Metoda e përsëritjes për sistemet e ekuacioneve jolineare. Metodat numerike: zgjidhja e ekuacioneve jolineare

Studimi i fenomeneve ose proceseve të ndryshme duke përdorur metoda matematikore kryhet duke përdorur një model matematikor . Një model matematik është një përshkrim i formalizuar i objektit në studim përmes sistemeve të ekuacioneve lineare, jolineare ose diferenciale, sistemeve të pabarazive, një integrali të caktuar, një polinomi me koeficientë të panjohur, etj. Modeli matematik duhet të mbulojë karakteristikat më të rëndësishme të objektit. në studim dhe pasqyrojnë lidhjet mes tyre.

Pasi të jetë përpiluar modeli matematik, vazhdoni me formulimin e problemit llogaritës . Në të njëjtën kohë, përcaktohet se cilat karakteristika të modelit matematik janë të dhënat fillestare (hyrëse). , e cila - parametrat e modelit , dhe cilat - të dhëna dalëse. Problemi që rezulton analizohet nga pikëpamja e ekzistencës dhe unike e një zgjidhjeje.

Në fazën tjetër, zgjidhet një metodë për zgjidhjen e problemit. Në shumë raste specifike, nuk është e mundur të gjendet një zgjidhje për problemin në formë të qartë, pasi ajo nuk shprehet përmes funksioneve elementare. Probleme të tilla mund të zgjidhen vetëm përafërsisht. Metodat llogaritëse (numerike) nënkuptojnë procedura të përafërta që lejojnë marrjen e një zgjidhjeje në formën e vlerave numerike specifike. Metodat llogaritëse zakonisht zbatohen në një kompjuter. Për të zgjidhur të njëjtin problem, mund të përdoren metoda të ndryshme llogaritëse, kështu që ju duhet të jeni në gjendje të vlerësoni cilësinë e metodave të ndryshme dhe efektivitetin e përdorimit të tyre për një problem të caktuar.

Më pas, për të zbatuar metodën e zgjedhur llogaritëse, përpilohet një algoritëm dhe një program kompjuterik . Është e rëndësishme që një inxhinier modern të jetë në gjendje të transformojë një problem në një formë të përshtatshme për zbatim në një kompjuter dhe të ndërtojë një algoritëm për zgjidhjen e një problemi të tillë.

Aktualisht, ato përdoren gjerësisht si paketa që zbatojnë metodat më të përgjithshme për zgjidhjen e një game të gjerë problemesh (për shembull, Mathcad,
MatLAB), si dhe paketa që zbatojnë metoda për zgjidhjen e problemeve të veçanta.

Rezultatet e llogaritjes analizohen dhe interpretohen. Nëse është e nevojshme, parametrat e metodës, dhe nganjëherë modeli matematikor, rregullohen dhe fillon një cikël i ri i zgjidhjes së problemit.

1.1. Deklarata e problemit

Le të jepet një funksion dhe ju duhet të gjeni të gjitha ose disa vlera për të cilat .

Vlera në të cilën , quhet rrënjë(ose vendim) ekuacionet. Një funksion shpesh supozohet të jetë dy herë i diferencueshëm vazhdimisht në një fqinjësi të rrënjës.

Rrënja e ekuacionit quhet e thjeshtë, nëse derivati ​​i parë i funksionit në një pikë nuk është i barabartë me zero, d.m.th. Nëse , atëherë rrënja quhet rrënjë e shumëfishtë.

Gjeometrikisht, rrënja e ekuacionit është pika e prerjes së grafikut të funksionit me boshtin e abshisave. Në Fig. Figura 1 tregon një grafik të një funksioni që ka katër rrënjë: dy të thjeshta dhe dy të shumëfishta.

Shumica e metodave për zgjidhjen e ekuacioneve fokusohen në gjetjen e rrënjëve të thjeshta.

1.2. Fazat kryesore të gjetjes së një zgjidhjeje

Në procesin e gjetjes së përafërt të rrënjëve të një ekuacioni, zakonisht dallohen dy faza: lokalizimi(ose ndarja) e rrënjës Dhe sqarimi i rrënjës.

Lokalizimi i rrënjës përfshin përcaktimin e një segmenti që përmban një dhe vetëm një rrënjë. Nuk ka asnjë algoritëm universal për lokalizimin e rrënjëve. Ndonjëherë është e përshtatshme për të lokalizuar rrënjën duke ndërtuar një grafik ose tabelë të vlerave të funksionit. Prania e një rrënjë në një segment tregohet nga ndryshimi në shenjat e funksionit në skajet e segmentit. Baza për këtë është teorema e mëposhtme.

Teorema . Nëse një funksion është i vazhdueshëm në një segment dhe merr vlera të shenjave të ndryshme në skajet e tij në mënyrë që , atëherë segmenti përmban të paktën një rrënjë të ekuacionit.

Megjithatë, një rrënjë e shumëfishtë nuk mund të lokalizohet në këtë mënyrë, pasi në afërsi të një rrënjë të tillë funksioni ka një shenjë konstante. Në fazën e përpunimit të rrënjës, vlera e përafërt e rrënjës llogaritet me një saktësi të caktuar. Vlera e përafërt e rrënjës rafinohet duke përdorur metoda të ndryshme përsëritëse. Thelbi i këtyre metodave është që të llogariten në mënyrë sekuenciale vlerat që janë përafërsi me rrënjën.

1.3. Metoda e gjysmëpjestimit

Metoda gjysmë është mënyra më e thjeshtë dhe më e besueshme për të zgjidhur një ekuacion jolinear. Le të dihet nga analiza paraprake se rrënja e ekuacionit është në segment, d.m.th., kështu që . Le të jetë funksioni i vazhdueshëm në një segment dhe të marrë vlerat e shenjave të ndryshme në skajet e segmentit, d.m.th. .

Ndani segmentin në gjysmë. Le të marrim një pikë. Le të llogarisim vlerën e funksionit në këtë pikë: . Nëse , atëherë është rrënja e dëshiruar, dhe problemi është zgjidhur. Nëse , atëherë - një numër i një shenje të caktuar: ose. Pastaj ose në skajet e segmentit ose në skajet e segmentit vlerat e funksionit kanë shenja të ndryshme. Le të shënojmë një segment të tillë. Natyrisht, gjatësia e segmentit është dy herë më e vogël se gjatësia e segmentit. Le të bëjmë të njëjtën gjë me segmentin. Si rezultat, ne marrim ose një rrënjë ose një segment të ri, etj. (Fig. 2).

Mesi i segmentit të th. Natyrisht, gjatësia e segmentit do të jetë e barabartë me , dhe që nga , atëherë

Kriteri i përfundimit. Nga relacioni (1) rezulton se për një saktësi të caktuar të përafrimit llogaritja përfundon kur plotësohet pabarazia ose pabarazia. Kështu, numri i përsëritjeve mund të përcaktohet paraprakisht. Vlera merret si vlerë e përafërt e rrënjës.

Shembull. Le ta gjejmë afërsisht me saktësi. Ky problem është i barabartë me zgjidhjen e një ekuacioni, ose gjetjen e zeros së një funksioni. Le të marrim segmentin si segment fillestar. Në fund të këtij segmenti, funksioni merr vlera me shenja të ndryshme: . Le të gjejmë numrin e ndarjeve të segmentit të kërkuar për të arritur saktësinë e kërkuar. Ne kemi:

Për rrjedhojë, jo më vonë se divizioni i 6-të do të gjejmë me saktësinë e kërkuar, . Rezultatet e llogaritjes janë paraqitur në tabelën 1.

Tabela 1

1.4. Metoda e thjeshtë e përsëritjes

Le të zëvendësohet ekuacioni me ekuacionin ekuivalent të tij

Le të zgjedhim përafrimin fillestar në një farë mënyre. Le të llogarisim vlerën e funksionit në dhe të gjejmë vlerën e rafinuar. Le të zëvendësojmë tani ekuacionin (1) dhe të marrim një përafrim të ri, etj. Duke vazhduar këtë proces për një kohë të pacaktuar, marrim një sekuencë të përafrimeve me rrënjën:

Formula (3) është formula e llogaritjes metodë e thjeshtë e përsëritjes.

Nëse sekuenca konvergon në , dmth ekziston

dhe funksioni është i vazhdueshëm, atëherë, duke kaluar në kufirin në (3) dhe duke marrë parasysh (4), fitojmë: .

Kështu, pra, është rrënja e ekuacionit (2).

Konvergjenca e metodës. Konvergjenca e metodës së përsëritjes së thjeshtë përcaktohet nga teorema e mëposhtme.

Teorema. Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe i diferencueshëm në interval, dhe të gjitha vlerat e tij janë . Pastaj, nëse kushti është i plotësuar:

1) procesi i përsëritjes konvergon pavarësisht nga vlera fillestare;

2) vlera kufi është rrënja e vetme e ekuacionit në interval.

Dëshmi. Që dhe , ne mund të shkruajmë

Sipas teoremës së vlerës mesatare (ai thotë se nëse derivati ​​i një funksioni është i vazhdueshëm në një interval të caktuar, atëherë tangjentja e këndit të prirjes së kordës së tërhequr midis pikave dhe , (d.m.th. është e barabartë me derivatin e funksionit në një pikë të ndërmjetme që shtrihet ndërmjet dhe ) herësi në shprehjen e fundit do të jetë i barabartë , ku është një pikë e ndërmjetme në intervalin e kërkimit të rrënjës.

Nëse prezantojmë një shënim për të gjithë intervalin e kërkimit, atëherë barazia e mëparshme mund të rishkruhet si:

Po kështu. Atëherë pabarazia do të jetë e vërtetë për: etj. Duke vazhduar më tej këto llogaritje, rezultati është , ku është një numër natyror. Pra, që metoda të konvergojë, duhet të plotësohet pabarazia e mëposhtme: .

Nga kjo rrjedh se duhet të jetë më pak se një. Nga ana tjetër, për të gjitha vlerat e tjera më pak se , mund të shkruajmë: . Përcaktojmë numrin nga relacioni. Atëherë pabarazia e mëposhtme është e vërtetë (shih derivimin më poshtë): . Nëse vendosim kushtin që vlera e vërtetë e rrënjës duhet të ndryshojë nga vlera e përafërt me shumën , d.m.th. , atëherë përafrimet duhet të llogariten derisa të plotësohet pabarazia

ose dhe pastaj.

Nxjerrja e pabarazisë Konsideroni dy përafrime të njëpasnjëshme: dhe . Nga këtu.

Duke përdorur teoremën e vlerës mesatare, marrim:

atëherë, në bazë të kushtit, mund të shkruajmë:

Nga ana tjetër, le. Është e qartë se. Nga këtu, duke marrë parasysh atë, marrim

Pastaj ose.

Duke përdorur formulën e mëparshme, mund të merrni:

Le të kalojmë në kufirin në barazinë (3), për shkak të vazhdimësisë së funksionit që marrim , domethënë rrënjës së ekuacionit (2). Nuk ka rrënjë të tjera, pasi nëse , atëherë , atëherë , ku . Barazia me zero do të arrihet nëse . Kjo është, ka vetëm një rrënjë.

Teorema është vërtetuar.

Reduktimi i ekuacionit për të formuar
për të siguruar përmbushjen e pabarazisë

Në rastin e përgjithshëm, është e mundur të merret një formë përsëritëse e përshtatshme duke kryer një transformim ekuivalent të ekuacionit origjinal, për shembull, duke e shumëzuar atë me koeficientin: . Duke shtuar pastaj në të dyja anët e ekuacionit dhe duke shënuar, ne mund të kërkojmë përmbushjen e një kushti të mjaftueshëm. Nga këtu përcaktohet vlera e kërkuar. Meqenëse kushti duhet të plotësohet në të gjithë segmentin, vlera më e madhe në këtë segment duhet të përdoret për përzgjedhje, d.m.th.

Kjo marrëdhënie përcakton diapazonin e vlerave të koeficientit, duke ndryshuar vlerën brenda kufijve.

Zakonisht pranohet.

Në Fig. 3-6 tregojnë katër raste të pozicioneve relative të linjave dhe proceseve përkatëse përsëritëse. Oriz. 3 dhe 4 korrespondojnë me rastin , dhe procesi përsëritës konvergon. Në këtë rast, nëse (Fig. 3), konvergjenca është e njëanshme, dhe nëse (Fig. 4), konvergjenca është e dyanshme, osciluese. Oriz. 5 dhe 6 korrespondojnë me rastin - procesi i përsëritjes ndryshon. Në këtë rast, mund të ketë divergjencë të njëanshme (Fig. 5) dhe të dyanshme (Fig. 6).

Gabim i metodës. Vlerësimi i gabimit është vërtetuar (5).

Kriteri i përfundimit. Nga vlerësimi (5) rezulton se llogaritjet duhet të vazhdohen derisa të plotësohet pabarazia. Nëse , atëherë vlerësimi thjeshtohet: .

Shembulli 1. Ne përdorim metodën e thjeshtë të përsëritjes për të zgjidhur ekuacionin me një saktësi prej . Le ta shndërrojmë ekuacionin në formën:

, d.m.th. .

Është e lehtë të verifikohet se rrënja e ekuacionit është në segment. Pasi kemi llogaritur vlerat në skajet e segmentit, marrim: , a, d.m.th. funksioni në skajet e segmentit ka shenja të ndryshme,

prandaj ka një rrënjë brenda segmentit. Vendndodhja e rrënjës është ilustruar qartë në Fig. 7.

Le të llogarisim derivatin e parë dhe të dytë të funksionit:

Meqenëse në segmentin , derivati ​​rritet monotonisht në këtë segment dhe merr vlerën e tij maksimale në skajin e djathtë të segmentit, d.m.th. . Prandaj, vlerësimi i mëposhtëm është i drejtë:

Kështu, kushti është i plotësuar, dhe ne mund të përdorim kriterin për përfundimin e llogaritjeve. Në tabelë 2 tregon përafrimet e marra duke përdorur formulën e llogaritjes. Vlera e zgjedhur si përafrim fillestar është .

Tabela 2

Kriteri i përfundimit plotësohet kur, . Konvergjenca është e dyanshme, natyra cilësore e një konvergjence të tillë është paraqitur në Fig. 4. Vlera e përafërt e rrënjës me saktësinë e kërkuar.

Shembulli 2. Zgjidheni ekuacionin në një segment duke përdorur metodën e thjeshtë të përsëritjes me saktësi 0,025. Për ta zgjidhur, ekuacioni origjinal reduktohet në formën . Për të zgjedhur një vlerë ne përdorim formulën e mësipërme. Atëherë formula e llogaritjes duket si . Si një përafrim fillestar, ju mund të zgjidhni kufirin e sipërm të një segmenti të caktuar.

Që atëherë.

1.5. Metoda e Njutonit (metoda tangjente)

Metoda e Njutonit është metoda më efektive për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare. Lëreni rrënjën, d.m.th. Supozojmë se funksioni është i vazhdueshëm në interval dhe dy herë vazhdimisht i diferencueshëm në interval. Le të vendosim . Le të vizatojmë një tangjente me grafikun e funksionit në një pikë (Fig. 8).

Ekuacioni tangjent do të duket si: .

Kryqëzimin e parë e marrim duke marrë abshisën e pikës së prerjes së kësaj tangjente me boshtin, d.m.th., duke vendosur: .

Ne do të bëjmë të njëjtën gjë me pikën, pastaj me pikën, etj., si rezultat do të marrim një sekuencë të përafrimeve, dhe

Formula (6) është formula e llogaritjes së metodës së Njutonit.

Metoda e Njutonit mund të konsiderohet si një rast i veçantë i metodës së përsëritjes së thjeshtë, për të cilën .

Konvergjenca e metodës. Konvergjenca e metodës së Njutonit përcaktohet nga teorema e mëposhtme.

Teorema. Le të jetë një rrënjë e thjeshtë e ekuacionit dhe në disa fqinjësi të kësaj rrënjë funksioni është dy herë i diferencueshëm vazhdimisht. Pastaj ekziston një lagje kaq e vogël e rrënjës saqë, me një zgjedhje arbitrare të përafrimit fillestar nga kjo fqinjësi, sekuenca e përsëritjes e përcaktuar nga formula (6) nuk shkon përtej kësaj lagjeje dhe vlerësimi është i vlefshëm:

Konvergjenca e metodës së Njutonit varet nga sa afër rrënjës është zgjedhur supozimi fillestar.

Zgjedhja e përafrimit fillestar. Le të jetë një segment që përmban rrënjën. Nëse, si përafrim fillestar, zgjedhim fundin e segmentit për të cilin , atëherë përsëritjet (6) konvergjojnë dhe në mënyrë monotone. Oriz. 8 korrespondon me rastin kur fundi i djathtë i segmentit është zgjedhur si përafrim fillestar: (Këtu).

Gabim i metodës. Vlerësimi (7) është i papërshtatshëm për përdorim praktik. Në praktikë, përdoren vlerësimet e mëposhtme të gabimeve:

Kriteret e Fundit . Vlerësimi (8) na lejon të formulojmë kriterin e mëposhtëm për përfundimin e përsëritjeve të metodës së Njutonit. Për një saktësi të caktuar, llogaritjet duhet të kryhen derisa të plotësohet pabarazia

Shembull. Llogaritni rrënjën negative të ekuacionit duke përdorur metodën e Njutonit me saktësi 0,0001. Duke ndarë rrënjën, mund të siguroheni që rrënja të jetë e lokalizuar në interval. Në këtë interval dhe. Që dhe , atëherë ne mund të marrim .

. Kjo është arsyeja pse. Pra, si rezultat marrim sa vijon, dhe në , prandaj .

Që atëherë

Zgjidhja është hartuar në formatin Word.

Rregullat për futjen e një funksioni

Një nga mënyrat më efektive për të zgjidhur ekuacionet numerikisht është metoda e përsëritjes. Thelbi i kësaj metode është si më poshtë. Le të jepet ekuacioni f(x)=0.
Le ta zëvendësojmë me ekuacionin ekuivalent
Le të zgjedhim përafrimin fillestar të rrënjës x 0 dhe ta zëvendësojmë atë në anën e djathtë të ekuacionit (1). Pastaj marrim një numër

x 1 =φ(x 0). (2)

x n =φ(x n-1) (n=1,2..). (3)

Ose ξ=φ(ξ).
Kështu, kufiri ξ është rrënja e ekuacionit (1) dhe mund të llogaritet duke përdorur formulën (3) me çdo shkallë saktësie.

Oriz. 1a Fig. 1b

Oriz. 2.

|φ'(x)|>1 - proces divergjent

Në figurën 1a, 1b, në afërsi të rrënjës |φ'(x)|<1 и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай |φ′(x)|>1, atëherë procesi i përsëritjes mund të jetë divergjent (shih Fig. 2).

Kushtet e mjaftueshme për konvergjencën e metodës së përsëritjes

φ'(x n)(x n -x n-1)

Ku x n ∈
Pastaj marrim

|x n+1 -x n |≤φ'(x n)|x n -x n-1 |≤q|x n -x n-1 |

|x 2 -x 1 |≤q|x 1 -x 0 |
|x 3 -x 2 |≤q|x 2 -x 1 |≤q²|x 1 -x 0 |
|x n+1 -x n ≤q n |x 1 -x 0 | (4)

ξ-x n = φ′(c 1)(ξ-x n-1)+φ′(c)(x n -x n-1)
ose
|ξ-x n |≤q|ξ-x n |+q|x n -x n-1 |

, (5)

. (6)

|x n -x n -1 |<ε

Konvergjenca e metodës së përsëritjes lineare me koeficient konvergjence α=q. Në të vërtetë, ne kemi
ξ-x n =φ(ξ)-φ n-1 = φ′(c)·(ξ-x n-1), pra |ξ-x n |≤q·|ξ-x n-1 |.

Komentoni. Le të mbajë në ndonjë fqinjësi të rrënjës ξ∈(a,b) të ekuacionit x= φ(x) derivati ​​φ’(x) një shenjë konstante dhe pabarazinë |φ’(x)|≤q<1. Тогда, если φ’(x) положительна, то последовательные приближения x n = φ(x n -1) сходятся к корню монотонно.
Nëse φ’(x) është negative, atëherë përafrimet e njëpasnjëshme lëkunden rreth rrënjës.
Le të shqyrtojmë një mënyrë për të paraqitur ekuacionin f(x)=0 në formën x= φ(x).
Funksioni φ(x) duhet të specifikohet i tillë që |φ'(x)| ishte i vogël në afërsi të rrënjës.
Le të dihen m 1 dhe M 1 - vlerat më të vogla dhe më të mëdha të derivatit f'(x)
0Le të zëvendësojmë ekuacionin f(x)=0 me ekuacionin ekuivalent të tij
x = x - λf(x).
Le të vendosim φ(x) = x- λf(x). Le të zgjedhim parametrin λ në atë mënyrë që në afërsi të rrënjës ξ të mos barazohet

0≤|φ'(x)|=|1-λ·f'(x)|≤q≤1

0≤|1-λM 1 |≤|1-λm 1 |≤q

x n = x n -1 – f(x n)/f’(x).

Metoda e përsëritjes në Excel

Procesi i gjetjes së zerave të një funksioni duke përdorur metodën e përsëritjes përbëhet nga hapat e mëposhtëm:

1. Merrni një shabllon duke përdorur këtë shërbim.
2. Specifikoni intervalet në qelizat B2, B3.
3. Kopjoni linjat e përsëritjes me saktësinë e kërkuar (kolona D).

Shembull. Gjeni rrënjën e ekuacionit e -x -x=0, x=∈, ε=0,001 (8)
Zgjidhje.
Le të paraqesim ekuacionin (8) në formën x=x-λ(e -x -x)
Të gjejmë vlerën maksimale të derivatit të funksionit f(x)= e - x -x.
max f′(x)=max(-(e -x +1)) ≈ -1,37. Kuptimi . Kështu, ne zgjidhim ekuacionin e mëposhtëm
x=x+0,73(e - x -x)
Vlerat e përafrimeve të njëpasnjëshme janë dhënë në tabelë.

Zgjidhja e ekuacioneve jolineare

Supozoni se duhet të zgjidhim ekuacionin

Ku
– funksion i vazhdueshëm jolinear.

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve ndahen në të drejtpërdrejta dhe përsëritëse. Metodat direkte janë metoda që ju lejojnë të llogaritni një zgjidhje duke përdorur një formulë (për shembull, gjetja e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik).

Metodat përsëritëse janë metoda në të cilat specifikohet një përafrim fillestar dhe ndërtohet një sekuencë konvergjente përafrimesh me zgjidhjen e saktë, ku çdo përafrim pasues llogaritet duke përdorur ato të mëparshmet.

Zgjidhja e plotë e problemit mund të ndahet në 3 faza:

Përcaktoni numrin, natyrën dhe vendndodhjen e rrënjëve të ekuacionit (1).

Gjeni vlerat e përafërta të rrënjëve, d.m.th.

tregoni intervalet në të cilat do të rriten rrënjët (ndani rrënjët).

Gjeni vlerën e rrënjëve me saktësinë e kërkuar (specifikoni rrënjët).
Ekzistojnë metoda të ndryshme grafike dhe analitike për zgjidhjen e dy problemeve të para. Metoda më e dukshme për ndarjen e rrënjëve të ekuacionit (1) është përcaktimi i koordinatave të pikave të kryqëzimit të grafikut të funksionit.
me boshtin e abshisave. Abshisat
pikat e kryqëzimit të grafikut

me bosht

janë rrënjët e ekuacionit (1)
Intervalet e izolimit për rrënjët e ekuacionit (1) mund të merren në mënyrë analitike, bazuar në teorema mbi vetitë e funksioneve të vazhdueshme në një interval.
Nëse, për shembull, funksioni
e vazhdueshme në segment
ka të paktën një rrënjë të ekuacionit (1) (një numër tek i rrënjëve).

Nëse funksioni
plotëson kushtet e teoremës Bolzano-Cauchy dhe është monoton në këtë interval, pastaj në
ka vetëm një rrënjë të ekuacionit (1). Kështu, ekuacioni (1) ka
një rrënjë e vetme nëse plotësohen kushtet e mëposhtme:

Nëse një funksion është vazhdimisht i diferencueshëm në një interval të caktuar, atëherë mund të përdorim një konkluzion nga teorema e Rolle, sipas së cilës ekziston gjithmonë të paktën një pikë e palëvizshme midis një çifti rrënjësh. Algoritmi për zgjidhjen e problemit në këtë rast do të jetë si më poshtë:

Një mjet i dobishëm për ndarjen e rrënjëve është edhe përdorimi i teoremës së Sturm.

Zgjidhja e problemit të tretë kryhet me metoda të ndryshme iterative (numerike): metoda e dikotomisë, metoda e thjeshtë e përsëritjes, metoda e Njutonit, metoda e kordës, etj.

Shembull Le të zgjidhim ekuacionin
metodë përsëritje e thjeshtë. Le të vendosim
. Le të ndërtojmë një grafik të funksionit.

Grafiku tregon se rrënja e ekuacionit tonë i përket segmentit
, d.m.th.
është segmenti izolues i rrënjës së ekuacionit tonë. Le ta kontrollojmë këtë në mënyrë analitike, d.m.th. plotësimi i kushteve (2):

Le të kujtojmë se ekuacioni origjinal (1) në metodën e përsëritjes së thjeshtë shndërrohet në formë
dhe përsëritjet kryhen sipas formulës:

(3)

Kryerja e llogaritjeve duke përdorur formulën (3) quhet një përsëritje. Përsëritjet ndalojnë kur plotësohet kushti
, Ku - gabim absolut në gjetjen e rrënjës, ose
, Ku -gabim relativ.

Metoda e thjeshtë e përsëritjes konvergon nëse kushti është i kënaqur
Për
. Zgjedhja e një funksioni
në formulën (3) për përsëritjet, mund të ndikoni në konvergjencën e metodës. Në rastin më të thjeshtë
me një shenjë plus ose minus.

Në praktikë shpesh shprehet
direkt nga ekuacioni (1). Nëse kushti i konvergjencës nuk plotësohet, transformojeni atë në formën (3) dhe zgjidhni atë. Le të paraqesim ekuacionin tonë në formë
(shpreh x nga ekuacioni). Le të kontrollojmë gjendjen e konvergjencës së metodës:

Për
. Ju lutemi vini re se kushti i konvergjencës nuk është i plotësuar
, kështu që marrim një segment të izolimit të rrënjës
. Kalimisht, vërejmë se kur e paraqesim ekuacionin tonë në formë
, kushti i konvergjencës së metodës nuk plotësohet:
në segment
. Grafiku tregon se
rritet më shpejt se funksioni
(|tg| këndi i prirjes së tangjentes me
në segment
)

Le të zgjedhim
. Ne organizojmë përsëritjet sipas formulës:

Ne organizojmë në mënyrë programore procesin e përsëritjes me një saktësi të caktuar:

> fv:=proc(f1,x0,eps)

> k:=0:

x:=x1+1:

ndërsa abs(x1-x)> eps bëjnë

x1:=f1(x):

print(evalf(x1,8)):

print(abs(x1-x)):

:printf("Numri i iter.=%d ",k):

fund:

Në përsëritjen 19 morëm rrënjën e ekuacionit tonë

me gabim absolut

Le të zgjidhim ekuacionin tonë Metoda e Njutonit. Përsëritjet në metodën e Njutonit kryhen sipas formulës:

Metoda e Njutonit mund të konsiderohet si metodë e përsëritjes së thjeshtë me një funksion, atëherë kushti për konvergjencën e metodës së Njutonit do të shkruhet si:

.

Në shënimin tonë
dhe kushti i konvergjencës është i plotësuar në segment
, siç mund të shihet në grafikun:

Kujtoni se metoda e Njutonit konvergon me një shpejtësi kuadratike dhe përafrimi fillestar duhet të zgjidhet mjaftueshëm afër rrënjës. Le të bëjmë llogaritjet:
, përafrimi fillestar, . Ne organizojmë përsëritjet sipas formulës:

Ne organizojmë në mënyrë programore procesin e përsëritjes me një saktësi të caktuar. Në përsëritjen 4 marrim rrënjën e ekuacionit

Me
Ne shikuam metodat për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare duke përdorur ekuacionet kub si shembull, këto metoda zgjidhin lloje të ndryshme ekuacionesh jolineare; Për shembull, zgjidhja e ekuacionit

Metoda e Njutonit me
, gjeni rrënjën e ekuacionit në [-1.5;-1]:

Ushtrimi: Zgjidh me saktësi ekuacionet jolineare

0.

ndarja e një segmenti në gjysmë (dikotomia)

përsëritje e thjeshtë.

Njutoni (tangjentet)

sekante - akorde.

Opsionet e detyrave llogariten si më poshtë: numri në listë ndahet me 5 (
), pjesa e plotë korrespondon me numrin e ekuacionit, pjesa e mbetur - me numrin e metodës.

Ushtrimi:

1) Duke përdorur metodën e përsëritjes, zgjidhni sistemin

2) Duke përdorur metodën e Njutonit, zgjidhni sistemin

ekuacionet jolineare me saktësi 0,001.

Detyra nr. 1 Duke përdorur metodën e përsëritjes, zgjidhni një sistem ekuacionesh jolineare me saktësi 0,001.

Pjesa teorike.

Metoda e përsëritjesështë një metodë e zgjidhjes numerike të problemeve matematikore. Thelbi i tij është të gjesh një algoritëm kërkimi bazuar në një përafrim të njohur (vlerë të përafërt) të vlerës së dëshiruar për përafrimin tjetër, më të saktë. Përdoret në rastin kur sekuenca e përafrimeve sipas algoritmit të specifikuar konvergjon.

Kjo metodë quhet edhe metoda e përafrimeve të njëpasnjëshme, metoda e zëvendësimeve të përsëritura, metoda e përsëritjeve të thjeshta etj.

Metoda e Njutonit, Algoritmi i Njutonit (i njohur edhe si metoda tangjente) është një metodë numerike përsëritëse për gjetjen e rrënjës (zeros) të një funksioni të caktuar. Metoda u propozua për herë të parë nga fizikani, matematikani dhe astronomi anglez Isaac Newton (1643-1727). Kërkimi i zgjidhjes kryhet duke ndërtuar përafrime të njëpasnjëshme dhe bazohet në parimet e përsëritjes së thjeshtë. Metoda ka konvergjencë kuadratike. Një përmirësim i metodës është metoda e kordave dhe tangjenteve. Metoda e Njutonit mund të përdoret gjithashtu për të zgjidhur problemet e optimizimit në të cilat është e nevojshme të përcaktohet zeroja e derivatit të parë ose gradientit në rastin e një hapësire shumëdimensionale. Arsyetimi

Për të zgjidhur ekuacionin numerikisht duke përdorur metodën e përsëritjes së thjeshtë, ai duhet të reduktohet në formën e mëposhtme: , ku është harta e tkurrjes.

Për konvergjencën më të mirë të metodës, kushti duhet të plotësohet në pikën e përafrimit tjetër. Zgjidhja e këtij ekuacioni kërkohet në formën, më pas:

Duke supozuar se pika e përafrimit është "afër sa duhet" me rrënjën dhe se funksioni i dhënë është i vazhdueshëm, formula përfundimtare për është:

Duke marrë parasysh këtë, funksioni përcaktohet nga shprehja:

Ky funksion në afërsi të rrënjës kryen një hartë kompresive dhe algoritmi për gjetjen e një zgjidhjeje numerike të ekuacionit reduktohet në një procedurë llogaritëse përsëritëse:

.

Opsionet e detyrave

№1. 1)
2)

№2. 1)
2)

№3. 1)
2)

№4. 1)
2)

№5. 1)
2)

№6. 1)
2)

№7. 1)
2)

№8. 1)
2)

№9. 1)
2)

№10.1)
2)

№11.1)
2)

№12.1)
2)

№13.1)
2)

№14.1)
2)

№15.1)
2)

№16.1)
2)

№17.1)
2)

№18.1)
2)

№19.1)
2)

№20.1)
2)

№21. 1)
2)

№22. 1)
2)

№23. 1)
2)

№24. 1)
2)

№25. 1)
2)

№26. 1)
2)

№27. 1)
2)

№28. 1)
2)

№29. 1)
2)

№30. 1)
2)

Detyrë mostër

№1. 1)
2)

Një shembull i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh jolineare duke përdorur metodën e përsëritjes

Le ta rishkruajmë këtë sistem në formën:

I ndajmë rrënjët grafikisht (Fig. 1). Nga grafiku shohim se sistemi ka një zgjidhje, të përfshira në rajon D: 0<X<0,3;-2,2<y<-1,8.

Le të sigurohemi që metoda e përsëritjes është e zbatueshme për të rafinuar zgjidhjen e sistemit, për të cilën e shkruajmë në formën e mëposhtme:

Që atëherë kemi në rajonin D

+ = ;

+ =

Kështu, kushtet e konvergjencës plotësohen.

Tabela nr. 2

n
	0,15	-2	-0,45	-0,4350	-0,4161	-0,1384
	0,1616	-2,035	-0,4384	-0,4245	-0,4477	-0,1492
	0,1508	-2.0245	-0,4492	-0,4342	-0,4382	-0,1461
	0.1539	-2,0342.	-0,4461	-0.4313	-0,4470	-0,1490
	0.1510	-2,0313	-0,4490	-0,4341	-0,4444	-0.1481
	0,1519	-2,0341	-0,4481	-0,4333	-0,4469	-0,1490
	0,1510	-2.0333	-0.449	-0,4341	-0.4462	-0,1487
	0.1513	-2.0341	-0,4487	-0,4340	-0,4469	-0.1490
	0.1510	-2,0340

Marrim si përafërsi fillestare x o=0,15, y 0 =-2.

(Tabela nr. 2). Atëherë përgjigja do të shkruhet:

Një shembull i zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh jolineare duke përdorur metodën e Njutonit

I ndajmë rrënjët grafikisht (Fig. 2). Për të ndërtuar grafikët e funksioneve, le të krijojmë një tabelë të vlerave të funksioneve dhe të përfshira në ekuacionin e parë dhe të dytë (Tabela I).

Vlerat për x mund të merren bazuar në kushtet e mëposhtme: nga ekuacioni i parë 1≤1,2х+0,4≤1, d.m.th. 1,16≤х≤0,5; nga ekuacioni i dytë, d.m.th. . Kështu, .

Sistemi ka dy zgjidhje. Le të sqarojmë njërën prej tyre, që i përket rajonit D: 0.4<x<0,5;

0,76<y<0,73. За начальное приближение примем Имеем:

Tabela nr. 3

Ne i përsosim rrënjët duke përdorur metodën e Njutonit:

Ku ; ;

;
;

Të gjitha llogaritjet kryhen sipas tabelës 3

Pyetje sigurie

1) Paraqisni në grafik rastet e mundshme të zgjidhjes së një sistemi me dy ekuacione jolineare.

2) Formuloni pohimin e problemit të zgjidhjes së një sistemi ekuacionesh n-lineare.

3) Jepni formulat e përsëritjes të metodës së thjeshtë të përsëritjes në rastin e një sistemi me dy ekuacione jolineare.

4) Formuloni një teoremë mbi konvergjencën lokale të metodës së Njutonit.

5) Rendisni vështirësitë që dalin gjatë përdorimit të metodës së Njutonit në praktikë.

6) Shpjegoni se si mund të modifikohet metoda e Njutonit.

7) Vizatoni në formën e diagrameve bllok një algoritëm për zgjidhjen e sistemeve të dy ekuacioneve jolineare duke përdorur metodat e përsëritjes së thjeshtë dhe të Njutonit.

Puna laboratorike nr.3

Metoda e thjeshtë e përsëritjes, e quajtur edhe metoda e përafrimit të njëpasnjëshme, është një algoritëm matematikor për gjetjen e vlerës së një sasie të panjohur duke e rafinuar gradualisht atë. Thelbi i kësaj metode është që, siç sugjeron emri, duke shprehur gradualisht ato të mëvonshme nga përafrimi fillestar, merren rezultate gjithnjë e më të rafinuara. Kjo metodë përdoret për të gjetur vlerën e një ndryshoreje në një funksion të caktuar, si dhe për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve, lineare dhe jolineare.

Le të shqyrtojmë se si zbatohet kjo metodë kur zgjidhen SLAE. Metoda e thjeshtë e përsëritjes ka algoritmin e mëposhtëm:

1. Kontrollimi i përmbushjes së kushtit të konvergjencës në matricën origjinale. Teorema e konvergjencës: nëse matrica origjinale e sistemit ka dominim diagonal (d.m.th., në çdo rresht, elementët e diagonales kryesore duhet të jenë më të mëdha në vlerë absolute se shuma e elementeve të diagonaleve dytësore në vlerë absolute), atëherë e thjeshta Metoda e përsëritjes është konvergjente.

2. Matrica e sistemit origjinal nuk ka gjithmonë një mbizotërim diagonal. Në raste të tilla, sistemi mund të konvertohet. Ekuacionet që plotësojnë kushtin e konvergjencës lihen të paprekura dhe bëhen kombinime lineare me ato që nuk plotësojnë, d.m.th. shumëzoni, zbritni, shtoni ekuacione me njëri-tjetrin derisa të merret rezultati i dëshiruar.

Nëse në sistemin që rezulton ka koeficientë të papërshtatshëm në diagonalen kryesore, atëherë termat e formës me i * x i shtohen në të dy anët e një ekuacioni të tillë, shenjat e të cilit duhet të përkojnë me shenjat e elementeve diagonale.

3. Transformimi i sistemit që rezulton në formën normale:

x - =β - +α*x -

Kjo mund të bëhet në shumë mënyra, për shembull, si kjo: nga ekuacioni i parë, shprehni x 1 për sa i përket të panjohurave të tjera, nga e dyta - x 2, nga e treta - x 3, etj. Në këtë rast përdorim formulat:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
Duhet të siguroheni përsëri që sistemi i formës normale që rezulton plotëson kushtin e konvergjencës:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, ndërsa i= 1,2,...n

4. Fillojmë të zbatojmë, në fakt, vetë metodën e përafrimeve të njëpasnjëshme.

x (0) është përafrimi fillestar, ne do të shprehim x (1) përmes tij, pastaj do të shprehim x (2) deri në x (1). Formula e përgjithshme në formën e matricës duket si kjo:

x (n) = β - +α*x (n-1)

Ne llogarisim derisa të arrijmë saktësinë e kërkuar:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Pra, le të vëmë në praktikë metodën e thjeshtë të përsëritjes. Shembull:
Zgjidh SLAE:

4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 me saktësi ε=10 -3

Le të shohim nëse elementet diagonale mbizotërojnë në modul.

Ne shohim se vetëm ekuacioni i tretë plotëson kushtin e konvergjencës. Ne transformojmë të parën dhe të dytën, dhe të dytën ia shtojmë ekuacionit të parë:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3

Nga e treta zbresim të parën:

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

Ne e konvertuam sistemin origjinal në një ekuivalent:

7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

Tani le ta sjellim sistemin në formën e tij normale:

x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Ne kontrollojmë konvergjencën e procesit përsëritës:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, d.m.th. kushti eshte plotesuar.

0,3947
Supozimi fillestar x(0) = 0,4762
0,8511

Duke i zëvendësuar këto vlera në ekuacionin e formës normale, marrim vlerat e mëposhtme:

0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639

Duke zëvendësuar vlera të reja, marrim:

0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336

Ne vazhdojmë llogaritjet derisa të afrohemi me vlerat që plotësojnë kushtin e dhënë.

x (7) = 0,441091

Le të kontrollojmë korrektësinë e rezultateve të marra:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Rezultatet e marra duke zëvendësuar vlerat e gjetura në ekuacionet origjinale plotësojnë plotësisht kushtet e ekuacionit.

Siç mund ta shohim, metoda e thjeshtë e përsëritjes jep rezultate mjaft të sakta, por për të zgjidhur këtë ekuacion na u desh të shpenzonim shumë kohë dhe të bënim llogaritje të rënda.