Herën e fundit mësuam se si të mbledhim dhe zbresim thyesat (shihni mësimin “Mblidhja dhe zbritja e thyesave”). Pjesa më e vështirë e atyre veprimeve ishte sjellja e thyesave në një emërues të përbashkët.
Tani është koha për t'u marrë me shumëzimin dhe pjesëtimin. Lajmi i mirë është se këto veprime janë edhe më të thjeshta se mbledhja dhe zbritja. Së pari, le të shqyrtojmë rastin më të thjeshtë, kur ka dy thyesa pozitive pa një pjesë të plotë të ndarë.
Për të shumëzuar dy thyesa, duhet të shumëzoni veçmas numëruesit dhe emëruesit e tyre. Numri i parë do të jetë numëruesi i thyesës së re dhe i dyti do të jetë emëruesi.
Për të ndarë dy fraksione, duhet të shumëzoni fraksionin e parë me fraksionin e dytë "të përmbysur".
Përcaktimi:
Nga përkufizimi rezulton se pjesëtimi i thyesave zvogëlohet në shumëzim. Për të "rrokullisur" një thyesë, thjesht ndërroni numëruesin dhe emëruesin. Prandaj, gjatë gjithë mësimit do të shqyrtojmë kryesisht shumëzimin.
Si rezultat i shumëzimit, mund të lindë një fraksion i reduktueshëm (dhe shpesh lind) - ai, natyrisht, duhet të reduktohet. Nëse pas të gjitha reduktimeve thyesa rezulton e pasaktë, e gjithë pjesa duhet të theksohet. Por ajo që definitivisht nuk do të ndodhë me shumëzimin është reduktimi në një emërues të përbashkët: pa metoda të kryqëzuara, faktorë më të mëdhenj dhe shumëfish më pak të zakonshëm.
Sipas definicionit kemi:
Shumëzimi i thyesave me pjesë të plota dhe me thyesa negative
Nëse fraksionet përmbajnë një pjesë të plotë, ato duhet të shndërrohen në të pahijshme - dhe vetëm atëherë të shumëzohen sipas skemave të përshkruara më sipër.
Nëse ka një minus në numëruesin e një thyese, në emërues ose përballë saj, ai mund të hiqet nga shumëzimi ose të hiqet fare sipas rregullave të mëposhtme:
- Plus me minus jep minus;
- Dy negative bëjnë një pohuese.
Deri më tani, këto rregulla janë hasur vetëm në mbledhjen dhe zbritjen e thyesave negative, kur është dashur të hiqet e gjithë pjesa. Për një punë, ato mund të përgjithësohen për të "djegur" disa disavantazhe menjëherë:
- Negativët i kryqëzojmë në dyshe derisa të zhduken plotësisht. Në raste ekstreme, një minus mund të mbijetojë - ai për të cilin nuk kishte shok;
- Nëse nuk ka mbetur asnjë minus, operacioni ka përfunduar - mund të filloni të shumëzoni. Nëse minusi i fundit nuk kapërcehet sepse nuk kishte çift për të, e nxjerrim jashtë kufijve të shumëzimit. Rezultati është një fraksion negativ.
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
Ne i kthejmë të gjitha thyesat në të pahijshme, dhe më pas i heqim minuset nga shumëzimi. E shumëzojmë atë që ka mbetur sipas rregullave të zakonshme. Ne marrim:
Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë se minusi që shfaqet para një thyese me një pjesë të plotë të theksuar i referohet në mënyrë specifike të gjithë thyesës, dhe jo vetëm të gjithë pjesës së saj (kjo vlen për dy shembujt e fundit).
Kushtojini vëmendje edhe numrave negativë: kur shumëzohen, ato mbyllen në kllapa. Kjo bëhet për të ndarë minuset nga shenjat e shumëzimit dhe për ta bërë të gjithë shënimin më të saktë.
