Specifikimi i një funksioni duke përdorur disa formula, shpjegim. Mënyra grafike për të specifikuar një funksion

një funksion është një korrespondencë midis elementeve të dy grupeve, e vendosur sipas rregullit që çdo element i një grupi shoqërohet me ndonjë element nga një grup tjetër.

grafiku i një funksioni është vendndodhja gjeometrike e pikave në rrafshin, abshisa e të cilit (x) dhe ordinata (y) lidhen me funksionin e specifikuar:

një pikë ndodhet (ose ndodhet) në grafikun e një funksioni nëse dhe vetëm nëse .

Kështu, funksioni mund të përshkruhet në mënyrë adekuate nga grafiku i tij.

Metoda tabelare. Një gjë mjaft e zakonshme është të specifikoni një tabelë të vlerave individuale të argumenteve dhe vlerave përkatëse të funksionit të tyre. Kjo metodë e përcaktimit të një funksioni përdoret kur fusha e përcaktimit të funksionit është një bashkësi e fundme diskrete.

Me metodën tabelare të specifikimit të një funksioni, është e mundur të llogariten përafërsisht vlerat e funksionit që nuk përmbahen në tabelë, që korrespondojnë me vlerat e ndërmjetme të argumentit. Për ta bërë këtë, përdorni metodën e interpolimit.

Përparësitë e metodës tabelare të specifikimit të një funksioni janë se bën të mundur përcaktimin e vlerave të caktuara specifike menjëherë, pa matje ose llogaritje shtesë. Sidoqoftë, në disa raste, tabela nuk e përcakton plotësisht funksionin, por vetëm për disa vlera të argumentit dhe nuk jep një imazh të qartë të natyrës së ndryshimit në funksion në varësi të ndryshimit të argumentit.

Metoda grafike. Grafiku i funksionit y = f(x) është bashkësia e të gjitha pikave në rrafsh, koordinatat e të cilave plotësojnë ekuacionin e dhënë.

Metoda grafike e specifikimit të një funksioni jo gjithmonë bën të mundur përcaktimin e saktë të vlerave numerike të argumentit. Megjithatë, ajo ka një avantazh të madh mbi metodat e tjera - dukshmërinë. Në inxhinieri dhe fizikë, shpesh përdoret një metodë grafike e specifikimit të një funksioni, dhe një grafik është e vetmja mënyrë e disponueshme për këtë.

Në mënyrë që caktimi grafik i një funksioni të jetë plotësisht i saktë nga pikëpamja matematikore, është e nevojshme të tregohet modeli i saktë gjeometrik i grafikut, i cili, më së shpeshti, përcaktohet nga një ekuacion. Kjo çon në mënyrën e mëposhtme të specifikimit të një funksioni.

Metoda analitike. Më shpesh, ligji që vendos lidhjen midis një argumenti dhe një funksioni përcaktohet përmes formulave. Kjo metodë e specifikimit të një funksioni quhet analitike.

Kjo metodë bën të mundur që çdo vlerë numerike e argumentit x të gjejë saktësisht ose me njëfarë saktësi vlerën numerike përkatëse të funksionit y.

Nëse marrëdhënia midis x dhe y jepet me një formulë të zgjidhur në lidhje me y, d.m.th. ka formën y = f(x), atëherë themi se funksioni i x është dhënë në mënyrë eksplicite.

Nëse vlerat x dhe y lidhen me ndonjë ekuacion të formës F(x,y) = 0, d.m.th. formula nuk zgjidhet në lidhje me y, që do të thotë se funksioni y = f(x) është dhënë në mënyrë implicite.

Një funksion mund të përcaktohet me formula të ndryshme në pjesë të ndryshme të domenit të tij.

Metoda analitike është mënyra më e zakonshme e specifikimit të funksioneve. Kompaktësia, konciziteti, aftësia për të llogaritur vlerën e një funksioni për një vlerë arbitrare të një argumenti nga fusha e përkufizimit, aftësia për të aplikuar aparatin e analizës matematikore në një funksion të caktuar janë avantazhet kryesore të metodës analitike të specifikimit të një funksionin. Disavantazhet përfshijnë mungesën e dukshmërisë, e cila kompensohet nga aftësia për të ndërtuar një grafik dhe nevoja për të kryer llogaritje ndonjëherë shumë të rënda.

Metoda verbale. Kjo metodë konsiston në shprehjen e varësisë funksionale me fjalë.

Shembulli 1: funksioni E(x) është pjesa e plotë e x. Në përgjithësi, E(x) = [x] tregon numrin e plotë më të madh që nuk e kalon x. Me fjalë të tjera, nëse x = r + q, ku r është një numër i plotë (mund të jetë negativ) dhe q i përket intervalit = r. Funksioni E(x) = [x] është konstant në intervalin = r.

Shembulli 2: funksioni y = (x) është pjesa thyesore e një numri. Më saktësisht, y =(x) = x - [x], ku [x] është pjesa e plotë e numrit x. Ky funksion është përcaktuar për të gjitha x. Nëse x është një numër arbitrar, atëherë përfaqësojeni atë si x = r + q (r = [x]), ku r është një numër i plotë dhe q qëndron në intervalin .
Shohim se shtimi i n në argumentin x nuk e ndryshon vlerën e funksionit.
Numri më i vogël jozero në n është , kështu që periudha është sin 2x .

Vlera e argumentit në të cilën funksioni është i barabartë me 0 thirret zero (rrënjë) funksionet.

Një funksion mund të ketë zero të shumta.

Për shembull, funksioni y = x (x + 1) (x-3) ka tre zero: x = 0, x = - 1, x =3.

Gjeometrikisht, zeroja e një funksioni është abshisa e pikës së prerjes së grafikut të funksionit me boshtin X .

Figura 7 tregon një grafik të një funksioni me zero: x = a, x = b dhe x = c.

Nëse grafiku i një funksioni i afrohet një vijë të caktuar për një kohë të pacaktuar ndërsa largohet nga origjina, atëherë kjo vijë quhet asimptotë.

Funksioni i anasjelltë

Le të jepet një funksion y=ƒ(x) me një domen të përkufizimit D dhe një grup vlerash Nëse secila vlerë yєE korrespondon me një vlerë të vetme xєD, atëherë funksioni x=φ(y) përcaktohet me një. domeni i përkufizimit E dhe një grup vlerash D (shih Fig. 102).

Një funksion i tillë φ(y) quhet inversi i funksionit ƒ(x) dhe shkruhet në këtë formë: x=j(y)=f -1 (y) Funksionet y=ƒ(x) dhe x =φ(y) thuhet se janë reciprokisht të anasjellta. Për të gjetur funksionin x=φ(y), të anasjelltë me funksionin y=ƒ (x), mjafton të zgjidhet ekuacioni ƒ(x)=y për x (nëse është e mundur).

1. Për funksionin y=2x funksioni i anasjelltë është funksioni x=y/2;

2. Për funksionin y=x2 xє funksioni i anasjelltë është x=√y; vini re se për funksionin y=x 2 të përcaktuar në segmentin [-1; 1], e kundërta nuk ekziston, pasi një vlerë e y korrespondon me dy vlera të x (pra, nëse y = 1/4, atëherë x1 = 1/2, x2 = -1/2).

