§ 7. Zbatimi i kombinatorikës në llogaritjen e probabilitetit

Nëse nga vëllimi i përgjithshëm n bëhet kampionimi k elementet me kthim, atëherë probabiliteti i marrjes së çdo kampioni specifik konsiderohet i barabartë me .

Nëse mostra është bërë pa u kthyer, atëherë kjo probabilitet është e barabartë me .

Lëreni që ndodhja e ngjarjes A të konsistojë në paraqitjen e një kampioni me disa kufizime shtesë dhe numri i mostrave të tilla është i barabartë me m. Atëherë në rastin e kampionimit me kthim kemi:

në rast të kampionimit pa kthim:

Shembulli 1. Një numër treshifror zgjidhet rastësisht pa zero në shënimin e tij dhjetor. Sa është probabiliteti që numri i përzgjedhur të ketë saktësisht dy shifra identike?

Zgjidhje. Le të imagjinojmë që numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 të shkruhen në 9 karta identike dhe këto karta vendosen në një urnë. Zgjedhja e një numri treshifror në mënyrë të rastësishme është ekuivalente me vizatimin sekuencial, kthimin e 3 kartave nga urna dhe shkrimin e numrave sipas renditjes që shfaqen. Rrjedhimisht, numri i të gjitha rezultateve elementare të eksperimentit është 93 = 729. Numri i rasteve të favorshme për ngjarjen A me interes për ne llogaritet si më poshtë: 2 numra të ndryshëm x dhe y mund të zgjidhen në mënyra të ndryshme; nëse zgjidhen x dhe y, atëherë prej tyre mund të bëhet https://pandia.ru/text/78/365/images/image007_10.gif" width="115 height=41" height="41">.

Shembulli 2. Nga shkronjat e fjalës "rotor", të përbëra duke përdorur një alfabet të ndarë, 3 shkronja nxirren në mënyrë të rastësishme dhe vendosen në një rresht. Sa është probabiliteti që të dalë fjala “tor”?

Zgjidhje. Për të dalluar shkronjat identike nga njëra-tjetra, u japim numrat: p1, p2, o1, o2. Atëherë numri i përgjithshëm i rezultateve elementare është i barabartë me: . Fjala "torus" do të shfaqet në 1 × 2 × 2 = 4 raste (to1р1, pastaj 1р2, pastaj2р1, pastaj 2р2)..gif" width="24" height="25 src="> dhe supozojmë se të gjithë kanë të barabartë probabilitetet .

Shembulli 3. Në një grup prej N pjesësh ka n të dëmtuara. Sa është probabiliteti që midis k pjesëve të zgjedhura rastësisht të ketë s të dëmtuara?

Zgjidhje. Numri i të gjitha rezultateve elementare është i barabartë me . Për të llogaritur numrin e rasteve të favorshme, arsyetojmë si më poshtë: nga n pjesë me defekt mund të zgjidhen s pjesë në s mënyra, dhe nga N - n pjesë jo të meta mund të zgjidhen k – s pjesë pa defekt në mënyra; Sipas rregullit të produktit, numri i rasteve të favorshme është i barabartë me ×. Probabiliteti i kërkuar është:

Shembulli 4. Në ekip janë 4 femra dhe 3 meshkuj. 4 bileta për në teatër po hidhen mes anëtarëve të brigadës. Sa është probabiliteti që mes mbajtësve të biletave të ketë 2 gra dhe 2 burra?

Zgjidhje. Le të aplikojmë një skemë përzgjedhjeje statistikore. Nga 7 anëtarë të ekipit, mund të zgjidhen 4 persona = 35 mënyra, prandaj, numri i të gjitha rezultateve elementare të testit është 35..gif" width="28" height="34">= 3 mënyra. Pastaj numri e rasteve të favorshme do të jetë e barabartë me 6 × 3 = 18..gif" width="21" height="41"> . Sa topa të bardhë ka në urnë?

150. Në një urnë ka n toptha të bardhë dhe m të zi. K topa (k>m) vizatohen në mënyrë të rastësishme. Sa është probabiliteti që në urnë të kenë mbetur vetëm topa të bardhë?

151. Nga një urnë që përmban N topa, një top hiqet N herë, sa herë që topi i hequr kthehet. Sa është probabiliteti që të gjithë topat të vizatohen një herë?

152. Një kuvertë e plotë me letra (52 fletë) ndahet rastësisht në 2 pjesë të barabarta (26 letra secila). Gjeni probabilitetin e ngjarjeve të mëposhtme:

A – do të ketë 2 ace në secilën pjesë;

B - nuk do të ketë asnjë as në njërën nga pjesët;

C - një nga pjesët do të ketë saktësisht një ACE.

153. Një urnë përmban një topth të bardhë, b të zi dhe c të kuq. Nga kjo urnë nxirren një nga një pa u kthyer të gjithë topat dhe regjistrohen ngjyrat e tyre. Gjeni probabilitetin që e bardha të shfaqet para së zezës në këtë listë.

154. Ka 2 urna: e para përmban një topth të bardhë dhe b të zi; e dyta me të bardhë dhe d të zezë. Nga çdo urnë nxirret një top. Gjeni probabilitetin që të dy topat të jenë të bardhë (ngjarja A) dhe probabilitetin që topat të jenë me ngjyra të ndryshme (ngjarja B).

155. 2n ekipe ndahen në 2 nëngrupe me n ekipe. Gjeni probabilitetin që 2 skuadrat më të forta të përfundojnë: a) në nëngrupe të ndryshme (ngjarja A); b) në një nëngrup (ngjarja B).

156. 3 letra tërhiqen në mënyrë të rastësishme nga një kuvertë me 36 letra. Përcaktoni probabilitetin që shuma e pikëve në këto letra të jetë 21 nëse foleja është 2 pikë, mbretëresha është 3, mbreti është 4, asi është 11 dhe letrat e mbetura janë 6, 7, 8, 9, 10 pikë , respektivisht.

157. Pronari i një karte lotarie Sportloto (6 nga 49) kalon 6 numra. Sa është probabiliteti që ata të hamendësojnë:

a) të 6 numrat në qarkullimin e radhës;

b) 5 ose 6 numra;

c) të paktën 3 numra?

158. Një autobus me 15 pasagjerë duhet të bëjë 20 ndalesa. Duke supozuar se të gjitha mënyrat e mundshme të shpërndarjes së pasagjerëve midis ndalesave janë njësoj të mundshme, gjeni probabilitetin që asnjë pasagjer të mos zbresë në të njëjtën ndalesë.

159. Nga numrat 1, 2, …, N, r zgjidhen rastësisht numra të ndryshëm (r £ N). Gjeni probabilitetin që të zgjidhen r numra të njëpasnjëshëm.

160. Disa letra nxirren nga një kuvertë e plotë letrash (52 fletë). Sa letra duhet të tërhiqen për të pohuar me një probabilitet më të madh se 0,5 se mes tyre do të ketë letra të të njëjtit kostum?

161. Ka n topa që shpërndahen rastësisht mbi m vrima. Gjeni probabilitetin që saktësisht topa k1 të bien në vrimën e parë, topa k2 në të dytën, etj., dhe km topa në vrimën e m-të, nëse k1+k2+…+km=n.

162. Në kushtet e problemës së mëparshme, gjeni probabilitetin që në njërën nga vrimat (nuk ka rëndësi se cila) do të ketë topa k1, kurse në tjetrën - topa k2 etj., në m-të. - topa km (numrat k1,k2,... ,km supozohen të jenë të ndryshëm).

163. Nga bashkësia (1, 2,…, N), numrat x1 dhe x2 zgjidhen me radhë pa u kthyer. Gjeni p(x2 > x1).

1 dorëshkrim ndahet në 30 dosje (një dorëshkrim zë 3 dosje). Gjeni probabilitetin që 6 dosje të hedhura rastësisht të mos përmbajnë një dorëshkrim të vetëm në tërësinë e tij.

165. Sa është probabiliteti që në një shoqëri me r persona të paktën dy të kenë të njëjtën ditëlindje? (Për thjeshtësi, supozohet se 29 shkurti nuk është ditëlindja).

166. Përdorimi i një tabele me vlera lg n! dhe kushti i problemit të mëparshëm, llogaritni probabilitetet për r = 22, 23, 60.

167.Ju keni vendosur të gjeni një person ditëlindja e të cilit përkon me tuajën. Sa të huaj do t'ju duhet të intervistoni në mënyrë që probabiliteti për të takuar një person të tillë të jetë jo më pak se 0.5?

168. Për kredinë shtetërore, çdo vit hidhen 6 shorte kryesore dhe një tërheqje shtesë, pas të pestës kryesore. Nga 100,000 episode, 170 episode fitojnë në çdo seri kryesore dhe 230 episode në çdo seri shtesë. Gjeni probabilitetin për të fituar një obligacion në 10 vitet e para: a) në qarkullimin kryesor; b) në një botim shtesë; c) në çdo botim.

Mësues i ashpër, duhet urgjentisht të zgjidhin problemet në teorinë e probabilitetit në 1 ditë, tema "Teoria e probabilitetit (Matematikë)"

1. Numri i telefonit përbëhet nga gjashtë shifra. Gjeni probabilitetin që të gjithë numrat të jenë të ndryshëm. 2. Ka 10 produkte në seri, katër prej të cilave janë jo standarde. Katër artikuj janë marrë në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që midis produkteve të marra të ketë më shumë standarde sesa jo standarde. 3. Dhjetë persona ulen rastësisht në një stol me dhjetë vende. Gjeni probabilitetin që 2 persona të caktuar të jenë afër. 4. Një pikë zgjidhet rastësisht brenda një katrori me kulme. Gjeni probabilitetin e ngjarjes së mëposhtme: 5. Dy gjuajtës në mënyrë të pavarur qëlluan një të shtënë në objektiv. Dihet se probabiliteti për të goditur objektivin për një nga gjuajtësit është 0.6; dhe për tjetrin - 0.7. Gjeni probabilitetin që të paktën një nga gjuajtësit të humbasë objektivin. 6. Para se të kalojë raundin e parë të konkursit, çdo aplikanti i jepen tre detyra: një tekst për lexim artistik, një temë për prezantim në pantomimë, një poezi për interpretim vokal me melodinë e tij. Gjatë kalimit të konkursit, propozohet të kryhen dy numra nga tre. Zgjedhja e numrave është e rastësishme. Konkurrenti vlerëson se do ta kalojë raundin e parë në lexim letrar me probabilitet 0.9; gjatë kryerjes së pantomimës – 0,3; gjatë kryerjes së një detyre vokale – 0.5. Sa është probabiliteti për të kaluar raundin e parë për një garues me një përgatitje të tillë? 7. Urna e parë përmban 10 topa, 8 prej të cilëve janë të bardhë; Urna e dytë përmban 15 topa, 4 prej të cilëve janë të bardhë. Dy topa u tërhoqën rastësisht nga urna e parë, dhe më pas një top nga urna e dytë u transferua në të. Pas kësaj, një top u tërhoq nga urna e parë. Gjeni probabilitetin që ky top të jetë i bardhë. 8. Nga 18 gjuajtëse, 5 goditën objektivin me probabilitet 0.6; 7 – me probabilitet 0,7; 4 – me probabilitet 0,8; 2 – me probabilitet 0,5. Qitësi i zgjedhur rastësisht humbi objektivin. Cilit grup ka më shumë gjasa t'i përkasë ky gjuajtës? 9. Probabiliteti për të goditur objektivin me një gjuajtje është 0.7. Gjeni probabilitetin që me 20 të shtëna të pavarura objektivi të goditet jo më shumë se 14 herë. 10. Ka 5 monedha në xhepin tuaj, afërsisht të njëjta në prekje: tre - 2 rubla secila dhe dy - 10 rubla secila. Pa shikuar nxjerrin 2 monedha. Një ndryshore e rastësishme është numri i përgjithshëm i rublave të nxjerra. Për një ndryshore të rastësishme: a) ndërtoni një seri shpërndarjeje, b) gjeni pritshmërinë dhe variancën matematikore, c) gjeni probabilitetin e ngjarjes (të paktën 4, por jo më shumë se 12 rubla janë nxjerrë). 11. Një teknik i thirrur në shtëpinë tuaj mund të shfaqet në çdo kohë nga ora 10:00 deri në orën 18:00. Klienti, pasi kishte pritur deri në 14 orë, u largua për 1 orë. Duke e konsideruar kohën e mbërritjes së masterit si një ndryshore të rastësishme të shpërndarë në mënyrë uniforme, gjeni densitetin e probabilitetit, funksionin e shpërndarjes. Përcaktoni probabilitetin që mjeshtri (ardhja e tij është e detyrueshme) nuk do ta gjejë klientin në shtëpi? Ndërtoni grafikët e densitetit të probabilitetit dhe funksionet e shpërndarjes.

Më shumë detaje
Probleme mbi përcaktimin klasik të probabilitetit.

Shembuj zgjidhjesh Në mësimin e tretë do të shikojmë probleme të ndryshme në lidhje me zbatimin e drejtpërdrejtë të përkufizimit klasik të probabilitetit. Për të studiuar në mënyrë efektive materialet në këtë artikull, unë rekomandoj që të njiheni me konceptet themelore teoria e probabilitetit Dhe bazat e kombinatorikës . Detyra e përcaktimit klasik të probabilitetit me një probabilitet të prirur për një do të jetë e pranishme në punën tuaj të pavarur/kontrolluese në terver, kështu që le të përgatitemi për punë serioze. Ju mund të pyesni, çfarë është kaq serioze në lidhje me këtë? ...vetëm një formulë primitive. Unë ju paralajmëroj kundër mendjemadhësisë - detyrat tematike janë mjaft të ndryshme, dhe shumë prej tyre lehtë mund t'ju ngatërrojnë. Në këtë drejtim, përveç punës së mësimit kryesor, përpiquni të studioni detyra shtesë për temën që janë në derrkuc zgjidhje të gatshme për matematikën e lartë

. Teknikat e zgjidhjes janë teknika zgjidhjeje, por "miqtë" ende "duhet të njihen me shikim", sepse edhe një imagjinatë e pasur është e kufizuar dhe ka edhe mjaft detyra standarde. Epo, do të përpiqem të zgjidh sa më shumë prej tyre në cilësi të mirë.

Le të kujtojmë klasikët e zhanrit:

Probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në një test të caktuar është e barabartë me raportin, ku: - numri i përgjithshëm i të gjithëve, po aq e mundur elementare rezultatet e këtij testi, të cilat formohen;

grupi i plotë i ngjarjeve po aq e mundur- sasia

rezultate të favorshme për ngjarjen. Në mësimin e tretë do të shikojmë probleme të ndryshme në lidhje me zbatimin e drejtpërdrejtë të përkufizimit klasik të probabilitetit. Për të studiuar në mënyrë efektive materialet në këtë artikull, unë rekomandoj që të njiheni me konceptet themelore Dhe menjëherë një pit stop. A i kuptoni termat e nënvizuar? Kjo do të thotë të kuptuarit e qartë, jo intuitiv. Nëse jo, atëherë është akoma më mirë të ktheheni te artikulli i parë

dhe vetëm pas kësaj vazhdo.

Ju lutemi, mos i anashkaloni shembujt e parë - në to do të përsëris një pikë thelbësisht të rëndësishme, dhe gjithashtu do t'ju tregoj se si ta formatoni saktë një zgjidhje dhe në cilat mënyra mund të bëhet kjo:

Problemi 1

Një urnë përmban 15 topa të bardhë, 5 të kuq dhe 10 të zinj. 1 top është tërhequr në mënyrë të rastësishme, gjeni probabilitetin që të jetë: a) i bardhë, b) i kuq, c) i zi. Zgjidhje : Parakushti më i rëndësishëm për përdorimin e përkufizimit klasik të probabilitetit është.

Ka gjithsej 15 + 5 + 10 = 30 topa në urnë, dhe padyshim faktet e mëposhtme janë të vërteta:

– marrja e çdo topi është po aq e mundur (mundësi të barabarta rezultatet), ndërsa rezultatet elementare dhe forma rezultatet e këtij testi, të cilat formohen (d.m.th., si rezultat i testit, një nga 30 topat do të hiqet patjetër).

Kështu, numri i përgjithshëm i rezultateve:

Merrni parasysh ngjarjen: - një top i bardhë do të tërhiqet nga urna. Kjo ngjarje është e favorizuar po aq e mundur rezultatet, pra, sipas përkufizimit klasik:
– probabiliteti që një top i bardhë të nxirret nga urna.

Mjaft e çuditshme, edhe në një detyrë kaq të thjeshtë mund të bëhet një pasaktësi serioze, në të cilën tashmë u fokusova në artikullin e parë mbi Në mësimin e tretë do të shikojmë probleme të ndryshme në lidhje me zbatimin e drejtpërdrejtë të përkufizimit klasik të probabilitetit. Për të studiuar në mënyrë efektive materialet në këtë artikull, unë rekomandoj që të njiheni me konceptet themelore. Ku është gracka këtu? Është e gabuar të argumentohet këtu se “Meqenëse gjysma e topave janë të bardha, atëherë probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë» . Përkufizimi klasik i probabilitetit i referohet SHKOLLOR rezultatet, dhe thyesa duhet të shkruhet!

Me pika të tjera, në mënyrë të ngjashme, merrni parasysh ngjarjet e mëposhtme:

– nga urna do të nxirret një top i kuq;
– nga urna do të nxirret një top i zi.

Një ngjarje favorizohet nga 5 rezultate elementare dhe një ngjarje favorizohet nga 10 rezultate elementare. Pra, probabilitetet përkatëse janë:

Një kontroll tipik i shumë detyrave të serverit kryhet duke përdorur teorema mbi shumën e probabiliteteve të ngjarjeve që formojnë një grup të plotë. Në rastin tonë, ngjarjet formojnë një grup të plotë, që do të thotë se shuma e probabiliteteve përkatëse duhet domosdoshmërisht të jetë e barabartë me një: .

Le të kontrollojmë nëse kjo është e vërtetë: kjo është ajo për të cilën doja të sigurohesha.

Përgjigju:

Në parim, përgjigja mund të shkruhet më në detaje, por personalisht, unë jam mësuar të vendos vetëm numra atje - për arsye se kur filloni të "shlyeni" problemet në qindra e mijëra, përpiqeni të zvogëloni shkrimin e zgjidhjen sa më shumë që të jetë e mundur. Nga rruga, për shkurtësinë: në praktikë, opsioni i projektimit "me shpejtësi të lartë" është i zakonshëm zgjidhjet:

Gjithsej: 15 + 5 + 10 = 30 topa në urnë. Sipas përkufizimit klasik:
– probabiliteti që një top i bardhë të nxirret nga urna;
– probabiliteti që nga urna të nxirret një top i kuq;
– probabiliteti që një top i zi të nxirret nga urna.

Përgjigju:

Sidoqoftë, nëse ka disa pika në gjendje, atëherë shpesh është më e përshtatshme të formulohet zgjidhja në mënyrën e parë, e cila kërkon pak më shumë kohë, por në të njëjtën kohë "shtron gjithçka në rafte" dhe e bën më të lehtë për të lundruar problemin.

Le të ngrohemi:

Problemi 2

Dyqani ka marrë 30 frigoriferë, pesë prej të cilëve kanë defekt në prodhim. Një frigorifer zgjidhet rastësisht. Sa është probabiliteti që të jetë pa defekt?

Zgjidhni opsionin e duhur të dizajnit dhe kontrolloni mostrën në fund të faqes.

Në shembujt më të thjeshtë, numri i rezultateve të zakonshme dhe numri i rezultateve të favorshme shtrihen në sipërfaqe, por në shumicën e rasteve ju duhet t'i gërmoni vetë patatet. Një seri kanonike problemesh për një pajtimtar harrues:

Problemi 3

Gjatë formimit të një numri telefoni, abonenti ka harruar dy shifrat e fundit, por kujton se njëra prej tyre është zero dhe tjetra është tek. Gjeni probabilitetin që ai të thërrasë numrin e saktë.

Shënim : zero është një numër çift (i pjesëtueshëm me 2 pa mbetje)

Një urnë përmban 15 topa të bardhë, 5 të kuq dhe 10 të zinj. 1 top është tërhequr në mënyrë të rastësishme, gjeni probabilitetin që të jetë: a) i bardhë, b) i kuq, c) i zi.: Së pari gjejmë numrin total të rezultateve. Sipas kushtit, pajtimtari kujton që njëra nga shifrat është zero, dhe shifra tjetër është tek. Këtu është më racionale të mos jemi të ndërlikuar me kombinatorikë dhe përdorim metoda e renditjes së drejtpërdrejtë të rezultateve . Kjo do të thotë, kur bëjmë një zgjidhje, ne thjesht shkruajmë të gjitha kombinimet:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Dhe ne i numërojmë ato - në total: 10 rezultate.

Ekziston vetëm një rezultat i favorshëm: numri i saktë.

Sipas përkufizimit klasik:
– probabiliteti që pajtimtari të thërrasë numrin e saktë

Përgjigju: 0,1

Fraksionet dhjetore duken mjaft të përshtatshme në teorinë e probabilitetit, por ju gjithashtu mund t'i përmbaheni stilit tradicional Vyshmatov, duke vepruar vetëm me fraksione të zakonshme.

Detyrë e avancuar për zgjidhje të pavarur:

Problemi 4

Pajtimtari ka harruar kodin PIN për kartën e tij SIM, por kujton se ai përmban tre "pesë" dhe një nga numrat është ose "shtatë" ose "tetë". Sa është probabiliteti i autorizimit të suksesshëm në provën e parë?

Këtu mund të zhvilloni gjithashtu idenë e gjasave që pajtimtari të përballet me dënimin në formën e një kodi puk, por, për fat të keq, arsyetimi do të shkojë përtej qëllimit të këtij mësimi

Zgjidhja dhe përgjigja janë më poshtë.

Ndonjëherë renditja e kombinimeve rezulton të jetë një detyrë shumë e mundimshme. Në veçanti, ky është rasti në grupin tjetër, jo më pak të popullarizuar të problemeve, ku hidhen 2 zare (më rrallë - sasi më të mëdha):

Problemi 5

Gjeni probabilitetin që kur hidhni dy zare, numri i përgjithshëm të jetë:

a) pesë pikë;
b) jo më shumë se katër pikë;
c) nga 3 deri në 9 pikë përfshirëse.

Një urnë përmban 15 topa të bardhë, 5 të kuq dhe 10 të zinj. 1 top është tërhequr në mënyrë të rastësishme, gjeni probabilitetin që të jetë: a) i bardhë, b) i kuq, c) i zi.: gjeni numrin total të rezultateve:

Mënyrat se si mund të bjerë pjesa e 1-rëve Dhe në mënyra të ndryshme ana e kubit të 2-të mund të bjerë jashtë; Nga rregull për shumëzimin e kombinimeve, gjithsej: kombinime të mundshme. Me fjalë të tjera, secili fytyra e kubit të 1-rë mund të jetë porositur një çift me secilin buza e kubit të 2-të. Le të pajtohemi që të shkruajmë një çift të tillë në formën , ku është numri i mbështjellë në pullën e parë, është numri i mbështjellë në pullën e dytë. Për shembull:

– zari i parë shënoi 3 pikë, zari i dytë shënoi 5 pikë, totali i pikëve: 3 + 5 = 8;
– zari i parë shënoi 6 pikë, zari i dytë 1 pikë, totali i pikëve: 6 + 1 = 7;
– 2 pikë të hedhura në të dy zaret, shuma: 2 + 2 = 4.

Natyrisht, shuma më e vogël jepet nga një palë, dhe më e madhja nga dy "gjashtë".

a) Merrni parasysh ngjarjen: – kur hidhni dy zare, do të shfaqen 5 pikë. Le të shkruajmë dhe numërojmë numrin e rezultateve që favorizojnë këtë ngjarje:

Gjithsej: 4 rezultate të favorshme. Sipas përkufizimit klasik:
- probabiliteti i dëshiruar.

b) Merrni parasysh ngjarjen: – do të hidhen jo më shumë se 4 pikë. Kjo është, ose 2, ose 3, ose 4 pikë. Përsëri rendisim dhe numërojmë kombinimet e favorshme, në të majtë do të shkruaj numrin total të pikëve, dhe pas dy pikave - çiftet e përshtatshme:

Gjithsej: 6 kombinime të favorshme. Kështu:
– probabiliteti që nuk do të rrotullohen më shumë se 4 pikë.

c) Merrni parasysh ngjarjen: – 3 deri në 9 pikë do të rrokullisen, përfshirëse. Këtu mund të merrni rrugën e drejtë, por... për disa arsye që nuk dëshironi. Po, disa çifte tashmë janë renditur në paragrafët e mëparshëm, por ka ende shumë punë për të bërë.

Cila është mënyra më e mirë për të vazhduar? Në raste të tilla, një rrugë rrethrrotullimi rezulton të jetë racionale. Le të shqyrtojmë ngjarje e kundërt: – Do të vendosen 2 ose 10 ose 11 ose 12 pikë.

Ç'kuptim ka? Ngjarja e kundërt favorizohet nga një numër dukshëm më i vogël çiftesh:

Gjithsej: 7 rezultate të favorshme.

Sipas përkufizimit klasik:
– probabiliteti që do të rrokullisni më pak se tre ose më shumë se 9 pikë.

Përveç listimit të drejtpërdrejtë dhe numërimit të rezultateve, të ndryshme formulat kombinuese. Dhe përsëri një problem epik për ashensorin:

Problemi 7

3 persona kanë hyrë në ashensorin e një pallati 20-katësh në katin e parë. Dhe le të shkojmë. Gjeni probabilitetin që:

a) do të dalin në kate të ndryshme
b) dy do të dalin në të njëjtin kat;
c) të gjithë do të zbresin në të njëjtin kat.

Mësimi ynë emocionues ka marrë fund, dhe më në fund, unë edhe një herë rekomandoj fuqimisht që nëse nuk zgjidhet, atëherë të paktën kuptoj probleme shtesë mbi përcaktimin klasik të probabilitetit. Siç e kam vërejtur tashmë, "mbushja e duarve" gjithashtu ka rëndësi!

Më tej përgjatë kursit - Përkufizimi gjeometrik i probabilitetit teoria e probabilitetit Teorema e mbledhjes dhe shumëzimit të probabilitetit dhe... fat në gjënë kryesore!

Zgjidhje dhe përgjigje:

Detyra 2: Një urnë përmban 15 topa të bardhë, 5 të kuq dhe 10 të zinj. 1 top është tërhequr në mënyrë të rastësishme, gjeni probabilitetin që të jetë: a) i bardhë, b) i kuq, c) i zi.: 30 – 5 = 25 frigoriferë nuk kanë asnjë defekt.

– probabiliteti që një frigorifer i zgjedhur rastësisht të mos ketë një defekt.
Përgjigju :

Detyra 4: Një urnë përmban 15 topa të bardhë, 5 të kuq dhe 10 të zinj. 1 top është tërhequr në mënyrë të rastësishme, gjeni probabilitetin që të jetë: a) i bardhë, b) i kuq, c) i zi.: gjeni numrin total të rezultateve:
mënyra se si mund të zgjidhni vendin ku ndodhet numri i dyshimtë dhe në çdo Nga këto 4 vende, 2 shifra (shtatë ose tetë) mund të vendosen. Sipas rregullit të shumëzimit të kombinimeve, numri i përgjithshëm i rezultateve: .
Përndryshe, zgjidhja thjesht mund të listojë të gjitha rezultatet (për fat të mirë ka pak prej tyre):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Ekziston vetëm një rezultat i favorshëm (kodi i saktë pin).
Kështu, sipas përkufizimit klasik:
– probabiliteti që pajtimtari të regjistrohet në përpjekjen e parë
Përgjigju :

Detyra 6: Një urnë përmban 15 topa të bardhë, 5 të kuq dhe 10 të zinj. 1 top është tërhequr në mënyrë të rastësishme, gjeni probabilitetin që të jetë: a) i bardhë, b) i kuq, c) i zi.: gjeni numrin total të rezultateve:
numrat në 2 zare mund të shfaqen në mënyra të ndryshme.

a) Merrni parasysh ngjarjen: – kur hidhni dy zare, prodhimi i pikëve do të jetë i barabartë me shtatë. Nuk ka rezultate të favorshme për një ngjarje të caktuar, sipas përkufizimit klasik të probabilitetit:
, d.m.th. kjo ngjarje është e pamundur.

b) Merrni parasysh ngjarjen: – kur hidhni dy zare, produkti i pikëve do të jetë së paku 20. Rezultatet e mëposhtme janë të favorshme për këtë ngjarje:

Gjithsej: 8
Sipas përkufizimit klasik:
- probabiliteti i dëshiruar.

c) Merrni parasysh ngjarjet e kundërta:
– prodhimi i pikëve do të jetë çift;
– prodhimi i pikëve do të jetë tek.
Le të rendisim të gjitha rezultatet e favorshme për ngjarjen:

Gjithsej: 9 rezultate të favorshme.
Sipas përkufizimit klasik të probabilitetit:
Ngjarjet e kundërta formojnë një grup të plotë, prandaj:
- probabiliteti i dëshiruar.

Përgjigju :

Problemi 8: Një urnë përmban 15 topa të bardhë, 5 të kuq dhe 10 të zinj. 1 top është tërhequr në mënyrë të rastësishme, gjeni probabilitetin që të jetë: a) i bardhë, b) i kuq, c) i zi.: le të llogarisim numrin total të rezultateve: 10 monedha mund të bien në mënyra të ndryshme.
Një mënyrë tjetër: mënyrat se si mund të bjerë monedha e parë Dhe mënyrat se si mund të bjerë monedha e dytë Dhe … Dhe mënyrat se si mund të bjerë monedha e 10-të. Sipas rregullit të shumëzimit të kombinimeve, mund të bien 10 monedha mënyrat.
a) Merrni parasysh ngjarjen: – kokat do të shfaqen në të gjitha monedhat. Kjo ngjarje favorizohet nga një rezultat i vetëm, sipas përkufizimit klasik të probabilitetit: .
b) Merrni parasysh ngjarjen: – 9 monedha do të zbresin në kokë dhe një monedhë do të bjerë në bisht.
Ka monedha që mund të zbresin mbi kokat. Sipas përkufizimit klasik të probabilitetit: .
c) Merrni parasysh ngjarjen: – kokat do të shfaqen në gjysmën e monedhave.
ekziston kombinime unike të pesë monedhave që mund të zbresin kokat. Sipas përkufizimit klasik të probabilitetit:
Përgjigju :

Kombinatorika studion mënyrat për të numëruar numrin e elementeve në bashkësi të fundme. Formulat e kombinatorikës përdoren për të llogaritur drejtpërdrejt probabilitetet.
Quhen grupe elementesh që përbëhen nga të njëjtat elementë të ndryshëm dhe që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm sipas renditjes së tyre permutacionet këto elemente. Numri i permutacioneve të mundshme nga n elementet shënohen me , dhe ky numër është i barabartë me n! (lexo "en-factorial"):
\(P_n=n\) (1.3.1)
Ku
. (1.3.2)

Vërejtje 1. Për grupin bosh pranohet konventa: grupi bosh mund të porositet vetëm në një mënyrë; sipas definicionit besoj.

Vendosjet quhen bashkësi të përbëra nga n elemente të ndryshme sipas m elemente që ndryshojnë ose në përbërjen e elementeve ose në renditjen e tyre. Numri i të gjitha vendosjeve të mundshme përcaktohet nga formula
. (1.3.3)

Kombinimet nga n elemente të ndryshme sipas m quhen bashkësi që përmbajnë m elemente nga mesi n të dhëna dhe që ndryshojnë në të paktën një element. Numri i kombinimeve të n elementet nga m qëndrojnë për: ose . Ky numër shprehet me formulë

. (1.3.4)

Vërejtje 2. Sipas përkufizimit, supozoni .

Për numrin e kombinimeve barazimet janë të vlefshme:
, , (1.3.5)
. (1.3.6)

Barazia e fundit nganjëherë formulohet si teorema e mëposhtme rreth grupe të fundme:
Numri i të gjitha nëngrupeve të një grupi të përbërë prej tyre n elemente, të barabartë .
Vini re se numrat e permutacioneve, vendosjeve dhe kombinimeve lidhen me barazinë

Vërejtje 3. U supozua mbi të gjitha n elementet janë të ndryshëm. Nëse disa elementë përsëriten, atëherë në këtë rast grupet me përsëritje llogariten duke përdorur formula të tjera.

Për shembull, nëse ndër n elementet jane elemente te nje lloji, elemente te nje lloji tjeter etj., atehere numri i permutacioneve me perseritje percaktohet nga formula
(1.3.7)
Ku .

Numri i vendosjeve sipas m elementet me përsëritje nga n elementet janë të barabarta
, pra
me përsëritje (1.3.8)
Numri i kombinimeve me përsëritje nga n elementet nga m elementet është e barabartë me numrin e kombinimeve pa përsëritje nga n + m- 1 element secili m elementet, pra
nga përsëritja (1.3.9)

Gjatë zgjidhjes së problemeve të kombinatorikës, përdoren rregullat e mëposhtme.

Rregulli i shumës. Nëse një objekt A mund të zgjidhet nga një grup objektesh në m mënyra, dhe një objekt tjetër B mund të zgjidhet në n mënyra, atëherë ose A ose B mund të zgjidhen në m + n mënyra.

Rregulli i produktit. Nëse objekti A mund të zgjidhet nga një shumëllojshmëri objektesh m metodat dhe pas çdo zgjedhjeje të tillë, objekti B mund të zgjidhet n mënyra, atëherë një palë objektesh (A, B) në rendin e specifikuar mund të zgjidhen në mënyra.

Skema klasike për llogaritjen e probabiliteteve është e përshtatshme për zgjidhjen e një numri problemesh thjesht praktike. Le të shqyrtojmë, për shembull, një grup të caktuar elementësh të vëllimit N. Këto mund të jenë produkte, secila prej të cilave është e përshtatshme ose me defekt, ose fara, secila prej të cilave mund të jetë e zbatueshme ose jo. Situatat e këtij lloji përshkruhen nga një skemë urne: ka N topa në urnë, nga të cilat M janë blu dhe (N - M) janë të kuqe.

Nga një urnë që përmban N topa dhe që përmban M topa blu, nxirren n topa. Ju duhet të përcaktoni probabilitetin që m topa blu të zbulohen në një kampion me madhësi n. Le të shënojmë me A ngjarjen “ka m topa blu në një kampion me madhësi n”, më pas
(1.3.10)

Shembulli 1. Në sa mënyra të ndryshme mund të zgjidhen tre persona për tre pozicione të ndryshme nga dhjetë kandidatë?

Zgjidhje. Le të përdorim formulën (1.3.3). Për n = 10, m = 3 marrim
.

Shembulli 2. Në sa mënyra të ndryshme mund të vendosen 5 persona në një stol?

Zgjidhje. Sipas formulës (1.3.1) me n=5 gjejmë
P 5 =5!=1·2·3·4·5=120.

Shembulli 3. Në sa mënyra mund të zgjidhen tre persona për tre pozicione identike nga dhjetë kandidatë?

Zgjidhje. Në përputhje me formulën (1.3.4) gjejmë

Shembulli 4. Sa numra të ndryshëm gjashtëshifrorë mund të shkruhen duke përdorur shifrat 1; 1; 1; 2; 2; 2?

Zgjidhje. Këtu ju duhet të gjeni numrin e permutacioneve me përsëritje, i cili përcaktohet nga formula (1.3.7). Me k = 2, n 1 = 3, n 2 = 3, n = 6, duke përdorur këtë formulë marrim

Shembulli 5. Sa ndërrime të ndryshme shkronjash mund të bëhen në fjalët: kështjellë, rotor, sëpatë, zile?

Zgjidhje. Në fjalën kështjellë të gjitha shkronjat janë të ndryshme, gjithsej janë pesë. Në përputhje me formulën (1.3.1) marrim P 5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Me një fjalë rotor, i përbërë nga pesë shkronja, shkronja fq teoria e probabilitetit o përsëriten dy herë. Për të llogaritur permutacione të ndryshme, ne përdorim formulën (1.3.7). Për n = 5, n 1 = 2, n 2 = 2, duke përdorur këtë formulë gjejmë

Shkronja në fjalën sëpatë O përsëritet dy herë, pra

Në zilen e fjalës shtatë shkronja, shkronja te shfaqet dy herë, shkronjë O- tri herë, letër l- dy herë. Në përputhje me formulën (13.7) me n = 7, n 1 = 2, n 2 = 3, n z = 2 marrim

Shembulli 6. Shkronjat I, K, M, N, S shkruhen në pesë letra identike. Sa është probabiliteti që të shfaqet fjala MINSK?

Zgjidhje. Nga pesë elementë të ndryshëm mund të krijoni permutacione P5:
. Kjo do të thotë se do të ketë gjithsej 120 rezultate të mundshme, por vetëm një të favorshme për një ngjarje të caktuar. Prandaj,

Shembulli 7. Nga shkronjat e fjalës rotor, i kompozuar duke përdorur një alfabet të ndarë, 3 shkronja zgjidhen në mënyrë të rastësishme në mënyrë sekuenciale dhe vendosen në një rresht. Sa është probabiliteti që të dalë fjala torus?

Zgjidhje. Për të dalluar shkronjat identike nga njëra-tjetra, ne u japim atyre numra: fq 1 , fq 2 , 0 1 , 0 2. Numri i përgjithshëm i rezultateve elementare është i barabartë me: . fjalë rotor do të funksionojë në rastet ( pastaj 1 r 1, pastaj 1 r 2, pastaj 2 r 1, pastaj 2 r 2). Probabiliteti i kërkuar është i barabartë me

Gjatë llogaritjes së numrit të rasteve të favorshme, kemi përdorur rregullin e produktit: shkronja m ju mund të zgjidhni një mënyrë, shkronjë O- dy, një letër r- në dy mënyra.

Shembulli 8. Shkronjat e fjalës shkruhen në gjashtë letra me të njëjtën formë dhe madhësi. talent- një shkronjë në secilën kartë. Kartat janë të përziera tërësisht. nxirren në mënyrë të rastësishme dhe vendosen në tavolinë njëra pas tjetrës. Sa është probabiliteti për ta marrë përsëri fjalën talent?

Zgjidhje. Le të numërojmë letrat me shkronja:

Fjala talent (513246) nuk do të ndryshojë nëse shkronjat A riorganizoni, por sipas renditjes së kartave do të merrni një kombinim tjetër: talent (523146). Nëse në secilin nga këto dy kombinime bëjmë të njëjtën gjë me shkronjën t, do të marrim edhe 2 kombinime të ndryshme letrash me fjalën talent. Kjo do të thotë se pamja e fjalës talent 4 rezultate elementare janë të favorshme. Numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme elementare është i barabartë me numrin e permutacioneve të 6 elementeve: n = 6! = 720. Prandaj, probabiliteti i kërkuar

Vërejtje: Ky probabilitet mund të gjendet edhe duke përdorur formulën (1.3.7), e cila për n = 6, n 1 = 1, n 2 = 1, n 3 = 2, n 4 = 2 merr pamjen:

. Kështu, P = 1/180.

Shembulli 9. Shkronjat shkruhen në pesë letra identike: në dy letra l, në tre të tjerët Dhe. Këto karta vendosen në mënyrë të rastësishme në
rresht. Sa është probabiliteti që kjo të prodhojë fjalën zambakë?

Zgjidhje. Le të gjejmë numrin e ndërrimeve të këtyre pesë shkronjave me përsëritje.
Duke përdorur formulën (1.3.7) për n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3 marrim

Ky është numri i përgjithshëm i rezultateve po aq të mundshme të eksperimentit të kësaj ngjarje A - "paraqitja e fjalës zambak" favorizohet nga një. Në përputhje me formulën (1.2.1) marrim

Shembulli 10. Në një grumbull prej 10 pjesësh, 7 janë standarde. Gjeni probabilitetin
fakti që ndër 6 pjesë të marra në mënyrë të rastësishme, 4 janë standarde.

Zgjidhje. Numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme të testit elementar Ix është i barabartë me numrin e mënyrave në të cilat mund të nxirren 6 pjesë nga 10, domethënë, numri i kombinimeve të 10 elementeve nga 6 elementë secila ().

Ne përcaktojmë numrin e rezultateve të favorshme për ngjarjen A - "midis 6 pjesëve të marra, 4 janë standarde". Katër pjesë standarde nga shtatë ato standarde mund të merren në mënyra të ndryshme, ndërsa pjesa e mbetur 6 - 4 = 2 duhet të jenë jo standarde; Ka mënyra për të marrë 2 pjesë jo standarde nga 10 - 7 = 3 pjesë jo standarde. Prandaj, numri i rezultateve të favorshme është i barabartë me .

Probabiliteti i kërkuar është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme për ngjarjen me numrin e të gjitha rezultateve elementare:

Vërejtje Formula e fundit është një rast i veçantë i formulës (1.3.10): N= 10, M= 7, n = 6, m = 4.

Shembulli 11. Mes 25 nxënësve në një grup prej 10 vajzash, janë hedhur 5 bileta. Gjeni probabilitetin që mes mbajtësve të biletave të ketë 2 vajza.

Zgjidhje. Numri i të gjitha rasteve po aq të mundshme të shpërndarjes së 5 biletave midis 25 studentëve është i barabartë me numrin e kombinimeve të 25 elementeve nga 5, d.m.th. Numri i grupeve me tre djem nga 15 që mund të marrin bileta është . Secila tre të tilla mund të kombinohet me çdo çift prej dhjetë vajzash, dhe numri i çifteve të tilla është i barabartë me . , është e barabartë me produktin. Ky produkt është i barabartë me numrin e rasteve të favorshme të shpërndarjes së pesë biletave mes nxënësve të grupit në mënyrë që tre bileta të shkojnë për djemtë dhe dy bileta për vajzat. Në përputhje me formulën (1.2.1) gjejmë probabilitetin e kërkuar

Vërejtje Formula e fundit është një rast i veçantë i formulës (1.3.10): N= 25, M= 15, n = 5, m = 3.

Shembulli 12. Një kuti përmban 15 topa të kuq, 9 blu dhe 6 të gjelbër. 6 topa janë tërhequr në mënyrë të rastësishme. Sa është probabiliteti që të vizatohen 1 topa të gjelbër, 2 blu dhe 3 të kuq (ngjarja A)?

Zgjidhje. Ka vetëm 30 topa në kuti. Për këtë eksperiment, numri i të gjitha rezultateve elementare po aq të mundshme do të jetë . Le të numërojmë numrin e rezultateve elementare të favorshme për ngjarjen A. Tre topa të kuq nga 15 mund të zgjidhen në mënyra, dy topa blu nga 9 mund të zgjidhen në mënyra, një jeshile nga 6 mund të zgjidhen në mënyra
Numri i rezultateve të favorshme është i barabartë me produktin

Probabiliteti i kërkuar përcaktohet me formulën (1.3.10):

Shembulli 14. Zari hidhet 10 herë. Sa është probabiliteti që anët 1, 2, 3, 4, 5, 6 të shfaqen përkatësisht 2, 3, 1, 1, 1, 2 herë (ngjarja A)?

Zgjidhje. Ne llogarisim numrin e rezultateve të favorshme për ngjarjen A duke përdorur formulën (1.3.7):
Numri i të gjitha rezultateve elementare në këtë eksperiment është n = 6 10, pra

Detyrat
1. Shkronjat B, E, R, S, T shkruhen në 5 karta identike. Sa është probabiliteti që të shfaqet fjala BREST?
2. Ka 4 topa blu dhe 5 të kuq në një kuti. 2 topa nxirren në mënyrë të rastësishme nga kutia. Gjeni probabilitetin që këto topa të jenë me ngjyra të ndryshme.
3. Në ekip janë 4 femra dhe 3 meshkuj. 4 bileta për në teatër po hidhen mes anëtarëve të brigadës. Sa është probabiliteti që mes mbajtësve të biletave të ketë 2 gra dhe 2 burra?
4. Ka 10 topa në një kuti, nga të cilat 2 janë të bardha, 3 janë të kuqe dhe 5 janë blu, 3 topa janë tërhequr rastësisht. Gjeni probabilitetin që të tre topat të jenë me ngjyra të ndryshme.
5. Shkronjat l, m, o, o, t shkruhen në pesë letra identike, sa është probabiliteti që, duke i nxjerrë letrat një nga një, ta marrim fjalën çekiç sipas radhës që janë shfaqur?
6. Nga një grup që përmban 10 produkte, nga të cilat 3 janë me defekt, zgjidhen 3 produkte në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që një produkt në mostrën që rezulton është i dëmtuar.
7. Nga dhjetë bileta, dy janë fituese. Sa është probabiliteti që midis pesë biletave të zgjedhura rastësisht, një të jetë fitues?

Përgjigjet
1. 1/120. 2. 5/9. 3. 18/35. 4 . 0,25. 5 . 1/60. 6 . 21/40. 7 . 5/9.

Pyetje
1. Çfarë quhen ndërrime?
2. Çfarë forme përdoret për llogaritjen e numrit të permutacioneve të n elementeve të ndryshëm?
3. Si quhen vendosjet?
4. Çfarë formule përdoret për llogaritjen e numrit të vendosjeve të n elementeve të ndryshëm sipas m elementeve?
5. Si quhen kombinimet?
6. Çfarë formule përdorni për të llogaritur numrin e kombinimeve të n elementeve të m elementeve?
7. Çfarë barazie lidh numrat e permutacioneve, vendosjeve dhe kombinimeve?
8. Çfarë formule përdoret për të llogaritur numrin e permutacioneve të n elementeve nëse disa elementë përsëriten?
9. Cila formulë përcakton numrin e vendosjeve të m elementeve me përsëritje të n elementeve?
10. Cila formulë përcakton numrin e kombinimeve me përsëritje të n elementeve të m elementeve?

Përgjigjet

Detyrat

Ushtrime.

1. Gjeni ngjarje të besueshme dhe të pamundura midis ngjarjeve të rastësishme të mëposhtme:

A 1 - shfaqja e 10 pikëve gjatë hedhjes së një trupi,

A 2 - shfaqja e 10 pikëve kur hidhen tre zare,

A 3 - shfaqja e 20 pikëve kur hidhen tre zare,

A 4 - një numër dyshifror i zgjedhur rastësisht jo më shumë se 100,

A 5 – shfaqja e dy stemave gjatë hedhjes së dy monedhave.

2. A janë të papajtueshme ngjarjet A 1 dhe A 2:

b) test - hedhja e zarit; ngjarjet: A 1 - shfaqja e tre pikave, A 2 - shfaqja e një numri tek pikat,

c) test - hedhja e dy monedhave; ngjarjet: A 1 – shfaqja e një steme në një monedhë, A 2 – pamja e një steme në një monedhë tjetër?

3. A janë ngjarjet A 1 dhe A 2 njëlloj të mundshme:

a) test - hedhja e një zari; ngjarjet: A 1 – shfaqja e dy pikave, A 2 – shfaqja e pesë pikave;

b) test - hedhja e zarit; ngjarjet: A 1 – paraqitja e dy pikave, A 2 – shfaqja e një numri çift pikësh;

c) provë – dy të shtëna në objektiv; Ngjarjet: A 1 – humbja në goditjen e parë, A 2 – humbja në goditjen e dytë?

4. A formojnë ngjarjet një grup të plotë:

a) test - hedhja e një monedhe; ngjarjet: A 1 – pamja e stemës, A 2 – pamja e numrit;

b) provë – dy të shtëna në objektiv; ngjarjet: A 1 – pa goditje, A 2 – një goditje, A 3 – dy goditje?

5. Gjeni shumën e ngjarjeve:

b) test - hedhja e zarit; ngjarjet: A – paraqitja e një pike, B – shfaqja e dy pikave, C – shfaqja e tre pikave;

c) test - blerjen e biletave të lotarisë; ngjarjet: A - fitoni 10 rubla; B - fitoni 20 rubla; C - fitoni 25 rubla.

6. Gjeni produktin e ngjarjeve:

a) provë - dy të shtëna në një objektiv; ngjarjet: A – goditet nga gjuajtja e parë, B – goditja nga gjuajtja e dytë;

b) test - hedhja e zarit; ngjarjet: A – mosparaqitja e tre pikave, B – mosparaqitja e pesë pikëve, C – shfaqja e një numri tek pikët.

1. Një shkronjë zgjidhet rastësisht nga fjala NAUGAD. Sa është probabiliteti që të jetë shkronja A? Sa është probabiliteti që të jetë zanore?

2. Hidhni një zare. Sa është probabiliteti për të marrë numrin 4? Sa është probabiliteti për të marrë një numër më të madh se 4?

3. 250 pjesë i nënshtrohen kontrollit, nga të cilat 5 janë jo standarde. Sa është probabiliteti që një pjesë e marrë në mënyrë të rastësishme të jetë:

a) jo standarde;

b) standard?

4. Shkronjat O, K, T shkruhen në letra Kartat vendosen rastësisht në një rresht. Sa është probabiliteti i leximit të fjalës CAT?

5. Në secilën nga gjashtë letrat identike shkruhen shkronjat T, P, C, O, A, M. Sa është probabiliteti që fjala TROS të shfaqet?

6. Nga pesë letrat me shkronjat A, B, C, D, D, tre zgjidhen në mënyrë të rastësishme njëra pas tjetrës dhe vendosen në një rresht sipas radhës së paraqitjes. Sa është probabiliteti për të marrë fjalën DY?

7. Abonenti harroi dy shifrat e fundit të telefonit dhe, duke formuar numrin në mënyrë të rastësishme, kujtoi vetëm se ato ishin të ndryshme. Gjeni probabilitetin që të përzgjidhen numrat e duhur.

Zgjidheni problemin nëse harrohen tre shifrat e fundit.

8. Në urnë ka 3 topa të bardhë dhe 7 të zinj. Sa është probabiliteti që dy topa të tërhequr rastësisht të jenë të zeza?

9. Hidhen monedha bakri dhe argjendi. Sa është probabiliteti që të dyja monedhat të kenë një stemë?

10. Ka 15 pjesë në kuti, duke përfshirë 10 të lyera. Montuesi heq rastësisht tre pjesë. Gjeni probabilitetin që pjesët e nxjerra të lyhen.

11. Në magazinë ka 10 cisterna shpëlarëse, ndër të cilat 4 me nota plastike. Për fat u morën 2 tanke. Gjeni probabilitetin që të dy rezervuarët të kenë notues plastike.

12. Pajisja përbëhet nga pesë elementë, dy prej të cilëve janë të konsumuar. Kur ndizni pajisjen, dy elementë ndizen rastësisht. Gjeni probabilitetin që të përfshihen elementë të pangopur.

13. Pllakat e veshjes janë dorëzuar për veshjen e një objekti banimi. Ka 300 pllaka në kuti. Defektet e produktit janë 2%. Gjeni probabilitetin që tre pllakat e para të marra të mos jenë me të meta.

14. Gjashtë burra dhe katër gra punojnë në punishte. Shtatë persona u zgjodhën në mënyrë të rastësishme duke përdorur numrat e tyre të personelit. Gjeni probabilitetin që në mesin e personave të përzgjedhur të jenë tre gra.

15. Në magazinë ka 15 tuba fotografish, dhe 10 prej tyre janë prodhuar nga uzina Lvov. Gjeni probabilitetin që në mesin e pesë tubave fotografik të marrë rastësisht do të ketë tre tuba fotografish nga uzina Lvov.

16. Në grup janë 12 nxënës, mes të cilëve 8 ekselentë. Nga lista u zgjodhën në mënyrë të rastësishme 9 studentë. Gjeni probabilitetin që në mesin e nxënësve të përzgjedhur të ketë pesë nxënës të shkëlqyer.

17. Dhjetë libra vendosen rastësisht në një raft. Gjeni probabilitetin që tre libra të veçantë do të jenë afër.

18. Olya dhe Kolya ranë dakord të festonin Vitin e Ri në një shoqëri prej 10 personash. Të dy donin të uleshin pranë njëri-tjetrit në tryezën festive. Gjeni mundësinë që dëshira e tyre të plotësohet nëse është zakon që vendet të shpërndahen midis miqve duke hedhur short.

19. Ndër 20 bileta, 5 janë fituese. Gjeni probabilitetin që midis biletave të blera të ketë:

a) të tre fitojnë;

b) asnjë fitues i vetëm;

c) 2 fitues;

d) 1 fitues.

20. 5 persona ulen rastësisht në një stol me pesë vende. Sa është probabiliteti që 3 persona të caktuar të jenë afër?

21. Janë 5 mjeshtra sporti në një ekip prej 12 sportistësh. Me short zgjidhen nga ekipi 3 sportistë. Sa është probabiliteti që të gjithë të zgjedhurit të jenë mjeshtër sporti?

22. Ndër 17 nxënësit e grupit, 8 prej të cilëve vajza, janë hedhur 7 bileta. Sa është probabiliteti që mes mbajtësve të biletave të jenë 4 vajza?

23. Në një urnë ka 6 topa të bardhë dhe 4 të zinj. 5 topa janë tërhequr në mënyrë të rastësishme nga kjo urnë. Sa është probabiliteti që 2 prej tyre të jenë të bardhë dhe 3 të zinj?

24. Në një grup prej 60 produktesh, 5 janë me defekt. 6 produkte janë zgjedhur në mënyrë të rastësishme nga grupi. Përcaktoni probabilitetin që nga këto 6 produkte, 2 do të jenë me defekt.

25. Në short ka n bileta, nga të cilat m janë fituese. Një pjesëmarrës i lotarisë blen k bileta. Përcaktoni probabilitetin që të paktën një biletë të fitojë.

26. Ka r topa, të cilët shpërndahen rastësisht në n kuti. E njëjta kuti mund të përmbajë disa topa ose edhe të gjitha topat. Gjeni probabilitetin që saktësisht r 1 topa do të bien në kutinë e parë, r 2 topa në të dytën, etj., në kutinë e n-të r n topa.

27. Tre persona kanë hyrë në ashensorin e një pallati shtatëkatësh në katin e parë. Secili prej tyre ka të njëjtën probabilitet për të dalë në cilindo nga katet, duke filluar nga i dyti. Gjeni probabilitetin e ngjarjeve të mëposhtme:

A=(të gjithë pasagjerët do të zbresin në katin e katërt);

NË = (të gjithë pasagjerët do të zbresin në të njëjtën kohë në të njëjtin kat);

C=(të gjithë pasagjerët do të zbresin në kate të ndryshme).

28. Gjeni probabilitetin që ditëlindjet e 12 personave të bien në muaj të ndryshëm të vitit.

29. Në pikën C, pozicioni i së cilës në linjën telefonike AB me gjatësi Është po aq e mundur që të ketë ndodhur një ndërprerje. Përcaktoni probabilitetin që pika C të hiqet nga pika A në një distancë jo më të vogël se l.

30. Një pikë hidhet në një rreth me rreze R. Gjeni probabilitetin që ajo të bjerë brenda katrorit të brendashkruar në këtë rreth.

31. Fjala përbëhet nga letra, secila prej të cilave ka një shkronjë të shkruar në të. Kartat përzihen dhe hiqen një nga një pa u kthyer. Gjeni probabilitetin që kartat me shkronja të nxirren sipas renditjes së shkronjave të një fjale të caktuar: a) “ngjarje”; b) “statistika”.

32. Punimet e mbledhura me pesë vëllime renditen në raft në mënyrë të rastësishme. Sa është probabiliteti që librat të renditen nga e majta në të djathtë sipas renditjes së numrit të vëllimit (1 deri në 5)?

33. Ndër 25 nxënës, 15 prej të cilëve vajza, janë hedhur katër bileta dhe secila mund të fitojë vetëm një biletë. Sa është probabiliteti që mes mbajtësve të biletave të ketë: a) katër vajza; b) katër të rinj; c) tre djem dhe një vajzë?

34. Nga 20 bankat e kursimeve, 10 ndodhen jashtë qytetit. Për anketën u përzgjodhën në mënyrë të rastësishme 5 banka kursimi. Sa është probabiliteti që midis bankave të përzgjedhura të ketë brenda qytetit: a) 3 banka kursimi; b) të paktën një?

35. Nga një kuti që përmban 5 palë këpucë, nga të cilat tre palë janë për burra dhe dy palë janë gra, transferoni 2 palë këpucë në mënyrë të rastësishme në një kuti tjetër që përmban të njëjtin numër palë këpucë për gra dhe burra. Sa është probabiliteti që kutia e dytë pas kësaj të përmbajë të njëjtin numër palë këpucë për burra dhe gra?

36. Dyqani ka 30 televizorë, 20 prej të cilëve janë të importuar. Gjeni probabilitetin që midis 5 televizorëve të shitur gjatë ditës të ketë më shumë se 3 televizorë të importuar, duke supozuar se probabilitetet për të blerë televizorë të markave të ndryshme janë të njëjta.

37. Një numër telefoni i zgjedhur rastësisht përbëhet nga 5 shifra. Sa është probabiliteti që të gjithë numrat në të të jenë: a) të ndryshëm; b) e njëjta gjë; c) tek? Dihet që një numër telefoni nuk fillon me numrin zero.

38. Për garën 16 ekipe volejbolli ndahen me short në dy nëngrupe (tetë skuadra në secilin). Gjeni probabilitetin që dy skuadrat më të forta të përfundojnë: a) në nëngrupe të ndryshme; b) në një nëngrup.

39. Studenti di 20 nga 25 pyetjet e programit. Testi konsiderohet i kaluar nëse studenti përgjigjet të paktën tre nga 4 pyetjet e parashtruara në biletë. Duke i hedhur një sy pyetjes së parë në biletë, studenti zbuloi se e dinte. Sa është probabiliteti që nxënësi: a) ta kalojë testin; b) nuk do ta kalojë testin?

40. Një montues ka 10 pjesë që ndryshojnë pak nga njëra-tjetra, katër prej tyre janë të llojit të parë, dy janë të tipit të dytë, të tretë dhe të katërt. Sa është probabiliteti që midis gjashtë pjesëve të marra njëkohësisht, tre të jenë të llojit të parë, dy të të dytit dhe një të tretës?

41. Gjeni probabilitetin që nga dhjetë libra të renditur në mënyrë të rastësishme, 3 libra të veçantë do të jenë afër.

42. Në një lojë të lashtë me zare, për të fituar, ishte e nevojshme të merrej një shumë pikësh që kalonte 10 kur hidheshin tre zare. b) fitues.

43. Shoqëria ka të punësuar 8 auditorë, 3 prej të cilëve janë me kualifikim të lartë dhe 5 programues, nga të cilët 2 me kualifikim të lartë. Një grup prej 3 auditorëve dhe 2 programuesve duhet të dërgohen në një udhëtim pune. Sa është probabiliteti që ky grup të përmbajë të paktën 1 auditor shumë të kualifikuar dhe të paktën 1 programues shumë të kualifikuar nëse secili specialist ka mundësi të barabarta për të shkuar në një udhëtim pune?

44. Dy persona ranë dakord të takoheshin në një vend të caktuar midis orës 18 dhe 19 dhe ranë dakord që ai që vinte i pari të priste tjetrin për 15 minuta, pas së cilës ai do të largohej. Gjeni probabilitetin e takimit të tyre nëse ardhja e secilit gjatë orës së caktuar mund të ndodhë në çdo kohë dhe momentet e mbërritjes janë të pavarura.

45. Sa është probabiliteti që një pikë e hedhur rastësisht në një rreth të përfundojë brenda katrorit të gdhendur në të.

46. Me rastin e marrjes së një grupi produktesh, kontrollohet gjysma e produkteve. Kushti i pranimit është prania e defekteve në kampion prej më pak se 2%. Llogaritni probabilitetin që një grup prej 100 produkteve që përmbajnë 5% defekt do të pranohet.

	1/3, 1/2	19 b	91/228	33 a
	1/6, 1/3	19 in	5/38	33 b
	1/50, 49/50	19 g	35/76	33 in
	1/6		3/10	34 a
	1/360		1/22	34 b
	1/60		0,302
	1/90		0,2381
	7/15		0,049	37 a
	1/6			37 b
	24/91			37 in
	2/15	27 a	1/216	38 a
	0,3	27 b	1/36	38 b
		27 in	5/54	39 a
	½			39 b	0,099
	0,4
	14/55		.
	1/15	31 a	1/R 7=1/7!= =0,000198		a) 0,125; b) 0.5
	1/5	31 b	R 2 R 3 R 2 R 2/R 10=2!3!2!2!/10! = 0,0000132
19 a	1/114		1/R 5=1/5!= =,00833		0,4375