Reduktimi i fraksioneve në fluturim
Shumëzimi është një operacion që kërkon shumë punë. Numrat këtu rezultojnë të jenë mjaft të mëdhenj, dhe për të thjeshtuar problemin, mund të përpiqeni të zvogëloni më tej fraksionin para shumëzimit. Në të vërtetë, në thelb, numëruesit dhe emëruesit e thyesave janë faktorë të zakonshëm, dhe, për rrjedhojë, ato mund të reduktohen duke përdorur vetinë bazë të një thyese. Hidhini një sy shembujve:
Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
Sipas definicionit kemi:
Në të gjithë shembujt, numrat që janë zvogëluar dhe çfarë ka mbetur prej tyre janë shënuar me të kuqe.
Ju lutemi vini re: në rastin e parë, shumëzuesit u reduktuan plotësisht. Në vend të tyre mbeten njësi që, në përgjithësi, nuk kanë nevojë të shkruhen. Në shembullin e dytë, nuk ishte e mundur të arrihej një reduktim i plotë, por shuma totale e llogaritjeve ende u ul.
Megjithatë, mos e përdorni kurrë këtë teknikë kur mblidhni dhe zbritni thyesa! Po, ndonjëherë ka numra të ngjashëm që thjesht dëshironi t'i zvogëloni. Ja, shikoni:
Ju nuk mund ta bëni këtë!
Gabimi ndodh sepse kur mblidhet, numëruesi i një thyese prodhon një shumë, jo një produkt të numrave. Rrjedhimisht, është e pamundur të zbatohet vetia bazë e një thyese, pasi kjo veti merret në mënyrë specifike me shumëzimin e numrave.
Thjesht nuk ka arsye të tjera për zvogëlimin e thyesave, kështu që zgjidhja e saktë e problemit të mëparshëm duket si kjo:
Zgjidhja e duhur:
Siç mund ta shihni, përgjigja e saktë doli të ishte jo aq e bukur. Në përgjithësi, jini të kujdesshëm.
Në kurset e shkollës së mesme dhe të mesme, studentët trajtuan temën “Tyesat”. Megjithatë, ky koncept është shumë më i gjerë se ai që jepet në procesin mësimor. Sot, koncepti i një fraksioni haset mjaft shpesh, dhe jo të gjithë mund të llogarisin ndonjë shprehje, për shembull, duke shumëzuar thyesat.
Çfarë është një thyesë?
Historikisht, numrat thyesorë lindën nga nevoja për të matur. Siç tregon praktika, shpesh ka shembuj të përcaktimit të gjatësisë së një segmenti dhe vëllimit të një drejtkëndëshi drejtkëndësh.
Fillimisht nxënësit njihen me konceptin e aksionit. Për shembull, nëse ndani një shalqi në 8 pjesë, atëherë çdo person do të marrë një të tetën e shalqinit. Kjo një pjesë e tetë quhet aksion.
Një pjesë e barabartë me ½ e çdo vlere quhet gjysma; ⅓ - e treta; ¼ - një e katërta. Regjistrimet e formës 5/8, 4/5, 2/4 quhen thyesa të zakonshme. Një thyesë e zakonshme ndahet në një numërues dhe një emërues. Midis tyre është shiriti i fraksionit, ose shiriti i fraksionit. Vija thyesore mund të vizatohet ose si vijë horizontale ose e zhdrejtë. Në këtë rast, ajo tregon shenjën e ndarjes.
Emëruesi paraqet në sa pjesë të barabarta ndahet sasia ose objekti; dhe numëruesi është sa aksione identike janë marrë. Numëruesi shkruhet mbi vijën e thyesës, emëruesi shkruhet poshtë tij.
Është më e përshtatshme për të treguar fraksionet e zakonshme në një rreze koordinative. Nëse një segment i vetëm ndahet në 4 pjesë të barabarta, secila pjesë përcaktohet me një shkronjë latine, atëherë rezultati mund të jetë një ndihmë e shkëlqyer vizuale. Pra, pika A tregon një pjesë të barabartë me 1/4 e të gjithë segmentit njësi, dhe pika B shënon 2/8 e një segmenti të caktuar.
Llojet e thyesave
Thyesat mund të jenë numra të zakonshëm, dhjetorë dhe të përzier. Për më tepër, fraksionet mund të ndahen në të duhura dhe të pahijshme. Ky klasifikim është më i përshtatshëm për fraksionet e zakonshme.
Një thyesë e duhur është një numër numëruesi i të cilit është më i vogël se emëruesi i tij. Prandaj, një thyesë e papërshtatshme është një numër, numëruesi i të cilit është më i madh se emëruesi i tij. Lloji i dytë zakonisht shkruhet si një numër i përzier. Kjo shprehje përbëhet nga një numër i plotë dhe një pjesë thyesore. Për shembull, 1½. 1 është një pjesë e plotë, ½ është një pjesë e pjesshme. Sidoqoftë, nëse keni nevojë të kryeni disa manipulime me shprehjen (pjestimi ose shumëzimi i thyesave, zvogëlimi ose shndërrimi i tyre), numri i përzier shndërrohet në një fraksion të papërshtatshëm.
Një shprehje e saktë thyesore është gjithmonë më e vogël se një, dhe një e pasaktë është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me 1.
Sa i përket kësaj shprehjeje nënkuptojmë një rekord në të cilin paraqitet ndonjë numër, emëruesi i shprehjes thyesore të të cilit mund të shprehet në terma një me disa zero. Nëse thyesa është e duhur, atëherë pjesa e plotë në shënimin dhjetor do të jetë e barabartë me zero.
Për të shkruar një thyesë dhjetore, fillimisht duhet të shkruani të gjithë pjesën, ta ndani atë nga thyesa duke përdorur presje dhe më pas të shkruani shprehjen e thyesës. Duhet mbajtur mend se pas presjes dhjetore, numëruesi duhet të përmbajë të njëjtin numër karakteresh dixhitale sa ka zero në emërues.
Shembull. Shprehni thyesën 7 21 / 1000 me shënim dhjetor.
Algoritmi për shndërrimin e një thyese të gabuar në një numër të përzier dhe anasjelltas
Është e gabuar të shkruhet një thyesë e gabuar në përgjigjen e një problemi, kështu që duhet të konvertohet në një numër të përzier:
- pjesëtoje numëruesin me emëruesin ekzistues;
- në një shembull specifik, një herës jo i plotë është një e tërë;
- dhe pjesa e mbetur është numëruesi i pjesës thyesore, me emëruesin e pandryshuar.
Shembull. Shndërroni thyesën e gabuar në numër të përzier: 47 / 5.
Zgjidhje. 47: 5. Koeficienti i pjesshëm është 9, pjesa e mbetur = 2. Pra, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Ndonjëherë ju duhet të përfaqësoni një numër të përzier si një thyesë jo të duhur. Atëherë duhet të përdorni algoritmin e mëposhtëm:
- pjesa e plotë shumëzohet me emëruesin e shprehjes thyesore;
- produkti që rezulton i shtohet numëruesit;
- rezultati shkruhet në numërues, emëruesi mbetet i pandryshuar.
Shembull. Paraqisni numrin në formë të përzier si thyesë jo të duhur: 9 8 / 10.
Zgjidhje. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 është numëruesi.
Përgjigju: 98 / 10.
Shumëzimi i thyesave
Operacione të ndryshme algjebrike mund të kryhen në thyesa të zakonshme. Për të shumëzuar dy numra, duhet të shumëzoni numëruesin me numëruesin dhe emëruesin me emërues. Për më tepër, shumëzimi i thyesave me emërues të ndryshëm nuk ndryshon nga shumëzimi i thyesave me emërues të njëjtë.
Ndodh që pasi të keni gjetur rezultatin, duhet të zvogëloni fraksionin. Është e domosdoshme që shprehja që rezulton të thjeshtohet sa më shumë që të jetë e mundur. Sigurisht, nuk mund të thuhet se një thyesë e gabuar në një përgjigje është një gabim, por është gjithashtu e vështirë ta quash atë një përgjigje të saktë.
Shembull. Gjeni prodhimin e dy thyesave të zakonshme: ½ dhe 20/18.
Siç shihet nga shembulli, pas gjetjes së produktit, fitohet një shënim thyesor i reduktueshëm. Si numëruesi ashtu edhe emëruesi në këtë rast ndahen me 4, dhe rezultati është përgjigja 5/9.
Shumëzimi i thyesave dhjetore
Prodhimi i thyesave dhjetore është krejt i ndryshëm nga prodhimi i thyesave të zakonshme në parim. Pra, shumëzimi i thyesave është si më poshtë:
- dy thyesa dhjetore duhet të shkruhen njëra nën tjetrën në mënyrë që shifrat më të djathta të jenë njëra nën tjetrën;
- ju duhet të shumëzoni numrat e shkruar, pavarësisht nga presjet, domethënë si numra natyrorë;
- numëroni numrin e shifrave pas presjes dhjetore në secilin numër;
- në rezultatin e marrë pas shumëzimit, duhet të numëroni nga e djathta aq simbole dixhitale që përmbahen në shumën në të dy faktorët pas pikës dhjetore dhe të vendosni një shenjë ndarëse;
- nëse ka më pak numra në produkt, atëherë duhet të shkruani sa më shumë zero para tyre për të mbuluar këtë numër, të vendosni presje dhe të shtoni të gjithë pjesën e barabartë me zero.
Shembull. Njehsoni prodhimin e dy thyesave dhjetore: 2.25 dhe 3.6.
Zgjidhje.
Shumëzimi i thyesave të përziera
Për të llogaritur produktin e dy fraksioneve të përziera, duhet të përdorni rregullin për shumëzimin e thyesave:
- shndërroni numrat e përzier në thyesa jo të duhura;
- gjeni prodhimin e numëruesve;
- gjeni prodhimin e emëruesve;
- shkruani rezultatin;
- thjeshtoni sa më shumë shprehjen.
Shembull. Gjeni prodhimin e 4½ dhe 6 2/5.
Shumëzimi i një numri me një thyesë (thyesat me një numër)
Përveç gjetjes së prodhimit të dy thyesave dhe numrave të përzier, ka detyra ku duhet të shumëzoni me një thyesë.
Pra, për të gjetur prodhimin e një thyese dhjetore dhe një numri natyror, ju duhet:
- shkruani numrin nën thyesë në mënyrë që shifrat më të djathta të jenë njëra mbi tjetrën;
- gjeni produktin pavarësisht presjes;
- në rezultatin që rezulton, ndani pjesën e plotë nga pjesa thyesore duke përdorur një presje, duke numëruar nga e djathta numrin e shifrave që ndodhen pas pikës dhjetore në fraksion.
Për të shumëzuar një thyesë të përbashkët me një numër, duhet të gjeni produktin e numëruesit dhe faktorin natyror. Nëse përgjigja prodhon një thyesë që mund të reduktohet, ajo duhet të konvertohet.
Shembull. Llogaritni prodhimin e 5/8 dhe 12.
Zgjidhje. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Përgjigju: 7 1 / 2.
Siç mund ta shihni nga shembulli i mëparshëm, ishte e nevojshme të zvogëlohet rezultati që rezulton dhe të konvertohet shprehja e fraksionit të parregullt në një numër të përzier.
Shumëzimi i thyesave ka të bëjë edhe me gjetjen e prodhimit të një numri në formë të përzier dhe të një faktori natyror. Për të shumëzuar këta dy numra, duhet të shumëzoni të gjithë pjesën e faktorit të përzier me numrin, të shumëzoni numëruesin me të njëjtën vlerë dhe të lini emëruesin të pandryshuar. Nëse është e nevojshme, ju duhet të thjeshtoni rezultatin që rezulton sa më shumë që të jetë e mundur.
Shembull. Gjeni prodhimin e 9 5/6 dhe 9.
Zgjidhje. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Përgjigju: 88 1 / 2.
Shumëzimi me faktorët 10, 100, 1000 ose 0,1; 0,01; 0.001
Rregulli i mëposhtëm rrjedh nga paragrafi i mëparshëm. Për të shumëzuar një thyesë dhjetore me 10, 100, 1000, 10000, etj., duhet ta zhvendosni pikën dhjetore djathtas me aq shifra sa ka zero në faktorin pas atij.
Shembulli 1. Gjeni produktin e 0,065 dhe 1000.
Zgjidhje. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Përgjigju: 65.
Shembulli 2. Gjeni prodhimin e 3.9 dhe 1000.
Zgjidhje. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Përgjigju: 3900.
Nëse keni nevojë të shumëzoni një numër natyror dhe 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001, etj., duhet të zhvendosni presjen në produktin që rezulton majtas me aq karaktere shifra sa ka zero para një. Nëse është e nevojshme, një numër i mjaftueshëm zerosh shkruhen para numrit natyror.
Shembulli 1. Gjeni prodhimin e 56 dhe 0,01.
Zgjidhje. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Përgjigju: 0,56.
Shembulli 2. Gjeni produktin e 4 dhe 0,001.
Zgjidhje. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Përgjigju: 0,004.
Pra, gjetja e prodhimit të thyesave të ndryshme nuk duhet të shkaktojë vështirësi, përveçse ndoshta llogaritja e rezultatit; në këtë rast, thjesht nuk mund të bëni pa një kalkulator.
Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave.
Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")
Ky veprim është shumë më i bukur se mbledhja-zbritja! Sepse është më e lehtë. Si kujtesë, për të shumëzuar një thyesë me një thyesë, duhet të shumëzoni numëruesit (ky do të jetë numëruesi i rezultatit) dhe emëruesit (ky do të jetë emëruesi). Kjo është:
Për shembull:
Gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë. Dhe ju lutemi mos kërkoni një emërues të përbashkët! Nuk ka nevojë për të këtu ...
Për të ndarë një thyesë me një thyesë, duhet të ktheni mbrapsht e dyta(kjo është e rëndësishme!) thyejnë dhe shumëzojini ato, d.m.th.
Për shembull:
Nëse hasni shumëzim ose pjesëtim me numra të plotë dhe thyesa, është në rregull. Ashtu si me mbledhjen, ne bëjmë një thyesë nga një numër i plotë me një në emërues - dhe vazhdojmë! Për shembull:
Në shkollë të mesme, shpesh duhet të merreni me thyesa trekatëshe (apo edhe katërkatëshe!). Për shembull:
Si mund ta bëj këtë fraksion të duket e mirë? Po, shumë e thjeshtë! Përdorni ndarjen me dy pika:
Por mos harroni për rendin e ndarjes! Ndryshe nga shumëzimi, kjo është shumë e rëndësishme këtu! Sigurisht, ne nuk do të ngatërrojmë 4:2 ose 2:4. Por është e lehtë të bësh një gabim në një pjesë trekatëshe. Ju lutemi vini re për shembull:
Në rastin e parë (shprehja në të majtë):
Në të dytën (shprehja në të djathtë):
E ndjeni ndryshimin? 4 dhe 1/9!
Çfarë përcakton rendin e ndarjes? Ose me kllapa, ose (si këtu) me gjatësinë e vijave horizontale. Zhvilloni syrin tuaj. Dhe nëse nuk ka kllapa ose vija, si:
pastaj pjesëtojeni dhe shumëzoni me radhë, nga e majta në të djathtë!
Dhe një teknikë tjetër shumë e thjeshtë dhe e rëndësishme. Në veprimet me gradë, do të jetë kaq e dobishme për ju! Le të pjesëtojmë një me çdo thyesë, për shembull, me 13/15:
E shtëna është kthyer! Dhe kjo ndodh gjithmonë. Kur pjesëtohet 1 me ndonjë thyesë, rezultati është i njëjti thyesë, vetëm me kokë poshtë.
Kaq për veprimet me thyesa. Gjëja është mjaft e thjeshtë, por jep më shumë se mjaft gabime. Merrni parasysh këshillat praktike dhe do të ketë më pak prej tyre (gabime)!
Këshilla praktike:
1. Gjëja më e rëndësishme kur punoni me shprehje thyesore është saktësia dhe vëmendja! Këto nuk janë fjalë të përgjithshme, jo dëshira të mira! Kjo është një domosdoshmëri urgjente! Bëni të gjitha llogaritjet në Provimin e Bashkuar të Shtetit si një detyrë e plotë, e fokusuar dhe e qartë. Është më mirë të shkruani dy rreshta shtesë në draftin tuaj sesa të ngatërroni kur bëni llogaritjet mendore.
2. Në shembujt me lloje të ndryshme thyesash kalojmë te thyesat e zakonshme.
3. I zvogëlojmë të gjitha thyesat derisa të ndalen.
4. Shprehjet thyesore me shumë nivele i zvogëlojmë në ato të zakonshme duke përdorur ndarjen përmes dy pikave (ndjekim rendin e pjesëtimit!).
5. Ndani një njësi me një fraksion në kokën tuaj, thjesht duke e kthyer fraksionin.
Këtu janë detyrat që duhet të kryeni patjetër. Përgjigjet jepen pas të gjitha detyrave. Përdorni materialet për këtë temë dhe këshilla praktike. Vlerësoni sa shembuj keni mundur të zgjidhni saktë. Pikërisht herën e parë! Pa një kalkulator! Dhe nxirrni përfundimet e duhura...
Mbani mend - përgjigjja e saktë është marrë nga koha e dytë (sidomos e treta) nuk llogaritet! E tillë është jeta e ashpër.
Pra, zgjidhet në modalitetin e provimit ! Kjo tashmë është përgatitje për Provimin e Unifikuar të Shtetit, meqë ra fjala. Ne e zgjidhim shembullin, e kontrollojmë, zgjidhim një tjetër. Ne vendosëm gjithçka - kontrolluam përsëri nga e para në të fundit. Dhe vetëm Pastaj shikoni përgjigjet.
Llogaritni:
A keni vendosur?
Ne po kërkojmë përgjigje që përputhen me tuajat. Me qëllim i shkrova në rrëmujë, larg tundimit, si të thuash... Ja përgjigjet, të shkruara me pikëpresje.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Tani nxjerrim përfundime. Nëse gjithçka funksionoi, unë jam i lumtur për ju! Llogaritjet bazë me thyesa nuk janë problemi juaj! Mund të bëni gjëra më serioze. Nëse jo...
Pra, ju keni një nga dy problemet. Ose të dyja përnjëherë.) Mungesa e njohurive dhe (ose) mosvëmendja. Por... Kjo të zgjidhshme problemet.
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)
Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
Për të shumëzuar saktë një thyesë me një thyesë ose një thyesë me një numër, duhet të dini rregulla të thjeshta. Tani do t'i analizojmë këto rregulla në detaje.
Shumëzimi i një thyese të përbashkët me një thyesë.
Për të shumëzuar një thyesë me një thyesë, duhet të llogaritni produktin e numëruesve dhe produktin e emëruesve të këtyre thyesave.
\(\bf \frac(a)(b) \herë \frac(c)(d) = \frac(a \herë c)(b \herë d)\\\)
Le të shohim një shembull:
Numëruesin e thyesës së parë e shumëzojmë me numëruesin e thyesës së dytë dhe shumëzojmë edhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë.
\(\frac(6)(7) \herë \frac(2)(3) = \frac(6 \herë 2)(7 \herë 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ herë 3)(7 \herë 3) = \frac(4)(7)\\\)
Fraksioni \(\frac(12)(21) = \frac(4 \herë 3)(7 \herë 3) = \frac(4)(7)\\\) u reduktua me 3.
Shumëzimi i një thyese me një numër.
Së pari, le të kujtojmë rregullin, çdo numër mund të paraqitet si thyesë \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Le të përdorim këtë rregull kur shumëzojmë.
\(5 \herë \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \herë \frac(4)(7) = \frac(5 \herë 4)(1 \herë 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Fraksion i gabuar \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) konvertohet në një fraksion të përzier.
Me fjalë të tjera, Kur shumëzojmë një numër me një thyesë, ne e shumëzojmë numrin me numëruesin dhe e lëmë emëruesin të pandryshuar. Shembull:
\(\frac(2)(5) \herë 3 = \frac(2 \herë 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \herë c = \frac(a \herë c)(b)\\\)
Shumëzimi i thyesave të përziera.
Për të shumëzuar thyesat e përziera, së pari duhet të përfaqësoni çdo thyesë të përzier si një thyesë jo të duhur dhe më pas të përdorni rregullin e shumëzimit. Ne e shumëzojmë numëruesin me numëruesin dhe shumëzojmë emëruesin me emërues.
Shembull:
\(2\frac(1)(4) \herë 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \herë \frac(23)(6) = \frac(9 \herë 23) (4 \herë 6) = \frac(3 \herë \ngjyrë(e kuqe) (3) \herë 23)(4 \herë 2 \herë \ngjyrë(e kuqe) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Shumëzimi i thyesave reciproke dhe i numrave.
Fraksioni \(\bf \frac(a)(b)\) është inversi i thyesës \(\bf \frac(b)(a)\), me kusht a≠0,b≠0.
Thyesat \(\bf \frac(a)(b)\) dhe \(\bf \frac(b)(a)\) quhen thyesa reciproke. Prodhimi i thyesave reciproke është i barabartë me 1.
\(\bf \frac(a)(b) \herë \frac(b)(a) = 1 \\\)
Shembull:
\(\frac(5)(9) \herë \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1 \\\)
Pyetje të ngjashme:
Si të shumëzojmë një thyesë me një thyesë?
Përgjigje: Prodhimi i thyesave të zakonshme është shumëzimi i një numëruesi me një numërues, një emëruesi me një emërues. Për të marrë produktin e fraksioneve të përziera, duhet t'i shndërroni ato në një fraksion të papërshtatshëm dhe t'i shumëzoni sipas rregullave.
Si të shumëzojmë thyesat me emërues të ndryshëm?
Përgjigje: nuk ka rëndësi nëse thyesat kanë emërues të njëjtë apo të ndryshëm, shumëzimi ndodh sipas rregullit të gjetjes së prodhimit të një numëruesi me numërues, një emëruesi me një emërues.
Si të shumëzohen thyesat e përziera?
Përgjigje: para së gjithash, ju duhet të shndërroni fraksionin e përzier në një fraksion të papërshtatshëm dhe më pas të gjeni produktin duke përdorur rregullat e shumëzimit.
Si të shumëzojmë një numër me një thyesë?
Përgjigje: e shumëzojmë numrin me numëruesin, por emëruesin e lëmë të njëjtë.
Shembulli #1:
Llogaritni produktin: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Zgjidhja:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \herë 7)(9 \herë 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \herë \frac(10)(13) = \frac(2 \herë 10)(15 \herë 13) = \frac(2 \herë 2 \herë \ngjyra( e kuqe) (5) (3 \herë \ngjyrë(e kuqe) (5) \herë 13) = \frac(4)(39)\)
Shembulli #2:
Llogaritni prodhimet e një numri dhe një thyese: a) \(3 \herë \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \herë 11\)
Zgjidhja:
a) \(3 \herë \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \herë \frac(17)(23) = \frac(3 \herë 17)(1 \herë 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \herë 11 = \frac(2)(3) \herë \frac(11)(1) = \frac(2 \herë 11)(3 \herë 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Shembulli #3:
Shkruani reciproken e thyesës \(\frac(1)(3)\)?
Përgjigje: \(\frac(3)(1) = 3\)
Shembulli #4:
Llogaritni prodhimin e dy thyesave reciproke: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Zgjidhja:
a) \(\frac(104)(215) \herë \frac(215)(104) = 1\)
Shembulli #5:
Thyesat reciproke mund të jenë:
a) njëkohësisht me thyesat e duhura;
b) fraksione të parregullta njëkohësisht;
c) numra natyrorë njëkohësisht?
Zgjidhja:
a) për t'iu përgjigjur pyetjes së parë, le të japim një shembull. Fraksioni \(\frac(2)(3)\) është i duhuri, fraksioni i tij i kundërt do të jetë i barabartë me \(\frac(3)(2)\) - një fraksion jo i duhur. Përgjigje: jo.
b) pothuajse në të gjitha numërimet e thyesave ky kusht nuk plotësohet, por ka disa numra që plotësojnë kushtin për të qenë njëkohësisht një thyesë e papërshtatshme. Për shembull, thyesa e papërshtatshme është \(\frac(3)(3)\), fraksioni i saj i kundërt është i barabartë me \(\frac(3)(3)\). Marrim dy thyesa jo të duhura. Përgjigje: jo gjithmonë në kushte të caktuara kur numëruesi dhe emëruesi janë të barabartë.
c) numrat natyrorë janë numra që përdorim kur numërojmë, për shembull, 1, 2, 3, .... Nëse marrim numrin \(3 = \frac(3)(1)\), atëherë thyesa e anasjelltë e tij do të jetë \(\frac(1)(3)\). Thyesa \(\frac(1)(3)\) nuk është një numër natyror. Nëse kalojmë nëpër të gjithë numrat, reciproku i numrit është gjithmonë një thyesë, përveç 1. Nëse marrim numrin 1, atëherë thyesa reciproke e tij do të jetë \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Numri 1 është një numër natyror. Përgjigje: ata mund të jenë njëkohësisht numra natyrorë vetëm në një rast, nëse ky është numri 1.
Shembulli #6:
Bëni prodhimin e thyesave të përziera: a) \(4 \herë 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \herë 3\frac(2)(7)\ )
Zgjidhja:
a) \(4 \herë 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \herë \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 ) (5) \\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \herë 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \herë \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Shembulli #7:
A mund të jenë dy numra reciprokë në të njëjtën kohë?
Le të shohim një shembull. Le të marrim një thyesë të përzier \(1\frac(1)(2)\), të gjejmë thyesën e tij të kundërt, për ta bërë këtë ne e shndërrojmë atë në një thyesë të papërshtatshme \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Pjesa e saj e kundërt do të jetë e barabartë me \(\frac(2)(3)\) . Thyesa \(\frac(2)(3)\) është një thyesë e duhur. Përgjigje: Dy thyesa që janë reciprokisht të anasjellta nuk mund të jenë numra të përzier në të njëjtën kohë.
Shumëzimi i një numri të plotë me një thyesë nuk është një detyrë e vështirë. Por ka hollësi që me siguri i keni kuptuar në shkollë, por që atëherë i keni harruar.
Si të shumëzoni një numër të plotë me një thyesë - disa terma
Nëse ju kujtohet se çfarë janë një numërues dhe emërues dhe se si një thyesë e duhur ndryshon nga një thyesë e papërshtatshme, kaloni këtë paragraf. Është për ata që e kanë harruar plotësisht teorinë.
Numëruesi është pjesa e sipërme e thyesës - ajo që po ndajmë. Emëruesi është më i ulët. Kjo është ajo me të cilën ne ndajmë.
Një thyesë e duhur është ajo, numëruesi i së cilës është më i vogël se emëruesi i saj. Një thyesë e papërshtatshme është ajo, numëruesi i së cilës është më i madh ose i barabartë me emëruesin e saj.
Si të shumëzojmë një numër të plotë me një thyesë
Rregulli për shumëzimin e një numri të plotë me një thyesë është shumë i thjeshtë - ne e shumëzojmë numëruesin me numrin e plotë, por nuk e prekim emëruesin. Për shembull: dy shumëzuar me një të pestën - marrim dy të pestat. Katër shumëzuar me tre të gjashtëmbëdhjetët është e barabartë me dymbëdhjetë të gjashtëmbëdhjetët.
Reduktimi
Në shembullin e dytë, fraksioni që rezulton mund të reduktohet.
Çfarë do të thotë? Ju lutemi vini re se si numëruesi ashtu edhe emëruesi i kësaj thyese janë të pjesëtueshëm me katër. Pjesëtimi i të dy numrave me një pjesëtues të përbashkët quhet zvogëlim i thyesës. Ne marrim tre të katërtat.
Thyesat e gabuara
Por supozojmë se shumëzojmë katër me dy të pestat. Doli të ishte tetë e pestat. Ky është një fraksion i papërshtatshëm.
Duhet patjetër të sillet në formën e duhur. Për ta bërë këtë, duhet të zgjidhni një pjesë të tërë prej saj.
Këtu ju duhet të përdorni ndarjen me një mbetje. Ne marrim një dhe tre si mbetje.
Një e tërë dhe tre të pestat është thyesa jonë e duhur.
T'i sjellësh tridhjetë e pesë tetat në formën e duhur është pak më e vështirë. Kur ndahemi marrim katër. Zbritni tridhjetë e dy nga tridhjetë e pesë dhe marrim tre. Rezultati: katër të plota dhe tre të tetat.
Barazia e numëruesit dhe emëruesit. Dhe këtu gjithçka është shumë e thjeshtë dhe e bukur. Nëse numëruesi dhe emëruesi janë të barabartë, rezultati është thjesht një.