Nga përkufizimi i një funksioni të anasjelltë rezulton se funksioni y=ƒ(x) ka një të anasjelltë nëse dhe vetëm nëse funksioni ƒ(x) specifikon një korrespondencë një-për-një midis bashkësive D dhe E. Rezulton se çdo Funksioni rreptësisht monoton ka një të anasjelltë. Për më tepër, nëse një funksion rritet (zvogëlohet), atëherë funksioni i anasjelltë gjithashtu rritet (zvogëlohet).

Vini re se funksioni y=ƒ(x) dhe inversi i tij x=φ(y) përshkruhen nga e njëjta kurbë, d.m.th. grafikët e tyre përkojnë. Nëse biem dakord që, si zakonisht, ndryshorja e pavarur (d.m.th. argumenti) të shënohet me x, dhe ndryshorja e varur me y, atëherë funksioni i anasjelltë i funksionit y=ƒ(x) do të shkruhet në formën y=φ( x).

Kjo do të thotë se pika M 1 (x o;y o) e lakores y=ƒ(x) bëhet pika M 2 (y o;x o) e lakores y=φ(x). Por pikat M 1 dhe M 2 janë simetrike në lidhje me drejtëzën y=x (shih Fig. 103). Prandaj, grafikët e funksioneve reciprokisht të anasjellta y=ƒ(x) dhe y=φ(x) janë simetrikë në lidhje me përgjysmuesin e këndit të koordinatës së parë dhe të tretë.

Funksion kompleks

Le të përcaktohet funksioni y=ƒ(u) në bashkësinë D, dhe funksioni u= φ(x) në bashkësinë D 1, dhe për  x D 1 vlera përkatëse u=φ(x) є D. Pastaj në bashkësinë D 1 funksion u=ƒ(φ(x)), i cili quhet funksion kompleks i x (ose mbivendosje e funksioneve të dhëna, ose funksion i një funksioni).

Ndryshorja u=φ(x) quhet argument i ndërmjetëm i një funksioni kompleks.

Për shembull, funksioni y=sin2x është një mbivendosje e dy funksioneve y=sinu dhe u=2x. Një funksion kompleks mund të ketë disa argumente të ndërmjetme.

4. Funksionet elementare bazë dhe grafikët e tyre.

Funksionet e mëposhtme quhen funksionet kryesore elementare.

1) Funksioni eksponencial y=a x,a>0, a ≠ 1. Në Fig. 104 tregon grafikët e funksioneve eksponenciale që korrespondojnë me baza të ndryshme fuqie.

2) Funksioni i fuqisë y=x α, αєR. Shembuj të grafikëve të funksioneve të fuqisë që korrespondojnë me eksponentë të ndryshëm janë dhënë në figura

3) Funksioni logaritmik y=log a x, a>0,a≠1 Grafikët e funksioneve logaritmike që korrespondojnë me baza të ndryshme janë paraqitur në Fig. 106.

4) Funksionet trigonometrike y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Grafikët e funksioneve trigonometrike kanë formën e treguar në Fig. 107.

5) Funksionet trigonometrike të anasjellta y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. Në Fig. 108 tregon grafikët e funksioneve trigonometrike të anasjellta.

Funksioni i përcaktuar nga një formulë e vetme, i përbërë nga funksione dhe konstante elementare bazë, duke përdorur një numër të kufizuar veprimesh aritmetike (mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim) dhe operacione të marrjes së një funksioni nga një funksion, quhet funksion elementar.

Shembuj të funksioneve elementare janë funksionet

Shembuj të funksioneve jo elementare janë funksionet

5. Konceptet e kufirit të sekuencës dhe funksionit. Vetitë e limiteve.

Kufiri i funksionit (vlera kufi e funksionit) në një pikë të caktuar, duke kufizuar domenin e përkufizimit të një funksioni, është vlera drejt së cilës priret vlera e funksionit në shqyrtim ndërsa argumenti i tij priret në një pikë të caktuar.

Në matematikë kufiri i sekuencës elementet e një hapësire metrike ose hapësirë topologjike janë një element i së njëjtës hapësirë që ka vetinë e "tërheqjes" së elementeve të një sekuence të caktuar. Kufiri i një sekuence elementesh të një hapësire topologjike është një pikë e tillë që çdo lagje e saj përmban të gjithë elementët e sekuencës, duke filluar nga një numër i caktuar. Në një hapësirë metrike, lagjet përcaktohen përmes funksionit të distancës, kështu që koncepti i një kufiri formulohet në gjuhën e distancave. Historikisht, i pari ishte koncepti i kufirit të një sekuence numerike, i cili lind në analizën matematikore, ku shërben si bazë për një sistem përafrimesh dhe përdoret gjerësisht në ndërtimin e llogaritjeve diferenciale dhe integrale.

Përcaktimi:

(lexon: kufiri i sekuencës x-n-të ndërsa en tenton në pafundësi është i barabartë me a)

Vetia e një sekuence që ka një kufi quhet konvergjencës: nëse një sekuencë ka një kufi, atëherë thuhet se kjo sekuencë konvergon; përndryshe (nëse sekuenca nuk ka kufi) sekuenca thuhet se është divergjent. Në një hapësirë Hausdorff dhe, në veçanti, në një hapësirë metrike, çdo nënsekuencë e një sekuence konvergjente konvergjon dhe kufiri i saj përkon me kufirin e sekuencës origjinale. Me fjalë të tjera, një sekuencë elementësh të një hapësire Hausdorff nuk mund të ketë dy kufij të ndryshëm. Sidoqoftë, mund të rezultojë që sekuenca nuk ka kufi, por ka një nënsekuencë (të sekuencës së dhënë) që ka një kufi. Nëse një nënsekuencë konvergjente mund të identifikohet nga çdo sekuencë pikash në një hapësirë, atëherë hapësira e dhënë thuhet se ka vetinë e kompaktësisë sekuenciale (ose, thjesht, kompaktësisë, nëse kompaktësia përcaktohet ekskluzivisht në terma sekuencash).

Koncepti i një kufiri të një sekuence lidhet drejtpërdrejt me konceptin e një pike kufi (bashkësi): nëse një grup ka një pikë kufi, atëherë ekziston një sekuencë e elementeve të këtij grupi që konvergojnë në këtë pikë.

Përkufizimi

Le të jepet një hapësirë topologjike dhe një sekuencë Pastaj, nëse ekziston një element i tillë

ku është një grup i hapur që përmban , atëherë quhet kufiri i sekuencës. Nëse hapësira është metrike, atëherë kufiri mund të përcaktohet duke përdorur metrikën: nëse ekziston një element i tillë që

ku është metrika, quhet kufi.

· Nëse hapësira është e pajisur me një topologji antidiskrete, atëherë kufiri i çdo sekuence do të jetë çdo element i hapësirës.

6. Kufiri i një funksioni në një pikë. Kufijtë e njëanshëm.

Funksioni i një ndryshoreje. Përcaktimi i kufirit të një funksioni në një pikë sipas Cauchy. Numri b quhet kufiri i funksionit në = f(x) në X, duke u përpjekur për A(ose në pikën A), nëse për çdo numër pozitiv  ka një numër pozitiv  i tillë që për të gjithë x ≠ a, i tillë që | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | <  .

Përcaktimi i kufirit të një funksioni në një pikë sipas Heine. Numri b quhet kufiri i funksionit në = f(x) në X, duke u përpjekur për A(ose në pikën A), nëse për ndonjë sekuencë ( x n), duke konverguar në A(duke synuar për A, duke pasur një numër limit A), dhe me çdo vlerë n x n ≠ A, pasues ( y n= f(x n)) konvergjon në b.

Këto përkufizime supozojnë se funksioni në = f(x) përcaktohet në ndonjë lagje të pikës A, përveç, ndoshta, vetë pikës A.

Përkufizimet e Cauchy dhe Heine të kufirit të një funksioni në një pikë janë ekuivalente: nëse numri b shërben si kufi për njërën prej tyre, atëherë kjo vlen edhe për të dytën.

Kufiri i specifikuar tregohet si më poshtë:

Gjeometrikisht, ekzistenca e një kufiri të një funksioni në një pikë sipas Cauchy do të thotë se për çdo numër > 0 është e mundur të tregohet në planin koordinativ një drejtkëndësh i tillë me bazë 2 > 0, lartësi 2 dhe qendër në pikë. ( A; b) që të gjitha pikat e grafikut të një funksioni të caktuar në intervalin ( A– ; A+ ), me përjashtim të mundshëm të pikës M(A; f(A)), shtrihuni në këtë drejtkëndësh

Kufiri i njëanshëm në analizën matematikore, kufiri i një funksioni numerik, që nënkupton “afrimin” e pikës kufitare në njërën anë. Kufijtë e tillë thirren në përputhje me rrethanat kufiri i dorës së majtë(ose kufi në të majtë) Dhe kufiri i dorës së djathtë (kufi në të djathtë). Le të jepet një funksion numerik në një grup të caktuar numerik dhe numri të jetë pika kufitare e fushës së përkufizimit. Ekzistojnë përkufizime të ndryshme për kufijtë e njëanshëm të një funksioni në një pikë, por ato janë të gjitha ekuivalente.

Koncepti i një funksioni Metodat e specifikimit të një funksioni Shembuj të funksioneve Përkufizimi analitik i një funksioni Metoda grafike e specifikimit të një funksioni Limiti i një funksioni në një pikë Metoda tabelare e specifikimit të një teoreme funksioni mbi kufijtë Unike e një kufiri të kufizuar të një funksioni që ka një kufi kalimi në një kufi në një pabarazi Limiti i një funksioni në pafundësi

Koncepti i një funksioni është themelor dhe fillestar, siç është koncepti i një grupi. Le të jetë X një grup numrash realë x. Nëse çdo x € X, sipas ndonjë ligji, shoqërohet me një numër të caktuar real y, atëherë ata thonë se një funksion është dhënë në bashkësinë X dhe shkruajnë funksionin e paraqitur në këtë mënyrë. Në këtë rast, bashkësia X quhet domeni i përcaktimit të funksionit, dhe ndryshorja e pavarur x quhet argument. Për të treguar një funksion, ndonjëherë ata përdorin vetëm simbolin që tregon ligjin e korrespondencës, d.m.th., në vend të f(x) n dhe jester thjesht /. Kështu, një funksion specifikohet nëse 1) specifikohet domeni i përkufizimit 2) rregulli /, i cili i cakton secilës vlerë a: € X një numër të caktuar y = /(x) - vlera e funksionit që i përgjigjet kësaj vlere të argumenti x. Funksionet / dhe g quhen të barabartë nëse domenet e tyre përkojnë dhe barazia f(x) = g(x) është e vërtetë për çdo vlerë të argumentit x nga domeni i tyre i përbashkët i përkufizimit. Kështu, funksionet y, nuk janë të barabartë; ato janë të barabarta vetëm në intervalin [O, I]. Shembuj funksionesh. 1. Sekuenca (o„) është funksion i një argumenti numër të plotë, i përcaktuar në bashkësinë e numrave natyrorë, i tillë që /(n) = an (n = 1,2,...). 2. Funksioni y = n? (lexo "en-factorial"). Jepet në bashkësinë e numrave natyrorë: çdo numër natyror n shoqërohet me prodhimin e të gjithë numrave natyrorë nga 1 deri në n përfshirëse: dhe sipas konventës supozojmë 0! = 1. Shenja e emërtimit vjen nga fjala latine signum - shenjë. Ky funksion përcaktohet në të gjithë rreshtin numerik; grupi i tij i vlerave përbëhet nga tre numra -1,0, I (Fig. 1). Për një funksion, domeni i përkufizimit është segmenti Për funksionin y - sin x, domeni i përkufizimit është i gjithë boshti numerik. Vini re se jo çdo formulë përcakton një funksion. Për shembull, formula nuk përcakton asnjë funksion, pasi nuk ka asnjë vlerë të vetme reale të x për të cilën të dyja rrënjët e shkruara më sipër do të kishin vlera reale. Detyra analitike e një funksioni mund të duket mjaft e ndërlikuar. Në veçanti, një funksion mund të përcaktohet me formula të ndryshme në pjesë të ndryshme të domenit të tij të përkufizimit. Për shembull, një funksion mund të përcaktohet si ky: 1.2. Metoda grafike e specifikimit të një funksioni Një funksion y = f(x) thuhet se specifikohet grafikisht nëse jepet grafiku i tij, d.m.th. një grup pikash (xy/(x)) në rrafshin xOy, abshisat e të cilave i përkasin fushës së përcaktimit të funksionit dhe ordinatat janë të barabarta me vlerat përkatëse të funksionit (Fig. 4). Jo për çdo funksion grafiku i tij mund të përshkruhet në një figurë. Për shembull, funksioni Dirichlet nëse x është racional, nëse x është irracional, ZX \o, nuk e lejon një imazh të tillë. Funksioni R(x) specifikohet në të gjithë rreshtin numerik, dhe grupi i vlerave të tij përbëhet nga dy numra 0 dhe 1. 1.3. Metoda tabelare e specifikimit të një funksioni Një funksion quhet tabelor nëse ofrohet një tabelë në të cilën tregohen vlerat numerike të funksionit për disa vlera të argumentit. Kur specifikoni një funksion në një tabelë, domeni i përkufizimit të tij përbëhet vetëm nga vlerat x\t x2i..., xn të listuara në tabelë. §2. Kufiri i një funksioni në një pikë Koncepti i kufirit të një funksioni është thelbësor për analizën matematikore. Le të përcaktohet funksioni f(x) në një fqinjësi Q të pikës xq, përveç, ndoshta, në pikën e ripërcaktimit (Cauchy). Një numër A quhet kufi i funksionit f(x) në pikën xo nëse për çdo numër e > 0, i cili mund të jetë arbitrarisht i vogël, ekziston një numër<5 > 0, e tillë që për të gjitha iGH.i^ x0 që plotësojnë kushtin pabarazia është e vërtetë Koncepti i një funksioni Metodat e specifikimit të një funksioni Shembuj të funksioneve Vendosja analitike e një funksioni Metoda grafike e specifikimit të një funksioni Limiti i një funksioni në një pikë Metoda tabelare i specifikimit të një teoreme funksioni mbi uniken e një kufiri të kufirit të një funksioni që ka një kufi kalimi në kufirin e pabarazisë Limiti i një funksioni në pafundësi Funksionet infinitimale Vetitë e funksioneve infinite vogël Shënim: Duke përdorur simbolet logjike, ky përkufizim shprehet si më poshtë Shembujt . 1. Duke përdorur përkufizimin e kufirit të një funksioni në një pikë, tregoni se Funksioni është përcaktuar kudo, duke përfshirë pikën zo = 1: /(1) = 5. Merrni ndonjë. Në mënyrë për pabarazinë |(2x + 3) - 5| ka ndodhur, pabarazitë e mëposhtme duhet të plotësohen. Prandaj, nëse marrim, kemi. Kjo do të thotë se numri 5 është kufiri i funksionit: në pikën 2. Duke përdorur përkufizimin e kufirit të një funksioni, tregoni se Funksioni nuk është i përcaktuar në pikën xo = 2. Konsideroni /(x) në një lagje të pika Xq = 2, për shembull, në intervalin ( 1, 5), që nuk përmban pikën x = 0, në të cilën funksioni /(x) është gjithashtu i papërcaktuar. Le të marrim një numër arbitrar me > 0 dhe të transformojmë shprehjen |/(x) - 2| për x φ 2 si më poshtë Për x b (1, 5) është e qartë se nëse marrim 6 = c, atëherë për të gjithë x € (1.5) pabarazia do të jetë e vërtetë numri A - 2 është kufiri i një funksioni të caktuar në një pikë Le të japim një shpjegim gjeometrik të konceptit të kufirit të një funksioni në një pikë duke iu referuar grafikut të tij (Fig. 5). Për x, vlerat e funksionit /(x) përcaktohen nga ordinatat e pikave të kurbës M\M, dhe për x > xo - nga ordinatat e pikave të kurbës MM2. Vlera /(x0) përcaktohet nga ordinata e pikës N. Grafiku i këtij funksioni fitohet nëse marrim një kurbë “të mirë” M\MMg dhe zëvendësojmë pikën M(x0, A) në kurbë me pikën jV. Le të tregojmë se në pikën xo funksioni f(x) ka një kufi të barabartë me numrin A (ordinata e pikës M). Merret çdo numër (sa të jetë i vogël) e > 0. Shënoni në boshtin Oy pikat me ordinatat A, A - e, A + e Të shënojmë me P dhe Q pikat e prerjes së grafikut të funksionit y = /(x) me drejtëzat y = A- epy = A + e Le të jenë përkatësisht abshisat e këtyre pikave x0 - Al x0 + hi (ht > 0, /12 > 0). Nga figura shihet qartë se për çdo x Ф x0 nga intervali (x0 - h\, x0 + hi) vlera e funksionit /(x) përmbahet ndërmjet. Për të gjitha x ^ xo që plotësojnë kushtin, pabarazia është e vërtetë Ne vendosim Pastaj intervali do të përmbahet në interval dhe, për rrjedhojë, pabarazia ose, e cila është e njëjtë, do të plotësohet për të gjitha x që plotësojnë kushtin Kështu, funksioni y = /(x) ka një kufi A në pikën x0 nëse, sado i ngushtë të jetë shiriti e ndërmjet drejtëzave y = A - eny = A + e, ekziston një "5 > 0 i tillë që për të gjitha x nga fqinjësia e shpuar e pikës x0 pikat e grafikut të funksionit y = /(x) gjenden brenda e-shiritit të specifikuar. Vërejtje 1. Vlera e b varet nga e: 6 = 6(e). Vërejtje 2. Në përcaktimin e kufirit të një funksioni në pikën Xq, vetë pika xo përjashtohet nga shqyrtimi. Kështu, vlera e funksionit në pikën Ho ns ndikon në kufirin e funksionit në këtë pikë. Për më tepër, funksioni mund të mos përcaktohet as në pikën Xq. Prandaj, dy funksione që janë të barabarta në fqinjësinë e pikës Xq, duke përjashtuar, ndoshta, vetë pikën xo (në të cilën mund të kenë vlera të ndryshme, njëra prej tyre ose të dyja së bashku mund të mos jenë të përcaktuara), kanë të njëjtin kufi për x. - Xq ose të dyja nuk kanë kufi. Nga këtu, në veçanti, rrjedh se për të gjetur kufirin e një thyese në pikën xo, është e ligjshme që kjo thyesë të zvogëlohet në shprehje të barabarta që zhduken në x = Xq. Shembulli 1. Gjeni Funksioni /(x) = j për të gjitha x Ф 0 është i barabartë me një, por në pikën x = 0 nuk është i përcaktuar. Duke zëvendësuar /(x) me funksionin d(x) = 1 të barabartë me të në x 0, marrim konceptin e një funksioni Metodat e specifikimit të një funksioni Shembuj të funksioneve Vendosja analitike e një funksioni Metoda grafike e specifikimit të një funksioni Kufiri i një funksion në një pikë Metoda tabelare e specifikimit të një teoreme funksioni mbi kufijtë unike e një kufiri kufiri i një funksioni, që ka një kufi, kalimi në kufirin në pabarazinë Limiti i një funksioni në pafundësi Funksionet infinitimale Vetitë e funksioneve infinitimale Shembulli 2 Gjeni lim /(x), ku Funksioni përkon me funksionin /(x) kudo, duke përjashtuar pikën x = 0, dhe ka në pikën x = 0 kufi të barabartë me zero: lim d(x) = 0 (tregoni atë! ). Prandaj lim /(x) = 0. Problem. Formuloni duke përdorur pabarazitë (në gjuhën e -6), që do të thotë Le të përcaktohet funksioni /(i) në një fqinjësi Π të pikës x0, përveç, ndoshta, vetë pikës x0. Përkufizimi (Heine). Numri A quhet kufiri i funksionit /(x) në pikën x0 nëse për çdo sekuencë (xn) vlerash të argumentit x 6 P, z„ / x0) që konvergojnë në pikën x0, sekuenca përkatëse i vlerave të funksionit (f(x„)) konvergjon në numrin A. Përkufizimi i mësipërm është i përshtatshëm për t'u përdorur kur është e nevojshme të përcaktohet se funksioni /(x) nuk ka kufi në pikën x0. Për ta bërë këtë, mjafton të gjejmë një sekuencë (f(xn)) që nuk ka kufi, ose të tregojmë dy sekuenca (f(xn)) dhe (f(xn)) që kanë kufij të ndryshëm , që funksioni ii /(x) = sin j (Fig. 7), i përcaktuar KUDO, me përjashtim të PIKËS X = O, Fig. 7 nuk ka kufi në pikën x = 0. Konsideroni dy sekuenca (konverguese në pikën x = 0. Vlerat përkatëse të sekuencave të funksionit /(x) konvergojnë në kufij të ndryshëm: sekuenca (sinnTr) konvergon në zero, dhe sekuenca (sin(5 + - në një. Kjo do të thotë se funksioni /(x) = sin j në pikën x = 0 nuk ka kufi. Komentoni. Të dy përkufizimet e kufirit të një funksioni në një pikë (përkufizimi i Cauchy dhe përkufizimi i Heine) janë ekuivalent. §3. Teorema rreth kufijve Teorema 1 (unike e kufirit). Nëse funksioni f(x) ka një kufi në pikën xo, atëherë ky kufi është unik. A Le të lim /(x) = A. Le të tregojmë se asnjë numër B φ A nuk mund të jetë kufiri x-x0 i funksionit /(x) në pikën x0. Fakti që lim /(x) φ Duke përdorur simbolet logjike XO formulohet si më poshtë: Duke përdorur pabarazinë që marrim, marrim e = > 0. Meqenëse lim /(x) = A, për e-në e zgjedhur > 0 ka 6 > 0 e tillë që nga relacioni (1) për vlerat e treguara të x kemi Kështu, është gjetur se sado të vogla të jenë x Φ xQ të tilla që dhe në të njëjtën kohë ^ e Përkufizimi. Një funksion /(x) thuhet se është i kufizuar në një fqinjësi të pikës x0> nëse ka numra M > 0 dhe 6 > 0 të tillë që Teorema 2 (kufizueshmëria e një funksioni që ka një kufi). Nëse një funksion f(x) është përcaktuar në një fqinjësi të një pike x0 dhe ka një kufi të fundëm në pikën x0, atëherë ai është i kufizuar në një fqinjësi të caktuar të kësaj pike. m Le të atëherë për çdo, për shembull, për e = 1, ka 6 > O të tillë që për të gjitha x Ф x0 që plotësojnë kushtin, pabarazia do të jetë e vërtetë. Atëherë në çdo pikë x të intervalit do të kemi Kjo do të thotë, sipas përkufizimit, se funksioni /(x) është i kufizuar në një lagje të pika x0, ekzistenca e një kufiri të funksionit /(x) në pikën x0 nuk pason. Për shembull, funksioni /(x) = sin është i kufizuar në afërsi të një pike, por nuk ka kufi në pikën x = 0. Le të formulojmë edhe dy teorema të tjera, kuptimi gjeometrik i të cilave është mjaft i qartë. Teorema 3 (kalimi në kufirin në pabarazi). Nëse /(x) ^ ip(x) për të gjitha x nga një fqinjësi e pikës x0, përveç, ndoshta, vetë pikës x0, dhe secili nga funksionet /(x) dhe ip(x) në pikën x0 ka një kufi, pastaj vini re se një pabarazi strikte për funksionet nuk nënkupton domosdoshmërisht një pabarazi strikte për kufijtë e tyre. Nëse ekzistojnë këto kufij, atëherë mund të pohojmë vetëm se Pra, për shembull, pabarazia while është e kënaqur për teoremën 4 (kufiri i një funksioni të ndërmjetëm). Nëse për të gjitha x në një fqinjësi të pikës Xq, përveç, ndoshta, vetë pikës x0 (Fig. 9), dhe funksionet f(x) dhe ip(x) në pikën xo kanë të njëjtin kufi A, atëherë funksioni f (x) në pikën x0 ka një kufi të barabartë me të njëjtën vlerë A. § 4 Limiti i një funksioni në pafundësi Le të përcaktohet funksioni /(x) ose në të gjithë vijën numerike, ose të paktën për. të gjitha x plotësojnë kushtin jx| > K për disa K > 0. Përkufizimi. Numri A quhet kufi i funksionit f(x) pasi x tenton në pafundësi dhe shkruhet nëse për çdo e > 0 ka një numër jV > 0 të tillë që për të gjithë x që plotësojnë kushtin |x| > lg, pabarazia është e vërtetë, duke zëvendësuar kushtin në këtë përkufizim, nga këto përkufizime rezulton se nëse dhe vetëm në të njëjtën kohë, ky fakt gjeometrikisht nënkupton sa vijon: sado i ngushtë të jetë shiriti elektronik midis të drejtës. vijat y = A-eyu = A + e, ekziston një drejtëz x = N >0 e tillë që në të djathtë grafiku i funksionit y = /(x) është tërësisht i përfshirë në e-shiritin e treguar (Fig. 10 ). Në këtë rast thonë se në x +oo grafiku i funksionit y = /(x) i afrohet asimptotikisht drejtëzës y = A. Shembull, funksioni /(x) = jtjj- është përcaktuar në të gjithë drejtëzën numerike dhe është një thyesë në të cilën numëruesi është konstant, dhe emëruesi rritet pa kufi si |x| +oo. Është e natyrshme të pritet që lim /(x)=0. Le ta tregojmë. M Le të marrim çdo e > 0, duke iu nënshtruar kushtit Që lidhja të ndodhë, pabarazia me ose, e cila është e njëjtë, prej nga Kështu, duhet të plotësohet. po ta marrim do ta kemi. Kjo do të thotë se numri është kufiri i një funksioni të dhënë në Vini re se shprehja radikale është vetëm për t ^ 1. Në rastin kur pabarazia c plotësohet automatikisht për të gjitha Grafiku i një funksioni çift y = - në mënyrë asimptotike i afrohet drejtës Problemi i linjës. Formuloni duke përdorur pabarazi se çfarë do të thotë §5. Funksionet infiniteminale Le të përcaktohet funksioni a(x) në ndonjë fqinjësi të pikës xo, me përjashtim, ndoshta, vetë pikës x0. Përkufizimi. Funksioni a(x) quhet funksion infinitimal (shkurtuar si funksion infinit i vogël) me x tenton në xo nëse Koncepti i një funksioni Metodat e specifikimit të një funksioni Shembuj të funksioneve Përkufizimi analitik i një funksioni Metoda grafike e specifikimit të një funksioni Kufiri i një funksioni në një pikë Metoda tabelare e specifikimit të një teoreme funksioni o kufizon veçantinë e kufirit kufirin e një funksioni që ka një kalim kufitar në kufirin në pabarazi Kufiri i një funksioni në pafundësi Funksionet infinitimale Vetitë e funksioneve infinitimale Për shembull, funksioni a(x) = x - 1 është b. m.f. në x 1, pasi lim(x-l) = 0. Grafiku i funksionit y = x-1 1-1 është paraqitur në Fig. II. Në përgjithësi, funksioni a(x) = x-x0 është shembulli më i thjeshtë i b. m.f. në x-»ho. Duke marrë parasysh përcaktimin e kufirit të një funksioni në një pikë, përkufizimi b. m.f. mund të formulohet kështu. Funksioni a(x) quhet infinitimal për x -» oo, nëse atëherë funksioni a(x) quhet infinitimal, përkatësisht, për ose për shembull, funksioni është infinit i vogël për x -» oo, pasi lim j = 0 Funksioni a(x) = e~x është një funksion pafundësisht i vogël për x -* +oo, pasi në atë që vijon, ne, si rregull, do t'i konsiderojmë të gjitha konceptet dhe teoremat që lidhen me kufijtë e funksioneve vetëm në lidhje me. rasti i kufirit të një funksioni në një pikë, duke i lënë lexuesit të formulojë vetë konceptet përkatëse dhe të provojë teorema të ngjashme të ditës në rastet kur Vetitë e funksioneve infiniteminale Teorema 5. Nëse a(x) dhe P(x) - b. m.f. për x -* xo, atëherë shuma e tyre a(x) + P(x) është gjithashtu b.m. f. për x -» xo. 4 Merrni çdo e > 0. Meqenëse a(x) është b.m.f. për x -* xo, atëherë ekziston “51 > 0 i tillë që për të gjithë x Φ xo që plotëson kushtin pabarazia është e vërtetë Nga kushti P(x) gjithashtu b.m.f. për x xo, pra ekziston i tillë që për të gjithë x Φ xo që plotëson kushtin, pabarazia është e vërtetë Set 6 = min(«5j, 62). Atëherë për të gjithë x Ф xo që plotësojnë kushtin, pabarazitë (1) dhe (2) do të jenë njëkohësisht të vërteta. Prandaj Kjo do të thotë se shuma a(x) +/3(x) është b.m.f. në x xq.

Nëse marrëdhënia midis x dhe y jepet me një formulë të zgjidhur në lidhje me y, d.m.th. ka trajtën y = f(x), atëherë thonë se funksioni i x është dhënë shprehimisht p.sh. Nëse vlerat e x dhe y lidhen me ndonjë ekuacion të formës F(x,y) = 0, d.m.th. formula nuk zgjidhet në lidhje me y, atëherë funksioni thuhet se është specifikuar në mënyrë implicite. Për shembull,. Vini re se jo çdo funksion i nënkuptuar mund të përfaqësohet në formën y =f(x), përkundrazi, çdo funksion i qartë mund të përfaqësohet gjithmonë në formën e një funksioni të nënkuptuar;
. Një lloj tjetër specifikimi analitik i një funksioni është parametrik, kur argumenti x dhe funksioni y janë funksione të një sasie të tretë - parametri t:
, Ku
, T - një interval. Kjo metodë përdoret gjerësisht në mekanikë dhe gjeometri.

Metoda analitike është mënyra më e zakonshme për të përcaktuar një funksion. Kompaktësia, aftësia për të aplikuar analizën matematikore në një funksion të caktuar dhe aftësia për të llogaritur vlerat e funksionit për çdo vlerë argumenti janë avantazhet e saj kryesore.

4. Metoda verbale. Kjo metodë konsiston në shprehjen e varësisë funksionale me fjalë. Për shembull, funksioni E(x) është pjesa e plotë e numrit x, funksioni Dirichlet, funksioni i Riemanit, n!, r(n) është numri i pjesëtuesve të numrit natyror n.

5. Metoda gjysmë grafike. Këtu, vlerat e funksionit përfaqësohen si segmente, dhe vlerat e argumenteve përfaqësohen si numra të vendosur në skajet e segmenteve që tregojnë vlerat e funksionit. Kështu, për shembull, një termometër ka një shkallë me ndarje të barabarta me numra mbi to. Këta numra janë vlerat e argumentit (temperaturës). Ato qëndrojnë në vendin që përcakton zgjatjen grafike të kolonës së merkurit (vlera e funksionit) për shkak të zgjerimit vëllimor të saj si rezultat i ndryshimeve të temperaturës.

Çfarë kuptimi kanë fjalët? "vendos një funksion"? Ata do të thotë: shpjegoni të gjithëve që duan të dinë se çfarë funksion specifik po flasim. Për më tepër, shpjegoni qartë dhe pa mëdyshje!

Si mund të bëhet kjo? Si vendos një funksion?

Ju mund të shkruani një formulë. Ju mund të vizatoni një grafik. Ju mund të bëni një tryezë. Çdo mënyrë është disa rregulla me të cilat mund të gjejmë vlerën e i për vlerën x që kemi zgjedhur. Ato. "vendos funksionin", kjo do të thotë të tregosh ligjin, rregullin me të cilin një x kthehet në y.

Zakonisht, në një sërë detyrash ka tashmë gati funksionet. Na japin tashmë janë vendosur. Vendosni vetë, po, vendosni.) Por... Më shpesh, nxënësit e shkollës (dhe madje edhe studentët) punojnë me formula. Ata mësohen me të, e dini... Ata mësohen aq shumë saqë çdo pyetje elementare që lidhet me një mënyrë tjetër të specifikimit të një funksioni e shqetëson menjëherë personin...)

Për të shmangur raste të tilla, ka kuptim të kuptohen mënyra të ndryshme të specifikimit të funksioneve. Dhe, sigurisht, zbatojeni këtë njohuri në pyetjet "të ndërlikuara". Është mjaft e thjeshtë. Nëse e dini se çfarë është një funksion...)

Le të shkojmë?)

Metoda analitike e specifikimit të një funksioni.

Mënyra më universale dhe më e fuqishme. Një funksion i përcaktuar në mënyrë analitike ky është funksioni që jepet formulat. Në fakt, ky është i gjithë shpjegimi.) Funksione që janë të njohura për të gjithë (dua të besoj!), për shembull: y = 2x, ose y = x 2 etj. etj. janë të specifikuara në mënyrë analitike.

Nga rruga, jo çdo formulë mund të përcaktojë një funksion. Jo çdo formulë plotëson kushtin e rreptë nga përkufizimi i një funksioni. Domethënë - për çdo X mund të ketë vetëm një igrek. Për shembull, në formulë y = ±x, Për një vlerat x=2, rezulton dy y vlerat: +2 dhe -2. Kjo formulë nuk mund të përdoret për të përcaktuar një funksion unik. Si rregull, ata nuk punojnë me funksione me shumë vlera në këtë degë të matematikës, në kalkulus.

Çfarë është e mirë për mënyrën analitike të specifikimit të një funksioni? Sepse nëse keni një formulë, ju e dini për funksionin Të gjitha! Ju mund të bëni një shenjë. Ndërtoni një grafik. Eksploroni plotësisht këtë veçori. Parashikoni saktësisht se ku dhe si do të sillet ky funksion. E gjithë analiza matematikore bazohet në këtë metodë të specifikimit të funksioneve. Le të themi, marrja e një derivati të një tabele është jashtëzakonisht e vështirë ...)

Metoda analitike është mjaft e njohur dhe nuk krijon probleme. Ka ndoshta disa variacione të kësaj metode që hasin studentët. E kam fjalën për funksione parametrike dhe implicite.) Por funksione të tilla janë në një mësim të veçantë.

Le të kalojmë në mënyra më pak të njohura për të specifikuar një funksion.

Metoda tabelare e specifikimit të një funksioni.

Siç sugjeron emri, kjo metodë është një shenjë e thjeshtë. Në këtë tabelë, çdo x korrespondon me ( vihet në përputhje) disa kuptime të lojës. Rreshti i parë përmban vlerat e argumentit. Rreshti i dytë përmban vlerat përkatëse të funksionit, për shembull:

Tabela 1.

x	- 3	- 1	0	2	3	4
y	5	2	- 4	- 1	6	5

Ju lutemi kushtojini vëmendje! Në këtë shembull, loja varet nga X gjithsesi. E dola me qëllim këtë.) Nuk ka asnjë model. Është në rregull, ndodh. Do të thotë, pikërisht ashtu Unë e kam specifikuar këtë funksion specifik. Kjo është e drejtë Kam vendosur një rregull sipas të cilit një X kthehet në një Y.

Mund të grimoheni një tjetër një pjatë që përmban një model. Kjo shenjë do të tregojë tjera funksioni, për shembull:

Tabela 2.

x	- 3	- 1	0	2	3	4
y	- 6	- 2	0	4	6	8

E keni kapur modelin? Këtu të gjitha vlerat e lojës fitohen duke shumëzuar x me dy. Këtu është pyetja e parë "e ndërlikuar": a mund të konsiderohet funksion një funksion i përcaktuar duke përdorur Tabelën 2 y = 2x? Mendoni tani për tani, përgjigja do të jetë më poshtë, në mënyrë grafike. Gjithçka është shumë e qartë atje.)

