Trekëndësh, katror, gjashtëkëndësh - këto shifra janë të njohura për pothuajse të gjithë. Por jo të gjithë e dinë se çfarë është një shumëkëndësh i rregullt. Por këto janë të gjitha njësoj Një shumëkëndësh i rregullt është ai që ka kënde dhe brinjë të barabarta. Shifra të tilla ka shumë, por të gjitha kanë të njëjtat veti dhe për to zbatohen të njëjtat formula.
Vetitë e shumëkëndëshave të rregullt
Çdo shumëkëndësh i rregullt, qoftë katror apo tetëkëndësh, mund të brendashkrohet në një rreth. Kjo veti bazë përdoret shpesh kur ndërtohet një figurë. Përveç kësaj, një rreth mund të futet në një shumëkëndësh. Në këtë rast, numri i pikave të kontaktit do të jetë i barabartë me numrin e anëve të tij. Është e rëndësishme që një rreth i gdhendur në një shumëkëndësh të rregullt të ketë një qendër të përbashkët me të. Këto figura gjeometrike i nënshtrohen të njëjtave teorema. Çdo anë e një n-këndëshi të rregullt lidhet me rrezen e rrethit R që e rrethon atë. Prandaj, mund të llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme: a = 2R ∙ sin180°. Nëpërmjet mund të gjeni jo vetëm anët, por edhe perimetrin e poligonit.
Si të gjeni numrin e brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt
Secili prej tyre përbëhet nga një numër i caktuar segmentesh të barabartë me njëri-tjetrin, të cilët, kur lidhen, formojnë një vijë të mbyllur. Në këtë rast, të gjitha këndet e figurës që rezulton kanë të njëjtën vlerë. Shumëkëndëshat ndahen në të thjeshtë dhe të ndërlikuar. Grupi i parë përfshin një trekëndësh dhe një katror. Shumëkëndëshat kompleksë kanë më shumë anë. Këtu përfshihen edhe figura në formë ylli. Për shumëkëndëshat e rregullt kompleksë, anët gjenden duke i shkruar ato në një rreth. Le të japim një provë. Vizatoni një shumëkëndësh të rregullt me një numër arbitrar brinjësh n. Vizatoni një rreth rreth tij. Vendosni rrezen R. Tani imagjinoni se ju jepet pak n-gon. Nëse pikat e këndeve të tij shtrihen në rreth dhe janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë anët mund të gjenden duke përdorur formulën: a = 2R ∙ sinα: 2.
Gjetja e numrit të brinjëve të një trekëndëshi të rregullt të brendashkruar
Një trekëndësh barabrinjës është një shumëkëndësh i rregullt. Për të zbatohen të njëjtat formula si për një katror dhe një kënd n. Një trekëndësh do të konsiderohet i rregullt nëse brinjët e tij janë të barabarta në gjatësi. Në këtë rast, këndet janë 60⁰. Le të ndërtojmë një trekëndësh me gjatësi të dhënë të brinjës a. Duke ditur mesataren dhe lartësinë e tij, mund të gjeni vlerën e anëve të tij. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim metodën e gjetjes përmes formulës a = x: cosα, ku x është mesatarja ose lartësia. Meqenëse të gjitha anët e trekëndëshit janë të barabarta, marrim a = b = c. Atëherë pohimi i mëposhtëm do të jetë i vërtetë: a = b = c = x: cosα. Në mënyrë të ngjashme, ju mund të gjeni vlerën e brinjëve në një trekëndësh dykëndësh, por x do të jetë lartësia e dhënë. Në këtë rast, duhet të projektohet në mënyrë rigoroze në bazën e figurës. Pra, duke ditur lartësinë x, gjejmë brinjën a të trekëndëshit dykëndësh duke përdorur formulën a = b = x: cosα. Pasi të gjeni vlerën e a, mund të llogarisni gjatësinë e bazës c. Le të zbatojmë teoremën e Pitagorës. Do të kërkojmë vlerën e gjysmës së bazës c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Atëherë c = 2xtanα. Në këtë mënyrë të thjeshtë mund të gjeni numrin e brinjëve të çdo shumëkëndëshi të brendashkruar.
Llogaritja e brinjëve të një katrori të brendashkruar në një rreth
Si çdo shumëkëndësh tjetër i rregullt i brendashkruar, një katror ka brinjë dhe kënde të barabarta. Për të zbatohen të njëjtat formula si për një trekëndësh. Ju mund të llogaritni anët e një katrori duke përdorur vlerën diagonale. Le ta shqyrtojmë këtë metodë në më shumë detaje. Dihet që një diagonale ndan një kënd në gjysmë. Fillimisht vlera e tij ishte 90 gradë. Kështu, pas ndarjes, formohen dy këndet e tyre në bazë do të jenë të barabarta me 45 gradë. Prandaj, secila anë e katrorit do të jetë e barabartë, domethënë: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, ku e është diagonalja e katrorit, ose baza e trekëndëshit kënddrejtë e formuar pas ndarje. Kjo nuk është mënyra e vetme për të gjetur anët e një katrori. Le ta shkruajmë këtë figurë në një rreth. Duke ditur rrezen e këtij rrethi R, gjejmë anën e katrorit. Do ta llogarisim si më poshtë: a4 = R√2. Rrezet e shumëkëndëshave të rregullt llogariten duke përdorur formulën R = a: 2tg (360 o: 2n), ku a është gjatësia e brinjës.
Si të llogaritet perimetri i një n-gon
Perimetri i një n-gon është shuma e të gjitha anëve të tij. Është e lehtë për t'u llogaritur. Për ta bërë këtë, ju duhet të dini kuptimet e të gjitha anëve. Për disa lloje të shumëkëndëshave ekzistojnë formula të veçanta. Ato ju lejojnë të gjeni perimetrin shumë më shpejt. Dihet se çdo shumëkëndësh i rregullt ka brinjë të barabarta. Prandaj, për të llogaritur perimetrin e tij, mjafton të dihet të paktën një prej tyre. Formula do të varet nga numri i anëve të figurës. Në përgjithësi, duket kështu: P = an, ku a është vlera anësore dhe n është numri i këndeve. Për shembull, për të gjetur perimetrin e një tetëkëndëshi të rregullt me një anë prej 3 cm, duhet ta shumëzoni atë me 8, domethënë P = 3 ∙ 8 = 24 cm, ne llogarisim si më poshtë: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Dhe kështu për çdo shumëkëndësh.
Gjetja e perimetrit të paralelogramit, katrorit dhe rombit
Në varësi të sa brinjë ka një shumëkëndësh i rregullt, llogaritet perimetri i tij. Kjo e bën detyrën shumë më të lehtë. Në të vërtetë, ndryshe nga figurat e tjera, në këtë rast nuk keni nevojë të kërkoni të gjitha anët e saj, mjafton një. Duke përdorur të njëjtin parim, gjejmë perimetrin e katërkëndëshave, domethënë një katror dhe një romb. Pavarësisht se këto janë figura të ndryshme, formula për to është e njëjtë: P = 4a, ku a është ana. Le të japim një shembull. Nëse brinja e një rombi ose katrori është 6 cm, atëherë perimetrin e gjejmë si më poshtë: P = 4 ∙ 6 = 24 cm për një paralelogram, vetëm anët e kundërta janë të barabarta. Prandaj, perimetri i tij gjendet duke përdorur një metodë tjetër. Pra, duhet të dimë gjatësinë a dhe gjerësinë b të figurës. Pastaj zbatojmë formulën P = (a + b) ∙ 2. Një paralelogram në të cilin të gjitha brinjët dhe këndet ndërmjet tyre janë të barabarta quhet romb.
Gjetja e perimetrit të një trekëndëshi barabrinjës dhe kënddrejtë
Perimetri i saktë mund të gjendet duke përdorur formulën P = 3a, ku a është gjatësia e anës. Nëse është e panjohur, mund të gjendet përmes mesatares. Në një trekëndësh kënddrejtë, vetëm dy brinjë kanë vlerë të barabartë. Baza mund të gjendet përmes teoremës së Pitagorës. Pasi të njihen vlerat e të tre anëve, llogarisim perimetrin. Mund të gjendet duke përdorur formulën P = a + b + c, ku a dhe b janë anët e barabarta dhe c është baza. Kujtojmë se në një trekëndësh dykëndësh a = b = a, që do të thotë a + b = 2a, pastaj P = 2a + c. Për shembull, brinja e një trekëndëshi dykëndësh është 4 cm, le të gjejmë bazën dhe perimetrin e tij. Ne llogarisim vlerën e hipotenuzës duke përdorur teoremën e Pitagorës me = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Tani llogaritni perimetrin P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.
Si të gjeni këndet e një shumëkëndëshi të rregullt
Një shumëkëndësh i rregullt ndodh çdo ditë në jetën tonë, për shembull, një katror, trekëndësh, tetëkëndësh i rregullt. Duket se nuk ka asgjë më të lehtë sesa ta ndërtoni vetë këtë figurë. Por kjo është e thjeshtë vetëm në shikim të parë. Për të ndërtuar ndonjë n-gon, duhet të dini vlerën e këndeve të tij. Por si t'i gjeni ato? Edhe shkencëtarët e lashtë u përpoqën të ndërtonin shumëkëndësha të rregullt. Ata kuptuan se si t'i vendosnin ato në rrathë. Dhe pastaj pikat e nevojshme u shënuan në të dhe u lidhën me vija të drejta. Për figurat e thjeshta problemi i ndërtimit u zgjidh. Janë marrë formula dhe teorema. Për shembull, Euklidi, në veprën e tij të famshme "Inception", u mor me zgjidhjen e problemeve për 3-, 4-, 5-, 6- dhe 15-këndësh. Ai gjeti mënyra për t'i ndërtuar ato dhe për të gjetur kënde. Le të shohim se si ta bëjmë këtë për një 15-gon. Së pari ju duhet të llogaritni shumën e këndeve të tij të brendshme. Është e nevojshme të përdoret formula S = 180⁰(n-2). Pra, na jepet një 15-gon, që do të thotë se numri n është 15. Të dhënat që dimë i zëvendësojmë në formulë dhe marrim S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Ne gjetëm shumën e të gjitha këndeve të brendshme të një 15-gon. Tani ju duhet të merrni vlerën e secilit prej tyre. Janë gjithsej 15 kënde Ne bëjmë llogaritjen 2340⁰: 15 = 156⁰. Kjo do të thotë që çdo kënd i brendshëm është i barabartë me 156⁰, tani duke përdorur një vizore dhe busull mund të ndërtoni një 15-gon të rregullt. Por çfarë ndodh me n-gonet më komplekse? Për shumë shekuj, shkencëtarët kanë luftuar për të zgjidhur këtë problem. Ajo u zbulua vetëm në shekullin e 18-të nga Carl Friedrich Gauss. Ai ishte në gjendje të ndërtonte një 65537-gon. Që atëherë, problemi është konsideruar zyrtarisht i zgjidhur plotësisht.
