Shfaqet ndarja. Në këtë artikull do të flasim për pjesëtimi i thyesave të zakonshme. Së pari, ne do të japim një rregull për ndarjen e thyesave të zakonshme dhe do të shohim shembuj të pjesëtimit të thyesave. Më pas do të fokusohemi në pjesëtimin e një thyese të zakonshme me një numër natyror dhe numrat me një thyesë. Së fundi, le të shohim se si të pjesëtojmë një thyesë të përbashkët me një numër të përzier.
Navigimi i faqes.
Pjesëtimi i një thyese të përbashkët me një thyesë të përbashkët
Dihet se pjesëtimi është veprimi i anasjelltë i shumëzimit (shih lidhjen ndërmjet pjesëtimit dhe shumëzimit). Kjo do të thotë, ndarja përfshin gjetjen e një faktori të panjohur kur produkti dhe një faktor tjetër janë të njohur. I njëjti kuptim i pjesëtimit ruhet gjatë pjesëtimit të thyesave të zakonshme.
Le të shohim shembuj të pjesëtimit të thyesave të zakonshme.
Vini re se nuk duhet të harrojmë reduktimin e fraksioneve dhe ndarjen e të gjithë pjesës nga një fraksion i papërshtatshëm.
Pjesëtimi i një thyese të përbashkët me një numër natyror
Do ta japim menjëherë Rregulli për pjesëtimin e një thyese me një numër natyror: për të pjesëtuar thyesën a/b me një numër natyror n, duhet ta lini numëruesin të njëjtë dhe të shumëzoni emëruesin me n, domethënë .
Ky rregull i ndarjes rrjedh drejtpërdrejt nga rregulli i pjesëtimit të thyesave të zakonshme. Në të vërtetë, përfaqësimi i një numri natyror si thyesë çon në barazitë e mëposhtme 
.
Le të shohim shembullin e pjesëtimit të një thyese me një numër.
Shembull.
Pjesëtoj thyesën 16/45 me numrin natyror 12.
Zgjidhje.
Sipas rregullit të pjesëtimit të një thyese me një numër, kemi 
. Le të bëjmë shkurtesën: . Kjo ndarje është e plotë.
Përgjigje:
.
Pjesëtimi i një numri natyror me një thyesë të përbashkët
Rregulli për pjesëtimin e thyesave është i ngjashëm Rregulli për pjesëtimin e një numri natyror me një thyesë: për të pjesëtuar një numër natyror n me një thyesë të përbashkët a/b, duhet të shumëzoni numrin n me reciprokun e thyesës a/b.
Sipas rregullit të deklaruar, dhe rregulli për shumëzimin e një numri natyror me një thyesë të zakonshme lejon që ai të rishkruhet në formën .
Le të shohim një shembull.
Shembull.
Pjesëtojeni numrin natyror 25 me thyesën 15/28.
Zgjidhje.
Le të kalojmë nga pjesëtimi në shumëzim, kemi 
. Pasi të zvogëlojmë dhe zgjedhim të gjithë pjesën, marrim .
Përgjigje:
.
Pjesëtimi i një thyese me një numër të përzier
Pjesëtimi i një thyese me një numër të përzier lehtësisht reduktohet në pjesëtimin e thyesave të zakonshme. Për ta bërë këtë, mjafton të kryhet
Numrat e zakonshëm thyesorë takojnë fillimisht nxënësit e shkollës në klasën e 5-të dhe i shoqërojnë gjatë gjithë jetës së tyre, pasi në jetën e përditshme shpesh është e nevojshme të merret parasysh ose të përdoret një objekt jo si një e tërë, por në pjesë të veçanta. Filloni të studioni këtë temë - ndan. Aksionet janë pjesë të barabarta, në të cilën ndahet ky apo ai objekt. Në fund të fundit, nuk është gjithmonë e mundur të shprehet, për shembull, gjatësia ose çmimi i një produkti si një numër i plotë duhet të merren parasysh. E formuar nga folja "për të ndarë" - për të ndarë në pjesë, dhe me rrënjë arabe, vetë fjala "fraksion" u ngrit në gjuhën ruse në shekullin e 8-të.
Shprehjet thyesore janë konsideruar prej kohësh si dega më e vështirë e matematikës. Në shekullin e 17-të, kur u shfaqën tekstet e para të matematikës, ato u quajtën "numra të thyer", gjë që ishte shumë e vështirë për t'u kuptuar nga njerëzit.
Forma moderne e mbetjeve të thjeshta thyesore, pjesët e të cilave ndahen nga një vijë horizontale, u promovua për herë të parë nga Fibonacci - Leonardo i Pizës. Veprat e tij datohen në vitin 1202. Por qëllimi i këtij artikulli është t'i shpjegojë lexuesit thjesht dhe qartë se si shumëzohen thyesat e përziera me emërues të ndryshëm.
Shumëzimi i thyesave me emërues të ndryshëm
Fillimisht ia vlen të përcaktohet llojet e thyesave:
- e saktë;
- e pasaktë;
- të përziera.
Më pas, duhet të mbani mend se si shumëzohen numrat thyesorë me emërues të njëjtë. Vetë rregulli i këtij procesi nuk është i vështirë të formulohet në mënyrë të pavarur: rezultati i shumëzimit të thyesave të thjeshta me emërues identikë është një shprehje thyesore, numëruesi i së cilës është prodhimi i numëruesve, dhe emëruesi është prodhimi i emëruesve të këtyre thyesave. . Kjo është, në fakt, emëruesi i ri është katrori i një prej atyre fillimisht ekzistues.
Kur shumëzohet thyesa të thjeshta me emërues të ndryshëm për dy ose më shumë faktorë rregulli nuk ndryshon:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Dallimi i vetëm është se numri i formuar nën vijën thyesore do të jetë produkt i numrave të ndryshëm dhe, natyrisht, nuk mund të quhet katror i një shprehjeje numerike.
Vlen të merret parasysh shumëzimi i thyesave me emërues të ndryshëm duke përdorur shembuj:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Shembujt përdorin metoda për reduktimin e shprehjeve thyesore. Ju mund të zvogëloni numrat numërues vetëm me numra emërues, faktorët ngjitur mbi ose nën vijën e thyesave.
Së bashku me thyesat e thjeshta, ekziston koncepti i thyesave të përziera. Një numër i përzier përbëhet nga një numër i plotë dhe një pjesë thyesore, domethënë është shuma e këtyre numrave:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Si funksionon shumëzimi?
Janë dhënë disa shembuj për t'u shqyrtuar.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Shembulli përdor shumëzimin e një numri me pjesë e zakonshme thyesore, rregulli për këtë veprim mund të shkruhet si:
a* b/c = a*b /c.
Në fakt, një produkt i tillë është shuma e mbetjeve identike thyesore, dhe numri i termave tregon këtë numër natyror. Rast i veçantë:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Ekziston një zgjidhje tjetër për shumëzimin e një numri me një mbetje thyesore. Thjesht duhet të ndani emëruesin me këtë numër:
d* e/f = e/f: d.
Kjo teknikë është e dobishme për t'u përdorur kur emëruesi pjesëtohet me një numër natyror pa mbetje ose, siç thonë ata, me një numër të plotë.
Shndërroni numrat e përzier në thyesa të pahijshme dhe merrni produktin në mënyrën e përshkruar më parë:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ky shembull përfshin një mënyrë për të paraqitur një fraksion të përzier si një fraksion të papërshtatshëm, dhe gjithashtu mund të përfaqësohet si një formulë e përgjithshme:
a bc = a*b+ c / c, ku emëruesi i thyesës së re formohet duke shumëzuar të gjithë pjesën me emëruesin dhe duke e shtuar atë me numëruesin e mbetjes thyesore origjinale, dhe emëruesi mbetet i njëjtë.
Ky proces gjithashtu funksionon në drejtim të kundërt. Për të ndarë të gjithë pjesën dhe pjesën e mbetur thyesore, duhet të ndani numëruesin e një fraksioni të gabuar me emëruesin e tij duke përdorur një "qoshe".
Shumëzimi i thyesave jo të duhura prodhuar në një mënyrë të pranuar përgjithësisht. Kur shkruani nën një rresht të vetëm thyese, duhet të zvogëloni thyesat sipas nevojës në mënyrë që të zvogëloni numrat duke përdorur këtë metodë dhe ta bëni më të lehtë llogaritjen e rezultatit.
Ka shumë ndihmës në internet për të zgjidhur edhe probleme komplekse matematikore në variacione të ndryshme programesh. Një numër i mjaftueshëm i shërbimeve të tilla ofrojnë ndihmën e tyre në llogaritjen e shumëzimit të thyesave me numra të ndryshëm në emërues - të ashtuquajturat kalkulatorë online për llogaritjen e thyesave. Ata janë në gjendje jo vetëm të shumëzojnë, por edhe të kryejnë të gjitha veprimet e tjera të thjeshta aritmetike me thyesa të zakonshme dhe numra të përzier. Është e lehtë për të punuar me të, ju plotësoni fushat e duhura në faqen e internetit, zgjidhni shenjën e operacionit matematikor dhe klikoni "llogarit". Programi llogarit automatikisht.
Tema e veprimeve aritmetike me thyesa është e rëndësishme gjatë gjithë edukimit të nxënësve të shkollave të mesme dhe të mesme. Në shkollë të mesme, ata nuk konsiderojnë më speciet më të thjeshta, por shprehje thyesore me numra të plotë, por njohja e rregullave për transformimin dhe llogaritjet e marra më herët zbatohet në formën e saj origjinale. Njohuritë bazë të zotëruara mirë japin besim të plotë në zgjidhjen me sukses të problemeve më komplekse.
Si përfundim, ka kuptim të citohen fjalët e Lev Nikolaevich Tolstoy, i cili shkroi: "Njeriu është një fraksion. Nuk është në fuqinë e njeriut të rrisë numëruesin e tij - meritat e tij - por çdokush mund të zvogëlojë emëruesin e tij - mendimin e tij për veten e tij dhe me këtë ulje t'i afrohet përsosmërisë së tij.
Ju mund të bëni gjithçka me thyesa, duke përfshirë ndarjen. Ky artikull tregon ndarjen e thyesave të zakonshme. Do të jepen përkufizime dhe do të diskutohen shembuj. Le të ndalemi në detaje në pjesëtimin e thyesave me numra natyrorë dhe anasjelltas. Do të diskutohet pjesëtimi i një thyese të përbashkët me një numër të përzier.
Pjesëtimi i thyesave
Pjesëtimi është anasjellta e shumëzimit. Gjatë pjesëtimit, faktori i panjohur gjendet me prodhimin e njohur të një faktori tjetër, ku kuptimi i tij i dhënë ruhet me thyesat e zakonshme.
Nëse është e nevojshme të pjesëtohet një thyesë e përbashkët a b me c d, atëherë për të përcaktuar një numër të tillë duhet të shumëzoni me pjesëtuesin c d, kjo përfundimisht do të japë dividentin a b. Le të marrim një numër dhe ta shkruajmë a b · d c , ku d c është e anasjellta e numrit c d. Barazimet mund të shkruhen duke përdorur vetitë e shumëzimit, përkatësisht: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, ku shprehja a b · d c është herësi i pjesëtimit të a b me c d.
Prej këtu marrim dhe formulojmë rregullin e pjesëtimit të thyesave të zakonshme:
Përkufizimi 1
Për të pjesëtuar një thyesë të përbashkët a b me c d, duhet të shumëzoni dividentin me reciprokun e pjesëtuesit.
Le ta shkruajmë rregullin në formë shprehjeje: a b: c d = a b · d c
Rregullat e pjesëtimit zbresin në shumëzim. Për t'u përmbajtur me të, duhet të keni një kuptim të mirë të shumëzimit të thyesave.
Le të kalojmë në shqyrtimin e ndarjes së thyesave të zakonshme.
Shembulli 1
Ndani 9 7 me 5 3. Shkruani rezultatin si thyesë.
Zgjidhje
Numri 5 3 është thyesa reciproke 3 5. Është e nevojshme të përdoret rregulli për ndarjen e fraksioneve të zakonshme. Ne e shkruajmë këtë shprehje si më poshtë: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Përgjigje: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Kur zvogëloni thyesat, ndani të gjithë pjesën nëse numëruesi është më i madh se emëruesi.
Shembulli 2
Ndani 8 15: 24 65. Shkruani përgjigjen si thyesë.
Zgjidhje
Për të zgjidhur, ju duhet të kaloni nga ndarja në shumëzim. Le ta shkruajmë në këtë formë: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Është e nevojshme të bëhet një reduktim, dhe kjo bëhet si më poshtë: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Zgjidhni të gjithë pjesën dhe merrni 13 9 = 1 4 9.
Përgjigje: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Pjesëtimi i një thyese të jashtëzakonshme me një numër natyror
Ne përdorim rregullin për pjesëtimin e një thyese me një numër natyror: për të pjesëtuar një b me një numër natyror n, ju duhet vetëm të shumëzoni emëruesin me n. Nga këtu marrim shprehjen: a b: n = a b · n.
Rregulli i pjesëtimit është pasojë e rregullit të shumëzimit. Prandaj, paraqitja e një numri natyror si thyesë do të japë një barazi të këtij lloji: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Konsideroni këtë ndarje të një thyese me një numër.
Shembulli 3
Pjesëtojeni thyesën 16 45 me numrin 12.
Zgjidhje
Le të zbatojmë rregullin e pjesëtimit të një thyese me një numër. Ne marrim një shprehje të formës 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Le të zvogëlojmë thyesën. Ne marrim 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Përgjigje: 16 45: 12 = 4 135 .
Pjesëtimi i një numri natyror me një thyesë të përbashkët
Rregulli i ndarjes është i ngjashëm O Rregulli i pjesëtimit të një numri natyror me një thyesë të zakonshme: për të pjesëtuar një numër natyror n me një thyesë të zakonshme a b, është e nevojshme të shumëzohet numri n me reciprokun e thyesës a b.
Në bazë të rregullit kemi n: a b = n · b a, dhe në sajë të rregullit të shumëzimit të një numri natyror me një thyesë të zakonshme, marrim shprehjen tonë në formën n: a b = n · b a. Është e nevojshme të merret në konsideratë kjo ndarje me një shembull.
Shembulli 4
Ndani 25 me 15 28.
Zgjidhje
Duhet të kalojmë nga pjesëtimi në shumëzim. Le ta shkruajmë në formën e shprehjes 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Le të zvogëlojmë thyesën dhe të marrim rezultatin në formën e thyesës 46 2 3.
Përgjigje: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Pjesëtimi i një thyese me një numër të përzier
Kur pjesëtoni një thyesë të përbashkët me një numër të përzier, lehtë mund të filloni të ndani thyesat e zakonshme. Ju duhet të konvertoni një numër të përzier në një fraksion të papërshtatshëm.
Shembulli 5
Ndani thyesën 35 16 me 3 1 8.
Zgjidhje
Meqenëse 3 1 8 është një numër i përzier, le ta paraqesim atë si një thyesë jo të duhur. Pastaj marrim 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Tani le të ndajmë thyesat. Ne marrim 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Përgjigje: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Pjesëtimi i një numri të përzier bëhet në të njëjtën mënyrë si numrat e zakonshëm.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Për të kuptuar se si të ndajmë thyesat, le të studiojmë rregullin dhe të përdorim shembuj për të parë se si ta zbatojmë atë.
Rregulla për pjesëtimin e thyesave të zakonshme
Për të ndarë dy fraksione, duhet të shumëzoni numrin e parë me të dytin (d.m.th., ne shumëzojmë fraksionin e parë me të dytën e përmbysur).
Shembuj të pjesëtimit të thyesave të zakonshme:
Për t'i pjesëtuar këto thyesa, ne rishkruajmë thyesën e parë dhe , inversin e të dytës (e shumëzojmë dividentin me inversin e pjesëtuesit). Asgjë nuk mund të shkurtohet këtu.
Për t'i pjesëtuar këto thyesa, ne e rishkruajmë numrin e parë të pandryshuar dhe e shumëzojmë me reciprocitetin e të dytit 6 dhe 9 me 3, 20 dhe 25 me 5. Thyesa rezultuese 8/15 është e duhur dhe e pareduktueshme. Pra, kjo është përgjigja përfundimtare.
E lëmë të pandryshuar thyesën e parë dhe e shumëzojmë me reciproken e thyesës së dytë. Ne zvogëlojmë 45 dhe 36 me 9, 65 dhe 52 me 13. Si rezultat, marrim një fraksion të papërshtatshëm, nga i cili .
Kur pjesëtojmë dy numra të barabartë, marrim një, kështu që mund ta shkruajmë menjëherë përgjigjen.
Për të ndarë thyesat, shumëzojeni të parën me reciprocitetin e të dytës. Zvogëlojmë 23 dhe 23 me 23, 14 dhe 7 me 7. Meqenëse emëruesi është një, përgjigja është një numër i plotë.
Herën tjetër do të shohim se si të pjesëtojmë një numër të plotë me një thyesë.
Herën e fundit mësuam se si të mbledhim dhe zbresim thyesat (shihni mësimin “Mblidhja dhe zbritja e thyesave”). Pjesa më e vështirë e atyre veprimeve ishte sjellja e thyesave në një emërues të përbashkët.
Tani është koha për t'u marrë me shumëzimin dhe pjesëtimin. Lajmi i mirë është se këto veprime janë edhe më të thjeshta se mbledhja dhe zbritja. Së pari, le të shqyrtojmë rastin më të thjeshtë, kur ka dy thyesa pozitive pa një pjesë të plotë të ndarë.
Për të shumëzuar dy thyesa, duhet të shumëzoni veçmas numëruesit dhe emëruesit e tyre. Numri i parë do të jetë numëruesi i thyesës së re dhe i dyti do të jetë emëruesi.
Për të ndarë dy fraksione, duhet të shumëzoni fraksionin e parë me fraksionin e dytë "të përmbysur".
Përcaktimi:
Nga përkufizimi rezulton se pjesëtimi i thyesave zvogëlohet në shumëzim. Për të "rrokullisur" një thyesë, thjesht ndërroni numëruesin dhe emëruesin. Prandaj, gjatë gjithë mësimit do të shqyrtojmë kryesisht shumëzimin.
Si rezultat i shumëzimit, mund të lindë një fraksion i reduktueshëm (dhe shpesh lind) - ai, natyrisht, duhet të reduktohet. Nëse pas të gjitha reduktimeve thyesa rezulton e pasaktë, e gjithë pjesa duhet të theksohet. Por ajo që definitivisht nuk do të ndodhë me shumëzimin është reduktimi në një emërues të përbashkët: pa metoda të kryqëzuara, faktorë më të mëdhenj dhe shumëfish më pak të zakonshëm.
Sipas definicionit kemi:
Shumëzimi i thyesave me pjesë të plota dhe me thyesa negative
Nëse fraksionet përmbajnë një pjesë të plotë, ato duhet të shndërrohen në të pahijshme - dhe vetëm atëherë të shumëzohen sipas skemave të përshkruara më sipër.
Nëse ka një minus në numëruesin e një thyese, në emërues ose përballë saj, ai mund të hiqet nga shumëzimi ose të hiqet fare sipas rregullave të mëposhtme:
- Plus me minus jep minus;
- Dy negative bëjnë një pohuese.
Deri më tani, këto rregulla janë hasur vetëm në mbledhjen dhe zbritjen e thyesave negative, kur është dashur të hiqet e gjithë pjesa. Për një punë, ato mund të përgjithësohen për të "djegur" disa disavantazhe menjëherë:
- Negativët i kryqëzojmë në dyshe derisa të zhduken plotësisht. Në raste ekstreme, një minus mund të mbijetojë - ai për të cilin nuk kishte shok;
- Nëse nuk ka mbetur asnjë minus, operacioni ka përfunduar - mund të filloni të shumëzoni. Nëse minusi i fundit nuk kalohet, sepse nuk kishte çift për të, e nxjerrim nga kufijtë e shumëzimit. Rezultati është një fraksion negativ.
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
Ne i kthejmë të gjitha thyesat në të pahijshme, dhe më pas i heqim minuset nga shumëzimi. E shumëzojmë atë që ka mbetur sipas rregullave të zakonshme. Ne marrim:
Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë se minusi që shfaqet para një thyese me një pjesë të plotë të theksuar i referohet në mënyrë specifike të gjithë thyesës, dhe jo vetëm të gjithë pjesës së saj (kjo vlen për dy shembujt e fundit).
Kushtojini vëmendje edhe numrave negativë: kur shumëzohen, ato mbyllen në kllapa. Kjo bëhet për të ndarë minuset nga shenjat e shumëzimit dhe për ta bërë të gjithë shënimin më të saktë.
Reduktimi i fraksioneve në fluturim
Shumëzimi është një operacion që kërkon shumë punë. Numrat këtu rezultojnë të jenë mjaft të mëdhenj, dhe për të thjeshtuar problemin, mund të përpiqeni të zvogëloni më tej fraksionin para shumëzimit. Në të vërtetë, në thelb, numëruesit dhe emëruesit e thyesave janë faktorë të zakonshëm, dhe, për rrjedhojë, ato mund të reduktohen duke përdorur vetinë bazë të një thyese. Hidhini një sy shembujve:
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
Sipas definicionit kemi:
Në të gjithë shembujt, numrat që janë zvogëluar dhe çfarë ka mbetur prej tyre janë shënuar me të kuqe.
Ju lutemi vini re: në rastin e parë, shumëzuesit u reduktuan plotësisht. Në vend të tyre mbeten njësi që, në përgjithësi, nuk kanë nevojë të shkruhen. Në shembullin e dytë, nuk ishte e mundur të arrihej një reduktim i plotë, por shuma totale e llogaritjeve ende u ul.
Megjithatë, mos e përdorni kurrë këtë teknikë kur mblidhni dhe zbritni thyesa! Po, ndonjëherë ka numra të ngjashëm që thjesht dëshironi t'i zvogëloni. Ja, shikoni:
Ju nuk mund ta bëni këtë!
Gabimi ndodh sepse kur mblidhet, numëruesi i një thyese prodhon një shumë, jo një produkt të numrave. Rrjedhimisht, është e pamundur të zbatohet vetia bazë e një thyese, pasi kjo veti merret në mënyrë specifike me shumëzimin e numrave.
Thjesht nuk ka arsye të tjera për zvogëlimin e thyesave, kështu që zgjidhja e saktë e problemit të mëparshëm duket si kjo:
Zgjidhja e duhur:
Siç mund ta shihni, përgjigja e saktë doli të ishte jo aq e bukur. Në përgjithësi, jini të kujdesshëm.
