Gjeometria nuk është një shkencë e thjeshtë. Kërkon vëmendje të veçantë dhe njohuri të formulave të sakta. Kjo lloj matematike na erdhi nga Greqia e Lashtë dhe edhe pas disa mijëra vjetësh nuk e humbet rëndësinë e saj. Mos mendoni kot se kjo është një lëndë e kotë që shqetëson kokat e studentëve dhe nxënësve të shkollës. Në fakt, gjeometria është e zbatueshme në shumë fusha të jetës. Pa njohuri për gjeometrinë, nuk ndërtohet një strukturë e vetme arkitekturore, nuk krijohen makina, anije kozmike dhe aeroplanë. Kryqëzimet dhe gërvishtjet rrugore komplekse dhe jo shumë komplekse - e gjithë kjo kërkon llogaritje gjeometrike. Po, edhe ndonjëherë nuk mund të bëni riparime në dhomën tuaj pa i ditur formulat bazë. Pra, mos e nënvlerësoni rëndësinë e kësaj teme. Ne studiojmë formulat më të zakonshme që duhet të përdorim në shumë zgjidhje në shkollë. Një prej tyre është gjetja e hipotenuzës në një trekëndësh kënddrejtë. Për ta kuptuar këtë, lexoni më poshtë.

Para se të fillojmë të praktikojmë, le të fillojmë me bazat dhe të përcaktojmë se çfarë është hipotenuza në një trekëndësh kënddrejtë.

Hipotenuza është një nga anët në një trekëndësh kënddrejtë që është përballë këndit 90 gradë (këndi i drejtë) dhe është gjithmonë më i gjati.

Ka disa mënyra për të gjetur gjatësinë e hipotenuzës së dëshiruar në një trekëndësh të caktuar kënddrejtë.

Në rastin kur këmbët tashmë janë të njohura për ne, përdorim teoremën e Pitagorës, ku shtojmë shumën e katrorëve të dy këmbëve, e cila do të jetë e barabartë me katrorin e hipotenuzës.

a dhe b janë këmbë, c është hipotenuza.

Në rastin tonë, për një trekëndësh kënddrejtë, formula do të jetë si më poshtë:

Nëse zëvendësojmë numrat e njohur të këmbëve a dhe b, le të jetë a=3 dhe b=4, pastaj c=√32+42, atëherë marrim c=√25, c=5

Kur dimë gjatësinë e vetëm njërës këmbë, formula mund të transformohet për të gjetur gjatësinë e së dytës. Duket kështu:

Në rastin kur, sipas kushteve të problemës, njohim këmbën A dhe hipotenuzën C, atëherë mund të llogarisim këndin e drejtë të trekëndëshit, le ta quajmë α.

Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën:

Le të jetë β këndi i dytë që duhet të llogarisim. Duke marrë parasysh se ne dimë shumën e këndeve të një trekëndëshi, e cila është 180°, atëherë: β= 180°-90°-α

Në rastin kur dimë vlerat e këmbëve, mund të përdorim formulën për të gjetur vlerën e këndit akut të trekëndëshit:

Në varësi të vlerave të njohura përgjithësisht të pranuara, anët e një drejtkëndëshi mund të gjenden duke përdorur formula të ndryshme. Ja disa prej tyre:

Kur zgjidhni probleme me gjetjen e të panjohurave në një trekëndësh kënddrejtë, është shumë e rëndësishme të përqendroheni në vlerat që tashmë i dini dhe, bazuar në këtë, t'i zëvendësoni ato në formulën e dëshiruar. Do të jetë e vështirë t'i mbani mend ato menjëherë, kështu që ne ju këshillojmë të bëni një aluzion të vogël të shkruar me dorë dhe ta ngjisni në fletoren tuaj.

Siç mund ta shihni, nëse gërmoni në të gjitha ndërlikimet e kësaj formule, mund ta kuptoni lehtësisht. Ne ju rekomandojmë të përpiqeni të zgjidhni disa probleme bazuar në këtë formulë. Pasi të shihni rezultatin tuaj, do t'ju bëhet e qartë nëse e keni kuptuar këtë temë apo jo. Mundohuni të mos mësoni përmendësh, por të gërmoni në material, do të jetë shumë më i dobishëm. Materiali i memorizuar harrohet pas testit të parë, dhe këtë formulë do ta hasni mjaft shpesh, ndaj së pari kuptoni dhe më pas mësoni përmendësh. Nëse këto rekomandime nuk kanë një efekt pozitiv, atëherë ka kuptim të merrni klasa shtesë për këtë temë. Dhe mbani mend: mësimi është dritë, jo mësimi është errësirë!

