Një trekëndësh është figura më e thjeshtë gjeometrike, e cila përbëhet nga tre brinjë dhe tre kulme. Për shkak të thjeshtësisë së tij, trekëndëshi është përdorur që nga kohërat e lashta për të marrë matje të ndryshme, dhe sot figura mund të jetë e dobishme për zgjidhjen e problemeve praktike dhe të përditshme.

Karakteristikat e një trekëndëshi

Shifra është përdorur për llogaritjet që nga kohërat e lashta, për shembull, anketuesit e tokës dhe astronomët operojnë me vetitë e trekëndëshave për të llogaritur sipërfaqet dhe distancat. Është e lehtë të shprehësh sipërfaqen e çdo n-gon përmes sipërfaqes së kësaj figure, dhe kjo veti u përdor nga shkencëtarët e lashtë për të nxjerrë formula për zonat e shumëkëndëshave. Puna e vazhdueshme me trekëndëshat, veçanërisht trekëndëshi kënddrejtë, u bë baza për një degë të tërë të matematikës - trigonometri.

Gjeometria e trekëndëshit

Vetitë e figurës gjeometrike janë studiuar që nga kohërat e lashta: informacioni më i hershëm për trekëndëshin u gjet në papiruset egjiptiane nga 4000 vjet më parë. Më pas figura u studiua në Greqinë e Lashtë dhe kontributin më të madh në gjeometrinë e trekëndëshit e dhanë Euklidi, Pitagora dhe Heroni. Studimi i trekëndëshit nuk pushoi kurrë dhe në shekullin e 18-të, Leonhard Euler prezantoi konceptin e qendrës ortoqendrore të një figure dhe rrethit të Euler-it. Në kthesën e shekujve 19 dhe 20, kur dukej se dihej absolutisht gjithçka për trekëndëshin, Frank Morley formuloi teoremën mbi tresektorët e këndit dhe Waclaw Sierpinski propozoi trekëndëshin fraktal.

Ekzistojnë disa lloje të trekëndëshave të sheshtë që janë të njohur për ne nga kurset e gjeometrisë shkollore:

• akute - të gjitha qoshet e figurës janë akute;
• i mpirë - figura ka një kënd të mpirë (më shumë se 90 gradë);
• drejtkëndëshe - figura përmban një kënd të drejtë të barabartë me 90 gradë;
• isosceles - një trekëndësh me dy anët e barabarta;
• barabrinjës - një trekëndësh me të gjitha anët e barabarta.
• Ekzistojnë të gjitha llojet e trekëndëshave në jetën reale, dhe në disa raste mund të na duhet të llogarisim sipërfaqen e një figure gjeometrike.

Sipërfaqja e një trekëndëshi

Sipërfaqja është një vlerësim se sa pjesë e rrafshit përfshin një figurë. Zona e një trekëndëshi mund të gjendet në gjashtë mënyra, duke përdorur brinjët, lartësinë, këndet, rrezen e rrethit të brendashkruar ose të rrethuar, si dhe duke përdorur formulën e Heronit ose duke llogaritur integralin e dyfishtë përgjatë vijave që kufizojnë rrafshin. Formula më e thjeshtë për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi është:

ku a është brinja e trekëndëshit, h është lartësia e tij.

Sidoqoftë, në praktikë nuk është gjithmonë e përshtatshme për ne të gjejmë lartësinë e një figure gjeometrike. Algoritmi i kalkulatorit tonë ju lejon të llogaritni zonën duke ditur:

• tre anët;
• dy anët dhe këndi ndërmjet tyre;
• një anë dhe dy qoshe.

Për të përcaktuar zonën përmes tre anëve, ne përdorim formulën e Heronit:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

ku p është gjysmëperimetri i trekëndëshit.

Zona në dy anët dhe një kënd llogaritet duke përdorur formulën klasike:

S = a × b × sin(alfa),

ku alfa është këndi ndërmjet brinjëve a dhe b.

Për të përcaktuar zonën në terma të njërës anë dhe dy këndeve, ne përdorim marrëdhënien që:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Duke përdorur një proporcion të thjeshtë, përcaktojmë gjatësinë e anës së dytë, pas së cilës llogarisim sipërfaqen duke përdorur formulën S = a × b × sin(alfa). Ky algoritëm është plotësisht i automatizuar dhe ju duhet vetëm të futni variablat e specifikuara dhe të merrni rezultatin. Le të shohim disa shembuj.

Shembuj nga jeta

Pllaka shtrimi

Le të themi se dëshironi të shtroni dyshemenë me pllaka trekëndore dhe për të përcaktuar sasinë e materialit të nevojshëm, duhet të dini sipërfaqen e një pllake dhe sipërfaqen e dyshemesë. Supozoni se ju duhet të përpunoni 6 metra katrorë sipërfaqe duke përdorur një pllakë, dimensionet e së cilës janë a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Natyrisht, për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi, kalkulatori përdor formulën e Heronit dhe jep. rezultati:

Kështu, sipërfaqja e një elementi pllake do të jetë 0,021 metra katrorë, dhe do t'ju nevojiten 6/0,021 = 285 trekëndësha për përmirësimin e dyshemesë. Numrat 20, 21 dhe 29 formojnë një numër të trefishtë të Pitagorës që plotësojnë . Dhe kjo është e drejtë, kalkulatori ynë gjithashtu llogariti të gjitha këndet e trekëndëshit, dhe këndi i gama është saktësisht 90 gradë.

Detyrë shkollore

Në një problem shkollor, ju duhet të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi, duke ditur që brinja a = 5 cm, dhe këndet alfa dhe beta janë përkatësisht 30 dhe 50 gradë. Për ta zgjidhur këtë problem me dorë, së pari do të gjenim vlerën e anës b duke përdorur proporcionin e raportit të pamjes dhe sinuseve të këndeve të kundërta, dhe më pas do të përcaktonim sipërfaqen duke përdorur formulën e thjeshtë S = a × b × sin(alfa). Le të kursejmë kohë, të futim të dhënat në formularin e kalkulatorit dhe të marrim një përgjigje të menjëhershme

Kur përdorni kalkulatorin, është e rëndësishme të tregoni saktë këndet dhe anët, përndryshe rezultati do të jetë i pasaktë.

konkluzioni

Trekëndëshi është një figurë unike që gjendet si në jetën reale ashtu edhe në llogaritjet abstrakte. Përdorni kalkulatorin tonë në internet për të përcaktuar sipërfaqen e trekëndëshave të çdo lloji.

Zona e një figure gjeometrike- një karakteristikë numerike e një figure gjeometrike që tregon madhësinë e kësaj figure (pjesë e sipërfaqes e kufizuar nga kontura e mbyllur e kësaj figure). Madhësia e sipërfaqes shprehet me numrin e njësive katrore të përfshira në të.

Formulat e sipërfaqes së trekëndëshit

1. Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi nga ana dhe lartësia
   Sipërfaqja e një trekëndëshi e barabartë me gjysmën e produktit të gjatësisë së një brinjë të një trekëndëshi dhe gjatësisë së lartësisë së tërhequr në këtë anë
   
2. Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të bazuar në tre anët dhe rrezen e rrethit
   
3. Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi bazuar në tre anët dhe rrezen e rrethit të brendashkruar
   Sipërfaqja e një trekëndëshiështë e barabartë me prodhimin e gjysmëperimetrit të trekëndëshit dhe rrezes së rrethit të brendashkruar.
   
ku S është sipërfaqja e trekëndëshit,
- gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit,
- lartësia e trekëndëshit,
- këndi midis anëve dhe,
- rrezja e rrethit të brendashkruar,
R - rrezja e rrethit të rrethuar,

Formulat e sipërfaqes katrore

1. Formula për sipërfaqen e një katrori për nga gjatësia anësore
   Zona katrore e barabartë me katrorin e gjatësisë së brinjës së saj.
2. Formula për sipërfaqen e një katrori përgjatë gjatësisë diagonale
   Zona katrore e barabartë me gjysmën e katrorit të gjatësisë së diagonales së saj.
   

   S=	1	2
   	2

ku S është sipërfaqja e katrorit,
- gjatësia e faqes së katrorit,
- gjatësia e diagonales së katrorit.

Formula e sipërfaqes drejtkëndëshe

Sipërfaqja e një drejtkëndëshi i barabartë me prodhimin e gjatësive të dy brinjëve të tij ngjitur

ku S është sipërfaqja e drejtkëndëshit,
- gjatësitë e brinjëve të drejtkëndëshit.

Formulat e sipërfaqes paralelograme

1. Formula për sipërfaqen e një paralelogrami bazuar në gjatësinë dhe lartësinë e anës
   Zona e një paralelogrami
2. Formula për sipërfaqen e një paralelogrami bazuar në dy anët dhe këndin midis tyre
   Zona e një paralelogramiështë i barabartë me produktin e gjatësive të brinjëve të tij shumëzuar me sinusin e këndit ndërmjet tyre.
   

   a b mëkat α

ku S është sipërfaqja e paralelogramit,
- gjatësitë e brinjëve të paralelogramit,
- gjatësia e lartësisë së paralelogramit,
- këndi ndërmjet brinjëve të paralelogramit.

Formulat për sipërfaqen e një rombi

1. Formula për sipërfaqen e një rombi bazuar në gjatësinë dhe lartësinë e anës
   Zona e një rombi e barabartë me prodhimin e gjatësisë së anës së saj dhe gjatësisë së lartësisë së ulur në këtë anë.
2. Formula për sipërfaqen e një rombi bazuar në gjatësinë dhe këndin e anës
   Zona e një rombiështë e barabartë me prodhimin e katrorit të gjatësisë së brinjës së tij dhe të sinusit të këndit ndërmjet brinjëve të rombit.
3. Formula për sipërfaqen e një rombi bazuar në gjatësitë e diagonaleve të tij
   Zona e një rombi e barabartë me gjysmën e prodhimit të gjatësive të diagonaleve të tij.
ku S është zona e rombit,
- gjatësia e anës së rombit,
- gjatësia e lartësisë së rombit,
- këndi midis anëve të rombit,
1, 2 - gjatësitë e diagonaleve.

Formulat e zonës së trapezit

1. Formula e Heronit për trapezin

   Ku S është zona e trapezit,
   - gjatësitë e bazave të trapezit,
   - gjatësitë e anëve të trapezit,
   

Ndonjëherë në jetë ka situata kur ju duhet të gërmoni në kujtesën tuaj në kërkim të njohurive shkollore të harruara prej kohësh. Për shembull, duhet të përcaktoni sipërfaqen e një trualli në formë trekëndore, ose ka ardhur koha për një rinovim tjetër në një apartament ose shtëpi private, dhe duhet të llogaritni se sa material do të nevojitet për një sipërfaqe me një formë trekëndore. Kishte një kohë kur mund ta zgjidhnit një problem të tillë në disa minuta, por tani po përpiqeni dëshpërimisht të mbani mend se si të përcaktoni sipërfaqen e një trekëndëshi?

Mos u shqetësoni për këtë! Në fund të fundit, është mjaft normale kur truri i një personi vendos të transferojë njohuritë e papërdorura prej kohësh diku në një cep të largët, nga i cili ndonjëherë nuk është aq e lehtë ta nxjerrësh atë. Në mënyrë që të mos keni nevojë të luftoni me kërkimin e njohurive të harruara të shkollës për të zgjidhur një problem të tillë, ky artikull përmban metoda të ndryshme që e bëjnë të lehtë gjetjen e zonës së kërkuar të një trekëndëshi.

Dihet mirë se një trekëndësh është një lloj shumëkëndëshi që kufizohet në numrin minimal të mundshëm të brinjëve. Në parim, çdo shumëkëndësh mund të ndahet në disa trekëndësha duke i lidhur kulmet e tij me segmente që nuk i kryqëzojnë brinjët e tij. Prandaj, duke ditur trekëndëshin, mund të llogaritni sipërfaqen e pothuajse çdo figure.

Ndër të gjithë trekëndëshat e mundshëm që ndodhin në jetë, mund të dallohen llojet e mëposhtme të veçanta: dhe drejtkëndëshe.

Mënyra më e lehtë për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi është kur një nga këndet e tij është i drejtë, domethënë në rastin e një trekëndëshi kënddrejtë. Është e lehtë të shihet se është gjysmë drejtkëndësh. Prandaj, sipërfaqja e saj është e barabartë me gjysmën e produktit të anëve që formojnë një kënd të drejtë me njëra-tjetrën.

Nëse dimë lartësinë e një trekëndëshi, të ulur nga një kulm i tij në anën e kundërt, dhe gjatësinë e kësaj brinje, e cila quhet bazë, atëherë sipërfaqja llogaritet sa gjysma e prodhimit të lartësisë dhe bazës. Kjo është shkruar duke përdorur formulën e mëposhtme:

S = 1/2*b*h, në të cilën

S është zona e kërkuar e trekëndëshit;

b, h - përkatësisht lartësia dhe baza e trekëndëshit.

Është kaq e lehtë për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi izoscelular, sepse lartësia do të përgjysmojë anën e kundërt dhe mund të matet lehtësisht. Nëse zona përcaktohet, atëherë është e përshtatshme të merret gjatësia e njërës prej anëve që formojnë një kënd të drejtë si lartësi.

E gjithë kjo është sigurisht e mirë, por si të përcaktohet nëse një nga këndet e një trekëndëshi është i drejtë apo jo? Nëse madhësia e figurës sonë është e vogël, atëherë mund të përdorim një kënd ndërtimi, një trekëndësh vizatimi, një kartolinë ose një objekt tjetër me formë drejtkëndëshe.

Po sikur të kemi një truall trekëndor? Në këtë rast, veproni si më poshtë: numëroni nga maja e këndit të supozuar të drejtë në njërën anë një shumëfish të distancës prej 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), dhe në anën tjetër matni një shumëfish të distancës prej 4 në të njëjtën proporcioni (40 cm, 160 cm, 4 m). Tani ju duhet të matni distancën midis pikave fundore të këtyre dy segmenteve. Nëse rezultati është shumëfish i 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), atëherë mund të themi se këndi është i drejtë.

Nëse dihet gjatësia e secilës prej tre anëve të figurës sonë, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit mund të përcaktohet duke përdorur formulën e Heronit. Për të pasur një formë më të thjeshtë, përdoret një vlerë e re, e cila quhet gjysmëperimetri. Kjo është shuma e të gjitha brinjëve të trekëndëshit tonë, të ndarë në gjysmë. Pasi të jetë llogaritur gjysmëperimetri, mund të filloni të përcaktoni zonën duke përdorur formulën:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), ku

sqrt - rrënjë katrore;

p - vlera gjysmë-perimetrike (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - skajet (anët) e trekëndëshit.

Por çka nëse trekëndëshi ka një formë të parregullt? Këtu ka dy mënyra të mundshme. E para prej tyre është të përpiqemi të ndajmë një figurë të tillë në dy trekëndësha kënddrejtë, shuma e sipërfaqeve të të cilave llogaritet veçmas dhe më pas shtohet. Ose, nëse dihet këndi midis dy anëve dhe madhësia e këtyre anëve, atëherë zbatoni formulën:

S = 0,5 * ab * sinC, ku

a,b - anët e trekëndëshit;

c është madhësia e këndit ndërmjet këtyre anëve.

Rasti i fundit është i rrallë në praktikë, por megjithatë, gjithçka është e mundur në jetë, kështu që formula e mësipërme nuk do të jetë e tepërt. Fat i mirë me llogaritjet tuaja!

Udhëzimet

Partitë dhe këndet konsiderohen elemente bazë A. Një trekëndësh përcaktohet plotësisht nga cilido prej elementeve të tij bazë: ose tre brinjë, ose një anë dhe dy kënde, ose dy brinjë dhe një kënd midis tyre. Për ekzistencë trekëndëshi të dhëna nga tre brinjët a, b, c, është e nevojshme dhe e mjaftueshme për të plotësuar pabarazitë e quajtura pabarazi trekëndëshi:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Për të ndërtuar trekëndëshi në tre anët a, b, c, është e nevojshme nga pika C e segmentit CB = a të vizatoni një rreth me rreze b duke përdorur një busull. Pastaj, në të njëjtën mënyrë, vizatoni një rreth nga pika B me një rreze të barabartë me anën c. Pika e kryqëzimit të tyre A është kulmi i tretë i dëshiruar trekëndëshi ABC, ku AB=c, CB=a, CA=b - anët trekëndëshi. Problemi ka , nëse brinjët a, b, c, plotësojnë pabarazitë trekëndëshi specifikuar në hapin 1.

Zona S e ndërtuar në këtë mënyrë trekëndëshi ABC me brinjë të njohura a, b, c, llogaritet duke përdorur formulën e Heronit:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
ku a, b, c janë anët trekëndëshi, p – gjysmëperimetri.
p = (a+b+c)/2

Nëse një trekëndësh është barabrinjës, domethënë të gjitha brinjët e tij janë të barabarta (a=b=c). Sipërfaqja trekëndëshi llogaritur me formulën:
S=(a^2 v3)/4

Nëse trekëndëshi është kënddrejtë, domethënë një nga këndet e tij është i barabartë me 90° dhe brinjët që e formojnë janë këmbë, ana e tretë është hipotenuza. Në këtë rast katroreështë e barabartë me produktin e këmbëve të ndarë me dy.
S=ab/2

Për të gjetur katrore trekëndëshi, mund të përdorni një nga formulat e shumta. Zgjidhni një formulë në varësi të të dhënave të njohura tashmë.

Do t'ju duhet

• njohja e formulave për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi

Udhëzimet

Nëse e dini madhësinë e njërës prej anëve dhe vlerën e lartësisë së ulur në këtë anë nga këndi përballë saj, atëherë mund ta gjeni zonën duke përdorur sa vijon: S = a*h/2, ku S është sipërfaqja e trekëndëshit, a është një nga anët e trekëndëshit, dhe h - lartësia, në anën a.

Ekziston një metodë e njohur për përcaktimin e sipërfaqes së një trekëndëshi nëse njihen tre anët e tij. Është formula e Heronit. Për të thjeshtuar regjistrimin e tij, futet një vlerë e ndërmjetme - gjysmëperimetri: p = (a+b+c)/2, ku a, b, c - . Atëherë formula e Heronit është si vijon: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ fuqizimi.

Le të supozojmë se ju e njihni njërën nga anët e një trekëndëshi dhe tre kënde. Atëherë është e lehtë të gjesh sipërfaqen e trekëndëshit: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), ku β është këndi përballë anës a, dhe α dhe γ janë kënde ngjitur me anën.

Video mbi temën

Ju lutemi vini re

Formula më e përgjithshme që është e përshtatshme për të gjitha rastet është formula e Heronit.

Burimet:

Këshillë 3: Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi bazuar në tre anët

Gjetja e sipërfaqes së një trekëndëshi është një nga problemet më të zakonshme në planimetrinë e shkollës. Njohja e tre brinjëve të një trekëndëshi është e mjaftueshme për të përcaktuar sipërfaqen e çdo trekëndëshi. Në raste të veçanta të trekëndëshave barabrinjës mjafton të dihen përkatësisht gjatësitë e dy dhe një brinjësh.

Do t'ju duhet

• gjatësitë e brinjëve të trekëndëshave, formula e Heronit, teorema e kosinusit

Udhëzimet

Formula e Heronit për sipërfaqen e një trekëndëshi është si më poshtë: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Nëse shkruajmë gjysmëperimetrin p, marrim: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)(a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Ju mund të nxirrni një formulë për sipërfaqen e një trekëndëshi nga konsideratat, për shembull, duke zbatuar teoremën e kosinusit.

Nga teorema e kosinusit, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Duke përdorur shënimet e paraqitura, këto mund të shkruhen edhe në formën: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Prandaj, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Sipërfaqja e një trekëndëshi gjendet gjithashtu me formulën S = a*c*sin(ABC)/2 duke përdorur dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre. Sinusi i këndit ABC mund të shprehet përmes tij duke përdorur identitetin bazë trigonometrik: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Duke zëvendësuar sinusin në formulën për zonën dhe duke e shkruar atë. , mund të arrini në formulën për sipërfaqen e trekëndëshit ABC.

Video mbi temën

Për të kryer punë riparimi, mund të jetë e nevojshme të matet katrore muret Kjo e bën më të lehtë llogaritjen e sasisë së kërkuar të bojës ose letër-muri. Për matje, është mirë të përdorni një matës shirit ose kasetë matëse. Matjet duhet të bëhen më pas muret u rrafshuan.

Do t'ju duhet

• -ruletë;
• - shkallë.

Udhëzimet

Për të numëruar katrore muret, duhet të dini lartësinë e saktë të tavaneve, dhe gjithashtu të matni gjatësinë përgjatë dyshemesë. Kjo bëhet si më poshtë: merrni një centimetër dhe vendoseni mbi bazamentin. Zakonisht një centimetër nuk mjafton për të gjithë gjatësinë, ndaj sigurojeni në cep dhe më pas lëshojeni në gjatësinë maksimale. Në këtë pikë, vendosni një shenjë me laps, shkruani rezultatin e marrë dhe kryeni matjet e mëtejshme në të njëjtën mënyrë, duke filluar nga pika e fundit e matjes.

Tavanet standarde janë 2 metra 80 centimetra, 3 metra dhe 3 metra 20 centimetra, në varësi të shtëpisë. Nëse shtëpia është ndërtuar para viteve 50, atëherë ka shumë të ngjarë që lartësia aktuale është pak më e ulët se sa tregohet. Nëse jeni duke llogaritur katrore për punë riparimi, atëherë një furnizim i vogël nuk do të dëmtojë - merrni parasysh bazuar në standard. Nëse ende duhet të dini lartësinë reale, bëni matje. Parimi është i ngjashëm me matjen e gjatësisë, por do t'ju duhet një shkallë.

Shumëzoni treguesit që rezultojnë - kjo është katrore tuajat muret. Vërtetë, kur pikturohet ose për pikturë është e nevojshme të zbritet katrore hapjet e dyerve dhe dritareve. Për ta bërë këtë, vendosni një centimetër përgjatë hapjes. Nëse po flasim për një derë që do ta ndryshoni më pas, atëherë vazhdoni me heqjen e kornizës së derës, duke marrë parasysh vetëm katrore direkt në vetë hapjen. Sipërfaqja e dritares llogaritet përgjatë perimetrit të kornizës së saj. Pas katrore Dritarja dhe porta e llogaritur, zbritni rezultatin nga sipërfaqja totale që rezulton e dhomës.

Ju lutemi vini re se matja e gjatësisë dhe gjerësisë së dhomës kryhet nga dy persona, kjo e bën më të lehtë rregullimin e centimetrit ose masës shirit dhe, në përputhje me rrethanat, të merrni një rezultat më të saktë. Bëni të njëjtën matje disa herë për t'u siguruar që numrat që merrni janë të sakta.

Video mbi temën

Gjetja e vëllimit të një trekëndëshi është me të vërtetë një detyrë jo e parëndësishme. Fakti është se një trekëndësh është një figurë dy-dimensionale, d.m.th. shtrihet tërësisht në një plan, që do të thotë se thjesht nuk ka vëllim. Sigurisht, nuk mund të gjesh diçka që nuk ekziston. Por le të mos dorëzohemi! Mund të pranojmë supozimin e mëposhtëm: vëllimi i një figure dydimensionale është sipërfaqja e saj. Ne do të kërkojmë sipërfaqen e trekëndëshit.

Do t'ju duhet

• fletë letre, laps, vizore, makinë llogaritëse

Udhëzimet

Vizatoni në një copë letër duke përdorur një vizore dhe laps. Duke ekzaminuar me kujdes trekëndëshin, mund të siguroheni që ai me të vërtetë nuk ka trekëndësh, pasi është vizatuar në një plan. Etiketoni brinjët e trekëndëshit: njëra anë le të jetë brinja "a", tjetra "b" dhe brinja e tretë "c". Emërtoni kulmet e trekëndëshit me shkronjat "A", "B" dhe "C".

Matni çdo anë të trekëndëshit me një vizore dhe shkruani rezultatin. Pas kësaj, rivendosni një pingul në anën e matur nga kulmi përballë tij, një pingul i tillë do të jetë lartësia e trekëndëshit. Në rastin e paraqitur në figurë, pingulja "h" rikthehet në anën "c" nga kulmi "A". Matni lartësinë që rezulton me një vizore dhe shkruani rezultatin e matjes.

Mund të jetë e vështirë për ju të rivendosni pingulën e saktë. Në këtë rast, duhet të përdorni një formulë të ndryshme. Matni të gjitha anët e trekëndëshit me një vizore. Pas kësaj, llogaritni gjysmëperimetrin e trekëndëshit "p" duke shtuar gjatësitë që rezultojnë të brinjëve dhe duke e ndarë shumën e tyre në gjysmë. Duke pasur në dispozicion vlerën e gjysmëperimetrit, mund të përdorni formulën e Heronit. Për ta bërë këtë, duhet të merrni rrënjën katrore të sa vijon: p(p-a)(p-b)(p-c).

Ju keni marrë zonën e kërkuar të trekëndëshit. Problemi i gjetjes së vëllimit të një trekëndëshi nuk është zgjidhur, por siç u përmend më lart, vëllimi nuk është . Ju mund të gjeni një vëllim që është në thelb një trekëndësh në botën tre-dimensionale. Nëse imagjinojmë që trekëndëshi ynë origjinal është bërë një piramidë tre-dimensionale, atëherë vëllimi i një piramide të tillë do të jetë produkti i gjatësisë së bazës së saj nga sipërfaqja e trekëndëshit që kemi marrë.

Ju lutemi vini re

Sa më me kujdes të matni, aq më të sakta do të jenë llogaritjet tuaja.

Burimet:

• Llogaritësi "Gjithçka për gjithçka" - një portal për vlerat e referencës
• vëllimi i trekëndëshit në 2019

Tri pikat që përcaktojnë në mënyrë unike një trekëndësh në sistemin koordinativ kartezian janë kulmet e tij. Duke ditur pozicionin e tyre në lidhje me secilin prej boshteve të koordinatave, mund të llogaritni çdo parametër të kësaj figure të sheshtë, duke përfshirë ato të kufizuara nga perimetri i saj katrore. Kjo mund të bëhet në disa mënyra.

Udhëzimet

Përdorni formulën e Heronit për të llogaritur sipërfaqen trekëndëshi. Ai përfshin dimensionet e tre anëve të figurës, kështu që filloni llogaritjet tuaja me . Gjatësia e secilës anë duhet të jetë e barabartë me rrënjën e shumës së katrorëve të gjatësive të projeksioneve të saj në boshtet koordinative. Nëse shënojmë koordinatat A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) dhe C(X3,Y3,Z3), gjatësitë e brinjëve të tyre mund të shprehen si më poshtë: AB = √((X1- X₂)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)2 + (Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)²).

Për të thjeshtuar llogaritjet, futni një ndryshore ndihmëse - gjysmë-perimetri (P). Nga fakti se kjo është gjysma e shumës së gjatësive të të gjitha anëve: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z₂)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Një trekëndësh është një figurë gjeometrike që përbëhet nga tre vija të drejta që lidhen në pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë. Pikat e lidhjes së linjave janë kulmet e trekëndëshit, të cilat përcaktohen me shkronja latine (për shembull, A, B, C). Vijat e drejta lidhëse të një trekëndëshi quhen segmente, të cilat zakonisht shënohen gjithashtu me shkronja latine. Dallohen llojet e mëposhtme të trekëndëshave:

• Drejtkëndëshe.
• I mpirë.
• Këndore akute.
• I gjithanshëm.
• Barabrinjës.
• Isosceles.

Formula të përgjithshme për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi bazuar në gjatësinë dhe lartësinë

S= a*h/2,
ku a është gjatësia e brinjës së trekëndëshit sipërfaqja e të cilit duhet gjetur, h është gjatësia e lartësisë së tërhequr në bazë.

Formula e Heronit

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
ku √ është rrënja katrore, p është gjysmëperimetri i trekëndëshit, a,b,c është gjatësia e secilës anë të trekëndëshit. Gjysmëperimetri i një trekëndëshi mund të llogaritet duke përdorur formulën p=(a+b+c)/2.

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi bazuar në këndin dhe gjatësinë e segmentit

S = (a*b*sin(α))/2,
ku b,c është gjatësia e brinjëve të trekëndëshit, sin(α) është sinusi i këndit ndërmjet dy brinjëve.

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi duke pasur parasysh rrezen e rrethit të brendashkruar dhe tre brinjët

S=p*r,
ku p është gjysmëperimetri i trekëndëshit sipërfaqja e të cilit duhet gjetur, r është rrezja e rrethit të brendashkruar në këtë trekëndësh.

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi të bazuar në tre anët dhe rrezen e rrethit të rrethuar rreth tij

S= (a*b*c)/4*R,
ku a,b,c është gjatësia e secilës anë të trekëndëshit, R është rrezja e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit.

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi duke përdorur koordinatat karteziane të pikave

Koordinatat karteziane të pikave janë koordinata në sistemin xOy, ku x është abshisa, y është ordinata. Sistemi i koordinatave karteziane xOy në një rrafsh është boshtet numerike reciproke pingul Ox dhe Oy me origjinë të përbashkët në pikën O. Nëse koordinatat e pikave në këtë rrafsh janë dhënë në formën A(x1, y1), B(x2, y2 ) dhe C(x3, y3), atëherë mund të llogarisni sipërfaqen e trekëndëshit duke përdorur formulën e mëposhtme, e cila merret nga produkti vektorial i dy vektorëve.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
ku || qëndron për modul.

Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë

Një trekëndësh kënddrejtë është një trekëndësh me një kënd që mat 90 gradë. Një trekëndësh mund të ketë vetëm një kënd të tillë.

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë në dy anët

S= a*b/2,
ku a,b është gjatësia e këmbëve. Këmbët janë anët ngjitur me një kënd të drejtë.

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë bazuar në hipotenuzën dhe këndin akut

S = a*b*sin(α)/ 2,
ku a, b janë këmbët e trekëndëshit dhe sin(α) është sinusi i këndit në të cilin drejtëzat a, b priten.

Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë bazuar në anën dhe këndin e kundërt

S = a*b/2*tg(β),
ku a, b janë këmbët e trekëndëshit, tan(β) është tangjentja e këndit në të cilin lidhen këmbët a, b.

Si të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi dykëndësh

Një trekëndësh dykëndësh është ai që ka dy brinjë të barabarta. Këto anë quhen anët, dhe ana tjetër është baza. Për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi dykëndësh, mund të përdorni një nga formulat e mëposhtme.

Formula bazë për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi dykëndësh

S=h*c/2,
ku c është baza e trekëndëshit, h është lartësia e trekëndëshit të ulur në bazë.

Formula e një trekëndëshi izoscelular bazuar në anën dhe bazën

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
ku c është baza e trekëndëshit, a është madhësia e njërës prej brinjëve të trekëndëshit dykëndësh.

Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës

Një trekëndësh barabrinjës është një trekëndësh në të cilin të gjitha anët janë të barabarta. Për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës, mund të përdorni formulën e mëposhtme:
S = (√3*a*a)/4,
ku a është gjatësia e brinjës së trekëndëshit barabrinjës.

Formulat e mësipërme do t'ju lejojnë të llogarisni zonën e kërkuar të trekëndëshit. Është e rëndësishme të mbani mend se për të llogaritur sipërfaqen e trekëndëshave, duhet të merrni parasysh llojin e trekëndëshit dhe të dhënat e disponueshme që mund të përdoren për llogaritjen.