Llojet e rrathëve. Çfarë është një rreth si një figurë gjeometrike: vetitë dhe karakteristikat themelore

Rrethoështë një figurë që përbëhet nga të gjitha pikat në rrafsh të barabarta nga një pikë e caktuar. Kjo pikë quhet qendra e rrethit.

Një rreth me rreze zero (rrethi i degjeneruar) është një pikë nganjëherë ky rast përjashtohet nga përkufizimi.

YouTube Enciklopedike

1 / 5

Rrethi dhe vetitë e tij (bezbotvy)

Rrethi i brendashkruar dhe i rrethuar - nga bezbotvy

Matematika: përgatitja për OGE dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit. Planimetria. Rrathët dhe vetitë e tyre

Matematikë 26. Busulla. Rrethi dhe rrethi - shkolla Shishkina

EKUACIONI I RRETHIT. DETYRA 18 (C5). ARTHUR SHARIFOV

Titra

Emërtimi

Nëse një rreth kalon, për shembull, nëpër pikat A, B, C, atëherë ai shënohet duke treguar këto pika në kllapa: (A, B, C). Atëherë harku i një rrethi që kalon nëpër pikat A, B, C shënohet si hark ABC (ose hark AC), si dhe υ ABC (ose υ AC).

Përkufizime të tjera

• Rrethi me diametër AB A, B AB e dukshme në një kënd të drejtë (Përkufizimi përmes këndit bazuar në diametrin e rrethit).

• Rretho me akord ABështë një figurë e përbërë nga pika A, B dhe të gjitha pikat e rrafshit nga i cili segmenti AB e dukshme në një kënd konstant në njërën anë, e barabartë me këndi i brendashkruar i harkut AB, dhe në një kënd tjetër konstant në anën tjetër, e barabartë me 180 gradë minus këndi i brendashkruar i harkut AB, i treguar më sipër (Përkufizimi përmes një këndi të brendashkruar).
• Një figurë e përbërë nga pika të tilla X , (\displaystyle X,) që raporti i gjatësive të segmenteve sëpata Dhe BX vazhdimisht: A X B X = c ≠ 1 , (\style ekrani (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,)është një rreth (Përkufizim përmes rrethit të Apollonit).
• Një figurë e përbërë nga të gjitha pikat e tilla, për secilën prej të cilave shuma e katrorëve të distancave me dy pika të dhëna është e barabartë me një vlerë të caktuar më të madhe se gjysma e katrorit të distancës ndërmjet pikave të dhëna, është gjithashtu një rreth (Përkufizim përmes teorema e Pitagorës për një trekëndësh të drejtë arbitrar të gdhendur në një rreth me një hipotenuzë, e cila është diametri i rrethit).
• M vizatoni ndonjë akord brenda tij AB, CD, E.F. etj., atëherë barazitë janë të vlefshme: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\stil ekrani AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\pika ). Barazitë gjithmonë do të plotësohen pavarësisht nga zgjedhja e pikës M dhe drejtimet e kordave të nxjerra nëpër të (Përkufizimi përmes kordave të kryqëzuara).
• Një rreth është një figurë e mbyllur, që nuk ndërpritet vetë me veçorinë e mëposhtme. Nëse përmes një pike arbitrare M jashtë tij, vizatoni dy tangjente në pikat e kontaktit të tyre me rrethin, për shembull, A Dhe B, atëherë gjatësia e tyre do të jetë gjithmonë e barabartë: M A = M B (\displaystyle MA=MB). Barazia do të jetë gjithmonë pavarësisht nga zgjedhja e pikës M(Përkufizimi përmes tangjenteve të barabarta).
• Një rreth është një figurë e mbyllur, që nuk ndërpritet vetë me veçorinë e mëposhtme. Raporti i gjatësisë së njërës prej kordave të saj me sinusin e cilësdo prej saj kënd i brendashkruar, bazuar në këtë kordë, është një vlerë konstante e barabartë me diametrin e këtij rrethi (Përkufizimi përmes teoremës së sinuseve).
• Rrethi është një rast i veçantë i një elipsi, në të cilin distanca midis vatrave është zero (Përkufizimi në terma të një elipsi të degjeneruar).

Përkufizime të ngjashme për një rreth

• Vendndodhja gjeometrike e pikave në rrafsh, distanca nga e cila në një pikë të caktuar nuk është më e madhe se një distancë e caktuar jo zero, quhet përreth .
• Rrezja- jo vetëm distanca, por edhe një segment që lidh qendrën e rrethit me një nga pikat e tij. Rrezja është gjithmonë gjysma diametri rrathët.
• Rrezja është gjithmonë pingul me vijën tangjente të tërhequr me rrethin në pikën e tij të përbashkët me rrethin. Kjo do të thotë, rrezja është gjithashtu normale për rrethin.
• Rrethi quhet beqare , nëse rrezja e saj është e barabartë me një. Rrethi njësiështë një nga objektet kryesore të trigonometrisë.
• Një segment që lidh dy pika në një rreth quhet i tij akord. Një akord që kalon në qendër të një rrethi quhet diametri.
• Çdo dy pika që nuk përputhen në një rreth e ndajnë atë në dy pjesë. Secila prej këtyre pjesëve quhet harku i një rrethi. Harku quhet gjysmërreth, nëse segmenti që lidh skajet e tij është një diametër.
• Gjatësia e një gjysmërrethi njësi shënohet me .

• Një drejtëz që ka saktësisht një pikë të përbashkët me një rreth quhet tangjente në një rreth, dhe pika e tyre e përbashkët quhet pika tangjente e drejtëzës dhe rrethit.
• Tangjente ndaj një rrethi është gjithmonë pingul me rrezen (dhe diametrin) e tij të tërhequr në pikën e kontaktit, që është normale, realizuar në këtë pikë.
• Një vijë e drejtë që kalon nëpër dy pika të ndryshme në një rreth quhet sekant.

Përcaktimi i trekëndëshave për një rreth

• Trekëndëshi ABC quhet të gdhendura në një rreth(A,B,C) nëse të tre kulmet e tij A, B dhe C shtrihen në këtë rreth. Në këtë rast rrethi quhet rrethi i kufizuar trekëndëshi ABC (Shih Rrethi).
• Tangjente ndaj një rrethi të tërhequr nëpër çdo kulm të një trekëndëshi të brendashkruar në të është antiparalel me anën e trekëndëshit përballë kulmit të dhënë.
• Trekëndëshi ABC quhet rrethuar rreth një rrethi(A",B",C") nëse të tre anët e tij AB, BC dhe CA prekin këtë rreth në disa pika C", A" dhe B", përkatësisht. Në këtë rast rrethi quhet rrethi i brendashkruar trekëndëshi ABC (Shih rrethi i brendashkruar).

Përkufizimet e këndeve për një rreth

• Këndi i formuar nga një hark i një rrethi të barabartë në gjatësi me rreze merret si 1 radian.

• Qendrore kënd - një kënd me kulmin e tij në qendër të rrethit. Këndi qendror është i barabartë me masën radian/shkallë të harkut mbi të cilin mbështetet (shih figurën).
• I gdhendur  kënd - një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe anët e të cilit e kryqëzojnë këtë rreth. Këndi i brendashkruar e barabartë me gjysmën e masës së shkallës së harkut mbi të cilin mbështetet (shih figurën).
• Këndi i jashtëm Për I gdhendur  kënd - këndi i formuar nga njëra anë dhe vazhdimi i anës tjetër të mbishkruara këndi (shih fig. kënd θ kafe). Këndi i jashtëm sepse një kënd i brendashkruar në anën tjetër të rrethit ka të njëjtën vlerë θ .
• Këndi midis rrethit dhe vijës së drejtë- këndi midis një drejtëze dhe një tangjente me një rreth në pikën e kryqëzimit të drejtëzës dhe rrethit. Të dy këndet midis një rrethi të kryqëzuar dhe një drejtëze janë të barabartë.
• Këndi i nënshtruar nga diametri i një rrethi- një kënd i gdhendur në këtë rreth, anët e të cilit përmbajnë skajet e diametrit. Ai është gjithmonë i drejtpërdrejtë.

Përkufizime të ngjashme për dy rrathë

• Quhen dy rrathë që kanë një qendër të përbashkët koncentrike.
• Quhen dy rrathë që kanë vetëm një pikë të përbashkët në lidhje me nga jashtë nëse rrathët e tyre nuk kanë pika të tjera të përbashkëta, dhe nga brenda nëse rrathët e tyre shtrihen njëri brenda tjetrit.
• Quhen dy rrathë që kanë dy pika të përbashkëta duke u kryqëzuar. Rrathët e tyre (të kufizuar prej tyre) kryqëzohen në një zonë të quajtur segment rrethi i dyfishtë.
• Këndi ndërmjet dy rrathëve të kryqëzuar (ose tangjente) është këndi ndërmjet tangjentëve të tyre të tërhequr në pikën e përbashkët të kryqëzimit (ose tangjentes).
• Gjithashtu këndi ndërmjet dy rrathëve të kryqëzuar (ose tangjente), mund të marrim parasysh këndin ndërmjet rrezeve (diametrave) të tyre të vizatuar në pikën e përbashkët të kryqëzimit (ose tangjencës).
• Meqenëse për çdo rreth rrezja (ose diametri) dhe tangjentja e tij e tërhequr nëpër çdo pikë të rrethit janë reciproke pingule, rrezja (ose diametri) mund të konsiderohet normale në një rreth të ndërtuar në një pikë të caktuar. Rrjedhimisht, dy llojet e këndeve të përcaktuara në dy paragrafët e mëparshëm do të jenë gjithmonë të barabartë me njëri-tjetrin, si këndet me brinjë pingule reciproke.
• këndi i drejtë quhen ortogonale. Rrathët mund të numërohen ortogonale, nëse formojnë një kënd të drejtë me njëri-tjetrin.
• Boshti radikal i dy rrathëve- vendndodhja gjeometrike e pikave, shkallët e të cilave në raport me dy rrathë të dhënë janë të barabarta. Me fjalë të tjera, gjatësitë e katër tangjentave të tërhequra në dy rrathë të dhënë nga çdo pikë janë të barabarta M dhënë vendndodhjen gjeometrike të pikave.

Përkufizimet e këndit për dy rrathë

• Këndi ndërmjet dy rrathëve të kryqëzuar- këndi ndërmjet tangjenteve me rrathët në pikën e kryqëzimit të këtyre rrathëve. Të dy këndet ndërmjet dy rrathëve të kryqëzuar janë të barabartë.
• Këndi ndërmjet dy rrathëve të ndarë- këndi ndërmjet dy tangjentave të përbashkëta me dy rrathë, i formuar në pikën e kryqëzimit të këtyre dy tangjentave. Pika e kryqëzimit të këtyre dy tangjentave duhet të shtrihet midis dy rrathëve, dhe jo në anën e njërit prej tyre (ky kënd nuk merret parasysh). Të dy këndet vertikale ndërmjet dy rrathëve të ndarë janë të barabartë.

Ortogonaliteti

• Quhen dy rrathë që kryqëzohen në kënde të drejta ortogonale. Rrathët mund të numërohen ortogonale, nëse formojnë një kënd të drejtë me njëri-tjetrin.
• Quhen dy rrathë që kryqëzohen në pikat A dhe B me qendrat O dhe O". ortogonale, nëse këndet OAO" dhe OBO" janë kënde të drejta. Është ky kusht që garanton kënd i drejtë mes rrathëve. Në këtë rast, rrezet (normalet) e dy rrathëve janë pingul me pikën e kryqëzimit të tyre. Rrjedhimisht, tangjentet e dy rrathëve të tërhequr në pikën e kryqëzimit të tyre janë gjithashtu pingul. Tangjentja e një rrethi është pingul me rrezen (normale) të tërhequr në pikën e tangjences. Në mënyrë tipike, këndi midis kthesave është këndi midis tangjentave të tyre të tërhequr në pikën e kryqëzimit të tyre.
• Një kusht tjetër shtesë është i mundur. Le të kenë dy rrathë që kryqëzohen në pikat A dhe B, pikat e mesit të harqeve kryqëzuese në pikat C dhe D, domethënë, harku AC është i barabartë me harkun CB, harku AD është i barabartë me harkun DB. Atëherë këto rrathë quhen ortogonale, nëse këndet CAD dhe CBD janë kënde të drejta.

Përkufizime të ngjashme për tre rrathë

• Tre rrathë quhen reciprokisht tangjente (ndërprerëse) nëse dy prej tyre prekin (ndërpriten) njëri-tjetrin.
• Në gjeometri qendër radikale tre rrathë është pika e kryqëzimit të tre boshteve radikale të çifteve të rrathëve. Nëse qendra radikale shtrihet jashtë të tre rrathëve, atëherë ajo është qendra e një rrethi të vetëm ( rrethi radikal), i cili kryqëzon tre rrathë të dhënë ortogonale.

Lema e Arkimedit

Dëshmi

Le G (\displaystyle G)- një homoteti që shndërron një rreth të vogël në një rreth të madh. Atëherë është e qartë se A 1 (\displaystyle A_(1))është qendra e kësaj homotetike. Pastaj drejt B C (\displaystyle BC) do të shkojë në një lloj vije të drejtë a (\displaystyle a) tangjente me rrethin e madh, dhe A 2 (\displaystyle A_(2)) do të shkojë në një pikë në këtë vijë dhe që i përket një rrethi të madh. Duke kujtuar se homotesia i merr linjat në vija paralele me to, ne e kuptojmë këtë a ∥ B C (\displaystyle a\parallel BC). Le G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3)) Dhe D (\displaystyle D)- tregoni në një vijë a (\displaystyle a), e tillë që të jetë e mprehtë, dhe E (\displaystyle E)- një pikë e tillë në një vijë a (\displaystyle a), Çfarë ∠ B A 3 E (\style ekrani \këndi BA_(3)E)- pikante. Pastaj, që nga a (\displaystyle a)- tangjente me rrethin e madh ∠ C A 3 D (\displaystyle \këndi CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\stil ekrani \këndi CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\stil i shfaqjes =\këndi BA_(3)E=\këndi BCA_(3)). Prandaj △ B C A 3 (\displaystyle \trekëndëshi i madh BCA_(3))- isosceles, që do të thotë ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\displaystyle \këndi BA_(1)A_(3)=\këndi CA_(1)A_(3)), pra A 1 A 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- përgjysmues këndi ∠ B A 1 C (\stil ekrani \këndi BA_(1)C).

Teorema e Dekartit për rrezet e katër rrathëve tangjentë në çift

Teorema e Dekartit" thotë se rrezet e çdo katër rrathësh tangjentë reciprokisht plotësojnë një ekuacion të caktuar kuadratik. Ata nganjëherë quhen qarqe Soddy.

Vetitë

(\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).) Ekuacioni i një rrethi që kalon nëpër pika(x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\style display \majtas(x_(1),y_(1)\djathtas),\majtas(x_(2) ,y_(2)\djathtas),\majtas(x_(3),y_(3)\djathtas))

x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 |

(\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).)

y = ± R 2 − x 2 .

(\displaystyle y=\pm (\sqrt (R^(2)-x^(2))).) Koordinatat polare Rrezja e rrethit R (\displaystyle R).

të përqendruar në një pikë(ρ 0 , ϕ 0) (\style ekrani \majtas(\rho _(0),\phi _(0)\djathtas))

Rretho

është një figurë që përbëhet nga të gjitha pikat e rrafshit të barabarta nga një pikë e caktuar. Konceptet themelore:

Rrezja Qendra e rrethit

është një pikë e barabartë nga pikat në rreth.– kjo është distanca nga pikat e rrethit në qendrën e tij (e barabartë me gjysmën e diametrit, Fig. 1).

Diametriështë një kordë që kalon nga qendra e rrethit (Fig. 1).

Tangjente Akord

është një segment që lidh dy pika në një rreth (Fig. 1).është një drejtëz që ka vetëm një pikë të përbashkët me një rreth. Kalon nëpër një pikë të rrethit pingul me diametrin e tërhequr në këtë pikë (Fig. 1).

Sekanteështë një vijë e drejtë që kalon nëpër dy pika të ndryshme të rrethit (Fig. 1).

Rrethi njësiështë një rreth rrezja e të cilit është e barabartë me një.

Harku i një rrethi- Kjo është një pjesë e një rrethi të ndarë nga dy pika divergjente në rreth.
1 radian

është këndi i formuar nga një hark rrethi i barabartë me gjatësinë e rrezes (Fig. 4). 1 radian = 180˚ : π ≈ 57,3˚

Këndi i brendashkruar Këndi qendror

Quhen dy rrathë që kanë një qendër të përbashkët koncentrike.

është një kënd me kulmin e tij në qendër të rrethit. E barabartë me masën e shkallës së harkut mbi të cilin mbështetet (Fig. 2). ortogonale.

është një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe brinjët e të cilit e ndërpresin këtë rreth. E barabartë me gjysmën e masës së shkallës së harkut mbi të cilin mbështetet (Fig. 3).

Quhen dy rrathë që kryqëzohen në kënde të drejta
Perimetri dhe zona e rrethit:
Emërtimet:
Perimetri - C

Gjatësia e diametrit – dπ :
Gjatësia e rrezes – r

22
π = -
7

Kuptimi

Raporti i perimetrit të një rrethi me gjatësinë e diametrit të tij shënohet me shkronjën greke π (pi).

Formula e rrethit:

C = πd, ose C = 2πr
Formulat për sipërfaqen e një rrethi:
2

Kr
S = --
4

π D 2

Ekuacioni i një rrethi në koordinatat kartezianex, y me qendër në pikë (a; b):

(x -a) 2 + (y–b) 2 = Ku 2

Një rreth i rrethuar rreth një trekëndëshi (Fig. 4).

Një rreth i gdhendur në një trekëndësh (Fig. 5).

Kënde të gdhendura në një rreth (Fig. 3).

Quhet një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe anët e të cilit e ndërpresin këtë rreth të gdhendura në një rreth.

Rretho

Një kënd e ndan një rrafsh në dy pjesë. Secila prej këtyre pjesëve quhet kënd i sheshtë.

Quhen kënde të rrafshët me brinjë të përbashkëta shtesë.

Një kënd i rrafshët me kulmin e tij në qendër të rrethit quhet kënd qendror(Fig. 2)

Proporcionaliteti i segmenteve të kordave dhe sekanteve të një rrethi.

Raste dhe formula të veçanta:

1) Nga pika C, e vendosur jashtë rrethit, vizatoni një tangjente me rrethin dhe shënoni pikën e kontaktit të tyre me shkronjën D.

Pastaj vizatojmë një sekant nga e njëjta pikë C dhe shënojmë pikat e kryqëzimit të sekantit dhe rrethit me shkronjat A dhe B (Fig. 8).

Në këtë rast:

CD 2 =AC ·B.C.

2) Vizatoni diametrin AB në një rreth. Pastaj, nga pika C e vendosur në rreth, vizatoni një pingul me këtë diametër dhe shënoni segmentin që rezulton CD (Fig. 9).

Në këtë rast:

CD 2 =A.D. ·B.D.

Për të marrë një ide të përgjithshme se çfarë është një rreth, shikoni një unazë ose rrathë. Ju gjithashtu mund të merrni një gotë dhe filxhan të rrumbullakët, ta vendosni me kokë poshtë në një copë letër dhe ta gjurmoni me laps. Me zmadhimin e përsëritur, vija që rezulton do të bëhet e trashë dhe jo plotësisht e lëmuar, dhe skajet e saj do të turbullohen. Një rreth si një figurë gjeometrike nuk ka një karakteristikë të tillë si trashësia.

Rrethi: përkufizimi dhe mjetet themelore të përshkrimit

Rrethi është një kurbë e mbyllur e përbërë nga shumë pika të vendosura në të njëjtin rrafsh dhe në distancë të barabartë nga qendra e rrethit. Në këtë rast, qendra është në të njëjtin plan. Si rregull, shënohet me shkronjën O.

Distanca nga çdo pikë e rrethit në qendër quhet rreze dhe shënohet me shkronjën R.

Nëse lidhni dy pika në një rreth, segmenti që rezulton do të quhet akord. Korda që kalon në qendër të rrethit është diametri, i shënuar me shkronjën D. Diametri e ndan rrethin në dy harqe të barabarta dhe është dyfishi i gjatësisë së rrezes. Kështu, D = 2R, ose R = D/2.

Vetitë e kordave

1. Nëse një akord tërhiqet nëpër çdo dy pika të rrethit, dhe më pas një rreze ose diametër tërhiqet pingul me këtë të fundit, atëherë ky segment do të ndajë si kordën ashtu edhe harkun e prerë prej tij në dy pjesë të barabarta. Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: nëse rrezja (diametri) e ndan kordën në gjysmë, atëherë ajo është pingul me të.
2. Nëse dy korda paralele vizatohen brenda të njëjtit rreth, atëherë harqet e prera prej tyre, si dhe ato të mbyllura midis tyre, do të jenë të barabarta.
3. Le të vizatojmë dy korda PR dhe QS që kryqëzohen brenda rrethit në pikën T. Prodhimi i segmenteve të një kordeje do të jetë gjithmonë i barabartë me prodhimin e segmenteve të një kordeje tjetër, domethënë PT x TR = QT x TS.

Perimetri: koncepti i përgjithshëm dhe formulat bazë

Një nga karakteristikat themelore të kësaj figure gjeometrike është perimetri. Formula rrjedh duke përdorur sasi të tilla si rrezja, diametri dhe konstantja "π", duke reflektuar qëndrueshmërinë e raportit të perimetrit me diametrin e tij.

Kështu, L = πD, ose L = 2πR, ku L është perimetri, D është diametri, R është rrezja.

Formula për perimetrin mund të konsiderohet si ajo fillestare kur gjejmë rrezen ose diametrin për një perimetër të caktuar: D = L/π, R = L/2π.

Çfarë është një rreth: postulatet themelore

• nuk kanë pika të përbashkëta;
• kanë një pikë të përbashkët, dhe vija e drejtë quhet tangjente: nëse vizatoni një rreze përmes qendrës dhe pikës së tangjencës, atëherë ajo do të jetë pingul me tangjenten;
• kanë dy pika të përbashkëta, dhe drejtëza quhet sekant.

2. Nëpër tre pika arbitrare që shtrihen në të njëjtin rrafsh, nuk mund të vizatohet më shumë se një rreth.

3. Dy rrathë mund të prekin vetëm në një pikë, e cila ndodhet në segmentin që lidh qendrat e këtyre rrathëve.

4. Për çdo rrotullim në lidhje me qendrën, rrethi kthehet në vetvete.

5. Çfarë është rrethi për nga simetria?

• e njëjta lakim i vijës në çdo pikë;
• në lidhje me pikën O;
• simetria e pasqyrës në lidhje me diametrin.

6. Nëse ndërtoni dy kënde arbitrare të brendashkruara bazuar në të njëjtin hark të një rrethi, ata do të jenë të barabartë. Një kënd i bazuar në një hark të barabartë me gjysmën, domethënë i prerë nga një diametër akord, është gjithmonë i barabartë me 90 °.

7. Nëse krahasoni vija të lakuara të mbyllura me të njëjtën gjatësi, rezulton se rrethi kufizon pjesën e rrafshit me sipërfaqen më të madhe.

Një rreth i brendashkruar dhe i rrethuar nga një trekëndësh

Ideja se çfarë është një rreth do të jetë e paplotë pa një përshkrim të veçorive të marrëdhënies së tij me trekëndëshat.

1. Kur ndërtoni një rreth të gdhendur në një trekëndësh, qendra e tij gjithmonë do të përkojë me pikën e kryqëzimit të trekëndëshit.
2. Qendra e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi është e vendosur në kryqëzimin e pinguleve mesatare në secilën nga anët e trekëndëshit.
3. Nëse përshkruajmë një rreth, atëherë qendra e tij do të jetë në mes të hipotenuzës, domethënë kjo e fundit do të jetë diametri.
4. Qendrat e rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar do të jenë në të njëjtën pikë nëse baza për ndërtimin është

Deklarata themelore për rrathët dhe katërkëndëshat

1. Një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi konveks vetëm kur shuma e këndeve të tij të brendshme të kundërta është 180°.
2. Është e mundur të ndërtohet një rreth i brendashkruar në një katërkëndësh konveks nëse shuma e gjatësive të anëve të kundërta të tij është e njëjtë.
3. Ju mund të përshkruani një rreth rreth një paralelogrami nëse këndet e tij janë të drejta.
4. Një rreth mund të futet në një paralelogram nëse të gjitha anët e tij janë të barabarta, domethënë është një romb.
5. Ju mund të ndërtoni një rreth nëpër qoshet e një trapezoidi vetëm nëse ai është dykëndor. Në këtë rast, qendra e rrethit të rrethuar do të vendoset në kryqëzimin e katërkëndëshit dhe pingulës mesatare të tërhequr në anën.

DHE rrethi- forma gjeometrike të ndërlidhura. ka një vijë të thyer kufiri (lakore) rrethi,

Përkufizimi. Rrethi është një kurbë e mbyllur, secila pikë e së cilës është e barabartë nga një pikë e quajtur qendra e rrethit.

Për të ndërtuar një rreth, zgjidhet një pikë arbitrare O, merret si qendër e rrethit dhe vizatohet një vijë e mbyllur duke përdorur një busull.

Nëse pika O e qendrës së rrethit është e lidhur me pika arbitrare në rreth, atëherë të gjithë segmentet që rezultojnë do të jenë të barabartë me njëri-tjetrin, dhe segmente të tilla quhen rreze, të shkurtuara me shkronjën latine të vogël ose të madhe "er" ( r ose Ku). Ju mund të vizatoni aq rreze në një rreth sa pika ka në perimetër.

Një segment që lidh dy pika në një rreth dhe kalon nga qendra e tij quhet diametër. është një pikë e barabartë nga pikat në rreth. përbëhet nga dy rrezet, i shtrirë në të njëjtën vijë të drejtë. Diametri tregohet me shkronjën latine të vogël ose të madhe "de" ( d ose D).

Rregulli. është një pikë e barabartë nga pikat në rreth. një rreth është i barabartë me dy prej tij rrezet.

d = 2r
D=2R

Perimetri i një rrethi llogaritet me formulë dhe varet nga rrezja (diametri) e rrethit. Formula përmban numrin ¶, i cili tregon se sa herë perimetri është më i madh se diametri i tij. Numri ¶ ka një numër të pafund të shifrave dhjetore. Për llogaritjet, është marrë ¶ = 3.14.

Perimetri i një rrethi shënohet me shkronjën e madhe latine "tse" ( C). Perimetri i një rrethi është proporcional me diametrin e tij. Formulat për llogaritjen e perimetrit të një rrethi bazuar në rrezen dhe diametrin e tij:

C = ¶d
C = 2¶r

• Shembuj
• Jepet: d = 100 cm.
• Perimetri: C=3,14*100cm=314cm
• Jepet: d = 25 mm.
• Perimetri: C = 2 * 3.14 * 25 = 157 mm

Sekant rrethor dhe hark rrethor

Çdo sekant (vijë e drejtë) pret një rreth në dy pika dhe e ndan atë në dy harqe. Madhësia e harkut të një rrethi varet nga distanca midis qendrës dhe sekantit dhe matet përgjatë një kurbë të mbyllur nga pika e parë e kryqëzimit të sekantit me rrethin në të dytën.

harqe rrathët janë të ndarë sekant në një të madh dhe një minor nëse sekanti nuk përkon me diametrin dhe në dy harqe të barabarta nëse sekanti kalon përgjatë diametrit të rrethit.

Nëse një sekant kalon nëpër qendrën e një rrethi, atëherë segmenti i tij i vendosur midis pikave të kryqëzimit me rrethin është diametri i rrethit, ose korda më e madhe e rrethit.

Sa më larg të jetë sekanti nga qendra e rrethit, aq më e vogël është masa e shkallës së harkut më të vogël të rrethit dhe aq më i madh është harku më i madh i rrethit, dhe segmenti i sekantit, i quajtur akord, zvogëlohet ndërsa sekanti largohet nga qendra e rrethit.

Përkufizimi. Një rreth është një pjesë e një aeroplani të shtrirë brenda një rrethi.

Qendra, rrezja dhe diametri i një rrethi janë njëkohësisht qendra, rrezja dhe diametri i rrethit përkatës.

Meqenëse një rreth është pjesë e një rrafshi, një nga parametrat e tij është zona.

Rregulli. Zona e rrethit ( - kjo është pjesa e përbashkët e një rrethi dhe një gjysmë rrafshi.) është e barabartë me produktin e katrorit të rrezes ( r 2) në numrin ¶.

• Shembuj
• Jepet: r = 100 cm
• Zona e rrethit:
• S = 3,14 * 100 cm * 100 cm = 31,400 cm 2 ≈ 3 m 2
• Jepet: d = 50 mm
• Zona e rrethit:
• S = ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm = 1,963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Nëse vizatoni dy rreze në një rreth në pika të ndryshme të rrethit, atëherë formohen dy pjesë të rrethit, të cilat quhen sektorët. Nëse vizatoni një akord në një rreth, atëherë pjesa e rrafshit midis harkut dhe kordës quhet segment rrethi.

Së pari, le të kuptojmë ndryshimin midis një rrethi dhe një rrethi. Për të parë këtë ndryshim, mjafton të shqyrtojmë se cilat janë të dyja shifrat. Këto janë një numër i pafund pikash në aeroplan, të vendosura në një distancë të barabartë nga një pikë e vetme qendrore. Por, nëse rrethi përbëhet edhe nga hapësira e brendshme, atëherë ai nuk i përket rrethit. Rezulton se një rreth është njëkohësisht një rreth që e kufizon atë (rrethi(r)), dhe një numër i panumërt pikash që janë brenda rrethit.

Për çdo pikë L që shtrihet në rreth, vlen barazia OL=R. (Gjatësia e segmentit OL është e barabartë me rrezen e rrethit).

Një segment që lidh dy pika në një rreth është i tij akord.

Një akord që kalon drejtpërdrejt në qendër të një rrethi është diametri ky rreth (D). Diametri mund të llogaritet duke përdorur formulën: D=2R

Perimetri llogaritur me formulën: C=2\pi R

Zona e një rrethi: S=\pi R^(2)

Harku i një rrethi quhet ajo pjesë e saj që ndodhet midis dy pikave të saj. Këto dy pika përcaktojnë dy harqe të një rrethi. CD-ja e kordës nënshtron dy harqe: CMD dhe CLD. Akordet identike nënshtrojnë harqe të barabarta.

Këndi qendror Një kënd që shtrihet midis dy rrezeve quhet.

Gjatësia e harkut mund të gjendet duke përdorur formulën:

1. Përdorimi i masës së shkallës: CD = \frac(\pi R \alfa ^(\circ))(180^(\circ))
2. Duke përdorur masën e radianit: CD = \alpha R

Diametri, i cili është pingul me kordën, ndan kordon dhe harqet e kontraktuara prej saj në gjysmë.

Nëse kordat AB dhe CD të rrethit priten në pikën N, atëherë prodhimet e segmenteve të kordave të ndara nga pika N janë të barabarta me njëri-tjetrin.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangjent në një rreth

Tangjent në një rrethËshtë zakon të quajmë një vijë të drejtë që ka një pikë të përbashkët me një rreth.

Nëse një drejtëz ka dy pika të përbashkëta, quhet sekant.

Nëse e vizatoni rrezen në pikën tangjente, ajo do të jetë pingul me tangjenten me rrethin.

Le të vizatojmë dy tangjente nga kjo pikë në rrethin tonë. Rezulton se segmentet tangjente do të jenë të barabarta me njëri-tjetrin, dhe qendra e rrethit do të vendoset në përgjysmuesin e këndit me kulmin në këtë pikë.

AC = CB

Tani le të vizatojmë një tangjente dhe një sekante në rreth nga pika jonë. Ne marrim se katrori i gjatësisë së segmentit tangjent do të jetë i barabartë me produktin e të gjithë segmentit sekant dhe pjesës së jashtme të tij.

AC^(2) = CD \cdot BC

Mund të konkludojmë: prodhimi i një segmenti të tërë të sekantit të parë dhe pjesës së jashtme të tij është i barabartë me produktin e një segmenti të tërë të sekantit të dytë dhe pjesës së jashtme të tij.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Kënde në një rreth

Masat e shkallës së këndit qendror dhe harkut në të cilin mbështetet janë të barabarta.

\këndi COD = \ filxhan CD = \alfa ^(\circ)

Këndi i brendashkruarështë një kënd, kulmi i të cilit është në një rreth dhe anët e të cilit përmbajnë korda.

Mund ta llogarisni duke ditur madhësinë e harkut, pasi është e barabartë me gjysmën e këtij harku.

\kënd AOB = 2 \kënd ADB

Bazuar në një diametër, kënd të brendashkruar, kënd të drejtë.

\kënd CBD = \kënd CED = \kënd CAD = 90^ (\circ)

Këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtin hark janë identike.

Këndet e brendashkruara që mbështeten në një kordë janë identike ose shuma e tyre është e barabartë me 180^ (\circ) .

\këndi ADB + \këndi AKB = 180^ (\circ)

\këndi ADB = \këndi AEB = \këndi AFB

Në të njëjtin rreth janë kulmet e trekëndëshave me kënde identike dhe një bazë të caktuar.

Një kënd me një kulm brenda rrethit dhe i vendosur midis dy kordave është identik me gjysmën e shumës së vlerave këndore të harqeve të rrethit që përmbahen brenda këndeve të dhëna dhe vertikale.

\kënd DMC = \kënd ADM + \kënd DAM = \frac(1)(2) \majtas (\kup DmC + \kupë AlB \djathtas)

Një kënd me një kulm jashtë rrethit dhe i vendosur midis dy sekanteve është identik me gjysmën e ndryshimit në vlerat këndore të harqeve të rrethit që përmbahen brenda këndit.

\këndi M = \këndi CBD - \këndi ACB = \frac(1)(2) \majtas (\kup DmC - \kupë AlB \djathtas)

Rreth i brendashkruar

Rreth i brendashkruarështë një rreth tangjent me brinjët e një shumëkëndëshi.

Në pikën ku kryqëzohen përgjysmorët e këndeve të një shumëkëndëshi, ndodhet qendra e tij.

Një rreth mund të mos jetë i gdhendur në çdo shumëkëndësh.

Sipërfaqja e një shumëkëndëshi me një rreth të brendashkruar gjendet me formulën:

S = pr,

p është gjysmëperimetri i shumëkëndëshit,

r është rrezja e rrethit të brendashkruar.

Nga kjo rrjedh se rrezja e rrethit të brendashkruar është e barabartë me:

r = \frac(S)(p)

Shumat e gjatësive të brinjëve të kundërta do të jenë identike nëse rrethi është i gdhendur në një katërkëndësh konveks. Dhe anasjelltas: një rreth përshtatet në një katërkëndësh konveks nëse shumat e gjatësive të anëve të kundërta janë identike.

AB + DC = AD + BC

Është e mundur të futet një rreth në cilindo nga trekëndëshat. Vetëm një të vetme. Në pikën ku kryqëzohen përgjysmorët e këndeve të brendshme të figurës, qendra e këtij rrethi të brendashkruar do të shtrihet.

Rrezja e rrethit të brendashkruar llogaritet me formulën:

r = \frac(S)(p) ,

ku p = \frac(a + b + c)(2)

rrethi

Nëse një rreth kalon nëpër çdo kulm të një shumëkëndëshi, atëherë një rreth i tillë zakonisht quhet përshkruar për një shumëkëndësh.

Në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve pingulë të anëve të kësaj figure do të jetë qendra e rrethit të rrethuar.

Rrezja mund të gjendet duke e llogaritur atë si rrezja e rrethit që është i rrethuar rreth trekëndëshit të përcaktuar nga çdo 3 kulme të shumëkëndëshit.

Ekziston kushti i mëposhtëm: një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi vetëm nëse shuma e këndeve të kundërta të tij është e barabartë me 180^( \circ) .

\këndi A + \këndi C = \këndi B + \këndi D = 180^ (\rreth)

Rreth çdo trekëndëshi mund të përshkruani një rreth, dhe vetëm një. Qendra e një rrethi të tillë do të vendoset në pikën ku kryqëzohen përgjysmuesit pingul të brinjëve të trekëndëshit.

Rrezja e rrethit të rrethuar mund të llogaritet duke përdorur formulat:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c janë gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit,

S është zona e trekëndëshit.

Teorema e Ptolemeut

Më në fund, merrni parasysh teoremën e Ptolemeut.

Teorema e Ptolemeut thotë se prodhimi i diagonaleve është identik me shumën e produkteve të anëve të kundërta të një katërkëndëshi ciklik.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD