Probabiliteti ngjarja është raporti i numrit të rezultateve elementare të favorshme për një ngjarje të caktuar me numrin e të gjitha rezultateve po aq të mundshme të përvojës në të cilën mund të shfaqet kjo ngjarje. Probabiliteti i ngjarjes A shënohet me P(A) (këtu P është shkronja e parë e fjalës franceze probabilite - probabilitet). Sipas përcaktimit
(1.2.1)
ku është numri i rezultateve elementare të favorshme për ngjarjen A; - numri i të gjitha rezultateve elementare po aq të mundshme të eksperimentit, duke formuar një grup të plotë ngjarjesh.
Ky përkufizim i probabilitetit quhet klasik. Ajo u ngrit në fazën fillestare të zhvillimit të teorisë së probabilitetit.

Probabiliteti i një ngjarje ka këto karakteristika:
1. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një. Le të tregojmë një ngjarje të besueshme me shkronjën . Për një ngjarje të caktuar, pra
(1.2.2)
2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero. Le të shënojmë një ngjarje të pamundur me shkronjën . Për një ngjarje të pamundur, pra
(1.2.3)
3. Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme shprehet si numër pozitiv më i vogël se një. Meqenëse për një ngjarje të rastësishme pabarazitë , ose , janë të kënaqura, atëherë
(1.2.4)
4. Probabiliteti i ndonjë ngjarjeje plotëson pabarazitë
(1.2.5)
Kjo rrjedh nga marrëdhëniet (1.2.2) - (1.2.4).

Shembulli 1. Një urnë përmban 10 topa me madhësi dhe peshë të barabartë, nga të cilat 4 janë të kuqe dhe 6 janë blu. Një top nxirret nga urna. Sa është probabiliteti që topi i tërhequr të jetë blu?

Zgjidhje. Ne e shënojmë ngjarjen "topi i tërhequr doli blu" me shkronjën A. Ky test ka 10 rezultate elementare po aq të mundshme, nga të cilat 6 favorizojnë ngjarjen A. Në përputhje me formulën (1.2.1), marrim

Shembulli 2. Të gjithë numrat natyrorë nga 1 deri në 30 shkruhen në letra identike dhe vendosen në një urnë. Pas përzierjes së plotë të letrave, një kartë hiqet nga urna. Sa është probabiliteti që numri në kartën e marrë të jetë shumëfish i 5?

Zgjidhje. Le të shënojmë me A ngjarjen "numri në kartën e marrë është shumëfish i 5". Në këtë test ka 30 rezultate elementare po aq të mundshme, nga të cilat ngjarja A favorizohet nga 6 rezultate (numrat 5, 10, 15, 20, 25, 30). Prandaj,

Shembulli 3. Hidhen dy zare dhe llogaritet shuma e pikëve në faqet e sipërme. Gjeni probabilitetin e ngjarjes B të tillë që faqet e sipërme të zarit të kenë gjithsej 9 pikë.

Zgjidhje. Në këtë test ka vetëm 6 2 = 36 rezultate elementare po aq të mundshme. Ngjarja B favorizohet nga 4 rezultate: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), prandaj

Shembulli 4. Një numër natyror jo më i madh se 10 zgjidhet në mënyrë të rastësishme Sa është probabiliteti që ky numër të jetë i thjeshtë?

Zgjidhje. Le të shënojmë me shkronjën C ngjarjen "numri i zgjedhur është i thjeshtë". Në këtë rast, n = 10, m = 4 (numrat e thjeshtë 2, 3, 5, 7). Prandaj, probabiliteti i kërkuar

Shembulli 5. Hidhen dy monedha simetrike. Sa është probabiliteti që të ketë numra në anët e sipërme të të dy monedhave?

Zgjidhje. Le të shënojmë me shkronjën D ngjarjen "ka një numër në anën e sipërme të çdo monedhe". Në këtë test ka 4 rezultate elementare po aq të mundshme: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Shënimi (G, C) do të thotë që monedha e parë ka një stemë, e dyta ka një numër). Ngjarja D favorizohet nga një rezultat elementar (C, C). Meqenëse m = 1, n = 4, atëherë

Shembulli 6. Sa është probabiliteti që një numër dyshifror i zgjedhur rastësisht të ketë të njëjtat shifra?

Zgjidhje. Numrat dyshifrorë janë numra nga 10 deri në 99; Janë 90 numra të tillë gjithsej 9 numra me shifra identike (këto janë numrat 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Meqenëse në këtë rast m = 9, n = 90, atëherë
,
ku A është ngjarja “numri me shifra identike”.

Shembulli 7. Nga shkronjat e fjalës diferencial Një shkronjë zgjidhet rastësisht. Sa është probabiliteti që kjo shkronjë të jetë: a) një zanore, b) një bashkëtingëllore, c) një shkronjë h?

Zgjidhje. Fjala diferencial ka 12 shkronja, nga të cilat 5 janë zanore dhe 7 bashkëtingëllore. Letrat h nuk ka në këtë fjalë. Le të shënojmë ngjarjet: A - "shkronjë zanore", B - "shkronjë bashkëtingëllore", C - "shkronjë h". Numri i rezultateve elementare të favorshme: - për ngjarjen A, - për ngjarjen B, - për ngjarjen C. Meqenëse n = 12, atëherë
, Dhe .

Shembulli 8. Hidhen dy zare dhe shënohet numri i pikëve në krye të secilit za. Gjeni probabilitetin që të dy zarat të tregojnë të njëjtin numër pikësh.

Zgjidhje. Le ta shënojmë këtë ngjarje me shkronjën A. Ngjarja A favorizohet nga 6 rezultate elementare: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6). ;6). Numri i përgjithshëm i rezultateve elementare po aq të mundshme që formojnë një grup të plotë ngjarjesh, në këtë rast n=6 2 =36. Kjo do të thotë se probabiliteti i kërkuar

Shembulli 9. Libri ka 300 faqe. Sa është probabiliteti që një faqe e hapur rastësisht të ketë një numër serial të pjesëtueshëm me 5?

Zgjidhje. Nga kushtet e problemit rezulton se të gjitha rezultatet elementare po aq të mundshme që formojnë një grup të plotë ngjarjesh do të jenë n = 300. Nga këto, m = 60 favorizojnë ndodhjen e ngjarjes së specifikuar. Në të vërtetë, një numër që është shumëfish i 5-ës ka formën 5k, ku k është një numër natyror dhe , prej nga . Prandaj,
, ku A - ngjarja "faqe" ka një numër sekuence që është shumëfish i 5".

Shembulli 10. Hidhen dy zare dhe llogaritet shuma e pikëve në faqet e sipërme. Çfarë ka më shumë gjasa - të marrësh gjithsej 7 ose 8?

Zgjidhje. Le të shënojmë ngjarjet: A - "7 pikë janë rrotulluar", B - "8 pikë janë rrotulluar". Ngjarja A favorizohet nga 6 rezultate elementare: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) dhe ngjarja B favorizohet me 5 rezultate: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Të gjitha rezultatet elementare po aq të mundshme janë n = 6 2 = 36. Prandaj, Dhe .

Pra, P(A)>P(B), domethënë, marrja e një totali prej 7 pikësh është një ngjarje më e mundshme sesa marrja e një totali prej 8 pikësh.

Detyrat

1. Një numër natyror që nuk kalon 30 zgjidhet në mënyrë të rastësishme Sa është probabiliteti që ky numër të jetë shumëfish i 3-së?
2. Në urnë a e kuqe dhe b topa blu, identike në madhësi dhe peshë. Sa është probabiliteti që një top i nxjerrë rastësisht nga kjo urnë të jetë blu?
3. Një numër jo më i madh se 30 zgjidhet në mënyrë të rastësishme Sa është probabiliteti që ky numër të jetë pjesëtues i 30?
4. Në urnë A blu dhe b topa të kuq, të njëjtë në madhësi dhe peshë. Nga kjo urnë merret një top dhe lihet mënjanë. Ky top doli të ishte i kuq. Pas kësaj, një top tjetër nxirret nga urna. Gjeni probabilitetin që edhe topi i dytë të jetë i kuq.
5. Një numër kombëtar që nuk kalon 50 zgjidhet në mënyrë të rastësishme Sa është probabiliteti që ky numër të jetë i thjeshtë?
6. Hidhen tre zare dhe llogaritet shuma e pikëve në faqet e sipërme. Çfarë ka më shumë gjasa - për të marrë një total prej 9 ose 10 pikësh?
7. Hidhen tre zare dhe llogaritet shuma e pikëve të hedhura. Çfarë ka më shumë gjasa - për të marrë një total prej 11 (ngjarja A) ose 12 pikë (ngjarja B)?

Përgjigjet

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - probabiliteti për të marrë 9 pikë në total; p 2 = 27/216 - probabiliteti për të marrë 10 pikë në total; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Pyetje

1. Si quhet probabiliteti i një ngjarjeje?
2. Sa është probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme?
3. Sa është probabiliteti i një ngjarje të pamundur?
4. Cilat janë kufijtë e probabilitetit të një ngjarjeje të rastësishme?
5. Cilat janë kufijtë e probabilitetit të ndonjë ngjarjeje?
6. Cili përkufizim i probabilitetit quhet klasik?

Përkufizimi klasik dhe statistikor i probabilitetit

Për aktivitete praktike, është e nevojshme të jeni në gjendje të krahasoni ngjarjet sipas shkallës së mundësisë së ndodhjes së tyre. Le të shqyrtojmë një rast klasik. Në urnë ka 10 topa, 8 prej tyre janë të bardhë, 2 janë të zinj. Natyrisht, ngjarja "një top i bardhë do të tërhiqet nga urna" dhe ngjarja "një top i zi do të tërhiqet nga urna" kanë shkallë të ndryshme të mundësisë së shfaqjes së tyre. Prandaj, për të krahasuar ngjarjet, nevojitet një masë e caktuar sasiore.

Një masë sasiore e mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje është probabiliteti . Përkufizimet më të përdorura të probabilitetit të një ngjarjeje janë klasike dhe statistikore.

Përkufizimi klasik probabiliteti shoqërohet me konceptin e një rezultati të favorshëm. Le ta shohim këtë në më shumë detaje.

Lërini rezultatet e disa testeve të formojnë një grup të plotë ngjarjesh dhe janë po aq të mundshme, d.m.th. në mënyrë unike të mundshme, të papajtueshme dhe po aq të mundshme. Rezultate të tilla quhen rezultatet elementare, ose rastet. Thuhet se testi zbret në skema e rastit ose " skema e urnës", sepse Çdo problem probabiliteti për një test të tillë mund të zëvendësohet nga një problem ekuivalent me urna dhe topa me ngjyra të ndryshme.

Rezultati quhet të favorshme ngjarje A, nëse ndodhja e këtij rasti sjell me vete edhe ndodhjen e ngjarjes A.

Sipas përkufizimit klasik probabiliteti i një ngjarjeje A është e barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të rezultateve, d.m.th.

Ku P(A)- probabiliteti i ngjarjes A; m– numri i rasteve të favorshme për ngjarjen A; n– numri i përgjithshëm i rasteve.

Shembulli 1.1. Kur hedh një zare, ka gjashtë rezultate të mundshme: 1, 2, 3, 4, 5, 6 pikë. Sa është probabiliteti për të marrë një numër çift pikësh?

Zgjidhje. Të gjitha n= 6 rezultate formojnë një grup të plotë ngjarjesh dhe janë po aq të mundshme, d.m.th. në mënyrë unike të mundshme, të papajtueshme dhe po aq të mundshme. Ngjarja A - "shfaqja e një numri çift pikësh" - favorizohet nga 3 rezultate (raste) - humbja e 2, 4 ose 6 pikëve. Duke përdorur formulën klasike për probabilitetin e një ngjarjeje, marrim

P(A) = = . ◄

Bazuar në përkufizimin klasik të probabilitetit të një ngjarjeje, vërejmë vetitë e saj:

1. Probabiliteti i ndonjë ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një, d.m.th.

0 ≤ R(A) ≤ 1.

2. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një.

3. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero.

Siç u tha më herët, përkufizimi klasik i probabilitetit është i zbatueshëm vetëm për ato ngjarje që mund të lindin si rezultat i testeve që kanë simetri të rezultateve të mundshme, d.m.th. të reduktueshme në një model rastesh. Megjithatë, ekziston një klasë e madhe ngjarjesh, probabilitetet e të cilave nuk mund të llogariten duke përdorur përkufizimin klasik.

Për shembull, nëse supozojmë se monedha është rrafshuar, atëherë është e qartë se ngjarjet "shfaqja e stemës" dhe "paraqitja e kokave" nuk mund të konsiderohen po aq të mundshme. Prandaj, formula për përcaktimin e probabilitetit sipas skemës klasike nuk është e zbatueshme në këtë rast.

Megjithatë, ekziston një qasje tjetër për të vlerësuar probabilitetin e ngjarjeve, bazuar në atë se sa shpesh do të ndodhë një ngjarje e caktuar në provat e kryera. Në këtë rast, përdoret përkufizimi statistikor i probabilitetit.

Probabiliteti statistikorngjarja A është frekuenca (frekuenca) relative e shfaqjes së kësaj ngjarje në n provat e kryera, d.m.th.

,

(1.2)

Ku P*(A)– probabiliteti statistikor i një ngjarjeje A; w(A)– frekuenca relative e ngjarjes A; m– numri i provave në të cilat ka ndodhur ngjarja A; n- numri i përgjithshëm i testeve.

Ndryshe nga probabiliteti matematik P(A), e konsideruar në përkufizimin klasik, probabiliteti statistikor P*(A)është një karakteristikë me përvojë, eksperimentale. Me fjalë të tjera, probabiliteti statistikor i një ngjarjeje Aështë numri rreth të cilit frekuenca relative stabilizohet (caktohet) w(A) me një rritje të pakufizuar të numrit të testeve të kryera në të njëjtat kushte.

Për shembull, kur thonë për një gjuajtës se ai godet objektivin me një probabilitet prej 0,95, kjo do të thotë se nga qindra të shtëna të tij në kushte të caktuara (i njëjti objektiv në të njëjtën distancë, e njëjta pushkë, etj.). ), mesatarisht janë rreth 95 të suksesshëm. Natyrisht, jo çdo njëqind do të ketë 95 goditje të suksesshme, ndonjëherë do të ketë më pak, ndonjëherë më shumë, por mesatarisht, kur gjuajtja përsëritet shumë herë në të njëjtat kushte, kjo përqindje goditjesh do të mbetet e pandryshuar. Shifra 0.95, e cila shërben si tregues i aftësisë së gjuajtësit, zakonisht është shumë të qëndrueshme, d.m.th. përqindja e goditjeve në shumicën e gjuajtjeve do të jetë pothuajse e njëjtë për një gjuajtës të caktuar, vetëm në raste të rralla që devijojnë ndjeshëm nga vlera mesatare e tij.

Një tjetër disavantazh i përkufizimit klasik të probabilitetit ( 1.1 ) kufizimi i përdorimit të tij është se ai supozon një numër të kufizuar të rezultateve të mundshme të testit. Në disa raste, ky disavantazh mund të kapërcehet duke përdorur një përkufizim gjeometrik të probabilitetit, d.m.th. gjetja e probabilitetit që një pikë të bjerë në një zonë të caktuar (segment, pjesë e një rrafshi etj.).

Lëreni figurën e sheshtë gështë pjesë e një figure të sheshtë G(Fig. 1.1). Përshtatet G një pikë hidhet rastësisht. Kjo do të thotë se të gjitha pikat në rajon G"të drejta të barabarta" në lidhje me atë nëse një pikë e rastësishme e hedhur e godet atë. Duke supozuar se probabiliteti i një ngjarjeje A– pika e hedhur godet figurën g- është proporcionale me sipërfaqen e kësaj figure dhe nuk varet nga vendndodhja e saj në lidhje me G, as nga forma g, do të gjejmë

Ky është raporti i numrit të atyre vëzhgimeve në të cilat ka ndodhur ngjarja në fjalë me numrin e përgjithshëm të vëzhgimeve. Ky interpretim është i pranueshëm në rastin e një numri mjaft të madh vëzhgimesh ose eksperimentesh. Për shembull, nëse rreth gjysma e njerëzve që takoni në rrugë janë gra, atëherë mund të thoni se probabiliteti që personi që takoni në rrugë të jetë grua është 1/2. Me fjalë të tjera, një vlerësim i probabilitetit të një ngjarjeje mund të jetë frekuenca e shfaqjes së saj në një seri të gjatë përsëritjesh të pavarura të një eksperimenti të rastësishëm.

Probabiliteti në matematikë

Në qasjen moderne matematikore, probabiliteti klasik (që është, jo kuantik) jepet nga aksiomatika e Kolmogorov. Probabiliteti është një masë P, e cila përcaktohet në set X, e quajtur hapësira e probabilitetit. Kjo masë duhet të ketë karakteristikat e mëposhtme:

Nga këto kushte del se masa e probabilitetit P ka edhe pronën aditiviteti: nëse vendoset A 1 dhe A 2 mos kryqëzoni, atëherë . Për të vërtetuar, duhet të vendosni gjithçka A 3 , A 4 , ... baraz me grupin bosh dhe zbato vetinë e aditivitetit të numërueshëm.

Masa e probabilitetit mund të mos përcaktohet për të gjitha nëngrupet e grupit X. Mjafton ta përcaktojmë atë në një algjebër sigma, të përbërë nga disa nënbashkësi të grupit X. Në këtë rast, ngjarjet e rastësishme përcaktohen si nënbashkësi të matshme të hapësirës X, pra si elemente të algjebrës sigma.

Ndjenja e probabilitetit

Kur zbulojmë se arsyet për disa fakte të mundshme që ndodhin në të vërtetë tejkalojnë arsyet e kundërta, ne e konsiderojmë atë fakt e mundshme, ndryshe - e pabesueshme. Ky mbizotërim i bazave pozitive ndaj atyre negative, dhe anasjelltas, mund të përfaqësojë një grup të pacaktuar shkallësh, si rezultat i të cilave probabiliteti(Dhe pamundësi) Ndodh më shumë ose më pak .

Faktet komplekse individuale nuk lejojnë një llogaritje të saktë të shkallëve të probabilitetit të tyre, por edhe këtu është e rëndësishme të krijohen disa nënndarje të mëdha. Kështu, për shembull, në fushën juridike, kur një fakt personal objekt gjykimi vërtetohet mbi bazën e dëshmisë, ai mbetet gjithmonë, në mënyrë rigoroze, vetëm i mundshëm dhe duhet ditur se sa e rëndësishme është kjo probabilitet; në të drejtën romake, këtu u miratua një ndarje e katërfishtë: probatio plena(ku probabiliteti praktikisht shndërrohet në besueshmëria), pastaj - probatio minus plena, pastaj - probatio semiplena major dhe në fund probatio semiplena minor .

Përveç çështjes së probabilitetit të çështjes, mund të lindë pyetja, si në fushën e së drejtës ashtu edhe në atë moral (me një këndvështrim të caktuar etik), se sa e mundshme ka që një fakt i caktuar të përbëjë një shkelje e ligjit të përgjithshëm. Kjo pyetje, e cila shërben si motivi kryesor në jurisprudencën fetare të Talmudit, gjithashtu shkaktoi ndërtime sistematike shumë komplekse dhe një literaturë të madhe, dogmatike dhe polemike, në teologjinë morale katolike romake (veçanërisht nga fundi i shekullit të 16-të) shih Probabilizëm).

Koncepti i probabilitetit lejon një shprehje të caktuar numerike kur zbatohet vetëm për fakte të tilla që janë pjesë e serive të caktuara homogjene. Pra (në shembullin më të thjeshtë), kur dikush hedh një monedhë njëqind herë radhazi, ne gjejmë këtu një seri të përgjithshme ose të madhe (shuma e të gjitha rënieve të monedhës), e përbërë nga dy private ose më të vogla, në këtë rast numerikisht. e barabartë, seri (bie " koka" dhe bie "bisht"); Probabiliteti që këtë herë monedha të zbarkojë, domethënë që ky anëtar i ri i serisë së përgjithshme t'i përkasë kësaj prej dy serive më të vogla, është i barabartë me fraksionin që shpreh marrëdhënien numerike midis kësaj serie të vogël dhe asaj më të madhe, gjegjësisht 1/2, domethënë, i njëjti probabilitet i përket njërës ose tjetrës nga dy seri të veçanta. Në shembuj më pak të thjeshtë, përfundimi nuk mund të nxirret drejtpërdrejt nga të dhënat e vetë problemit, por kërkon induksion paraprak. Kështu, për shembull, pyetja është: sa është probabiliteti që një i porsalindur i caktuar të jetojë deri në 80 vjeç? Këtu duhet të ketë një seri të përgjithshme, ose të madhe, të një numri të caktuar njerëzish të lindur në kushte të ngjashme dhe që vdesin në mosha të ndryshme (ky numër duhet të jetë mjaftueshëm i madh për të eliminuar devijimet e rastësishme dhe mjaftueshëm i vogël për të ruajtur homogjenitetin e serisë, për për një person, i lindur, për shembull, në Shën Petersburg në një familje të pasur, të kulturuar, e gjithë popullsia milionashe e qytetit, një pjesë e konsiderueshme e së cilës përbëhet nga njerëz nga grupe të ndryshme që mund të vdesin para kohe - ushtarë, gazetarë, punëtorët në profesione të rrezikshme - përfaqëson një grup shumë heterogjen për një përcaktim real të probabilitetit); le të përbëhet kjo seri e përgjithshme nga dhjetë mijë jetë njerëzore; ai përfshin seri më të vogla që përfaqësojnë numrin e njerëzve që jetojnë në një moshë të caktuar; një nga këto seri më të vogla përfaqëson numrin e njerëzve që jetojnë deri në moshën 80 vjeç. Por është e pamundur të përcaktohet numri i kësaj serie më të vogël (si gjithë të tjerët) a priori; kjo bëhet thjesht në mënyrë induktive, nëpërmjet statistikave. Supozoni se studimet statistikore kanë vërtetuar se nga 10,000 banorë të klasës së mesme në Shën Petersburg, vetëm 45 jetojnë deri në 80 vjeç; Kështu, kjo seri më e vogël lidhet me atë më të madhe pasi 45 është me 10,000, dhe probabiliteti që një person i caktuar t'i përkasë kësaj serie më të vogël, domethënë të jetojë deri në 80 vjeç, shprehet si fraksion 0.0045. Studimi i probabilitetit nga pikëpamja matematikore përbën një disiplinë të veçantë - teorinë e probabilitetit.

Shihni gjithashtu

Shënime

Letërsia

• Alfred Renyi. Letra mbi probabilitetin / trans. nga hungarezja D. Saas dhe A. Crumley, eds. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Kursi i teorisë së probabilitetit. M., 2007. 42 f.
• Kuptsov V.I. Determinizmi dhe probabiliteti. M., 1976. 256 f.

Fondacioni Wikimedia.

Sinonime:

Antonimet

Shihni se çfarë është "Probabiliteti" në fjalorë të tjerë: Të përgjithshme shkencore dhe filozofike. një kategori që tregon shkallën sasiore të mundësisë së shfaqjes së ngjarjeve të rastësishme masive në kushte fikse vëzhgimi, duke karakterizuar qëndrueshmërinë e frekuencave të tyre relative. Në logjikë, shkallë semantike... ...

Enciklopedia Filozofike PROBABILITETI, një numër në rangun nga zero në një përfshirës, ​​që përfaqëson mundësinë e një ngjarjeje të caktuar. Probabiliteti i një ngjarjeje përcaktohet si raporti i numrit të shanseve që një ngjarje të mund të ndodhë me numrin total të mundshëm... ...

Fjalor enciklopedik shkencor dhe teknik Sipas të gjitha gjasave.. Fjalor i sinonimeve ruse dhe shprehjeve të ngjashme. nën. ed. N. Abramova, M.: Fjalorët rusë, 1999. probabiliteti mundësi, probabilitet, rastësi, mundësi objektive, maza, pranueshmëri, rrezik. Ant. pamundesi......

probabiliteti Fjalor sinonimish - Një masë që një ngjarje ka gjasa të ndodhë. Shënim Përkufizimi matematikor i probabilitetit është: "një numër real midis 0 dhe 1 që shoqërohet me një ngjarje të rastësishme". Numri mund të pasqyrojë frekuencën relative në një seri vëzhgimesh... ...

Udhëzues teknik i përkthyesit Probabiliteti - "Një karakteristikë matematikore, numerike e shkallës së mundësisë së ndodhjes së ndonjë ngjarjeje në kushte të caktuara specifike që mund të përsëritet një numër të pakufizuar herë". Bazuar në këtë klasik... ...

Fjalor ekonomik dhe matematikor - (probabiliteti) Mundësia e ndodhjes së një ngjarjeje ose të një rezultati të caktuar. Mund të paraqitet në formën e një shkalle me ndarje nga 0 në 1. Nëse probabiliteti i një ngjarjeje është zero, ndodhja e saj është e pamundur. Me një probabilitet të barabartë me 1, fillimi i...

Fjalor i termave të biznesit

Deri më tani, pothuajse gjithçka për të cilën kemi folur ka qenë përcaktuese, dhe javën e kaluar ne hodhëm një vështrim më të afërt në mekanikën kalimtare, duke hyrë në aq detaje sa mund të shpjegoj. Por deri më tani ne nuk i kemi kushtuar vëmendje një aspekti tjetër të shumë lojërave, përkatësisht aspekteve jo-përcaktuese - me fjalë të tjera, rastësisë.

Kuptimi i natyrës së rastësisë është shumë i rëndësishëm për projektuesit e lojërave. Ne krijojmë sisteme që ndikojnë në përvojën e përdoruesit në një lojë të caktuar, kështu që ne duhet të dimë se si funksionojnë ato sisteme. Nëse ka rastësi në një sistem, ne duhet të kuptojmë natyrën e kësaj rastësie dhe të dimë se si ta ndryshojmë atë në mënyrë që të marrim rezultatet që na duhen.

Zare

Le të fillojmë me diçka të thjeshtë - hedhjen e zarit. Kur shumica e njerëzve mendojnë për zaret, ata mendojnë për një vegël me gjashtë anë të njohur si d6. Por shumica e lojtarëve kanë parë shumë zare të tjerë: katërkëndësh (d4), tetëkëndësh (d8), dymbëdhjetë anësor (d12), njëzet anësor (d20). Nëse jeni një geek i vërtetë, mund të keni zare 30-anësh ose 100-anësh diku.

Nëse nuk jeni të njohur me terminologjinë, d do të thotë die, dhe numri pas tij është numri i anëve që ka. Nëse numri shfaqet para d, atëherë ai tregon numrin e zareve që do të hidhen. Për shembull, në lojën e Monopoly ju rrotulloni 2d6.

Pra, në këtë rast, fraza "zare" është një simbol. Ekziston një numër i madh i gjeneratorëve të tjerë të numrave të rastësishëm që nuk duken si figura plastike, por kryejnë të njëjtin funksion - duke gjeneruar një numër të rastësishëm nga 1 në n. Një monedhë e zakonshme mund të përfaqësohet gjithashtu si një zare dihedral d2.

Pashë dy modele zare me shtatë anë: njëri prej tyre dukej si një zare, dhe tjetri dukej më shumë si një laps prej druri me shtatë anë. Dridel tetrahedral, i njohur gjithashtu si titotum, është i ngjashëm me kockën tetrahedral. Tabela me shigjeta rrotulluese në Chutes & Ladders, ku pikët mund të variojnë nga 1 në 6, korrespondon me një karrige me gjashtë anë.

Gjeneruesi i numrave të rastësishëm të një kompjuteri mund të krijojë çdo numër nga 1 deri në 19 nëse projektuesi e specifikon atë, edhe pse kompjuteri nuk ka një dietë 19-kanëshe (në përgjithësi, unë do të flas më shumë për mundësinë që numrat të dalin në një kompjuter javën e ardhshme). Të gjithë këta artikuj duken të ndryshëm, por në realitet ato janë ekuivalente: ju keni një shans të barabartë për secilin prej disa rezultateve të mundshme.

Zarat kanë disa veti interesante për të cilat duhet të dimë. Së pari, probabiliteti i uljes në të dyja fytyrat është i njëjtë (po supozoj se po rrokullisni një formë të rregullt). Nëse doni të dini vlerën mesatare të një rrotull (për ata që janë në probabilitet, kjo njihet si vlera e pritur), shtoni vlerat në të gjitha skajet dhe ndajeni atë numër me numrin e skajeve.

Shuma e vlerave të të gjitha anëve për një kapelë standarde me gjashtë anë është 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Ndani 21 me numrin e anëve dhe merrni vlerën mesatare të rrotullës: 21 / 6 = 3,5. Ky është një rast i veçantë sepse ne supozojmë se të gjitha rezultatet janë njësoj të mundshme.

Po sikur të keni zare të veçantë? Për shembull, unë pashë një lojë me vegël me gjashtë anë me ngjitëse speciale në anët: 1, 1, 1, 2, 2, 3, kështu që ajo sillet si një vegël e çuditshme me tre anë që ka më shumë gjasa të rrokulliset një 1 sesa një 2. dhe ka më shumë gjasa të rrokulliset një 2 sesa një 3. Cila është mesatarja e rrotullimit për këtë peshore? Pra, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, e ndarë me 6 - rezulton 5/3, ose afërsisht 1.66. Pra, nëse keni një zarre të veçantë dhe lojtarët hedhin tre zare dhe më pas mbledhin rezultatet - ju e dini që hedhja e tyre do të mblidhet në rreth 5, dhe mund ta balanconi lojën bazuar në atë supozim.

Zare dhe Pavarësi

Siç e thashë tashmë, ne vazhdojmë nga supozimi se çdo palë ka të njëjtat gjasa të bjerë jashtë. Nuk ka rëndësi sa zare hidhni. Çdo hedhje zari është e pavarur, që do të thotë se hedhjet e mëparshme nuk ndikojnë në rezultatet e atyre të mëvonshme. Duke pasur parasysh prova të mjaftueshme, ju do të vini re një model numrash - për shembull, duke rrotulluar vlerat kryesisht më të larta ose më të ulëta - ose veçori të tjera, por kjo nuk do të thotë se zari është "i nxehtë" ose "i ftohtë". Ne do të flasim për këtë më vonë.

Nëse rrokullisni një standard standard me gjashtë anë dhe numri 6 del dy herë radhazi, probabiliteti që hedhja e radhës të rezultojë në 6 është saktësisht 1/6. Probabiliteti nuk rritet sepse kapaku është "nxehur". . Në të njëjtën kohë, probabiliteti nuk zvogëlohet: është e pasaktë të arsyetohet që numri 6 ka dalë tashmë dy herë radhazi, që do të thotë se tani duhet të dalë një anë tjetër.

Natyrisht, nëse e rrotulloni një kësulë njëzet herë dhe merrni një 6 çdo herë, mundësia që hera e njëzet e parë që të rrotulloni një 6 është mjaft e lartë: ndoshta ju keni thjesht një kokrra të gabuar. Por nëse kapa është e drejtë, secila palë ka të njëjtën probabilitet të uljes, pavarësisht nga rezultatet e rrotullave të tjera. Ju gjithashtu mund të imagjinoni që ne e zëvendësojmë kërpudhat çdo herë: nëse numri 6 rrotullohet dy herë radhazi, hiqni kutinë "e nxehtë" nga loja dhe zëvendësojeni me një të re. Kërkoj falje nëse ndonjëri prej jush e dinte tashmë për këtë, por më duhej ta sqaroja këtë përpara se të vazhdoja.

Si ta bëni zarin të hidhet pak a shumë rastësisht

Le të flasim se si të arrijmë rezultate të ndryshme në zare të ndryshëm. Pavarësisht nëse e rrotulloni një kërpudhë vetëm një herë ose disa herë, loja do të ndihet më e rastësishme kur koka ka më shumë anë. Sa më shpesh të duhet të hedhësh zare, dhe sa më shumë zare të hedhësh, aq më shumë rezultatet i afrohen mesatares.

Për shembull, në rastin e 1d6 + 4 (d.m.th., nëse rrokulliset një gëzhojë standarde me gjashtë anë një herë dhe shtoni 4 në rezultat), mesatarja do të ishte një numër midis 5 dhe 10. Nëse rrotulloni 5d2, mesatarja do të ishte gjithashtu një numër midis 5 dhe 10. Rezultatet e rrotullimit të 5d2 do të jenë kryesisht numrat 7 dhe 8, më rrallë vlera të tjera. E njëjta seri, madje e njëjta vlerë mesatare (në të dyja rastet 7.5), por natyra e rastësisë është e ndryshme.

Prisni një minutë. A nuk thashë vetëm se zari nuk "nxehet" apo "ftohet"? Tani them: nëse hidhni shumë zare, rezultatet e rrotullimeve do t'i afrohen mesatares. Pse?

Më lejoni të shpjegoj. Nëse rrokullisni një kërpudhë, secila anë ka të njëjtën probabilitet të uljes. Kjo do të thotë që nëse hidhni shumë zare me kalimin e kohës, secila anë do të dalë afërsisht me të njëjtin numër herë. Sa më shumë zare të hidhni, aq më shumë rezultati total do t'i afrohet mesatares.

Kjo nuk ndodh sepse numri i tërhequr “detyron” të vizatohet një numër tjetër që nuk është tërhequr ende. Por sepse një seri e vogël e nxjerrjes së numrit 6 (ose 20, ose një numër tjetër) në fund nuk do të ndikojë aq shumë në rezultatin nëse hidhni zarin dhjetë mijë herë të tjera dhe kryesisht do të dalë numri mesatar. Tani do të merrni disa numra të mëdhenj, dhe më vonë disa të vegjël - dhe me kalimin e kohës ata do t'i afrohen mesatares.

Kjo nuk është për shkak se hedhjet e mëparshme ndikojnë në zarin (seriozisht, zari është prej plastike, nuk ka trurin të mendojë, "Oh, ka kohë që keni hedhur një 2"), por sepse kjo është ajo që zakonisht ndodh kur hidhni shumë zare

Kështu, është mjaft e lehtë të bësh llogaritjet për një hedhje të rastësishme të zarit - të paktën për të llogaritur vlerën mesatare të hedhjes. Ka edhe mënyra për të llogaritur "sa e rastësishme" është diçka dhe të thuhet se rezultatet e rrotullimit të 1d6+4 do të jenë "më të rastësishme" se 5d2. Për 5d2, rrotullat do të shpërndahen më në mënyrë të barabartë. Për ta bërë këtë, duhet të llogaritni devijimin standard: sa më e madhe të jetë vlera, aq më të rastësishme do të jenë rezultatet. Nuk do të doja të bëja kaq shumë llogaritje sot, këtë temë do ta shpjegoj më vonë.

E vetmja gjë që do t'ju kërkoj të mbani mend është se, si rregull i përgjithshëm, sa më pak zare të hidhni, aq më i madh është rastësia. Dhe sa më shumë anë të ketë një kërpudhë, aq më i madh është rastësia, pasi ka më shumë opsione të mundshme të vlerës.

Si të llogarisni probabilitetin duke përdorur numërimin

Ju mund të pyesni veten: si mund të llogarisim probabilitetin e saktë për të marrë një rezultat të caktuar? Në fakt, kjo është mjaft e rëndësishme për shumë lojëra: nëse fillimisht hidhni zare - ka shumë të ngjarë që të ketë një lloj rezultati optimal. Përgjigja ime është: duhet të llogarisim dy vlera. Së pari, numri i përgjithshëm i rezultateve gjatë hedhjes së një koke, dhe së dyti, numri i rezultateve të favorshme. Pjestimi i vlerës së dytë me të parën do t'ju japë probabilitetin e dëshiruar. Për të marrë përqindjen, shumëzojeni rezultatin me 100.

Shembuj

Ja një shembull shumë i thjeshtë. Ju dëshironi që numri 4 ose më i lartë të rrokulliset një herë bidonin me gjashtë anë. Numri maksimal i rezultateve është 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Nga këto, 3 rezultate (4, 5, 6) janë të favorshme. Kjo do të thotë që për të llogaritur probabilitetin, pjesëtojmë 3 me 6 dhe marrim 0.5 ose 50%.

Ja një shembull pak më i ndërlikuar. Ju dëshironi një numër çift kur rrotulloni 2d6. Numri maksimal i rezultateve është 36 (6 opsione për secilin kërpudhë, njëra nuk ndikon në tjetrën, kështu që shumëzoni 6 me 6 dhe merrni 36). Vështirësia me këtë lloj pyetjeje është se është e lehtë të numërosh dy herë. Për shembull, kur rrotulloni 2d6, ka dy rezultate të mundshme prej 3: 1+2 dhe 2+1. Ata duken njësoj, por ndryshimi është se cili numër shfaqet në distinën e parë dhe cili numër shfaqet në të dytin.

Ju gjithashtu mund të imagjinoni se zari janë me ngjyra të ndryshme: kështu, për shembull, në këtë rast, njëri zare është i kuq dhe tjetri është blu. Pastaj numëroni numrin e opsioneve për rrotullimin e një numri çift:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Rezulton se ka 18 opsione për një rezultat të favorshëm nga 36 - si në rastin e mëparshëm, probabiliteti është 0.5 ose 50%. Ndoshta e papritur, por mjaft e saktë.

Simulimi i Monte Carlo

Po sikur të keni shumë zare për këtë llogaritje? Për shembull, ju dëshironi të dini se sa është probabiliteti për të marrë një total prej 15 ose më shumë kur rrotulloni 8d6. Ka një numër të madh rezultatesh të ndryshme për tetë zare, dhe numërimi i tyre me dorë do të merrte një kohë shumë të gjatë - edhe nëse mund të gjenim një zgjidhje të mirë për të grupuar grupe të ndryshme të hedhjes së zareve.

Në këtë rast, mënyra më e lehtë nuk është të numërosh manualisht, por të përdorësh një kompjuter. Ekzistojnë dy mënyra për të llogaritur probabilitetin në një kompjuter. Metoda e parë mund t'ju japë një përgjigje të saktë, por përfshin pak programim ose skriptim. Kompjuteri do të shikojë çdo mundësi, do të vlerësojë dhe numërojë numrin total të përsëritjeve dhe numrin e përsëritjeve që përputhen me rezultatin e dëshiruar dhe më pas do të japë përgjigjet. Kodi juaj mund të duket diçka si kjo:

Nëse nuk e kuptoni programimin dhe keni nevojë për një përgjigje të përafërt dhe jo të saktë, mund ta simuloni këtë situatë në Excel, ku rrotulloni 8d6 disa mijëra herë dhe merrni përgjigjen. Për të rrotulluar 1d6 në Excel, përdorni formulën =KATI(RAND()*6)+1.

Ka një emër për situatën kur nuk e dini përgjigjen dhe thjesht provoni shumë herë - simulimi i Monte Carlo. Kjo është një zgjidhje e shkëlqyer për t'u përdorur kur llogaritja e probabilitetit është shumë e vështirë. Gjëja më e mirë është se në këtë rast nuk kemi nevojë të kuptojmë se si funksionon matematika dhe e dimë se përgjigja do të jetë "shumë e mirë", sepse, siç e dimë tashmë, sa më shumë rrotullime, aq më shumë rezultati i afrohet rezultatit. mesatare.

Si të kombinohen provat e pavarura

Nëse pyet për prova të shumta të përsëritura, por të pavarura, rezultati i një rrotullimi nuk ndikon në rezultatet e provave të tjera. Ekziston një shpjegim tjetër më i thjeshtë për këtë situatë.

Si të dallojmë diçka të varur dhe të pavarur? Në thelb, nëse mund të izoloni çdo hedhje (ose seri gjuajtjesh) të një trupi si një ngjarje më vete, atëherë ajo është e pavarur. Për shembull, hedhim 8d6 dhe duam gjithsej 15. Kjo ngjarje nuk mund të ndahet në disa hedhje të pavarura zare. Për të marrë rezultatin, ju llogaritni shumën e të gjitha vlerave, kështu që rezultati që del në një kërpudhë ndikon në rezultatet që duhet të dalin në të tjerët.

Këtu është një shembull i hedhjeve të pavarura: Ju jeni duke luajtur një lojë me zare dhe po hedhni zare në gjashtë anë shumë herë. Roli i parë duhet të jetë 2 ose më i lartë për të qëndruar në lojë. Për hedhjen e dytë - 3 ose më shumë. E treta kërkon një 4 ose më të lartë, e katërta kërkon një 5 ose më të lartë dhe e pesta kërkon një 6. Nëse të pesë rrotullat janë të suksesshme, ju fitoni. Në këtë rast, të gjitha hedhjet janë të pavarura. Po, nëse një gjuajtje është e pasuksesshme, do të ndikojë në rezultatin e të gjithë lojës, por një gjuajtje nuk ndikon në tjetrën. Për shembull, nëse hedhja juaj e dytë e zareve është shumë e suksesshme, kjo nuk do të thotë se hedhjet e ardhshme do të jenë aq të mira. Prandaj, ne mund të konsiderojmë probabilitetin e secilës hedhje të zareve veç e veç.

Nëse keni probabilitete të pavarura dhe dëshironi të dini sa është probabiliteti që të gjitha ngjarjet të ndodhin, ju përcaktoni çdo probabilitet individual dhe i shumëzoni ato së bashku. Një mënyrë tjetër: nëse përdorni lidhjen "dhe" për të përshkruar disa kushte (për shembull, sa është probabiliteti i ndodhjes së një ngjarje të rastësishme dhe një ngjarje tjetër të rastësishme të pavarur?) - numëroni probabilitetet individuale dhe shumëzojini ato.

Pavarësisht se çfarë mendoni, mos shtoni kurrë probabilitete të pavarura. Ky është një gabim i zakonshëm. Për të kuptuar pse kjo është e gabuar, imagjinoni një situatë ku po hidhni një monedhë dhe dëshironi të dini se sa është probabiliteti për të marrë koka dy herë radhazi. Probabiliteti që secila palë të bjerë është 50%. Nëse mblidhni këto dy probabilitete, ju merrni një shans 100% për të marrë koka, por ne e dimë se kjo nuk është e vërtetë sepse mund të ketë qenë bishta dy herë radhazi. Nëse në vend të kësaj shumëzoni dy probabilitetet, ju merrni 50% * 50% = 25% - që është përgjigja e saktë për llogaritjen e probabilitetit për të marrë koka dy herë radhazi.

Shembull

Le të kthehemi te loja e zareve me gjashtë anë, ku fillimisht duhet të hedhësh një numër më të madh se 2, më pas më të madh se 3 - dhe kështu me radhë deri në 6. Cilat janë shanset që në një seri të caktuar prej pesë hedhjeve të gjitha rezultatet të jenë të favorshme ?

Siç u tha më lart, këto janë prova të pavarura, kështu që ne llogarisim probabilitetin për secilën rrotull individuale dhe më pas i shumëzojmë ato së bashku. Probabiliteti që rezultati i rrotullimit të parë të jetë i favorshëm është 5/6. E dyta - 4/6. E treta - 3/6. E katërta - 2/6, e pesta - 1/6. Ne i shumëzojmë të gjitha rezultatet me njëri-tjetrin dhe marrim afërsisht 1.5%. Fitoret në këtë lojë janë mjaft të rralla, kështu që nëse shtoni këtë element në lojën tuaj, do t'ju duhet një çmim i parë mjaft i madh.

Negacion

Këtu është një këshillë tjetër e dobishme: ndonjëherë është e vështirë të llogaritet probabiliteti që një ngjarje të ndodhë, por është më e lehtë të përcaktosh shanset që një ngjarje të mos ndodhë. Për shembull, le të themi se kemi një lojë tjetër: ju hidhni 6d6 dhe fitoni nëse hidhni një 6 të paktën një herë.

Në këtë rast, ka shumë opsione për t'u marrë parasysh. Është e mundur që një numër 6 të hidhet, domethënë, njëri prej zareve do të tregojë numrin 6, dhe të tjerët do të tregojë numrat nga 1 në 5, pastaj ka 6 opsione se cili nga zari do të tregojë 6. Ju mund të merrni numrin 6 në dy zare, ose tre, ose edhe më shumë, dhe çdo herë do t'ju duhet të bëni një llogaritje të veçantë, kështu që është e lehtë të ngatërrohesh këtu.

Por le ta shohim problemin nga ana tjetër. Ju do të humbni nëse asnjë nga zari nuk hedh një 6. Në këtë rast kemi 6 prova të pavarura. Probabiliteti që çdo za të hedh një numër të ndryshëm nga 6 është 5/6. Shumëzojini ato dhe merrni rreth 33%. Kështu, probabiliteti për të humbur është një në tre. Prandaj, probabiliteti për të fituar është 67% (ose dy deri në tre).

Nga ky shembull është e qartë: nëse llogaritni probabilitetin që një ngjarje të mos ndodhë, duhet të zbrisni rezultatin nga 100%. Nëse probabiliteti për të fituar është 67%, atëherë probabiliteti për të humbur është 100% minus 67%, ose 33%, dhe anasjelltas. Nëse është e vështirë të llogaritet një probabilitet, por është e lehtë të llogaritet e kundërta, llogarisni të kundërtën dhe më pas zbriteni atë numër nga 100%.

Ne kombinojmë kushtet për një test të pavarur

Thashë pak më lart se nuk duhet të shtoni kurrë probabilitete nëpër prova të pavarura. A ka raste kur është e mundur të përmblidhen probabilitetet? Po, në një situatë të veçantë.

Nëse dëshironi të llogaritni probabilitetin për disa rezultate të favorshme të palidhura në një provë të vetme, përmblidhni probabilitetet e secilit rezultat të favorshëm. Për shembull, probabiliteti i rrotullimit të numrave 4, 5 ose 6 në 1d6 është i barabartë me shumën e probabilitetit të rrotullimit të numrit 4, probabilitetit të numrit 5 dhe probabilitetit të Numrit 6. Kjo situatë mund të paraqitet si vijon: nëse përdorni lidhjen "ose" në një pyetje rreth probabilitetit (për shembull, cila është probabiliteti i një ose një tjetër rezultati të një ngjarjeje të rastësishme?) - llogaritni probabilitetet individuale dhe përmblidhni ato.

Ju lutemi vini re: kur llogaritni të gjitha rezultatet e mundshme të një loje, shuma e probabiliteteve të ndodhjes së tyre duhet të jetë e barabartë me 100%, përndryshe llogaritja juaj është bërë gabim. Kjo është një mënyrë e mirë për të kontrolluar dy herë llogaritjet tuaja. Për shembull, ju keni analizuar probabilitetin e të gjitha kombinimeve në poker. Nëse mblidhni të gjitha rezultatet tuaja, duhet të merrni saktësisht 100% (ose të paktën afërsisht 100%: nëse përdorni një kalkulator, mund të ketë një gabim të vogël rrumbullakimi, por nëse i mblidhni numrat e saktë me dorë, gjithçka duhet të mblidhen). Nëse shuma nuk konvergon, do të thotë që me shumë mundësi nuk keni marrë parasysh disa kombinime ose keni llogaritur gabimisht probabilitetet e disa kombinimeve, dhe llogaritjet duhet të kontrollohen dy herë.

Probabilitete të pabarabarta

Deri më tani, ne kemi supozuar se secila anë e një pote hidhet në të njëjtën frekuencë, sepse kështu duket se funksionojnë zari. Por ndonjëherë mund të hasni në një situatë ku rezultate të ndryshme janë të mundshme dhe ato kanë shanse të ndryshme për t'u tërhequr.

Për shembull, në një nga shtesat e lojës me letra Lufta Bërthamore ka një fushë loje me një shigjetë, nga e cila varet rezultati i lëshimit të raketës. Më shpesh ajo shkakton dëme normale, më të forta ose më të dobëta, por ndonjëherë dëmi dyfishohet ose trefishohet, ose raketa shpërthen në platformën e lëshimit dhe ju lëndon, ose ndodh ndonjë ngjarje tjetër. Ndryshe nga tabela me shigjeta në Chutes & Ladders ose A Game of Life, rezultatet e bordit të lojës në Luftën Bërthamore janë të pabarabarta. Disa seksione të fushës së lojës janë më të mëdha dhe shigjeta ndalon mbi to shumë më shpesh, ndërsa seksionet e tjera janë shumë të vogla dhe shigjeta ndalet në to rrallë.

Pra, në shikim të parë, diapa duket diçka si kjo: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - ne kemi folur tashmë për të, është diçka si një 1d3 e peshuar. Prandaj, duhet t'i ndajmë të gjitha këto seksione në pjesë të barabarta, të gjejmë njësinë më të vogël të matjes, pjesëtuesi i së cilës gjithçka është shumëfish, dhe më pas të paraqesim situatën në formën e d522 (ose ndonjë tjetër), ku grupi i zareve fytyrat do të përfaqësojnë të njëjtën situatë, por me më shumë rezultate. Kjo është një mënyrë për të zgjidhur problemin, dhe është teknikisht e realizueshme, por ekziston një opsion më i thjeshtë.

Le të kthehemi te zaret tona standarde me gjashtë anë. Ne kemi thënë që për të llogaritur rrotullimin mesatar për një kërpudhë normale, duhet të shtoni vlerat në të gjitha fytyrat dhe të ndani me numrin e fytyrave, por si funksionon saktësisht llogaritja? Ka një mënyrë tjetër për ta shprehur këtë. Për një vegël me gjashtë anë, probabiliteti që secila anë të rrotullohet është saktësisht 1/6. Tani e shumëzojmë rezultatin e çdo skaji me probabilitetin e atij rezultati (në këtë rast, 1/6 për secilën skaj), dhe më pas mbledhim vlerat që rezultojnë. Kështu, duke përmbledhur (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), marrim të njëjtin rezultat (3.5) si në llogaritjen e mësipërme. Në fakt, ne numërojmë në këtë mënyrë çdo herë: ne shumëzojmë çdo rezultat me probabilitetin e atij rezultati.

A mund të bëjmë të njëjtën llogaritje për shigjetën në fushën e lojës në Luftën Bërthamore? Sigurisht që mundemi. Dhe nëse përmbledhim të gjitha rezultatet e gjetura, do të marrim vlerën mesatare. Gjithçka që duhet të bëjmë është të llogarisim probabilitetin e çdo rezultati për shigjetën në tabelën e lojës dhe të shumëzojmë me vlerën e rezultatit.

Një shembull tjetër

Kjo metodë e llogaritjes së mesatares është gjithashtu e përshtatshme nëse rezultatet janë njësoj të mundshme, por kanë avantazhe të ndryshme - për shembull, nëse rrokullisni një copë dhe fitoni më shumë në disa anë se të tjerat. Për shembull, le të marrim një lojë kazino: ju vendosni një bast dhe vendosni 2d6. Nëse futen tre numra me vlerë të ulët (2, 3, 4) ose katër numra me vlerë të lartë (9, 10, 11, 12), ju do të fitoni një shumë të barabartë me bastin tuaj. Numrat me vlerat më të ulëta dhe më të larta janë të veçanta: nëse vendosni një 2 ose një 12, ju fitoni dyfishin e bastit tuaj. Nëse vendoset ndonjë numër tjetër (5, 6, 7, 8), ju do të humbni bastin tuaj. Kjo është një lojë mjaft e thjeshtë. Por sa është probabiliteti për të fituar?

Le të fillojmë duke numëruar sa herë mund të fitoni. Numri maksimal i rezultateve kur rrotullohet 2d6 është 36. Cili është numri i rezultateve të favorshme?

• Ekziston 1 opsion që do të rrotullohet një 2 dhe 1 opsion që një 12 do të rrotullohet.
• Ka 2 opsione që 3 do të rrotullohen dhe 2 opsione që 11 do të rrotullohen.
• Ka 3 opsione që një 4 do të rrokulliset, dhe 3 opsione që një 10 do të rrotullohet.
• Ekzistojnë 4 opsione për të rrotulluar një 9.

Duke përmbledhur të gjitha opsionet, marrim 16 rezultate të favorshme nga 36. Kështu, në kushte normale, ju do të fitoni 16 herë nga 36 të mundshme - probabiliteti për të fituar është pak më pak se 50%.

Por në dy raste nga këto gjashtëmbëdhjetë ju do të fitoni dy herë më shumë - është si të fitoni dy herë. Nëse e luani këtë lojë 36 herë, duke vënë bast 1 dollarë çdo herë, dhe secili prej të gjitha rezultateve të mundshme vjen një herë, ju do të fitoni gjithsej 18 dollarë (në fakt do të fitoni 16 herë, por dy prej tyre do të llogariten si dy fitore ). Nëse luani 36 herë dhe fitoni 18 dollarë, a nuk do të thotë kjo që shanset janë të barabarta?

Merrni kohën tuaj. Nëse numëroni numrin e herëve që mund të humbni, do të përfundoni me 20, jo 18. Nëse luani 36 herë, duke vënë bast 1$ çdo herë, do të fitoni gjithsej 18$ nëse arrini të gjitha zgjedhjet fituese. Por ju do të humbni një total prej 20 dollarë nëse merrni të gjitha 20 rezultatet e pafavorshme. Si rezultat, do të mbeteni pak prapa: humbni mesatarisht 2 dollarë neto për çdo 36 lojëra (mund të thoni gjithashtu se humbni mesatarisht 1/18 e dollarit në ditë). Tani e shihni se sa e lehtë është të bëni një gabim në këtë rast dhe të llogarisni gabimisht probabilitetin.

Rirregullimi

Deri më tani kemi supozuar se rendi i numrave gjatë hedhjes së zarit nuk ka rëndësi. Rrotullimi 2 + 4 është i njëjtë me rrotullimin 4 + 2. Në shumicën e rasteve, ne numërojmë manualisht numrin e rezultateve të favorshme, por ndonjëherë kjo metodë është jopraktike dhe është më mirë të përdoret një formulë matematikore.

Një shembull i kësaj situate është nga loja me zare Farkle. Për çdo raund të ri, ju rrotulloni 6d6. Nëse jeni me fat dhe merrni të gjitha rezultatet e mundshme 1-2-3-4-5-6 (drejt), do të merrni një bonus të madh. Sa janë gjasat që kjo të ndodhë? Në këtë rast, ka shumë mundësi për marrjen e këtij kombinimi.

Zgjidhja është si më poshtë: njëri prej zareve (dhe vetëm një) duhet të ketë numrin 1. Në sa mënyra mund të shfaqet numri 1 në një za? Ka 6 opsione, pasi ka 6 zare, dhe secili prej tyre mund të bjerë në numrin 1. Prandaj, merrni një zare dhe lëreni mënjanë. Tani një nga zarat e mbetur duhet të hedhë numrin 2. Ekzistojnë 5 opsione për këtë. Merrni një tjetër zare dhe lëreni mënjanë. Pastaj 4 nga zaret e mbetur mund të vendosin numrin 3, 3 nga zaret e mbetura mund të vendosin numrin 4 dhe 2 nga zaret e mbetura mund të vendosin numrin 5. Si rezultat, ju mbetet një zar, i cili duhet të vendosë numri 6 (në rastin e fundit, zari ka vetëm një kockë, dhe nuk ka zgjidhje).

Për të llogaritur numrin e rezultateve të favorshme për goditjen e drejtë, ne shumëzojmë të gjitha mundësitë e ndryshme të pavarura: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - duket se ka një numër mjaft të madh mundësish që ky kombinim të dalë. .

Për të llogaritur probabilitetin për të marrë një të drejtë, duhet të ndajmë 720 me numrin e të gjitha rezultateve të mundshme për rrotullimin e 6d6. Sa është numri i të gjitha rezultateve të mundshme? Çdo kërpudhë mund të ketë 6 anë, kështu që ne shumëzojmë 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (një numër shumë më i madh se ai i mëparshmi). Ndani 720 me 46656 dhe marrim një probabilitet prej afërsisht 1.5%. Nëse po e projektonit këtë lojë, do të ishte e dobishme për ju ta dini këtë në mënyrë që të krijoni një sistem vlerësimi në përputhje me rrethanat. Tani e kuptojmë pse në Farkle ju merrni një bonus kaq të madh nëse merrni një të drejtë: kjo është një situatë mjaft e rrallë.

Rezultati është interesant edhe për një arsye tjetër. Shembulli tregon se sa rrallë në një periudhë të shkurtër ndodh një rezultat që korrespondon me probabilitetin. Sigurisht, nëse do të hidhnim disa mijëra zare, anët e ndryshme të zareve do të dilnin mjaft shpesh. Por kur hedhim vetëm gjashtë zare, pothuajse kurrë nuk ndodh që çdo fytyrë të dalë lart. Bëhet e qartë se është marrëzi të presësh që tani do të shfaqet një rresht që nuk ka ndodhur ende, sepse "ne nuk e kemi rrokullisur numrin 6 për një kohë të gjatë". Dëgjoni, gjeneratori juaj i numrave të rastësishëm është i prishur.

Kjo na çon në keqkuptimin e zakonshëm se të gjitha rezultatet ndodhin në të njëjtën frekuencë për një periudhë të shkurtër kohore. Nëse hedhim zare disa herë, frekuenca e rënies së secilës anë nuk do të jetë e njëjtë.

Nëse keni punuar ndonjëherë në një lojë online me një lloj gjeneruesi të numrave të rastësishëm më parë, ka shumë të ngjarë të keni hasur në një situatë ku një lojtar i shkruan mbështetjes teknike duke u ankuar se gjeneruesi i numrave të rastësishëm nuk po tregon numra të rastësishëm. Ai arriti në këtë përfundim sepse vrau 4 përbindësha me radhë dhe mori 4 shpërblime saktësisht të njëjta, dhe këto shpërblime duhet të shfaqen vetëm 10% të rasteve, kështu që kjo padyshim nuk duhet të ndodhë pothuajse kurrë.

Ju jeni duke bërë një llogaritje matematikore. Probabiliteti është 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, domethënë, 1 rezultat në 10 mijë është një rast mjaft i rrallë. Kjo është ajo që lojtari po përpiqet t'ju tregojë. A ka ndonjë problem në këtë rast?

E gjitha varet nga rrethanat. Sa lojtarë janë aktualisht në serverin tuaj? Le të themi se keni një lojë mjaft të njohur dhe 100 mijë njerëz e luajnë atë çdo ditë. Sa lojtarë mund të vrasin katër monstra me radhë? Ndoshta të gjitha, disa herë në ditë, por le të supozojmë se gjysma e tyre thjesht tregtojnë artikuj të ndryshëm në ankande, bisedojnë në serverët RP ose kryejnë aktivitete të tjera brenda lojës - kështu që vetëm gjysma e tyre janë duke gjuajtur përbindësha. Sa është probabiliteti që dikush të marrë të njëjtin shpërblim? Në këtë situatë, mund të prisni që kjo të ndodhë të paktën disa herë në ditë.

Meqë ra fjala, kjo është arsyeja pse duket sikur çdo disa javë dikush fiton llotarinë, edhe nëse ai dikush nuk ka qenë kurrë ju ose dikush që njihni. Nëse mjaft njerëz luajnë rregullisht, shanset janë që të ketë të paktën një lojtar me fat diku. Por nëse luani vetë lotarinë, atëherë nuk ka gjasa të fitoni, por përkundrazi do të ftoheni të punoni në Infinity Ward.

Kartat dhe varësia

Ne kemi diskutuar ngjarje të pavarura, të tilla si rrotullimi i një koke, dhe tani njohim shumë mjete të fuqishme për të analizuar rastësinë në shumë lojëra. Llogaritja e probabilitetit është pak më e komplikuar kur bëhet fjalë për tërheqjen e letrave nga kuverta, sepse çdo letër që nxjerrim ndikon në ato që mbeten në kuvertë.

Nëse keni një kuvertë standarde me 52 letra, ju hiqni 10 zemra prej saj dhe dëshironi të dini probabilitetin që letra tjetër të jetë e të njëjtit kostum - probabiliteti ka ndryshuar nga origjinali sepse ju keni hequr tashmë një kartë të kostumit e zemrave nga kuverta. Çdo kartë që hiqni ndryshon probabilitetin që karta tjetër të shfaqet në kuvertë. Në këtë rast, ngjarja e mëparshme ndikon në tjetrën, kështu që ne e quajmë këtë probabilitet të varur.

Ju lutemi vini re se kur them "karta" po flas për çdo mekanik të lojës ku keni një grup objektesh dhe ju hiqni një nga objektet pa e zëvendësuar atë. Një "kuvertë letrash" në këtë rast është analoge me një qese patate të skuqura nga e cila ju merrni një çip, ose një urnë nga e cila merren topa me ngjyra (Unë kurrë nuk kam parë lojëra me një urnë nga e cila merren topa me ngjyra, por mësuesit i teorisë së probabilitetit për çfarë -arsye pse preferohet ky shembull).

Vetitë e varësisë

Unë do të doja të sqaroja se kur bëhet fjalë për letra, po supozoj se ju tërheqni letra, i shikoni ato dhe i hiqni nga kuverta. Secili prej këtyre veprimeve është një pronë e rëndësishme. Nëse do të kisha një kuvertë me, të themi, gjashtë letra me numrat 1 deri në 6, do t'i përzieja ato dhe do të tërhiqja një letër, pastaj do t'i përzieja të gjashtë letrat përsëri - kjo do të ishte e ngjashme me hedhjen e një karte me gjashtë anë, sepse një rezultat ka asnjë efekt për të rradhët. Dhe nëse heq kartat dhe nuk i zëvendësoj, atëherë duke hequr kartën 1, kam më shumë gjasa që herën tjetër të nxjerr një kartë me numrin 6. Probabiliteti vazhdon të rritet derisa të heq përfundimisht atë kartë ose përzie kuvertën.

Fakti që po shikojmë kartat është gjithashtu i rëndësishëm. Nëse nxjerr një kartë nga kuverta dhe nuk e shikoj, nuk do të kem asnjë informacion shtesë dhe probabiliteti nuk do të ndryshojë në fakt. Kjo mund të tingëllojë kundërintuitive. Si mund të ndryshojë në mënyrë magjike shanset thjesht rrokullisja e një karte? Por është e mundur sepse ju mund të llogarisni probabilitetin për artikuj të panjohur vetëm nga ajo që dini.

Për shembull, nëse përzieni një kuvertë standarde letrash dhe zbuloni 51 letra dhe asnjëra prej tyre nuk është mbretëreshë e klubeve, atëherë mund të jeni 100% i sigurt se letra e mbetur është një mbretëreshë e klubeve. Nëse përzieni një kuvertë standarde letrash dhe nxirrni 51 letra pa i parë, probabiliteti që letra e mbetur të jetë mbretëresha e klubeve është ende 1/52. Ndërsa hapni secilën kartë, merrni më shumë informacion.

Llogaritja e probabilitetit për ngjarjet e varura ndjek të njëjtat parime si për ngjarjet e pavarura, përveç se është pak më e ndërlikuar sepse probabilitetet ndryshojnë kur zbuloni kartat. Kështu që ju duhet të shumëzoni shumë vlera të ndryshme në vend që të shumëzoni të njëjtën vlerë. Çfarë do të thotë kjo në të vërtetë është se ne duhet të kombinojmë të gjitha llogaritjet që kemi bërë në një kombinim.

Shembull

Ju përzieni një kuvertë standarde me 52 letra dhe vizatoni dy letra. Sa është probabiliteti që të vizatoni një palë? Ka disa mënyra për të llogaritur këtë probabilitet, por ndoshta më e thjeshta është kjo: sa është probabiliteti që nëse tërheq një letër, nuk do të mund të tërhiqni një palë? Ky probabilitet është zero, kështu që nuk ka shumë rëndësi se cilën kartë të parë tërhiqni, për sa kohë që përputhet me të dytin. Nuk ka rëndësi se cilën kartë tërheqim së pari, ne kemi ende një shans për të tërhequr një palë. Prandaj, probabiliteti i tërheqjes së një çifti pasi të jetë tërhequr letra e parë është 100%.

Sa është probabiliteti që letra e dytë të përputhet me të parën? Kanë mbetur 51 letra në kuvertë, dhe 3 prej tyre përputhen me letrën e parë (në fakt do të ishin 4 nga 52, por ju tashmë keni hequr një nga letrat që përputhen kur keni tërhequr letrën e parë), kështu që probabiliteti është 1/ 17. Kështu që herën tjetër që do të luani Texas Hold'em, djali përballë tavolinës ju thotë: “Cool, një palë tjetër? Ndihem me fat sot,” do ta dini se ka shumë gjasa që ai të bllofet.

Po sikur të shtojmë dy shaka në mënyrë që të kemi 54 letra në kuvertë dhe duam të dimë se cila është probabiliteti për të nxjerrë një palë? Letra e parë mund të jetë një shakaxhi, dhe më pas do të ketë vetëm një kartë në kuvertë që përputhet, dhe jo tre. Si të gjeni probabilitetin në këtë rast? Ne do të ndajmë probabilitetet dhe do të shumëzojmë secilën mundësi.

Letra jonë e parë mund të jetë një shaka apo ndonjë kartë tjetër. Probabiliteti për të vizatuar një shaka është 2/54, probabiliteti për të nxjerrë ndonjë kartë tjetër është 52/54. Nëse letra e parë është shaka (2/54), atëherë probabiliteti që letra e dytë të përputhet me të parën është 1/53. Ne i shumëzojmë vlerat (mund t'i shumëzojmë sepse janë ngjarje të veçanta dhe duam të ndodhin të dyja ngjarjet) dhe marrim 1/1431 - më pak se një e dhjeta e përqindjes.

Nëse së pari vizatoni një kartë tjetër (52/54), probabiliteti që të përputhet me letrën e dytë është 3/53. Ne i shumëzojmë vlerat dhe marrim 78/1431 (pak më shumë se 5.5%). Çfarë të bëjmë me këto dy rezultate? Ato nuk kryqëzohen dhe ne duam të dimë probabilitetin e secilit prej tyre, ndaj shtojmë vlerat. Ne marrim një rezultat përfundimtar prej 79/1431 (ende rreth 5.5%).

Nëse do të donim të ishim të sigurt për saktësinë e përgjigjes, mund të llogarisnim probabilitetin e të gjitha rezultateve të tjera të mundshme: tërheqja e një shakaje dhe mospërputhja e një letre të dytë, ose tërheqja e një letre tjetër dhe mospërputhja e një letre të dytë. Duke përmbledhur këto probabilitete dhe probabilitetin për të fituar, do të merrnim saktësisht 100%. Nuk do ta jap matematikën këtu, por mund ta provosh matematikën për ta kontrolluar dyfish.

Paradoksi i Monty Hall

Kjo na sjell në një paradoks mjaft të famshëm që shpesh ngatërron shumë njerëz - Paradoksi i Monty Hall. Paradoksi është emëruar pas drejtuesit të emisionit "Let's Make a Deal" Për ata që nuk e kanë parë kurrë këtë shfaqje televizive, ishte e kundërta e "Çmimi është i drejtë".

Në The Price Is Right, mikpritësi (Bob Barker dikur ishte pritësi; kush është tani, Drew Carey? Nuk ka rëndësi) është miku juaj. Ai dëshiron që ju të fitoni para ose çmime të mira. Përpiqet t'ju japë çdo mundësi për të fituar, për sa kohë që ju mund të merrni me mend se sa vlejnë artikujt e blerë nga sponsorët.

Monty Hall u soll ndryshe. Ai ishte si binjaku i keq i Bob Barker. Qëllimi i tij ishte të të bënte të dukesh si një idiot në televizionin kombëtar. Nëse do të ishit në emision, ai ishte kundërshtari juaj, ju luanit kundër tij dhe shanset ishin në favor të tij. Ndoshta po tregohem shumë i ashpër, por duke parë shfaqjen në të cilën keni më shumë gjasa të futeni nëse vishni një kostum qesharak, kjo është pikërisht ajo që kam arritur.

Një nga memet më të famshme të shfaqjes ishte kjo: para jush janë tre dyer, dera numër 1, dera numër 2 dhe dera numër 3. Mund të zgjidhni një derë falas. Pas njërit prej tyre është një çmim i mrekullueshëm - për shembull, një makinë e re. Pas dy dyerve të tjera nuk ka asnjë çmim, të dyja nuk kanë asnjë vlerë. Ata supozohet se do t'ju poshtërojnë, kështu që pas tyre nuk është thjesht asgjë, por diçka budalla, për shembull, një dhi ose një tub i madh pastë dhëmbësh - çdo gjë përveç një makine të re.

Ju zgjidhni një nga dyert, Monty është gati ta hapë për t'ju njoftuar nëse fituat apo jo... por prisni. Përpara se ta zbulojmë, le t'i hedhim një sy njërës prej atyre dyerve që nuk keni zgjedhur. Monty e di se pas cilës derë është çmimi, dhe ai gjithmonë mund të hapë derën që nuk ka një çmim pas saj. “Po zgjidhni derën numër 3? Atëherë le të hapim derën numër 1 për të treguar se nuk kishte asnjë çmim pas saj”. Dhe tani, nga bujaria, ai ju ofron mundësinë për të shkëmbyer derën numër 3 të përzgjedhur me atë që ndodhet pas derës numër 2.

Në këtë pikë, lind pyetja e probabilitetit: a e rrit kjo mundësi probabilitetin tuaj për të fituar, apo e zvogëlon atë, apo mbetet e pandryshuar? Si mendoni ju?

Përgjigja e saktë: aftësia për të zgjedhur një derë tjetër rrit probabilitetin për të fituar nga 1/3 në 2/3. Kjo është e palogjikshme. Nëse nuk e keni hasur më parë këtë paradoks, atëherë me shumë mundësi po mendoni: prisni, si ndodhi që duke hapur një derë, ne e ndryshuam me magji probabilitetin? Siç e kemi parë tashmë me hartat, kjo është pikërisht ajo që ndodh kur marrim më shumë informacion. Natyrisht, kur zgjidhni për herë të parë, probabiliteti për të fituar është 1/3. Kur hapet një derë, nuk e ndryshon aspak probabilitetin për të fituar për zgjedhjen e parë: probabiliteti është ende 1/3. Por probabiliteti që dera tjetër të jetë e saktë është tani 2/3.

Le ta shikojmë këtë shembull nga një këndvështrim tjetër. Ju zgjidhni një derë. Probabiliteti për të fituar është 1/3. Unë ju sugjeroj të ndryshoni dy dyert e tjera, gjë që bën Monty Hall. Sigurisht, ai hap një nga dyert për të zbuluar se nuk ka asnjë çmim pas tij, por ai gjithmonë mund ta bëjë këtë, kështu që në të vërtetë nuk ndryshon asgjë. Sigurisht, ju do të dëshironi të zgjidhni një derë të ndryshme.

Nëse nuk e kuptoni plotësisht pyetjen dhe keni nevojë për një shpjegim më bindës, klikoni në këtë lidhje për t'u çuar në një aplikacion të madh të vogël Flash që do t'ju lejojë të eksploroni këtë paradoks në më shumë detaje. Mund të luani duke filluar me rreth 10 dyer dhe më pas gradualisht të arrini në një lojë me tre dyer. Ekziston gjithashtu një simulator ku mund të luani me çdo numër dyersh nga 3 në 50, ose të ekzekutoni disa mijëra simulime dhe të shihni sa herë do të fitonit nëse do të luanit.

Zgjidhni një nga tre dyert - probabiliteti për të fituar është 1/3. Tani keni dy strategji: ndryshoni zgjedhjen tuaj pasi keni hapur derën e gabuar ose jo. Nëse nuk e ndryshoni zgjedhjen tuaj, atëherë probabiliteti do të mbetet 1/3, pasi zgjedhja ndodh vetëm në fazën e parë, dhe ju duhet ta merrni me mend menjëherë. Nëse ndryshoni, atëherë mund të fitoni nëse së pari zgjidhni derën e gabuar (pastaj ata hapin një derë tjetër të gabuar, e drejta mbetet - duke ndryshuar vendimin tuaj, ju e merrni atë). Probabiliteti për të zgjedhur derën e gabuar në fillim është 2/3 - kështu që rezulton se duke ndryshuar vendimin tuaj, ju dyfishoni probabilitetin për të fituar.

Një vërejtje nga mësuesi më i lartë i matematikës dhe specialisti i bilancit të lojës Maxim Soldatov - natyrisht, Schreiber nuk e kishte atë, por pa të është mjaft e vështirë të kuptohet ky transformim magjik

Dhe përsëri për paradoksin Monty Hall

Sa për vetë shfaqjen: edhe nëse kundërshtarët e Monty Hall nuk ishin të mirë në matematikë, ai ishte i mirë në të. Ja çfarë bëri ai për të ndryshuar pak lojën. Nëse zgjidhni një derë që kishte një çmim pas saj, e cila kishte një shans 1/3 për të ndodhur, ajo do t'ju ofronte gjithmonë mundësinë e zgjedhjes së një dere tjetër. Do të zgjedhësh një makinë dhe më pas do ta ndërrosh me një dhi dhe do të dukesh goxha budallaqe - kjo është pikërisht ajo që dëshiron pasi Hall është një lloj djaloshi i keq.

Por nëse zgjidhni një derë që nuk ka një çmim pas saj, ai do t'ju kërkojë të zgjidhni vetëm një tjetër gjysmën e kohës, ose thjesht do t'ju tregojë dhinë tuaj të re dhe ju do të largoheni nga skena. Le të analizojmë këtë lojë të re ku Monty Hall mund të vendosë nëse do t'ju ofrojë mundësinë për të zgjedhur një derë tjetër apo jo.

Le të themi se ai ndjek këtë algoritëm: nëse zgjidhni një derë me një çmim, ai ju ofron gjithmonë mundësinë për të zgjedhur një derë tjetër, përndryshe ai ka të njëjtat gjasa t'ju ofrojë të zgjidhni një derë tjetër ose t'ju japë një dhi. Sa është probabiliteti juaj për të fituar?

Në një nga tre opsionet, ju zgjidhni menjëherë derën pas së cilës ndodhet çmimi dhe prezantuesi ju fton të zgjidhni një tjetër.

Nga dy opsionet e mbetura nga tre (fillimisht ju zgjidhni një derë pa çmim), në gjysmën e rasteve prezantuesi do t'ju ofrojë të ndryshoni vendimin tuaj, dhe në gjysmën tjetër të rasteve - jo.

Gjysma e 2/3 është 1/3, domethënë, në një rast nga tre do të merrni një dhi, në një rast nga tre do të zgjidhni derën e gabuar dhe nikoqiri do t'ju kërkojë të zgjidhni një tjetër, dhe në një rast nga tre ju do të zgjidhni derën e duhur, por ai përsëri do të ofrojë një tjetër.

Nëse prezantuesi ofron të zgjedhë një derë tjetër, tashmë e dimë që ai një rast nga tre, kur na jep një dhi dhe ne ikim, nuk ka ndodhur. Ky është informacion i dobishëm: do të thotë që shanset tona për të fituar kanë ndryshuar. Dy raste nga tre kur kemi mundësi të zgjedhim: në njërin do të thotë se kemi hamendësuar saktë, dhe në tjetrin se kemi hamendësuar gabim, kështu që nëse do të na ofrohet mundësia për të zgjedhur, atëherë probabiliteti për të fituar. është 1/2, dhe nga pikëpamja matematikore, nuk ka rëndësi nëse qëndroni me zgjedhjen tuaj apo zgjidhni një derë tjetër.

Ashtu si pokeri, është një lojë psikologjike, jo matematikore. Pse Monty ju ofroi një zgjedhje? A mendon ai se je një njeri i thjeshtë që nuk e di se zgjedhja e një dere tjetër është vendimi “i duhur” dhe do të mbajë me kokëfortësi zgjedhjen e tij (në fund të fundit, situata është psikologjikisht më e vështirë kur zgjodhe një makinë dhe më pas e humbe )?

Apo ai, duke vendosur që je i zgjuar dhe do të zgjedhë një derë tjetër, të ofron këtë mundësi sepse e di që në radhë të parë e ke marrë me mend saktë dhe do të tërhiqesh? Ose ndoshta ai po tregohet jashtëzakonisht i sjellshëm dhe ju shtyn të bëni diçka që është e dobishme për ju, sepse ai nuk ka dhuruar makina për një kohë dhe producentët thonë se publiku po mërzitet dhe do të ishte më mirë të jepte një çmim të madh së shpejti për ta bërë. bien vlerësimet?

Në këtë mënyrë, Monty arrin të ofrojë herë pas here një zgjedhje dhe ende të mbajë probabilitetin e përgjithshëm për të fituar në 1/3. Mos harroni se probabiliteti që ju të humbni plotësisht është 1/3. Probabiliteti që ju të merrni me mend saktë menjëherë është 1/3, dhe 50% e atyre herëve do të fitoni (1/3 x 1/2 = 1/6).

Mundësia që në fillim të hamendësoni gabim, por më pas të keni mundësinë të zgjidhni një derë tjetër është 1/3, dhe gjysma e atyre herëve do të fitoni (gjithashtu 1/6). Mblidhni dy mundësi të pavarura fitimi dhe ju merrni një probabilitet prej 1/3, kështu që nuk ka rëndësi nëse qëndroni me zgjedhjen tuaj apo zgjidhni një derë tjetër - probabiliteti juaj i përgjithshëm për të fituar gjatë gjithë lojës është 1/3.

Probabiliteti nuk bëhet më i madh se në situatën kur ju e merrni me mend derën dhe prezantuesi thjesht ju tregoi se çfarë kishte pas saj, pa u ofruar të zgjidhni një tjetër. Qëllimi i propozimit nuk është të ndryshojë probabilitetin, por ta bëjë procesin e vendimmarrjes më argëtues për t'u parë në televizion.

Meqë ra fjala, kjo është një nga arsyet pse pokeri mund të jetë kaq interesant: në shumicën e formateve, midis raundeve kur bëhen bastet (për shembull, flop, turn dhe river në Texas Hold'em), letrat zbulohen gradualisht, dhe nëse në fillim të lojës keni një shans për të fituar, atëherë pas çdo raundi të bastit, kur zbulohen më shumë letra, kjo probabilitet ndryshon.

Paradoksi i djemve dhe vajzave

Kjo na sjell në një tjetër paradoks të njohur, i cili, si rregull, i habit të gjithë - paradoksi i djalit dhe vajzës. E vetmja gjë për të cilën po shkruaj sot që nuk lidhet drejtpërdrejt me lojërat (edhe pse supozoj se thjesht duhet t'ju inkurajoj të krijoni mekanikë të duhur të lojës). Kjo është më shumë një enigmë, por interesante, dhe për ta zgjidhur atë, duhet të kuptoni probabilitetin e kushtëzuar, për të cilin folëm më lart.

Problemi: Kam një shok me dy fëmijë, të paktën njëri prej tyre është vajzë. Sa është probabiliteti që edhe fëmija i dytë të jetë vajzë? Le të supozojmë se në çdo familje shanset për të pasur një vajzë dhe një djalë janë 50/50, dhe kjo është e vërtetë për çdo fëmijë.

Në fakt, disa burra kanë më shumë spermë me një kromozom X ose një kromozom Y në spermën e tyre, kështu që shanset ndryshojnë pak. Nëse e dini që një fëmijë është vajzë, gjasat për të pasur një vajzë të dytë janë pak më të larta dhe ka kushte të tjera, si hermafroditizmi. Por për të zgjidhur këtë problem, ne nuk do ta marrim këtë parasysh dhe do të supozojmë se lindja e një fëmije është një ngjarje e pavarur dhe lindja e një djali dhe një vajze janë njësoj të mundshme.

Meqenëse po flasim për një shans prej 1/2, në mënyrë intuitive presim që përgjigja ka shumë të ngjarë të jetë 1/2 ose 1/4, ose ndonjë numër tjetër që është shumëfish i dyshit në emërues. Por përgjigjja është 1/3. Pse?

Vështirësia këtu është se informacioni që kemi redukton numrin e mundësive. Supozoni se prindërit janë fansa të Rrugës Sesame dhe, pavarësisht nga gjinia e fëmijëve, i kanë emëruar A dhe B. Në kushte normale, ka katër mundësi po aq të mundshme: A dhe B janë dy djem, A dhe B janë dy vajza, A. është djalë dhe B është vajzë, A është vajzë dhe B është djalë. Meqenëse e dimë që të paktën një fëmijë është vajzë, mund të përjashtojmë mundësinë që A dhe B të jenë dy djem. Kjo na lë me tre mundësi - ende po aq të mundshme. Nëse të gjitha mundësitë janë njësoj të mundshme dhe janë tre prej tyre, atëherë probabiliteti i secilës prej tyre është 1/3. Vetëm në njërin nga këto tre opsione janë të dy fëmijët vajza, kështu që përgjigja është 1/3.

Dhe përsëri për paradoksin e një djali dhe një vajze

Zgjidhja e problemit bëhet edhe më e palogjikshme. Imagjinoni që shoku im ka dy fëmijë dhe njëri prej tyre është një vajzë që ka lindur të martën. Le të supozojmë se në kushte normale një fëmijë mund të lindë në secilën nga shtatë ditët e javës me probabilitet të barabartë. Sa është probabiliteti që edhe fëmija i dytë të jetë vajzë?

Ju mund të mendoni se përgjigjja do të ishte ende 1/3: çfarë rëndësie ka e marta? Por edhe në këtë rast, intuita jonë na dështon. Përgjigja është 13/27, e cila jo vetëm nuk është intuitive, por edhe shumë e çuditshme. Çfarë është puna në këtë rast?

Në fakt, e marta ndryshon probabilitetin sepse ne nuk e dimë se cili fëmijë ka lindur të martën, ose ndoshta të dy kanë lindur të martën. Në këtë rast, ne përdorim të njëjtën logjikë: numërojmë të gjitha kombinimet e mundshme kur të paktën një fëmijë është një vajzë e lindur të martën. Si në shembullin e mëparshëm, le të supozojmë se fëmijët janë emëruar A dhe B. Kombinimet duken kështu:

• A është një vajzë që ka lindur të martën, B është një djalë (në këtë situatë ka 7 mundësi, një për çdo ditë të javës kur mund të kishte lindur një djalë).
• B është një vajzë e lindur të martën, A është një djalë (gjithashtu 7 mundësi).
• A - një vajzë që ka lindur të martën, B - një vajzë që ka lindur në një ditë tjetër të javës (6 mundësi).
• B është një vajzë që ka lindur të martën, A është një vajzë që nuk ka lindur të martën (gjithashtu 6 probabilitete).
• A dhe B janë dy vajza që kanë lindur të martën (1 mundësi, duhet t'i kushtoni vëmendje kësaj në mënyrë që të mos numëroni dy herë).

Ne mbledhim dhe marrim 27 kombinime të ndryshme po aq të mundshme të lindjeve të fëmijëve dhe ditëve me të paktën një mundësi që një vajzë të lindë të martën. Nga këto janë 13 mundësi kur lindin dy vajza. Gjithashtu duket krejtësisht e palogjikshme - duket sikur kjo detyrë është shpikur vetëm për të shkaktuar dhimbje koke. Nëse jeni ende në mëdyshje, faqja e internetit e teoricienit të lojërave Jesper Juhl ka një shpjegim të mirë për këtë çështje.

Nëse aktualisht jeni duke punuar në një lojë

Nëse ka një rastësi në lojën që po dizajnoni, kjo është një kohë e mirë për ta analizuar atë. Zgjidhni disa elementë që dëshironi të analizoni. Fillimisht pyesni veten se çfarë prisni të jetë probabiliteti për një element të caktuar, çfarë duhet të jetë në kontekstin e lojës.

Për shembull, nëse jeni duke bërë një RPG dhe jeni duke pyetur veten se cila duhet të jetë probabiliteti që lojtari të mposht një përbindësh në betejë, pyesni veten se çfarë përqindje fitimi është e drejtë për ju. Në mënyrë tipike me RPG-të e konsolës, lojtarët mërziten shumë kur humbasin, kështu që është më mirë nëse humbasin rrallë - 10% të rasteve ose më pak. Nëse jeni një projektues RPG, ju ndoshta e dini më mirë se unë, por ju duhet të keni një ide bazë se cila duhet të jetë probabiliteti.

Pastaj pyesni veten nëse probabilitetet tuaja janë të varura (si me letra) apo të pavarura (si me zare). Analizoni të gjitha rezultatet e mundshme dhe probabilitetet e tyre. Sigurohuni që shuma e të gjitha probabiliteteve të jetë 100%. Dhe, sigurisht, krahasoni rezultatet e marra me pritjet tuaja. A jeni në gjendje të hidhni zare ose të vizatoni letra ashtu siç keni menduar, apo është e qartë se vlerat duhet të rregullohen. Dhe, sigurisht, nëse gjeni ndonjë mangësi, mund të përdorni të njëjtat llogaritje për të përcaktuar se sa të ndryshoni vlerat.

Detyrë shtëpie

Detyrat e shtëpisë tuaj këtë javë do t'ju ndihmojnë të përmirësoni aftësitë tuaja të probabilitetit. Këtu janë dy lojëra me zare dhe një lojë me letra që do t'i analizoni duke përdorur probabilitetin, si dhe një mekanik të çuditshëm të lojës që kam zhvilluar dikur që do të testojë metodën Monte Carlo.

Loja #1 - Kockat e Dragoit

Kjo është një lojë me zare që kolegët e mi dhe unë dikur dolëm me (falë Jeb Heavens dhe Jesse King) - në mënyrë specifike i fryn mendjet njerëzve me probabilitetet e saj. Është një lojë e thjeshtë kazinoje e quajtur Dragon Dice, dhe është një garë me zare kumari midis lojtarit dhe shtëpisë.

Ju jepet një die normale 1d6. Qëllimi i lojës është të rrokulliset një numër më i lartë se ai i shtëpisë. Tomit i jepet një 1d6 jo standarde - njësoj si e juaja, por në njërën nga fytyrat e saj në vend të një njësie ka një imazh të një dragoi (kështu, kazinoja ka një kub dragoi - 2-3-4-5-6 ). Nëse shtëpia merr një dragua, ajo fiton automatikisht dhe ju humbni. Nëse të dy marrin të njëjtin numër, është një barazim dhe ju hidhni zarin përsëri. Ai që shënon numrin më të madh fiton.

Sigurisht, gjithçka nuk funksionon plotësisht në favor të lojtarit, sepse kazinoja ka një avantazh në formën e skajit të dragoit. Por a është vërtet e vërtetë kjo? Kjo është ajo që duhet të llogarisni. Por së pari kontrolloni intuitën tuaj.

Le të themi se shanset janë 2 me 1. Pra, nëse fitoni, ju mbani bastin tuaj dhe merrni dyfishin e bastit tuaj. Për shembull, nëse vini bast 1 dollar dhe fitoni, ju e mbani atë dollar dhe merrni 2 të tjerë në krye, për një total prej 3 dollarësh. Nëse humbni, humbni vetëm bastin tuaj. A do të luanit? A mendoni intuitivisht se probabiliteti është më i madh se 2 me 1, apo akoma mendoni se është më pak? Me fjalë të tjera, mesatarisht mbi 3 ndeshje, a prisni të fitoni më shumë se një herë, apo më pak, apo një herë?

Pasi të keni kuptuar intuitën tuaj, përdorni matematikën. Ekzistojnë vetëm 36 pozicione të mundshme për të dy zarat, kështu që mund t'i numëroni të gjitha pa problem. Nëse nuk jeni të sigurt për ofertën 2-për-1, merrni parasysh këtë: Le të themi se e keni luajtur lojën 36 herë (duke vënë bast 1$ çdo herë). Për çdo fitore ju merrni 2 dollarë, për çdo humbje humbni 1, dhe një barazim nuk ndryshon asgjë. Llogaritni të gjitha fitoret dhe humbjet tuaja të mundshme dhe vendosni nëse do të humbni apo fitoni disa dollarë. Pastaj pyesni veten se sa e drejtë ishte intuita juaj. Dhe pastaj kuptoni se çfarë horr jam.

Dhe, po, nëse e keni menduar tashmë këtë pyetje - po ju ngatërroj qëllimisht duke keqinterpretuar mekanikën aktuale të lojërave me zare, por jam i sigurt që mund ta kapërceni këtë pengesë vetëm me pak mendim. Mundohuni ta zgjidhni vetë këtë problem.

Loja Nr. 2 - Hidhe për fat

Është një lojë fati me zare e quajtur "Rrokullisje për fat" (e quajtur edhe "Kafazi i shpendëve" sepse ndonjëherë zari nuk hidhet, por vendoset në një kafaz të madh teli, që të kujton kafazin nga Bingo). Loja është e thjeshtë dhe në thelb bazohet në këtë: bast, le të themi, 1 $ në një numër nga 1 në 6. Më pas ju vendosni 3d6. Për çdo karrocë ku bie numri juaj, ju merrni 1 $ (dhe mbani bastin tuaj origjinal). Nëse numri juaj nuk del në asnjërën prej zareve, kazinoja merr dollarin tuaj dhe ju nuk merrni asgjë. Pra, nëse vini bast në 1 dhe merrni një 1 në anët tre herë, ju merrni 3 dollarë.

Intuitivisht, duket se kjo lojë ka shanse të barabarta. Çdo vegël është një mundësi individuale 1 në 6 për të fituar, kështu që mbi shumën e tre rrotullimeve, shansi juaj për të fituar është 3 në 6. Megjithatë, sigurisht, mbani mend se po shtoni tre zare të veçantë dhe ju lejohet vetëm të shtoni nëse po flasim për kombinime të veçanta fituese të së njëjtës bie. Diçka që do t'ju duhet të shumëzoni.

Pasi të keni llogaritur të gjitha rezultatet e mundshme (ndoshta më e lehtë për t'u bërë në Excel sesa me dorë, pasi janë 216 prej tyre), loja ende duket e çuditshme-çift në shikim të parë. Në fakt, kazino ka ende një shans më të mirë për të fituar - sa më shumë? Konkretisht, sa para prisni të humbni mesatarisht çdo raund të lojës?

E tëra çfarë ju duhet të bëni është të shtoni fitoret dhe humbjet e të gjitha 216 rezultateve dhe më pas të ndani me 216, gjë që duhet të jetë shumë e lehtë. Por, siç mund ta shihni, këtu ka disa gracka, prandaj them: nëse mendoni se kjo lojë ka shanse të barabarta për të fituar, e keni të gjitha gabim.

Lojë #3 - 5 Card Stud Poker

Nëse tashmë jeni ngrohur me lojërat e mëparshme, le të kontrollojmë se çfarë dimë për probabilitetin e kushtëzuar duke përdorur këtë lojë me letra si shembull. Le të imagjinojmë një lojë pokeri me një kuvertë me 52 letra. Le të imagjinojmë gjithashtu 5 letra, ku secili lojtar merr vetëm 5 letra. Ju nuk mund të hidhni një kartë, nuk mund të vizatoni një të re, nuk ka kuvertë të përbashkët - ju merrni vetëm 5 letra.

Një flush mbretëror është 10-J-Q-K-A në njërën dorë, janë katër gjithsej, kështu që ka katër mënyra të mundshme për të marrë një skuqje mbretërore. Llogaritni probabilitetin që të merrni një kombinim të tillë.

Më duhet t'ju paralajmëroj për një gjë: mbani mend se këto pesë letra mund t'i tërheqni në çdo mënyrë. Kjo do të thotë, së pari mund të vizatoni një ACE ose një dhjetë, nuk ka rëndësi. Pra, ndërsa bëni llogaritjen, mbani në mend se në fakt ka më shumë se katër mënyra për të marrë një flush mbretëror, duke supozuar se letrat janë shpërndarë në rregull.

Loja Nr. 4 - Lotaria e FMN-së

Problemi i katërt nuk mund të zgjidhet kaq lehtë duke përdorur metodat për të cilat folëm sot, por lehtë mund ta simuloni situatën duke përdorur programimin ose Excel. Është në shembullin e këtij problemi që ju mund të përpunoni metodën Monte Carlo.

E përmenda më herët lojën Chron X, të cilën e kam punuar dikur, dhe aty ishte një kartë shumë interesante - lotaria e FMN-së. Ja se si funksionoi: e keni përdorur në lojë. Pas përfundimit të raundit, letrat u rishpërndanë dhe ekzistonte një shans 10% që karta të dilte jashtë loje dhe që një lojtar i rastësishëm të merrte 5 njësi nga çdo lloj burimi, tokeni i të cilit ishte i pranishëm në atë kartë. Karta futej në lojë pa asnjë çip të vetëm, por sa herë që mbetej në lojë në fillim të raundit tjetër, merrte një çip.

Pra, ekzistonte një shans 10% që nëse e vini në lojë, raundi do të përfundonte, letra do të largohej nga loja dhe askush nuk do të merrte asgjë. Nëse kjo nuk ndodh (90% shans), ekziston një shans 10% (në fakt 9%, pasi është 10% e 90%) që në raundin tjetër ajo të largohet nga loja dhe dikush të marrë 5 njësi burimesh. Nëse letra largohet nga loja pas një raundi (10% nga 81% e disponueshme, pra probabiliteti është 8.1%), dikush do të marrë 10 njësi, një raund tjetër - 15, një tjetër - 20, e kështu me radhë. Pyetje: Cila është vlera e përgjithshme e pritur e numrit të burimeve që do të merrni nga kjo kartë kur të largohet përfundimisht nga loja?

Normalisht ne do të përpiqemi ta zgjidhim këtë problem duke llogaritur mundësinë e secilit rezultat dhe duke shumëzuar me numrin e të gjitha rezultateve. Ekziston një shans 10% që ju të merrni 0 (0.1 * 0 = 0). 9% që do të merrni 5 njësi burimesh (9% * 5 = 0,45 burime). 8.1% e asaj që do të merrni është 10 (8.1%*10=0.81 burime - vlera e përgjithshme e pritshme). Dhe kështu me radhë. Dhe pastaj do t'i përmbledhim të gjitha.

Dhe tani problemi është i qartë për ju: ekziston gjithmonë një shans që karta të mos largohet nga loja, mund të mbetet në lojë përgjithmonë, për një numër të pafund raundesh, kështu që nuk ka asnjë mënyrë për të llogaritur çdo probabilitet. Metodat që kemi studiuar sot nuk na lejojnë të llogarisim rekursionin e pafund, kështu që do të na duhet ta krijojmë atë artificialisht.

Nëse jeni mjaft të mirë në programim, shkruani një program që do të simulojë këtë hartë. Duhet të keni një cikli kohor që e sjell variablin në një pozicion fillestar zero, tregon një numër të rastësishëm dhe me një shans 10% variabli të dalë nga cikli. Përndryshe, ai shton 5 në ndryshore dhe cikli përsëritet. Kur të dalë përfundimisht nga cikli, rrisni numrin total të ekzekutimeve të provës me 1 dhe numrin total të burimeve (për sa varet nga ku përfundon variabla). Pastaj rivendosni variablin dhe filloni përsëri.

Ekzekutoni programin disa mijëra herë. Në fund, ndani numrin total të burimeve me numrin total të ekzekutimeve - kjo do të jetë vlera juaj e pritshme e Monte Carlo. Ekzekutoni programin disa herë për t'u siguruar që numrat që merrni janë afërsisht të njëjtë. Nëse shpërndarja është ende e madhe, rrisni numrin e përsëritjeve në lakin e jashtëm derisa të filloni të merrni ndeshje. Ju mund të jeni i sigurt se cilido numër me të cilin përfundoni do të jetë afërsisht i saktë.

Nëse jeni i ri në programim (edhe nëse jeni), këtu është një ushtrim i shpejtë për të testuar aftësitë tuaja në Excel. Nëse jeni një projektues lojërash, këto aftësi nuk do të jenë kurrë të tepërta.

Tani funksionet if dhe rand do të jenë shumë të dobishme për ju. Rand nuk kërkon vlera, ai thjesht nxjerr një numër dhjetor të rastësishëm midis 0 dhe 1. Zakonisht e kombinojmë atë me dyshemenë dhe pluset dhe minuset për të simuluar hedhjen e një zar, të cilën e përmenda më herët. Megjithatë, në këtë rast ne po lëmë vetëm një shans 10% që karta të largohet nga loja, kështu që thjesht mund të kontrollojmë për të parë nëse vlera rand është më e vogël se 0.1 dhe të mos shqetësohemi më për këtë.

Nëse ka tre kuptime. Në mënyrë: një kusht që është i vërtetë ose i gabuar, pastaj një vlerë që kthehet nëse kushti është i vërtetë dhe një vlerë që kthehet nëse kushti është i gabuar. Pra, funksioni i mëposhtëm do të kthejë 5% të kohës, dhe 0 90% të kohës tjetër: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Ka shumë mënyra për të vendosur këtë komandë, por unë do të përdorja këtë formulë për qelizën që përfaqëson raundin e parë, le të themi se është qeliza A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Këtu po përdor një ndryshore negative për të nënkuptuar "kjo kartë nuk është larguar nga loja dhe nuk ka hequr dorë ende nga asnjë burim." Pra, nëse raundi i parë përfundon dhe letra largohet nga loja, A1 është 0; përndryshe është –1.

Për qelizën tjetër që përfaqëson raundin e dytë: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Pra, nëse raundi i parë mbaroi dhe karta u largua menjëherë nga loja, A1 është 0 (numri i burimeve) dhe kjo qelizë thjesht do ta kopjojë atë vlerë. Përndryshe, A1 është -1 (karta nuk është larguar ende nga loja), dhe kjo qelizë vazhdon të lëvizë rastësisht: 10% të kohës do të kthejë 5 njësi burimesh, pjesën tjetër të kohës vlera e saj do të jetë ende e barabartë me -1. Nëse e zbatojmë këtë formulë në qeliza shtesë, marrim raunde shtesë dhe cilado qelizë me të cilën përfundoni do t'ju japë rezultatin përfundimtar (ose -1 nëse karta nuk e ka lënë kurrë lojën pas të gjitha raundeve që keni luajtur).

Merrni atë rresht qelizash, që përfaqëson raundin e vetëm me atë kartë, dhe kopjoni dhe ngjisni disa qindra (ose mijëra) rreshta. Mund të mos jemi në gjendje të bëjmë një test të pafund për Excel (ka një numër të kufizuar qelizash në një tabelë), por të paktën mund të mbulojmë shumicën e rasteve. Pastaj zgjidhni një qelizë në të cilën do të vendosni mesataren e rezultateve të të gjitha raundeve - Excel ofron një funksion mesatar () për këtë.

Në Windows, të paktën mund të shtypni F9 për të rillogaritur të gjithë numrat e rastësishëm. Si më parë, bëjeni këtë disa herë dhe shikoni nëse merrni të njëjtat vlera. Nëse përhapja është shumë e madhe, dyfishoni numrin e vrapimeve dhe provoni përsëri.

Probleme të pazgjidhura

Nëse ju ndodh që keni një diplomë në teorinë e probabilitetit dhe problemet e mësipërme ju duken shumë të lehta, këtu janë dy probleme për të cilat unë kruaj kokën prej vitesh, por për fat të keq nuk jam aq i mirë në matematikë për t'i zgjidhur ato.

Problemi i pazgjidhur #1: Lotaria e FMN-së

Problemi i parë i pazgjidhur është detyra e mëparshme e shtëpisë. Unë mund të aplikoj lehtësisht metodën Monte Carlo (duke përdorur C++ ose Excel) dhe të jem i sigurt në përgjigjen e pyetjes "sa burime do të marrë lojtari", por nuk e di saktësisht se si të jap një përgjigje të saktë të vërtetueshme matematikisht (është një seri e pafundme).

Problemi i pazgjidhur #2: Sekuenca figurash

Ky problem (ai gjithashtu shkon përtej detyrave që zgjidhen në këtë blog) ma dha një mik gamer më shumë se dhjetë vjet më parë. Ndërsa luante blackjack në Vegas, ai vuri re një gjë interesante: kur hoqi letra nga një këpucë me 8 kuverta, ai pa dhjetë figura me radhë (figura ose karta e fytyrës është 10, Joker, King ose Queen, pra janë 16 në gjithsej në një letra standarde me 52 kuverta ose 128 në një këpucë me letra 416).

Sa është probabiliteti që kjo këpucë të përmbajë të paktën një sekuencë prej dhjetë ose më shumë figurash? Le të supozojmë se ato janë përzier në mënyrë të drejtë, në mënyrë të rastësishme. Ose, nëse preferoni, sa është probabiliteti që një sekuencë prej dhjetë ose më shumë figurash të mos shfaqet askund?

Ne mund ta thjeshtojmë detyrën. Këtu është një sekuencë prej 416 pjesësh. Çdo pjesë është 0 ose 1. Janë 128 njëshe dhe 288 zero të shpërndara rastësisht në të gjithë sekuencën. Sa mënyra ka për të ndërthurur rastësisht 128 njëshe me 288 zero dhe sa herë në këto mënyra do të ndodhë të paktën një grup prej dhjetë ose më shumë njësh?

Sa herë që merresha me zgjidhjen e këtij problemi, më dukej e lehtë dhe e qartë, por sapo u futa në detaje, papritmas u shpërbë dhe më dukej thjesht e pamundur.

Pra, mos nxitoni të thoni përgjigjen: uluni, mendoni me kujdes, studioni kushtet, përpiquni të futni numra realë, sepse të gjithë njerëzit me të cilët fola për këtë problem (duke përfshirë disa studentë të diplomuar që punojnë në këtë fushë) reaguan. e njëjta gjë: "Është plotësisht e qartë... oh, jo, prit, nuk është aspak e dukshme." Ky është rasti kur nuk kam një metodë për llogaritjen e të gjitha opsioneve. Unë, sigurisht, mund ta detyroja problemin përmes një algoritmi kompjuterik, por do të ishte shumë më interesante të dija zgjidhjen matematikore.

Për të krahasuar në mënyrë sasiore ngjarjet me njëra-tjetrën sipas shkallës së mundësisë së tyre, padyshim, është e nevojshme të lidhet një numër i caktuar me secilën ngjarje, i cili është më i madh, aq më i mundshëm është ngjarja. Ne do ta quajmë këtë numër probabilitetin e një ngjarjeje. Kështu, probabiliteti i një ngjarjejeështë një masë numerike e shkallës së mundësisë objektive të kësaj ngjarjeje.

Përkufizimi i parë i probabilitetit duhet konsideruar ai klasik, i cili doli nga analiza e lojërave të fatit dhe u zbatua fillimisht në mënyrë intuitive.

Metoda klasike e përcaktimit të probabilitetit bazohet në konceptin e ngjarjeve po aq të mundshme dhe të papajtueshme, të cilat janë rezultate të një përvoje të caktuar dhe formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme.

Shembulli më i thjeshtë i ngjarjeve po aq të mundshme dhe të papajtueshme që formojnë një grup të plotë është shfaqja e një ose një topi tjetër nga një urnë që përmban disa topa me të njëjtën madhësi, peshë dhe karakteristika të tjera të prekshme, të ndryshme vetëm në ngjyrë, të përziera tërësisht përpara se të hiqen.

Prandaj, një test, rezultatet e të cilit formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme dhe po aq të mundshme, thuhet se mund të reduktohet në një model urnash, ose një model rastesh, ose përshtatet në modelin klasik.

Ngjarjet po aq të mundshme dhe të papajtueshme që përbëjnë një grup të plotë do të quhen thjesht raste ose shanse. Për më tepër, në çdo eksperiment, së bashku me rastet, mund të ndodhin ngjarje më komplekse.

Shembull: Kur hedhim një zare, së bashku me rastet A i - humbja e pikave i në anën e sipërme, mund të konsiderojmë ngjarje të tilla si B - humbja e një numri çift pikësh, C - humbja e një numri pikësh. pika që janë shumëfish të tre...

Në lidhje me çdo ngjarje që mund të ndodhë gjatë eksperimentit, rastet ndahen në të favorshme, në të cilën ndodh kjo ngjarje dhe e pafavorshme, në të cilën ngjarja nuk ndodh. Në shembullin e mëparshëm, ngjarja B favorizohet nga rastet A 2, A 4, A 6; ngjarja C - rastet A 3, A 6.

Probabiliteti klasik ndodhja e një ngjarjeje të caktuar quhet raporti i numrit të rasteve të favorshme për ndodhjen e kësaj ngjarje me numrin e përgjithshëm të rasteve po aq të mundshme, të papajtueshme që përbëjnë grupin e plotë në një eksperiment të caktuar:

Ku P(A)- probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A; m- numri i rasteve të favorshme për ngjarjen A; n- numri i përgjithshëm i rasteve.

Shembuj:

1) (shih shembullin e mësipërm) P(B)= , P(C) =.

2) Urna përmban 9 topa të kuq dhe 6 blu. Gjeni probabilitetin që një ose dy topa të tërhequr rastësisht të rezultojnë të kuq.

A- një top i kuq i tërhequr rastësisht:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- dy topa të kuq të tërhequr rastësisht:

Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga përkufizimi klasik i probabilitetit (trego veten):

1) Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është 0;

2) Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është 1;

3) Probabiliteti i ndonjë ngjarjeje qëndron ndërmjet 0 dhe 1;

4) Probabiliteti i një ngjarjeje të kundërt me ngjarjen A,

Përkufizimi klasik i probabilitetit supozon se numri i rezultateve të një prove është i kufizuar. Në praktikë, shumë shpesh ka teste, numri i rasteve të mundshme të të cilave është i pafund. Për më tepër, dobësia e përkufizimit klasik është se shumë shpesh është e pamundur të paraqitet rezultati i një testi në formën e një grupi ngjarjesh elementare. Është edhe më e vështirë të tregohen arsyet për të konsideruar rezultatet elementare të një testi si të mundshëm. Zakonisht, barazia e rezultateve elementare të testit konkludohet nga konsideratat e simetrisë. Sidoqoftë, detyra të tilla janë shumë të rralla në praktikë. Për këto arsye, krahas përkufizimit klasik të probabilitetit, përdoren edhe përkufizime të tjera të probabilitetit.

Probabiliteti statistikor Ngjarja A është frekuenca relative e shfaqjes së kësaj ngjarje në testet e kryera:

ku është probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A;

Frekuenca relative e shfaqjes së ngjarjes A;

Numri i provave në të cilat u shfaq ngjarja A;

Numri i përgjithshëm i provave.

Ndryshe nga probabiliteti klasik, probabiliteti statistikor është një karakteristikë eksperimentale.

Shembull: Për të kontrolluar cilësinë e produkteve nga një grup, u zgjodhën 100 produkte në mënyrë të rastësishme, ndër të cilat 3 produkte rezultuan me defekt. Përcaktoni mundësinë e martesës.

.

Metoda statistikore e përcaktimit të probabilitetit është e zbatueshme vetëm për ato ngjarje që kanë vetitë e mëposhtme:

Ngjarjet në shqyrtim duhet të jenë rezultate vetëm të atyre testeve që mund të riprodhohen një numër të pakufizuar herë nën të njëjtin grup kushtesh.

Ngjarjet duhet të kenë stabilitet statistikor (ose stabilitet të frekuencave relative). Kjo do të thotë se në seri të ndryshme testesh frekuenca relative e ngjarjes ndryshon pak.

Numri i provave që rezultojnë në ngjarjen A duhet të jetë mjaft i madh.

Është e lehtë të verifikohet se vetitë e probabilitetit që dalin nga përkufizimi klasik ruhen edhe në përkufizimin statistikor të probabilitetit.