Llogaritja e këndeve të n-goneve në radiane
Sigurisht, ka disa mënyra për të gjetur këndet e shumëkëndëshave. Më shpesh ato llogariten në gradë. Por ato mund të shprehen edhe në radianë. Si ta bëni këtë? Ju duhet të veproni si më poshtë. Së pari, zbulojmë numrin e brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt, pastaj zbresim 2 prej tij. Kjo do të thotë se marrim vlerën: n - 2. Shumëzojmë ndryshimin e gjetur me numrin n (“pi” = 3.14). Tani gjithçka që mbetet është të ndajmë produktin që rezulton me numrin e këndeve në këndin n. Le t'i shqyrtojmë këto llogaritje duke përdorur të njëjtin dhjetëkëndësh si shembull. Pra, numri n është 15. Le të zbatojmë formulën S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Kjo, natyrisht, nuk është mënyra e vetme për të llogaritur një kënd në radianë. Ju thjesht mund ta ndani këndin në gradë me 57.3. Në fund të fundit, kjo është sa gradë janë ekuivalente me një radian.
Llogaritja e këndeve në gradë
Përveç shkallëve dhe radianeve, mund të përpiqeni të gjeni këndet e një shumëkëndëshi të rregullt në gradë. Kjo bëhet si më poshtë. Zbrisni 2 nga numri i përgjithshëm i këndeve dhe pjesëtoni ndryshimin që rezulton me numrin e brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt. Ne e shumëzojmë rezultatin e gjetur me 200. Nga rruga, një njësi e tillë matëse e këndeve si gradë praktikisht nuk përdoret.
Llogaritja e këndeve të jashtme të n-këndëshave
Për çdo shumëkëndësh të rregullt, përveç atij të brendshëm, mund të llogarisni edhe këndin e jashtëm. Vlera e tij gjendet në të njëjtën mënyrë si për figurat e tjera. Pra, për të gjetur këndin e jashtëm të një shumëkëndëshi të rregullt, duhet të dini vlerën e atij të brendshëm. Më tej, ne e dimë se shuma e këtyre dy këndeve është gjithmonë e barabartë me 180 gradë. Prandaj, ne i bëjmë llogaritjet si më poshtë: 180⁰ minus vlerën e këndit të brendshëm. Ne gjejmë ndryshimin. Do të jetë e barabartë me vlerën e këndit ngjitur me të. Për shembull, këndi i brendshëm i një katrori është 90 gradë, që do të thotë se këndi i jashtëm do të jetë 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Siç mund ta shohim, nuk është e vështirë të gjendet. Këndi i jashtëm mund të marrë një vlerë nga +180⁰ në -180⁰, përkatësisht.
Në këtë mësim do të fillojmë një temë të re dhe do të prezantojmë një koncept të ri për ne: "poligonin". Ne do të shqyrtojmë konceptet bazë që lidhen me shumëkëndëshat: brinjët, këndet e kulmeve, konveksiteti dhe jokonveksiteti. Pastaj do të vërtetojmë faktet më të rëndësishme, si teorema mbi shumën e këndeve të brendshme të një shumëkëndëshi, teorema mbi shumën e këndeve të jashtme të një shumëkëndëshi. Si rezultat, ne do t'i afrohemi studimit të rasteve të veçanta të shumëkëndëshave, të cilat do të shqyrtohen në mësimet e mëtejshme.
Tema: Katërkëndëshat
Mësimi: Shumëkëndëshat
Në kursin e gjeometrisë, ne studiojmë vetitë e figurave gjeometrike dhe kemi ekzaminuar tashmë më të thjeshtat prej tyre: trekëndëshat dhe rrathët. Në të njëjtën kohë, diskutuam edhe raste të veçanta të veçanta të këtyre figurave, si trekëndëshat kënddrejtë, dykëndësh dhe të rregullt. Tani është koha për të folur për shifra më të përgjithshme dhe komplekse - shumëkëndëshat.
Me një rast të veçantë shumëkëndëshat ne jemi tashmë të njohur - ky është një trekëndësh (shih Fig. 1).
Oriz. 1. Trekëndësh
Vetë emri tashmë thekson se kjo është një figurë me tre kënde. Prandaj, në shumëkëndëshi mund të ketë shumë prej tyre, d.m.th. më shumë se tre. Për shembull, le të vizatojmë një pesëkëndësh (shih Fig. 2), d.m.th. figura me pesë qoshe.
Oriz. 2. Pentagoni. Shumëkëndëshi konveks
Përkufizimi.Shumëkëndëshi- një figurë e përbërë nga disa pika (më shumë se dy) dhe numri përkatës i segmenteve që i lidhin ato në mënyrë sekuenciale. Këto pika quhen majat poligonin, dhe segmentet janë partive. Në këtë rast, nuk ka dy anët ngjitur në të njëjtën vijë të drejtë dhe nuk ka dy anë jo ngjitur të kryqëzohen.
Përkufizimi.Shumëkëndëshi i rregulltështë një shumëkëndësh konveks në të cilin të gjitha brinjët dhe këndet janë të barabarta.
Çdo shumëkëndëshi ndan aeroplanin në dy zona: të brendshme dhe të jashtme. Zona e brendshme quhet gjithashtu si shumëkëndëshi.
Me fjalë të tjera, për shembull, kur flasin për një pesëkëndësh, nënkuptojnë të gjithë rajonin e brendshëm dhe kufirin e tij. Dhe rajoni i brendshëm përfshin të gjitha pikat që shtrihen brenda poligonit, d.m.th. pika gjithashtu i referohet pesëkëndëshit (shih Fig. 2).
Shumëkëndëshat quhen edhe n-këndësha për të theksuar se është marrë parasysh rasti i përgjithshëm i pranisë së një numri të panjohur këndesh (n copa).
Përkufizimi. Perimetri i shumëkëndëshit- shuma e gjatësive të brinjëve të shumëkëndëshit.
Tani duhet të njihemi me llojet e shumëkëndëshave. Ato ndahen në konveks Dhe jo konveks. Për shembull, shumëkëndëshi i paraqitur në Fig. 2 është konveks, dhe në Fig. 3 jo konveks.
Oriz. 3. Shumëkëndësh jo konveks
Përkufizimi 1. Shumëkëndëshi thirrur konveks, nëse kur vizatoni një vijë të drejtë nëpër cilëndo anë të saj, e tëra shumëkëndëshi shtrihet vetëm në njërën anë të kësaj vije të drejtë. Jo konveks janë të gjithë të tjerët shumëkëndëshat.
Është e lehtë të imagjinohet se kur shtrihet ndonjë anë e pesëkëndëshit në Fig. 2 të gjitha do të jenë në njërën anë të kësaj vije të drejtë, d.m.th. është konveks. Por kur vizatoni një vijë të drejtë përmes një katërkëndëshi në Fig. 3 tashmë shohim se e ndan në dy pjesë, d.m.th. nuk është konveks.
Por ekziston një përkufizim tjetër i konveksitetit të një shumëkëndëshi.
Përkufizimi 2. Shumëkëndëshi thirrur konveks, nëse kur zgjedhim dy nga pikat e brendshme të tij dhe i lidhim me një segment, të gjitha pikat e segmentit janë gjithashtu pika të brendshme të shumëkëndëshit.
Një demonstrim i përdorimit të këtij përkufizimi mund të shihet në shembullin e ndërtimit të segmenteve në Fig. 2 dhe 3.
Përkufizimi. Diagonale i një shumëkëndëshi është çdo segment që lidh dy kulme jo të afërta.
Për të përshkruar vetitë e shumëkëndëshave, ekzistojnë dy teorema më të rëndësishme për këndet e tyre: teorema mbi shumën e këndeve të brendshme të një shumëkëndëshi konveks Dhe teorema mbi shumën e këndeve të jashtme të një shumëkëndëshi konveks. Le t'i shikojmë ato.
Teorema. Mbi shumën e këndeve të brendshme të një shumëkëndëshi konveks (n-gon).
Ku është numri i këndeve (brinjëve) të tij.
Vërtetimi 1. Le të përshkruajmë në Fig. 4 konveks n-gon.
Oriz. 4. Konveks n-gon
Nga kulmi vizatojmë të gjitha diagonalet e mundshme. Ata e ndajnë n-këndëshin në trekëndësha, sepse secila nga brinjët e shumëkëndëshit formon një trekëndësh, me përjashtim të brinjëve ngjitur me kulmin. Nga figura është e lehtë të shihet se shuma e këndeve të të gjithë këtyre trekëndëshave do të jetë saktësisht e barabartë me shumën e këndeve të brendshme të n-këndëshit. Meqenëse shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është , atëherë shuma e këndeve të brendshme të një n-këndëshi është:
Q.E.D.
Vërtetimi 2. Një tjetër provë e kësaj teoreme është e mundur. Le të vizatojmë një n-gon të ngjashëm në Fig. 5 dhe lidhni ndonjë nga pikat e brendshme të tij me të gjitha kulmet.
Oriz. 5.
Ne kemi marrë një ndarje të n-gon në n trekëndësha (aq brinjë sa ka trekëndësha). Shuma e të gjithë këndeve të tyre është e barabartë me shumën e këndeve të brendshme të shumëkëndëshit dhe shumën e këndeve në pikën e brendshme, dhe ky është këndi. Ne kemi:
Q.E.D.
E provuar.
Sipas teoremës së provuar, është e qartë se shuma e këndeve të një n-këndësh varet nga numri i brinjëve të tij (në n). Për shembull, në një trekëndësh, dhe shuma e këndeve është . Në një katërkëndësh, dhe shuma e këndeve është, etj.
Teorema. Mbi shumën e këndeve të jashtme të një shumëkëndëshi konveks (n-gon).
Ku është numri i këndeve të tij (brinjëve), dhe , …, janë këndet e jashtme.
Dëshmi. Le të përshkruajmë një n-gon konveks në Fig. 6 dhe caktoni këndet e tij të brendshme dhe të jashtme.
Oriz. 6. N-gon konveks me kënde të jashtme të përcaktuara
Sepse Këndi i jashtëm është i lidhur me atë të brendshëm si ngjitur, atëherë 
dhe në mënyrë të ngjashme për qoshet e jashtme të mbetura. Pastaj:
Gjatë transformimeve, ne përdorëm teoremën tashmë të provuar për shumën e këndeve të brendshme të një n-këndëshi.
E provuar.
Një fakt interesant rrjedh nga teorema e provuar se shuma e këndeve të jashtme të një n-gon konveks është e barabartë me 
në numrin e këndeve (brinjëve) të tij. Nga rruga, në kontrast me shumën e këndeve të brendshme.
Referencat
- Alexandrov A.D. dhe të tjera Gjeometria, klasa e 8-të. - M.: Arsimi, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Gjeometria, klasa e 8-të. - M.: Arsimi, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Gjeometria, klasa e 8-të. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Detyrë shtëpie
Tema: “Llojet e shumëkëndëshave”.
klasa e 9-të
SHL nr 20
Mësues: Kharitonovich T.I. Qëllimi i orës së mësimit: studimi i llojeve të shumëkëndëshave.
Detyrë mësimore: përditësojnë, zgjerojnë dhe përgjithësojnë njohuritë e nxënësve për shumëkëndëshat; formoni një ide për "pjesët përbërëse" të një shumëkëndëshi; të kryejë një studim të numrit të elementeve përbërës të shumëkëndëshave të rregullt (nga trekëndëshi në n-këndësh);
Detyra zhvillimore: të zhvillojë aftësinë për të analizuar, krahasuar, për të nxjerrë përfundime, për të zhvilluar aftësitë llogaritëse, të folurit matematikor me gojë dhe me shkrim, kujtesën, si dhe pavarësinë në të menduarit dhe veprimtaritë mësimore, aftësinë për të punuar në çifte dhe grupe; zhvillojnë aktivitete kërkimore dhe edukative;
Detyrë edukative: kultivojnë pavarësinë, aktivitetin, përgjegjësinë për punën e caktuar, këmbënguljen në arritjen e qëllimit.
Pajisjet: tabela e bardhë interaktive (prezantim)
Përparimi i mësimit
Prezantimi që tregon: "Poligonat"
"Natyra flet gjuhën e matematikës, shkronjat e kësaj gjuhe ... figurat matematikore." G.Galliley
Në fillim të orës së mësimit, klasa ndahet në grupe pune (në rastin tonë, e ndarë në 3 grupe)
1. Faza e thirrjes-
a) përditësimi i njohurive të studentëve për këtë temë;
b) zgjimin e interesit për temën që studiohet, duke motivuar çdo nxënës për veprimtari edukative.
Teknika: Loja “A beson se...”, organizimi i punës me tekst.
Format e punës: ballore, grupore.
"A besoni se ..."
1. ... fjala “poligonin” tregon se të gjitha figurat e kësaj familjeje kanë “shumë kënde”?
2. ... a i përket një trekëndëshi një familjeje të madhe shumëkëndëshash, të dalluar nga shumëllojshmëria e formave të ndryshme gjeometrike në një rrafsh?
3. ... është një katror një tetëkëndësh i rregullt (katër brinjë + katër kënde)?
Sot në mësim do të flasim për shumëkëndëshat. Mësojmë se kjo shifër kufizohet nga një vijë e mbyllur e thyer, e cila nga ana tjetër mund të jetë e thjeshtë, e mbyllur. Le të flasim për faktin se shumëkëndëshat mund të jenë të sheshtë, të rregullt ose konveks. Një nga poligonet e sheshta është një trekëndësh, me të cilin jeni njohur prej kohësh (mund t'u tregoni studentëve postera që përshkruajnë shumëkëndësha, një vijë të thyer, të tregoni llojet e ndryshme të tyre, mund të përdorni gjithashtu OST).
2. Faza e konceptimit
Qëllimi: marrja e informacionit të ri, kuptimi i tij, përzgjedhja e tij.
Teknika: zigzag.
Format e punës: individuale->çift->grup.
Secilit anëtar të grupit i jepet një tekst mbi temën e mësimit dhe teksti përpilohet në atë mënyrë që të përfshijë si informacione tashmë të njohura për studentët, ashtu edhe informacione krejtësisht të reja. Së bashku me tekstin, nxënësit marrin pyetje, përgjigjet e të cilave duhet të gjenden në këtë tekst.
Shumëkëndëshat. Llojet e shumëkëndëshave.
Kush nuk ka dëgjuar për Trekëndëshin misterioz të Bermudës, në të cilin anijet dhe avionët zhduken pa lënë gjurmë? Por trekëndëshi, i njohur për ne që nga fëmijëria, është i mbushur me shumë gjëra interesante dhe misterioze.
Përveç llojeve të trekëndëshave të njohur tashmë për ne, të ndarë sipas brinjëve (shkallës, dykëndëshit, barabrinjës) dhe këndeve (akut, i mpirë, drejtkëndor), trekëndëshi i përket një familjeje të madhe poligonesh, të dalluar nga shumë forma të ndryshme gjeometrike në aeroplan.
Fjala "poligonin" tregon se të gjitha figurat në këtë familje kanë "shumë kënde". Por kjo nuk mjafton për të karakterizuar figurën.
Një vijë e thyer A1A2...An është një figurë që përbëhet nga pikat A1,A2,...An dhe segmentet A1A2, A2A3,... që i lidhin ato. Pikat quhen kulme të polivijës, kurse segmentet quhen lidhje të polivijës. (Fig. 1)
Një vijë e thyer quhet e thjeshtë nëse nuk ka vetëkryqëzime (Fig. 2, 3).
Një polivijë quhet e mbyllur nëse skajet e saj përkojnë. Gjatësia e një vije të thyer është shuma e gjatësive të lidhjeve të saj (Fig. 4)
Një vijë e thjeshtë e mbyllur e thyer quhet shumëkëndësh nëse lidhjet e saj fqinje nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë (Fig. 5).
Zëvendësoni një numër specifik, për shembull 3, në fjalën "poligonin" në vend të pjesës "shumë". Ose 5. Pastaj - një pesëkëndësh. Vini re se, sa kënde të ketë, ka aq brinjë, kështu që këto figura mund të quhen shumëpalëshe.
Kulmet e vijës së thyer quhen kulme të shumëkëndëshit, kurse lidhjet e vijës së thyer quhen brinjë të shumëkëndëshit.
Shumëkëndëshi e ndan rrafshin në dy zona: të brendshme dhe të jashtme (Fig. 6).
Një shumëkëndësh i rrafshët ose zonë shumëkëndëshe është pjesa e fundme e një rrafshi të kufizuar nga një shumëkëndësh.
Dy kulme të një shumëkëndëshi që janë skajet e njërës anë quhen ngjitur. Kulmet që nuk janë skajet e njërës anë janë jo fqinje.
Një shumëkëndësh me n kulme, dhe për rrjedhojë n brinjë, quhet n-këndësh.
Edhe pse numri më i vogël i brinjëve të një shumëkëndëshi është 3. Por trekëndëshat, kur lidhen me njëri-tjetrin, mund të formojnë figura të tjera, të cilat nga ana e tyre janë gjithashtu shumëkëndësha.
Segmentet që lidhin kulmet jo të afërta të një shumëkëndëshi quhen diagonale.
Një shumëkëndësh quhet konveks nëse shtrihet në të njëjtin gjysmërrafsh në raport me çdo drejtëz që përmban anën e tij. Në këtë rast, vetë vija e drejtë konsiderohet se i përket GJYSËRISHTIT
Këndi i një shumëkëndëshi konveks në një kulm të caktuar është këndi i formuar nga anët e tij që konvergojnë në këtë kulm.
Le të vërtetojmë teoremën (rreth shumës së këndeve të një n-këndëshi konveks): Shuma e këndeve të një n-këndore konvekse është e barabartë me 1800*(n - 2).
Dëshmi. Në rastin n=3 teorema është e vlefshme. Le të jetë A1A2...A n një shumëkëndësh i dhënë konveks dhe n>3. Le të vizatojmë diagonale në të (nga një kulm). Meqenëse shumëkëndëshi është konveks, këto diagonale e ndajnë atë në n – 2 trekëndësha. Shuma e këndeve të një shumëkëndëshi është shuma e këndeve të të gjithë këtyre trekëndëshave. Shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është 1800, kurse numri i këtyre trekëndëshave n është 2. Prandaj, shuma e këndeve të trekëndëshit konveks n A1A2...A n është 1800* (n - 2). Teorema është vërtetuar.
Këndi i jashtëm i një shumëkëndëshi konveks në një kulm të caktuar është këndi ngjitur me këndin e brendshëm të shumëkëndëshit në këtë kulm.
Një shumëkëndësh konveks quhet i rregullt nëse të gjitha anët e tij janë të barabarta dhe të gjitha këndet janë të barabarta.
Pra, sheshi mund të quhet ndryshe - një katërkëndësh i rregullt. Trekëndëshat barabrinjës janë gjithashtu të rregullt. Shifra të tilla kanë qenë prej kohësh me interes për mjeshtrit që dekoronin ndërtesat. Ata bënë modele të bukura, për shembull në parket. Por jo të gjithë poligonet e rregullt mund të përdoren për të bërë parket. Parketi nuk mund të bëhet nga tetëkëndëshat e rregullt. Fakti është se çdo kënd është i barabartë me 1350. Dhe nëse ndonjë pikë është kulmi i dy tetëkëndëshave të tillë, atëherë pjesa e tyre do të jetë 2700, dhe nuk ka vend që tetëkëndëshi i tretë të përshtatet atje: 3600 - 2700 = 900. Por për një katror kjo mjafton. Prandaj, ju mund të bëni parket nga tetëkëndësha dhe katrorë të rregullt.
Yjet janë gjithashtu të sakta. Ylli ynë me pesë cepa është një yll i rregullt pesëkëndësh. Dhe nëse rrotulloni katrorin 450 rreth qendrës, ju merrni një yll të rregullt tetëkëndor.
Çfarë është një vijë e thyer? Shpjegoni se çfarë janë kulmet dhe lidhjet e një polivije.
Cila vijë e thyer quhet e thjeshtë?
Cila vijë e thyer quhet e mbyllur?
Si quhet një shumëkëndësh? Si quhen kulmet e një shumëkëndëshi? Si quhen brinjët e një shumëkëndëshi?
Cili shumëkëndësh quhet i sheshtë? Jepni shembuj të shumëkëndëshave.
Çfarë është n – katror?
Shpjegoni se cilat kulme të një shumëkëndëshi janë të afërta dhe cilat jo.
Sa është diagonalja e një shumëkëndëshi?
Cili shumëkëndësh quhet konveks?
Shpjegoni se cilët kënde të një shumëkëndëshi janë të jashtëm dhe cilët janë të brendshëm?
Cili shumëkëndësh quhet i rregullt? Jepni shembuj të shumëkëndëshave të rregullt.
Sa është shuma e këndeve të n-këndëshit konveks? Provoje atë.
Nxënësit punojnë me tekstin, kërkojnë përgjigje për pyetjet e parashtruara, pas së cilës formohen grupe ekspertësh, në të cilat kryhet puna për të njëjtat çështje: nxënësit nënvizojnë pikat kryesore, hartojnë një përmbledhje mbështetëse dhe paraqesin informacion në njërën prej tyre. format grafike. Pas përfundimit të punës, studentët kthehen në grupet e tyre të punës.
3. Faza e reflektimit -
a) vlerësimi i njohurive të dikujt, sfida në hapin tjetër të njohurive;
b) të kuptuarit dhe përvetësimin e informacionit të marrë.
