Si të bëni një dhjetore nga një thyesë e rregullt. Shndërrimi i një thyese në një dhjetore

Shndërrimi i një thyese në një numër dhjetor

Le të themi se duam ta shndërrojmë thyesën 11/4 në një dhjetore. Mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është kjo:

Ne ia dolëm sepse në këtë rast zbërthimi i emëruesit në faktorë të thjeshtë përbëhet vetëm nga dy. Ne e plotësuam këtë zgjerim me dy pesëshe të tjera, përfituam nga fakti që 10 = 2∙5 dhe morëm një thyesë dhjetore. Një procedurë e tillë është padyshim e mundur nëse dhe vetëm nëse zbërthimi i emëruesit në faktorët kryesorë nuk përmban asgjë tjetër veçse dysh dhe pesëshe. Nëse ndonjë numër tjetër i thjeshtë është i pranishëm në zgjerimin e emëruesit, atëherë një thyesë e tillë nuk mund të shndërrohet në dhjetor. Sidoqoftë, ne do të përpiqemi ta bëjmë këtë, por vetëm në një mënyrë tjetër, me të cilën do të njihemi duke përdorur shembullin e së njëjtës fraksion 11/4. Le të ndajmë 11 me 4 duke përdorur "këndin":

Në rreshtin e përgjigjes kemi marrë të gjithë pjesën (2), dhe kemi edhe pjesën e mbetur (3). Më parë, ne e përfunduam ndarjen këtu, por tani e dimë se mund të shtojmë një presje dhe disa zero në të djathtë të dividentit (11), gjë që tani do ta bëjmë mendërisht. Pas presjes dhjetore vjen e dhjeta. Ne shtojmë zeron që i shfaqet dividentit në këtë shifër në mbetjen që rezulton (3):

Tani ndarja mund të vazhdojë sikur të mos kishte ndodhur asgjë. Thjesht duhet të mbani mend të vendosni një presje pas gjithë pjesës në rreshtin e përgjigjes:

Tani i shtojmë një zero pjesës së mbetur (2), e cila është në të qindtat e dividentit dhe plotësojmë ndarjen:

Si rezultat, ne marrim, si më parë,

Tani le të përpiqemi të llogarisim saktësisht në të njëjtën mënyrë me çfarë është e barabartë fraksioni 27/11:

Ne morëm numrin 2.45 në rreshtin e përgjigjes dhe numrin 5 në rreshtin e mbetur. Por një mbetje të tillë tashmë e kemi hasur edhe më parë. Prandaj, mund të themi menjëherë se nëse vazhdojmë ndarjen tonë me një "qosh", atëherë numri tjetër në rreshtin e përgjigjes do të jetë 4, atëherë do të vijë numri 5, pastaj përsëri 4 dhe përsëri 5, dhe kështu me radhë, ad infinitum :

27 / 11 = 2,454545454545...

Ne morëm të ashtuquajturën periodike një thyesë dhjetore me një pikë 45. Për thyesa të tilla përdoret një shënim më kompakt, në të cilin pika shkruhet vetëm një herë, por është e mbyllur në kllapa:

2,454545454545... = 2,(45).

Në përgjithësi, nëse pjesëtojmë një numër natyror me një tjetër me një "qoshe", duke e shkruar përgjigjen në formën e një thyese dhjetore, atëherë vetëm dy rezultate janë të mundshme: (1) herët a vonë do të marrim zero në rreshtin e mbetur. , (2) ose aty do të ketë një mbetje të tillë, të cilën e kemi hasur tashmë më parë (bashkësia e mbetjeve të mundshme është e kufizuar, pasi që të gjitha janë dukshëm më të vogla se pjesëtuesi). Në rastin e parë, rezultati i ndarjes është një fraksion dhjetor i fundëm, në rastin e dytë - një periodik.

Shndërroni dhjetorin periodik në thyesë

Le të na jepet një thyesë dhjetore periodike pozitive me një pjesë të plotë zero, për shembull:

a = 0,2(45).

Si mund ta kthej këtë thyesë në një thyesë të zakonshme?

Le ta shumëzojmë me 10 k, Ku kështë numri i shifrave ndërmjet pikës dhjetore dhe kllapave hapëse që tregon fillimin e periudhës. Në këtë rast k= 1 dhe 10 k = 10:

a∙ 10 k = 2,(45).

