroni? Në raste të thjeshta, nuk do të jetë e vështirë për ne të kuptojmë funksionet elementare, vizatoni një grafik të marrë duke përdorur transformimet gjeometrike elementare etj. Sidoqoftë, vetitë dhe paraqitjet grafike të funksioneve më komplekse nuk janë aspak të dukshme, prandaj nevojitet një studim i tërë.

Hapat kryesorë të zgjidhjes përmblidhen në materialin referues Skema e studimit të funksionit, ky është udhëzuesi juaj për seksionin. Dummies kanë nevojë për një shpjegim hap pas hapi të një teme, disa lexues nuk dinë se ku të fillojnë ose si ta organizojnë kërkimin e tyre, dhe studentët e avancuar mund të jenë të interesuar vetëm për disa pika. Por kushdo që të jeni, i dashur vizitor, përmbledhja e propozuar me udhëzime për mësime të ndryshme do t'ju orientojë dhe udhëheq shpejt në drejtimin e interesit. Robotët derdhën lot =) Manuali u paraqit si një skedar pdf dhe zuri vendin e tij të merituar në faqe Formula dhe tabela matematikore.

Jam mësuar ta zbërthej kërkimin e një funksioni në 5-6 pika:

6) Pika shtesë dhe grafiku bazuar në rezultatet e hulumtimit.

Për sa i përket veprimit përfundimtar, mendoj se gjithçka është e qartë për të gjithë - do të jetë shumë zhgënjyese nëse brenda pak sekondash fshihet dhe detyra kthehet për rishikim. NJË VIZATIM I SAKTË DHE I SAKTË është rezultati kryesor i zgjidhjes! Ka të ngjarë të "mbulojë" gabimet analitike, ndërsa një orar i pasaktë dhe/ose i pakujdesshëm do të shkaktojë probleme edhe me një studim të kryer në mënyrë perfekte.

Duhet të theksohet se në burime të tjera numri i pikave të kërkimit, rendi i zbatimit të tyre dhe stili i projektimit mund të ndryshojnë ndjeshëm nga skema që propozova, por në shumicën e rasteve është mjaft e mjaftueshme. Versioni më i thjeshtë i problemit përbëhet nga vetëm 2-3 faza dhe është formuluar diçka si kjo: "hetoni funksionin duke përdorur derivatin dhe ndërtoni një grafik" ose "hetoni funksionin duke përdorur derivatet e 1-rë dhe 2-të, ndërtoni një grafik".

Natyrisht, nëse manuali juaj përshkruan një algoritëm tjetër në detaje ose mësuesi juaj kërkon rreptësisht që t'i përmbaheni leksioneve të tij, atëherë do t'ju duhet të bëni disa rregullime në zgjidhje. Jo më e vështirë sesa zëvendësimi i pirunit të sharrës elektrike me një lugë.

Le të kontrollojmë funksionin për çift/tek:

Kjo pasohet nga një përgjigje model:
, që do të thotë se ky funksion nuk është çift apo tek.

Meqenëse funksioni është i vazhdueshëm në , nuk ka asimptota vertikale.

Nuk ka as asimptota të zhdrejta.

Shënim : Ju kujtoj se sa më i lartë rendi i rritjes, se , prandaj kufiri përfundimtar është pikërisht " plus pafundësi."

Le të zbulojmë se si funksioni sillet në pafundësi:

Me fjalë të tjera, nëse shkojmë djathtas, atëherë grafiku shkon pafundësisht lart, nëse shkojmë në të majtë, ai shkon pafundësisht shumë poshtë. Po, ka gjithashtu dy kufizime në një hyrje të vetme. Nëse keni vështirësi në deshifrimin e shenjave, ju lutemi vizitoni mësimin rreth funksionet infiniteminale.

Pra funksioni nuk kufizohet nga lart Dhe nuk kufizohet nga poshtë. Duke marrë parasysh që nuk kemi pika ndërprerjeje, bëhet e qartë diapazoni i funksionit: – edhe ndonjë numër real.

TEKNIKË TEKNIKE E DOBISHME

Çdo fazë e detyrës sjell informacion të ri në lidhje me grafikun e funksionit, prandaj, gjatë zgjidhjes është i përshtatshëm për të përdorur një lloj LAYOUT. Le të vizatojmë një sistem koordinativ kartezian në një draft. Çfarë dihet tashmë me siguri? Së pari, grafiku nuk ka asimptota, prandaj, nuk ka nevojë të vizatoni vija të drejta. Së dyti, ne e dimë se si funksioni sillet në pafundësi. Sipas analizës, ne nxjerrim një përafrim të parë:

Ju lutemi vini re se për shkak të vazhdimësi funksioni në dhe fakti që grafiku duhet të kalojë boshtin të paktën një herë. Apo ndoshta ka disa pika kryqëzimi?

3) Zerot e funksionit dhe intervalet e shenjës konstante.

Së pari, le të gjejmë pikën e prerjes së grafikut me boshtin e ordinatave. Është e thjeshtë. Është e nevojshme të llogaritet vlera e funksionit në:

Një e gjysmë mbi nivelin e detit.

Për të gjetur pikat e kryqëzimit me boshtin (zerotë e funksionit), duhet të zgjidhim ekuacionin dhe këtu na pret një surprizë e pakëndshme:

Një anëtar i lirë fshihet në fund, gjë që e bën detyrën shumë më të vështirë.

Një ekuacion i tillë ka të paktën një rrënjë reale, dhe më shpesh kjo rrënjë është irracionale. Në përrallën më të keqe na presin tre derrat e vegjël. Ekuacioni është i zgjidhshëm duke përdorur të ashtuquajturat Formulat Cardano, por dëmtimi i letrës është i krahasueshëm me pothuajse të gjithë studimin. Në këtë drejtim, është më e mençur të përpiqeni të zgjidhni të paktën një, qoftë verbalisht ose në një draft. e tërë rrënjë. Le të kontrollojmë nëse këta numra janë:
- jo i përshtatshëm;
- Ka!

Me fat këtu. Në rast dështimi, ju gjithashtu mund të testoni, dhe nëse këta numra nuk përshtaten, atëherë kam frikë se ka shumë pak shanse për një zgjidhje fitimprurëse të ekuacionit. Atëherë është më mirë të anashkaloni plotësisht pikën e kërkimit - ndoshta diçka do të bëhet më e qartë në hapin përfundimtar, kur pikat shtesë do të thyhen. Dhe nëse rrënja(et) janë qartësisht "të këqija", atëherë është më mirë të heshtni në mënyrë modeste për intervalet e qëndrueshmërisë së shenjave dhe të vizatoni më me kujdes.

Megjithatë, ne kemi një rrënjë të bukur, kështu që ne e ndajmë polinomin pa mbetur:

Algoritmi për ndarjen e një polinomi me një polinom diskutohet në detaje në shembullin e parë të mësimit Kufijtë komplekse.

Si rezultat, ana e majtë e ekuacionit origjinal zbërthehet në produkt:

Dhe tani pak për një mënyrë jetese të shëndetshme. Unë, natyrisht, e kuptoj atë ekuacionet kuadratike duhet të zgjidhet çdo ditë, por sot do të bëjmë një përjashtim: ekuacionin ka dy rrënjë të vërteta.

Le të vizatojmë vlerat e gjetura në vijën numerike Dhe metoda e intervalit Le të përcaktojmë shenjat e funksionit:

og Kështu, në intervalet është vendosur orari
nën boshtin x dhe në intervale – mbi këtë aks.

Gjetjet na lejojnë të përsosim paraqitjen tonë, dhe përafrimi i dytë i grafikut duket kështu:

Ju lutemi vini re se një funksion duhet të ketë të paktën një maksimum në një interval dhe të paktën një minimum në një interval. Por ne nuk e dimë ende se sa herë, ku dhe kur do të qarkullojë orari. Nga rruga, një funksion mund të ketë pafundësisht shumë ekstremet.

4) Rritja, zvogëlimi dhe ekstremi i funksionit.

Le të gjejmë pikat kritike:

Ky ekuacion ka dy rrënjë reale. Le t'i vendosim ato në vijën numerike dhe të përcaktojmë shenjat e derivatit:

Prandaj, funksioni rritet me dhe zvogëlohet me.
Në pikën që funksioni arrin maksimumin e tij: .
Në pikën që funksioni arrin një minimum: .

Faktet e vendosura e detyrojnë shabllonin tonë në një kornizë mjaft të ngurtë:

Eshtë e panevojshme të thuhet, llogaritja diferenciale është një gjë e fuqishme. Le të kuptojmë më në fund formën e grafikut:

5) Konveksiteti, konkaviteti dhe pikat e përkuljes.

Le të gjejmë pikat kritike të derivatit të dytë:

Le të përcaktojmë shenjat:

Grafiku i funksionit është konveks në dhe konkav në . Të llogarisim ordinatën e pikës së lakimit: .

Pothuajse gjithçka është bërë e qartë.

6) Mbetet për të gjetur pika shtesë që do t'ju ndihmojnë të ndërtoni më saktë një grafik dhe të kryeni vetë-test. Në këtë rast janë pak prej tyre, por nuk do t'i neglizhojmë:

Le të bëjmë vizatimin:

Pika e përkuljes është shënuar me të gjelbër, pikat shtesë janë shënuar me kryqe. Grafiku i një funksioni kub është simetrik në lidhje me pikën e tij të përkuljes, e cila është gjithmonë e vendosur rreptësisht në mes midis maksimumit dhe minimumit.

Ndërsa detyra përparonte, unë ofrova tre vizatime hipotetike të ndërmjetme. Në praktikë, mjafton të vizatoni një sistem koordinativ, të shënoni pikat e gjetura dhe pas çdo pike kërkimi të vlerësoni mendërisht se si mund të duket grafiku i funksionit. Nuk do të jetë e vështirë për studentët me një nivel të mirë përgatitjeje të kryejnë një analizë të tillë vetëm në kokën e tyre pa përfshirë një draft.

Për ta zgjidhur vetë:

Shembulli 2

Eksploroni funksionin dhe ndërtoni një grafik.

Gjithçka është më e shpejtë dhe më argëtuese këtu, një shembull i përafërt i dizajnit përfundimtar në fund të mësimit.

Studimi i funksioneve racionale të pjesshme zbulon shumë sekrete:

Shembulli 3

Përdorni metodat e llogaritjes diferenciale për të studiuar një funksion dhe, bazuar në rezultatet e studimit, ndërtoni grafikun e tij.

Zgjidhje: faza e parë e studimit nuk dallohet nga asgjë e jashtëzakonshme, me përjashtim të një vrime në zonën e përkufizimit:

1) Funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike përveç pikës, fusha e përkufizimit: .

, që do të thotë se ky funksion nuk është çift apo tek.

Është e qartë se funksioni është jo periodik.

Grafiku i funksionit paraqet dy degë të vazhdueshme të vendosura në gjysmë rrafshin e majtë dhe të djathtë - ky është ndoshta përfundimi më i rëndësishëm i pikës 1.

2) Asimptotat, sjellja e një funksioni në pafundësi.

a) Duke përdorur kufijtë e njëanshëm, ne shqyrtojmë sjelljen e funksionit pranë një pike të dyshimtë, ku duhet të ketë qartë një asimptotë vertikale:

Në të vërtetë, funksionet qëndrojnë hendek i pafund në pikën
dhe drejtëza (boshti) është asimptotë vertikale grafike

b) Le të kontrollojmë nëse ekzistojnë asimptota të zhdrejta:

Po, është e drejtë asimptotë e zhdrejtë grafika, nëse.

Nuk ka kuptim të analizohen kufijtë, pasi tashmë është e qartë se funksioni përfshin asimptotën e tij të zhdrejtë nuk kufizohet nga lart Dhe nuk kufizohet nga poshtë.

Pika e dytë kërkimore dha shumë informacione të rëndësishme rreth funksionit. Le të bëjmë një skicë të përafërt:

Përfundimi nr. 1 ka të bëjë me intervalet e shenjës konstante. Në "minus infinity" grafiku i funksionit ndodhet qartë nën boshtin x, dhe në "plus infinity" është mbi këtë bosht. Për më tepër, kufijtë e njëanshëm na treguan se si në të majtë ashtu edhe në të djathtë të pikës funksioni është gjithashtu më i madh se zero. Ju lutemi vini re se në gjysmë rrafshin e majtë grafiku duhet të kalojë boshtin x të paktën një herë. Mund të mos ketë asnjë zero të funksionit në gjysmërrafshin e djathtë.

Përfundimi nr. 2 është se funksioni rritet në dhe në të majtë të pikës (shkon "nga poshtë lart"). Në të djathtë të kësaj pike, funksioni zvogëlohet (shkon "nga lart poshtë"). Dega e djathtë e grafikut duhet patjetër të ketë të paktën një minimum. Në të majtë, ekstremet nuk janë të garantuara.

Përfundimi nr. 3 jep informacion të besueshëm për konkavitetin e grafikut në afërsi të pikës. Nuk mund të themi ende asgjë për konveksitetin/konkavitetin në pafundësi, pasi një vijë mund të shtypet drejt asimptotës së saj si nga lart ashtu edhe nga poshtë. Në përgjithësi, ekziston një mënyrë analitike për ta kuptuar këtë tani, por forma e grafikut do të bëhet më e qartë në një fazë të mëvonshme.

Pse kaq shumë fjalë? Për të kontrolluar pikat e mëvonshme të kërkimit dhe për të shmangur gabimet! Llogaritjet e mëtejshme nuk duhet të kundërshtojnë përfundimet e nxjerra.

3) Pikat e prerjes së grafikut me boshtet koordinative, intervalet e shenjës konstante të funksionit.

Grafiku i funksionit nuk e pret boshtin.

Duke përdorur metodën e intervalit ne përcaktojmë shenjat:

, Nëse ;
, Nëse .

Rezultatet e kësaj pike janë plotësisht në përputhje me Konkluzionin Nr. 1. Pas çdo faze, shikoni draftin, kontrolloni mendërisht hulumtimin dhe plotësoni grafikun e funksionit.

Në shembullin në shqyrtim, numëruesi ndahet term pas termi nga emëruesi, i cili është shumë i dobishëm për diferencim:

Në fakt, kjo tashmë është bërë kur gjenden asimptota.

- pika kritike.

Le të përcaktojmë shenjat:

rritet me dhe zvogëlohet me

Në pikën që funksioni arrin një minimum: .

Gjithashtu nuk ka pasur mospërputhje me konkluzionin nr. 2 dhe, me shumë mundësi, jemi në rrugën e duhur.

Kjo do të thotë që grafiku i funksionit është konkav në të gjithë domenin e përkufizimit.

E shkëlqyeshme - dhe nuk keni nevojë të vizatoni asgjë.

Nuk ka pika lakimi.

Konkaviteti është në përputhje me përfundimin nr. 3, për më tepër, tregon se në pafundësi (si atje ashtu edhe atje) ndodhet grafiku i funksionit më të larta asimptota e saj e zhdrejtë.

6) Ne do ta vendosim me ndërgjegje detyrën me pikë shtesë. Këtu do të duhet të punojmë shumë, pasi dimë vetëm dy pika nga hulumtimi.

Dhe një foto që shumë njerëz ndoshta e kishin imagjinuar shumë kohë më parë:

Gjatë zbatimit të detyrës, duhet të siguroheni me kujdes që të mos ketë kontradikta midis fazave të hulumtimit, por ndonjëherë situata është urgjente apo edhe një qorrsokak i dëshpëruar. Analitika "nuk shtohet" - kjo është e gjitha. Në këtë rast, unë rekomandoj një teknikë emergjence: gjejmë sa më shumë pika që i përkasin grafikut (aq durim kemi) dhe i shënojmë në planin koordinativ. Një analizë grafike e vlerave të gjetura në shumicën e rasteve do t'ju tregojë se ku është e vërteta dhe ku është e rreme. Për më tepër, grafiku mund të ndërtohet paraprakisht duke përdorur ndonjë program, për shembull, në Excel (natyrisht, kjo kërkon aftësi).

Shembulli 4

Përdorni metodat e llogaritjes diferenciale për të studiuar një funksion dhe për të ndërtuar grafikun e tij.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Në të, vetëkontrolli përmirësohet nga barazia e funksionit - grafiku është simetrik në lidhje me boshtin, dhe nëse ka diçka në kërkimin tuaj që kundërshton këtë fakt, kërkoni një gabim.

Një funksion çift ose tek mund të studiohet vetëm në , dhe më pas të përdoret simetria e grafikut. Kjo zgjidhje është optimale, por, për mendimin tim, duket shumë e pazakontë. Personalisht, unë shikoj të gjithë boshtin e numrave, por ende gjej pika shtesë vetëm në të djathtë:

Shembulli 5

Kryeni një studim të plotë të funksionit dhe ndërtoni grafikun e tij.

Zgjidhje: gjërat u vështirësuan:

1) Funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike: .

Kjo do të thotë që ky funksion është tek, grafiku i tij është simetrik në lidhje me origjinën.

Është e qartë se funksioni është jo periodik.

2) Asimptotat, sjellja e një funksioni në pafundësi.

Meqenëse funksioni është i vazhdueshëm në , nuk ka asimptota vertikale

Për një funksion që përmban një eksponent, është tipik veçuar studimi i "plus" dhe "minus i pafundësisë", megjithatë, jeta jonë bëhet më e lehtë nga simetria e grafikut - ose ka një asimptotë në të majtë dhe në të djathtë, ose nuk ka asnjë. Prandaj, të dy kufijtë e pafund mund të shkruhen nën një hyrje të vetme. Gjatë tretësirës që përdorim Rregulli i L'Hopital:

Drejtëza (boshti) është asimptota horizontale e grafikut në .

Ju lutemi vini re se si e shmanga me dinakëri algoritmin e plotë për gjetjen e asimptotës së zhdrejtë: kufiri është plotësisht i ligjshëm dhe sqaron sjelljen e funksionit në pafundësi, dhe asimptota horizontale u zbulua "sikur në të njëjtën kohë".

Nga vazhdimësia në dhe ekzistenca e një asimptote horizontale rrjedh se funksioni të kufizuara sipër Dhe kufizohet më poshtë.

3) Pikat e prerjes së grafikut me boshtet koordinative, intervalet e shenjës konstante.

Këtu gjithashtu shkurtojmë zgjidhjen:
Grafiku kalon përmes origjinës.

Nuk ka pika të tjera të kryqëzimit me boshtet koordinative. Për më tepër, intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës janë të dukshme, dhe boshti nuk duhet të vizatohet: , që do të thotë se shenja e funksionit varet vetëm nga "x":
, Nëse ;
, Nëse .

4) Rritja, zvogëlimi, ekstremi i funksionit.

- pikat kritike.

Pikat janë simetrike rreth zeros, siç duhet të jetë.

Le të përcaktojmë shenjat e derivatit:

Funksioni rritet me një interval dhe zvogëlohet me intervale

Në pikën që funksioni arrin maksimumin e tij: .

Për shkak të pronës (çuditshmëria e funksionit) minimumi nuk duhet të llogaritet:

Meqenëse funksioni zvogëlohet gjatë intervalit, atëherë, padyshim, grafiku ndodhet në "minus pafundësi" nën asimptota e saj. Gjatë intervalit, funksioni gjithashtu zvogëlohet, por këtu është e kundërta - pasi kalon pikën maksimale, vija i afrohet boshtit nga lart.

Nga sa më sipër rezulton gjithashtu se grafiku i funksionit është konveks në "minus infinity" dhe konkav në "plus infinity".

Pas kësaj pike studimi, është tërhequr diapazoni i vlerave të funksionit:

Nëse keni ndonjë keqkuptim për ndonjë pikë, ju bëj thirrje edhe një herë të vizatoni boshtet e koordinatave në fletoren tuaj dhe, me një laps në duar, të ri-analizoni çdo përfundim të detyrës.

5) Konveksiteti, konkaviteti, kthesat e grafikut.

- pikat kritike.

Simetria e pikave është ruajtur, dhe, ka shumë të ngjarë, ne nuk gabojmë.

Le të përcaktojmë shenjat:

Grafiku i funksionit është konveks në dhe konkave në .

Konveksiteti/konkaviteti në intervalet ekstreme u konfirmua.

Në të gjitha pikat kritike ka ngërçe në grafik. Le të gjejmë ordinatat e pikave të lakimit dhe përsëri të zvogëlojmë numrin e llogaritjeve duke përdorur çuditshmërinë e funksionit: