Simulimi i Monte Carlo. Metoda Monte Carlo

Hyrje

Metoda Monte Carlo është një metodë numerike për zgjidhjen e problemeve matematikore duke modeluar variabla të rastit.

Data e lindjes së metodës Monte Carlo konsiderohet të jetë viti 1949, kur u shfaq një artikull me titull "Metoda Monte Carlo" (N. Metropolis, S. Ulam). Krijuesit e kësaj metode konsiderohen matematikanët amerikanë J. Neumann dhe S. Ulam. Në vendin tonë, artikujt e parë u botuan në vitet 1955–56. (V.V. Chavchanidze, Yu.A. Schrader, V.S. Vladimirov)

Megjithatë, baza teorike e metodës ka qenë e njohur për një kohë të gjatë. Përveç kësaj, disa probleme statistikore ndonjëherë llogariteshin duke përdorur mostra të rastësishme, d.m.th. në fakt, duke përdorur metodën Monte Carlo. Megjithatë, para ardhjes së kompjuterëve, kjo metodë nuk mund të gjente ndonjë përdorim të gjerë, pasi modelimi i variablave të rastësishëm me dorë është një punë shumë e vështirë. Kështu, shfaqja e metodës Monte Carlo si një metodë numerike shumë universale u bë e mundur vetëm falë ardhjes së kompjuterëve.

Vetë emri "Monte Carlo" vjen nga qyteti i Monte Carlo në Principatën e Monakos, i famshëm për shtëpinë e tij të lojërave të fatit dhe një nga pajisjet mekanike më të thjeshta për marrjen e ndryshoreve të rastësishme është ruleta.

Fillimisht, metoda Monte Carlo u përdor kryesisht për të zgjidhur probleme në fizikën e neutroneve, ku metodat tradicionale numerike rezultuan të ishin të pakta. Më tej, ndikimi i tij u përhap në një gamë të gjerë problemesh në fizikën statistikore, shumë të ndryshme në përmbajtje. Degët e shkencës ku përdoret gjithnjë e më shumë metoda Monte Carlo përfshijnë probleme në teorinë e radhës, probleme në teorinë e lojërave dhe ekonominë matematikore, probleme në teorinë e transmetimit të mesazheve në prani të ndërhyrjes dhe një sërë të tjerash.

Metoda Monte Carlo ka pasur dhe vazhdon të ketë një ndikim të rëndësishëm në zhvillimin e metodave të matematikës llogaritëse dhe, në zgjidhjen e shumë problemeve, kombinohet me sukses me metoda të tjera llogaritëse dhe i plotëson ato. Përdorimi i tij justifikohet kryesisht në ato probleme që lejojnë një përshkrim probabiliteti-teorik. Kjo shpjegohet si nga natyraliteti i marrjes së një përgjigjeje me një probabilitet të caktuar të caktuar në problemet me përmbajtje probabilistike, ashtu edhe nga thjeshtimi i konsiderueshëm i procedurës së zgjidhjes.

Në shumicën dërrmuese të problemeve të zgjidhura me metoda Monte Carlo, llogariten pritshmëritë matematikore të disa variablave të rastit. Meqenëse më së shpeshti pritjet matematikore janë integrale të zakonshme, duke përfshirë ato të shumëfishta, metodat për llogaritjen e integraleve zënë një pozicion qendror në teorinë e metodave Monte Carlo.

1. Pjesa teorike

1.1 Thelbi i metodës Monte Carlo dhe modelimi i variablave të rastësishëm

Supozoni se duhet të llogarisim sipërfaqen e një figure të sheshtë

Le të supozojmë se kjo shifër ndodhet brenda një katrori njësi.

Le të zgjedhim brenda sheshit

Për të zgjedhur pikat në mënyrë të rastësishme, është e nevojshme të kalojmë në konceptin e një ndryshoreje të rastësishme. Ndryshore e rastësishme

Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme

Kuptime të shumta

1) dendësia

2) integrali i dendësisë

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është numri

Varianca e një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është numri:

Një ndryshore normale e rastësishme është një ndryshore e rastësishme

Çdo probabilitet i formës

Sipas (1.1)

Në integral bëjmë një ndryshim të ndryshores

Ndryshoret normale të rastësishme hasen shumë shpesh në studimin e pyetjeve të një natyre të gjerë.

Modelimi statistikor është një metodë modelimi bazë që përfshin testimin e një modeli me një grup sinjalesh të rastësishme me një densitet probabiliteti të caktuar. Qëllimi është të përcaktohen statistikisht rezultatet e prodhimit. Modelimi statistikor bazohet në metodë Monte Karlo. Le të kujtojmë se imitimi përdoret kur metodat e tjera nuk mund të përdoren.

Metoda Monte Carlo

Le të shqyrtojmë metodën Monte Carlo duke përdorur shembullin e llogaritjes së një integrali, vlera e të cilit nuk mund të gjendet në mënyrë analitike.

Detyra 1. Gjeni vlerën e integralit:

Në Fig. 1.1 tregon grafikun e funksionit f (x). Të llogaritësh vlerën e integralit të këtij funksioni do të thotë të gjesh sipërfaqen nën këtë grafik.

Oriz. 1.1

Ne e kufizojmë lakoren nga lart, në të djathtë dhe në të majtë. Ne shpërndajmë në mënyrë të rastësishme pikat në drejtkëndëshin e kërkimit. Le të shënojmë me N 1 numri i pikave të pranuara për testim (d.m.th., duke rënë në një drejtkëndësh, këto pika janë paraqitur në Fig. 1.1 me ngjyrë të kuqe dhe blu), dhe përmes N 2 - numri i pikave nën kurbë, domethënë që bien në zonën e hijezuar nën funksion (këto pika janë paraqitur me të kuqe në Fig. 1.1). Atëherë është e natyrshme të supozohet se numri i pikave që bien nën kurbë në lidhje me numrin total të pikave është në proporcion me sipërfaqen nën kurbë (vlera e integralit) në lidhje me sipërfaqen e drejtkëndëshit të provës. Matematikisht kjo mund të shprehet si më poshtë:

Këto arsyetime, natyrisht, janë statistikore dhe sa më të sakta, aq më i madh është numri i pikëve të testimit që marrim.

Një fragment i algoritmit të metodës Monte Carlo në formën e një diagrami bllok duket siç tregohet në Fig. 1.2

Oriz. 1.2

Vlerat r 1 dhe r 2 në Fig. 1.2 janë numra të rastësishëm të shpërndarë në mënyrë uniforme nga intervalet ( x 1 ; x 2) dhe ( c 1 ; c 2) në përputhje me rrethanat.

Metoda Monte Carlo është jashtëzakonisht efikase dhe e thjeshtë, por kërkon një gjenerues "të mirë" të numrave të rastësishëm. Problemi i dytë në aplikimin e metodës është përcaktimi i madhësisë së kampionit, domethënë numri i pikave të nevojshme për të dhënë një zgjidhje me një saktësi të caktuar. Eksperimentet tregojnë se për të rritur saktësinë me 10 herë, madhësia e kampionit duhet të rritet me 100 herë; domethënë, saktësia është afërsisht proporcionale me rrënjën katrore të madhësisë së kampionit:

Skema e përdorimit të metodës Monte Carlo në studimin e sistemeve me parametra të rastësishëm

Pasi të keni ndërtuar një model të një sistemi me parametra të rastësishëm, sinjalet hyrëse nga një gjenerator numrash të rastësishëm (RNG) furnizohen në hyrjen e tij, siç tregohet në Fig. 1.3 RNG është projektuar në atë mënyrë që të prodhojë në mënyrë të barabartë të shpërndara numra të rastit r pp nga intervali . Meqenëse disa ngjarje mund të jenë më të mundshme, të tjerat më pak të mundshme, numrat e rastësishëm të shpërndarë në mënyrë uniforme nga gjeneratori ushqehen në një konvertues të ligjit të numrave të rastësishëm (RLC), i cili i konverton ato në dhënë përdorues i ligjit të shpërndarjes së probabilitetit, për shembull, ligji normal ose eksponencial. Këta konvertuan numra të rastësishëm x ushqyer në hyrjen e modelit. Modeli përpunon sinjalin hyrës x sipas disa ligjeve y = ts (x) dhe merr sinjalin e daljes y, e cila është gjithashtu e rastësishme.

variabël e rastësishme e modelimit statistikor

Oriz. 1.3

Filtrat dhe numëruesit janë instaluar në bllokun e grumbullimit të statistikave (BNStat). Një filtër (disa kusht logjik) përcakton me vlerë y, nëse një ngjarje e caktuar është realizuar në një eksperiment specifik (kushti është përmbushur, f= 1) ose jo (kushti nuk u plotësua, f= 0). Nëse ndodh ngjarja, numëruesi i ngjarjeve rritet me një. Nëse ngjarja nuk realizohet, atëherë vlera e kundërvlerësimit nuk ndryshon. Nëse keni nevojë të monitoroni disa lloje të ndryshme ngjarjesh, atëherë do t'ju nevojiten disa filtra dhe numërues për modelimin statistikor N i. Një numërues i numrit të eksperimenteve mbahet gjithmonë - N.

Lidhja e mëtejshme N i te N, e llogaritur në bllokun për llogaritjen e karakteristikave statistikore (BVSH) duke përdorur metodën Monte Carlo, jep një vlerësim të probabilitetit fq i ndodhja e një ngjarjeje i, domethënë tregon frekuencën e shfaqjes së tij në një seri të N eksperimente. Kjo na lejon të nxjerrim përfundime në lidhje me vetitë statistikore të objektit të modeluar.

Për shembull, ngjarja A ndodhi si rezultat i 200 eksperimenteve të kryera 50 herë. Kjo do të thotë, sipas metodës Monte Carlo, se probabiliteti që një ngjarje të ndodhë është: fq A = 50/200 = 0,25. Probabiliteti që ngjarja të mos ndodhë është, përkatësisht, 1 - 0.25 = 0.75.

Ju lutemi paguani vëmendje: kur flasin për probabilitetin e përftuar në mënyrë eksperimentale, quhet frekuencë; fjala probabilitet përdoret kur duan të theksojnë se bëhet fjalë për një koncept teorik.

Me një numër të madh eksperimentesh N frekuenca e ndodhjes së një ngjarjeje, e marrë në mënyrë eksperimentale, priret në vlerën e probabilitetit teorik të ndodhjes së ngjarjes.

Në bllokun e vlerësimit të besueshmërisë (RAB), analizohet shkalla e besueshmërisë së të dhënave eksperimentale statistikore të marra nga modeli (duke marrë parasysh saktësinë e rezultatit e, specifikuar nga përdoruesi) dhe përcaktoni numrin e testeve statistikore të kërkuara për këtë. Nëse luhatjet në vlerat e frekuencës së shfaqjes së ngjarjeve në lidhje me probabilitetin teorik janë më të vogla se saktësia e specifikuar, atëherë frekuenca eksperimentale merret si përgjigje, përndryshe gjenerimi i ndikimeve të rastësishme të hyrjes vazhdon, dhe procesi i modelimit është të përsëritura. Me një numër të vogël testesh, rezultati mund të jetë jo i besueshëm. Por sa më shumë teste, aq më e saktë është përgjigja, sipas teoremës së kufirit qendror.

Vini re se vlerësimi kryhet duke përdorur frekuencën më të keqe. Kjo siguron rezultate të besueshme për të gjitha karakteristikat e matura të modelit menjëherë.

Shembulli 1. Le të zgjidhim një problem të thjeshtë. Sa është probabiliteti që një monedhë të zbresë lart kur të bjerë rastësisht nga një lartësi?

Le të fillojmë të hedhim një monedhë dhe të regjistrojmë rezultatet e çdo hedhjeje (shih tabelën 1.1).

Tabela 1.1.

Rezultatet e testit të hedhjes së monedhës

Ne do të llogarisim frekuencën e kokave si raport i numrit të rasteve të kokave me numrin total të vëzhgimeve. Shikoni në tabelë. 1.1 raste për N = 1, N = 2, N= 3 - në fillim vlerat e frekuencës nuk mund të quhen të besueshme. Le të përpiqemi të ndërtojmë një grafik varësie P o nga N- dhe le të shohim se si ndryshon frekuenca e kokave në varësi të numrit të eksperimenteve të kryera. Natyrisht, eksperimente të ndryshme do të prodhojnë tabela të ndryshme dhe, për rrjedhojë, grafikë të ndryshëm. Në Fig. 1.4 tregon një nga opsionet.

Oriz. 1.4

Le të nxjerrim disa përfundime.

• 1. Shihet se në vlera të vogla N, Për shembull, N = 1, N = 2, N= 3 Përgjigja nuk mund t'i besohet fare. Për shembull, P o = 0 në N= 1, domethënë, probabiliteti për të marrë koka në një gjuajtje është zero! Edhe pse të gjithë e dinë mirë që nuk është kështu. Domethënë deri tani kemi marrë një përgjigje shumë të vrazhdë. Megjithatë, shikoni grafikun: në vazhdim kursimet informacioni, përgjigja ngadalë por me siguri po i afrohet asaj të saktë (ajo theksohet me një vijë me pika). Për fat të mirë, në këtë rast të veçantë, ne e dimë përgjigjen e saktë: në mënyrë ideale, probabiliteti për të marrë kokat është 0,5 (në probleme të tjera, më komplekse, përgjigja, natyrisht, do të jetë e panjohur për ne). Le të supozojmë se duhet ta dimë përgjigjen me saktësi e= 0.1. Le të vizatojmë dy vija paralele, të ndara nga përgjigjja e saktë 0,5 me një distancë prej 0,1 (shih Fig. 1.4). Gjerësia e korridorit që rezulton do të jetë 0.2. Sapo kurba P O ( N) do të hyjë në këtë korridor në mënyrë të tillë që të mos dalë kurrë prej tij, mund të ndaloni dhe të shihni se për çfarë vlere N ndodhi. Kjo është ajo eksperimentalisht llogaritur kritike kuptimi numri i nevojshëm i eksperimenteve N kr e për të përcaktuar me saktësi përgjigjen e = 0.1; e- fqinjësia në arsyetimin tonë luan rolin e një lloj tubi preciz. Ju lutemi vini re se përgjigjet P o (91), P o (92) dhe kështu me radhë nuk i ndryshojnë më shumë vlerat e tyre (shih Fig. 1.4); të paktën shifra e parë pas presjes dhjetore, të cilës ne jemi të detyruar t'i besojmë sipas kushteve të problemit, nuk ndryshon.
• 2. Arsyeja e kësaj sjelljeje të kurbës është veprimi qendrore përfundimtare teorema. Tani për tani, këtu do ta formulojmë në versionin më të thjeshtë: "Shuma e ndryshoreve të rastësishme është një sasi jo e rastësishme". Ne kemi përdorur mesataren P o, i cili mbart informacion për shumën e eksperimenteve, dhe për këtë arsye gradualisht kjo vlerë bëhet gjithnjë e më e besueshme.
• 3. Nëse e bëni këtë eksperiment përsëri nga fillimi, atëherë, sigurisht, rezultati i tij do të jetë një lloj tjetër kurbë e rastësishme. Dhe përgjigja do të jetë e ndryshme, edhe pse afërsisht e njëjtë. Le të bëjmë një seri të tërë eksperimentesh të tilla (shih Fig. 1.5). Një seri e tillë quhet ansambël realizimesh. Cila përgjigje duhet të besoni në fund të fundit? Në fund të fundit, edhe pse janë afër, ata ende ndryshojnë. Në praktikë, ata veprojnë ndryshe. Opsioni i parë është llogaritja e mesatares së përgjigjeve për disa implementime (shih Tabelën 1.2).

Oriz. 1.5

Ne vendosëm disa eksperimente dhe përcaktuam çdo herë se sa eksperimente duheshin bërë, domethënë N kr e. Janë kryer 10 eksperimente, rezultatet e të cilave janë përmbledhur në tabelë. 1.2 Bazuar në rezultatet e 10 eksperimenteve, u llogarit vlera mesatare N kr e.

Tabela 1.2.

Të dhëna eksperimentale për numrin e kërkuar të hedhjeve të monedhave për të arritur saktësinë e

Kështu, pas kryerjes së 10 zbatimeve me gjatësi të ndryshme, përcaktuam se është e mjaftueshme V mesatare u bë e mundur 1 realizim me gjatësi 94 hedhje monedhash.

Një tjetër fakt i rëndësishëm. Shqyrtoni me kujdes grafikun në figurën 21.5 Ai tregon 100 realizime - 100 vija të kuqe. Shënoni abshisën mbi të N= 94 shirit vertikal. Ka një përqindje të caktuar të vijave të kuqe që nuk patën kohë t'i kalonin e- lagje, pra ( P exp - e ? P teori? P exp + e), dhe hyni në korridor pikërisht deri në momentin N= 94. Ju lutemi vini re se ka 5 rreshta të tillë Kjo do të thotë se 95 nga 100, domethënë 95%, linjat hynë në mënyrë të besueshme në intervalin e caktuar.

Kështu, pas kryerjes së 100 zbatimeve, arritëm afërsisht 95% besim në probabilitetin e marrë eksperimentalisht të kokave, duke e përcaktuar atë me një saktësi prej 0.1.

Për të krahasuar rezultatin e marrë, le të llogarisim vlerën teorike N kr t teorikisht. Megjithatë, për këtë do të duhet të prezantojmë konceptin e probabilitetit të besimit P F, që tregon se sa të gatshëm jemi të besojmë përgjigjen.

Për shembull, kur P F= 0.95 ne jemi gati të besojmë përgjigjen në 95% të rasteve nga 100. Duket kështu: N cr t = k (P F) · fq· (1 - fq) /e 2 ku k (P F) - Koeficienti Laplace, fq- probabiliteti për të marrë koka, e- saktësia (intervali i besimit). Në tabelë 1.3 tregon vlerat e vlerës teorike të numrit të eksperimenteve të nevojshme për të ndryshme P F(për saktësi e= 0.1 dhe probabiliteti fq = 0.5).

Tabela 1.3.

Llogaritja teorike e numrit të kërkuar të rrokullisjeve të monedhës për të arritur saktësinë e= 0.1 kur llogaritet probabiliteti i marrjes së kokave

Siç mund ta shihni, vlerësimi që kemi marrë për kohëzgjatjen e zbatimit, i barabartë me 94 eksperimente, është shumë i afërt me atë teorik, i barabartë me 96. Disa mospërputhje shpjegohen me faktin se, me sa duket, 10 zbatime nuk janë të mjaftueshme për një llogaritje e saktë N kr e. Nëse vendosni se dëshironi një rezultat të cilit duhet t'i besoni më shumë, atëherë ndryshoni vlerën e nivelit të besimit. Për shembull, teoria na thotë se nëse ka 167 eksperimente, atëherë vetëm 1-2 rreshta nga ansambli nuk do të përfshihen në tubin e propozuar të saktësisë. Por mbani në mend, numri i eksperimenteve rritet shumë shpejt me rritjen e saktësisë dhe besueshmërisë.

Opsioni i dytë i përdorur në praktikë është kryerja një zbatimi dhe rriten marrë Për saj N kr uh V 2 herë. Kjo konsiderohet një garanci e mirë e saktësisë së përgjigjes (shih Figurën 1.6).

Oriz. 1.6. Ilustrimi i përcaktimit eksperimental të N cr e duke përdorur rregullin "shumohen me dy".

Nëse shikoni nga afër ansambël e rastit implementimet, atëherë mund të gjejmë se konvergjenca e frekuencës me vlerën e probabilitetit teorik ndodh përgjatë një lakore që korrespondon me varësinë e kundërt kuadratike nga numri i eksperimenteve (shih Fig. 1.7).

Oriz. 1.7

Kjo në fakt funksionon në këtë mënyrë në teori. Nëse ndryshoni saktësinë e specifikuar e dhe të ekzaminoni numrin e eksperimenteve të nevojshme për të siguruar secilën prej tyre, ju merrni tabelën. 1.4

Tabela 1.4.

Varësia teorike e numrit të eksperimenteve të nevojshme për të siguruar një saktësi të caktuar në P F = 0.95

Le të ndërtojmë sipas tabelës. 1.4 grafiku i varësisë N crt ( e) (shih Fig. 1.8).

Oriz. 1.8 Varësia e numrit të eksperimenteve të nevojshme për të arritur një saktësi të caktuar e në një Q F fikse = 0,95

Pra, grafikët e konsideruar konfirmojnë vlerësimin e mësipërm:

Vini re se mund të ketë disa vlerësime të saktësisë.

Shembulli 2. Gjetja e sipërfaqes së një figure duke përdorur metodën Monte Carlo. Duke përdorur metodën Monte Carlo, përcaktoni zonën e një pesëkëndëshi me koordinatat e këndit (0, 0), (0.10), (5, 20), (10,10), (7, 0).

Le të vizatojmë pesëkëndëshin e dhënë në koordinata dy-dimensionale, duke e shkruar atë në një drejtkëndësh, zona e të cilit, siç mund ta merrni me mend, është (10 - 0) · (20 - 0) = 200 (shih Fig. 1.9).

Oriz. 1.9

Përdorimi i një tabele me numra të rastit për të gjeneruar çifte numrash R, G, të shpërndara në mënyrë uniforme në rangun nga 0 në 1. Numri R X (0 ? X? 10), prandaj, X= 10 · R. Numri G do të simulojë koordinatën Y (0 ? Y? 20), pra, Y= 20 · G. Le të gjenerojmë 10 numra R Dhe G dhe shfaq 10 pikë ( X; Y) në Fig. 1.9 dhe në tabelë. 1.5

Tabela 1.5.

Zgjidhja e problemit duke përdorur metodën Monte Carlo

Hipoteza statistikore është se numri i pikave të përfshira në konturin e figurës është proporcional me sipërfaqen e figurës: 6: 10 = S: 200. Domethënë sipas formulës së metodës Monte Carlo gjejmë se sipërfaqja S Pentagoni është i barabartë me: 200 · 6/10 = 120.

Le të shohim se si ka ndryshuar vlera S nga përvoja në përvojë (shih tabelën 1.6).

Tabela 1.6.

Vlerësimi i saktësisë së përgjigjes

Meqenëse vlera e shifrës së dytë në përgjigje po ndryshon ende, pasaktësia e mundshme është akoma më shumë se 10%. Saktësia e llogaritjes mund të rritet me rritjen e numrit të testeve (shih Fig. 1.10).

Oriz. 1.10 Ilustrimi i procesit të konvergjencës së një përgjigje të përcaktuar eksperimentalisht ndaj një rezultati teorik

Leksioni 2. Gjeneruesit e numrave të rastësishëm

Metoda Monte Carlo (shih Leksionin 1. Modelimi statistikor) bazohet në gjenerimin e numrave të rastësishëm, të cilët duhet të shpërndahen në mënyrë uniforme në intervalin (0;1).

Nëse gjeneratori prodhon numra që zhvendosen në një pjesë të intervalit (disa numra shfaqen më shpesh se të tjerët), atëherë rezultati i zgjidhjes së një problemi të zgjidhur me një metodë statistikore mund të rezultojë i pasaktë. Prandaj, problemi i përdorimit të një gjeneratori të mirë të numrave vërtet të rastësishëm dhe të shpërndara vërtet uniformisht është shumë i mprehtë.

pritje m r dhe variancë D r një sekuencë e tillë e përbërë nga n numra të rastit r i, duhet të jetë si më poshtë (nëse këta janë numra të rastësishëm me të vërtetë të shpërndarë në mënyrë uniforme në rangun nga 0 në 1):

Nëse përdoruesi ka nevojë për një numër të rastësishëm x ishte në intervalin ( a; b), të ndryshme nga (0;

• 1), ju duhet të përdorni formulën x = a + (b - a) · r, Ku r- numër i rastësishëm nga intervali (0;
• 1). Ligjshmëria e këtij transformimi tregohet në Fig. 2.1

Oriz. 2.1

1) në intervalin (a; b)

Tani x- një numër i rastësishëm i shpërndarë në mënyrë uniforme në intervalin nga a te b.

Për standardi i gjeneruesit të numrave të rastësishëm(RNG) është miratuar një gjenerator që gjeneron pasardhës numrat e rastit me uniforme ligji i shpërndarjes në intervalin (0;

• 1). Për një telefonatë, ky gjenerator kthen një numër të rastësishëm. Nëse vëzhgoni një RNG të tillë për një kohë mjaft të gjatë, rezulton se, për shembull, në secilin nga dhjetë intervalet (0; 0.1), (0.1; 0.2), (0.2; 0.3), ..., (0.9 ;
• 1) do të ketë pothuajse të njëjtin numër numrash të rastësishëm - domethënë, ato do të shpërndahen në mënyrë të barabartë në të gjithë intervalin (0;
• 1). Nëse tregohet në një grafik k= 10 intervale dhe frekuenca N i i godet ato, do të merrni një kurbë eksperimentale të densitetit të shpërndarjes së numrave të rastit (shih Fig. 2.2).

Oriz. 2.2

Vini re se në mënyrë ideale kurba e densitetit të shpërndarjes së numrave të rastësishëm do të dukej siç tregohet në Fig. 2.3. Kjo do të thotë, në mënyrë ideale, çdo interval përmban të njëjtin numër pikash: N i = N/k, Ku N- numri i përgjithshëm i pikëve, k- numri i intervaleve, i = 1, …, k.

Oriz. 2.3

Duhet mbajtur mend se gjenerimi i një numri arbitrar të rastësishëm përbëhet nga dy faza:

• · gjenerimi i një numri të rastësishëm të normalizuar (d.m.th., i shpërndarë në mënyrë uniforme nga 0 në 1);
• · transformimi i numrave të rastit të normalizuar r i te numrat e rastësishëm x i, të cilat shpërndahen sipas ligjit të shpërndarjes (arbitrare) të kërkuar nga përdoruesi ose në intervalin e kërkuar.

Gjeneruesit e numrave të rastësishëm sipas metodës së marrjes së numrave ndahen në:

• · fizike;
• · tabelare;
• · algoritmik.

Metoda Monte Carlo, ose metoda e testimit statistikor, është një metodë numerike e bazuar në modelimin e variablave të rastësishëm dhe ndërtimin e vlerësimeve statistikore për vlerat e dëshiruara.

Thelbi i metodës është si më poshtë. Për të llogaritur sipërfaqen e një figure të caktuar, le të bëjmë një eksperiment: vendoseni këtë figurë në një katror dhe hidhni pikat në mënyrë të rastësishme në këtë katror. Është e natyrshme të supozohet se sa më e madhe të jetë zona e figurës, aq më shpesh pikat do të bien në të. Kështu, mund të bëjmë supozimin: me një numër të madh pikash të zgjedhura rastësisht brenda një katrori, proporcioni i pikave të përfshira në një figurë të caktuar është afërsisht i barabartë me raportin e sipërfaqes së kësaj figure dhe sipërfaqes së katrore.

Kjo metodë e gjetjes së përafërt të sipërfaqeve të figurave quhet metoda Monte Carlo.

Shembull. Llogaritja e një numri π duke përdorur metodën Monte Carlo.

Deklarata e problemit: Për të llogaritur numrin π duke përdorur metodën Monte Carlo, merrni parasysh një rreth me rreze 1 me qendër në pikën (1, 1). Një rreth është brendashkruar në një katror, ​​brinja e të cilit është a=2. Atëherë sipërfaqja e katrorit S katror = a 2 = 2 2 = 4.

Zgjidhje.

Ne zgjedhim N pika të rastësishme brenda katrorit. Zgjedhja e një pike do të thotë të specifikosh koordinatat e saj - numrat x dhe y.

Le të shënojmë N rrethin - numrin e pikave që bien brenda rrethit.

Një pikë i përket një katrori nëse 0≤x≤2 dhe 0≤y≤2.

Nëse (x-1) 2 + (y-1) 2 ≤ 1, atëherë pika bie brenda rrethit, përndryshe është jashtë rrethit. Gjeometrikisht është e qartë se

Nga këtu

Kjo do të thotë, për një rreth me rreze njësi:

Por për një rreth me rreze njësi
, prandaj marrim:
.

Kjo formulë jep një vlerësim të numrit π. Sa më i madh N, aq më e madhe është saktësia e këtij vlerësimi. Duhet të theksohet se kjo metodë e llogaritjes së sipërfaqes do të jetë e vlefshme vetëm kur pikat e rastësishme nuk janë thjesht të rastësishme, por edhe të shpërndara në mënyrë të barabartë në të gjithë katrorin.

Për të modeluar numra të rastësishëm të shpërndarë në mënyrë uniforme në rangun nga 0 në 1, gjuha e programimit Turbo Pascal përdor një gjenerues të numrave të rastësishëm - funksionin RANDOM, i cili prodhon një sekuencë vlerash të rastësishme të shpërndara në mënyrë uniforme nga 0 në 1.

Kështu, thelbi i eksperimentit kompjuterik është qasja në funksionin RANDOM për të marrë N herë koordinatat X Dhe në pikë. Në këtë rast, përcaktohet nëse pika me koordinata ( X,në) në një rreth me rreze njësi. Në rast goditjeje, vlera e vlerës N të rrethit rritet me 1.

Programi:

Programi monte_karlo;

var i, n, n1: LongInt;

x, y, pi: real; fillo Randomize;

WriteLn("Fut numrin e pikave n=");<=1 then n1:=n1+1; end; pi:=4*n1/n; WriteLn("pi=", pi:15:11); end.

Readln(n); sepse i:=1 deri në n filloni x:=2*Random;

y:=2*Random;
nëse sqr(x-1)+sqr(y-1)

Çdo herë në procesin e zgjedhjes së një kursi të veprimit të mëtejshëm, simulimi i Monte Carlo lejon vendimmarrësin të marrë në konsideratë një sërë pasojash të mundshme dhe të vlerësojë mundësinë e shfaqjes së tyre. Kjo metodë demonstron mundësitë që shtrihen në skajet e kundërta të spektrit (rezultatet e hyrjes all-in dhe marrjen e masave më konservatore), si dhe pasojat e mundshme të vendimeve të moderuara.

Kjo metodë u përdor për herë të parë nga shkencëtarët e përfshirë në zhvillimin e bombës atomike; ai u emërua pas Monte Carlo, një vendpushim në Monako i famshëm për kazinotë e tij. Duke u përhapur gjatë Luftës së Dytë Botërore, metoda Monte Carlo filloi të përdoret për të simuluar të gjitha llojet e sistemeve fizike dhe teorike.

Shiko komentet
Douglas Hubbard
Hubbard Decision Research
Ora: 00:35 sek

"Simulimi i Monte Carlo është mënyra e vetme për të analizuar vendimet kritike në kushte pasigurie."

"Simulimi i Monte Carlo për vlerësimin e kostos kapitale është bërë [në Suncor] një kërkesë për çdo projekt të madh."

Si kryhet simulimi i Monte Carlo?
Në kuadër të metodës Monte Carlo, analiza e riskut kryhet duke përdorur modele të rezultateve të mundshme. Kur krijohen modele të tilla, çdo faktor që karakterizohet nga pasiguri zëvendësohet nga një sërë vlerash - një shpërndarje probabiliteti. Më pas, rezultatet llogariten disa herë, çdo herë duke përdorur një grup të ndryshëm vlerash të funksionit të probabilitetit të rastësishëm. Ndonjëherë, për të përfunduar një simulim, mund të jetë e nevojshme të bëhen mijëra apo edhe dhjetëra mijëra rillogaritje, në varësi të numrit të pasigurive dhe intervaleve të përcaktuara për to. Simulimi i Monte Carlo ju lejon të merrni shpërndarjet e vlerave të pasojave të mundshme.

Kur përdoren shpërndarjet e probabilitetit, variablat mund të kenë probabilitete të ndryshme për të ndodhur pasoja të ndryshme. Shpërndarjet e probabilitetit janë një mënyrë shumë më realiste për të përshkruar pasigurinë e variablave në procesin e analizës së rrezikut. Shpërndarjet më të zakonshme të probabilitetit janë renditur më poshtë.

Shpërndarja normale(ose "kurba Baussian"). Për të përshkruar devijimin nga mesatarja, përdoruesi përcakton vlerën mesatare ose të pritur dhe devijimin standard. Vlerat e vendosura në mes, pranë mesatares, karakterizohen nga probabiliteti më i lartë. Shpërndarja normale është simetrike dhe përshkruan shumë fenomene të zakonshme - për shembull, lartësinë e njerëzve. Shembuj të variablave që përshkruhen nga shpërndarjet normale përfshijnë normat e inflacionit dhe çmimet e energjisë.

Shpërndarja lognormale. Vlerat janë të shtrembëruara pozitivisht dhe, ndryshe nga një shpërndarje normale, janë asimetrike. Kjo shpërndarje përdoret për të pasqyruar sasi që nuk bien nën zero, por mund të marrin vlera të pakufizuara pozitive. Shembuj të variablave të përshkruar nga shpërndarjet lognormale përfshijnë vlerat e pasurive të paluajtshme, çmimet e aksioneve dhe rezervat e naftës.

Shpërndarja uniforme. Të gjitha sasitë mund të marrin një vlerë ose një tjetër me probabilitet të barabartë, përdoruesi thjesht përcakton minimumin dhe maksimumin. Shembuj të variablave që mund të shpërndahen në mënyrë uniforme përfshijnë kostot e prodhimit ose të ardhurat nga shitjet e ardhshme të një produkti të ri.

Shpërndarja trekëndore. Përdoruesi përcakton vlerat minimale, më të mundshme dhe maksimale. Vlerat e vendosura pranë pikës së probabilitetit maksimal kanë probabilitetin më të lartë. Variablat që mund të përshkruhen nga një shpërndarje trekëndore përfshijnë shitjet historike për njësi të kohës dhe nivelet e inventarit.

Shpërndarja PERT. Përdoruesi përcakton vlerat minimale, më të mundshme dhe maksimale - njësoj si me një shpërndarje trekëndore. Vlerat e vendosura pranë pikës së probabilitetit maksimal kanë probabilitetin më të lartë. Sidoqoftë, vlerat në intervalin midis vlerave më të mundshme dhe atyre ekstreme kanë më shumë gjasa të shfaqen sesa me një shpërndarje trekëndore, domethënë nuk ka asnjë theks në vlerat ekstreme. Një shembull i përdorimit të shpërndarjes PERT është përshkrimi i kohëzgjatjes së një detyre brenda një modeli të menaxhimit të projektit.

Shpërndarja diskrete. Përdoruesi përcakton vlera specifike nga ato të mundshmet, si dhe probabilitetin e marrjes së secilës prej tyre. Një shembull do të ishte rezultati i një padie: 20% mundësi për një vendim të favorshëm, 30% mundësi për një vendim negativ, 40% mundësi për një marrëveshje midis palëve dhe 10% mundësi për anulim të gjykimit.

Në një simulim Monte Carlo, vlerat zgjidhen rastësisht nga shpërndarjet origjinale të probabilitetit. Çdo mostër vlerash quhet përsëritje; rezultati i marrë nga kampioni regjistrohet. Gjatë procesit të modelimit, kjo procedurë kryhet qindra ose mijëra herë, dhe rezultati është një shpërndarje probabiliteti e pasojave të mundshme. Kështu, simulimi i Monte Carlo jep një pamje shumë më të plotë të ngjarjeve të mundshme. Kjo ju lejon të gjykoni jo vetëm atë që mund të ndodhë, por edhe sa janë gjasat e një rezultati të tillë.

Simulimi i Monte Carlo ka një numër avantazhesh mbi analizën përcaktuese ose të vlerësimit të pikës:

• Rezultatet e mundshme.Rezultatet tregojnë jo vetëm ngjarje të mundshme, por edhe gjasat e shfaqjes së tyre.
• Paraqitja grafike e rezultateve. Natyra e të dhënave të marra duke përdorur metodën Monte Carlo lejon krijimin e grafikëve të pasojave të ndryshme, si dhe të probabiliteteve të shfaqjes së tyre. Kjo është e rëndësishme kur komunikoni rezultatet me palët e tjera të interesuara.
• Analiza e ndjeshmërisë. Me pak përjashtime, analiza përcaktuese e bën të vështirë përcaktimin se cili variabël ndikon më shumë. Kur ekzekutoni një simulim Monte Carlo, është e lehtë të shihet se cilat inpute kanë ndikimin më të madh në rezultatet përfundimtare.
• Analiza e skenarit. Në modelet përcaktuese, është shumë e vështirë të simulohen kombinime të ndryshme të sasive për vlera të ndryshme hyrëse, dhe për këtë arsye të vlerësohet ndikimi i skenarëve vërtet të ndryshëm. Duke përdorur metodën Monte Carlo, analistët mund të përcaktojnë me saktësi se cilat inpute çojnë në vlera të caktuara dhe të gjurmojnë shfaqjen e pasojave të caktuara. Kjo është shumë e rëndësishme për analiza të mëtejshme.
• Korrelacioni i të dhënave burimore. Metoda Monte Carlo ju lejon të modeloni marrëdhënie të ndërvarura ndërmjet variablave hyrëse. Për të marrë informacion të besueshëm, është e nevojshme të imagjinohet se në cilat raste, kur disa faktorë rriten, të tjerët rriten ose ulen përkatësisht.

Ju gjithashtu mund të përmirësoni rezultatet tuaja të simulimit të Monte Carlo duke marrë mostra duke përdorur metodën Latin Hypercube, e cila zgjedh më saktë nga e gjithë gamën e funksioneve të shpërndarjes.

Produktet e Modelimit Palisade
duke përdorur metodën Monte Carlo
Shfaqja e aplikacioneve të krijuara për të punuar me tabela në kompjuterë personalë ka hapur mundësi të gjera për specialistët që të përdorin metodën Monte Carlo kur kryejnë analiza në aktivitetet e përditshme. Microsoft Excel është një nga mjetet më të zakonshme analitike të fletëllogaritjes dhe programi është shtojca kryesore e Palisade për Excel, e cila ju lejon të kryeni simulime Monte Carlo. @RISK u prezantua për herë të parë për Lotus 1-2-3 në sistemin operativ DOS në 1987 dhe menjëherë fitoi një reputacion të shkëlqyer për saktësinë, fleksibilitetin e modelimit dhe lehtësinë e përdorimit. Ardhja e Microsoft Project çoi në krijimin e një aplikacioni tjetër logjik për të aplikuar metodën Monte Carlo. Detyra e tij kryesore ishte të analizonte pasiguritë dhe rreziqet që lidhen me menaxhimin e projekteve të mëdha.

Metoda Monte Carlo

1. Subjekti i metodës Monte Carlo

Data e lindjes së metodës Monte Carlo konsiderohet të jetë viti 1949, kur shkencëtarët N. Metropolis dhe S. Ulam botuan një artikull me titull "Metoda Monte Carlo", në të cilin ata përshkruan thelbin e metodës së tyre. Emri i metodës lidhet me emrin e qytetit Monte Carlo, ku në shtëpitë e lojërave të fatit (kazino) luajnë ruletë, e cila është një nga pajisjet më të thjeshta për marrjen e të ashtuquajturës ". numra të rastit ", mbi të cilën bazohet kjo metodë.

Kompjuterët e bëjnë të lehtë marrjen e të ashtuquajturës " numra pseudorandom "(kur zgjidhen probleme shpesh përdoren në vend të numrave të rastit). Kjo çoi në futjen e gjerë të metodës në shumë fusha të shkencës dhe teknologjisë (fizikë statistikore, teoria e radhës, teoria e lojës, etj.). Metoda Monte Carlo përdoret për llogaritjen e integraleve, veçanërisht ato shumëdimensionale, për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike të rendit të lartë, për studimin e llojeve të ndryshme të sistemeve komplekse (kontroll automatik, ekonomik, biologjik, etj.).

Thelbi i metodës Monte Carloështë si më poshtë: duhet të gjesh vlerënnumrat disa sasi të studiuara. Për ta bërë këtë, zgjidhni ndryshoren e mëposhtme të rastësishme
, pritshmëria matematikore e së cilës është e barabartë me :
, d.m.th. do të zgjidhë ekuacionin funksional të specifikuar. Kjo detyrë është përgjithësisht shumë komplekse dhe e vështirë.

Në praktikë, ata e bëjnë këtë: ata prodhojnë testet, si rezultat i të cilave ata marrin vlerat e mundshme
; llogaritni mesataren aritmetike të tyre

dhe pranoni si një vlerësim (vlera e përafërt) numrin e kërkuar :

Për shkak se metoda Monte Carlo kërkon një numër të madh testesh, shpesh quhet metoda e testimit statistikor. Teoria e kësaj metode tregon se si të zgjidhni në mënyrë më të përshtatshme një ndryshore të rastësishme
, si të gjeni vlerat e tij të mundshme. Në veçanti, po zhvillohen metoda për të zvogëluar shpërndarjen e ndryshoreve të rastësishme të përdorura, si rezultat i së cilës gabimi i lejuar gjatë zëvendësimit të pritshmërisë së dëshiruar matematikore të numrit zvogëlohet. vlerësimin e tij .

Gjetja e vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme
(simulimet) quhen " duke luajtur një ndryshore të rastësishme" Këtu do të përshkruajmë vetëm disa mënyra për të luajtur r.v.
dhe ne do të tregojmë se si të vlerësojmë gabimin e lejuar.

2. Numrat e rastësishëm, vlerësimi i gabimit të metodës Monte Carlo.

Siç u përmend tashmë, metoda Monte Carlo bazohet në përdorimin e numrave të rastit; Le të japim përkufizimin e këtyre numrave. Le të shënojmë me n.s.v., të shpërndara në mënyrë uniforme në interval
.

Numra të rastësishëm emërtoni vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme , të shpërndara në mënyrë uniforme në interval
.

Në realitet, ata përdorin një r.v të shpërndarë në mënyrë të pabarabartë. , vlerat e mundshme të të cilave, në përgjithësi, kanë një numër të pafund vendesh dhjetore, dhe ndryshore e rastit kuazi uniforme
, kuptimi i mundshëm i të cilit ka një numër të kufizuar karakteresh. Si rezultat i zëvendësimit në
vlera që luhet nuk ka saktësisht, por përafërsisht, një shpërndarje të caktuar.

Në fund të librit është një tabelë me numra të rastit, të huazuar nga libri (Bolshev L.N.... “Tabela të statistikave matematikore. Shkencë, 1965).

Le të marrim një vlerësim pritja matematikore e numrit ndryshore e rastësishme
është prodhuar teste të pavarura (të vizatuara vlerat e mundshme) dhe prej tyre u gjet mesatarja e mostrës , i cili pranohet si vlerësimi i kërkuar
.

Është e qartë se nëse eksperimenti përsëritet, do të merren vlera të tjera të mundshme
. Prandaj, një mesatare e ndryshme dhe një vlerësim i ndryshëm i numrit
. Nga kjo rrjedh se në rastin e përgjithshëm është e pamundur të merret një vlerësim i saktë i OT.

Natyrisht, lind pyetja për madhësinë e gabimit të lejuar. Këtu kufizohemi në gjetjen vetëm të kufirit të sipërm gabim i lejueshëm me një probabilitet të caktuar (besueshmëri)

Kufiri i sipërm i gabimit që na intereson është nuk është asgjë më shumë se " saktësia e vlerësimit» pritshmëria matematikore për mesataren e mostrës duke përdorur intervalet e besimit është diskutuar tashmë në seksionin Shtojca 1, tema 21. Në këtë drejtim, ne do të përdorim atë të marrë më parë