Si të mësoni me lehtësi thyesat e përziera. Shprehje komplekse me thyesa

Le të shkojmë në betejë me detyrat e shtëpisë së matematikës! Armiku është fraksione të padisiplinuara. Programi i klasës së 5-të. Një detyrë e rëndësishme strategjike është t'i shpjegoni një fëmije thyesat. Le të ndërrojmë rolet me mësuesin dhe të përpiqemi ta bëjmë atë me pak përpjekje, pa nerva dhe në një formë të arritshme. Është shumë më e lehtë të stërvitësh një ushtar sesa një kompani...

ria.ru

Si t'i shpjegojmë thyesat një fëmije

Mos prisni derisa fëmija juaj të jetë në klasën e 5-të dhe të ndeshet me thyesa në faqet e një libri matematike. Ne ju rekomandojmë të kërkoni përgjigjen e pyetjes "Si t'i shpjegojmë thyesat një fëmije" në kuzhinë! Dhe bëjeni menjëherë! Edhe nëse fëmija juaj është vetëm 4-5 vjeç, ai është në gjendje të kuptojë kuptimin e konceptit të "fraksioneve" dhe madje mund të mësojë veprimet më të thjeshta me thyesa.

Ndanim një portokall.
Jemi shumë, por ai është vetëm
Kjo fetë është për iriqin, kjo fetë është për lëkurën...
Dhe për ujkun - lëvozhgën.

E mbani mend poezinë? Këtu është shembulli më i qartë dhe udhëzuesi më efektiv për veprim! Mënyra më e lehtë për t'i shpjeguar një fëmije thyesat është përmes shembullit të ushqimit: prerja e një molle në gjysma dhe katër pjesë, ndarja e picës midis anëtarëve të familjes, prerja e një buke para drekës, etj. Gjëja kryesore është, para se të hani "ndihmën vizuale", mos harroni të shprehni se cilën pjesë të së tërës po "shkatërroni".

Futni konceptin e "share".

Theksoni se një portokall i GJITHË (mollë, çokollatë, shalqi etj.) është 1 (shënohet me numrin 1).

Prezantoni konceptin e "fraksionit".

Ndajmë një portokall ose një çokollatë, mund të thoni edhe "ndarë" në disa pjesë.

Tregojini fëmijës tuaj një objekt të njohur - një vizore. Shpjegoni se midis numrave ka vlera të ndërmjetme - pjesë.

i.ytimg.com

Shpjegoni se si të shkruani thyesat: çfarë do të thotë numëruesi dhe çfarë tregon emëruesi.

Kuptimi i konceptit të "fraksioneve" dhe shënimi i saktë mund të tregohet lehtësisht duke përdorur shembullin e një konstruktori. Në numëruesin SIPËR rreshtit shkruajmë se cilën pjesë, dhe në emëruesin POSHT vijës shkruajmë se në sa pjesë të tilla është ndarë e tëra.

gladtolearn.ru

Spacemath.xyz

Sigurohuni që të përdorni një shembull të qartë për të treguar ndryshimin midis thyesave me të njëjtin numërues por emërues të ndryshëm.

gladtolearn.ru

Duke përdorur shembullin e 4 katrorëve me të njëjtën madhësi, tregoni se si mund t'i ndani ato në të njëjtin/numër të ndryshëm pjesësh. Lëreni fëmijën të presë boshllëqet e letrës me gërshërë dhe më pas shkruaj rezultatet duke përdorur thyesa.

gladtolearn.ru

Shpjegoni se si të shkruhet një e tërë si thyesë.

Kujtoni katrorin dhe si e kemi ndarë në 4 pjesë. Një katror është një e tërë, mund ta shkruajmë si 1. Por si mund ta shkruajmë si thyesë: çfarë është në numërues, çfarë është në emërues? Nëse një katror e ndajmë në 4 pjesë, atëherë i gjithë katrori është 4/4. Nëse e ndajmë një katror në 8 pjesë, atëherë i gjithë katrori është 8/8. Por është ende një katror, d.m.th. 1. Të dyja 4/4 dhe 8/8 janë një, një e tërë!

Si t'i shpjegojmë thyesat një fëmije: duke bërë pyetjet e drejta

Në mënyrë që një nxënës i klasës së 5-të të kuptojë temën "Thesat" dhe të mësojë se si të kryejë llogaritjet me thyesa, le të shohim metodologjinë. Është e rëndësishme që ne, prindërit, të kuptojmë se si mësuesi ua shpjegon thyesat fëmijëve në shkollë, përndryshe mund ta ngatërrojmë plotësisht "ushtarin" tonë.

Një thyesë është një numër që është pjesë e një objekti të tërë. Është gjithmonë më pak se një.

Shembulli 1. Një mollë është një e tërë, dhe gjysma është një gjysmë. A nuk është më e vogël se një mollë e tërë? Ndani përsëri gjysmat në gjysmë. Çdo fetë është një e katërta e një molle të plotë dhe është më e vogël se gjysma.

Një thyesë është numri i pjesëve të një tërësie.

Shembulli 2. Për shembull, një produkt i ri u dorëzua në një dyqan veshjesh: 30 këmisha. Shitësit arritën të shtronin dhe varnin vetëm një të tretën e të gjitha këmishave nga koleksioni i ri. Sa këmisha kanë varur?
Fëmija lehtë mund të llogarisë verbalisht se një e treta (një e treta) janë 10 këmisha, d.m.th. 10 u varën dhe u dërguan në katin e shitjes dhe 20 të tjerë mbetën në magazinë.

KONKLUZION: Fraksionet mund të përdoren për të matur çdo gjë, jo vetëm copa picash, por edhe litra në fuçi, numrin e kafshëve të egra në pyll, zonë etj.

Jepni një sërë shembujsh nga jeta në mënyrë që një fëmijë i klasës së 5-të të kuptojë THEMELIN e thyesave: kjo do të ndihmojë në të ardhmen në zgjidhjen e problemeve dhe kryerjen e llogaritjeve me thyesa të rregullta dhe të gabuara, dhe studimi në klasën e 5-të nuk do të jetë një barrë, por gëzim.

Si mund të siguroheni që fëmija juaj të kuptojë se çfarë përfaqësojnë numrat në numërues dhe emërues kur shkruan thyesa?

Shembulli 3. Pyetni se çfarë do të thotë 5 në thyesën 4/5?

- Ja sa pjesë e kanë ndarë.
- Çfarë do të thotë 4?
- Ja sa morën.

Krahasimi i thyesave është ndoshta tema më e vështirë.

Shembulli 4. Ftojeni fëmijën tuaj të thotë se cila thyesë është më e madhe: 3/10 apo 3/20? Duket se meqenëse 10 është më pak se 20, atëherë përgjigja është e qartë, por nuk është kështu! Mos harroni për katrorët që i kemi prerë në copa. Nëse priten dy katrorë me të njëjtën madhësi - njëri në 10, i dyti në 20 pjesë - a është e qartë përgjigja? Pra, cila pjesë është më e madhe?

Veprimet me thyesa

Nëse shihni se fëmija e ka kuptuar mirë kuptimin e të shkruarit në formë thyese, mund të kaloni në veprime të thjeshta aritmetike me thyesa. Duke përdorur shembullin e një konstruktori, ju mund ta bëni këtë shumë qartë.

Shembulli 5.

edinstvennaya.ua

Shembulli 6. Loto matematikore me temën "Thesat".

www.kakprosto.ru

Të nderuar lexues, nëse dini metoda të tjera efektive për t'i shpjeguar thyesat një fëmije, ndajini ato në komente. Ne do të jemi të lumtur t'i shtojmë koleksionit tonë të këshillave të dobishme për shkollën.

Le të pajtohemi që "veprimet me thyesa" në mësimin tonë do të nënkuptojnë veprime me thyesa të zakonshme. Një thyesë e zakonshme është një thyesë që ka atribute të tilla si një numërues, një vijë thyese dhe një emërues. Kjo dallon një thyesë të zakonshme nga një dhjetore, e cila përftohet nga një thyesë e zakonshme duke reduktuar emëruesin në një shumëfish të 10. Dhjetorja shkruhet me presje që ndan të gjithë pjesën nga thyesa. Do të flasim për veprimet me thyesat e zakonshme, pasi janë ato që shkaktojnë vështirësitë më të mëdha për nxënësit që kanë harruar bazat e kësaj teme, të trajtuara në gjysmën e parë të lëndës së matematikës shkollore. Në të njëjtën kohë, gjatë transformimit të shprehjeve në matematikën e lartë, përdoren kryesisht veprime me thyesa të zakonshme. Vetëm shkurtesat e fraksioneve ia vlejnë! Thyesat dhjetore nuk shkaktojnë ndonjë vështirësi të veçantë. Pra, vazhdo!

Dy thyesa thuhet se janë të barabarta nëse .

Për shembull, që nga

Thyesat dhe (pasi), dhe (pasi) janë gjithashtu të barabarta.

Natyrisht, të dyja thyesat dhe janë të barabarta. Kjo do të thotë se nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese të caktuar shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër natyror, do të fitohet një thyesë e barabartë me atë të dhënë: .

Kjo veti quhet veti themelore e një thyese.

Vetia themelore e një thyese mund të përdoret për të ndryshuar shenjat e numëruesit dhe të emëruesit të një thyese. Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen me -1, marrim . Kjo do të thotë se vlera e një thyese nuk do të ndryshojë nëse shenjat e numëruesit dhe emëruesit ndryshojnë në të njëjtën kohë. Nëse ndryshoni shenjën vetëm të numëruesit ose vetëm të emëruesit, atëherë thyesa do të ndryshojë shenjën e saj:

Thyesat reduktuese

Duke përdorur vetinë bazë të një thyese, ju mund të zëvendësoni një thyesë të dhënë me një thyesë tjetër që është e barabartë me atë të dhënë, por me një numërues dhe emërues më të vogël. Ky zëvendësim quhet reduktim fraksioni.

Le të jepet, për shembull, një thyesë. Numrat 36 dhe 48 kanë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të 12. Atëherë

Në përgjithësi, zvogëlimi i një thyese është gjithmonë i mundur nëse numëruesi dhe emëruesi nuk janë numra të thjeshtë reciprokisht. Nëse numëruesi dhe emëruesi janë numra reciprokisht të thjeshtë, atëherë thyesa quhet e pakalueshme.

Pra, të reduktosh një thyesë do të thotë të ndash numëruesin dhe emëruesin e thyesës me një faktor të përbashkët. E gjithë sa më sipër vlen edhe për shprehjet thyesore që përmbajnë variabla.

Shembulli 1. Zvogëloni një pjesë

Zgjidhje. Për të faktorizuar numëruesin, fillimisht duke paraqitur monomin - 5 xy si shumë - 2 xy - 3xy, marrim

Për të faktorizuar emëruesin, ne përdorim formulën e diferencës së katrorëve:

Si rezultat

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët

Le të dy thyesa dhe . Ata kanë emërues të ndryshëm: 5 dhe 7. Duke përdorur veçorinë bazë të thyesave, mund t'i zëvendësoni këto thyesa me të tjera që janë të barabarta me to, dhe të tilla që thyesat që rezultojnë të kenë emërues të njëjtë. Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 7, marrim

Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 5, marrim

Pra, thyesat reduktohen në një emërues të përbashkët:

Por kjo nuk është e vetmja zgjidhje për problemin: për shembull, këto fraksione gjithashtu mund të reduktohen në një emërues të përbashkët prej 70:

dhe në përgjithësi me çdo emërues të pjesëtueshëm me 5 dhe 7.

Le të shqyrtojmë një shembull tjetër: le t'i sjellim thyesat dhe në një emërues të përbashkët. Duke argumentuar si në shembullin e mëparshëm, marrim

Por në këtë rast, është e mundur të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët që është më i vogël se produkti i emëruesve të këtyre thyesave. Le të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 24 dhe 30: LCM(24, 30) = 120.

Meqenëse 120:4 = 5, për të shkruar një fraksion me emërues 120, duhet të shumëzoni si numëruesin ashtu edhe emëruesin me 5, ky numër quhet një faktor shtesë. Mjetet .

Më pas, marrim 120:30=4. Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me një faktor shtesë prej 4, marrim .

Pra, këto thyesa reduktohen në një emërues të përbashkët.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i emëruesve të këtyre thyesave është emëruesi më i vogël i mundshëm i përbashkët.

Për shprehjet thyesore që përfshijnë variabla, emëruesi i përbashkët është një polinom që ndahet me emëruesin e secilës fraksion.

Shembulli 2. Gjeni emëruesin e përbashkët të thyesave dhe.

Zgjidhje. Emëruesi i përbashkët i këtyre thyesave është një polinom, pasi është i pjesëtueshëm me të dyja dhe. Megjithatë, ky polinom nuk është i vetmi që mund të jetë një emërues i përbashkët i këtyre thyesave. Mund të jetë gjithashtu një polinom , dhe polinom , dhe polinom etj. Zakonisht ata marrin një emërues të tillë të përbashkët sa që çdo emërues tjetër i përbashkët ndahet me atë të zgjedhur pa mbetje. Ky emërues quhet emëruesi më i ulët i përbashkët.

Në shembullin tonë, emëruesi më i ulët i përbashkët është . Marrë:

;

Ne ishim në gjendje t'i reduktonim thyesat në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët. Kjo ndodhi duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me , dhe numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dytë me . Polinome quhen faktorë shtesë, përkatësisht për thyesën e parë dhe të dytë.

Mbledhja dhe zbritja e thyesave

Mbledhja e thyesave përcaktohet si më poshtë:

Për shembull,

Nëse b = d, Kjo

Kjo do të thotë se për të mbledhur thyesa me emërues të njëjtë, mjafton të mblidhen numëruesit dhe të lihet emëruesi i njëjtë. Për shembull,

Nëse shtoni thyesa me emërues të ndryshëm, zakonisht i zvogëloni thyesat në emëruesin më të ulët të përbashkët dhe më pas shtoni numëruesit. Për shembull,

Tani le të shohim një shembull të shtimit të shprehjeve thyesore me ndryshore.

Shembulli 3. Shndërroni shprehjen në një thyesë

Zgjidhje. Le të gjejmë emëruesin më të ulët të përbashkët. Për ta bërë këtë, ne fillimisht faktorizojmë emëruesit.

Unë vetë u përballa me faktin se fraksionet doli të ishin një temë mjaft e vështirë për fëmijët e mi.

Ekziston një lojë shumë e mirë Nikitin's Fractions, është e destinuar për parashkollorët, por edhe në shkollë do ta ndihmojë në mënyrë të përkryer fëmijën të kuptojë se çfarë janë - fraksionet, marrëdhëniet e tyre me njëri-tjetrin..., dhe të gjitha në një mënyrë të arritshme, vizuale dhe formë emocionuese.

Ai përbëhet nga dymbëdhjetë rrathë me shumë ngjyra. Një rreth është i plotë, dhe të gjithë pjesa tjetër ndahen në pjesë të barabarta - dy, tre ... (deri në dymbëdhjetë).

Fëmiut i kërkohet të kryejë detyra të thjeshta të lojës, për shembull:

Si quhen pjesët e rrathëve? ose

Cila pjesë është më e madhe? (vendosni më të voglin mbi të madhin.)

Kjo teknikë më ndihmoi. Në përgjithësi, më vjen shumë keq që të gjitha këto zhvillime të Nikitin nuk më ranë në sy kur fëmijët ishin ende foshnje.

Ju mund ta bëni lojën vetë ose të blini një të gatshme dhe të mësoni më shumë për gjithçka -.

Zgjidhja e thyesave mund të shpjegohet gjithashtu duke përdorur tulla Lego. Ai zhvillon jo vetëm imagjinatën, por edhe të menduarit krijues dhe logjik, që do të thotë se mund të përdoret edhe si një mjet mësimor.

Alicia Zimmerman lindi me idenë e përdorimit të blloqeve të stilistit të famshëm për t'u mësuar fëmijëve bazat e matematikës.

Dhe ja se si të shpjegoni thyesat duke përdorur Lego.

Praktika tregon se më së shumti vështirësi lindin kur mblidhen (zbriten) thyesat me emërues të ndryshëm dhe kur pjesëtohen thyesat.

Vështirësitë lindin për shkak të udhëzimeve të pasakta në tekst, si p.sh. pjesëtimi i një thyese me një thyesë.

Për të pjesëtuar një thyesë me një thyesë, shumëzoni numëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë dhe numëruesin e thyesës së dytë me emëruesin e thyesës së parë.

A mund ta kuptojë këtë një fëmijë në klasën e 4-të dhe të mos ngatërrohet? JO!

Dhe mësuesi na e shpjegoi atë në mënyrë elementare: duhet ta kthejmë thyesën e dytë dhe pastaj ta shumëzojmë!

E njëjta gjë me shtimin.

Për të shtuar dy thyesa, duhet të shumëzoni numëruesin e fraksionit të parë me emëruesin e fraksionit të dytë dhe të shumëzoni numëruesin e fraksionit të dytë me emëruesin e fraksionit të parë, të shtoni numrat që rezultojnë dhe t'i shkruani në numërues. Dhe në emërues duhet të shkruani produktin e emëruesve të thyesave. Pas kësaj, fraksioni që rezulton mund (ose duhet) të reduktohet.

Dhe është më e thjeshtë: Zvogëloni thyesat në një emërues të përbashkët, i cili është i barabartë me LCM të emëruesve, dhe më pas shtoni numëruesit.

Tregojini ato me një shembull të qartë. Për shembull, prisni një mollë në 4 pjesë, vendoseni në 8 pjesë, shtoni 12 pjesë në një të tërë, shtoni disa pjesë, zbrisni. Në të njëjtën kohë, shpjegoni në letër duke përdorur rregullat. Rregullat për mbledhjen dhe zbritjen. ndarja e fraksioneve, si dhe si të izoloni një të tërë nga një fraksion i papërshtatshëm - mësoni të gjitha këto duke manipuluar me një mollë. Mos nxitoni fëmijët t'i zgjidhin me kujdes fetat me ndihmën tuaj.

Mësimi i fëmijëve për të zgjidhur thyesat, në veçanti, është mjaft i zakonshëm dhe nuk do të krijojë shumë telashe. Gjëja më e thjeshtë që mund të bëni është të merrni diçka të plotë, për shembull një mandarinë, ose ndonjë frut tjetër, ta ndani në pjesë dhe të përdorni një shembull për të treguar zbritjen, mbledhjen dhe veprime të tjera me copa të këtij fruti, të cilat do të jenë fraksione nga e tërë. Gjithçka duhet të shpjegohet dhe të tregohet, dhe faktori përfundimtar do të jetë shpjegimi dhe zgjidhja e problemeve së bashku duke përdorur shembuj matematikorë derisa fëmija të mësojë t'i bëjë vetë këto detyra.

Figura tregon qartë se çfarë korrespondon me atë që dhe si duket fraksioni në një objekt real, kjo është saktësisht se si duhet shpjeguar.

Ju duhet t'i qaseni kësaj çështjeje tërësisht, pasi zgjidhja e thyesave do të jetë e dobishme në jetë. Është e nevojshme në këtë çështje, siç thonë ata, të jemi në një pozitë të barabartë me fëmijët dhe të shpjegojmë teorinë në një gjuhë që ata kuptojnë, për shembull, në gjuhën e tortës ose mandarinës. Duhet ta ndani tortën në do dhe t'ua jepni miqve, pas së cilës fëmija do të fillojë të kuptojë thelbin e zgjidhjes së fraksioneve. Mos filloni me thyesa të rënda, filloni me konceptet e 1/2, 1/3, 1/10. Së pari, zbritni dhe shtoni, dhe më pas kaloni te konceptet më komplekse si shumëzimi dhe pjesëtimi.

Ekzistojnë lloje të ndryshme problemash me thyesat. Një fëmijë nuk mund të kuptojë se një sekondë dhe pesë të dhjetat janë e njëjta gjë, të tjerët janë të hutuar duke sjellë thyesa të ndryshme në të njëjtin emërues dhe të tjerët janë të hutuar nga ndarja e thyesave. Prandaj, nuk ka një rregull të vetëm për të gjitha rastet.

Gjëja kryesore në problemet që përfshijnë thyesat është të mos humbasësh momentin kur ajo që është e kuptueshme pushon së qeni e tillë. Kthehuni në sobë dhe përsëritni gjithçka nga e para, edhe nëse duket mjerisht primitive. Për shembull, kthehu te çfarë është një sekondë.

Fëmija duhet të kuptojë se konceptet matematikore janë abstrakte, se i njëjti fenomen mund të përshkruhet me fjalë të ndryshme dhe të shprehet me numra të ndryshëm.

Më pëlqen përgjigja e dhënë nga Mefody66. Unë do të shtoj nga shumë vite praktikë personale: të mësosh se si të zgjidhësh problemet me thyesa (dhe jo të zgjidhësh thyesat; zgjidhja e thyesave është e pamundur, ashtu siç është e pamundur të zgjidhësh numrat) është mjaft e lehtë, thjesht duhet të jesh afër fëmijës kur fillon për herë të parë të zgjidhë probleme të tilla dhe korrigjoni zgjidhjen e tij me kohë, në mënyrë që gabimet, të cilat janë të pashmangshme në çdo mësim, të mos kenë kohë për t'u zënë në mendjen e fëmijës. Rimësimi është më i vështirë sesa të mësosh diçka të re. Dhe zgjidhini sa më shumë probleme të tilla. Sjellja e zgjidhjes së detyrave të tilla në automatikitet do të ishte një gjë e mirë për t'u bërë. Aftësia për të zgjidhur problema me thyesa të zakonshme është po aq e rëndësishme në lëndën e matematikës në shkollë sa edhe njohja e tabelës së shumëzimit. Kështu që ju duhet të gjeni kohë për të parë se si fëmija juaj zgjidh probleme të tilla.

Dhe mos u mbështetni shumë në tekstin shkollor: mësuesit në shkolla shpjegojnë saktësisht siç shkroi Mefody66 në përgjigjen e tij. Është më mirë të bisedoni me mësuesin, të zbuloni se me cilat fjalë mësuesi e shpjegoi këtë temë. Dhe përdorni të njëjtat fjalë dhe fraza nëse është e mundur (në mënyrë që të mos e ngatërroni shumë fëmijën)

Gjithashtu: Unë ju këshilloj që të përdorni shembuj vizualë vetëm në fazën fillestare të shpjegimit, pastaj të abstraktoni shpejt dhe të kaloni në algoritmin e zgjidhjes. Përndryshe, qartësia mund të jetë e dëmshme kur zgjidhen probleme më komplekse. Për shembull, nëse duhet të shtoni thyesa me emërues 29 dhe 121, çfarë lloj ndihme vizuale do t'ju ndihmojë? Ajo vetëm do të ngatërrojë.

Thyesat janë një nga ato tema të bekuara matematikore ku nuk ka abstraksione që nuk janë të zbatueshme. Produktet duhet të përdoren (në ëmbëlsira, si Juanita Solis në Shtëpiake të Dëshpëruara - një metodë vërtet e lezetshme shpjegimi). Të gjithë këta numërues-emërues vijnë më vonë. Atëherë është e nevojshme që fëmija të kuptojë se pjesëtimi me një thyesë nuk është më një rënie dhe shumëzimi nuk është një rritje. Këtu është më mirë të tregojmë se si të ndahet me një fraksion në formën e shumëzimit me përmbysje. Paraqisni shkurtesën në një mënyrë lozonjare nëse ato ndahen me një numër, atëherë ndani, pothuajse rezulton të jetë Sudoku, nëse jeni të interesuar. Gjëja kryesore është të vëreni keqkuptime në kohë, sepse më tej do të ketë tema më interesante që nuk janë të lehta për t'u kuptuar. Prandaj, praktikoni më shumë në zgjidhjen e thyesave dhe gjithçka do të përmirësohet shpejt. Për mua, humanistin më të pastër, larg nga shkalla më e vogël e abstraksionit, thyesat kanë qenë gjithmonë më të qarta se temat e tjera.

Përmbajtja e mësimit

Mbledhja e thyesave me emërues të ngjashëm

Ekzistojnë dy lloje të mbledhjes së thyesave:

Mbledhja e thyesave me emërues të ngjashëm
Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm

Së pari, le të mësojmë mbledhjen e thyesave me emërues të ngjashëm. Gjithçka është e thjeshtë këtu. Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të pandryshuar. Për shembull, le të shtojmë thyesat dhe . Shtoni numëruesit dhe lini emëruesin të pandryshuar:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse kujtojmë picën, e cila është e ndarë në katër pjesë. Nëse shtoni pica në picë, ju merrni pica:

Shembulli 2. Shtoni thyesat dhe .

Përgjigja doli të ishte një fraksion i papërshtatshëm. Kur të vijë fundi i detyrës, është zakon të heqësh qafe fraksionet e pahijshme. Për të hequr qafe një fraksion të papërshtatshëm, duhet të zgjidhni të gjithë pjesën e tij. Në rastin tonë, e gjithë pjesa izolohet lehtësisht - dy të ndara me dy janë të barabarta një:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse kujtojmë për një picë që është e ndarë në dy pjesë. Nëse shtoni më shumë pica në picë, merrni një picë të plotë:

Shembulli 3. Shtoni thyesat dhe .

Përsëri, mbledhim numëruesit dhe e lëmë emëruesin të pandryshuar:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse kujtojmë picën, e cila është e ndarë në tre pjesë. Nëse shtoni më shumë pica në picë, ju merrni pica:

Shembulli 4. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Ky shembull zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si ato të mëparshme. Numëruesit duhet të shtohen dhe emëruesi të lihet i pandryshuar:

Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një vizatim. Nëse shtoni pica në një picë dhe shtoni më shumë pica, do të merrni 1 pica të plotë dhe më shumë pica.

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar në shtimin e thyesave me emërues të njëjtë. Mjafton të kuptoni rregullat e mëposhtme:

Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të pandryshuar;

Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm

Tani le të mësojmë se si të mbledhim thyesa me emërues të ndryshëm. Kur mblidhen thyesat, emëruesit e thyesave duhet të jenë të njëjtë. Por ato nuk janë gjithmonë të njëjta.

Për shembull, thyesat mund të shtohen sepse kanë të njëjtët emërues.

Por thyesat nuk mund të shtohen menjëherë, pasi këto thyesa kanë emërues të ndryshëm. Në raste të tilla, thyesat duhet të reduktohen në të njëjtin emërues (të përbashkët).

Ka disa mënyra për të reduktuar thyesat në të njëjtin emërues. Sot do të shikojmë vetëm njërën prej tyre, pasi metodat e tjera mund të duken të ndërlikuara për një fillestar.

Thelbi i kësaj metode është që së pari të kërkohet LCM e emëruesve të të dy thyesave. Më pas LCM ndahet me emëruesin e fraksionit të parë për të marrë faktorin e parë shtesë. Ata bëjnë të njëjtën gjë me thyesën e dytë - LCM ndahet me emëruesin e fraksionit të dytë dhe fitohet një faktor i dytë shtesë.

Më pas numëruesit dhe emëruesit e thyesave shumëzohen me faktorët e tyre shtesë. Si rezultat i këtyre veprimeve, thyesat që kishin emërues të ndryshëm kthehen në thyesa që kanë emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të shtojmë fraksione të tilla.

Shembulli 1. Le të mbledhim thyesat dhe

Para së gjithash, gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të të dy thyesave. Emëruesi i thyesës së parë është numri 3, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 2. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 6.

LCM (2 dhe 3) = 6

Tani le të kthehemi te thyesat dhe . Së pari, ndani LCM me emëruesin e thyesës së parë dhe merrni faktorin e parë shtesë. LCM është numri 6, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 3. Pjestoni 6 me 3, marrim 2.

Numri 2 që rezulton është shumëzuesi i parë shtesë. E shkruajmë në thyesën e parë. Për ta bërë këtë, bëni një vijë të vogël të zhdrejtë mbi fraksion dhe shkruani faktorin shtesë që gjendet sipër saj:

Të njëjtën gjë bëjmë edhe me thyesën e dytë. Ne e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së dytë dhe marrim faktorin e dytë shtesë. LCM është numri 6, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 2. Pjestoni 6 me 2, marrim 3.

Numri 3 që rezulton është shumëzuesi i dytë shtesë. E shkruajmë në thyesën e dytë. Përsëri, bëjmë një vijë të vogël të zhdrejtë mbi thyesën e dytë dhe shkruajmë faktorin shtesë që gjendet sipër saj:

Tani kemi gjithçka gati për shtim. Mbetet të shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët e tyre shtesë:

Shikoni me kujdes se çfarë kemi arritur. Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të shtojmë fraksione të tilla. Le ta marrim këtë shembull deri në fund:

Kjo e plotëson shembullin. Rezulton të shtohet .

Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një vizatim. Nëse shtoni picë në një picë, ju merrni një picë të plotë dhe një të gjashtën tjetër të picës:

Reduktimi i thyesave në të njëjtin emërues (të përbashkët) mund të përshkruhet gjithashtu duke përdorur një figurë. Duke reduktuar thyesat dhe në një emërues të përbashkët, kemi marrë thyesat dhe . Këto dy fraksione do të përfaqësohen nga të njëjtat copa pice. I vetmi ndryshim do të jetë se këtë herë ato do të ndahen në pjesë të barabarta (të reduktuara në të njëjtin emërues).

Vizatimi i parë përfaqëson një fraksion (katër pjesë nga gjashtë), dhe vizatimi i dytë përfaqëson një fraksion (tre pjesë nga gjashtë). Duke shtuar këto pjesë marrim (shtatë nga gjashtë). Kjo thyesë është e papërshtatshme, kështu që ne theksuam të gjithë pjesën e saj. Si rezultat, ne morëm (një picë të plotë dhe një tjetër picë të gjashtë).

Ju lutemi vini re se ne e kemi përshkruar këtë shembull në shumë detaje. Në institucionet arsimore nuk është zakon të shkruhet në detaje të tilla. Ju duhet të jeni në gjendje të gjeni shpejt LCM-në e të dy emëruesve dhe faktorëve shtesë ndaj tyre, si dhe të shumëzoni shpejt faktorët shtesë të gjetur me numëruesit dhe emëruesit tuaj. Nëse do të ishim në shkollë, do të duhej ta shkruanim këtë shembull si më poshtë:

Por ka edhe një anë tjetër të medaljes. Nëse nuk merrni shënime të hollësishme në fazat e para të studimit të matematikës, atëherë fillojnë të shfaqen pyetje të këtij lloji. "Nga vjen ai numër?", "Pse thyesat kthehen papritur në thyesa krejtësisht të ndryshme? «.

Për ta bërë më të lehtë shtimin e thyesave me emërues të ndryshëm, mund të përdorni udhëzimet e mëposhtme hap pas hapi:

Gjeni LCM-në e emëruesve të thyesave;
Ndani LCM me emëruesin e secilës thyesë dhe merrni një faktor shtesë për secilën thyesë;
Të shumëzojë numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët e tyre shtesë;
Shtoni thyesat që kanë emërues të njëjtë;
Nëse përgjigja rezulton të jetë një fraksion i gabuar, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën e saj;

Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje .

Le të përdorim udhëzimet e dhëna më sipër.

Hapi 1. Gjeni LCM-në e emëruesve të thyesave

Gjeni LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Emëruesit e thyesave janë numrat 2, 3 dhe 4

Hapi 2. Ndani LCM me emëruesin e çdo thyese dhe merrni një faktor shtesë për secilën thyesë

Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së parë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 2. Pjestoni 12 me 2, marrim 6. Morëm faktorin e parë shtesë 6. E shkruajmë sipër thyesës së parë:

Tani e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 3. Pjestoni 12 me 3, marrim 4. Marrim faktorin e dytë shtesë 4. E shkruajmë sipër thyesës së dytë:

Tani e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së tretë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së tretë është numri 4. Pjestoni 12 me 4, marrim 3. Marrim faktorin e tretë shtesë 3. E shkruajmë mbi thyesën e tretë:

Hapi 3. Shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët e tyre shtesë

Ne i shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit me faktorët e tyre shtesë:

Hapi 4. Shtoni thyesa me emërues të njëjtë

Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë (të përbashkët). Mbetet vetëm të shtohen këto thyesa. Shtoni atë:

Shtesa nuk përshtatej në një rresht, kështu që ne e zhvendosëm shprehjen e mbetur në rreshtin tjetër. Kjo lejohet në matematikë. Kur një shprehje nuk përshtatet në një rresht, ajo zhvendoset në rreshtin tjetër dhe është e nevojshme të vendoset një shenjë e barabartë (=) në fund të rreshtit të parë dhe në fillim të rreshtit të ri. Shenja e barazimit në rreshtin e dytë tregon se kjo është një vazhdim i shprehjes që ishte në rreshtin e parë.

Hapi 5. Nëse përgjigja rezulton të jetë një thyesë e gabuar, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën e saj

Përgjigja jonë doli të ishte një fraksion i gabuar. Duhet të veçojmë një pjesë të tërë të saj. Ne theksojmë:

Morëm një përgjigje

Zbritja e thyesave me emërues të ngjashëm

Ekzistojnë dy lloje të zbritjes së thyesave:

Zbritja e thyesave me emërues të ngjashëm
Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm

Së pari, le të mësojmë se si të zbresim thyesat me emërues të ngjashëm. Gjithçka është e thjeshtë këtu. Për të zbritur një tjetër nga një thyesë, duhet të zbritni numëruesin e thyesës së dytë nga numëruesi i thyesës së parë, por të lini emëruesin të njëjtë.

Për shembull, le të gjejmë vlerën e shprehjes . Për të zgjidhur këtë shembull, duhet të zbrisni numëruesin e thyesës së dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të pandryshuar. Le ta bëjmë këtë:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse kujtojmë picën, e cila është e ndarë në katër pjesë. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica:

Shembulli 2. Gjeni vlerën e shprehjes.

Përsëri, nga numëruesi i thyesës së parë, zbritni numëruesin e thyesës së dytë dhe lini emëruesin të pandryshuar:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse kujtojmë picën, e cila është e ndarë në tre pjesë. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica:

Shembulli 3. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Ky shembull zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si ato të mëparshme. Nga numëruesi i thyesës së parë ju duhet të zbrisni numëruesit e thyesave të mbetura:

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar në zbritjen e thyesave me emërues të njëjtë. Mjafton të kuptoni rregullat e mëposhtme:

Për të zbritur një tjetër nga një thyesë, duhet të zbrisni numëruesin e fraksionit të dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të pandryshuar;
Nëse përgjigja rezulton të jetë një fraksion i gabuar, atëherë duhet të theksoni të gjithë pjesën e saj.

Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm

Për shembull, ju mund të zbrisni një thyesë nga një thyesë sepse thyesat kanë emërues të njëjtë. Por nuk mund të zbresësh një thyesë nga një thyesë, pasi këto thyesa kanë emërues të ndryshëm. Në raste të tilla, thyesat duhet të reduktohen në të njëjtin emërues (të përbashkët).

Emëruesi i përbashkët gjendet duke përdorur të njëjtin parim që kemi përdorur kur mbledhim thyesa me emërues të ndryshëm. Para së gjithash, gjeni LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Pastaj LCM pjesëtohet me emëruesin e thyesës së parë dhe fitohet faktori i parë shtesë, i cili shkruhet mbi thyesën e parë. Në mënyrë të ngjashme, LCM ndahet me emëruesin e thyesës së dytë dhe fitohet një faktor i dytë shtesë, i cili shkruhet mbi thyesën e dytë.

Më pas thyesat shumëzohen me faktorët e tyre shtesë. Si rezultat i këtyre veprimeve, thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërrohen në thyesa që kanë emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim thyesa të tilla.

Shembulli 1. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Këto thyesa kanë emërues të ndryshëm, kështu që ju duhet t'i reduktoni në të njëjtin emërues (të përbashkët).

Së pari gjejmë LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Emëruesi i thyesës së parë është numri 3, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 4. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 12

LCM (3 dhe 4) = 12

Tani le të kthehemi te thyesat dhe

Le të gjejmë një faktor shtesë për thyesën e parë. Për ta bërë këtë, ndani LCM me emëruesin e fraksionit të parë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 3. Pjestoni 12 me 3, marrim 4. Shkruani një katër mbi thyesën e parë:

Të njëjtën gjë bëjmë edhe me thyesën e dytë. Ndani LCM me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 4. Pjestoni 12 me 4, marrim 3. Shkruani një tre mbi thyesën e dytë:

Tani jemi gati për zbritje. Mbetet të shumëzojmë fraksionet me faktorët e tyre shtesë:

Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim thyesa të tilla. Le ta marrim këtë shembull deri në fund:

Morëm një përgjigje

Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një vizatim. Nëse e ndani picën nga një pica, ju merrni pica

Ky është versioni i detajuar i zgjidhjes. Nëse do të ishim në shkollë, do të duhej ta zgjidhnim këtë shembull më shkurt. Një zgjidhje e tillë do të duket si kjo:

Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët mund të përshkruhet gjithashtu duke përdorur një figurë. Duke i reduktuar këto thyesa në një emërues të përbashkët, morëm thyesat dhe . Këto fraksione do të përfaqësohen nga të njëjtat feta pice, por këtë herë ato do të ndahen në pjesë të barabarta (reduktohen në të njëjtin emërues):

Fotografia e parë tregon një fraksion (tetë pjesë nga dymbëdhjetë), dhe fotografia e dytë tregon një fraksion (tre pjesë nga dymbëdhjetë). Duke prerë tre pjesë nga tetë pjesë, marrim pesë pjesë nga dymbëdhjetë. Fraksioni përshkruan këto pesë pjesë.

Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Këto thyesa kanë emërues të ndryshëm, kështu që së pari duhet t'i reduktoni në të njëjtin emërues (të përbashkët).

Le të gjejmë LCM-në e emëruesve të këtyre thyesave.

Emëruesit e thyesave janë numrat 10, 3 dhe 5. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

Tani gjejmë faktorë shtesë për secilën fraksion. Për ta bërë këtë, ndani LCM me emëruesin e secilës fraksion.

Le të gjejmë një faktor shtesë për thyesën e parë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 10. Pjestoni 30 me 10, marrim faktorin e parë shtesë 3. E shkruajmë sipër thyesës së parë:

Tani gjejmë një faktor shtesë për thyesën e dytë. Ndani LCM me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 3. Pjestoni 30 me 3, marrim faktorin e dytë shtesë 10. E shkruajmë sipër thyesës së dytë:

Tani gjejmë një faktor shtesë për thyesën e tretë. Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së tretë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së tretë është numri 5. Pjestoni 30 me 5, marrim faktorin e tretë shtesë 6. E shkruajmë sipër thyesës së tretë:

Tani gjithçka është gati për zbritje. Mbetet të shumëzojmë fraksionet me faktorët e tyre shtesë:

Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë (të përbashkët). Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim thyesa të tilla. Le ta përfundojmë këtë shembull.

Vazhdimi i shembullit nuk do të përshtatet në një rresht, kështu që ne e zhvendosim vazhdimin në rreshtin tjetër. Mos harroni për shenjën e barabartë (=) në rreshtin e ri:

Përgjigja doli të ishte një fraksion i rregullt, dhe gjithçka duket se na përshtatet, por është shumë e rëndë dhe e shëmtuar. Duhet ta bëjmë më të thjeshtë. Çfarë mund të bëhet? Ju mund ta shkurtoni këtë fraksion.

Për të zvogëluar një thyesë, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e tij me (GCD) të numrave 20 dhe 30.

Pra, gjejmë gcd-në e numrave 20 dhe 30:

Tani kthehemi te shembulli ynë dhe ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës me gcd-në e gjetur, domethënë me 10

Morëm një përgjigje

Shumëzimi i një thyese me një numër

Për të shumëzuar një thyesë me një numër, duhet të shumëzoni numëruesin e thyesës së dhënë me atë numër dhe të lini emëruesin të njëjtë.

Shembulli 1. Shumëzo një thyesë me numrin 1.

Shumëzoni numëruesin e thyesës me numrin 1

Regjistrimi mund të kuptohet se merr gjysmë 1 herë. Për shembull, nëse merrni pica një herë, ju merrni pica

Nga ligjet e shumëzimit ne e dimë se nëse shumëzuesi dhe faktori këmbehen, prodhimi nuk do të ndryshojë. Nëse shprehja shkruhet si , atëherë produkti do të jetë akoma i barabartë me . Përsëri, rregulli për shumëzimin e një numri të plotë dhe një thyese funksionon:

Ky shënim mund të kuptohet si marrja e gjysmës së një. Për shembull, nëse ka 1 picë të plotë dhe marrim gjysmën e saj, atëherë do të kemi pica:

Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Shumëzoni numëruesin e thyesës me 4

Përgjigja ishte një fraksion i papërshtatshëm. Le të veçojmë të gjithë pjesën e tij:

Shprehja mund të kuptohet si të marrë dy të katërtat 4 herë. Për shembull, nëse merrni 4 pica, do të merrni dy pica të plota

Dhe nëse shkëmbejmë shumëzuesin dhe shumëzuesin, marrim shprehjen . Do të jetë gjithashtu e barabartë me 2. Kjo shprehje mund të kuptohet si marrja e dy picave nga katër pica të plota:

Shumëzimi i thyesave

Për të shumëzuar thyesat, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e tyre. Nëse përgjigja rezulton të jetë një fraksion i gabuar, duhet të theksoni të gjithë pjesën e saj.

Shembulli 1. Gjeni vlerën e shprehjes.

Morëm një përgjigje. Këshillohet që të zvogëlohet ky fraksion. Pjesa mund të zvogëlohet me 2. Atëherë zgjidhja përfundimtare do të marrë formën e mëposhtme:

Shprehja mund të kuptohet si marrja e një pice nga një gjysmë pice. Le të themi se kemi gjysmë pice:

Si të merrni dy të tretat nga kjo gjysmë? Së pari ju duhet ta ndani këtë gjysmë në tre pjesë të barabarta:

Dhe merrni dy nga këto tre pjesë:

Ne do të bëjmë pica. Mos harroni se si duket pica kur ndahet në tre pjesë:

Një pjesë e kësaj pice dhe dy pjesët që morëm do të kenë të njëjtat dimensione:

Me fjalë të tjera, ne po flasim për pica me të njëjtën madhësi. Prandaj vlera e shprehjes është

Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Shumëzojmë numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e thyesës së dytë dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë:

Përgjigja ishte një fraksion i papërshtatshëm. Le të veçojmë të gjithë pjesën e tij:

Shembulli 3. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Shumëzojmë numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e thyesës së dytë dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë:

Përgjigja doli të ishte një thyesë e rregullt, por do të ishte mirë që të shkurtohej. Për të zvogëluar këtë thyesë, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese me pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) të numrave 105 dhe 450.

Pra, le të gjejmë gcd-në e numrave 105 dhe 450:

Tani e ndajmë numëruesin dhe emëruesin e përgjigjes sonë me gcd që kemi gjetur tani, domethënë me 15

Paraqitja e një numri të plotë si thyesë

Çdo numër i plotë mund të paraqitet si thyesë. Për shembull, numri 5 mund të përfaqësohet si . Kjo nuk do të ndryshojë kuptimin e pesë, pasi shprehja do të thotë "numri pesë i ndarë me një", dhe kjo, siç e dimë, është e barabartë me pesë:

Numrat reciprokë

Tani do të njihemi me një temë shumë interesante në matematikë. Quhet "numra të kundërt".

Përkufizimi. Kthehet në numëra është një numër që, kur shumëzohet mea jep një.

Le të zëvendësojmë në këtë përkufizim në vend të ndryshores a numri 5 dhe përpiquni të lexoni përkufizimin:

Kthehet në numër 5 është një numër që, kur shumëzohet me 5 jep një.

A është e mundur të gjendet një numër që, kur shumëzohet me 5, jep një? Rezulton se është e mundur. Le të imagjinojmë pesë si thyesë:

Pastaj shumëzojeni këtë thyesë me vetveten, thjesht ndërroni numëruesin dhe emëruesin. Me fjalë të tjera, le të shumëzojmë thyesën në vetvete, vetëm me kokë poshtë:

Çfarë do të ndodhë si rezultat i kësaj? Nëse vazhdojmë ta zgjidhim këtë shembull, marrim një:

Kjo do të thotë se anasjellta e numrit 5 është numri, pasi kur shumëzoni 5 me 5, merrni një.

Reciproku i një numri mund të gjendet edhe për çdo numër tjetër të plotë.

Ju gjithashtu mund të gjeni reciproke të çdo thyese tjetër. Për ta bërë këtë, thjesht kthejeni atë.

Pjesëtimi i një thyese me një numër

Le të themi se kemi gjysmë pice:

Le ta ndajmë atë në mënyrë të barabartë në dy. Sa pica do të marrë secili person?

Shihet se pas ndarjes së gjysmës së picës janë marrë dy pjesë të barabarta, secila prej të cilave përbën një picë. Kështu që të gjithë marrin një pica.

Ndarja e thyesave bëhet duke përdorur reciproke. Numrat reciprokë ju lejojnë të zëvendësoni pjesëtimin me shumëzim.

Për të pjesëtuar një thyesë me një numër, duhet të shumëzoni thyesën me inversin e pjesëtuesit.

Duke përdorur këtë rregull, ne do të shkruajmë ndarjen e gjysmës së picës në dy pjesë.

Pra, ju duhet ta ndani thyesën me numrin 2. Këtu dividenti është thyesa dhe pjesëtuesi është numri 2.

Për të pjesëtuar një thyesë me numrin 2, duhet ta shumëzoni këtë thyesë me reciprokun e pjesëtuesit 2. Reciproku i pjesëtuesit 2 është thyesa. Kështu që ju duhet të shumëzoni me

Ky artikull është një vështrim i përgjithshëm i veprimit me thyesa. Këtu do të formulojmë dhe arsyetojmë rregullat e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit dhe fuqizimit të thyesave të formës së përgjithshme A/B, ku A dhe B janë disa numra, shprehje numerike ose shprehje me ndryshore. Si zakonisht, ne do t'i ofrojmë materialit shembuj shpjegues me përshkrime të hollësishme të zgjidhjeve.

Navigimi i faqes.

Rregullat për kryerjen e veprimeve me thyesa të përgjithshme numerike

Le të biem dakord që me thyesa të përgjithshme numerike nënkuptojmë thyesat në të cilat numëruesi dhe/ose emëruesi mund të përfaqësohen jo vetëm me numra natyrorë, por edhe me numra të tjerë ose shprehje numerike. Për qartësi, këtu janë disa shembuj të thyesave të tilla: .

Ne i dimë rregullat me të cilat ato kryhen. Duke përdorur të njëjtat rregulla, mund të kryeni operacione me fraksione të përgjithshme:

Arsyetimi për rregullat

Për të justifikuar vlefshmërinë e rregullave për kryerjen e operacioneve me fraksione të përgjithshme numerike, mund të filloni nga pikat e mëposhtme:

Vija është në thelb një shenjë ndarjeje,
pjesëtimi me një numër jozero mund të konsiderohet si shumëzim me inversin e pjesëtuesit (kjo shpjegon menjëherë rregullin për pjesëtimin e thyesave),
vetitë e veprimeve me numra realë,
dhe kuptimi i tij i përgjithshëm,

Ato ju lejojnë të kryeni transformimet e mëposhtme që justifikojnë rregullat e mbledhjes, zbritjes së thyesave me emërues të ngjashëm dhe të ndryshëm, si dhe rregullin e shumëzimit të thyesave:

Shembuj

Le të japim shembuj të kryerjes së veprimeve me thyesa të përgjithshme sipas rregullave të mësuara në paragrafin e mëparshëm. Le të themi menjëherë se zakonisht pas kryerjes së veprimeve me thyesa, fraksioni që rezulton kërkon thjeshtim, dhe procesi i thjeshtimit të një fraksioni është shpesh më i ndërlikuar sesa kryerja e veprimeve të mëparshme. Ne nuk do të ndalemi në detaje në thjeshtimin e thyesave (transformimet përkatëse diskutohen në artikullin për transformimin e thyesave), në mënyrë që të mos shpërqendrohemi nga tema që na intereson.

Le të fillojmë me shembuj të mbledhjes dhe zbritjes së thyesave me emërues të ngjashëm. Së pari, le të shtojmë thyesat dhe . Natyrisht, emëruesit janë të barabartë. Sipas rregullit përkatës, ne shkruajmë një thyesë, numëruesi i së cilës është i barabartë me shumën e numëruesve të thyesave origjinale dhe e lëmë emëruesin të njëjtë, kemi. Shtimi është bërë, gjithçka që mbetet është të thjeshtohet fraksioni që rezulton: . Pra, .

Zgjidhja mund të ishte trajtuar ndryshe: së pari bëni kalimin në fraksione të zakonshme dhe më pas kryeni mbledhjen. Me këtë qasje kemi .

Tani le të zbresim nga thyesa fraksioni . Emëruesit e thyesave janë të barabartë, prandaj, ne ndjekim rregullin për zbritjen e thyesave me emërues të njëjtë:

Le të kalojmë në shembuj të mbledhjes dhe zbritjes së thyesave me emërues të ndryshëm. Vështirësia kryesore këtu është sjellja e thyesave në një emërues të përbashkët. Për fraksionet e përgjithshme, kjo është një temë mjaft e gjerë, ne do ta shqyrtojmë atë në detaje në një artikull të veçantë. sjellja e thyesave në një emërues të përbashkët. Tani për tani, ne do të kufizohemi në disa rekomandime të përgjithshme, pasi për momentin jemi më të interesuar për teknikën e kryerjes së operacioneve me fraksione.

Në përgjithësi, procesi është i ngjashëm me reduktimin e thyesave të zakonshme në një emërues të përbashkët. Domethënë, emëruesit paraqiten në formë prodhimesh, pastaj merren të gjithë faktorët nga emëruesi i thyesës së parë dhe u shtohen faktorët që mungojnë nga emëruesi i thyesës së dytë.

Kur emëruesit e thyesave që mblidhen ose zbriten nuk kanë faktorë të përbashkët, atëherë është logjike që produkti i tyre të merret si emërues i përbashkët. Le të japim një shembull.

Le të themi se duhet të kryejmë mbledhjen e thyesave dhe 1/2. Këtu, si emërues i përbashkët, është logjike të merret prodhimi i emëruesve të thyesave origjinale, pra . Në këtë rast, faktori shtesë për fraksionin e parë do të jetë 2. Pasi të shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me të, thyesa do të marrë formën . Dhe për thyesën e dytë, faktori shtesë është shprehja. Me ndihmën e tij, thyesa 1/2 zvogëlohet në formën . Mbetet vetëm të shtohen thyesat që rezultojnë me emërues të njëjtë. Këtu është një përmbledhje e të gjithë zgjidhjes:

Në rastin e thyesave të përgjithshme, nuk po flasim më për emëruesin më të ulët të përbashkët, në të cilin zakonisht reduktohen thyesat e zakonshme. Edhe pse në këtë çështje është ende e këshillueshme që të përpiqeni për një minimalizëm. Me këtë duam të themi se nuk duhet të marrësh menjëherë si emërues të përbashkët prodhimin e emëruesve të thyesave origjinale. Për shembull, nuk është aspak e nevojshme të merret emëruesi i përbashkët i thyesave dhe produktit . Këtu mund të marrim.

Le të kalojmë te shembujt e shumëzimit të thyesave të përgjithshme. Le të shumëzojmë thyesat dhe . Rregulli për kryerjen e këtij veprimi na udhëzon të shkruajmë një thyesë, numëruesi i së cilës është prodhimi i numëruesve të thyesave origjinale dhe emëruesi është prodhimi i emëruesve. ne kemi . Këtu, si në shumë raste të tjera kur shumëzoni thyesat, mund ta zvogëloni thyesën: .

Rregulli për ndarjen e thyesave ju lejon të kaloni nga pjesëtimi në shumëzim me thyesën reciproke. Këtu duhet të mbani mend se për të marrë inversin e një thyese të caktuar, duhet të ndërroni numëruesin dhe emëruesin e thyesës së dhënë. Këtu është një shembull i kalimit nga ndarja e thyesave të përgjithshme numerike në shumëzim: . Mbetet vetëm për të kryer shumëzimin dhe për të thjeshtuar fraksionin që rezulton (nëse është e nevojshme, shihni transformimin e shprehjeve irracionale):

Duke përfunduar informacionin në këtë paragraf, kujtoni se çdo numër ose shprehje numerike mund të përfaqësohet si një thyesë me emërues 1, prandaj, mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave dhe thyesave mund të konsiderohet se kryen veprimin përkatës me thyesat, një e cila ka një në emërues . Për shembull, zëvendësimi në shprehje rrënja e tre me një thyesë, kalojmë nga shumëzimi i një thyese me një numër në shumëzimin e dy thyesave: .

Bërja e gjërave me thyesa që përmbajnë ndryshore

Rregullat nga pjesa e parë e këtij neni zbatohen edhe për kryerjen e veprimeve me thyesa që përmbajnë variabla. Le të justifikojmë të parën prej tyre - rregullin për mbledhjen dhe zbritjen e thyesave me emërues identikë, pjesa tjetër vërtetohet absolutisht në të njëjtën mënyrë.

Le të vërtetojmë se për çdo shprehje A, C dhe D (D nuk është identikisht e barabartë me zero) barazia vlen në gamën e tij të vlerave të lejuara të variablave.

Le të marrim një grup të caktuar variablash nga ODZ. Lërini shprehjet A, C dhe D të marrin vlerat a 0, c 0 dhe d 0 për këto vlera të variablave. Më pas zëvendësimi i vlerave të ndryshoreve nga grupi i përzgjedhur në shprehje e kthen atë në një shumë (diferencë) të thyesave numerike me emërues të ngjashëm të formës, të cilat, sipas rregullit të mbledhjes (zbritjes) të thyesave numerike me emërues të ngjashëm. , është e barabartë me . Por zëvendësimi i vlerave të variablave nga grupi i zgjedhur në shprehje e kthen atë në të njëjtin fraksion. Kjo do të thotë që për grupin e zgjedhur të vlerave të ndryshueshme nga ODZ, vlerat e shprehjeve dhe janë të barabarta. Është e qartë se vlerat e shprehjeve të treguara do të jenë të barabarta për çdo grup tjetër vlerash të variablave nga ODZ, që do të thotë se shprehjet janë identike të barabarta, domethënë barazia që vërtetohet është e vërtetë. .

Shembuj të mbledhjes dhe zbritjes së thyesave me ndryshore

Kur emëruesit e thyesave që shtohen ose zbriten janë të njëjtë, atëherë gjithçka është mjaft e thjeshtë - numëruesit shtohen ose zbriten, por emëruesi mbetet i njëjtë. Është e qartë se fraksioni i marrë pas kësaj thjeshtohet nëse është e nevojshme dhe e mundur.

Vini re se ndonjëherë emëruesit e thyesave ndryshojnë vetëm në shikim të parë, por në fakt ato janë shprehje identike të barabarta, si për shembull, dhe , ose dhe . Dhe ndonjëherë mjafton të thjeshtohen thyesat origjinale në mënyrë që të "shfaqen" emëruesit e tyre identikë.

Shembull.

, b) , V) .

Zgjidhje.

a) Duhet të zbresim thyesat me emërues të ngjashëm. Sipas rregullit përkatës, emëruesin e lëmë të njëjtë dhe i zbresim numëruesit, kemi . Aksioni ka përfunduar. Por ju gjithashtu mund të hapni kllapat në numërues dhe të paraqisni terma të ngjashëm: .

b) Natyrisht, emëruesit e thyesave që mblidhen janë të njëjtë. Prandaj, mbledhim numëruesit dhe emëruesin e lëmë të njëjtë: . Shtimi i përfunduar. Por është e lehtë të shihet se fraksioni që rezulton mund të reduktohet. Në të vërtetë, numëruesi i fraksionit që rezulton mund të shembet duke përdorur formulën katrore të shumës si (lgx+2) 2 (shih formulat për shumëzimin e shkurtuar), kështu që ndodhin transformimet e mëposhtme: .

c) Thyesat në shumë kanë emërues të ndryshëm. Por, pasi të keni transformuar një nga thyesat, mund të kaloni në shtimin e thyesave me emërues të njëjtë. Ne do të tregojmë dy zgjidhje.

Mënyra e parë. Emëruesi i thyesës së parë mund të faktorizohet duke përdorur formulën e diferencës së katrorëve dhe më pas ta zvogëloni këtë thyesë: . Kështu,. Ende nuk dëmton të çliroheni nga irracionaliteti në emëruesin e thyesës: .

Mënyra e dytë. Shumëzimi i numëruesit dhe emëruesit të thyesës së dytë me (kjo shprehje nuk zhduket për asnjë vlerë të ndryshores x nga ODZ për shprehjen origjinale) ju lejon të arrini dy qëllime njëherësh: çlirohuni nga irracionaliteti dhe kaloni në shtimin e thyesave me emërues të njëjtë. ne kemi

Përgjigje:

A) , b) , V) .

Shembulli i fundit na solli në çështjen e reduktimit të thyesave në një emërues të përbashkët. Aty pothuajse rastësisht arritëm në të njëjtët emërues duke thjeshtuar një nga thyesat e shtuara. Por në shumicën e rasteve, kur mblidhni dhe zbritni thyesa me emërues të ndryshëm, duhet t'i sillni me qëllim thyesat në një emërues të përbashkët. Për ta bërë këtë, zakonisht emëruesit e thyesave paraqiten në formë prodhimesh, merren të gjithë faktorët nga emëruesi i thyesës së parë dhe u shtohen faktorët që mungojnë nga emëruesi i thyesës së dytë.

Shembull.

Kryeni veprime me thyesa: a) , b) , c) .

Zgjidhje.

a) Nuk ka nevojë të bëhet asgjë me emëruesit e thyesave. Si emërues të përbashkët marrim produktin . Në këtë rast, faktori shtesë për fraksionin e parë është shprehja, dhe për fraksionin e dytë - numri 3. Këta faktorë shtesë i sjellin thyesat në një emërues të përbashkët, i cili më vonë na lejon të kryejmë veprimin që na nevojitet, kemi

b) Në këtë shembull, emëruesit janë paraqitur tashmë si produkte dhe nuk kërkojnë ndonjë transformim shtesë. Natyrisht, faktorët në emërues ndryshojnë vetëm në eksponentë, prandaj, si emërues të përbashkët marrim produktin e faktorëve me eksponentët më të lartë, d.m.th. . Atëherë faktori shtesë për thyesën e parë do të jetë x 4, dhe për të dytën - ln(x+1) . Tani jemi gati të zbresim thyesat:

c) Dhe në këtë rast, fillimisht do të punojmë me emëruesit e thyesave. Formulat për diferencën e katrorëve dhe katrorit të shumës ju lejojnë të kaloni nga shuma origjinale në shprehjen . Tani është e qartë se këto thyesa mund të reduktohen në një emërues të përbashkët . Me këtë qasje, zgjidhja do të duket si kjo:

Përgjigje:

A)

b)

V)

Shembuj të shumëzimit të thyesave me ndryshore

Shumëzimi i thyesave prodhon një thyesë, numëruesi i së cilës është prodhimi i numëruesve të thyesave origjinale, dhe emëruesi është prodhimi i emëruesve. Këtu, siç mund ta shihni, gjithçka është e njohur dhe e thjeshtë, dhe ne mund të shtojmë vetëm se fraksioni i marrë si rezultat i këtij veprimi shpesh rezulton të jetë i reduktueshëm. Në këto raste, ajo zvogëlohet, përveç nëse, natyrisht, është e nevojshme dhe e justifikuar.