Shumëzojeni rezultatin me 10 n, Ku n- "gjatësia" e periudhës, domethënë numri i shifrave të mbyllura midis kllapave. Në këtë rast n= 2 dhe 10 n = 100:

a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Tani le të llogarisim diferencën

a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Meqenëse pjesët thyesore të minuend-it dhe subtrahend janë të njëjta, atëherë pjesa thyesore e diferencës është e barabartë me zero, dhe arrijmë në një ekuacion të thjeshtë për a:

a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Ky ekuacion zgjidhet duke përdorur transformimet e mëposhtme:

a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

Ne qëllimisht nuk i përfundojmë ende llogaritjet, në mënyrë që të shihet qartë se si ky rezultat mund të shkruhet menjëherë, duke lënë mënjanë argumentet e ndërmjetme. Minuend në numërues (245) është pjesa thyesore e numrit

a = 0,2(45)

nëse i fshini kllapat në hyrjen e saj. Nëntrupi në numëruesin (2) është pjesa jo periodike e numrit A, i vendosur midis presjes dhe kllapave hapëse. Faktori i parë në emëruesin (10) është një njësi, së cilës i caktohen aq zero sa ka shifra në pjesën jo periodike ( k). Faktori i dytë në emëruesin (99) është po aq nëntë sa ka shifra në periudhën ( n).

Tani llogaritjet tona mund të plotësohen:

Këtu numëruesi përmban pikën, dhe emëruesi përmban aq nëntë sa ka shifra në periudhë. Pas zvogëlimit me 9, fraksioni që rezulton është i barabartë me

Në të njëjtën mënyrë,

Ndodh që për lehtësinë e llogaritjeve ju duhet të konvertoni një fraksion të zakonshëm në një dhjetor dhe anasjelltas. Ne do të flasim se si ta bëjmë këtë në këtë artikull. Le të shohim rregullat për shndërrimin e thyesave të zakonshme në dhjetore dhe anasjelltas, dhe gjithashtu të japim shembuj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ne do të shqyrtojmë konvertimin e thyesave të zakonshme në dhjetore, duke ndjekur një sekuencë të caktuar. Së pari, le të shohim se si thyesat e zakonshme me një emërues që është shumëfish i 10-ës shndërrohen në dhjetore: 10, 100, 1000, etj. Thyesat me emërues të tillë janë, në fakt, një shënim më i rëndë i thyesave dhjetore.

Më tej, do të shikojmë se si t'i konvertojmë thyesat e zakonshme me çdo emërues, jo vetëm shumëfishat e 10, në thyesa dhjetore. Vini re se gjatë konvertimit të thyesave të zakonshme në dhjetore, fitohen jo vetëm dhjetore të fundme, por edhe thyesa dhjetore periodike të pafundme.

Le të fillojmë!

Përkthimi i thyesave të zakonshme me emërues 10, 100, 1000 etj. në dhjetore

Para së gjithash, le të themi se disa thyesa kërkojnë një përgatitje para se të shndërrohen në formën dhjetore. Çfarë është ajo? Para numrit në numërues, duhet të shtoni kaq shumë zero në mënyrë që numri i shifrave në numërues të bëhet i barabartë me numrin e zerove në emërues. Për shembull, për thyesën 3100, numri 0 duhet të shtohet një herë në të majtë të 3-së në numërues. Fraksioni 610, sipas rregullit të mësipërm, nuk ka nevojë për modifikim.

Le të shohim një shembull tjetër, pas të cilit do të formulojmë një rregull që është veçanërisht i përshtatshëm për t'u përdorur në fillim, ndërsa nuk ka shumë përvojë në konvertimin e fraksioneve. Pra, thyesa 1610000 pas shtimit të zerave në numërues do të duket si 001510000.

Si të konvertohet një thyesë e përbashkët me një emërues 10, 100, 1000, etj. në dhjetore?

Rregulla për shndërrimin e thyesave të zakonshme të duhura në dhjetore

1. Shkruani 0 dhe vendosni një presje pas saj.
2. Shkruajmë numrin nga numëruesi që është marrë pas mbledhjes së zerave.

Tani le të kalojmë te shembujt.

Shembulli 1: Shndërrimi i thyesave në dhjetore

Le ta kthejmë thyesën 39100 në një dhjetore.

Së pari, ne shikojmë thyesën dhe shohim se nuk ka nevojë të kryejmë ndonjë veprim përgatitor - numri i shifrave në numërues përkon me numrin e zerove në emërues.

Duke ndjekur rregullin, shkruajmë 0, vendosim një pikë dhjetore pas saj dhe shkruajmë numrin nga numëruesi. Marrim thyesën dhjetore 0.39.

Le të shohim zgjidhjen e një shembulli tjetër për këtë temë.

Shembulli 2. Shndërrimi i thyesave në dhjetore

Të shkruajmë thyesën 105 10000000 si dhjetore.

Numri i zeros në emërues është 7, dhe numëruesi ka vetëm tre shifra. Le të shtojmë edhe 4 zero të tjera para numrit në numërues:

0000105 10000000

Tani shkruajmë 0, vendosim një pikë dhjetore pas saj dhe shkruajmë numrin nga numëruesi. Marrim thyesën dhjetore 0.0000105.

Thyesat e konsideruara në të gjithë shembujt janë thyesa të zakonshme të duhura. Por si të konvertohet një thyesë e papërshtatshme në një dhjetore? Le të themi menjëherë se nuk ka nevojë për përgatitje me shtimin e zerave për thyesa të tilla. Le të formulojmë një rregull.

Rregulla për shndërrimin e thyesave të parregullta të zakonshme në dhjetore

1. Shkruani numrin që është në numërues.
2. Ne përdorim një pikë dhjetore për të ndarë aq shifra në të djathtë sa ka zero në emëruesin e thyesës origjinale.

Më poshtë është një shembull se si të përdoret ky rregull.

Shembulli 3. Shndërrimi i thyesave në dhjetore

Le ta kthejmë thyesën 56888038009 100000 nga një thyesë e zakonshme e parregullt në një dhjetore.

Së pari, le të shkruajmë numrin nga numëruesi:

Tani, në të djathtë, ne ndajmë pesë shifra me një pikë dhjetore (numri i zerave në emërues është pesë). Ne marrim:

Pyetja tjetër që lind natyrshëm është: si të shndërrohet një numër i përzier në një thyesë dhjetore nëse emëruesi i pjesës thyesore të tij është numri 10, 100, 1000, etj. Për të kthyer një numër të tillë në një thyesë dhjetore, mund të përdorni rregullin e mëposhtëm.

Rregulla për shndërrimin e numrave të përzier në dhjetorë

1. Përgatisim pjesën thyesore të numrit, nëse është e nevojshme.
2. Shkruajmë të gjithë pjesën e numrit origjinal dhe vendosim presje pas tij.
3. E shkruajmë numrin nga numëruesi i pjesës thyesore së bashku me zerot e shtuara.

Le të shohim një shembull.

Shembulli 4: Shndërrimi i numrave të përzier në dhjetorë

Le ta kthejmë numrin e përzier 23 17 10000 në një thyesë dhjetore.

Në pjesën thyesore kemi shprehjen 17 10000. Le ta përgatisim dhe të shtojmë edhe dy zero në të majtë të numëruesit. Ne marrim: 0017 10000.

Tani shkruajmë të gjithë pjesën e numrit dhe pas tij vendosim presje: 23, . .

Pas pikës dhjetore, shkruani numrin nga numëruesi së bashku me zerat. Ne marrim rezultatin:

23 17 10000 = 23 , 0017

Shndërrimi i thyesave të zakonshme në thyesa periodike të fundme dhe të pafundme

Sigurisht, mund të konvertohet në dhjetore dhe thyesa të zakonshme me një emërues jo të barabartë me 10, 100, 1000, etj.

Shpesh një thyesë mund të reduktohet lehtësisht në një emërues të ri dhe më pas të përdoret rregulli i përcaktuar në paragrafin e parë të këtij neni. Për shembull, mjafton të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës 25 me 2, dhe marrim thyesën 410, e cila konvertohet lehtësisht në formën dhjetore 0.4.