Udhëzimet

Nëse keni nevojë të llogaritni duke përdorur teoremën e Pitagorës, përdorni algoritmin e mëposhtëm: - Përcaktoni në një trekëndësh se cilat brinjë janë këmbët dhe cilat janë hipotenuza. Dy anët që formojnë një kënd prej nëntëdhjetë gradë janë këmbët, e treta e mbetur është hipotenuza. (cm) - Ngrini secilën këmbë të këtij trekëndëshi në fuqinë e dytë, domethënë shumëzojeni në vetvete. Shembulli 1. Supozojmë se duhet të llogarisim hipotenuzën nëse njëra këmbë në një trekëndësh është 12 cm dhe tjetra është 5 cm Së pari, katrorët e këmbëve janë të barabarta: 12 * 12 = 144 cm dhe 5 * 5 = 25 cm. Më pas, përcaktoni shumën e këmbëve katrore. Një numër i caktuar është hipotenuzë, duhet të heqësh qafe fuqinë e dytë të numrit për të gjetur gjatësia këtë anë të trekëndëshit. Për ta bërë këtë, nxirrni vlerën e shumës së katrorëve të këmbëve nga rrënja katrore. Shembulli 1. 144+25=169. Rrënja katrore e 169 është 13. Prandaj, gjatësia e kësaj hipotenuzë e barabartë me 13 cm.

Një mënyrë tjetër për të llogaritur gjatësinë hipotenuzë qëndron në terminologjinë e sinusit dhe këndeve në një trekëndësh. Sipas përkufizimit: sinusi i këndit alfa - këmba e kundërt me hipotenuzën. Kjo do të thotë, duke parë figurën, sin a = CB / AB. Prandaj, hipotenuza AB = CB / sin a Shembulli 2. Le të jetë këndi 30 gradë, dhe ana e kundërt të jetë 4 cm. Zgjidhje: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Përgjigje: gjatësia hipotenuzë e barabartë me 8 cm.

Një mënyrë e ngjashme për të gjetur hipotenuzë nga përkufizimi i kosinusit të një këndi. Kosinusi i një këndi është raporti i anës ngjitur me të dhe hipotenuzë. Kjo do të thotë, cos a = AC/AB, pra AB = AC/cos a. Shembulli 3. Në trekëndëshin ABC, AB është hipotenuza, këndi BAC është 60 gradë, këmbët AC është 2 cm.
Zgjidhje: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Përgjigje: Hipotenuza është e gjatë 4 cm.

Këshilla të dobishme

Kur gjeni vlerën e sinusit ose kosinusit të një këndi, përdorni ose tabelën e sinusit dhe kosinusit ose tabelën Bradis.

Këshilla 2: Si të gjeni gjatësinë e hipotenuzës në një trekëndësh kënddrejtë

Hipotenuza është ana më e gjatë në një trekëndësh kënddrejtë, kështu që nuk është për t'u habitur që fjala përkthehet nga greqishtja si "shtrirë". Kjo anë qëndron gjithmonë përballë këndit 90°, dhe anët që formojnë këtë kënd quhen këmbë. Duke ditur gjatësitë e këtyre anëve dhe vlerat e këndeve akute në kombinime të ndryshme të këtyre vlerave, mund të llogarisim gjatësinë e hipotenuzës.

Udhëzimet

Nëse dihen gjatësitë e të dy trekëndëshave (A dhe B), atëherë përdorni gjatësitë e hipotenuzës (C), ndoshta postulati më i famshëm matematikor - teorema e Pitagorës. Ai thotë se katrori i gjatësisë së hipotenuzës është shuma e katrorëve të gjatësisë së këmbëve, nga e cila rezulton se duhet të llogaritni rrënjën e shumës së gjatësive në katror të dy anëve: C = √ ( A² + B²). Për shembull, nëse gjatësia e njërës këmbë është 15 dhe - 10 centimetra, atëherë gjatësia e hipotenuzës do të jetë afërsisht 18.0277564 centimetra, pasi √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.02775

Nëse dihet gjatësia e vetëm njërës nga këmbët (A) në një trekëndësh kënddrejtë, si dhe vlera e këndit përballë tij (α), atëherë gjatësia e hipotenuzës (C) mund të përdoret duke përdorur një nga trigonometrik. funksionet - sinusi. Për ta bërë këtë, pjesëtoni gjatësinë e brinjës së njohur me sinusin e këndit të njohur: C=A/sin(α). Për shembull, nëse gjatësia e njërës prej këmbëve është 15 centimetra, dhe këndi në kulmin e kundërt të trekëndëshit është 30°, atëherë gjatësia e hipotenuzës do të jetë e barabartë me 30 centimetra, pasi 15/sin(30°) =15/0.5=30.

Nëse në një trekëndësh kënddrejtë dihet madhësia e njërit prej këndeve akute (α) dhe gjatësia e këmbës ngjitur (B), atëherë për të llogaritur gjatësinë e hipotenuzës (C) mund të përdorni një funksion tjetër trigonometrik - kosinus. Gjatësinë e këmbës së njohur duhet ta ndani me kosinusin e këndit të njohur: C=B/ cos(α). Për shembull, nëse gjatësia e kësaj këmbë është 15 centimetra, dhe këndi akut ngjitur me të është 30°, atëherë gjatësia e hipotenuzës do të jetë afërsisht 17,3205081 centimetra, pasi 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17.3205081.

Gjatësia zakonisht përdoret për të treguar distancën midis dy pikave në një segment vije. Mund të jetë një vijë e drejtë, e thyer ose e mbyllur. Ju mund ta llogaritni gjatësinë mjaft thjesht nëse dini disa tregues të tjerë të segmentit.

Ndër llogaritjet e shumta të kryera për të llogaritur sasi të ndryshme të ndryshme është gjetja e hipotenuzës së një trekëndëshi. Kujtojmë se një trekëndësh është një shumëfaqësh që ka tre kënde. Më poshtë janë disa mënyra për të llogaritur hipotenuzën e trekëndëshave të ndryshëm.

Së pari, le të shohim se si të gjejmë hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë. Për ata që kanë harruar, një trekëndësh me një kënd prej 90 gradë quhet trekëndësh kënddrejtë. Brinja e trekëndëshit e vendosur në anën e kundërt të këndit të drejtë quhet hipotenuzë. Përveç kësaj, është ana më e gjatë e trekëndëshit. Në varësi të vlerave të njohura, gjatësia e hipotenuzës llogaritet si më poshtë:

Dihet gjatësia e këmbëve. Hipotenuza në këtë rast llogaritet duke përdorur teoremën e Pitagorës, e cila thotë si më poshtë: katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve. Nëse marrim parasysh një trekëndësh kënddrejtë BKF, ku BK dhe KF janë këmbë, dhe FB është hipotenuza, atëherë FB2= BK2+ KF2. Nga sa më sipër, rrjedh se kur llogaritet gjatësia e hipotenuzës, secila nga vlerat e këmbëve duhet të jetë në katror me radhë. Më pas shtoni numrat e mësuar dhe nxirrni rrënjën katrore nga rezultati.

Shqyrtoni një shembull: Jepet një trekëndësh me kënd të drejtë. Njëra këmbë është 3 cm, tjetra është 4 cm. Gjeni hipotenuzën. Zgjidhja duket si kjo.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Ekstraktoni dhe merrni FB=5cm.

Këmba (BK) dhe këndi ngjitur me të, i cili formohet nga hipotenuza dhe kjo këmbë, janë të njohura. Si të gjeni hipotenuzën e një trekëndëshi? Le të shënojmë këndin e njohur α. Sipas vetive që thotë se raporti i gjatësisë së këmbës me gjatësinë e hipotenuzës është i barabartë me kosinusin e këndit ndërmjet kësaj kembe dhe hipotenuzës. Duke marrë parasysh një trekëndësh, ky mund të shkruhet kështu: FB= BK*cos(α).
Këmba (KF) dhe i njëjti kënd α janë të njohura, vetëm tani do të jetë e kundërta. Si të gjeni hipotenuzën në këtë rast? Le të kthehemi te të njëjtat veti të një trekëndëshi kënddrejtë dhe të zbulojmë se raporti i gjatësisë së këmbës me gjatësinë e hipotenuzës është i barabartë me sinusin e këndit përballë këmbës. Kjo është, FB= KF * sin (α).

Le të shohim një shembull. Jepet i njëjti trekëndësh kënddrejtë BKF me hipotenuzë FB. Le të jetë këndi F i barabartë me 30 gradë, këndi i dytë B korrespondon me 60 gradë. Është e njohur edhe këmba BK, gjatësia e së cilës korrespondon me 8 cm Vlera e kërkuar mund të llogaritet si më poshtë:

FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.

I njohur (R), i përshkruar rreth një trekëndëshi me kënd të drejtë. Si të gjeni hipotenuzën kur shqyrtoni një problem të tillë? Nga vetia e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi me kënd të drejtë, dihet se qendra e një rrethi të tillë përkon me pikën e hipotenuzës, duke e ndarë atë në gjysmë. Me fjalë të thjeshta, rrezja korrespondon me gjysmën e hipotenuzës. Prandaj hipotenuza është e barabartë me dy rreze. FB=2*R. Nëse ju jepet një problem i ngjashëm në të cilin nuk dihet rrezja, por mediana, atëherë duhet t'i kushtoni vëmendje vetive të një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi me kënd të drejtë, i cili thotë se rrezja është e barabartë me mesataren e tërhequr. te hipotenuza. Duke përdorur të gjitha këto veti, problemi zgjidhet në të njëjtën mënyrë.

Nëse pyetja është se si të gjeni hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë izosceles, atëherë duhet t'i drejtoheni të njëjtës teoremë të Pitagorës. Por, para së gjithash, mbani mend se një trekëndësh izosceles është një trekëndësh që ka dy brinjë identike. Në rastin e një trekëndëshi kënddrejtë, brinjët janë të barabarta. Kemi FB2= BK2+ KF2, por meqenëse BK= KF kemi si më poshtë: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Siç mund ta shihni, njohja e teoremës së Pitagorës dhe vetitë e një trekëndëshi kënddrejtë, zgjidhja e problemeve në të cilat është e nevojshme të llogaritet gjatësia e hipotenuzës është shumë e thjeshtë. Nëse është e vështirë të mbani mend të gjitha vetitë, mësoni formula të gatshme, duke zëvendësuar vlerat e njohura në të cilat mund të llogaritni gjatësinë e dëshiruar të hipotenuzës.

Një trekëndësh është një numër gjeometrik i përbërë nga tre segmente që lidhin tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë. Pikat që formojnë një trekëndësh quhen pikat e tij, dhe segmentet janë krah për krah.

Në varësi të llojit të trekëndëshit (drejtkëndësh, pikturë njëngjyrëshe, etj.), Ju mund të llogarisni anën e trekëndëshit në mënyra të ndryshme, në varësi të të dhënave hyrëse dhe kushteve të problemit.

Navigim i shpejtë për një artikull

Për të llogaritur brinjët e një trekëndëshi kënddrejtë, përdoret teorema e Pitagorës, e cila thotë se katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve.

Nëse i emërtojmë këmbët si "a" dhe "b" dhe hipotenuzën si "c", atëherë faqet mund të gjenden me formulat e mëposhtme:

Nëse dihen këndet akute të një trekëndëshi kënddrejtë (a dhe b), brinjët e tij mund të gjenden me formulat e mëposhtme:

Trekëndësh i prerë

Trekëndëshi quhet trekëndësh barabrinjës në të cilin të dyja anët janë të njëjta.

Si të gjeni hipotenuzën në dy këmbë

Nëse shkronja "a" është identike me të njëjtën faqe, "b" është baza, "b" është këndi përballë bazës, "a" është këndi ngjitur për të llogaritur faqet, mund të përdorni formulat e mëposhtme:

Dy qoshe dhe një anë

Nëse njihen një faqe (c) dhe dy kënde (a dhe b) të çdo trekëndëshi, formula e sinusit përdoret për të llogaritur faqet e mbetura:

Ju duhet të gjeni vlerën e tretë y = 180 - (a + b) sepse

shuma e të gjitha këndeve të një trekëndëshi është 180°;

Dy anë dhe një kënd

Nëse njihen dy brinjë të trekëndëshit (a dhe b) dhe këndi ndërmjet tyre (y), teorema e kosinusit mund të përdoret për të llogaritur brinjën e tretë.

Si të përcaktohet perimetri i një trekëndëshi kënddrejtë

Një trekëndësh trekëndësh është një trekëndësh, njëri prej të cilëve është 90 gradë dhe dy të tjerët janë të mprehtë. llogaritje perimetri të tilla trekëndëshi në varësi të sasisë së informacionit të njohur për të.

Do t'ju duhet

Në varësi të rastit, aftësitë 2 tre anët e trekëndëshit, si dhe një nga këndet akute të tij.

udhëzimet

së pari Metoda 1. Nëse njihen të tria faqet trekëndëshi Më pas, qofshin pingul apo jo trekëndësh, perimetri llogaritet si: P = A + B + C, ku është e mundur, c është hipotenuza; a dhe b janë këmbë.

e dyta Metoda 2.

Nëse një drejtkëndësh ka vetëm dy brinjë, atëherë duke përdorur teoremën e Pitagorës, trekëndëshi mund të llogaritet duke përdorur formulën: P = v (a2 + b2) + a + b ose P = v (c2 - b2) + b + c.

e treta Metoda 3. Le të jetë hipotenuza c dhe një kënd i mprehtë? Duke pasur parasysh një trekëndësh kënddrejtë, do të jetë e mundur të gjendet perimetri në këtë mënyrë: P = (1 + mëkat?

e katërta Metoda 4. Ata thonë se në trekëndëshin kënddrejtë gjatësia e një këmbë është e barabartë me a dhe, përkundrazi, ka një kënd të mprehtë. Pastaj llogarisni perimetri Kjo trekëndëshi do të kryhet sipas formulës: P = a * (1 / tg?

1/djali? + 1)

të pestat Metoda 5.

Llogaritja e trekëndëshit në internet

Lëreni këmbën tonë të udhëheqë dhe të përfshihet në të, atëherë diapazoni do të llogaritet si: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Video të ngjashme

Teorema e Pitagorës është baza e të gjithë matematikës. Përcakton marrëdhëniet midis brinjëve të një trekëndëshi të vërtetë. Tani ka 367 prova të kësaj teoreme.

udhëzimet

së pari Formulimi klasik shkollor i teoremës së Pitagorës tingëllon kështu: katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve.

Për të gjetur hipotenuzën në një trekëndësh kënddrejtë me dy katet, duhet të drejtoheni në katrorin e gjatësisë së këmbëve, t'i mbledhni ato dhe të merrni rrënjën katrore të shumës. Në formulimin origjinal të deklaratës së tij, tregu bazohet në hipotenuzën, e cila është e barabartë me shumën e katrorëve të 2 katrorëve të prodhuar nga Catete. Megjithatë, formulimi modern algjebrik nuk kërkon prezantimin e një paraqitjeje domeni.

e dyta Për shembull, një trekëndësh kënddrejtë, këmbët e të cilit janë 7 cm dhe 8 cm.

Atëherë, sipas teoremës së Pitagorës, hipotenuza katrore është e barabartë me R + S = 49 + 64 = 113 cm Hipotenuza është e barabartë me rrënjën katrore të numrit 113.

Këndet e një trekëndëshi kënddrejtë

Rezultati ishte një numër i pabazuar.

e treta Nëse trekëndëshat janë këmbët 3 dhe 4, atëherë hipotenuza = 25 = 5. Kur merrni rrënjën katrore, merrni një numër natyror. Numrat 3, 4, 5 formojnë një treshe pigagoriane, pasi plotësojnë relacionin x? +Y? = Z, që është e natyrshme.

Shembuj të tjerë të një treshe të Pitagorës janë: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

e katërta Në këtë rast, nëse këmbët janë identike me njëra-tjetrën, teorema e Pitagorës kthehet në një ekuacion më primitiv. Për shembull, supozoni se një dorë e tillë është e barabartë me numrin A dhe hipotenuza është përcaktuar për C, dhe pastaj c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Në këtë rast nuk ju nevojitet A.

të pestat Teorema e Pitagorës është një rast i veçantë, më i madh se teorema e përgjithshme e kosinusit, e cila vendos marrëdhënien midis tre brinjëve të një trekëndëshi për çdo kënd midis dy prej tyre.

Këshilla 2: Si të përcaktohet hipotenuza për këmbët dhe këndet

Hipotenuza është ana në një trekëndësh kënddrejtë që është përballë këndit 90 gradë.

udhëzimet

së pari Në rastin e kateterëve të njohur, si dhe këndit akut të një trekëndëshi kënddrejtë, hipotenuza mund të ketë një madhësi të barabartë me raportin e këmbës me kosinusin / sinusin e këtij këndi, nëse këndi ishte i kundërt / e përfshijnë: H = C1 (ose C2) / mëkat, H = C1 (ose C2?) / cos?. Shembull: Le të jepet ABC një trekëndësh i parregullt me hipotenuzë AB dhe kënd të drejtë C.

Le të jetë B 60 gradë dhe A 30 gradë. Gjatësia e kërcellit BC është 8 cm Gjatësia e hipotenuzës AB. Për ta bërë këtë, mund të përdorni një nga metodat e mësipërme: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenuza është ana më e gjatë e një drejtkëndëshi trekëndëshi. Ajo është e vendosur në një kënd të drejtë. Metoda për gjetjen e hipotenuzës së një drejtkëndëshi trekëndëshi në varësi të të dhënave burimore.

udhëzimet

së pari Nëse këmbët tuaja janë pingule trekëndëshi, pastaj gjatësia e hipotenuzës së drejtkëndëshit trekëndëshi mund të zbulohet nga analogu i Pitagorës - katrori i gjatësisë së hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësisë së këmbëve: c2 = a2 + b2, ku a dhe b janë gjatësia e këmbëve të së djathtës trekëndëshi .

e dyta Nëse njëra nga këmbët është e njohur dhe në një kënd akut, formula për gjetjen e hipotenuzës do të varet nga prania ose mungesa në një kënd të caktuar në lidhje me këmbën e njohur - ngjitur (këmba ndodhet afër), ose anasjelltas ( rasti i kundërt ndodhet nego.V i këndit të specifikuar është i barabartë me fraksionin e hipotenuzës së këmbës në këndin kosinus: a = a / cos E, nga ana tjetër, hipotenuza është e njëjtë me raportin e këndeve të sinusit; da = a / mëkat.

Video të ngjashme

Këshilla të dobishme
Një trekëndësh me kënd, brinjët e të cilit lidhen si 3:4:5, i quajtur delta egjiptiane për faktin se këto figura përdoreshin gjerësisht nga arkitektët e Egjiptit të lashtë.

Ky është gjithashtu shembulli më i thjeshtë i trekëndëshave të Jeros, në të cilët faqet dhe zona përfaqësohen me numra të plotë.

Trekëndësh quhet drejtkëndësh këndi i të cilit është 90°. Ana përballë këndit të djathtë quhet hipotenuzë, tjetra quhet këmbë.

Nëse dëshironi të gjeni se si formohet një trekëndësh kënddrejtë nga disa veti të trekëndëshave të rregullt, përkatësisht fakti që shuma e këndeve akute është 90°, që përdoret, dhe fakti që gjatësia e këmbës së kundërt është gjysma e hipotenuzës. është 30°.

Navigim i shpejtë për një artikull

Trekëndësh i prerë

Një nga vetitë e një trekëndëshi të barabartë është se dy këndet e tij janë të barabartë.

Për të llogaritur këndin e një trekëndëshi kongruent të drejtë, duhet të dini se:

Kjo nuk është më keq se 90 °.
Vlerat e këndeve akute përcaktohen me formulën: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, d.m.th.
Këndet α dhe β janë të barabartë me 45°.

Nëse dihet vlera e njohur e njërit prej këndeve akute, tjetri mund të gjendet duke përdorur formulën: β = 180º-90º-α ose α = 180º-90º-β.

Ky raport përdoret më shpesh nëse njëri prej këndeve është 60° ose 30°.

Konceptet kryesore

Shuma e këndeve të brendshme të një trekëndëshi është 180°.

Për shkak se është një nivel, dy mbeten të mprehta.

Llogaritni trekëndëshin në internet

Nëse dëshironi t'i gjeni ato, duhet të dini se:

Mënyra të tjera

Vlerat e këndeve akute të një trekëndëshi kënddrejtë mund të llogariten nga mesatarja - me një vijë nga një pikë në anën e kundërt të trekëndëshit, dhe lartësia - vija është një pingul e tërhequr nga hipotenuza në një kënd të drejtë .

Lëreni mesataren të shtrihet nga këndi i djathtë deri në mes të hipotenuzës dhe le të jetë h lartësia. Në këtë rast rezulton se:

sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
sin α = h/b; sin β = h/a.

Dy faqe

Nëse gjatësitë e hipotenuzës dhe njërës prej këmbëve janë të njohura në një trekëndësh kënddrejtë ose në të dy anët, atëherë identitetet trigonometrike përdoren për të përcaktuar vlerat e këndeve akute:

α = harksin (a/c), β = harksin (b/c).
α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Gjatësia e një trekëndëshi kënddrejtë

Sipërfaqja dhe sipërfaqja e një trekëndëshi

perimetri

Perimetri i çdo trekëndëshi është i barabartë me shumën e gjatësive të tre brinjëve. Formula e përgjithshme për gjetjen e një trekëndëshi trekëndësh është:

ku P është perimetri i trekëndëshit, a, b dhe c i brinjëve të tij.

Perimetri i një trekëndëshi të barabartë mund të gjendet duke kombinuar në mënyrë të njëpasnjëshme gjatësitë e anëve të saj ose duke shumëzuar gjatësinë e anës me 2 dhe duke shtuar gjatësinë e bazës në produkt.

Formula e përgjithshme për gjetjen e një trekëndëshi të ekuilibrit do të duket si kjo:

ku P është perimetri i një trekëndëshi të barabartë, por ose b, b është baza.

Perimetri i një trekëndëshi barabrinjës mund të gjendet duke kombinuar në mënyrë sekuenciale gjatësitë e anëve të saj ose duke shumëzuar gjatësinë e çdo faqeje me 3.

Formula e përgjithshme për gjetjen e buzës së trekëndëshave barabrinjës do të duket si kjo:

ku P është perimetri i një trekëndëshi barabrinjës, a është çdo brinjë e tij.

rajoni

Nëse dëshironi të matni sipërfaqen e një trekëndëshi, mund ta krahasoni atë me një paralelogram. Konsideroni trekëndëshin ABC:

Nëse marrim të njëjtin trekëndësh dhe e rregullojmë në mënyrë që të marrim një paralelogram, marrim një paralelogram me të njëjtën lartësi dhe bazë si ky trekëndësh:

Në këtë rast, ana e përbashkët e trekëndëshave paloset së bashku përgjatë diagonales së paralelogramit të derdhur.

Nga vetitë e paralelogramit. Dihet se diagonalet e një paralelogrami ndahen gjithmonë në dy trekëndësha të barabartë, atëherë sipërfaqja e secilit trekëndësh është e barabartë me gjysmën e diapazonit të paralelogramit.

Meqenëse sipërfaqja e një paralelogrami është e njëjtë me produktin e lartësisë së bazës së tij, sipërfaqja e trekëndëshit do të jetë e barabartë me gjysmën e këtij produkti. Kështu, për ΔABC zona do të jetë e njëjtë

Tani merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë:

Dy trekëndësha identikë kënddrejtë mund të përkulen në një drejtkëndësh nëse mbështetet kundër tyre, që është hipotenuza e njëra-tjetrës.

Meqenëse sipërfaqja e drejtkëndëshit përkon me sipërfaqen e anëve ngjitur, zona e këtij trekëndëshi është e njëjtë:

Nga kjo mund të konkludojmë se sipërfaqja e çdo trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me produktin e këmbëve të ndarë me 2.

Nga këta shembuj mund të konkludohet se sipërfaqja e çdo trekëndëshi është e njëjtë me produktin e gjatësisë dhe lartësia reduktohet në nënshtresën e ndarë me 2.

Formula e përgjithshme për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi do të duket si kjo:

ku S është sipërfaqja e trekëndëshit, por baza e tij, por lartësia bie në fund a.

Në jetë, shpesh do të na duhet të përballemi me probleme matematikore: në shkollë, në universitet dhe më pas të ndihmojmë fëmijën tonë me detyrat e shtëpisë. Njerëzit në profesione të caktuara do të përballen me matematikën në baza ditore. Prandaj, është e dobishme të mësoni përmendësh ose të kujtoni rregullat matematikore. Në këtë artikull do të shohim njërën prej tyre: gjetjen e brinjës së një trekëndëshi kënddrejtë.

Çfarë është një trekëndësh kënddrejtë

Së pari, le të kujtojmë se çfarë është një trekëndësh kënddrejtë. Një trekëndësh kënddrejtë është një figurë gjeometrike me tre segmente që lidhin pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz dhe një nga këndet e kësaj figure është 90 gradë. Anët që formojnë një kënd të drejtë quhen këmbë, dhe ana që ndodhet përballë këndit të drejtë quhet hipotenuzë.

Gjetja e këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë

Ka disa mënyra për të zbuluar gjatësinë e këmbës. Unë do të doja t'i konsideroja ato në mënyrë më të detajuar.

Teorema e Pitagorës për të gjetur brinjën e një trekëndëshi kënddrejtë

Nëse njohim hipotenuzën dhe këmbën, atëherë mund të gjejmë gjatësinë e këmbës së panjohur duke përdorur teoremën e Pitagorës. Tingëllon kështu: "Katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve." Formula: c²=a²+b², ku c është hipotenuza, a dhe b janë këmbët. Transformojmë formulën dhe marrim: a²=c²-b².

Shembull. Hipotenuza është 5 cm, dhe këmba është 3 cm Ne e transformojmë formulën: c²=a²+b² → a²=c²-b². Më pas zgjidhim: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Raportet trigonometrike për të gjetur këmbën e një trekëndëshi kënddrejtë

Ju gjithashtu mund të gjeni një këmbë të panjohur nëse dihet ndonjë anë tjetër dhe çdo kënd i mprehtë i një trekëndëshi kënddrejtë. Ekzistojnë katër mundësi për të gjetur një këmbë duke përdorur funksionet trigonometrike: sinus, kosinus, tangjentë, kotangjent. Tabela e mëposhtme do të na ndihmojë të zgjidhim problemet. Le të shqyrtojmë këto opsione.

Gjeni këmbën e një trekëndëshi kënddrejtë duke përdorur sinusin

Sinusi i një këndi (mëkati) është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën. Formula: sin=a/c, ku a është këmba përballë këndit të dhënë dhe c është hipotenuza. Më pas, transformojmë formulën dhe marrim: a=sin*c.

Shembull. Hipotenuza është 10 cm, këndi A është 30 gradë. Duke përdorur tabelën, ne llogarisim sinusin e këndit A, ai është i barabartë me 1/2. Më pas, duke përdorur formulën e transformuar, zgjidhim: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Gjeni këmbën e një trekëndëshi kënddrejtë duke përdorur kosinusin

Kosinusi i një këndi (cos) është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën. Formula: cos=b/c, ku b është këmba ngjitur me një kënd të caktuar, dhe c është hipotenuza. Le të transformojmë formulën dhe të marrim: b=cos*c.

Shembull. Këndi A është i barabartë me 60 gradë, hipotenuza është e barabartë me 10 cm, duke përdorur tabelën, llogarisim kosinusin e këndit A, ai është i barabartë me 1/2. Më pas zgjidhim: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Gjeni këmbën e një trekëndëshi kënddrejtë duke përdorur tangjenten

Tangjentja e një këndi (tg) është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur. Formula: tg=a/b, ku a është ana e kundërt me këndin dhe b është ana ngjitur. Le të transformojmë formulën dhe të marrim: a=tg*b.

Shembull. Këndi A është i barabartë me 45 gradë, hipotenuza është e barabartë me 10 cm Duke përdorur tabelën, njehsojmë tangjentën e këndit A, është e barabartë me Zgjidh: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Gjeni këmbën e një trekëndëshi kënddrejtë duke përdorur kotangjenten

Kotangjentja e këndit (ctg) është raporti i anës ngjitur me anën e kundërt. Formula: ctg=b/a, ku b është këmba ngjitur me këndin dhe është këmba e kundërt. Me fjalë të tjera, kotangjentja është një "tangjente e përmbysur". Marrim: b=ctg*a.

Shembull. Këndi A është 30 gradë, këmba e kundërt është 5 cm. Sipas tabelës, tangjentja e këndit A është √3. Llogaritim: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Pra, tani ju e dini se si të gjeni një këmbë në një trekëndësh kënddrejtë. Siç mund ta shihni, nuk është aq e vështirë, gjëja kryesore është të mbani mend formulat.