Shembuj të fuqive me eksponentë racionalë dhe irracionalë. Fuqia e numrave: përkufizime, shënime, shembuj

Fuqia me eksponent racional

Khasyanova T.G.,

mësues i matematikës

Materiali i paraqitur do të jetë i dobishëm për mësuesit e matematikës kur studiojnë temën "Eksponent me një eksponent racional".

Qëllimi i materialit të paraqitur: të zbulojë përvojën time të zhvillimit të një mësimi me temën "Diplomë me një eksponent racional" të programit të punës të disiplinës "Matematika".

Metodologjia për zhvillimin e mësimit korrespondon me llojin e saj - një mësim në studimin dhe konsolidimin fillimisht të njohurive të reja. Njohuritë dhe aftësitë bazë u përditësuan në bazë të përvojës së fituar më parë; memorizimi parësor, konsolidimi dhe aplikimi i informacionit të ri. Konsolidimi dhe aplikimi i materialit të ri u zhvillua në formën e zgjidhjes së problemeve që i testova me kompleksitet të ndryshëm, duke dhënë një rezultat pozitiv në zotërimin e temës.

Në fillim të orës së mësimit u vendosa nxënësve këto synime: edukative, zhvillimore, edukative. Gjatë orës së mësimit përdora metoda të ndryshme veprimtarie: ballore, individuale, në çift, e pavarur, test. Detyrat u diferencuan dhe bënë të mundur identifikimin, në çdo fazë të mësimit, shkallën e përvetësimit të njohurive. Vëllimi dhe kompleksiteti i detyrave korrespondojnë me karakteristikat e moshës së studentëve. Nga përvoja ime, detyrat e shtëpisë, të ngjashme me problemet e zgjidhura në klasë, ju lejojnë të konsolidoni me besueshmëri njohuritë dhe aftësitë e fituara. Në fund të orës së mësimit u zhvillua reflektimi dhe u vlerësua puna e nxënësve individualë.

Qëllimet u arritën. Studentët studiuan konceptin dhe vetitë e një diplome me një eksponent racional dhe mësuan t'i përdorin këto veti kur zgjidhin probleme praktike. Për punë të pavarur, notat shpallen në orën e ardhshme.

Besoj se metodologjia që përdor për mësimin e matematikës mund të përdoret nga mësuesit e matematikës.

Tema e mësimit: Fuqia me eksponent racional

Objektivi i mësimit:

Identifikimi i nivelit të zotërimit të një kompleksi njohurish dhe aftësish nga studentët dhe, mbi bazën e tij, zbatimi i zgjidhjeve të caktuara për përmirësimin e procesit arsimor.

Objektivat e mësimit:

Edukative: të formojë njohuri të reja midis studentëve për konceptet themelore, rregullat, ligjet për përcaktimin e gradave me një tregues racional, aftësinë për të zbatuar në mënyrë të pavarur njohuritë në kushte standarde, në kushte të modifikuara dhe jo standarde;

duke zhvilluar: mendoni logjikisht dhe realizoni aftësitë krijuese;

duke ngritur: zhvilloni një interes për matematikën, plotësoni fjalorin tuaj me terma të rinj dhe merrni informacion shtesë për botën përreth jush. Kultivoni durimin, këmbënguljen dhe aftësinë për të kapërcyer vështirësitë.

Momenti organizativ

Përditësimi i njohurive të referencës

Kur shumëzohen fuqitë me të njëjtat baza, shtohen eksponentët, por baza mbetet e njëjtë:

Për shembull,

2. Kur pjesëtohen shkallët me baza të njëjta, zbriten eksponentët e shkallëve, por baza mbetet e njëjtë:

Për shembull,

3. Kur rritet një shkallë në një fuqi, eksponentët shumëzohen, por baza mbetet e njëjtë:

Për shembull,

4. Shkalla e produktit është e barabartë me prodhimin e shkallëve të faktorëve:

Për shembull,

5. Shkalla e herësit është e barabartë me herësin e shkallëve të dividendit dhe pjesëtuesit:

Për shembull,

Ushtrime me zgjidhje

Gjeni kuptimin e shprehjes:

Zgjidhja:

Në këtë rast, asnjë nga vetitë e një shkalle me një eksponent natyror nuk mund të zbatohet në mënyrë eksplicite, pasi të gjitha shkallët kanë baza të ndryshme. Le të shkruajmë disa fuqi në një formë tjetër:

(shkalla e produktit është e barabartë me produktin e shkallëve të faktorëve);

(kur shumëzohen fuqitë me baza të njëjta, eksponentët shtohen, por baza mbetet e njëjtë; kur një shkallë ngrihet në një fuqi, eksponentët shumëzohen, por baza mbetet e njëjtë).

Pastaj marrim:

Në këtë shembull, janë përdorur katër vetitë e para të një shkalle me një eksponent natyror.

Rrënja katrore aritmetike
është një numër jo negativ katrori i të cilit është i barabartë mea,
. Në
- shprehje
nuk është përcaktuar, sepse nuk ka numër real, katrori i të cilit është i barabartë me një numër negativa.

Diktim matematik(8-10 min.)

Opsioni

II. Opsioni

1.Gjeni vlerën e shprehjes

2.Llogaritni

IN)

2.Llogaritni

Vetëtestimi(në dërrasën e xhaketës):

Matrica e përgjigjes:

№ opsion/detyrë

Problemi 1

Problemi 2

Opsioni 1

a) 2

b) 2

a) 0.5

Opsioni 2

a) 1.5

c) 4

II Formimi i njohurive të reja

Le të shqyrtojmë se çfarë kuptimi ka shprehja, ku - numër pozitiv– numër thyesor dhe m-numër i plotë, n-natyror (n›1)

Përkufizimi: fuqia e a›0 me eksponent racionalr = , m- e tërë, n-natyrore ( n›1) thirret numri.

Pra:

Për shembull:

Shënime:

1. Për çdo numër a pozitiv dhe çdo numër racional r pozitivisht.

2. Kur
fuqia racionale e një numrianuk është përcaktuar.

Shprehjet si
nuk ka kuptim.

3.Nëse një numër pozitiv thyesor është
.

Nëse thyesore atëherë numri negativ -nuk ka kuptim.

Për shembull: - nuk ka kuptim.

Le të shqyrtojmë vetitë e një shkalle me një eksponent racional.

Le të jetë a >0, b>0; r, s - çdo numër racional. Atëherë një shkallë me çdo eksponent racional ka vetitë e mëposhtme:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidimi. Formimi i aftësive dhe aftësive të reja.

Kartat e detyrave punojnë në grupe të vogla në formën e një testi.

Nga eksponentë të plotë të numrit a, kalimi në eksponentë racional sugjeron vetveten. Më poshtë do të përcaktojmë një shkallë me një eksponent racional dhe këtë do ta bëjmë në atë mënyrë që të ruhen të gjitha vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë. Kjo është e nevojshme sepse numrat e plotë janë pjesë e numrave racionalë.

Dihet se bashkësia e numrave racionalë përbëhet nga numra të plotë dhe thyesa, dhe secila thyesë mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme pozitive ose negative. Ne përcaktuam një shkallë me një eksponent numër të plotë në paragrafin e mëparshëm, prandaj, për të plotësuar përkufizimin e një shkalle me një eksponent racional, duhet t'i japim kuptim shkallës së numrit. a me një tregues thyesor m/n, Ku mështë një numër i plotë, dhe n- natyrale. Le ta bëjmë këtë.

Le të shqyrtojmë një shkallë me një eksponent thyesor të formës . Që prona fuqi-fuqi të mbetet e vlefshme, barazia duhet të mbahet . Nëse marrim parasysh barazinë që rezulton dhe si përcaktuam rrënjën e n-të të shkallës, atëherë është logjike të pranohet, me kusht që duke pasur parasysh këtë m, n Dhe a shprehja ka kuptim.

Është e lehtë të kontrollohet nëse të gjitha vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë janë të vlefshme (kjo është bërë në seksionin vetitë e një shkalle me një eksponent racional).

Arsyetimi i mësipërm na lejon të bëjmë sa vijon përfundimi: nëse jepen të dhëna m, n Dhe a shprehja ka kuptim, pastaj fuqia e numrit a me një tregues thyesor m/n quhet rrënja n shkalla e a deri në një shkallë m.

Ky pohim na afron me përkufizimin e një shkalle me një eksponent thyesor. Gjithçka që mbetet është të përshkruajmë se çfarë m, n Dhe a shprehja ka kuptim. Në varësi të kufizimeve të vendosura në m, n Dhe a Ka dy qasje kryesore.

1. Mënyra më e lehtë është të vendosësh një kufizim në a, pasi ka pranuar a≥0 për pozitive m Dhe a>0 për negative m(që kur m≤0 shkallë 0 m nuk është përcaktuar). Pastaj marrim përkufizimin e mëposhtëm të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri pozitiv a me një tregues thyesor m/n , Ku m- e tërë, dhe n– një numër natyror, i quajtur rrënjë n-të e numrit a deri në një shkallë m, domethënë, .

Fuqia fraksionale e zeros përcaktohet gjithashtu me paralajmërimin e vetëm që treguesi duhet të jetë pozitiv.

Përkufizimi.

Fuqia zero me eksponent pozitiv thyesor m/n , Ku mështë një numër i plotë pozitiv, dhe n– numri natyror, i përcaktuar si .
Kur shkalla nuk përcaktohet, domethënë, shkalla e numrit zero me një eksponent negativ thyesor nuk ka kuptim.

Duhet të theksohet se me këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor, ekziston një paralajmërim: për disa negative a dhe disa m Dhe n shprehja ka kuptim, por ne i hodhëm këto raste duke futur kushtin a≥0. Për shembull, hyrjet kanë kuptim ose , dhe përkufizimi i dhënë më sipër na detyron të themi se fuqitë me një eksponent thyesor të formës nuk kanë kuptim, pasi baza nuk duhet të jetë negative.

2. Një tjetër qasje për përcaktimin e shkallës me një eksponent thyesor m/n konsiston në shqyrtimin e ndarë të eksponentëve çift dhe tek të rrënjës. Kjo qasje kërkon një kusht shtesë: fuqinë e numrit a, eksponenti i të cilit është një thyesë e zakonshme e reduktueshme, konsiderohet fuqi e një numri a, treguesi i të cilit është fraksioni përkatës i pakësueshëm (rëndësia e kësaj gjendjeje do të shpjegohet më poshtë). Kjo është, nëse m/nështë një thyesë e pakalueshme, atëherë për çdo numër natyror k shkalla zëvendësohet paraprakisht me .

Edhe për n dhe pozitive m shprehja ka kuptim për çdo jonegative a(një rrënjë çift i një numri negativ nuk ka kuptim), për negativ m numri a duhet të jetë ende i ndryshëm nga zero (përndryshe do të ketë pjesëtim me zero). Dhe për rastësi n dhe pozitive m numri a mund të jetë çdo (rrënja tek është përcaktuar për çdo numër real), dhe për negative m numri a duhet të jetë jo zero (në mënyrë që të mos ketë pjesëtim me zero).

Arsyetimi i mësipërm na çon në këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Le m/n- fraksioni i pareduktueshëm, m- e tërë, dhe n– numri natyror. Për çdo thyesë të reduktueshme, shkalla zëvendësohet me . Fuqia e numrit a me një eksponent thyesor të pareduktueshëm m/n- kjo është për

o çdo numër real a, krejt pozitive m dhe e çuditshme e natyrshme n, Për shembull, ;

o çdo numër real jozero a, numër i plotë negativ m dhe tek n për shembull, ;

o çdo numër jo negativ a, krejt pozitive m dhe madje n, Për shembull, ;

o ndonjë pozitiv a, numër i plotë negativ m dhe madje n për shembull, ;

o në raste të tjera, shkalla me tregues të pjesshëm nuk përcaktohet, si për shembull gradat nuk janë të përcaktuara .a nuk i bashkangjisim asnjë kuptim hyrjes përcaktojmë fuqinë e numrit zero për eksponentët thyesorë pozitivë m/n Si , për eksponentë thyesorë negativë nuk përcaktohet fuqia e numrit zero.

Në përfundim të kësaj pike, le të tërheqim vëmendjen për faktin se një eksponent thyesor mund të shkruhet si një thyesë dhjetore ose një numër i përzier, për shembull, . Për të llogaritur vlerat e shprehjeve të këtij lloji, duhet të shkruani eksponentin në formën e një fraksioni të zakonshëm, dhe më pas të përdorni përkufizimin e eksponentit me një eksponent thyesor. Për shembujt e mësipërm kemi Dhe

Mësimi video "Eksponent me një eksponent racional" përmban material edukativ vizual për mësimin e një mësimi mbi këtë temë. Mësimi i videos përmban informacione rreth konceptit të një diplome me një eksponent racional, vetitë e shkallëve të tilla, si dhe shembuj që përshkruajnë përdorimin e materialit edukativ për zgjidhjen e problemeve praktike. Qëllimi i këtij video mësimi është të paraqesë qartë dhe qartë materialin edukativ, të lehtësojë zhvillimin dhe memorizimin e tij nga nxënësit dhe të zhvillojë aftësinë për të zgjidhur probleme duke përdorur konceptet e mësuara.

Përparësitë kryesore të mësimit të videos janë aftësia për të kryer vizualisht transformime dhe llogaritje, aftësia për të përdorur efektet e animacionit për të përmirësuar efikasitetin e të mësuarit. Shoqërimi i zërit ndihmon në zhvillimin e të folurit të saktë matematikor, dhe gjithashtu bën të mundur zëvendësimin e shpjegimit të mësuesit, duke e liruar atë për të kryer punë individuale.

Mësimi me video fillon me prezantimin e temës. Kur lidhni studimin e një teme të re me materialin e studiuar më parë, sugjerohet të mbani mend se n √a shënohet ndryshe një 1/n për n natyrore dhe pozitive a. Ky paraqitje n-rrënjë shfaqet në ekran. Më tej, propozohet të shqyrtohet se çfarë do të thotë shprehja a m/n, në të cilën a është një numër pozitiv dhe m/n është një fraksion. Është dhënë përkufizimi i një shkalle me një eksponent racional si m/n = n √a m, i theksuar në një kornizë. Vihet re se n mund të jetë një numër natyror, dhe m mund të jetë një numër i plotë.

Pas përcaktimit të një shkalle me një eksponent racional, kuptimi i saj zbulohet përmes shembujve: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Ai gjithashtu tregon një shembull në të cilin një fuqi e përfaqësuar nga një dhjetore konvertohet në një thyesë për t'u paraqitur si një rrënjë: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 dhe një shembull me fuqi negative: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Veçantia e rastit të veçantë kur baza e shkallës është zero tregohet veçmas. Vihet re se kjo shkallë ka kuptim vetëm me një eksponent thyesor pozitiv. Në këtë rast, vlera e tij është zero: 0 m/n =0.

Vërehet një veçori tjetër e një shkalle me një eksponent racional - se një shkallë me një eksponent thyesor nuk mund të konsiderohet me një eksponent thyesor. Janë dhënë shembuj të shënimeve të pasakta të shkallëve: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Më tej në mësimin e videos diskutojmë vetitë e një shkalle me një eksponent racional. Vihet re se vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë do të vlejnë edhe për një shkallë me një eksponent racional. Propozohet të rikujtohet lista e pronave që janë gjithashtu të vlefshme në këtë rast:

Kur shumëzohen fuqitë me baza të njëjta, eksponentët e tyre mblidhen: a p a q =a p+q.
Ndarja e shkallëve me baza të njëjta reduktohet në një shkallë me një bazë të caktuar dhe ndryshimi në eksponentë: a p:a q =a p-q.
Nëse e ngremë shkallën në një fuqi të caktuar, atëherë përfundojmë me një shkallë me një bazë të caktuar dhe prodhimin e eksponentëve: (a p) q =a pq.

Të gjitha këto veti vlejnë për fuqitë me eksponentë racional p, q dhe bazë pozitive a>0. Gjithashtu, transformimet e shkallës kur hapen kllapat mbeten të vërteta:

(ab) p =a p b p - ngritja në një fuqi me një eksponent racional, produkti i dy numrave reduktohet në prodhimin e numrave, secili prej të cilëve është ngritur në një fuqi të caktuar.
(a/b) p =a p /b p - ngritja e një thyese në një fuqi me një eksponent racional reduktohet në një thyesë, numëruesi dhe emëruesi i së cilës janë ngritur në një fuqi të caktuar.

Video tutorial diskuton zgjidhjen e shembujve që përdorin vetitë e konsideruara të fuqive me një eksponent racional. Në shembullin e parë, propozohet të gjendet vlera e një shprehjeje që përmban ndryshoret x në një fuqi thyesore: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Megjithë kompleksitetin e shprehjes, duke përdorur vetitë e fuqive ajo mund të zgjidhet mjaft thjesht. Zgjidhja e problemit fillon me thjeshtimin e shprehjes, e cila përdor rregullin e ngritjes së një fuqie me një eksponent racional në një fuqi, si dhe shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë. Pas zëvendësimit të vlerës së dhënë x=8 në shprehjen e thjeshtuar x 1/3 +48, është e lehtë të merret vlera - 50.

Në shembullin e dytë, ju duhet të zvogëloni një fraksion, numëruesi dhe emëruesi i së cilës përmbajnë fuqi me një eksponent racional. Duke përdorur vetitë e shkallës, nxjerrim nga diferenca faktorin x 1/3, i cili më pas zvogëlohet në numërues dhe emërues, dhe duke përdorur formulën për diferencën e katrorëve, numëruesi faktorizohet, i cili jep reduktime të mëtejshme të identikeve. faktorët në numërues dhe emërues. Rezultati i shndërrimeve të tilla është thyesa e shkurtër x 1/4 +3.

Mësimi me video "Eksponent me një eksponent racional" mund të përdoret në vend që mësuesi të shpjegojë një temë të re mësimore. Ky manual gjithashtu përmban informacion mjaft të plotë që studenti të studiojë në mënyrë të pavarur. Materiali mund të jetë i dobishëm edhe për mësimin në distancë.

Në këtë artikull do të kuptojmë se çfarë është fuqia e një numri. Këtu do të japim përkufizime të fuqisë së një numri, ndërsa do të shqyrtojmë në detaje të gjithë eksponentët e mundshëm, duke filluar nga eksponenti natyror dhe duke përfunduar me atë irracional. Në material do të gjeni shumë shembuj të gradave, duke mbuluar të gjitha hollësitë që dalin.

Navigimi i faqes.

Fuqia me eksponent natyror, katrori i një numri, kubi i një numri

Le të fillojmë me. Duke parë përpara, le të themi se përkufizimi i fuqisë së një numri a me eksponent natyror n është dhënë për a, të cilin do ta quajmë bazën e shkallës, dhe n, të cilat do t'i quajmë eksponent. Vëmë re gjithashtu se një shkallë me një eksponent natyror përcaktohet përmes një produkti, kështu që për të kuptuar materialin e mëposhtëm duhet të keni një kuptim të shumëzimit të numrave.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri me eksponent natyror nështë shprehje e formës a n, vlera e së cilës është e barabartë me produktin e n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a, pra .
Në veçanti, fuqia e një numri a me eksponent 1 është vetë numri a, domethënë a 1 =a.

Vlen të përmendet menjëherë për rregullat për leximin e gradave. Mënyra universale për të lexuar shënimin a n është: "a në fuqinë e n". Në disa raste, opsionet e mëposhtme janë gjithashtu të pranueshme: "a në fuqinë e n-të" dhe "fuqia e n-të e a". Për shembull, le të marrim fuqinë 8 12, kjo është "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "fuqia e dymbëdhjetë e tetë".

Fuqia e dytë e një numri, si dhe fuqia e tretë e një numri, kanë emrat e tyre. Fuqia e dytë e një numri quhet katrore numrin, për shembull, 7 2 lexohet si "shtatë në katror" ose "katrori i numrit shtatë". Fuqia e tretë e një numri quhet numrat në kub, për shembull, 5 3 mund të lexohet si "pesë kube" ose mund të thoni "kubi i numrit 5".

Është koha për të sjellë shembuj të shkallëve me eksponentë natyrorë. Le të fillojmë me shkallën 5 7, këtu 5 është baza e shkallës dhe 7 është eksponenti. Le të japim një shembull tjetër: 4.32 është baza, dhe numri natyror 9 është eksponenti (4.32) 9 .

Ju lutemi vini re se në shembullin e fundit, baza e fuqisë 4.32 është shkruar në kllapa: për të shmangur mospërputhjet, ne do të vendosim në kllapa të gjitha bazat e fuqisë që janë të ndryshme nga numrat natyrorë. Si shembull, japim shkallët e mëposhtme me eksponentë natyrorë , bazat e tyre nuk janë numra natyrorë, ndaj shkruhen në kllapa. Epo, për qartësi të plotë, në këtë pikë do të tregojmë ndryshimin që përmbahen në regjistrimet e formës (−2) 3 dhe −2 3. Shprehja (−2) 3 është një fuqi prej −2 me një eksponent natyror 3, dhe shprehja −2 3 (mund të shkruhet si −(2 3) ) korrespondon me numrin, vlerën e fuqisë 2 3 .

Vini re se ekziston një shënim për fuqinë e një numri a me një eksponent n të formës a^n. Për më tepër, nëse n është një numër natyror me shumë vlera, atëherë eksponenti merret në kllapa. Për shembull, 4^9 është një tjetër shënim për fuqinë e 4 9 . Dhe këtu janë disa shembuj të tjerë të shkrimit të shkallëve duke përdorur simbolin "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . Në atë që vijon, ne do të përdorim kryesisht shënimin e shkallës së formës a n.

Një nga problemet e anasjellta të rritjes në një fuqi me një eksponent natyror është problemi i gjetjes së bazës së fuqisë nga një vlerë e njohur e fuqisë dhe një eksponent i njohur. Kjo detyrë çon në.

Dihet se bashkësia e numrave racionalë përbëhet nga numra të plotë dhe thyesa, dhe secila thyesë mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme pozitive ose negative. Ne përcaktuam një shkallë me një eksponent numër të plotë në paragrafin e mëparshëm, prandaj, për të plotësuar përkufizimin e një shkalle me një eksponent racional, duhet t'i japim kuptim fuqisë së numrit a me një eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror. Le ta bëjmë këtë.

Le të shqyrtojmë një shkallë me një eksponent thyesor të formës . Që prona fuqi-fuqi të mbetet e vlefshme, barazia duhet të mbahet . Nëse marrim parasysh barazinë që rezulton dhe mënyrën se si kemi përcaktuar , atëherë është logjike ta pranojmë atë, me kusht që të dhëna m, n dhe a, shprehja të ketë kuptim.

Arsyetimi i mësipërm na lejon të bëjmë sa vijon përfundimi: nëse jepen m, n dhe a shprehja ka kuptim, atëherë fuqia e a-së me një eksponent thyesor m/n quhet rrënja e n-të e a-së në fuqinë e m.

Ky pohim na afron me përkufizimin e një shkalle me një eksponent thyesor. Mbetet vetëm për të përshkruar atë që m, n dhe a ka kuptim shprehja. Në varësi të kufizimeve të vendosura në m, n dhe a, ekzistojnë dy qasje kryesore.

Mënyra më e lehtë është të vendosësh një kufizim mbi a duke marrë a≥0 për m pozitive dhe a>0 për m negative (pasi për m≤0 shkalla 0 e m nuk është e përcaktuar). Pastaj marrim përkufizimin e mëposhtëm të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri pozitiv a me eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror, quhet rrënja e n-të e numrit a në fuqinë e m, domethënë .

Fuqia fraksionale e zeros përcaktohet gjithashtu me paralajmërimin e vetëm që treguesi duhet të jetë pozitiv.

Përkufizimi.

Fuqia zero me eksponent pozitiv thyesor m/n, ku m është një numër i plotë pozitiv dhe n është një numër natyror, përkufizohet si .
Kur shkalla nuk përcaktohet, domethënë, shkalla e numrit zero me një eksponent negativ thyesor nuk ka kuptim.

Duhet të theksohet se me këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor, ka një paralajmërim: për disa negative a dhe disa m dhe n, shprehja ka kuptim dhe ne i hodhëm këto raste duke futur kushtin a≥0. Për shembull, hyrjet kanë kuptim ose , dhe përkufizimi i dhënë më sipër na detyron të themi se fuqitë me një eksponent thyesor të formës nuk kanë kuptim, pasi baza nuk duhet të jetë negative.

Një qasje tjetër për përcaktimin e një shkalle me një eksponent thyesor m/n është të merren parasysh veçmas eksponentët çift dhe tek të rrënjës. Kjo qasje kërkon një kusht shtesë: fuqia e numrit a, eksponenti i të cilit është , konsiderohet të jetë fuqia e numrit a, eksponenti i të cilit është thyesa përkatëse e pakësueshme (do të shpjegojmë rëndësinë e kësaj gjendjeje më poshtë ). Kjo do të thotë, nëse m/n është një thyesë e pakalueshme, atëherë për çdo numër natyror k shkalla zëvendësohet fillimisht me .

Për n dhe pozitiv m, shprehja ka kuptim për çdo jonegativ a (një rrënjë çift i një numri negativ nuk ka kuptim për m negativ, numri a duhet të jetë ende i ndryshëm nga zero (përndryshe do të ketë pjesëtim). me zero). Dhe për n tek dhe m pozitiv, numri a mund të jetë cilido (rrënja e një shkalle tek përcaktohet për çdo numër real), dhe për negativ m, numri a duhet të jetë jo zero (në mënyrë që të mos ketë pjesëtim me zero).

Arsyetimi i mësipërm na çon në këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Le të jetë m/n një thyesë e pakalueshme, m një numër i plotë dhe n një numër natyror. Për çdo thyesë të reduktueshme, shkalla zëvendësohet me . Fuqia e një numri me një eksponent thyesor të pakalueshëm m/n është për

Le të shpjegojmë pse një shkallë me një eksponent thyesor të reduktueshëm zëvendësohet fillimisht nga një shkallë me një eksponent të pareduktueshëm. Nëse thjesht do ta përkufizonim shkallën si , dhe nuk do të bënim një rezervë për pakësueshmërinë e thyesës m/n, atëherë do të përballeshim me situata të ngjashme me sa vijon: meqenëse 6/10 = 3/5, atëherë barazia duhet të jetë , Por , A .