Megjithatë, kjo metodë e konvertimit të një thyese në një dhjetore nuk mund të përdoret gjithmonë. Më poshtë do të shqyrtojmë se çfarë të bëjmë nëse është e pamundur të zbatohet metoda e konsideruar.

Një mënyrë thelbësisht e re për të kthyer një thyesë në një dhjetore është pjesëtimi i numëruesit me emëruesin me një kolonë. Ky veprim është shumë i ngjashëm me ndarjen e numrave natyrorë me një kolonë, por ka karakteristikat e veta.

Kur ndahet, numëruesi paraqitet si një thyesë dhjetore - një presje vendoset në të djathtë të shifrës së fundit të numëruesit dhe zero shtohen. Në herësin që rezulton, një pikë dhjetore vendoset kur mbaron pjesëtimi i pjesës së plotë të numëruesit. Se si funksionon saktësisht kjo metodë do të bëhet e qartë pas shikimit të shembujve.

Shembulli 5. Shndërrimi i thyesave në dhjetore

Le ta kthejmë thyesën e përbashkët 621 4 në formën dhjetore.

Le të paraqesim numrin 621 nga numëruesi si thyesë dhjetore, duke shtuar disa zero pas presjes dhjetore. 621 = 621,00

Tani le të ndajmë 621.00 me 4 duke përdorur një kolonë. Tre hapat e parë të pjesëtimit do të jenë të njëjta si kur pjesëtohen numrat natyrorë dhe do të marrim.

Kur arrijmë në pikën dhjetore në divident dhe pjesa e mbetur është e ndryshme nga zero, vendosim një pikë dhjetore në herës dhe vazhdojmë pjesëtimin, duke mos i kushtuar më vëmendje presjes në divident.

Si rezultat, marrim thyesën dhjetore 155, 25, e cila është rezultat i kthimit të thyesës së zakonshme 621 4

621 4 = 155 , 25

Le të shohim një shembull tjetër për të përforcuar materialin.

Shembulli 6. Shndërrimi i thyesave në dhjetore

Le të kthejmë thyesën e përbashkët 21 800.

Për ta bërë këtë, ndani fraksionin 21,000 në një kolonë me 800. Pjesëtimi i të gjithë pjesës do të përfundojë në hapin e parë, kështu që menjëherë pas saj vendosim një pikë dhjetore në herës dhe vazhdojmë pjesëtimin, duke mos i kushtuar rëndësi presjes në divident derisa të marrim një mbetje të barabartë me zero.

Si rezultat, kemi marrë: 21,800 = 0,02625.

Por, çka nëse gjatë pjesëtimit nuk na del mbetja 0. Në raste të tilla, pjesëtimi mund të vazhdojë pafundësisht. Megjithatë, duke filluar nga një hap i caktuar, mbetjet do të përsëriten periodikisht. Prandaj, numrat në herës do të përsëriten. Kjo do të thotë që një thyesë e zakonshme shndërrohet në një thyesë periodike dhjetore të pafundme. Le ta ilustrojmë këtë me një shembull.

Shembulli 7. Shndërrimi i thyesave në dhjetore

Le ta kthejmë thyesën e përbashkët 19 44 në një dhjetore. Për ta bërë këtë, ne kryejmë ndarje sipas kolonës.

Shohim që gjatë pjesëtimit përsëriten mbetjet 8 dhe 36. Në këtë rast, numrat 1 dhe 8 përsëriten në herës. Kjo është periudha në thyesë dhjetore. Gjatë regjistrimit, këta numra vendosen në kllapa.

Kështu, thyesa e zakonshme origjinale shndërrohet në një thyesë dhjetore periodike të pafundme.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Le të shohim një fraksion të zakonshëm të pareduktueshëm. Çfarë forme do të marrë? Cilat thyesa të zakonshme shndërrohen në dhjetore të fundme dhe cilat në ato periodike të pafundme?

Së pari, le të themi se nëse një thyesë mund të reduktohet në një nga emëruesit 10, 100, 1000..., atëherë ajo do të ketë formën e një thyese dhjetore përfundimtare. Që një thyesë të reduktohet në një nga këta emërues, emëruesi i saj duhet të jetë pjesëtues i të paktën njërit prej numrave 10, 100, 1000, etj. Nga rregullat për faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë rezulton se pjesëtuesi i numrave është 10, 100, 1000, etj. duhet, kur faktorizohet në faktorët kryesorë, të përmbajë vetëm numrat 2 dhe 5.

Le të përmbledhim atë që është thënë:

1. Një thyesë e zakonshme mund të reduktohet në një dhjetore përfundimtare nëse emëruesi i saj mund të faktorizohet në faktorët kryesorë prej 2 dhe 5.
2. Nëse, përveç numrave 2 dhe 5, janë të pranishëm edhe numra të tjerë të thjeshtë në zgjerimin e emëruesit, thyesa reduktohet në formën e një thyese dhjetore periodike të pafundme.

Le të japim një shembull.

Shembulli 8. Shndërrimi i thyesave në dhjetore

Cila nga këto thyesa 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 shndërrohet në një thyesë dhjetore përfundimtare, dhe cila - vetëm në një periodike. Le t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje pa e kthyer drejtpërdrejt një thyesë në një dhjetore.

Thyesa 47 20, siç shihet lehtë, duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me 5, reduktohet në një emërues të ri 100.

47 20 = 235 100. Nga kjo arrijmë në përfundimin se kjo thyesë shndërrohet në një thyesë dhjetore përfundimtare.

Faktorizimi i emëruesit të thyesës 7 12 jep 12 = 2 · 2 · 3. Meqenëse faktori kryesor 3 është i ndryshëm nga 2 dhe 5, kjo thyesë nuk mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore e fundme, por do të ketë formën e një thyese periodike të pafundme.

Pjesa 21 56, së pari, duhet të reduktohet. Pas zvogëlimit me 7, marrim thyesën e pakalueshme 3 8, emëruesi i së cilës faktorizohet për të dhënë 8 = 2 · 2 · 2. Prandaj, është një thyesë dhjetore përfundimtare.

Në rastin e thyesës 31 17, faktorizimi i emëruesit është vetë numri i thjeshtë 17. Prandaj, kjo thyesë mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore periodike të pafundme.

Një thyesë e zakonshme nuk mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore të pafundme dhe jo periodike

Më sipër folëm vetëm për thyesat periodike të fundme dhe të pafundme. Por a mund të shndërrohet çdo thyesë e zakonshme në një thyesë të pafundme jo periodike?

Ne përgjigjemi: jo!

E rëndësishme!

Kur konvertohet një thyesë e pafundme në një dhjetore, rezultati është ose një dhjetore e fundme ose një dhjetore periodike e pafundme.

Pjesa e mbetur e një pjesëtimi është gjithmonë më e vogël se pjesëtuesi. Me fjalë të tjera, sipas teoremës së pjesëtueshmërisë, nëse pjesëtojmë një numër natyror me numrin q, atëherë pjesa e mbetur e pjesëtimit në asnjë rast nuk mund të jetë më e madhe se q-1. Pas përfundimit të ndarjes, një nga situatat e mëposhtme është e mundur:

1. Ne marrim një mbetje prej 0, dhe këtu përfundon ndarja.
2. Ne marrim një mbetje, e cila përsëritet pas ndarjes pasuese, duke rezultuar në një fraksion periodik të pafund.

Nuk mund të ketë opsione të tjera kur konvertohet një thyesë në një dhjetore. Le të themi gjithashtu se gjatësia e periudhës (numri i shifrave) në një thyesë periodike të pafundme është gjithmonë më e vogël se numri i shifrave në emëruesin e thyesës së zakonshme përkatëse.

Shndërrimi i numrave dhjetorë në thyesa

Tani është koha për të parë procesin e kundërt të konvertimit të një thyese dhjetore në një fraksion të përbashkët. Le të formulojmë një rregull përkthimi që përfshin tre faza. Si të konvertohet një thyesë dhjetore në një thyesë të zakonshme?

Rregulla për shndërrimin e thyesave dhjetore në thyesa të zakonshme

1. Në numërues shkruajmë numrin nga thyesa dhjetore origjinale, duke hequr presjen dhe të gjitha zerat në të majtë, nëse ka.
2. Në emërues shkruajmë një të ndjekur nga aq zero sa ka shifra pas presjes dhjetore në thyesën dhjetore origjinale.
3. Nëse është e nevojshme, zvogëloni fraksionin e zakonshëm që rezulton.

