Intervali i besimit për pritjet matematikore - ky është një interval i llogaritur nga të dhënat që, me një probabilitet të njohur, përmban pritshmërinë matematikore të popullatës së përgjithshme. Një vlerësim natyror për pritshmërinë matematikore është mesatarja aritmetike e vlerave të saj të vëzhguara. Prandaj, gjatë gjithë mësimit do të përdorim termat “mesatare” dhe “vlera mesatare”. Në problemet e llogaritjes së një intervali besimi, një përgjigje që kërkohet më shpesh është diçka si "Intervali i besueshmërisë së mesatares [vlerës në një problem të caktuar] është nga [vlera më e vogël] në [vlera më e madhe]". Duke përdorur një interval besimi, mund të vlerësoni jo vetëm vlerat mesatare, por edhe peshën specifike të një karakteristike të veçantë të popullatës së përgjithshme. Në mësim diskutohen vlerat mesatare, dispersioni, devijimi standard dhe gabimi, përmes të cilave do të arrijmë në përkufizime dhe formula të reja. Karakteristikat e kampionit dhe popullatës .

Vlerësimet e pikës dhe intervalit të mesatares

Nëse vlera mesatare e popullsisë vlerësohet me një numër (pikë), atëherë një mesatare specifike, e cila llogaritet nga një mostër e vëzhgimeve, merret si një vlerësim i vlerës mesatare të panjohur të popullsisë. Në këtë rast, vlera e mesatares së mostrës - një ndryshore e rastësishme - nuk përkon me vlerën mesatare të popullatës së përgjithshme. Prandaj, kur tregoni mesataren e mostrës, duhet të tregoni njëkohësisht gabimin e kampionimit. Masa e gabimit të kampionimit është gabimi standard, i cili shprehet në të njëjtat njësi si mesatarja. Prandaj, shpesh përdoret shënimi i mëposhtëm: .

Nëse vlerësimi i mesatares duhet të shoqërohet me një probabilitet të caktuar, atëherë parametri i interesit në popullatë duhet të vlerësohet jo me një numër, por me një interval. Një interval besimi është një interval në të cilin, me një probabilitet të caktuar P gjendet vlera e treguesit të vlerësuar të popullsisë. Intervali i besimit në të cilin është e mundshme P = 1 - α gjendet ndryshorja e rastësishme, e llogaritur si më poshtë:

,

α = 1 - P, i cili mund të gjendet në shtojcën e pothuajse çdo libri mbi statistikat.

Në praktikë, mesatarja e popullsisë dhe varianca nuk dihen, kështu që varianca e popullatës zëvendësohet me variancën e mostrës, dhe mesatarja e popullatës me mesataren e mostrës. Kështu, intervali i besimit në shumicën e rasteve llogaritet si më poshtë:

.

Formula e intervalit të besimit mund të përdoret për të vlerësuar mesataren e popullsisë nëse

• dihet devijimi standard i popullatës;
• ose devijimi standard i popullatës është i panjohur, por madhësia e kampionit është më e madhe se 30.

Mesatarja e mostrës është një vlerësim i paanshëm i mesatares së popullsisë. Nga ana tjetër, varianca e mostrës nuk është një vlerësim i paanshëm i variancës së popullsisë. Për të marrë një vlerësim të paanshëm të variancës së popullatës në formulën e variancës së mostrës, madhësia e kampionit n duhet të zëvendësohet nga n-1.

Shembulli 1. Informacioni u mblodh nga 100 kafene të zgjedhura rastësisht në një qytet të caktuar që numri mesatar i të punësuarve në to është 10.5 me një devijim standard prej 4.6. Përcaktoni intervalin 95% të besimit për numrin e punonjësve të kafenesë.

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,05 .

Kështu, intervali i besimit 95% për numrin mesatar të punonjësve të kafeneve varionte nga 9.6 në 11.4.

Shembulli 2. Për një kampion të rastësishëm nga një popullsi prej 64 vëzhgimesh, u llogaritën vlerat totale të mëposhtme:

shuma e vlerave në vëzhgime,

shuma e devijimeve në katror të vlerave nga mesatarja .

Llogaritni intervalin 95% të besimit për pritjen matematikore.

Le të llogarisim devijimin standard:

,

Le të llogarisim vlerën mesatare:

.

Ne i zëvendësojmë vlerat në shprehjen për intervalin e besimit:

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,05 .

Ne marrim:

Kështu, intervali i besimit 95% për pritshmërinë matematikore të këtij kampioni varionte nga 7.484 në 11.266.

Shembulli 3. Për një kampion të rastësishëm të popullsisë prej 100 vëzhgimesh, mesatarja e llogaritur është 15.2 dhe devijimi standard është 3.2. Llogaritni intervalin 95% të besimit për vlerën e pritur, pastaj intervalin 99% të besimit. Nëse fuqia e mostrës dhe variacioni i saj mbeten të pandryshuara dhe koeficienti i besimit rritet, a do të ngushtohet apo zgjerohet intervali i besimit?

Ne i zëvendësojmë këto vlera në shprehjen për intervalin e besimit:

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,05 .

Ne marrim:

.

Kështu, intervali i besimit 95% për mesataren e këtij kampioni varionte nga 14.57 në 15.82.

Ne përsëri i zëvendësojmë këto vlera në shprehjen për intervalin e besimit:

ku është vlera kritike e shpërndarjes normale standarde për nivelin e rëndësisë α = 0,01 .

Ne marrim:

.

Kështu, intervali i besimit 99% për mesataren e këtij kampioni varionte nga 14.37 në 16.02.

Siç e shohim, me rritjen e koeficientit të besimit, rritet edhe vlera kritike e shpërndarjes normale standarde, dhe, për rrjedhojë, pikat e fillimit dhe të përfundimit të intervalit janë të vendosura më larg nga mesatarja, dhe kështu rritet intervali i besimit për pritshmërinë matematikore. .

Vlerësimet e pikës dhe intervalit të peshës specifike

Pjesa e disa tipareve të mostrës mund të interpretohet si një vlerësim pikë i aksionit fq të së njëjtës karakteristikë në popullatën e përgjithshme. Nëse kjo vlerë duhet të shoqërohet me probabilitetin, atëherë duhet të llogaritet intervali i besueshmërisë së gravitetit specifik. fq karakteristike në popullatën me probabilitet P = 1 - α :

.

Shembulli 4. Në një qytet ka dy kandidatë A Dhe B konkurrojnë për kryetar bashkie. 200 banorë të qytetit u anketuan rastësisht, nga të cilët 46% u përgjigjën se do të votonin për kandidatin A, 26% - për kandidatin B dhe 28% nuk ​​e dinë se për kë do të votojnë. Përcaktoni intervalin 95% të besimit për përqindjen e banorëve të qytetit që mbështesin kandidatin A.

Ky artikull përshkruan sintaksën e formulës dhe përdorimin e funksionit BESIM në Microsoft Excel.

Përshkrimi

Rikthen intervalin e besimit për një mesatare popullsie të shpërndarë normalisht.

Një interval besimi është një varg vlerash. Mesatarja e mostrës x është pika e mesit e këtij diapazoni, prandaj intervali i besimit përcaktohet si x ± BESIM. Për shembull, nëse x është mesatarja e mostrës së kohës së dorëzimit për mallrat e porositura me postë, atëherë pritshmëria e popullsisë është në intervalin x ± BESIM. Për çdo vlerë të pritshmërisë së popullsisë μ0 në këtë interval, probabiliteti që mesatarja e mostrës të ndryshojë nga μ0 me më shumë se x tejkalon nivelin e rëndësisë alfa. Për çdo pritshmëri μ0 jashtë këtij intervali, probabiliteti që mesatarja e kampionit të ndryshojë nga μ0 me më shumë se x nuk e kalon nivelin e rëndësisë alfa. Për shembull, supozoni se, duke pasur parasysh mesataren e mostrës x, devijimin standard të popullatës dhe madhësinë e kampionit, dëshironi të krijoni një test me dy mostra në nivelin e rëndësisë alfa për të testuar hipotezën se vlera e pritur është μ0. Në këtë rast, hipoteza nuk hidhet poshtë nëse μ0 i përket intervalit të besimit dhe refuzohet nëse μ0 nuk i përket. Intervali i besimit nuk na lejon të supozojmë se me probabilitet (1 - alfa) koha e dorëzimit të paketës së ardhshme do të jetë brenda intervalit të besimit.

E rëndësishme: Kjo veçori është zëvendësuar nga një ose më shumë veçori të reja që ofrojnë saktësi më të madhe dhe kanë emra që pasqyrojnë më mirë qëllimin e tyre. Megjithëse kjo veçori përdoret ende për pajtueshmërinë e prapambetur, ai mund të mos jetë më i disponueshëm në versionet e ardhshme të Excel, prandaj ne rekomandojmë përdorimin e veçorive të reja.

Për të mësuar më shumë rreth funksioneve të reja, shihni Funksioni NORM CONFIDENCE dhe Funksioni CONFIDENCE STUDENT.

Sintaksë

TRUST (alfa, standard_jashtë, madhësia)

Argumentet e funksionit TRUST janë përshkruar më poshtë.

Alfa- argumenti i kërkuar. Niveli i rëndësisë i përdorur për të llogaritur nivelin e besimit. Niveli i besimit është 100*(1 - alfa) përqind, ose me fjalë të tjera, një vlerë alfa prej 0.05 është një nivel besimi 95 përqind.

Standard_off- argumenti i kërkuar. Devijimi standard i popullsisë për një sërë të dhënash supozohet të jetë i njohur.

Madhësia- argumenti i kërkuar. Madhësia e mostrës.

Shënime

Shembull

Kopjoni të dhënat e mostrës nga tabela e mëposhtme dhe ngjisni në qelizën A1 të një flete pune të re Excel. Për të shfaqur rezultatet e formulave, zgjidhni ato dhe shtypni F2, më pas shtypni Enter. Nëse është e nevojshme, ndryshoni gjerësinë e kolonave për të parë të gjitha të dhënat.

Inteligjenca konsiston jo vetëm në njohuri, por edhe në aftësinë për të zbatuar njohuritë në praktikë. (Aristoteli)

Intervalet e besimit

Vështrim i përgjithshëm

Duke marrë një kampion nga popullata, marrim një vlerësim pikësor të parametrit të interesit dhe llogarisim gabimin standard për të treguar saktësinë e vlerësimit.

Megjithatë, për shumicën e rasteve gabimi standard si i tillë nuk është i pranueshëm. Është shumë më e dobishme të kombinohet kjo masë saktësie me një vlerësim interval për parametrin e popullsisë.

Kjo mund të bëhet duke përdorur njohuritë e shpërndarjes teorike të probabilitetit të statistikës së mostrës (parametrit) në mënyrë që të llogaritet një interval besimi (CI - Intervali i Besimit, CI - Intervali i Besimit) për parametrin.

Në përgjithësi, një interval besimi zgjeron vlerësimet në të dy drejtimet me një shumëfish të caktuar të gabimit standard (të një parametri të caktuar); dy vlerat (kufijtë e besimit) që përcaktojnë intervalin zakonisht ndahen me presje dhe mbyllen në kllapa.

Intervali i besimit për mesataren

Përdorimi i shpërndarjes normale

Mesatarja e kampionit shpërndahet normalisht nëse madhësia e kampionit është e madhe, kështu që ju mund të aplikoni njohuri për shpërndarjen normale kur merrni parasysh mesataren e kampionit.

Konkretisht, 95% e shpërndarjes së mesatareve të mostrës është brenda 1,96 devijimeve standarde (SD) të mesatares së popullatës.

Kur kemi vetëm një mostër, ne e quajmë gabim standard të mesatares (SEM) dhe llogarisim intervalin e besueshmërisë 95% për mesataren si më poshtë:

Nëse e përsërisim këtë eksperiment disa herë, intervali do të përmbajë mesataren e vërtetë të popullsisë 95% të kohës.

Në mënyrë tipike ky është një interval besimi, siç është intervali i vlerave brenda të cilit mesatarja e vërtetë e popullsisë (mesatarja e përgjithshme) qëndron me një probabilitet besimi 95%.

Ndërsa nuk është plotësisht rigoroz (mesatarja e popullsisë është një vlerë fikse dhe për këtë arsye nuk mund të ketë një probabilitet të lidhur me të) të interpretohet një interval besimi në këtë mënyrë, është konceptualisht më e lehtë për t'u kuptuar.

Përdorimi t- shpërndarja

Ju mund të përdorni shpërndarjen normale nëse e dini vlerën e variancës në popullatë. Gjithashtu, kur madhësia e kampionit është e vogël, mesatarja e kampionit ndjek një shpërndarje normale nëse të dhënat themelore të popullsisë shpërndahen normalisht.

Nëse të dhënat në bazë të popullatës nuk janë të shpërndara normalisht dhe/ose varianca e popullsisë është e panjohur, mesatarja e kampionit bindet Shpërndarja e t nxënësve.

Ne llogarisim intervalin 95% të besimit për mesataren e popullsisë së përgjithshme si më poshtë:

Ku është pika e përqindjes (përqindja) t- Shpërndarja t e nxënësit me (n-1) shkallë lirie, e cila jep një probabilitet të dyanshëm prej 0,05.

Në përgjithësi, ai ofron një gamë më të gjerë sesa përdorimi i shpërndarjes normale, sepse merr parasysh pasigurinë shtesë të paraqitur nga vlerësimi i devijimit standard të popullsisë dhe/ose për shkak të madhësisë së vogël të kampionit.

Kur madhësia e kampionit është e madhe (në rendin e 100 ose më shumë), ndryshimi midis dy shpërndarjeve ( t-Studenti dhe normale) është e parëndësishme. Megjithatë, ata përdorin gjithmonë t- shpërndarja gjatë llogaritjes së intervaleve të besueshmërisë, edhe nëse madhësia e kampionit është e madhe.

Zakonisht raportohet CI 95%. Mund të llogariten intervale të tjera besimi, të tilla si CI 99% për mesataren.

Në vend të produktit të gabimit standard dhe vlerës së tabelës t- shpërndarja, e cila korrespondon me një probabilitet të dyanshëm prej 0,05, shumëzojeni atë (gabim standard) me vlerën që korrespondon me një probabilitet të dyanshëm prej 0,01. Ky është një interval më i gjerë besimi sesa intervali 95% i besimit, sepse pasqyron besimin e shtuar se intervali në të vërtetë përfshin mesataren e popullsisë.

Intervali i besimit për proporcionin

Shpërndarja e mostrave të proporcioneve ka një shpërndarje binomiale. Megjithatë, nëse madhësia e mostrës nështë mjaft e madhe, atëherë shpërndarja e mostrës së proporcionit është afërsisht normale me mesataren .

Ne vlerësojmë me raport selektiv p=r/n(ku r- numri i individëve në kampion me tiparet karakteristike të interesit për ne), dhe gabimi standard është vlerësuar:

Intervali 95% i besimit për proporcionin vlerësohet:

Nëse madhësia e kampionit është e vogël (zakonisht kur n.p. ose n(1-p) më pak 5 ), atëherë është e nevojshme të përdoret shpërndarja binomiale për të llogaritur intervalet e sakta të besimit.

Vini re se nëse fq shprehur si përqindje, atëherë (1-p) zëvendësohet nga (100-p).

Interpretimi i intervaleve të besimit

Kur interpretojmë një interval besimi, ne jemi të interesuar në pyetjet e mëposhtme:

Sa i gjerë është intervali i besimit?

Një interval i gjerë besimi tregon se vlerësimi është i pasaktë; i ngushtë tregon një vlerësim të saktë.

Gjerësia e intervalit të besimit varet nga madhësia e gabimit standard, i cili nga ana tjetër varet nga madhësia e kampionit dhe, kur merret parasysh një ndryshore numerike, ndryshueshmëria e të dhënave prodhon intervale më të gjera besimi sesa studimet e një grupi të madh të dhënash me pak variabla. .

A përfshin CI ndonjë vlerë me interes të veçantë?

Ju mund të kontrolloni nëse vlera e mundshme për një parametër popullsie bie brenda intervalit të besimit. Nëse po, rezultatet janë në përputhje me këtë vlerë të mundshme. Nëse jo, atëherë nuk ka gjasa (për një interval besimi 95%, mundësia është pothuajse 5%) që parametri të ketë atë vlerë.

Dhe të tjerat janë përllogaritje të analogëve të tyre teorikë, të cilët do të mund të merreshin nëse jo një mostër, por një popullsi e përgjithshme. Por mjerisht, popullsia e përgjithshme është shumë e shtrenjtë dhe shpesh e paarritshme.

Koncepti i vlerësimit të intervalit

Çdo vlerësim i mostrës ka njëfarë përhapjeje, sepse është një ndryshore e rastësishme në varësi të vlerave në një kampion të caktuar. Prandaj, për përfundime statistikore më të besueshme, duhet të dihet jo vetëm vlerësimi i pikës, por edhe intervali, i cili me një probabilitet të lartë γ (gama) mbulon treguesin e vlerësuar θ (theta).

Formalisht, këto janë dy vlera të tilla (statistika) T 1 (X) Dhe T 2 (X), Çfarë T 1< T 2 , për të cilat në një nivel të caktuar probabiliteti γ plotësohet kushti:

Me pak fjalë, ka gjasa γ ose më shumë treguesi i vërtetë është midis pikave T 1 (X) Dhe T 2 (X), të cilat quhen kufijtë e poshtëm dhe të sipërm intervali i besimit.

Një nga kushtet për ndërtimin e intervaleve të besimit është ngushtësia maksimale e tij, d.m.th. duhet të jetë sa më i shkurtër. Dëshira është krejt e natyrshme, sepse... studiuesi përpiqet të lokalizojë më saktë vendndodhjen e parametrit të dëshiruar.

Nga kjo rrjedh se intervali i besimit duhet të mbulojë probabilitetet maksimale të shpërndarjes. dhe vetë vlerësimi duhet të jetë në qendër.

Kjo do të thotë, probabiliteti i devijimit (i treguesit të vërtetë nga vlerësimi) lart është i barabartë me probabilitetin e devijimit poshtë. Duhet gjithashtu të theksohet se për shpërndarjet asimetrike, intervali në të djathtë nuk është i barabartë me intervalin në të majtë.

Figura e mësipërme tregon qartë se sa më i madh të jetë probabiliteti i besimit, aq më i gjerë është intervali - një marrëdhënie e drejtpërdrejtë.

Kjo ishte një hyrje e shkurtër në teorinë e vlerësimit të intervalit të parametrave të panjohur. Le të kalojmë në gjetjen e kufijve të besimit për pritjet matematikore.

Intervali i besimit për pritjet matematikore

Nëse të dhënat origjinale shpërndahen mbi , atëherë mesatarja do të jetë një vlerë normale. Kjo rrjedh nga rregulli që një kombinim linear i vlerave normale ka gjithashtu një shpërndarje normale. Prandaj, për të llogaritur probabilitetet mund të përdorim aparatin matematikor të ligjit të shpërndarjes normale.

Megjithatë, kjo do të kërkojë njohjen e dy parametrave - pritshmërinë dhe variancën, të cilat zakonisht janë të panjohura. Ju, sigurisht, mund të përdorni vlerësime në vend të parametrave (mesatarja aritmetike dhe ), por atëherë shpërndarja e mesatares nuk do të jetë plotësisht normale, ajo do të rrafshohet paksa poshtë. Ky fakt u vërejt me zgjuarsi nga shtetasi William Gosset nga Irlanda, duke publikuar zbulimin e tij në numrin e marsit 1908 të revistës Biometrica. Për qëllime të fshehtësisë, Gosset firmosi veten Student. Kështu u shfaq shpërndarja e Studentit.

Sidoqoftë, shpërndarja normale e të dhënave, e përdorur nga K. Gauss në analizimin e gabimeve në vëzhgimet astronomike, është jashtëzakonisht e rrallë në jetën tokësore dhe është mjaft e vështirë për t'u vendosur (për saktësi të lartë nevojiten rreth 2 mijë vëzhgime). Prandaj, është më mirë të hidhni poshtë supozimin e normalitetit dhe të përdorni metoda që nuk varen nga shpërndarja e të dhënave origjinale.

Shtrohet pyetja: cila është shpërndarja e mesatares aritmetike nëse ajo llogaritet nga të dhënat e një shpërndarjeje të panjohur? Përgjigjen e jep teoria e njohur në teorinë e probabilitetit Teorema e kufirit qendror(CPT). Ekzistojnë disa variante të tij në matematikë (formulimet janë rafinuar me kalimin e viteve), por të gjitha, përafërsisht, zbresin në pohimin se shuma e një numri të madh ndryshoresh të rastësishme të pavarura i bindet një ligji normal të shpërndarjes.

Gjatë llogaritjes së mesatares aritmetike, përdoret shuma e ndryshoreve të rastësishme. Nga këtu rezulton se mesatarja aritmetike ka një shpërndarje normale, në të cilën pritshmëria është pritshmëria e të dhënave origjinale, dhe varianca është .

Njerëzit e zgjuar dinë të vërtetojnë CLT, por ne do ta verifikojmë këtë me ndihmën e një eksperimenti të kryer në Excel. Le të simulojmë një mostër prej 50 ndryshoresh të rastësishme të shpërndara në mënyrë uniforme (duke përdorur funksionin Excel RANDBETWEEN). Më pas do të bëjmë 1000 mostra të tilla dhe do të llogarisim mesataren aritmetike për secilën. Le të shohim shpërndarjen e tyre.

Mund të shihet se shpërndarja e mesatares është afër ligjit normal. Nëse madhësia dhe numri i kampionit bëhen edhe më të mëdha, ngjashmëria do të jetë edhe më e mirë.

Tani që kemi parë me sytë tanë vlefshmërinë e CLT, ne mund, duke përdorur , të llogarisim intervalet e besueshmërisë për mesataren aritmetike, të cilat mbulojnë mesataren e vërtetë ose pritshmërinë matematikore me një probabilitet të caktuar.

Për të vendosur kufijtë e sipërm dhe të poshtëm, duhet të dini parametrat e shpërndarjes normale. Si rregull, nuk ka asnjë, kështu që përdoren vlerësimet: mesatare aritmetike Dhe varianca e mostrës. E përsëris, kjo metodë jep një përafrim të mirë vetëm me mostra të mëdha. Kur mostrat janë të vogla, shpesh rekomandohet përdorimi i shpërndarjes Student. Mos e besoni! Shpërndarja Student për mesataren ndodh vetëm kur të dhënat origjinale shpërndahen normalisht, domethënë pothuajse kurrë. Prandaj, është më mirë që menjëherë të vendosni një shirit minimal për sasinë e të dhënave të kërkuara dhe të përdorni metoda asimptotike të sakta. Ata thonë se mjaftojnë 30 vëzhgime. Merrni 50 - nuk do të gaboni.

T 1.2– kufijtë e poshtëm dhe të sipërm të intervalit të besimit

– mostra mesatare aritmetike

s 0- devijimi standard i kampionit (i paanshëm)

n - madhësia e mostrës

γ - probabiliteti i besimit (zakonisht i barabartë me 0.9, 0.95 ose 0.99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)– vlera e anasjelltë e funksionit standard të shpërndarjes normale. E thënë thjesht, ky është numri i gabimeve standarde nga mesatarja aritmetike në kufirin e poshtëm ose të sipërm (këto tre probabilitete korrespondojnë me vlerat 1.64, 1.96 dhe 2.58).

Thelbi i formulës është që të merret mesatarja aritmetike dhe më pas të lihet një sasi e caktuar prej saj ( me γ) gabimet standarde ( s 0 /√n). Gjithçka dihet, merreni dhe konsideroni.

Para përdorimit të gjerë të kompjuterëve personalë, ata përdorën për të marrë vlerat e funksionit të shpërndarjes normale dhe të anasjelltë të tij. Ato përdoren edhe sot, por është më efektive të përdoren formula të gatshme Excel. Të gjithë elementët nga formula e mësipërme ( , dhe ) mund të llogariten lehtësisht në Excel. Por ekziston një formulë e gatshme për llogaritjen e intervalit të besimit - BESIMI.NORMË. Sintaksa e saj është si më poshtë.

KONFIDENCE.NORM(alfa;standard_off;madhësia)

alfa– niveli i rëndësisë ose niveli i besimit, i cili në shënimin e miratuar më sipër është i barabartë me 1- γ, d.m.th. probabiliteti që matematikorepritshmëria do të jetë jashtë intervalit të besimit. Me një nivel besimi prej 0.95, alfa është 0.05, etj.

standard_off– devijimi standard i të dhënave të mostrës. Nuk ka nevojë të llogaritet gabimi standard në vetvete do të ndajë me rrënjën e n.

madhësia– madhësia e mostrës (n).

Rezultati i funksionit NORM I BESIMIT është termi i dytë nga formula për llogaritjen e intervalit të besimit, d.m.th. gjysmë-interval Prandaj, pikat e poshtme dhe të sipërme janë mesatarja ± vlera e fituar.

Kështu, është e mundur të ndërtohet një algoritëm universal për llogaritjen e intervaleve të besimit për mesataren aritmetike, i cili nuk varet nga shpërndarja e të dhënave origjinale. Çmimi për universalitetin është natyra e tij asimptotike, d.m.th. nevoja për të përdorur mostra relativisht të mëdha. Megjithatë, në epokën e teknologjisë moderne, mbledhja e sasisë së kërkuar të të dhënave zakonisht nuk është e vështirë.

Testimi i hipotezave statistikore duke përdorur intervale besimi

(moduli 111)

Një nga problemet kryesore të zgjidhura në statistikë është. Thelbi i tij është shkurtimisht si më poshtë. Bëhet një supozim, për shembull, se pritshmëria e popullsisë së përgjithshme është e barabartë me një vlerë. Pastaj ndërtohet shpërndarja e mjeteve të mostrës që mund të vëzhgohen për një pritshmëri të caktuar. Më pas, ata shikojnë se ku në këtë shpërndarje të kushtëzuar ndodhet mesatarja reale. Nëse shkon përtej kufijve të lejuar, atëherë shfaqja e një mesatareje të tillë është shumë e pamundur, dhe me një përsëritje të vetme të eksperimentit është pothuajse e pamundur, gjë që bie në kundërshtim me hipotezën e paraqitur, e cila refuzohet me sukses. Nëse mesatarja nuk shkon përtej nivelit kritik, atëherë hipoteza nuk hidhet poshtë (por as nuk vërtetohet!).

Pra, me ndihmën e intervaleve të besimit, në rastin tonë për pritshmëri, mund të testoni edhe disa hipoteza. Është shumë e lehtë për t'u bërë. Le të themi se mesatarja aritmetike për një kampion të caktuar është e barabartë me 100. Testohet hipoteza se vlera e pritur është, le të themi, 90. Kjo do të thotë, nëse e shtrojmë pyetjen në mënyrë primitive, tingëllon kështu: a mund të jetë që me vlera e vërtetë e mesatares e barabartë me 90, mesatarja e vëzhguar doli të jetë 100?

Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, do t'ju duhet gjithashtu informacion në lidhje me devijimin standard dhe madhësinë e mostrës. Le të supozojmë se devijimi standard është 30 dhe numri i vëzhgimeve është 64 (për të nxjerrë me lehtësi rrënjën). Atëherë gabimi standard i mesatares është 30/8 ose 3,75. Për të llogaritur një interval besimi prej 95%, do t'ju duhet të shtoni dy gabime standarde në secilën anë të mesatares (më saktë, 1.96). Intervali i besimit do të jetë afërsisht 100±7.5 ose nga 92.5 në 107.5.

Arsyetimi i mëtejshëm është si më poshtë. Nëse vlera që testohet bie brenda intervalit të besimit, atëherë ajo nuk bie në kundërshtim me hipotezën, sepse bie brenda kufijve të luhatjeve të rastësishme (me një probabilitet prej 95%). Nëse pika që kontrollohet bie jashtë intervalit të besimit, atëherë probabiliteti i një ngjarjeje të tillë është shumë i vogël, në çdo rast nën nivelin e pranueshëm. Kjo do të thotë se hipoteza refuzohet si kundërshtuese me të dhënat e vëzhguara. Në rastin tonë, hipoteza për vlerën e pritshme është jashtë intervalit të besueshmërisë (vlera e testuar prej 90 nuk përfshihet në intervalin 100±7.5), ndaj duhet hedhur poshtë. Duke iu përgjigjur pyetjes primitive të mësipërme, duhet thënë: jo, nuk mundet, në asnjë rast, kjo ndodh jashtëzakonisht rrallë. Shpesh, ato tregojnë probabilitetin specifik për të refuzuar gabimisht hipotezën (niveli p), dhe jo nivelin e specifikuar në të cilin është ndërtuar intervali i besimit, por më shumë për këtë një herë tjetër.

Siç mund ta shihni, ndërtimi i një intervali besimi për mesataren (ose pritjet matematikore) nuk është i vështirë. Gjëja kryesore është të kuptojmë thelbin, dhe më pas gjërat do të vazhdojnë. Në praktikë, shumica e rasteve përdorin një interval besimi prej 95%, që është afërsisht dy gabime standarde të gjera në të dyja anët e mesatares.

Kjo është e gjitha për momentin. Gjithe te mirat!

Intervali i besimit

Intervali i besimit- një term i përdorur në statistikat matematikore për vlerësimin interval (në krahasim me pikën) të parametrave statistikorë, i cili preferohet kur madhësia e kampionit është e vogël. Një interval besimi është ai që mbulon një parametër të panjohur me një besueshmëri të caktuar.

Metoda e intervaleve të besimit u zhvillua nga statisticieni amerikan Jerzy Neumann, bazuar në idetë e statisticienit anglez Ronald Fisher.

Përkufizimi

Intervali i besimit të parametrit θ shpërndarja e ndryshoreve të rastësishme X me nivelin e besimit 100 p%, e krijuar nga kampioni ( x 1 ,…,x n), quhet një interval me kufij ( x 1 ,…,x n) dhe ( x 1 ,…,x n), të cilat janë realizime të ndryshoreve të rastësishme L(X 1 ,…,X n) dhe U(X 1 ,…,X n), e tillë që

Quhen pikat kufitare të intervalit të besimit kufijtë e besimit.

Një interpretim i bazuar në intuitë e intervalit të besimit do të ishte: nëse fqështë i madh (të themi 0,95 ose 0,99), atëherë intervali i besimit pothuajse me siguri përmban vlerën e vërtetë θ .

Një interpretim tjetër i konceptit të një intervali besimi: ai mund të konsiderohet si një interval i vlerave të parametrave θ të pajtueshme me të dhënat eksperimentale dhe jo në kundërshtim me to.

Shembuj

• Intervali i besimit për pritshmërinë matematikore të një kampioni normal;
• Intervali i besimit për variancën normale të mostrës.

Intervali i besimit Bayesian

Në statistikat Bayesian, ekziston një përkufizim i ngjashëm, por i ndryshëm në disa detaje kyçe të një intervali besimi. Këtu, vetë parametri i vlerësuar konsiderohet një variabël i rastësishëm me një shpërndarje të mëparshme të dhënë (në rastin më të thjeshtë, uniforme), dhe kampioni është fiks (në statistikat klasike gjithçka është saktësisht e kundërta). Një interval besimi Bayesian është një interval që mbulon vlerën e një parametri me një probabilitet të pasëm:

Në përgjithësi, intervalet e besimit klasik dhe Bayesian janë të ndryshme. Në literaturën në gjuhën angleze, intervali i besimit Bayesian zakonisht quhet term interval i besueshëm, dhe ai klasik - intervali i besimit.

Shënime

Fondacioni Wikimedia.

• 2010.
• Fëmijë (film)

Kolonist

Intervali i besimit Shihni se çfarë është "Intervali i besimit" në fjalorë të tjerë: - një interval i llogaritur nga të dhënat e mostrës, i cili me një probabilitet (besueshmëri) të caktuar mbulon vlerën e panjohur të vërtetë të parametrit të vlerësuar të shpërndarjes. Burimi: GOST 20522 96: Tokat. Metodat për përpunimin statistikor të rezultateve...

Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik intervali i besimit - për një parametër skalar të popullsisë, ky është një segment që ka shumë të ngjarë të përmbajë këtë parametër. Kjo frazë është e pakuptimtë pa elaborim të mëtejshëm. Meqenëse kufijtë e intervalit të besimit vlerësohen nga kampioni, është e natyrshme që... ...

Fjalori i Statistikave Sociologjike INTERVALI I BESIMIT - një metodë e vlerësimit të parametrave që ndryshon nga vlerësimi në pikë. Le të mostrës x1, . . ., xn nga një shpërndarje me densitet probabiliteti f(x, α), dhe a*=a*(x1, . . . ., xn) vlerësimi i densitetit të probabilitetit α, g(a*, α). Ne jemi në kërkim të ... ...

Fjalori i Statistikave Sociologjike Enciklopedia gjeologjike - (intervali i besimit) Një interval në të cilin besueshmëria e vlerës së parametrit për popullatën e marrë në bazë të një studimi të mostrës ka një shkallë të caktuar probabiliteti, për shembull 95%, që është për shkak të vetë kampionit. Gjerësia……

Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik Fjalori ekonomik - është intervali në të cilin është vendosur vlera e vërtetë e sasisë së përcaktuar me një probabilitet të caktuar besimi. Kimia e përgjithshme: tekst shkollor / A. V. Zholnin ...

Termat kimike Intervali i besimit CI Gjenetika. Fjalor Enciklopedik

Fjalori i Statistikave Sociologjike- një koncept që lind kur vlerësohet një parametër statistikor. shpërndarja sipas intervalit të vlerave. D. dhe. për parametrin q, që i korrespondon këtij koeficienti. besimi P, është i barabartë me një interval të tillë (q1, q2) që për çdo shpërndarje probabiliteti të pabarazisë... ... Enciklopedi fizike

Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik- - Temat e telekomunikacionit, konceptet bazë EN intervali i besimit ... Udhëzues teknik i përkthyesit

Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik- pasikliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: angl. intervali i besimit vok. Vertrauensbereich, m rus.…… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Fjalor-libër referues i termave të dokumentacionit normativ dhe teknik- pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: angl. intervali i besimit rus. zona e besimit; intervali i besimit... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas