Zgjidhja e problemeve duke përdorur sisteme ekuacionesh. Rregullat për shndërrimin e një sistemi ekuacionesh në një matricë

Maslova S. V.

Instituti Shtetëror Pedagogjik i Moskës me emrin. M. E. Evsevieva, departamenti. metodat e arsimit fillor

Zgjidhja e problemeve duke përdorur sisteme ekuacionesh

Aktualisht, studimi i sistemeve të ekuacioneve dhe zgjidhja e problemeve me ndihmën e tyre është prerogativë e një kursi algjebër të shkollës së mesme. Në thelb, një sistem ekuacionesh konsiderohet si dy ose më shumë ekuacione në të cilat të njëjtat shkronja përfaqësojnë të njëjtët numra. Le të japim shembuj të disa llojeve të problemeve të zgjidhura duke përdorur një sistem ekuacionesh në një kurs algjebër. Si rezultat, zgjidhja e një sistemi ekuacionesh reduktohet në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik. Le t'i kushtojmë vëmendje të veçantë metodës së përpilimit të vetë sistemit.

1. Problem me përmbajtjen gjeometrike: “Hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë është 13 cm, dhe sipërfaqja e tij është 30 cm 2. Gjeni këmbët”.

Zgjidhja: Lërini këmbët të jenë të barabarta X Dhe në centimetra. Duke përdorur teoremën e Pitagorës dhe formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë, ne shkruajmë kushtin e problemit si më poshtë:

Duke shtuar në ekuacionin e parë të sistemit të dytin, shumëzuar me 4, marrim: ku ose Që nga viti X Dhe në janë numra pozitivë, atëherë nga ky ekuacion shprehemi në përmes X dhe zëvendësojeni në një nga ekuacionet e sistemit, për shembull në të dytin: Le të zgjidhim ekuacionin që rezulton:

Zëvendësimi i këtyre vlerave në formulën që gjejmë Në të dyja rastet, njëra nga këmbët është 5 cm, tjetra është 12 cm.

Përgjigje: Brinjët e një trekëndëshi kënddrejtë janë 5 cm dhe 12 cm.

2. Problem me numërimin e përmbajtjes: “Kur një numër dyshifror pjesëtohet me shumën e shifrave të tij, herësi është 6, kurse mbetja është 4. Kur pjesëtohet i njëjti numër me prodhimin e shifrave të tij, herësi është 2 dhe mbetja është 16. Gjeni këtë numër.”

Zgjidhje: Le të shkruhet një numër dyshifror si 10x+y. Duke përdorur rregullin për bashkëveprimin e komponentëve gjatë ndarjes me një mbetje, ne shkruajmë kushtin e problemit si më poshtë:

Duke hapur kllapat në ekuacionin e parë, ne shprehim vlerën prej tij në: Vlera zëvendësuese në në ekuacionin e parë të sistemit, marrim një ekuacion kuadratik: - nuk i plotëson kushtet e problemit.

Zëvendësimi i vlerës që rezulton në formulën që gjejmë

Përgjigje: numri dyshifror 64.

3. Problemi i zonës: “Parstra drejtkëndëshe duhet të rrethohet me gardh 1 km të gjatë. Sa duhet të jetë gjatësia dhe gjerësia e parcelës nëse sipërfaqja e saj është 6 hektarë?

Zgjidhja: Le të jetë e barabartë gjatësia dhe gjerësia e seksionit drejtkëndor X Dhe në metra. Duke përdorur formulat për gjetjen e perimetrit dhe sipërfaqes së një drejtkëndëshi, si dhe raportet 1 km = 1000 m dhe 1 ha = 10000 m, shkruajmë kushtin e problemit si më poshtë:

Le të shprehim vlerën nga ekuacioni i dytë në: Vlera zëvendësuese në në ekuacionin e parë të sistemit, marrim një ekuacion kuadratik:

Zëvendësimi i vlerave që rezultojnë në formulë

Përgjigje: gjatësia dhe gjerësia e truallit janë 300 m dhe 200 m.

Nëse, sipas kushteve të problemit, nxënësit e shkollave të mesme krijojnë një sistem ekuacionesh, në zgjidhjen e të cilit nuk shfaqet një ekuacion kuadratik, atëherë vetë problemi mund të zgjidhet nga nxënësit e klasave më të ulëta. I vetmi program që ka marrë guximin të përdorë sisteme ekuacionesh në kursin fillestar të matematikës është sistemi i edukimit zhvillimor nga L.V.Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së problemeve duke përdorur një sistem ekuacionesh nga kursi fillestar i matematikës.

1. Detyra e lëvizjes: “Distanca mes qyteteve është 564 km. Trenat u larguan nga qytetet për t'u takuar me njëri-tjetrin në të njëjtën kohë dhe u takuan 6 orë më vonë. Shpejtësia e një treni është 10 km më e madhe se shpejtësia e tjetrit. Sa është shpejtësia e çdo treni?

Zgjidhja: Le të jetë x km/h shpejtësia e trenit të parë dhe y km/h shpejtësia e trenit të dytë. Sipas kushteve të problemit, trenat janë takuar pas 6 orësh. Pastaj, 6 km - treni i parë do të kalojë para takimit, 6 km - treni i dytë do të kalojë para takimit. Takimi i tyre do të thotë se në total kanë kaluar një distancë prej 564 km para takimit, pra 6x+6y=564 - ekuacioni i parë.

Shpejtësia e trenit të parë është 10 km/h më e madhe se shpejtësia e të dytit, pra diferenca ndërmjet shpejtësive është 10. Marrim ekuacionin e dytë: x-y = 10

Përgjigje: 52 km/h, 42 km/h.

2. Problemi i barazimit të dy popullsive: “Në dy rafte janë 84 libra. Nëse hiqni 12 libra nga një raft, atëherë do të ketë një numër të barabartë librash në të dy raftet. Sa libra do të ketë në çdo raft? Sa ishte në fillim?

Zgjidhja: Le të jenë x libra në raftin e parë dhe x libra në raftin e dytë. Sipas kushteve të problemit, ka gjithsej 84 libra në dy rafte, domethënë x + y = 84 - ekuacioni i parë.

Nëse hiqni 12 libra nga rafti i parë, atëherë numri i librave në të dy raftet do të jetë i barabartë. Marrim ekuacionin e dytë: x-12=y.

Si rezultat, marrim një sistem ekuacionesh:

(libra) - ishte në raftin e parë.

84-48=36 (k.) - ishte në raftin e dytë.

48-12=36 (k.) - do të jetë në çdo raft.

Përgjigje: 36 libra, 48 libra dhe 36 libra.

3. Detyrë me hamendje: “Djali ka brumbuj dhe merimanga në koleksionin e tij - gjithsej 8. Nëse numëroni të gjitha këmbët në koleksion. Atëherë do të jenë 54 prej tyre, sa brumbuj dhe sa merimanga janë në koleksion?

Zgjidhje: Le të jetë x numri i brumbujve dhe y numri i merimangave. Gjithsej 8 copë. Marrim ekuacionin e parë – x+y=8.

Dhe duke qenë se brumbulli ka 6 këmbë, do të ketë gjithsej 6 këmbë. Një merimangë ka 8 këmbë, atëherë 8y është numri i përgjithshëm i këmbëve që ka një merimangë. Totali është 54. Pastaj vijmë te barazimi i dytë: 6x+8y=54.

Tema e mësimit: "Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur sisteme"

Qëllimi: të mësoni se si të zgjidhni ekuacionet duke përdorur sisteme.

Detyrat:

arsimore

Mësoni të zgjidhni ekuacione duke përdorur sisteme dhe konsolidoni këto njohuri

Zhvillimore.

Zhvillimi i operacioneve të të menduarit (përgjithësim, analizë, nxjerrje në pah të thelbësores). Zhvillimi i vëmendjes.

Zhvillimi i aftësive të bashkëpunimit.

arsimore.

Kultivimi i një qëndrimi të ndërgjegjshëm ndaj studimit të algjebrës.

Nxitja e dëshirës për vetë-përmirësim.

Lloji i mësimit - i kombinuar.

Ecuria e mësimit

Ι. Motivimi për veprimtari edukative.

Objektivi: organizimi i përditësimit të kërkesave për studentin përsa i përket veprimtarive edukative.

– Mirëdita, djema! Epigrafi i mësimit tonë do të jetë fjalët "Forca jonë është në unitet".

Tema e mësimit tonë është “Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur sisteme. Çfarë mendoni se do të bëjmë në klasë? (Përgjigjet e nxënësve). Le të përgjithësojmë dhe konsolidojmë njohuritë e marra për zgjidhjen e ekuacioneve duke përdorur sisteme.

ΙΙ. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.

Qëllimi: të organizohet përditësimi i metodave të studiuara të veprimit, të mjaftueshme për ndërtimin e njohurive të reja.

Ju lutemi shkëmbeni fletoret dhe kontrolloni sesi njëri-tjetri e përfundoi detyrën.

Vazhdo fjalinë "Unë di për këtë temë...", "Unë di për këtë temë...". Më thuaj, cili është ndryshimi midis koncepteve "di" dhe "mund"?

III. Identifikimi i vendndodhjes dhe shkakut të problemit

Qëllimi: të organizohet restaurimi, fiksimi i vendit të vështirësisë, korrelacioni i veprimeve të dikujt me standardet e përdorura - për të përcaktuar njohuritë dhe aftësitë që mungojnë për të zgjidhur problemin e dhënë.

Unë ju sugjeroj të zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm

Ju lutem më tregoni çfarë quajmë ekuacion? ( Një ekuacion është një marrëdhënie matematikore që shpreh barazinë e dy shprehjeve algjebrike)

Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion? ( Zgjidhe ekuacionin - do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e saj, pra ato vlera x, të cilat e kthejnë ekuacionin në një identitet, ose vërtetojnë se nuk ka rrënjë)

IV. Ndërtimi i një projekti për të dalë nga një problem

Objektivi: organizoni ndërtimin e një projekti për të dalë nga vështirësia.

Çfarë mendoni se duhet bërë për të zgjidhur këtë ekuacion duke përdorur sisteme? (Katrore) E saktë. Çfarë metode dini për të zgjidhur këtë ekuacion? (Përgjigje të mundshme: katrore dhe kontrollo, por kjo mund të rezultojë në rrënjë shtesë; jo, nuk mundemi). Është e nevojshme të merret parasysh, kur zgjidhet ky ekuacion, se ana e djathtë e tij është më e madhe ose e barabartë me 2.

Çfarë ekuacioni kemi marrë? (Sheshi). Merreni me mend, djema, a është e mundur të zgjidhet ekuacioni saktë dhe me kompetencë menjëherë dhe në tërësi? (Jo) Po sikur ta ndajmë në pjesët përbërëse dhe ta zgjidhim veçmas? (Po, mundesh) Domethënë, mund të themi se edhe në ekuacione ka forcë në unitet. Mendo dhe më thuaj cili është shembulli i unitetit dhe forcës? (Përgjigjet: gjatë luftës, njerëzit janë të bashkuar).

Rrënjët e këtij ekuacioni janë 3 dhe -23/7. Rrënja e parë plotëson pabarazinë x>2, por rrënja e dytë jo. Zgjidhja e ekuacionit është vetëm një rrënjë. (Përgjigje x=3)

Djema, tani kur zgjidhim këtë ekuacion kemi përdorur teoremën:

Ne do ta përdorim këtë teoremë kur zgjidhim ekuacione të ngjashme. Ju lutemi hapni librin tuaj shkollor në faqen 243. Lexoni përsëri teoremën.

V.Konsolidimi primar.

Tani ju sugjeroj të zgjidhni ekuacionet e mëposhtme.

Për ata që studiojnë në "5", ekuacioni numër një, për pjesën tjetër, detyra numër 2.

(Në fletore të gjithë shënojnë zgjidhjen. Një nxënës e shënon zgjidhjen në tabelë. Pasi e zgjidh, hap rrëshqitjen me përgjigjen e saktë për detyrën numër 1)

V. Punë e pavarur me vetëtest.

Qëllimi: të organizohet kryerja e pavarur e detyrave standarde nga nxënësit për një mënyrë të re veprimi.

Test në kompjuter.

VI. Përfshirja në sistemin e njohurive dhe përsëritja.

Qëllimi: të organizohet identifikimi i llojeve të detyrave ku përdoret një metodë e re.

Ndoshta ju keni hasur tashmë diku ekuacione të ngjashme? (Kjo është detyra B5,

Pra, çfarë takuam sot? Çfarë gjërash të reja keni mësuar? (Përgjigjet)

Tani dua të kthehem përsëri te epigrafi i mësimit tonë "Forca jonë është në unitet". Djema, pse mendoni se zgjodha këtë epigraf të veçantë për mësimin? (Përgjigjet e nxënësve).

VII . Reflektim mbi veprimtaritë mësimore.

Qëllimi: të organizohet vlerësimi i nxënësve për aktivitetet e tyre në mësim.

"Djema, ju lutemi vazhdoni frazën "Në klasë arrita të..." (Përgjigjet e studentëve.)

VIII . Detyrë shtëpie.

Sistemet e ekuacioneve përdoren gjerësisht në sektorin ekonomik për modelimin matematikor të proceseve të ndryshme. Për shembull, kur zgjidhni problemet e menaxhimit dhe planifikimit të prodhimit, rrugëve të logjistikës (problemi i transportit) ose vendosjes së pajisjeve.

Sistemet e ekuacioneve përdoren jo vetëm në matematikë, por edhe në fizikë, kimi dhe biologji, kur zgjidhen problemet e gjetjes së madhësisë së popullsisë.

Një sistem ekuacionesh lineare është dy ose më shumë ekuacione me disa ndryshore për të cilat është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e përbashkët. Një sekuencë e tillë numrash për të cilat të gjitha ekuacionet bëhen barazi të vërteta ose vërtetojnë se sekuenca nuk ekziston.

Ekuacioni linear

Ekuacionet e trajtës ax+by=c quhen lineare. Emërtimet x, y janë të panjohurat vlera e të cilave duhet gjetur, b, a janë koeficientët e variablave, c është termi i lirë i ekuacionit.
Zgjidhja e një ekuacioni duke e vizatuar do të duket si një vijë e drejtë, të gjitha pikat e së cilës janë zgjidhje të polinomit.

Llojet e sistemeve të ekuacioneve lineare

Shembujt më të thjeshtë konsiderohen të jenë sistemet e ekuacioneve lineare me dy ndryshore X dhe Y.

F1(x, y) = 0 dhe F2(x, y) = 0, ku F1,2 janë funksione dhe (x, y) janë variabla funksioni.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve - kjo do të thotë gjetja e vlerave (x, y) në të cilat sistemi kthehet në një barazi të vërtetë ose vërtetimi që vlerat e përshtatshme të x dhe y nuk ekzistojnë.

Një çift vlerash (x, y), të shkruara si koordinatat e një pike, quhet zgjidhje e një sistemi ekuacionesh lineare.

Nëse sistemet kanë një zgjidhje të përbashkët ose nuk ekziston asnjë zgjidhje, ato quhen ekuivalente.

Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare janë sisteme ana e djathtë e të cilave është e barabartë me zero. Nëse pjesa e djathtë pas shenjës së barabartë ka një vlerë ose shprehet me një funksion, një sistem i tillë është heterogjen.

Numri i variablave mund të jetë shumë më tepër se dy, atëherë duhet të flasim për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare me tre ose më shumë ndryshore.

Kur përballen me sisteme, nxënësit e shkollës supozojnë se numri i ekuacioneve duhet domosdoshmërisht të përkojë me numrin e të panjohurave, por nuk është kështu. Numri i ekuacioneve në sistem nuk varet nga variablat mund të ketë aq sa dëshironi.

Metoda të thjeshta dhe komplekse për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Nuk ka asnjë metodë të përgjithshme analitike për zgjidhjen e sistemeve të tilla; Kursi i matematikës shkollore përshkruan në detaje metoda të tilla si ndryshimi, mbledhja algjebrike, zëvendësimi, si dhe metodat grafike dhe matricore, zgjidhje me metodën Gaussian.

Detyra kryesore kur mësoni metodat e zgjidhjes është të mësoni se si të analizoni saktë sistemin dhe të gjeni algoritmin optimal të zgjidhjes për secilin shembull. Gjëja kryesore nuk është të mësosh përmendësh një sistem rregullash dhe veprimesh për secilën metodë, por të kuptosh parimet e përdorimit të një metode të veçantë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare në kurrikulën e arsimit të përgjithshëm të klasës së 7-të është mjaft e thjeshtë dhe e shpjeguar me shumë detaje. Në çdo tekst të matematikës, këtij seksioni i kushtohet vëmendje e mjaftueshme. Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Gauss dhe Cramer është studiuar më hollësisht në vitet e para të arsimit të lartë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën e zëvendësimit

Veprimet e metodës së zëvendësimit synojnë të shprehin vlerën e një ndryshore në terma të të dytës. Shprehja zëvendësohet në ekuacionin e mbetur, pastaj reduktohet në një formë me një ndryshore. Veprimi përsëritet në varësi të numrit të të panjohurave në sistem

Le të japim një zgjidhje për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare të klasës 7 duke përdorur metodën e zëvendësimit:

Siç mund të shihet nga shembulli, ndryshorja x u shpreh përmes F(X) = 7 + Y. Shprehja rezultuese, e zëvendësuar në ekuacionin e dytë të sistemit në vend të X, ndihmoi për të marrë një ndryshore Y në ekuacionin e dytë. . Zgjidhja e këtij shembulli është e lehtë dhe ju lejon të merrni vlerën Y. Hapi i fundit është të kontrolloni vlerat e marra.

Nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet një shembull i një sistemi ekuacionesh lineare me zëvendësim. Ekuacionet mund të jenë komplekse dhe shprehja e ndryshores në termat e të panjohurës së dytë do të jetë shumë e rëndë për llogaritjet e mëtejshme. Kur ka më shumë se 3 të panjohura në sistem, zgjidhja me zëvendësim është gjithashtu jopraktike.

Zgjidhja e një shembulli të një sistemi ekuacionesh lineare johomogjene:

Zgjidhje duke përdorur mbledhjen algjebrike

Kur kërkoni zgjidhje për sistemet duke përdorur metodën e mbledhjes, ekuacionet shtohen term pas termi dhe shumëzohen me numra të ndryshëm. Qëllimi përfundimtar i operacioneve matematikore është një ekuacion në një ndryshore.

Zbatimi i kësaj metode kërkon praktikë dhe vëzhgim. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes kur ka 3 ose më shumë ndryshore nuk është e lehtë. Shtimi algjebrik është i përshtatshëm për t'u përdorur kur ekuacionet përmbajnë thyesa dhe dhjetore.

Algoritmi i zgjidhjes:

Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një numër të caktuar. Si rezultat i veprimit aritmetik, një nga koeficientët e ndryshores duhet të bëhet i barabartë me 1.
Shtoni shprehjen që rezulton term pas termi dhe gjeni një nga të panjohurat.
Zëvendësoni vlerën që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit për të gjetur variablin e mbetur.

Metoda e zgjidhjes duke futur një ndryshore të re

Një variabël i ri mund të futet nëse sistemi kërkon gjetjen e një zgjidhjeje për jo më shumë se dy ekuacione, gjithashtu numri i të panjohurave duhet të jetë jo më shumë se dy.

Metoda përdoret për të thjeshtuar një nga ekuacionet duke futur një ndryshore të re. Ekuacioni i ri zgjidhet për të panjohurën e futur dhe vlera që rezulton përdoret për të përcaktuar variablin origjinal.

Shembulli tregon se duke futur një ndryshore të re t, ishte e mundur të reduktohej ekuacioni i parë i sistemit në një trinom kuadratik standard. Ju mund të zgjidhni një polinom duke gjetur diskriminuesin.

Është e nevojshme të gjendet vlera e diskriminuesit duke përdorur formulën e njohur: D = b2 - 4*a*c, ku D është diskriminuesi i dëshiruar, b, a, c janë faktorët e polinomit. Në shembullin e dhënë, a=1, b=16, c=39, pra D=100. Nëse diskriminuesi është më i madh se zero, atëherë ekzistojnë dy zgjidhje: t = -b±√D / 2*a, nëse diskriminuesi është më i vogël se zero, atëherë ka një zgjidhje: x = -b / 2*a.

Zgjidhja për sistemet rezultuese gjendet me metodën e shtimit.

Metoda vizuale për zgjidhjen e sistemeve

I përshtatshëm për 3 sisteme ekuacionesh. Metoda konsiston në ndërtimin e grafikëve të çdo ekuacioni të përfshirë në sistem në boshtin koordinativ. Koordinatat e pikave të kryqëzimit të kurbave do të jenë zgjidhja e përgjithshme e sistemit.

Metoda grafike ka një numër nuancash. Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare në mënyrë vizuale.

Siç shihet nga shembulli, për secilën rresht janë ndërtuar dy pika, vlerat e ndryshores x janë zgjedhur në mënyrë arbitrare: 0 dhe 3. Bazuar në vlerat e x, janë gjetur vlerat për y: 3 dhe 0. Pikat me koordinatat (0, 3) dhe (3, 0) janë shënuar në grafik dhe janë lidhur me një vijë.

Hapat duhet të përsëriten për ekuacionin e dytë. Pika e prerjes së vijave është zgjidhja e sistemit.

Shembulli i mëposhtëm kërkon gjetjen e një zgjidhjeje grafike të një sistemi ekuacionesh lineare: 0.5x-y+2=0 dhe 0.5x-y-1=0.

Siç shihet nga shembulli, sistemi nuk ka zgjidhje, sepse grafikët janë paralelë dhe nuk kryqëzohen në të gjithë gjatësinë e tyre.

Sistemet nga shembujt 2 dhe 3 janë të ngjashëm, por kur ndërtohen, bëhet e qartë se zgjidhjet e tyre janë të ndryshme. Duhet mbajtur mend se nuk është gjithmonë e mundur të thuhet nëse një sistem ka një zgjidhje apo jo, është gjithmonë e nevojshme të ndërtohet një grafik.

Matrica dhe varietetet e saj

Matricat përdoren për të shkruar në mënyrë koncize një sistem ekuacionesh lineare. Një matricë është një lloj i veçantë tabele i mbushur me numra. n*m ka n - rreshta dhe m - kolona.

Një matricë është katror kur numri i kolonave dhe rreshtave është i barabartë. Një matricë-vektor është një matricë e një kolone me një numër pafundësisht të mundshëm rreshtash. Një matricë me ato përgjatë njërës prej diagonaleve dhe elementëve të tjerë zero quhet identitet.

Një matricë e kundërt është një matricë kur shumëzohet me të cilën ajo origjinale kthehet në një matricë njësie një matricë e tillë ekziston vetëm për atë katrore origjinale.

Rregullat për shndërrimin e një sistemi ekuacionesh në një matricë

Në lidhje me sistemet e ekuacioneve, koeficientët dhe termat e lirë të ekuacioneve shkruhen si numra matricë;

Një rresht matricë thuhet se është jozero nëse të paktën një element i rreshtit nuk është zero. Prandaj, nëse në ndonjë nga ekuacionet numri i variablave ndryshon, atëherë është e nevojshme të futet zero në vend të të panjohurës që mungon.

Kolonat e matricës duhet të korrespondojnë rreptësisht me variablat. Kjo do të thotë se koeficientët e ndryshores x mund të shkruhen vetëm në një kolonë, për shembull e para, koeficienti i të panjohurës y - vetëm në të dytën.

Kur shumëzoni një matricë, të gjithë elementët e matricës shumëzohen në mënyrë sekuenciale me një numër.

Opsione për gjetjen e matricës së kundërt

Formula për gjetjen e matricës së kundërt është mjaft e thjeshtë: K -1 = 1 / |K|, ku K -1 është matrica e kundërt, dhe |K| është përcaktor i matricës. |K| nuk duhet të jetë e barabartë me zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje.

Përcaktori llogaritet lehtësisht për një matricë dy-nga-dy ju vetëm duhet të shumëzoni elementët diagonale me njëri-tjetrin. Për opsionin "tre nga tre" ekziston një formulë |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Ju mund të përdorni formulën, ose mund të mbani mend se duhet të merrni një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë në mënyrë që numrat e kolonave dhe rreshtave të elementeve të mos përsëriten në punë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e matricës

Metoda e matricës për të gjetur një zgjidhje ju lejon të zvogëloni hyrjet e rënda kur zgjidhni sisteme me një numër të madh variablash dhe ekuacionesh.

Në shembull, një nm janë koeficientët e ekuacioneve, matrica është një vektor x n janë variabla dhe b n janë terma të lirë.

Zgjidhja e sistemeve duke përdorur metodën Gaussian

Në matematikën e lartë, metoda Gaussian studiohet së bashku me metodën Cramer dhe procesi i gjetjes së zgjidhjeve për sistemet quhet metoda e zgjidhjes Gauss-Cramer. Këto metoda përdoren për të gjetur variabla të sistemeve me një numër të madh ekuacionesh lineare.

Metoda e Gausit është shumë e ngjashme me zgjidhjet me zëvendësim dhe mbledhje algjebrike, por është më sistematike. Në kursin e shkollës, zgjidhja me metodën Gaussian përdoret për sistemet me 3 dhe 4 ekuacione. Qëllimi i metodës është të zvogëlojë sistemin në formën e një trapezi të përmbysur. Me anë të shndërrimeve dhe zëvendësimeve algjebrike, vlera e një ndryshoreje gjendet në një nga ekuacionet e sistemit. Ekuacioni i dytë është një shprehje me 2 të panjohura, ndërsa 3 dhe 4 janë, përkatësisht, me 3 dhe 4 ndryshore.

Pas sjelljes së sistemit në formën e përshkruar, zgjidhja e mëtejshme reduktohet në zëvendësimin vijues të variablave të njohur në ekuacionet e sistemit.

Në tekstet shkollore për klasën 7, një shembull i një zgjidhjeje me metodën e Gauss përshkruhet si më poshtë:

Siç shihet nga shembulli, në hapin (3) janë marrë dy ekuacione: 3x 3 -2x 4 =11 dhe 3x 3 +2x 4 =7. Zgjidhja e ndonjë prej ekuacioneve do t'ju lejojë të zbuloni një nga variablat x n.

Teorema 5, e cila përmendet në tekst, thotë se nëse një nga ekuacionet e sistemit zëvendësohet me një ekuivalent, atëherë sistemi që rezulton do të jetë gjithashtu i barabartë me atë origjinal.

Metoda Gaussian është e vështirë për t'u kuptuar nga nxënësit e shkollave të mesme, por është një nga mënyrat më interesante për të zhvilluar zgjuarsinë e fëmijëve të regjistruar në programe të avancuara mësimore në klasat e matematikës dhe fizikës.

Për lehtësinë e regjistrimit, llogaritjet zakonisht bëhen si më poshtë:

Koeficientët e ekuacioneve dhe termat e lirë shkruhen në formën e një matrice, ku çdo rresht i matricës korrespondon me një nga ekuacionet e sistemit. ndan anën e majtë të ekuacionit nga e djathta. Numrat romakë tregojnë numrin e ekuacioneve në sistem.

Fillimisht shkruani matricën me të cilën do të punohet, pastaj të gjitha veprimet e kryera me një nga rreshtat. Matrica që rezulton shkruhet pas shenjës "shigjeta" dhe veprimet e nevojshme algjebrike vazhdojnë derisa të arrihet rezultati.

Rezultati duhet të jetë një matricë në të cilën një nga diagonalet është e barabartë me 1, dhe të gjithë koeficientët e tjerë janë të barabartë me zero, domethënë, matrica reduktohet në një formë njësi. Nuk duhet të harrojmë të kryejmë llogaritjet me numra në të dy anët e ekuacionit.

Kjo metodë regjistrimi është më pak e rëndë dhe ju lejon të mos shpërqendroheni duke renditur shumë të panjohura.

Përdorimi falas i çdo metode zgjidhjeje do të kërkojë kujdes dhe përvojë. Jo të gjitha metodat janë të një natyre aplikative. Disa metoda për të gjetur zgjidhje janë më të preferuara në një fushë të caktuar të veprimtarisë njerëzore, ndërsa të tjera ekzistojnë për qëllime edukative.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Të jesh në gjendje të zgjidhësh sisteme ekuacionesh lineare është shumë e mirë, por zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve në vetvete është vetëm një metodë për probleme më komplekse. Duke përdorur sisteme ekuacionesh, ne mund të zgjidhim probleme të ndryshme që hasim në jetë.

Algjebra është shkenca e zgjidhjes së ekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve. Ky është pikërisht përkufizimi që shkencëtarët përdorën në fund të shekullit të 20-të. Shkencëtari i famshëm Rene Descartes është i famshëm për një nga veprat e tij, e cila quhet "Metoda e Dekartit". Dekarti besonte se çdo problem mund të reduktohet në një problem matematikor, çdo problem matematik mund të reduktohet në një sistem algjebrik ekuacionesh. Dhe çdo sistem mund të reduktohet në zgjidhjen e një ekuacioni të vetëm.

Fatkeqësisht, Dekarti nuk pati kohë për të përfunduar plotësisht metodën e tij dhe nuk i shkroi të gjitha pikat e saj, por ideja është shumë e mirë.

Dhe tani ne, si Dekarti, do të zgjidhim probleme duke përdorur sisteme ekuacionesh, natyrisht, jo ndonjë, por vetëm ato që mund të reduktohen në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.

Skema e përgjithshme për zgjidhjen e problemit duke përdorur sistemet e ekuacioneve

Le të përshkruajmë skemën e përgjithshme për zgjidhjen e problemeve duke përdorur sisteme ekuacionesh:

1. Për sasi të panjohura, ne prezantojmë shënime të caktuara dhe krijojmë një sistem ekuacionesh lineare.
2. Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare që rezulton.
3. Përdor shënimet e futura dhe shkruaj përgjigjen.

Le të përpiqemi ta zbatojmë këtë skemë për një problem specifik.

Dihet se dy lapsa dhe tre fletore kushtojnë 35 rubla, dhe dy fletore dhe tre lapsa kushtojnë 40 rubla. Duhet të zbuloni se sa kushtojnë pesë lapsa dhe gjashtë fletore.

Zgjidhja:

Duhet të gjejmë se sa kushtojnë veçmas një laps dhe një fletore. Nëse kemi të dhëna të tilla, atëherë nuk do të jetë e vështirë të vendosim se sa kushtojnë pesë lapsa dhe gjashtë fletore.

Le të shënojmë me x çmimin e një lapsi në rubla. Dhe y është çmimi i një fletoreje në rubla. Tani lexojmë me kujdes kushtin dhe krijojmë një ekuacion.

"dy lapsa dhe tre fletore kushtojnë 35 rubla" do të thotë