Ky artikull zbulon derivimin e ekuacionit të një vije të drejtë që kalon nëpër dy pika të dhëna në një sistem koordinativ drejtkëndor të vendosur në një plan. Le të nxjerrim ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna në një sistem koordinativ drejtkëndor. Do të tregojmë dhe zgjidhim qartë disa shembuj që lidhen me materialin e trajtuar.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Para se të merret ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna, është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje disa fakteve. Ekziston një aksiomë që thotë se përmes dy pikave divergjente në një plan është e mundur të vizatoni një vijë të drejtë dhe vetëm një. Me fjalë të tjera, dy pika të dhëna në një plan përcaktohen nga një vijë e drejtë që kalon nëpër këto pika.
Nëse rrafshi përcaktohet nga sistemi koordinativ drejtkëndor Oxy, atëherë çdo vijë e drejtë e përshkruar në të do të korrespondojë me ekuacionin e një vije të drejtë në aeroplan. Ekziston edhe një lidhje me vektorin drejtues të drejtëzës Kjo e dhënë është e mjaftueshme për të përpiluar ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika.
Le të shohim një shembull të zgjidhjes së një problemi të ngjashëm. Është e nevojshme të krijohet një ekuacion për një drejtëz a që kalon nëpër dy pika divergjente M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2), të vendosura në sistemin koordinativ Kartezian.
Në ekuacionin kanonik të një drejtëze në një rrafsh, që ka formën x - x 1 a x = y - y 1 a y, një sistem koordinativ drejtkëndor O x y specifikohet me një vijë që kryqëzohet me të në një pikë me koordinatat M 1 (x 1, y 1) me një vektor udhëzues a → = (a x , a y) .
Është e nevojshme të krijohet një ekuacion kanonik i një drejtëze a, e cila do të kalojë nëpër dy pika me koordinata M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2).
Drejt a ka një vektor të drejtimit M 1 M 2 → me koordinata (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pasi pret pikat M 1 dhe M 2. Ne kemi marrë të dhënat e nevojshme për të transformuar ekuacionin kanonik me koordinatat e vektorit të drejtimit M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) dhe koordinatat e pikave M 1 që shtrihen mbi to. (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2 , y 2) . Ne marrim një ekuacion të formës x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ose x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Konsideroni figurën më poshtë.
Pas llogaritjeve, shkruajmë ekuacionet parametrike të një drejtëze në një rrafsh që kalon në dy pika me koordinata M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 (x 2, y 2). Marrim një ekuacion të formës x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ose x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .
Le të hedhim një vështrim më të afërt në zgjidhjen e disa shembujve.
Shembulli 1
Shkruani ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër 2 pika të dhëna me koordinata M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Zgjidhje
Ekuacioni kanonik për një drejtëz që kryqëzohet në dy pika me koordinatat x 1, y 1 dhe x 2, y 2 merr formën x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Sipas kushteve të problemës kemi që x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Është e nevojshme të zëvendësohen vlerat numerike në ekuacionin x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Nga këtu marrim se ekuacioni kanonik merr formën x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Përgjigje: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem me një lloj tjetër ekuacioni, atëherë së pari mund të shkoni në atë kanonik, pasi është më e lehtë të vini prej tij në ndonjë tjetër.
Shembulli 2
Hartoni ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze që kalon nëpër pika me koordinata M 1 (1, 1) dhe M 2 (4, 2) në sistemin e koordinatave O x y.
Zgjidhje
Së pari, duhet të shkruani ekuacionin kanonik të një linje të caktuar që kalon nëpër dy pika të dhëna. Marrim një ekuacion të formës x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Le ta sjellim ekuacionin kanonik në formën e dëshiruar, atëherë marrim:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Përgjigje: x - 3 y + 2 = 0 .
Shembuj të detyrave të tilla u diskutuan në tekstet shkollore gjatë mësimeve të algjebrës. Problemet e shkollës ndryshonin në atë që njihej ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndi, që kishte formën y = k x + b. Nëse ju duhet të gjeni vlerën e pjerrësisë k dhe numrin b për të cilin ekuacioni y = k x + b përcakton një vijë në sistemin O x y që kalon nëpër pikat M 1 (x 1, y 1) dhe M 2 ( x 2, y 2), ku x 1 ≠ x 2. Kur x 1 = x 2 , atëherë koeficienti këndor merr vlerën e pafundësisë, dhe drejtëza M 1 M 2 përcaktohet nga një ekuacion i përgjithshëm jo i plotë i formës x - x 1 = 0 .
Sepse pikat M 1 Dhe M 2 janë në vijë të drejtë, atëherë koordinatat e tyre plotësojnë ekuacionin y 1 = k x 1 + b dhe y 2 = k x 2 + b. Është e nevojshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b për k dhe b.
Për ta bërë këtë, gjejmë k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ose k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Me këto vlera të k dhe b, ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pikat e dhëna bëhet y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ose y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Është e pamundur të mësosh përmendësh një numër kaq të madh formulash menjëherë. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të rritet numri i përsëritjeve në zgjidhjen e problemeve.
Shembulli 3
Shkruani ekuacionin e drejtëzës me koeficient këndor që kalon nëpër pika me koordinata M 2 (2, 1) dhe y = k x + b.
Zgjidhje
Për të zgjidhur problemin, ne përdorim një formulë me një pjerrësi, e cila ka formën y = k x + b. Koeficientët k dhe b duhet të marrin një vlerë të tillë që ky ekuacion të korrespondojë me një drejtëz që kalon nëpër dy pika me koordinata M 1 (- 7, - 5) dhe M 2 (2, 1).
Pikat M 1 Dhe M 2 janë të vendosura në vijë të drejtë, atëherë koordinatat e tyre duhet ta bëjnë barazimin e vërtetë ekuacionin y = k x + b. Nga kjo marrim se - 5 = k · (- 7) + b dhe 1 = k · 2 + b. Le ta bashkojmë ekuacionin në sistemin - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b dhe ta zgjidhim.
Pas zëvendësimit e marrim atë
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Tani vlerat k = 2 3 dhe b = - 1 3 zëvendësohen në ekuacionin y = k x + b. Gjejmë se ekuacioni i kërkuar që kalon nëpër pikat e dhëna do të jetë një ekuacion i formës y = 2 3 x - 1 3 .
Kjo metodë e zgjidhjes paracakton humbjen e shumë kohe. Ekziston një mënyrë në të cilën detyra zgjidhet fjalë për fjalë në dy hapa.
Le të shkruajmë ekuacionin kanonik të drejtëzës që kalon nëpër M 2 (2, 1) dhe M 1 (- 7, - 5), duke pasur formën x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Tani le të kalojmë te ekuacioni i pjerrësisë. Ne marrim se: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Përgjigje: y = 2 3 x - 1 3 .
Nëse në hapësirën tredimensionale ekziston një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z me dy pika të dhëna jo të përputhshme me koordinatat M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2, y 2, z 2), drejtëza M duke kaluar nëpër to 1 M 2 , është e nevojshme të merret ekuacioni i kësaj drejtëze.
Kemi se ekuacionet kanonike të formës x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z dhe ekuacionet parametrike të formës x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ janë në gjendje të përcaktojnë një vijë në sistemin koordinativ O x y z, që kalon nëpër pika që kanë koordinata (x 1, y 1, z 1) me një vektor drejtimi a → = (a x, a y, a z).
Drejt M 1 M 2 ka një vektor drejtimi të formës M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), ku drejtëza kalon nëpër pikën M 1 (x 1, y 1, z 1) dhe M 2 (x 2 , y 2 , z 2), prandaj ekuacioni kanonik mund të jetë i formës x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ose x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, nga ana tjetër parametrike x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ose x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Konsideroni një vizatim që tregon 2 pika të dhëna në hapësirë dhe ekuacionin e një drejtëze.
Shembulli 4
Shkruani ekuacionin e një drejtëze të përcaktuar në një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z të hapësirës tredimensionale, që kalon nëpër dy pika të dhëna me koordinata M 1 (2, - 3, 0) dhe M 2 (1, - 3, - 5).
Zgjidhje
Është e nevojshme të gjendet ekuacioni kanonik. Meqenëse po flasim për hapësirën tredimensionale, do të thotë që kur një vijë kalon nëpër pika të dhëna, ekuacioni i dëshiruar kanonik do të marrë formën x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Me kusht kemi që x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Nga kjo rrjedh se ekuacionet e nevojshme do të shkruhen si më poshtë:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Përgjigje: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Vetitë e një vije të drejtë në gjeometrinë Euklidiane.
Një numër i pafund i drejtëzave mund të vizatohen nëpër çdo pikë.
Përmes çdo dy pikash që nuk përputhen mund të vizatohet një vijë e vetme e drejtë.
Dy drejtëza divergjente në një rrafsh ose kryqëzohen në një pikë të vetme ose janë
paralele (rrjedh nga ajo e mëparshmja).
Në hapësirën tre-dimensionale, ekzistojnë tre opsione për pozicionin relativ të dy linjave:
- linjat kryqëzohen;
- vijat janë paralele;
- vijat e drejta kryqëzohen.
Drejt linjë— kurba algjebrike e rendit të parë: një vijë e drejtë në sistemin koordinativ kartezian
jepet në rrafsh me një ekuacion të shkallës së parë (ekuacion linear).
Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze.
Përkufizimi. Çdo vijë e drejtë në aeroplan mund të specifikohet nga një ekuacion i rendit të parë
Ax + Wu + C = 0,
dhe konstante A, B nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë. Ky ekuacion i rendit të parë quhet të përgjithshme
ekuacioni i një vije të drejtë. Në varësi të vlerave të konstanteve A, B Dhe ME Rastet e mëposhtme të veçanta janë të mundshme:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- një vijë e drejtë kalon nëpër origjinë
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Me + C = 0)- vijë e drejtë paralele me boshtin Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- vijë e drejtë paralele me boshtin Oh
. B = C = 0, A ≠0- vija e drejtë përkon me boshtin Oh
. A = C = 0, B ≠0- vija e drejtë përkon me boshtin Oh
Ekuacioni i një drejtëze mund të paraqitet në forma të ndryshme në varësi të çdo të dhënë
kushtet fillestare.
Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor normal.
Përkufizimi. Në një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian, një vektor me komponentë (A, B)
pingul me drejtëzën e dhënë nga ekuacioni
Ax + Wu + C = 0.
Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon në një pikë A(1, 2) pingul me vektorin (3, -1).
Zgjidhje. Me A = 3 dhe B = -1, le të hartojmë ekuacionin e drejtëzës: 3x - y + C = 0. Për të gjetur koeficientin C
Le t'i zëvendësojmë koordinatat e pikës së dhënë A në shprehjen që rezulton: 3 - 2 + C = 0
C = -1. Totali: ekuacioni i kërkuar: 3x - y - 1 = 0.
Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika.
Le të jepen dy pikë në hapësirë M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Dhe M2 (x 2, y 2, z 2), Pastaj ekuacioni i një vije,
duke kaluar nëpër këto pika:
Nëse ndonjë prej emërtuesve është zero, numëruesi përkatës duhet të vendoset i barabartë me zero. Aktiv
plani, ekuacioni i drejtëzës i shkruar më sipër është thjeshtuar:
Nëse x 1 ≠ x 2 Dhe x = x 1, Nëse x 1 = x 2 .
Fraksioni = k thirrur shpat e drejtpërdrejtë.
Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat A(1, 2) dhe B(3, 4).
Zgjidhje. Duke zbatuar formulën e shkruar më sipër, marrim:
Ekuacioni i një drejtëze duke përdorur një pikë dhe pjerrësi.
Nëse ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës Ax + Wu + C = 0çojnë në:
dhe caktoni 
, atëherë thirret ekuacioni që rezulton
ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi k.
Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor drejtimi.
Për analogji me pikën duke marrë parasysh ekuacionin e një vije të drejtë përmes vektorit normal, mund të futni detyrën
një vijë e drejtë përmes një pike dhe një vektor drejtues i një drejtëze.
Përkufizimi. Çdo vektor jozero (α 1 , α 2), komponentët e të cilit plotësojnë kushtin
Aα 1 + Bα 2 = 0 thirrur vektori drejtues i një drejtëze.
Ax + Wu + C = 0.
Shembull. Gjeni ekuacionin e një drejtëze me një vektor drejtimi (1, -1) dhe që kalon nga pika A(1, 2).
Zgjidhje. Ne do të kërkojmë ekuacionin e vijës së dëshiruar në formën: Ax + By + C = 0. Sipas përcaktimit,
koeficientët duhet të plotësojnë kushtet e mëposhtme:
1 * A + (-1) * B = 0, d.m.th. A = B.
Atëherë ekuacioni i drejtëzës ka formën: Ax + Ay + C = 0, ose x + y + C / A = 0.
në x = 1, y = 2 marrim C/A = -3, d.m.th. ekuacioni i kërkuar:
x + y - 3 = 0
Ekuacioni i një drejtëze në segmente.
Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës Ах + Ву + С = 0 С≠0, atëherë, duke e pjesëtuar me -С, marrim:
ose ku
Kuptimi gjeometrik i koeficientëve është se koeficienti a është koordinata e pikës së kryqëzimit
drejt me bosht Oh, A b- koordinata e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin Oh.
Shembull. Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës x - y + 1 = 0. Gjeni ekuacionin e kësaj drejtëze në segmente.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Ekuacioni normal i një drejtëze.
Nëse të dyja anët e ekuacionit Ax + Wu + C = 0 pjesëto me numër 
që quhet
faktori normalizues, atëherë marrim
xcosφ + ysinφ - p = 0 -ekuacioni normal i një drejtëze.
Shenja ± e faktorit normalizues duhet zgjedhur në mënyrë që μ*C< 0.
r- gjatësia e pingulit të rënë nga origjina në vijën e drejtë,
A φ - këndi i formuar nga kjo pingul me drejtimin pozitiv të boshtit Oh.
Shembull. Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës 12x - 5y - 65 = 0. Kërkohet për të shkruar lloje të ndryshme ekuacionesh
këtë vijë të drejtë.
Ekuacioni i kësaj drejtëze në segmente:
Ekuacioni i kësaj linje me pjerrësinë: (pjestojeni me 5)
Ekuacioni i një drejtëze:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Duhet të theksohet se jo çdo vijë e drejtë mund të përfaqësohet nga një ekuacion në segmente, për shembull, drejtëza,
paralel me akset ose duke kaluar nga origjina.
Këndi ndërmjet vijave të drejta në një plan.
Përkufizimi. Nëse jepen dy rreshta y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, pastaj këndi akut ndërmjet këtyre vijave
do të përkufizohet si
Dy drejtëza janë paralele nëse k 1 = k 2. Dy drejtëza janë pingul
Nëse k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
Direkt Ax + Wu + C = 0 Dhe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralele kur koeficientët janë proporcional
A 1 = λA, B 1 = λB. Nëse gjithashtu С 1 = λС, atëherë rreshtat përkojnë. Koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave
gjenden si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve të këtyre drejtëzave.
Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një drejtëz të caktuar.
Përkufizimi. Vija që kalon nëpër një pikë M 1 (x 1, y 1) dhe pingul me drejtëzën y = kx + b
përfaqësohet nga ekuacioni:
Largësia nga një pikë në një vijë.
Teorema. Nëse jepet një pikë M(x 0, y 0), pastaj distanca në vijën e drejtë Ax + Wu + C = 0 përcaktuar si:
Dëshmi. Lëreni pikën M 1 (x 1, y 1)- baza e një pingule të rënë nga një pikë M për një të dhënë
e drejtpërdrejtë. Pastaj distanca midis pikave M Dhe M 1:
(1)
Koordinatat x 1 Dhe në 1 mund të gjendet si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve:
Ekuacioni i dytë i sistemit është ekuacioni i një drejtëze që kalon në një pikë të caktuar M 0 pingul
dhënë vijë të drejtë. Nëse e transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Nga 0 + C = 0,
atëherë, duke zgjidhur, marrim:
Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (1), gjejmë:
Teorema është vërtetuar.
Mësimi nga seria "Algoritmet gjeometrike"
Përshëndetje i dashur lexues!
Sot do të fillojmë të mësojmë algoritme që lidhen me gjeometrinë. Fakti është se ka mjaft probleme olimpike në shkencat kompjuterike që lidhen me gjeometrinë llogaritëse, dhe zgjidhja e problemeve të tilla shpesh shkakton vështirësi.
Gjatë disa mësimeve, ne do të shqyrtojmë një numër nëndetyrash elementare mbi të cilat bazohet zgjidhja e shumicës së problemeve në gjeometrinë llogaritëse.
Në këtë mësim do të krijojmë një program për gjetja e ekuacionit të një drejtëze, duke kaluar neper te dhene dy pika. Për të zgjidhur problemet gjeometrike, na duhen disa njohuri mbi gjeometrinë llogaritëse. Një pjesë të mësimit do t'i kushtojmë njohjes së tyre.
Vështrime nga Gjeometria Llogaritëse
Gjeometria llogaritëse është një degë e shkencës kompjuterike që studion algoritmet për zgjidhjen e problemeve gjeometrike.
Të dhënat fillestare për probleme të tilla mund të jenë një grup pikash në një plan, një grup segmentesh, një shumëkëndësh (të specifikuar, për shembull, nga një listë e kulmeve të tij në rend të akrepave të orës), etj.
Rezultati mund të jetë ose një përgjigje për disa pyetje (si p.sh. a i përket një pikë një segmenti, a kryqëzohen dy segmente, ...), ose ndonjë objekt gjeometrik (për shembull, poligonin më të vogël konveks që lidh pikat e dhëna, sipërfaqen e një shumëkëndësh, etj.) .
Problemet e gjeometrisë llogaritëse do t'i shqyrtojmë vetëm në rrafsh dhe vetëm në sistemin koordinativ kartezian.
Vektorët dhe koordinatat
Për të aplikuar metodat e gjeometrisë llogaritëse, është e nevojshme të përkthehen imazhet gjeometrike në gjuhën e numrave. Do të supozojmë se aeroplanit i është dhënë një sistem koordinativ kartezian, në të cilin drejtimi i rrotullimit në drejtim të kundërt të akrepave të orës quhet pozitiv.
Tani objektet gjeometrike marrin një shprehje analitike. Pra, për të specifikuar një pikë, mjafton të tregohen koordinatat e saj: një çift numrash (x; y). Një segment mund të specifikohet duke specifikuar koordinatat e skajeve të tij, një vijë e drejtë mund të specifikohet duke specifikuar koordinatat e një çifti pikash;
Por mjeti ynë kryesor për zgjidhjen e problemeve do të jenë vektorët. Prandaj, më lejoni të kujtoj disa informacione rreth tyre.
Segmenti AB, e cila ka një pikë A konsiderohet fillimi (pika e aplikimit), dhe pika NË– fundi, i quajtur vektor AB dhe shënohet me një ose me një shkronjë të vogël të theksuar, për shembull A .
Për të treguar gjatësinë e një vektori (d.m.th., gjatësinë e segmentit përkatës), do të përdorim simbolin e modulit (për shembull, ).
Një vektor arbitrar do të ketë koordinata të barabarta me ndryshimin midis koordinatave përkatëse të fundit dhe fillimit të tij:
,
këtu janë pikat A Dhe B
kanë koordinata 
përkatësisht.
Për llogaritjet do të përdorim konceptin kënd i orientuar, pra një kënd që merr parasysh pozicionin relativ të vektorëve.
Këndi i orientuar ndërmjet vektorëve a Dhe b pozitive nëse rrotullimi është nga vektori a te vektori b kryhet në drejtim pozitiv (në drejtim të kundërt) dhe negativ në rastin tjetër. Shih Fig.1a, Fig.1b. Thuhet gjithashtu se një çift vektorësh a Dhe b i orientuar pozitivisht (negativisht).
Kështu, vlera e këndit të orientuar varet nga radha në të cilën renditen vektorët dhe mund të marrin vlera në interval.
Shumë probleme në gjeometrinë llogaritëse përdorin konceptin e produkteve vektoriale (të anore ose pseudoskalare) të vektorëve.
Prodhimi vektorial i vektorëve a dhe b është prodhimi i gjatësisë së këtyre vektorëve dhe i sinusit të këndit ndërmjet tyre:
.
Prodhimi kryq i vektorëve në koordinata:
Shprehja në të djathtë është një përcaktues i rendit të dytë:
Ndryshe nga përkufizimi i dhënë në gjeometrinë analitike, ai është skalar.
Shenja e produktit të vektorit përcakton pozicionin e vektorëve në lidhje me njëri-tjetrin:
a Dhe b të orientuar pozitivisht.
Nëse vlera është , atëherë një palë vektorësh a Dhe b të orientuar negativisht.
Produkti kryq i vektorëve jozero është zero nëse dhe vetëm nëse janë kolinear ( 
). Kjo do të thotë se ata shtrihen në të njëjtën linjë ose në vija paralele.
Le të shohim disa probleme të thjeshta që janë të nevojshme kur zgjidhni ato më komplekse.
Le të përcaktojmë ekuacionin e një drejtëze nga koordinatat e dy pikave.
Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të ndryshme të specifikuara nga koordinatat e tyre.
Le të jepen dy pika që nuk përputhen në një vijë të drejtë: me koordinata (x1; y1) dhe me koordinata (x2; y2). Prandaj, një vektor me një fillim në një pikë dhe një fund në një pikë ka koordinata (x2-x1, y2-y1). Nëse P(x, y) është një pikë arbitrare në drejtëzën tonë, atëherë koordinatat e vektorit janë të barabarta me (x-x1, y – y1).
Duke përdorur produktin vektorial, kushti për kolinearitetin e vektorëve dhe mund të shkruhet si më poshtë:
Ato. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0
(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0
Ekuacionin e fundit e rishkruajmë si më poshtë:
sëpatë + nga + c = 0, (1)
c = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)
Pra, vija e drejtë mund të specifikohet me një ekuacion të formës (1).
Detyra 1. Janë dhënë koordinatat e dy pikave. Gjeni paraqitjen e tij në formën ax + nga + c = 0.
Në këtë mësim mësuam disa informacione rreth gjeometrisë llogaritëse. Zgjidhëm problemin e gjetjes së ekuacionit të drejtëzës nga koordinatat e dy pikave.
Në mësimin tjetër, ne do të krijojmë një program për të gjetur pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave të dhëna nga ekuacionet tona.
Në këtë artikull do të shqyrtojmë ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë në një aeroplan. Le të japim shembuj të ndërtimit të një ekuacioni të përgjithshëm të drejtëzës nëse njihen dy pika të kësaj drejtëze ose nëse njihen një pikë dhe vektori normal i kësaj drejtëze. Le të paraqesim metodat për shndërrimin e një ekuacioni në formë të përgjithshme në forma kanonike dhe parametrike.
Le të jepet një sistem koordinativ arbitrar drejtkëndor Kartezian Oksi. Konsideroni një ekuacion linear të shkallës së parë:
| Ax+By+C=0, | (1) |
Ku A, B, C− disa konstante, dhe të paktën një nga elementet A Dhe B të ndryshme nga zero.
Do të tregojmë se një ekuacion linear në një plan përcakton një vijë të drejtë. Le të vërtetojmë teoremën e mëposhtme.
Teorema 1. Në një sistem koordinativ arbitrar drejtkëndor kartezian në një rrafsh, çdo drejtëz mund të specifikohet me një ekuacion linear. Anasjelltas, çdo ekuacion linear (1) në një sistem koordinativ arbitrar drejtkëndor kartezian në një plan përcakton një vijë të drejtë.
Dëshmi. Mjafton të vërtetohet se vija e drejtë L përcaktohet nga një ekuacion linear për çdo sistem koordinativ drejtkëndor kartezian, pasi atëherë ai do të përcaktohet nga një ekuacion linear për çdo zgjedhje të sistemit koordinativ drejtkëndor kartezian.
Le të jepet një vijë e drejtë në aeroplan L. Le të zgjedhim një sistem koordinativ në mënyrë që boshti kau përkonte me një vijë të drejtë L, dhe boshti Oy ishte pingul me të. Pastaj ekuacioni i vijës L do të marrë formën e mëposhtme:
| y=0. | (2) |
Të gjitha pikat në një vijë L do të plotësojë ekuacionin linear (2), dhe të gjitha pikat jashtë kësaj vije nuk do të plotësojnë ekuacionin (2). Pjesa e parë e teoremës është vërtetuar.
Le të jepet një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian dhe le të jepet një ekuacion linear (1), ku të paktën një nga elementët A Dhe B të ndryshme nga zero. Le të gjejmë vendndodhjen gjeometrike të pikave, koordinatat e të cilave plotësojnë ekuacionin (1). Meqenëse të paktën një nga koeficientët A Dhe Bështë i ndryshëm nga zero, atëherë ekuacioni (1) ka të paktën një zgjidhje M(x 0 ,y 0). (Për shembull, kur A≠0, pikë M 0 (−C/A, 0) i përket vendndodhjes gjeometrike të dhënë të pikave). Duke i zëvendësuar këto koordinata në (1) marrim identitetin
| Sëpatë 0 +Nga 0 +C=0. | (3) |
Le të zbresim identitetin (3) nga (1):
| A(x−x 0)+B(y−y 0)=0. | (4) |
Natyrisht, ekuacioni (4) është i barabartë me ekuacionin (1). Prandaj, mjafton të vërtetohet se (4) përcakton një vijë të caktuar.
Meqenëse po shqyrtojmë një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian, nga barazia (4) rezulton se vektori me komponentë ( x−x 0 , y−y 0 ) ortogonale me vektorin n me koordinata ( A, B}.
Le të shqyrtojmë një vijë të drejtë L, duke kaluar nëpër pikë M 0 (x 0 , y 0) dhe pingul me vektorin n(Fig.1). Lëreni pikën M(x,y) i përket rreshtit L. Pastaj vektori me koordinata x−x 0 , y−y 0 pingul n dhe ekuacioni (4) plotësohet (produkti skalar i vektorëve n dhe e barabartë me zero). Në të kundërt, nëse pika M(x,y) nuk shtrihet në një vijë L, pastaj vektori me koordinata x−x 0 , y−y 0 nuk është ortogonal me vektorin n dhe ekuacioni (4) nuk është i kënaqur. Teorema është vërtetuar.
Dëshmi. Meqenëse rreshtat (5) dhe (6) përcaktojnë të njëjtën linjë, atëherë vektorët normalë n 1 ={A 1 ,B 1) dhe n 2 ={A 2 ,B 2) kolinear. Meqenëse vektorët n 1 ≠0, n 2 ≠0, atëherë ka një numër të tillë λ , Çfarë n 2 =n 1 λ . Nga këtu kemi: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Le ta vërtetojmë këtë C 2 =C 1 λ . Natyrisht, linjat që përputhen kanë një pikë të përbashkët M 0 (x 0 , y 0). Shumëzimi i ekuacionit (5) me λ dhe duke zbritur ekuacionin (6) prej tij marrim:
Meqenëse dy barazitë e para nga shprehjet (7) janë plotësuar, atëherë C 1 λ −C 2 =0. Ato. C 2 =C 1 λ . Vërejtja është vërtetuar.
Vini re se ekuacioni (4) përcakton ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikë M 0 (x 0 , y 0) dhe ka një vektor normal n={A, B). Prandaj, nëse dihet vektori normal i një drejtëze dhe pika që i përket kësaj drejtëze, atëherë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës mund të ndërtohet duke përdorur ekuacionin (4).
Shembulli 1. Një drejtëz kalon nëpër një pikë M=(4,−1) dhe ka një vektor normal n=(3, 5). Ndërtoni ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze.
Zgjidhje. Ne kemi: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Për të ndërtuar ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë, ne i zëvendësojmë këto vlera në ekuacionin (4):
Përgjigje:
Vektori është paralel me vijën L dhe, për rrjedhojë, pingul me vektorin normal të drejtëzës L. Le të ndërtojmë një vektor të vijës normale L, duke marrë parasysh se prodhimi skalar i vektorëve n dhe e barabartë me zero. Mund të shkruajmë, për shembull, n={1,−3}.
Për të ndërtuar ekuacionin e përgjithshëm të një drejtëze, përdorim formulën (4). Le të zëvendësojmë koordinatat e pikës në (4) M 1 (mund të marrim edhe koordinatat e pikës M 2) dhe vektor normal n:
Zëvendësimi i koordinatave të pikave M 1 dhe M 2 në (9) mund të sigurohemi që drejtëza e dhënë nga ekuacioni (9) të kalojë nëpër këto pika.
Përgjigje:
Zbrisni (10) nga (1):
Ne kemi marrë ekuacionin kanonik të drejtëzës. Vektor q={−B, A) është vektori i drejtimit të vijës (12).
Shihni konvertimin e kundërt.
Shembulli 3. Një vijë e drejtë në një rrafsh përfaqësohet nga ekuacioni i përgjithshëm vijues:
Le ta zhvendosim termin e dytë djathtas dhe të ndajmë të dyja anët e ekuacionit me 2·5.
Vetitë e një vije të drejtë në gjeometrinë Euklidiane.
Një numër i pafund i drejtëzave mund të vizatohen nëpër çdo pikë.
Përmes çdo dy pikash që nuk përputhen mund të vizatohet një vijë e vetme e drejtë.
Dy drejtëza divergjente në një rrafsh ose kryqëzohen në një pikë të vetme ose janë
paralele (rrjedh nga ajo e mëparshmja).
Në hapësirën tre-dimensionale, ekzistojnë tre opsione për pozicionin relativ të dy linjave:
- linjat kryqëzohen;
- vijat janë paralele;
- vijat e drejta kryqëzohen.
Drejt linjë— kurba algjebrike e rendit të parë: një vijë e drejtë në sistemin koordinativ kartezian
jepet në rrafsh me një ekuacion të shkallës së parë (ekuacion linear).
Ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze.
Përkufizimi. Çdo vijë e drejtë në aeroplan mund të specifikohet nga një ekuacion i rendit të parë
Ax + Wu + C = 0,
dhe konstante A, B nuk janë të barabartë me zero në të njëjtën kohë. Ky ekuacion i rendit të parë quhet të përgjithshme
ekuacioni i një vije të drejtë. Në varësi të vlerave të konstanteve A, B Dhe ME Rastet e mëposhtme të veçanta janë të mundshme:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- një vijë e drejtë kalon nëpër origjinë
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Me + C = 0)- vijë e drejtë paralele me boshtin Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- vijë e drejtë paralele me boshtin Oh
. B = C = 0, A ≠0- vija e drejtë përkon me boshtin Oh
. A = C = 0, B ≠0- vija e drejtë përkon me boshtin Oh
Ekuacioni i një drejtëze mund të paraqitet në forma të ndryshme në varësi të çdo të dhënë
kushtet fillestare.
Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor normal.
Përkufizimi. Në një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian, një vektor me komponentë (A, B)
pingul me drejtëzën e dhënë nga ekuacioni
Ax + Wu + C = 0.
Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon në një pikë A(1, 2) pingul me vektorin (3, -1).
Zgjidhje. Me A = 3 dhe B = -1, le të hartojmë ekuacionin e drejtëzës: 3x - y + C = 0. Për të gjetur koeficientin C
Le t'i zëvendësojmë koordinatat e pikës së dhënë A në shprehjen që rezulton: 3 - 2 + C = 0
C = -1. Totali: ekuacioni i kërkuar: 3x - y - 1 = 0.
Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika.
Le të jepen dy pikë në hapësirë M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Dhe M2 (x 2, y 2, z 2), Pastaj ekuacioni i një vije,
duke kaluar nëpër këto pika:
Nëse ndonjë prej emërtuesve është zero, numëruesi përkatës duhet të vendoset i barabartë me zero. Aktiv
plani, ekuacioni i drejtëzës i shkruar më sipër është thjeshtuar:
Nëse x 1 ≠ x 2 Dhe x = x 1, Nëse x 1 = x 2 .
Fraksioni = k thirrur shpat e drejtpërdrejtë.
Shembull. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat A(1, 2) dhe B(3, 4).
Zgjidhje. Duke zbatuar formulën e shkruar më sipër, marrim:
Ekuacioni i një drejtëze duke përdorur një pikë dhe pjerrësi.
Nëse ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës Ax + Wu + C = 0çojnë në:
dhe caktoni , atëherë thirret ekuacioni që rezulton
ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi k.
Ekuacioni i një drejtëze nga një pikë dhe një vektor drejtimi.
Për analogji me pikën duke marrë parasysh ekuacionin e një vije të drejtë përmes vektorit normal, mund të futni detyrën
një vijë e drejtë përmes një pike dhe një vektor drejtues i një drejtëze.
Përkufizimi. Çdo vektor jozero (α 1 , α 2), komponentët e të cilit plotësojnë kushtin
Aα 1 + Bα 2 = 0 thirrur vektori drejtues i një drejtëze.
Ax + Wu + C = 0.
Shembull. Gjeni ekuacionin e një drejtëze me një vektor drejtimi (1, -1) dhe që kalon nga pika A(1, 2).
Zgjidhje. Ne do të kërkojmë ekuacionin e vijës së dëshiruar në formën: Ax + By + C = 0. Sipas përcaktimit,
koeficientët duhet të plotësojnë kushtet e mëposhtme:
1 * A + (-1) * B = 0, d.m.th. A = B.
Atëherë ekuacioni i drejtëzës ka formën: Ax + Ay + C = 0, ose x + y + C / A = 0.
në x = 1, y = 2 marrim C/A = -3, d.m.th. ekuacioni i kërkuar:
x + y - 3 = 0
Ekuacioni i një drejtëze në segmente.
Nëse në ekuacionin e përgjithshëm të drejtëzës Ах + Ву + С = 0 С≠0, atëherë, duke e pjesëtuar me -С, marrim:
ose ku
Kuptimi gjeometrik i koeficientëve është se koeficienti a është koordinata e pikës së kryqëzimit
drejt me bosht Oh, A b- koordinata e pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin Oh.
Shembull. Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës x - y + 1 = 0. Gjeni ekuacionin e kësaj drejtëze në segmente.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Ekuacioni normal i një drejtëze.
Nëse të dyja anët e ekuacionit Ax + Wu + C = 0 pjesëto me numër që quhet
faktori normalizues, atëherë marrim
xcosφ + ysinφ - p = 0 -ekuacioni normal i një drejtëze.
Shenja ± e faktorit normalizues duhet zgjedhur në mënyrë që μ*C< 0.
r- gjatësia e pingulit të rënë nga origjina në vijën e drejtë,
A φ - këndi i formuar nga kjo pingul me drejtimin pozitiv të boshtit Oh.
Shembull. Është dhënë ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës 12x - 5y - 65 = 0. Kërkohet për të shkruar lloje të ndryshme ekuacionesh
këtë vijë të drejtë.
Ekuacioni i kësaj drejtëze në segmente:
Ekuacioni i kësaj linje me pjerrësinë: (pjestojeni me 5)
Ekuacioni i një drejtëze:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Duhet të theksohet se jo çdo vijë e drejtë mund të përfaqësohet nga një ekuacion në segmente, për shembull, drejtëza,
paralel me akset ose duke kaluar nga origjina.
Këndi ndërmjet vijave të drejta në një plan.
Përkufizimi. Nëse jepen dy rreshta y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, pastaj këndi akut ndërmjet këtyre vijave
do të përkufizohet si
Dy drejtëza janë paralele nëse k 1 = k 2. Dy drejtëza janë pingul
Nëse k 1 = -1/ k 2 .
Teorema.
Direkt Ax + Wu + C = 0 Dhe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralele kur koeficientët janë proporcional
A 1 = λA, B 1 = λB. Nëse gjithashtu С 1 = λС, atëherë rreshtat përkojnë. Koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave
gjenden si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve të këtyre drejtëzave.
Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër një pikë të caktuar pingul me një drejtëz të caktuar.
Përkufizimi. Vija që kalon nëpër një pikë M 1 (x 1, y 1) dhe pingul me drejtëzën y = kx + b
përfaqësohet nga ekuacioni:
Largësia nga një pikë në një vijë.
Teorema. Nëse jepet një pikë M(x 0, y 0), pastaj distanca në vijën e drejtë Ax + Wu + C = 0 përcaktuar si:
Dëshmi. Lëreni pikën M 1 (x 1, y 1)- baza e një pingule të rënë nga një pikë M për një të dhënë
e drejtpërdrejtë. Pastaj distanca midis pikave M Dhe M 1:
(1)
Koordinatat x 1 Dhe në 1 mund të gjendet si zgjidhje për sistemin e ekuacioneve:
Ekuacioni i dytë i sistemit është ekuacioni i një drejtëze që kalon në një pikë të caktuar M 0 pingul
dhënë vijë të drejtë. Nëse e transformojmë ekuacionin e parë të sistemit në formën:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Nga 0 + C = 0,
atëherë, duke zgjidhur, marrim:
Duke i zëvendësuar këto shprehje në ekuacionin (1), gjejmë:
Teorema është vërtetuar.