Le të shohim zbatimin e këtij rregulli duke përdorur shembuj.

Shembulli 8. Shndërrimi i thyesave dhjetore në thyesa të zakonshme

Le të imagjinojmë numrin 3.025 si një thyesë të zakonshme.

1. Ne e shkruajmë vetë thyesën dhjetore në numërues, duke hequr presjen: 3025.
2. Në emërues shkruajmë një, dhe pas tij tre zero - kjo është saktësisht sa shifra përmbahen në fraksionin origjinal pas pikës dhjetore: 3025 1000.
3. Pjesa që rezulton 3025 1000 mund të reduktohet me 25, duke rezultuar në: 3025 1000 = 121 40.

Shembulli 9. Shndërrimi i thyesave dhjetore në thyesa të zakonshme

Le ta kthejmë thyesën 0,0017 nga dhjetore në të zakonshme.

1. Në numërues shkruajmë thyesën 0, 0017, duke hequr presjen dhe zeron në të majtë. Do të rezultojë të jetë 17.
2. Shkruajmë një në emërues dhe pas tij shkruajmë katër zero: 17 10000. Ky fraksion është i pakalueshëm.

Nëse një thyesë dhjetore ka një pjesë të plotë, atëherë një thyesë e tillë mund të shndërrohet menjëherë në një numër të përzier. Si ta bëni këtë?

Le të formulojmë një rregull tjetër.

Rregulla për konvertimin e numrave dhjetorë në numra të përzier.

1. Numri para presjes dhjetore në thyesë shkruhet si pjesë e plotë e numrit të përzier.
2. Në numërues shkruajmë numrin pas presjes dhjetore në thyesë, duke i hedhur zerat në të majtë nëse ka.
3. Në emëruesin e pjesës thyesore shtojmë një dhe aq zero sa ka shifra pas presjes dhjetore në pjesën thyesore.

Le të marrim një shembull

Shembulli 10: Shndërrimi i një numri dhjetor në një numër të përzier

Le të imagjinojmë thyesën 155, 06005 si një numër të përzier.

1. Numrin 155 e shkruajmë si pjesë të plotë.
2. Në numërues shkruajmë numrat pas presjes dhjetore, duke e hedhur zeron.
3. Në emërues shkruajmë një dhe pesë zero

Le të mësojmë një numër të përzier: 155 6005 100000

Pjesa e pjesshme mund të reduktohet me 5. Ne e shkurtojmë atë dhe marrim rezultatin përfundimtar:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Shndërrimi i dhjetoreve periodike të pafundme në thyesa

Le të shohim shembuj se si të konvertojmë thyesat dhjetore periodike në thyesa të zakonshme. Para se të fillojmë, le të sqarojmë: çdo thyesë dhjetore periodike mund të shndërrohet në një thyesë të zakonshme.

Rasti më i thjeshtë është kur periudha e thyesës është zero. Një thyesë periodike me një periudhë zero zëvendësohet nga një thyesë dhjetore përfundimtare dhe procesi i kthimit të një fraksioni të tillë reduktohet në kthimin e thyesës dhjetore përfundimtare.

Shembulli 11. Shndërrimi i një thyese dhjetore periodike në një thyesë të zakonshme

Le të përmbysim thyesën periodike 3, 75 (0).

Duke eliminuar zerot në të djathtë, marrim thyesën dhjetore përfundimtare 3.75.

Duke e kthyer këtë fraksion në një fraksion të zakonshëm duke përdorur algoritmin e diskutuar në paragrafët e mëparshëm, marrim:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Po sikur periudha e thyesës të jetë e ndryshme nga zero? Pjesa periodike duhet të konsiderohet si shuma e termave të një progresion gjeometrik, i cili zvogëlohet. Le ta shpjegojmë këtë me një shembull:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Ekziston një formulë për shumën e termave të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie. Nëse termi i parë i progresionit është b dhe emëruesi q është i tillë që 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Le të shohim disa shembuj duke përdorur këtë formulë.

Shembulli 12. Shndërrimi i një thyese dhjetore periodike në një thyesë të zakonshme

Le të kemi një thyesë periodike 0, (8) dhe duhet ta shndërrojmë atë në një thyesë të zakonshme.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Këtu kemi një progresion të pafundëm gjeometrik në rënie me termin e parë 0, 8 dhe emëruesin 0, 1.

Le të zbatojmë formulën:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Kjo është fraksioni i zakonshëm i kërkuar.

Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh një shembull tjetër.

Shembulli 13. Shndërrimi i një thyese dhjetore periodike në një thyesë të zakonshme

Le të kthejmë thyesën 0, 43 (18).

Së pari shkruajmë thyesën si një shumë të pafundme:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Le të shohim termat në kllapa. Ky progresion gjeometrik mund të përfaqësohet si më poshtë:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Ne ia shtojmë rezultatin fraksionit përfundimtar 0, 43 = 43 100 dhe marrim rezultatin:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Pas mbledhjes së këtyre thyesave dhe zvogëlimit, marrim përgjigjen përfundimtare:

0 , 43 (18) = 19 44

Për të përfunduar këtë artikull, do të themi se thyesat dhjetore të pafundme jo periodike nuk mund të shndërrohen në thyesa të zakonshme.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Një thyesë dhjetore përbëhet nga dy pjesë, të ndara me presje. Pjesa e parë është një njësi e plotë, pjesa e dytë është dhjetëshe (nëse ka një numër pas presjes dhjetore), qindëshe (dy numra pas presjes dhjetore, si dy zero në njëqind), të mijëtat, etj. Le të shohim shembuj të thyesave dhjetore: 0, 2; 7, 54; 235.448; 5.1; 6.32; 0.5. Të gjitha këto janë thyesa dhjetore. Si të konvertohet një thyesë dhjetore në një thyesë të zakonshme?

Shembulli një

Kemi një fraksion, për shembull, 0.5. Siç u përmend më lart, ai përbëhet nga dy pjesë. Numri i parë, 0, tregon sa njësi të plota ka thyesa. Në rastin tonë nuk ka asnjë. Numri i dytë tregon dhjetëra. Thyesa madje lexon zero pikën pesë. Numri dhjetor shndërrohet në thyesë Tani nuk do të jetë e vështirë, ne shkruajmë 5/10. Nëse shihni se numrat kanë një faktor të përbashkët, mund ta zvogëloni thyesën. Ne kemi këtë numër 5, duke i ndarë të dy anët e fraksionit me 5, marrim - 1/2.

Shembulli dy

Le të marrim një fraksion më kompleks - 2.25. Shkruhet kështu: dy pikë dy dhe njëzet e pesë të qindtat. Ju lutemi vini re - të qindtat, pasi ka dy numra pas pikës dhjetore. Tani mund ta shndërroni atë në një fraksion të përbashkët. Ne shkruajmë - 2 25/100. E gjithë pjesa është 2, pjesa thyesore është 25/100. Si në shembullin e parë, kjo pjesë mund të shkurtohet. Faktori i përbashkët për numrat 25 dhe 100 është numri 25. Vini re se ne gjithmonë zgjedhim faktorin më të madh të përbashkët. Duke i pjesëtuar të dyja anët e thyesës me GCD, kemi marrë 1/4. Pra, 2.25 është 2 1/4.

Shembulli tre

Dhe për të konsoliduar materialin, le të marrim thyesën dhjetore 4.112 - katër pikë një dhe njëqind e dymbëdhjetë të mijëtat. Pse një mijëshe, mendoj, është e qartë. Tani shkruajmë 4 112/1000. Duke përdorur algoritmin, gjejmë gcd-në e numrave 112 dhe 1000. Në rastin tonë, ky është numri 6. Marrim 4 14/125.

konkluzioni

1. Thyesin e thyejmë në pjesë të plota dhe të pjesshme.
2. Le të shohim sa shifra janë pas presjes dhjetore. Nëse një është dhjetëshe, dy janë qindra, tre janë të mijëta, etj.
3. Thyesën e shkruajmë në formë të zakonshme.
4. Zvogëloni numëruesin dhe emëruesin e thyesës.
5. Ne shkruajmë thyesën që rezulton.
6. Kontrollojmë duke e ndarë pjesën e sipërme të thyesës me pjesën e poshtme. Nëse ka një pjesë të plotë, shtojeni atë në thyesën dhjetore që rezulton. Versioni origjinal doli i shkëlqyeshëm, që do të thotë se keni bërë gjithçka siç duhet.

Duke përdorur shembuj, tregova se si mund të shndërroni një thyesë dhjetore në një fraksion të zakonshëm. Siç mund ta shihni, kjo është shumë e lehtë dhe e thjeshtë për t'u bërë.

Një thyesë mund të shndërrohet në një numër të plotë ose në një numër dhjetor. Një thyesë e papërshtatshme, numëruesi i së cilës është më i madh se emëruesi dhe pjesëtohet me të pa mbetje, shndërrohet në një numër të plotë, për shembull: 20/5. Pjestojeni 20 me 5 dhe merrni numrin 4. Nëse thyesa është e duhur, domethënë numëruesi është më i vogël se emëruesi, atëherë kthejeni atë në numër (thyesë dhjetore). Ju mund të merrni më shumë informacion rreth thyesave nga seksioni ynë -.

Mënyrat për të kthyer një thyesë në një numër

• Mënyra e parë për të kthyer një thyesë në një numër është e përshtatshme për një thyesë që mund të shndërrohet në një numër që është një thyesë dhjetore. Së pari, le të zbulojmë nëse është e mundur të konvertohet thyesa e dhënë në një thyesë dhjetore. Për ta bërë këtë, le t'i kushtojmë vëmendje emëruesit (numrit që është nën vijën ose në të djathtë të vijës së pjerrët). Nëse emëruesi mund të faktorizohet (në shembullin tonë - 2 dhe 5), i cili mund të përsëritet, atëherë kjo thyesë në të vërtetë mund të shndërrohet në një fraksion dhjetor përfundimtar. Për shembull: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Kjo thyesë e zakonshme do të shndërrohet në një numër (dhjetor) me një numër të fundëm të numrave dhjetorë. Por thyesa 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) do të shndërrohet në një numër me një numër të pafund vendesh dhjetore. Kjo do të thotë, kur llogaritet me saktësi një vlerë numerike, është mjaft e vështirë të përcaktohet vendi përfundimtar dhjetor, pasi ka një numër të pafund të shenjave të tilla. Prandaj, zgjidhja e problemeve zakonisht kërkon rrumbullakimin e vlerës në të qindtat ose të mijëtat. Më pas, duhet të shumëzoni edhe numëruesin edhe emëruesin me një numër të tillë në mënyrë që emëruesi të prodhojë numrat 10, 100, 1000, etj. Për shembull: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
• Mënyra e dytë për të kthyer një thyesë në një numër është më e thjeshtë: duhet të ndani numëruesin me emëruesin. Për të aplikuar këtë metodë, ne thjesht kryejmë ndarjen dhe numri që rezulton do të jetë fraksioni dhjetor i dëshiruar. Për shembull, ju duhet të shndërroni thyesën 2/15 në një numër. Ndani 2 me 15. Marrim 0,1333... - një thyesë e pafundme. E shkruajmë kështu: 0.13 (3). Nëse thyesa është një thyesë e papërshtatshme, domethënë, numëruesi është më i madh se emëruesi (për shembull, 345/100), atëherë konvertimi i tij në një numër do të rezultojë në një vlerë të numrit të plotë ose një thyesë dhjetore me një pjesë të tërë thyesore. Në shembullin tonë do të jetë 3.45. Për të kthyer një thyesë të përzier si 3 2 / 7 në një numër, së pari duhet ta shndërroni atë në një thyesë të papërshtatshme: (3∙7+2)/7 = 23/7. Më pas, ndani 23 me 7 dhe merrni numrin 3.2857143, të cilin e zvogëlojmë në 3.29.

Mënyra më e lehtë për të kthyer një thyesë në një numër është përdorimi i një kalkulatori ose një pajisjeje tjetër llogaritëse. Së pari ne tregojmë numëruesin e fraksionit, më pas shtypim butonin me ikonën "ndarje" dhe futim emëruesin. Pasi shtypim tastin "=", marrim numrin e dëshiruar.