Pritja: punë kërkimore.
Format e punës: individuale->çift->grup.
Grupet e punës përfshijnë specialistë për t'iu përgjigjur çdo seksioni të pyetjeve të propozuara.
Pas kthimit në grupin e punës, eksperti ua prezanton përgjigjet e pyetjeve të tij anëtarëve të tjerë të grupit. Grupi shkëmben informacion ndërmjet të gjithë anëtarëve të grupit të punës. Kështu, në çdo grup pune, falë punës së ekspertëve, formohet një kuptim i përgjithshëm i temës që studiohet.
Punë kërkimore e studentëve– plotësimi i tabelës.
Shumëkëndësha të rregullt Vizatim Numri i brinjëve Numri i kulmeve Shuma e të gjitha këndeve të brendshme Masa e shkallës së brendshme. këndi Masa e shkallës së këndit të jashtëm Numri i diagonaleve
A) trekëndësh
B) katërkëndësh
B) me pesë vrima
D) gjashtëkëndësh
D) n-gon
Zgjidhja e problemeve interesante në temën e mësimit.
1) Sa brinjë ka një shumëkëndësh i rregullt, secili kënd i brendshëm i të cilit është 1350?
2) Në një shumëkëndësh të caktuar, të gjitha këndet e brendshme janë të barabarta me njëri-tjetrin. A mund të jetë shuma e këndeve të brendshme të këtij shumëkëndëshi: 3600, 3800?
3) A është e mundur të ndërtohet një pesëkëndësh me kënde 100,103,110,110,116 gradë?
Duke përmbledhur mësimin.
Regjistrimi i detyrave të shtëpisë: FAQJA 66-72 Nr. 15,17 DHE DETYRA: NË KATRIAGËN TË VIZITOJNË NJË VIJË TË DREJTË QË TA NDAJË NË TRE TREKENDËSH.
Reflektimi në formën e testeve (në tabelën e bardhë interaktive)
Pjesa e rrafshit e kufizuar nga një vijë e mbyllur e thyer quhet shumëkëndësh.
Segmentet e kësaj vije të thyer quhen partive shumëkëndëshi. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) janë brinjët e shumëkëndëshit ABCDE. Shuma e të gjitha brinjëve të një shumëkëndëshi quhet e saj perimetri.
Shumëkëndëshi quhet konveks, nëse ndodhet në njërën anë të ndonjërës prej anëve të saj, e shtrirë pafundësisht përtej të dy kulmeve.
Shumëkëndëshi MNPKO (Fig. 1) nuk do të jetë konveks, pasi ndodhet në më shumë se një anë të drejtëzës KR.
Ne do të shqyrtojmë vetëm shumëkëndëshat konveks.
Këndet e formuara nga dy brinjë të afërta të një shumëkëndëshi quhen të tij e brendshme qoshet, dhe majat e tyre janë kulmet e shumëkëndëshit.
Një segment i drejtëz që lidh dy kulme jo të afërta të një shumëkëndëshi quhet diagonale e shumëkëndëshit.
AC, AD - diagonalet e poligonit (Fig. 2).
Këndet ngjitur me këndet e brendshme të një shumëkëndëshi quhen kënde të jashtme të shumëkëndëshit (Fig. 3).
Në varësi të numrit të këndeve (brinjëve), shumëkëndëshi quhet trekëndësh, katërkëndësh, pesëkëndësh etj.
Dy shumëkëndësha thuhet se janë kongruentë nëse mund të bashkohen duke mbivendosur.
Shumëkëndësha të brendashkruar dhe të rrethuar
Nëse të gjitha kulmet e një shumëkëndëshi shtrihen në një rreth, atëherë shumëkëndëshi quhet të mbishkruara në një rreth, dhe rrethi - përshkruar pranë shumëkëndëshit (fig).
Nëse të gjitha anët e një shumëkëndëshi janë tangjente me një rreth, atëherë shumëkëndëshi quhet përshkruar rreth një rrethi, dhe rrethi quhet të mbishkruara në një shumëkëndësh (Fig).
Ngjashmëria e shumëkëndëshave
Dy shumëkëndësha me të njëjtin emër quhen të ngjashëm nëse këndet e njërit prej tyre janë përkatësisht të barabartë me këndet e tjetrit, dhe brinjët e ngjashme të shumëkëndëshave janë proporcionale.
Shumëkëndëshat me numër të njëjtë brinjësh (këndesh) quhen shumëkëndësha me të njëjtin emër.
Brinjët e shumëkëndëshave të ngjashëm që lidhin kulmet e këndeve përkatësisht të barabarta quhen të ngjashme (Fig.).
Kështu, për shembull, që shumëkëndëshi ABCDE të jetë i ngjashëm me shumëkëndëshin A'B'C'D'E', është e nevojshme që: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' dhe, përveç kësaj, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .
Raporti i perimetrave të shumëkëndëshave të ngjashëm
Së pari, merrni parasysh vetinë e një serie raportesh të barabarta. Le të kemi, për shembull, raportet e mëposhtme: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 = 2.
Le të gjejmë shumën e termave të mëparshëm të këtyre marrëdhënieve, pastaj shumën e termave të tyre pasues dhe të gjejmë raportin e shumave që rezultojnë, marrim:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
Ne marrim të njëjtën gjë nëse marrim një seri disa marrëdhëniesh të tjera, për shembull: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Le të gjejmë shumën e termave të mëparshëm e këtyre marrëdhënieve dhe shumës së atyre pasuese, dhe më pas gjejmë raportin e këtyre shumave, marrim:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
Në të dyja rastet, shuma e anëtarëve të mëparshëm të një serie marrëdhëniesh të barabarta lidhet me shumën e anëtarëve pasardhës të së njëjtës seri, ashtu si anëtari i mëparshëm i secilës prej këtyre marrëdhënieve lidhet me atë të mëvonshëm.
Ne e kemi nxjerrë këtë veti duke shqyrtuar një sërë shembujsh numerikë. Mund të rrjedh rreptësisht dhe në formë të përgjithshme.
Tani merrni parasysh raportin e perimetrave të shumëkëndëshave të ngjashëm.
Le të jetë shumëkëndëshi ABCDE i ngjashëm me shumëkëndëshin A’B’C’D’E’ (Fig).
Nga ngjashmëria e këtyre shumëkëndëshave del se
AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'
Bazuar në vetinë që kemi nxjerrë për një seri raportesh të barabarta, mund të shkruajmë:
Shuma e termave të mëparshëm të marrëdhënieve që kemi marrë përfaqëson perimetrin e shumëkëndëshit të parë (P), dhe shuma e termave pasues të këtyre marrëdhënieve paraqet perimetrin e shumëkëndëshit të dytë (P'), që do të thotë P / P ' = AB / A'B'.
Prandaj, Perimetrat e shumëkëndëshave të ngjashëm janë të lidhur me brinjët e tyre të ngjashme.
Raporti i sipërfaqeve të shumëkëndëshave të ngjashëm
Le të jenë ABCDE dhe A'B'C'D'E' shumëkëndësha të ngjashëm (Fig).
Dihet se ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' dhe ΔADE ~ ΔA'D'E'.
Përveç kësaj,
;
Meqenëse raportet e dyta të këtyre përmasave janë të barabarta, gjë që rrjedh nga ngjashmëria e shumëkëndëshave, atëherë
Duke përdorur vetinë e një serie raportesh të barabarta marrim:
Ose 
ku S dhe S’ janë sipërfaqet e këtyre shumëkëndëshave të ngjashëm.
Prandaj, Zonat e shumëkëndëshave të ngjashëm lidhen si katrorë të brinjëve të ngjashme.
Formula që rezulton mund të konvertohet në këtë formë: S / S' = (AB / A'B') 2
Zona e një poligoni arbitrar
Le të jetë e nevojshme të llogaritet sipërfaqja e një katërkëndëshi arbitrar ABC (Fig.).
Le të vizatojmë një diagonale në të, për shembull AD. Marrim dy trekëndësha ABD dhe ACD, sipërfaqet e të cilave mund të llogarisim. Pastaj gjejmë shumën e sipërfaqeve të këtyre trekëndëshave. Shuma që rezulton do të shprehë sipërfaqen e këtij katërkëndëshi.
Nëse keni nevojë të llogarisni sipërfaqen e një pesëkëndëshi, atëherë bëjmë të njëjtën gjë: nxjerrim diagonale nga një nga kulmet. Marrim tre trekëndësha, sipërfaqet e të cilave mund t'i llogarisim. Kjo do të thotë se ne mund të gjejmë zonën e këtij pesëkëndëshi. Ne bëjmë të njëjtën gjë kur llogaritim sipërfaqen e çdo shumëkëndëshi.
Zona e parashikuar e një poligoni
Le të kujtojmë se këndi midis një drejtëze dhe një rrafshi është këndi midis një drejtëze të caktuar dhe projeksionit të saj në rrafsh (Fig.).
Teorema. Zona e projeksionit ortogonal të një shumëkëndëshi në një plan është e barabartë me sipërfaqen e shumëkëndëshit të projektuar shumëzuar me kosinusin e këndit të formuar nga rrafshi i poligonit dhe rrafshi i projektimit.
Çdo shumëkëndësh mund të ndahet në trekëndësha, shuma e sipërfaqeve të të cilëve është e barabartë me sipërfaqen e shumëkëndëshit. Prandaj, mjafton të vërtetohet teorema për një trekëndësh.
Le të projektohet ΔАВС në aeroplan r. Le të shqyrtojmë dy raste:
a) njëra nga anët ΔABC është paralele me rrafshin r;
b) asnjë nga brinjët ΔABC nuk është paralele r.
Le të shqyrtojmë rasti i parë: le [AB] || r.
Le të vizatojmë një aeroplan përmes (AB) r 1 || r dhe projektoni në mënyrë ortogonale ΔАВС në r 1 e me radhë r(oriz.); marrim ДАВС 1 dhe ΔА'В'С'.
Nga vetia e projeksionit kemi ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', dhe për këtë arsye
S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’
Të vizatojmë ⊥ dhe segmentin D 1 C 1 . Atëherë ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ është vlera e këndit ndërmjet planit ΔABC dhe rrafshit r 1. Kjo është arsyeja pse
S Δ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ
dhe prandaj S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.
Le të vazhdojmë të shqyrtojmë rasti i dytë. Le të vizatojmë një aeroplan r 1 || r përmes asaj kulme ΔАВС, largësia nga e cila deri te rrafshi r më i vogli (le të jetë kulmi A).
Le të projektojmë ΔАВС në aeroplan r 1 dhe r(oriz.); le të jenë projeksionet e tij përkatësisht ΔАВ 1 С 1 dhe ΔА'В'С'.
Le të (BC) ∩ fq 1 = D. Pastaj
S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
Materiale të tjeraRuajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