Çfarë është e mirë metoda tabelare e specifikimit të një funksioni? Po, sepse nuk keni nevojë të numëroni asgjë. Gjithçka tashmë është llogaritur dhe shkruar në tabelë.) Por nuk ka asgjë më të mirë. Ne nuk e dimë vlerën e funksionit për X-të, të cilat nuk janë në tabelë. Në këtë metodë, vlera të tilla x janë thjesht nuk ekzistojnë. Nga rruga, kjo është një sugjerim për një pyetje të ndërlikuar.) Ne nuk mund të zbulojmë se si funksioni sillet jashtë tabelës. Nuk mund të bëjmë asgjë. Dhe qartësia e kësaj metode lë shumë për të dëshiruar... Metoda grafike është e mirë për qartësi.

Mënyra grafike për të specifikuar një funksion.

Në këtë metodë, funksioni përfaqësohet nga një grafik. Argumenti (x) vizatohet përgjatë boshtit të abshisës dhe vlera e funksionit (y) vizatohet përgjatë boshtit të ordinatave. Sipas orarit, ju gjithashtu mund të zgjidhni ndonjë X dhe gjeni vlerën përkatëse në. Grafiku mund të jetë cilido, por... jo vetëm një.) Ne punojmë vetëm me funksione të paqarta. Përkufizimi i një funksioni të tillë thotë qartë: secili X vihet në përputhje i vetmi në. Një një lojë, jo dy, ose tre... Për shembull, le të shohim grafikun e rrethit:

Rrethi është si rrethi... Pse nuk duhet të jetë grafiku i një funksioni? Le të gjejmë se cila lojë do të korrespondojë me vlerën e X, për shembull, 6? Lëvizim kursorin mbi grafik (ose prekim vizatimin në tablet) dhe... shohim që ky x korrespondon dy Kuptimi i lojës: y=2 dhe y=6.

Dy dhe gjashtë! Prandaj, një grafik i tillë nuk do të jetë një caktim grafik i funksionit. Aktiv një x llogaritë për dy lojë. Ky grafik nuk korrespondon me përkufizimin e një funksioni.

Por nëse plotësohet kushti i paqartësisë, orari mund të jetë absolutisht çdo gjë. Për shembull:

E njëjta shtrembërim është ligji me të cilin një X mund të shndërrohet në një Y. E paqartë. Ne donim të dinim kuptimin e funksionit për x = 4, Për shembull. Ne duhet të gjejmë katër në boshtin x dhe të shohim se cila lojë korrespondon me këtë x. Lëvizim miun mbi figurë dhe shohim se vlera e funksionit në Për x=4është e barabartë me pesë. Ne nuk e dimë se çfarë formule përcakton këtë shndërrim të një X në një Y. Dhe mos. Gjithçka është e përcaktuar me orar.

Tani mund t'i kthehemi pyetjes "të ndërlikuar" rreth y=2x. Le ta përshkruajmë këtë funksion. Këtu është:

Sigurisht, gjatë vizatimit të këtij grafiku nuk kemi marrë një numër të pafund vlerash X. Ne morëm disa vlera dhe llogaritëm y, bëri një shenjë - dhe gjithçka është gati! Njerëzit më të shkolluar morën vetëm dy vlera të X-së! Dhe me të drejtë. Për një vijë të drejtë nuk keni nevojë për më shumë. Pse puna shtesë?

Por ne e dinte me siguriçfarë mund të jetë x kushdo. Numër i plotë, thyesor, negativ... Çdo. Kjo është sipas formulës y=2x të dukshme. Prandaj, ne i lidhëm me guxim pikat në grafik me një vijë të fortë.

Nëse funksioni na jepet nga Tabela 2, atëherë do të duhet të marrim vlerat e x vetëm nga tavolina. Sepse X-të e tjera (dhe Y-të) nuk na janë dhënë dhe nuk ka ku t'i marrim ato. Këto vlera nuk janë të pranishme në këtë funksion. Orari do të funksionojë nga pikat. Lëvizim miun mbi figurë dhe shohim grafikun e funksionit të specifikuar në tabelën 2. Nuk i kam shkruar vlerat x-y në boshte, do ta kuptoni, qelizë pas qelize?)

Këtu është përgjigja e pyetjes "të ndërlikuar". Funksioni i specifikuar nga Tabela 2 dhe funksioni y=2x - të ndryshme.

Metoda grafike është e mirë për qartësinë e saj. Ju mund të shihni menjëherë se si funksioni sillet dhe ku rritet. ku zvogëlohet. Nga grafiku mund të zbuloni menjëherë disa karakteristika të rëndësishme të funksionit. Dhe në temën me derivatet, detyrat me grafikë janë kudo!

Në përgjithësi, metodat analitike dhe grafike të përcaktimit të një funksioni shkojnë paralelisht. Puna me formulën ndihmon për të ndërtuar një grafik. Dhe grafiku shpesh sugjeron zgjidhje që as nuk do t'i vëreni në formulë... Do të jemi miq me grafikët.)

Pothuajse çdo student i di tre mënyrat për të përcaktuar një funksion që sapo shikuam. Por në pyetjen: "Dhe e katërta!?" - ngrin plotësisht.)

Ekziston një mënyrë e tillë.

Përshkrimi verbal i funksionit.

Po, po! Funksioni mund të specifikohet në mënyrë mjaft të qartë me fjalë. Gjuha ruse e madhe dhe e fuqishme është e aftë për shumë!) Le të themi funksionin y=2x mund të specifikohet me përshkrimin verbal të mëposhtëm: Çdo vlerë reale e argumentit x shoqërohet me vlerën e tij të dyfishtë. Si kjo! Rregulli është vendosur, funksioni është specifikuar.

Për më tepër, mund të specifikoni verbalisht një funksion që është jashtëzakonisht i vështirë, nëse jo i pamundur, të përcaktohet duke përdorur një formulë. Për shembull: Çdo vlerë e argumentit natyror x shoqërohet me shumën e shifrave që përbëjnë vlerën e x. Për shembull, nëse x=3, Se y=3. Nëse x=257, Se y=2+5+7=14. Dhe kështu me radhë. Është problematike ta shkruajmë këtë në një formulë. Por shenja është e lehtë për t'u bërë. Dhe ndërtoni një orar. Meqë ra fjala, grafiku duket qesharak...) Provojeni.

Metoda e përshkrimit verbal është mjaft ekzotike. Por ndonjëherë ndodh. E solla këtu për t'ju dhënë besim në situata të papritura dhe të pazakonta. Thjesht duhet të kuptoni kuptimin e fjalëve "funksioni i specifikuar..." Këtu është, ky kuptim:

Nëse ekziston një ligj i korrespondencës një me një ndërmjet X Dhe në- kjo do të thotë se ka një funksion. Cili ligj, në çfarë forme shprehet - një formulë, një tabletë, një grafik, fjalë, këngë, valle - nuk e ndryshon thelbin e çështjes. Ky ligj ju lejon të përcaktoni vlerën përkatëse të Y nga vlera e X. Të gjitha.

Tani do ta zbatojmë këtë njohuri të thellë në disa detyra jo standarde.) Siç u premtua në fillim të mësimit.

Detyra 1:

Funksioni y = f(x) është dhënë nga Tabela 1:

Tabela 1.

Gjeni vlerën e funksionit p(4), nëse p(x)= f(x) - g(x)

Nëse nuk mund të kuptoni se çfarë është fare, lexoni mësimin e mëparshëm "Çfarë është një funksion?" Është shkruar shumë qartë për shkronja dhe kllapa të tilla.) Dhe nëse vetëm forma tabelare ju ngatërron, atëherë ne do ta zgjidhim këtu.

Nga mësimi i mëparshëm është e qartë se nëse, p(x) = f(x) - g(x), Kjo p(4) = f(4) - g(4). Letrat f Dhe g nënkupton rregullat sipas të cilave çdo X i caktohet loja e vet. Për çdo shkronjë ( f Dhe g) - tuajat rregull. Që jepet nga tabela përkatëse.

Vlera e funksionit f(4) përcaktuar nga tabela 1. Kjo do të jetë 5. Vlera e funksionit g(4) e përcaktuar sipas tabelës 2. Kjo do të jetë 8. Gjëja më e vështirë mbetet.)

p(4) = 5 - 8 = -3

Kjo është përgjigja e saktë.

Të zgjidhet pabarazia f(x) > 2

Kjo është ajo! Është e nevojshme të zgjidhet pabarazia, e cila (në formën e zakonshme) mungon shkëlqyeshëm! E vetmja gjë që mbetet për të bërë është ose të hiqni dorë nga detyra ose të përdorni kokën. Ne zgjedhim të dytën dhe diskutojmë.)

Çfarë do të thotë të zgjidhësh pabarazinë? Kjo do të thotë të gjejmë të gjitha vlerat e x në të cilat kushti që na është dhënë është i kënaqur f(x) > 2. Ato. të gjitha vlerat e funksionit ( në) duhet të jetë më i madh se dy. Dhe në tabelën tonë kemi çdo lojë... Dhe ka më shumë dy, dhe më pak... Dhe le të, për qartësi, të vizatojmë një kufi përgjatë këtyre dyve! Lëvizim kursorin mbi vizatim dhe shohim këtë kufi.

Në mënyrë rigoroze, ky kufi është grafiku i funksionit y=2, por nuk është kjo gjëja. Gjëja e rëndësishme është që tani grafiku tregon shumë qartë se ku, në atë që X, vlerat e funksionit, d.m.th. y, më shumë se dy. Ata janë më shumë X > 3. Në X > 3 i gjithë funksioni ynë kalon më të larta kufijtë y=2. Kjo është zgjidhja. Por është shumë herët për të fikur kokën!) Unë ende duhet të shkruaj përgjigjen ...

Grafiku tregon se funksioni ynë nuk shtrihet majtas dhe djathtas deri në pafundësi. Pikat në fund të grafikut tregojnë këtë. Funksioni përfundon atje. Prandaj, në pabarazinë tonë, të gjitha X-të që shkojnë përtej kufijve të funksionit nuk kanë asnjë kuptim. Për funksionin e këtyre X-ve nuk ekziston. Dhe ne, në fakt, zgjidhim pabarazinë për funksionin...

Përgjigja e saktë do të jetë:

3 < X ≤ 6

Ose, në një formë tjetër:

X ∈ (3; 6]

Tani gjithçka është ashtu siç duhet. Tre nuk përfshihen në përgjigje, sepse pabarazia origjinale është strikte. Dhe gjashtë ndizet, sepse dhe funksioni në gjashtë ekziston, dhe kushti i pabarazisë është i plotësuar. Ne kemi zgjidhur me sukses një pabarazi që (në formën e zakonshme) nuk ekziston...

Kështu ju shpëtojnë disa njohuri dhe logjika elementare në raste jo standarde.)

Një nga përkufizimet klasike të konceptit "funksion" janë ato të bazuara në korrespondencë. Le të paraqesim një sërë përkufizimesh të tilla.

Përkufizimi 1

Një marrëdhënie në të cilën çdo vlerë e ndryshores së pavarur korrespondon me një vlerë të vetme të ndryshores së varur quhet funksionin.

Përkufizimi 2

Le të jepen dy grupe jo bosh $X$ dhe $Y$. Një korrespondencë $f$ që përputhet çdo $x\në X$ me një dhe vetëm një $y\në Y$ quhet funksionin($f:X → Y$).

Përkufizimi 3

Le të jenë $M$ dhe $N$ dy grupe numrash arbitrare. Një funksion $f$ thuhet se përcaktohet në $M$, duke marrë vlera nga $N$, nëse çdo element $x\në X$ lidhet me një dhe vetëm një element nga $N$.

Përkufizimi i mëposhtëm jepet përmes konceptit të një sasie të ndryshueshme. Një sasi e ndryshueshme është një sasi që merr vlera të ndryshme numerike në një studim të caktuar.

Përkufizimi 4

Le të jetë $M$ grupi i vlerave të ndryshores $x$. Pastaj, nëse çdo vlerë $x\në M$ korrespondon me një vlerë specifike të një ndryshoreje tjetër $y$ është një funksion i vlerës $x$ të përcaktuar në grupin $M$.

Përkufizimi 5

Le të jenë $X$ dhe $Y$ disa grupe numrash. Një funksion është një grup $f$ çiftesh të renditura numrash $(x,\ y)$ të tillë që $x\në X$, $y\në Y$ dhe çdo $x$ përfshihet në një dhe vetëm një palë numrash ky grup, dhe çdo $y$ është në të paktën një çift.

Përkufizimi 6

Çdo grup $f=$\left(x,\ y\djathtas)$$ i çifteve të renditura $\left(x,\ y\djathtas)$ i tillë që për çdo çift $\left(x",\ y" \right)\në f$ dhe $\left(x"",\ y""\right)\në f$ nga kushti $y"≠ y""$ rrjedh se $x"≠x""$ është quhet funksion ose ekran.

Përkufizimi 7

Një funksion $f:X → Y$ është një grup çiftesh $f$ të renditura $\left(x,\ y\djathtas)\në X\herë Y$ të tillë që për çdo element $x\në X$ ka një elementi unik $y\në Y$ i tillë që $\left(x,\ y\right)\në f$, domethënë, funksioni është një grup objektesh $\left(f,\ X,\ Y\djathtas) $.

Në këto përkufizime

$x$ është ndryshorja e pavarur.

$y$ është ndryshorja e varur.

Të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores $x$ quhen domeni i funksionit, dhe të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores $y$ quhen domeni i funksionit.

Metoda analitike e specifikimit të një funksioni

Për këtë metodë, na nevojitet koncepti i një shprehjeje analitike.

Përkufizimi 8

Një shprehje analitike është produkt i të gjitha veprimeve të mundshme matematikore në çdo numër dhe ndryshore.

Mënyra analitike për të specifikuar një funksion është ta specifikoni atë duke përdorur një shprehje analitike.

Shembulli 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Të mirat:

Duke përdorur formulat, ne mund të përcaktojmë vlerën e funksionit për çdo vlerë specifike të ndryshores $x$;
Funksionet e përcaktuara në këtë mënyrë mund të studiohen duke përdorur aparatin e analizës matematikore.

Disavantazhet: